六年级下册奥数讲义-奥数方法：交集法(练习无答案)全国通用

1．在1997后面补上三个数字，组成一个七位数1997口口口，如果这个七位数能被4、5、6整除，那么补上的三个数字的和的最小可能值2．在300到400之间的自然数中，恰有3个约数的数的总和等于3．给定1997个连续的自然数。

已知其中最小数与最大数的平均但是1997，那么最大数等于4．在下式的方框里分别填上2、4、6、8四个数字，使等式成立。

最多可写出个不同的算式。

5．如图1所示，四边形ABCD的周长是60厘米．点M到各边的距离都是4．5厘米，这个四边形的面积是平方厘米。

6．有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始每隔4人发一个橘子，结果有10个小朋友苹果和橘子都拿到，那么这些小朋友最多有人。

7．甲、乙两项工程分别由一、二队来完成。

在晴天，一队完成甲工程需要12天，二队完成乙工程需要15天；在雨天，一队的工作效率要下降 40％，二队的工作效率要下降10％。

结果两队同时完成这两项工程。

那么在施工的日子里，雨天确天。

8．龟兔进行10000米赛跑，兔子的速度是龟的速度的5倍。

当它们从起点一起出发后，龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉。

兔子醒来时。

龟已经领先它5000米，兔子奋起直追，但龟到达终点时，兔子仍落后100米，那么在兔子睡觉期间，龟跑了米。

9．中山商场销售的名人系列笔记本电脑，按台数统计每月销售量平均增长20％，1996年12月份销售了120台，按此速度下去，预计1997年3月份比l月份多销售多少台?(按四舍五入计算)。

10．一辆汽车的速度是每小时50千米，现有一块每5小时慢2分的表，若用该表计时，测得这辆汽车的时速是多少?(得数保留一位小数) 11．图2中有九个方格，要求每个格中填入互不相同的数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。

问：图中左上角的数是多少?12．甲管注水速度是乙管的一倍半，同时开放甲、乙两个水管向游泳池注水，12小时可注满。

现在先开甲管向游泳池注水若干小时，剩下的由乙管注9小时将游泳池注满，问：甲管注水时间是多少?13．威力集团生产的某种洗衣机的外形是长方体，装衣物部分是圆柱形的桶，直径40厘米，深36厘米，已知该洗衣机装衣物的空间占洗衣机体积的25％，长方体外形的长为52厘米，宽50厘米。

六年级下册奥数讲义-奥数⽅法：假设法（练习⽆答案）全国通⽤对于某些数学问题，可以根据题⽬中的已知条件或结论作出某种假设，然后依据假设进⾏分析推理，这种解题⽅法叫做假设法。

假设思维是⼀种常⽤的推测性的辩证思维，它要求⼈们在错综复杂的数量关系中，找出能起主导作⽤的某⼀数量或某⼀等量关系，以显现可求解的对应关系，从⽽确定解题思路。

常⽤的假设有条件假设、问题假_设、单位假设及情境假设等。

⽤假设法解题的思维过程分为三步：第⼀步对题⽬中的部分条件进⾏假设，第⼆步由假设导出⽭盾，第三步分析产⽣⽭盾的原因，原因找到后，问题也就解决了。

【例1]有五堆苹果，较⼩的三堆平均有18个苹果，较⼤的两堆，苹果数之差为5个，⼜，较⼤三堆平均有26个苹果，较⼩的两堆苹果数之差为7个。

最⼤堆与最⼩堆平均有22个苹果。

则每堆各有个苹果。

分析与解答根据题意按从⼤到⼩⽤字母表⽰如下：abcde，因为a，b，c的平均数是26，所以b应接近26，则a=26+5=31，e=22×2-31=13，d=13+7= 20。

c=18×3-13-20=21，符合题意，故每堆有(从⼤到⼩)31、26、21、20、13。

[例2] 绕湖的⼀周是22千⽶，甲、⼄⼆⼈从湖边某⼀地点同时出发反向⽽⾏，甲以4千⽶／⼩时的速度每⾛1⼩时后休息5分钟，⼄以6千⽶／⼩时的速度每⾛50分钟后休息10分钟，则两⼈从出发到第⼀次相遇⽤分析与解答如图1所⽰，包括休息时间，甲65分钟⾛4千⽶，⼄60分钟⾛5千⽶(⼄以60千⽶／⼩时的速度⾛50分钟只能⾛5千⽶)。

剩下的路程两⼈共同⾛完需：(22-19)÷(4+6)=0．3(⼩时)=18(分钟)故两⼈从出发到第⼀次相遇⽤时：65×2+18=148(分钟)。

[例3】⼩⽞和⼩斌⼀起跳绳，⼩⽞先跳了2分钟，然后两⼈各跳了3分钟，⼀共跳了780下，已知⼩⽞⽐⼩斌每分钟多跳12下，问⼩⽞⽐⼩斌多跳了多少下?周『-路剖析因为本题中有些数量关系⽐较隐蔽，如果对已知条件作出假设，就能顺利找到解此题的途径和答案了。

植树问题一般是指以植树为内容，研究总距离、棵数、株距、段数等数量关系的问题，其中株距是指相邻两棵树的距离。

植树问题与形成的图形有着密切的关系，图形不同，上述四个量之间的关系就略有不同，解题方法也就不同。

下面，我们先大体介绍一下四种最简单、最基本的植树问题。

为了形象直观，我们用图示法来说明，用点表示树，用线表示植树的沿线。

这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭曲线上的点数与相邻两点之间线段之间的关系问题。

1．非封闭曲线的两端都有点，如图1所示。

棵数=段数+1或段数=棵数一12．非封闭曲线只有一端有点，如图2所示。

棵数=段数3．非封闭的两端都没有点，如图3所示。

棵数=段数-l或段数=棵数+1 4．封闭曲线上，如图4所示。

棵数=段数实际上，许多应用题我们都可以转化或借助植树问题来解答。

[例1】一条小路长30米，在路一侧从一端开始，每5米栽一棵杨树，一共可栽多少棵(图5)?思路剖析小路全长30米，每5米分一段，刚好分成30÷5=6段。

因为从路的一端开始栽树，到尽头时还可栽一棵，所以栽树的总棵数等于段数加1。

解答30÷5+1=6+1=7(棵)．答：一共可栽7棵杨树。

．[例2】一段公路的两侧连两端在内共有92棵树，同一侧的每两棵树中间的距离是4米，问：这段公路长多少米?解答(1)每侧有：92÷2=46(棵)(2)每侧共被分成：46-1=45(段)(3)这段公路长：4×45=180(米)答：这段公路长为180米。

[例3】操场的直跑道长100米，在跑道的一旁等距离插了21面旗帜。

每两面旗帜之间相距多少米?思路剖析和前面2个例题相比较，这是一道植树问题的类似题，只不过知道旗帜数，要求跑道长。

因为连两端在内共有21面旗帜，所以有20个间隔。

求每两面旗帜之间的距离就是求每个间隔的长度。

解答100÷(21-1)=100÷20=5(米)答：每两面旗帜之间相距5米。

有些数学题目的问题所求,是由几个条件共同决定的,这时我们可以对每一条进行分别考虑,然后再求满足所有条件的情况。

在考虑问题时,我们把满足每一个条件的情况称为一个集合,用一个圈表示。

那么这些圈的交叉重叠部分就是同时满足这几个条件公共部分,称为交集。

用这种思考方法解题叫做交集法。

另一方面,在运用交集法解题的过程中,常要考虑由于重复、相互包含而引起的多加的数学问题,即包含与排除的问题,也就是常说的“容反”原理。

同时,用交集法解题,要善于使用形象的图示帮助理解题意,搞清数量关系和逻辑关系。

[例1】有50个学生,他们穿的裤子是白色的或黑色的,上衣是蓝色或红色的。

若有14人穿的是蓝色上衣白裤子,31人穿黑裤子,18人穿红上衣,那么穿红上衣黑裤子的学生有分析与解答50个学生中,有14人穿的是蓝色上衣白裤子,则剩下的50-14=36 (人)穿的是红上衣白裤和蓝上衣黑裤子,红上衣黑裤子,又知31人穿黑裤子,则剩下36-31=5(人)穿红上衣白裤子,又知穿红上衣有18人,故18-5=13(人)穿红上衣黑裤子。

[例2】 100名学生,有音乐爱好者53人,体育爱好者72人,那么音乐、体育都爱好的学生至少有几人?至多有几人?思路剖析这100名学生可以分成4部分：①爱好音乐而不爱好体育的同学；②爱好体育而不爱好音乐的同学；③既爱好体育又爱好音乐的同学；④既不爱好音乐又不爱好体育的同学。

如图l所示。

①+③表示爱好音乐的同学53人,②+③表示爱好体育的同学72人。

由于①+②+③+④=100,即有(①+③)+(②+③)-③+④=100,53+72-③+④=100,故有③=25+④。

由③=25+④知,当既不爱好音乐又不爱好体育的人数为0时,既爱好音乐又爱好体育的人数最少为25人。

因为音乐爱好者53人,体育爱好者72人,53<72,所以音乐、体育都爱好的学生至多有53人。

解答53+72-100=25(人)……音乐、体育都爱好的学生最少人数因53<72,所以音乐、体育都爱好的学生至多有53人。

第一讲四则运算（上）1、掌握用“凑整”、“分组”、“抵消”等数学思想进行简单的计算；2、根据题目的类型，合理选择速算和巧算方法和技巧；3、引导学员发现计算的简洁性，培养学员对计算的兴趣。

巩固加减法运算中的各种计算技巧：1、凑整；2、带着符号搬家；3、加减相消；4、数的分拆和合并；5、轮换数的计算；6、加减法运算中添、去括号的法则。

借用这些方法，来简化运算。

计算：（1）280－24－76－65－35（2）267－162＋84－38－147＋126计算：（1）246＋462＋624－888（2）125－24＋251－240＋512－402讲演者：得分：讲演者：得分：计算：11＋192＋1993＋19994＋199995所得结果的数字之和是多少？如图，除第一行外，每个圆圈中的数都等于它上面两个圆圈中数的和，请计算最下面的圆圈中应填的数。

计算：（1）100＋99－98＋97－96＋95－94＋…＋5－4＋3－2＋1（2）2004＋2003－2002－2001＋2000＋1999－1998－1997＋…＋8＋7－6－5＋4＋3－2－1已知1234＋2345＋3456＋4567＋5678－6543－5432－4321的计算结果是984。

请问：1244＋2355＋3466＋4577＋5688－6513－5412－4311的计算结果是多少？计算：（1）12345＋23451＋34512＋45123＋51234（2）（56789＋67895＋78956＋89567＋95678）÷7计算：8457－（7630－4578）＋（7845－3076）－（6307－5784）－763计算：（1）21－20＋19－18＋17－16＋15－14＋13－12＋11（2）100＋102－104＋106－108＋110－112＋114－116＋118计算：（1234＋2341＋3412＋4123）÷（1＋2＋3＋4）计算：3355＋4466＋9977－3366－4477－9955将同学们编为两组，做脑筋急转弯的游戏，一组出题，另一组回答，轮流进行。

专题3平均数在日常生产和生活中，经常可以遇到很多平均数问题，如：几个同学的平均身高；几门功课的平均成绩；一周的平均气温；平均亩产量；汽车的平均速度等。

把几个不相等的数，在总和不变的情况下，移多补少，使它们完全相等，所得的相等数，叫做这几个数的平均数，这样的问题就叫做平均数问题。

平均数问题的基本解法是：先求出几个数的总数量以及总的份数，然后再用总数量除以总份数，得到平均数，即：总数量÷总份数=平均数这个基本数量关系式还可以写成另外两种形式，即：平均数×总份数=总数量总数量÷平均数：总份数所以，对于这三个量，只要知道其中任意两个量，就可以求出第三个量。

另外要注意的是：“平均数”是“移多补少”的结果，所以平均数的数值范围有固定的特点：不能大于最大数，也不能小于最小数。

[例l】有两组数，第一组16个数的和是98，第二组的平均数是11，两组中所有数的平均数是8，则第二组有几个数。

分析与解答设第二组数有x个98+llx=8×(16+x)3x=30x=10 故第二组有10个数。

[例2] 小明期末考试语文、数学、思想品德、体育、音乐五科成绩分别是95、100、90、85、80分，问小明这五科平均成绩是多少分思路剖析由于五科成绩已经知道，故可以得出小明在期末考试中五科的总成绩是（95+100+90+85+80）=450（分）现在我们需要求的是这五科的平均成绩，也就是把五科的总成绩平均分成五份取其中的一份，这就是这五科的平均成绩。

要求小明五科的平均成绩，首先应把五科的总成绩和考试科目的总数求出来。

五科的总成绩为：95+100+90+85+80=450(分)五科的平均成绩为：450÷5=90(分)答：小明这五科的平均成绩是90分。

[例3] 有五个数的平均数为30，如果把其中一个数按60计算，则平均数变为40，求这个数原来是多少?思路剖析可以这样想，先求出总数增加了多少，总数增加的数值，实际上就是把某数按60计算是比原来多算的数值，这样，我们就可以求出原来的数了。

在一道题中，有两个或两个以上的未知量，解题时通过一定的方法，消去一些未知量，只保留一个未知量，这种类型的问题，叫做消去问题；解决这类问题的方法，就叫做消去法。

消去法一般分为加减消去法、比较消去法和代入消去法三类。

但不管是哪种消去法，我们的解题目的和解题步骤是一样的，都是为了使一个问题中的未知量由多个转为一个，使得问题简化。

[例1】用甲、乙两种糖配成什锦糖，如果用3千克甲种糖和2千克乙种糖配成的什锦糖，比用2千克甲种糖和3千克乙种糖配成的什锦糖每千克贵1．32元，那么1千克甲种糖比1千克乙种糖贵元分析与解答为叙述方便，设1千克甲种糖需a元，1千克乙种糖需b元，依题意有：所以a-b=1．32×5=6．6(元)即l千克甲种糖比l千克乙种耱贵6．6元。

【例2】学校本学期买了6个足球和2个篮球，共付人民币540元，而上学期买了1个足球和2个篮球共付人民币240元。

请问一个篮球和一个足球的售价各是多少元?分析与解答用消去法解应用题，可以先整理条件。

6个足球 2个篮球共540元1个足球 2个篮球共240元从整理条件可以看出，两次买得篮球的个数相同，可以先消去篮球的个数。

两次买得足球的个数相差(6-1)个，两次付得人民币相差(540- 240)元，说明(6-1)个足球的售价刚好是(540-240)元，因此，可求出一个足球的售价，然后求出一个篮球的售价。

(1)一个足球的售价是：(540-240)÷(6-1)=300÷5=60(元)(2)一个篮球的售价是：(240-60)÷2=180÷2=90(元)或：(540-60×6)÷2=180÷2=90(元)答：一个篮球的售价是90元，一个足球的售价是60元。

[例3] 10头牛和2匹马每天吃草170千克，4头牛和10匹马每天吃草160千克，每头牛和每匹马各吃草多少千克?思路剖析按对应关系，排列题中条件：10头牛 2匹马每天吃草170千克4头牛 10匹马每天吃草160千克我们不难发现马每天吃草的数量有倍数关系存在，如果把10头牛和2匹马每天的吃草量扩大5倍，这时可有如下关系：50头牛 10匹马每天吃草850千克4头牛 10匹马每天吃草160千克这样我们就可以用减法消去马每天的吃草量，得到(50-4)：46头牛吃草(850-160)=690千克，所以每头牛每天吃草量是：690÷46=15(千克)，每匹马每天吃草量是：(170-15×10)÷2=10(千克)解答列综合算式为：牛每天吃苹量： (170×5-160)÷(10×5-4)=15(千克)马每天吃草量：(170-15×lO)÷2=10(千克)答：每头牛每天吃草15千克，每匹马每天吃草10千克[例4】开学时，学校第一次买来8张课桌和5把椅子，共付人民币330元，第二次又买来4张课桌和20把椅子，共付人民币480元。

有一类问题，告诉我们最后的结果，让我们从结果出发，根据已知条件和现有的知识，一步步倒着分析推理，直到退还到原来的出发点。

这类问题叫做还原问题；这样逆向推理，解决问题的方法叫做还原法(也叫倒推法)。

解决还原问题的基本思路是：一步一步退回去。

也就是说，原来加的，退回去用减；原来减的，退回去用加；原来乘的，退回去用除；原来除的，退回去用乘。

还原法的精髓就是先找原运算的逆运算。

原问题，所以根据我们的基本思路：一步步往回退，从结果5出发，做除的逆运算乘，接着做减的逆运算加，然后做乘的逆运算除，最后做加的逆运算减，即可得最初的数。

解答(1)如果没有除以5，这个数是：5×5=25(2)如果没有减去5，这个数是：25+5=30(3)如果没有乘以5，这个数是：30÷5=6(4)如果没有加上5，这个数是：6-5=1综合算式：(5×5+5)÷5-5=(25+5)÷5-5=30÷5-5=6-5=1答：这个数为1。

[例3] 小东在做整数加法运算时，把一个加数个位上的7看成了1，把另一个加数十位上的3看成了8，结果所得的和是342，请问这道题的正确答案应该是多少?思路剖析把个位上的7看成了l，那么和就减少了(7-1)=6，把十位上的3看成了8，那么和就增加了(8-3)×10=50，再根据加和减的互逆关系，把错误的和加上减少的，减去增加的，就可得出正确的答案。

解答要求这道题的正确答案是多少，可以先求出当把个位上7看成1时，和减少了多少，还需要求出当把十位上的3看成8时，和增加了多少?(1)把个位上的7看成1时，和减少了：7-l=6(2)把十位上的3看成8时，和增加了：【例‘1】李老师在黑板上写了若干个从l开始的连续正整数l，2，3，…然后擦掉其中一个，剩下的数的平均数是10．8。

那么，被擦掉的那个正整数是多少?分析与解答以上分数的分子表示去掉一个正数的和，分母表示个数。

在这里讲的数学游戏主要有数学谜语、奇妙的幻方和破数阵三个部分。

数学谜语是一种有趣的数学问题，也是锻炼人的思维的体操，它对我们学习数学，提高分析问题的能力是非常有益的。

数学谜语的特点是给出运算式子，但式子中的数学有些是用字母或汉字来代表的，要求我们根据它们的关系和特征，进行恰当的判断和推理，从而确定这些字母或汉字所代表的数。

解题时，选择有特征的部分作为突破口是解答这类问题的关键；其次还可以采用试验、估算的方法。

幻方是我国丰富的文化遗产之一，在古代就有“河图”、“洛书”的传说。

到了宋朝，杨辉对幻方已有较深的研究。

把一些自然数填在纵横都相等的正方形内，使每一行、每一列和每一对角线上各个数之和都相等，这样的方阵图叫做幻方。

数阵是某些数按照一定的规律排列成的一种图形，它是由幻方演变出来的一种数学图。

做填数阵的题时，一般要注意交叉点上的数的填写。

【例2】某校人数是一个三位数，平均每个班级36人，若将全校人数的百位数与十位数对调，则全校人数比实际少180人，那么该校人数最多可以达到人。

[例3] 如图l是一个小数的除法竖式，其中算式中所注明的两个字母要求：A<曰，那么满足这个竖式的除数与商的和是分析与解答由竖式可知：商的中间一位是0，商的末位乘以除数应是整百数，又因为被除数的首位是6，所以商的首位和除数的首位必须大于7，不难推出除数是75，商的末位是4或8。

当商的末位是4时，A>B，当商的末位是8，商的首位是9时，A=l，B=5，符合题意。

所以除数和商的和为75+9．08=84．08。

【例4] 在口里填入合适的数，使算式成立。

分析与解答确定加法竖式和减法竖式中的数字，主要根据加法和减法的互逆运算关系。

各个数位上的加数都可以看作是和减去一个加数得到的，加或减时要注意进位和退位。

(1)和的个位数是8。

被加数的个位数是2，加数的个位数为8-2=6。

和的十位数是7，加数的十位数是4，被加数的十位数为7-4=3。