秋九级数学上册.传播问题与一元二次方程(第课时)教案讲解

21.3 实际问题与一元二次方程第1课时用一元二次方程解决传播问题01 教学目标1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．2．通过解决传播问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．02 预习反馈阅读教材P19“探究1”，完成下面的探究内容．问题有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析①设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了x人，第一轮后共有(x＋1)人患了流感；②第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，第二轮后共有1＋x＋x(1＋x)人患了流感．则列方程1＋x＋x(1＋x)＝121，解得x＝10或x＝－12(舍)，即平均一个人传染了10个人．再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？03 新课讲授类型1 利用一元二次方程解决传播问题例1(教材P19探究1的变式题)某种电脑病毒的传播速度非常快，如果1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，请你用学过的知识分析，每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【思路点拨】设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑，用含有x的代数式表示出经过两轮感染后被感染的电脑的台数，从而可列出方程．【解答】 设每轮感染中平均1台电脑会感染x 台电脑．列方程，得1＋x ＋x (1＋x )＝81.解得x 1＝8，x 2＝－10(舍去)．∴第三轮被感染的电脑为：81＋81×8＝729(台)．∵729＞700，∴3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．答：每轮感染中平均1台电脑会感染8台电脑，三轮感染后，被感染的电脑会超过700台．【方法归纳】 传播类问题规律：(1)设开始数量为1，每轮感染的数量为x ，经n 轮感染后的数量为b ，则所列方程为(1＋x )n ＝b ；(2)设开始数量为a ，每轮感染的数量为x ，经n 轮感染后的数量为b ，则所列方程为a (1＋x )n＝b .【跟踪训练1】 某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培植后，总数达24 000个．其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？解：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x 个有益菌，根据题意，得60(1＋x)2＝24 000.解得x 1＝19，x 2＝－21(不合题意，舍去)．答：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌．类型2 利用一元二次方程解决握手问题例2 (教材补充例题)在李老师所教的班级中，两个学生都握手一次，全班学生一共握手780次，那么你知道李老师所教班共有多少名学生吗？【思路点拨】 设李老师所教班共有x 名学生，每个人都要和其他(x －1)个人握手一次，共握手x (x －1)次，但每两个人握手一次，则全班学生一共握手12x (x －1)次． 【解答】 设李老师所教班共有x 名学生，依题意有12x (x －1)＝780，即(x －40)(x ＋39)＝0，解得x ＝40或x ＝－39(舍去)．答：李老师所教班共有40名学生．【跟踪训练2】 某市要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？解：∵赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，∴共7×4＝28场比赛．设比赛组织者应邀请x 队参赛，则由题意可列方程为x （x －1）2＝28. 解得x 1＝8，x 2＝－7(舍去)．答：比赛组织者应邀请8队参赛．类型3 利用一元二次方程解决数字问题例3 (教材补充例题)一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数．【思路点拨】 设这个数的个位数字为x ，则根据“十位数字比个位数字小2”可以表示出十位上的数字．再根据等量关系“一个两位数等于其各位数字之积的3倍”列出方程．【解答】 设这个数的个位数为x ，则十位数字为(x －2)．由题意，得10(x －2)＋x ＝3(x －2)x .解得x 1＝53，x 2＝4. 答：两位数为24.【方法归纳】 数字问题常用解题技巧：(1)三个连续偶数(奇数)：若设中间的一个数为x ，则另两个数分别为x －2，x ＋2.(2)两位数的表示方法：若十位、个位上的数字分别为a ，b ，则这个两位数可表示为10a ＋b .(3)三位数的表示方法：若百位、十位、个位上的数字分别是a ，b ，c ，则这个三位数可表示100a ＋10b ＋c .【跟踪训练3】一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1 008，求这个两位数．解：设原两位数的个位数字为x，十位数字为(6－x)．根据题意，得[10(6－x)＋x][10x＋(6－x)]＝1 008，即x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4，∴6－x＝4，或6－x＝2，∴10(6－x)＋x＝42或10(6－x)＋x＝24，答：这个两位数是42或24.04 巩固训练1．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，则每轮传染中，平均一个人传染的人数为(C)A．11人B．10人C．9人D．8人2．两个相邻正整数的平方和比这两个数中较小的数的2倍大51，则这两个数是5，6.3．某人用手机发短信，获得信息人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信中，平均一个人向9个人发送短信．4．(21.3第1课时习题)某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91，求每个枝干长出多少小分支？解：设每个枝干长出x个小分支，则有1＋x＋x2＝91，即x2＋x－90＝0.解得x1＝9，x2＝－10(舍去)．答：每个枝干长出9个小分支．05 课堂小结列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)“设”，即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(2)“列”，即根据题中的等量关系列方程；(3)“解”，即求出所列方程的根；(4)“检验”，即验证是否符合题意；(5)“答”，即回答题目中要解决的问题．。

人教版数学九年级上21.3第一课时教学设计探究1 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流 感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?思考：1.本题中有哪些数量关系？2.如何理解“两轮传染”？3.如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？ 设每轮传染中平均一个人传染x 个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了______人；第一轮传染后，共有______ 人患了流感；在第二轮传染中，传染源是____人，这些人中每一个人又传染了______人，那么第二轮传染了______人，第二轮传染后，共有______人患流感.4.根据等量关系列方程并求解解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则依题意第一轮传染后有x+1人患了流感，第二轮传染后有x(1+x)人患了流感.于是可列方程：1+x+x(1+x)=121 解方程得x1=10， x2=-12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人． 5.为什么要舍去一解？6.如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流题的突破口，从而学会运用列一元二次方程解决实际问题。

根据实际举一反三，引导数学知识解决传染病问题，为运用一元二次方程解决实际问题做铺垫。

让学生通过探究问题，体会运用一元二次方程解决实际问题过程，体会数学思想。

感？注意:1.此类问题是传播问题.2.计算结果要符合问题的实际意义. 学生自主解决问题，老师总结解决传播问题的注意事项。

三、重难点精讲例题：某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 7000 台？解：设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑，则1＋x＋x(1＋x)＝100，即(1＋x)2＝100.解得 x1＝9，x2＝－11(舍去) ．∴ x＝9.归纳：解决此类问题的关键步骤是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数．传播问题：学生独立完成，再合作交流，教师最后巡视指导，并总结解题注意事项。

实际问题与二次函数第1课时几何图形的最大面积1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系．2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．3．能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题．一、情境导入孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD.设AB边的长为x 米，矩形ABCD的面积为S平方米．当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．二、合作探究探究点：最大面积问题【类型一】利用二次函数求最大面积小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x，则另一边长为60－2x2，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标．解：(1)根据题意，得S＝60－2x2·x＝－x2＋30x.自变量x的取值范围是0＜x＜30.(2)S＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，∵a＝－1＜0，∴S有最大值，即当x＝15(米)时，S最大值＝225平方米．方法总结：二次函数与日常生活的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系．【类型二】利用二次函数判断面积取值成立的条件(2014·江苏淮安)用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．(1)求y关于x的函数关系式；(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)求出y的最大值，与70比较大小，即可作出判断．解：(1)y＝x(16－x)＝－x2＋16x(0＜x＜16)；(2)当y＝60时，－x2＋16x＝60，解得x1＝10，x2＝6.所以当x＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；(3)方法一：当y＝70时，－x2＋16x＝70，整理得：x2－16x＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．方法二：y＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64，当x＝8时，y有最大值64，即能围成的养鸡场的最大面积为64平方米，所以不能围成70平方米的养鸡场．方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程．【类型三】最大面积方案设计施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所示)．(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．解：(1)M(12，0)，P(6，6)．(2)设这条抛物线的函数关系式为y＝a(x－6)2＋6，因为抛物线过O(0，0)，所以a(0－6)2＋6＝0，解得，a＝－16，所以这条抛物线的函数关系式为：y＝－16(x－6)2＋6，即y＝－16x2＋2x.(3)设OB＝m米，则点A的坐标为(m，－16m2＋2m)，所以AB＝DC＝－16m2＋2m.根据抛物线的轴对称，可得OB＝CM＝m，所以BC＝12－2m，即AD＝12－2m，所以l＝AB＋AD＋DC＝－16m2＋2m＋12－2m－16m2＋2m＝－13m2＋2m＋12＝－13(m－3)2＋15.所以当m＝3，即OB＝3米时，三根木杆长度之和l的最大值为15米．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况.。

一元二次方程的应用（传播问题）教学设计22.3实际问题与一元二次方程（传播问题）教学内容：人教版九年级上册21章第3节第一课时，实际问题与一元二次方程中的传播问题。

教学目标：掌握用倍数关系建立数学模型，并用它解决一些实际问题。

教学重点：列一元二次方程解有关传播问题的应用题。

教学难点：发现传播问题中的等量关系。

教学用具：多媒体课件教学过程：一、导入课题1.列方程解应用题的步骤有:（1）.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系?（2）. 设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位;（3）.列:列代数式,列方程;（4）.解:解所列的方程;（5）.验:是否是所列方程的根;是否符合题意;（6）.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活.列方程解应用题的关键是: 找出相等关系.设计意图：规范学生解题步骤，使学生更好的适应中考要求。

2.有一句广告语“得了灰指甲，一个传染俩.问我怎么办?马上用亮甲”假定一个人一个指甲得了灰指甲,（在不作任何防控措施前提下）一天一个灰指甲传染两个,几天后这个人满手指甲都患灰指甲.在我们生活中这样的传播性问题很常见，今天我们就来研究一下如何列一元二次方程解有关传播问题。

板书课题“实际问题与一元二次方程（传播问题）”设计意图：让学生切实的感受到数学源于生活服务于生活，进而激发学生的求知欲。

二、探究新知据调查，初春是流感盛行的季节，1经研究,流感在每轮传染中平均一个人传染5人，开始有1人患了流感,第一轮的传染源就是1个人,他传染了5个人,用代数式表示,第一轮中有_____人被感染;第二轮中,传染源是______人，这些人中的每个人又传染了5个人,用代数式表示,第二轮中有____________人被感染.2、你发现这个传染有什么规律？按这样方式传染下去5轮后有多少人患传染病？3、若在上面的传染中每人每轮传染x人，那n轮后有多少人患传染病？设计意图：让学生感受从特殊到一般的思维过程。