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初中数学二次根式的运算二次根式是初中数学中的重要概念之一，通过对二次根式的运算，可以提高学生的数学计算能力和思维能力。
本文将介绍二次根式的运算法则，并以实例来说明。
一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数，称为被开方数；√符号称为二次根号。
二次根式可以简化或者进一步运算，下面将介绍常见的二次根式运算法则。
二、二次根式的运算法则1. 同底数的二次根式相加减如果二次根式的底数相同，我们可以将它们相加或相减。
例如：√a + √b = √(a+b)√a - √b = √(a-b)例如，计算√5 + √3：√5 + √3 = √(5+3) = √82. 二次根式的乘法二次根式乘法运算可以使用分配律的性质，例如：√a * √b = √(ab)例如，计算√2 * √3：√2 * √3 = √(2*3) = √63. 二次根式的除法二次根式除法运算可以使用相乘后再开方的方式，例如：√a / √b = √(a/b)例如，计算√8 / √2：√8 / √2 = √(8/2) = √4 = 24. 二次根式的化简有时候我们可以对二次根式进行化简，将其变为更简单的形式。
例如：√(a^2) = a√(a*b) = √a * √b例如，化简√(9*4)：√(9*4) = √36 = √(6^2) = 6三、实例应用现在我们通过一些实例来进一步理解和应用二次根式的运算法则。
实例1：计算√(2+√7) * √(2-√7)根据乘法运算法则：√(2+√7) * √(2-√7) = √[ (2+√7) * (2-√7) ]= √[ 4 - (√7)^2 ]= √[ 4 - 7 ]= √(-3)实例2：计算√3 + √75 - √27根据加减法运算法则：√3 + √75 - √27 = √3 + √(25*3) - √(9*3)= √3 + 5√3 - 3√3= 3√3实例3：计算√(2 + √3) * √(2 - √3)根据乘法运算法则：√(2 + √3) * √(2 - √3) = √[ (2 + √3) * (2 - √3) ]= √[ 4 - (√3)^2 ]= √[ 4 - 3 ]= √1 = 1综上所述，本文介绍了初中数学中二次根式的运算法则，包括同底数的二次根式相加减、二次根式的乘法和除法以及二次根式的化简。
数学八下二次根式
1.定义：一般地，形如√a（a≥0）的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。
当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，在实数范围内，这样的二次根式是没有意义的。
2.最简二次根式：在二次根式的化简过程中，无论是计算还是得出最后的结果，二次
根式必须化为最简形式，即被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
3.二次根式的加减法：
•同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
•合并同类二次根式：将几个同类二次根式合并为一个二次根式。
•加减法则：在进行二次根式的加减运算时，首先需要将每个二次根式化为最简形式，然后找出被开方数相同的项进行合并。
4.二次根式的乘除法：
•乘法：当两个二次根式相乘时，将被开方数相乘，而根指数保持不变。
然后，将结果化为最简二次根式。
•除法：与乘法类似，当两个二次根式相除时，将被开方数相除，根指数保持不变，并将结果化为最简二次根式。
二次根式乘除运算法则1.二次根式乘法法则：两个二次根式相乘时，我们可以将它们的系数相乘，并将根号内的值相乘，然后合并同类项。
例如：√2*√3=√(2*3)=√6当系数为负数时，我们可以先将负号移到根号前，然后再进行乘法运算。
例如：-√2*√3=-(√2*√3)=-√(2*3)=-√6如果两个二次根式都有分子和分母，我们可以对分子和分母分别进行乘法，然后将最终结果的分子和分母进行简化。
例如：(√2/√3)*(√5/√7)=(√(2*5)/√(3*7))=(√10/√21)2.二次根式除法法则：两个二次根式相除时，我们可以将它们的系数相除，并将根号内的值相除，然后将同类项合并。
例如：√6/√2=√(6/2)=√3当系数为负数时，同样可以先将负号移到根号前，然后再进行除法运算。
例如：-√6/√2=-(√6/√2)=-√(6/2)=-√3如果被除数和除数都有分子和分母，我们需要对被除数和除数的分子和分母进行分别进行除法，然后将最终结果的分子和分母进行简化。
例如：(√10/√2)/(√5/√3)=(√10*√3)/(√2*√5)=(√(10*3)/√(2*5))=(√30/√10)=(√(30/10))=√33.提取公因式的技巧：当需要进行二次根式的加减运算时，我们可以先提取公因式，再合并同类项。
例如：√16+√36=4√1+6√1=4+6=10如果二次根式中的根号内的表达式可以进行因式分解，我们可以先将根号内的表达式进行因式分解，然后再进行合并。
例如：√20+√8=√(4*5)+√(4*2)=2√5+2√2=2(√5+√2)4.合并同类项的方法：当有多个二次根式需要进行合并时，我们需要保证它们的根号内的表达式相同，然后将它们的系数相加或相减，保持根号不变。
例如：2√5+3√5=(2+3)√5=5√5以上就是二次根式乘除运算的基本法则和技巧。
在实际应用中，我们需要灵活运用这些法则和技巧，以便在解决问题时快速而准确地进行计算。
二次根式加减乘除混合运算考点与解析1．计算：．考点：二次根式的乘除法．专题：计算题．分析：按照•=，从左至右依次相乘即可．解答：解：，=2．点评：本题考查二次根式的乘法运算，比较简单，注意在运算时要细心．2．计算：﹣32+×+|﹣3|考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．分析：分别利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质化简求出即可．解答：解：﹣32+×+|﹣3|=﹣9+×+3﹣=﹣5﹣．点评：此题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．3．计算：（﹣1）2015+sin30°+（2﹣）（2+）．考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．分析：运用﹣1的奇次方等于﹣1，30°角的正弦等于，结合平方差公式进行计算，即可解决问题．解答：解：原式=﹣1++4﹣3=．点评：该题主要考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值等知识点及其应用问题；牢固掌握特殊角的三角函数值、灵活运用二次根式的混合运算法则是正确进行代数运算的基础和关键．4．计算：．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：先根据二次根式的乘除法法则得到原式=﹣+2，然后利用二次根式的性质化简后合并即可．解答：解：原式=﹣+2=4﹣+2=4+．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后进行二次根式的加减运算．5．计算：（1）sin60°﹣|﹣|﹣﹣（）﹣1（2）（1+）÷．考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）根据特殊角的三角函数值、分母有理化和负整数指数幂的意义得到原式=﹣﹣﹣2，然后合并即可；（2）先把括号内合并和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．解答：解：（1）原式=﹣﹣﹣2=﹣2；（2）原式=•=x．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂和分式的混合运算．6．计算：（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：首先根据零指数幂、负整数指数幂的运算方法，二次根式的除法的运算法则，以及绝对值的求法计算，然后根据加法交换律和结合律，求出算式（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1的值是多少即可．解答：解：（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1．=1+3=（1+2+3）=6+0=6点评：（1）此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a0=1（a≠0）；（2）00≠1．（3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a﹣p=（a≠0，p为正整数）；（2）计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；（3）当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．（4）此题还考查了绝对值的非负性和应用，要熟练掌握．7．化简：（1）（2）（3）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）、（2）利用二次根式的性质把二次根式化为最简二次根式；（3）根据平方差公式计算．解答：解：（1）原式=4；（2）原式=；（3）原式=（﹣）（+）=3﹣2=1．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．8．计算：（1）（2）﹣5+6（3）×﹣（4）﹣π（精确到0.01）．考点：二次根式的混合运算．分析：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）根据二次根式的乘法法则运算；（4）把≈1.414，π=3.142代入原式进行近似计算即可．解答：解：（1）原式=2+4﹣=5；（2）原式=4﹣+=3；（3）原式=﹣=20﹣3=17；（4）原式≈0.5+1.414﹣3.142≈﹣1.23．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．9．计算：﹣﹣（）2+|2﹣|．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：先把各二次根式化为最简二次根式，再根据绝对值的意义去绝对值，然后合并即可．解答：解：原式=2﹣﹣2+2﹣=．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．10．计算：（）﹣1﹣|2﹣1|+．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据负整数指数幂和分母有理化的意义得到原式3﹣2+1+，然后合并即可．解答：解：原式=3﹣（2﹣1）+=3﹣2+1+=4﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．11．计算：+（﹣）+．考点：二次根式的混合运算．分析：先进行二次根式的化简和乘法运算，然后合并．解答：解：原式=+1+3﹣3+=4﹣．点评：本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简和乘法法则．12．计算：（）﹣2﹣+（﹣6）0﹣．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=4﹣4+1﹣，然后进行二次根式的除法运算后合并即可．解答：解：原式=4﹣4+1﹣=1﹣2=﹣1．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值．13．计算：（2﹣）2+﹣（）﹣1．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据完全平方公式和负整数指数幂的意义得到原式=4﹣4+3﹣3，然后合并即可．解答：解：原式=4﹣4+3﹣3=1﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．14．计算（1）（2）．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：（1）先算负指数幂，0次幂和绝对值，再进一步合并即可；（2）先利用平方差公式和二次根式的性质化简，再进一步合并即可．解答：解：（1）原式=2﹣1+3=4；（2）原式=2﹣3+﹣2=﹣3．点评：此题考查二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质化简以及乘法计算公式是解决问题的关键．15．（1）计算：4×÷﹣2sin30°﹣（）﹣1（2）化简：÷﹣．考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：（1）分别进行二次根式的乘法运算、除法运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂等运算，然后合并；（2）根据分式的混合运算法则求解．解答：解：（1）原式=10÷﹣2×﹣2=10﹣1﹣2=7；（2）原式=•﹣=﹣=．点评：本题考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．16．计算：（1）+（﹣2013）0﹣（）﹣1+|﹣3|（2）÷﹣×+．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：（1）根据零指数幂和负整数指数幂的意义得到原式=3+1﹣2+3，然后进行加减运算；（2）根据二次根式的乘除法则运算．解答：解：（1）原式=3+1﹣2+3=5；（2）原式=﹣+2=4﹣+2=4+．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和负整数指数幂．17．计算（1）÷+﹣3（2）（+）（﹣）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）先进行二次根式的除法运算，再先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用平方差公式计算．解答：解：（1）原式=+2﹣3=0；（2）原式==a﹣2b．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．18．（1）（2）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）先进行乘方和开方运算，再进行乘法运算，然后进行减法运算；（2）先去括号，然后合并即可．解答：解：（1）原式=4+4×（﹣）=4﹣3=1；（2）原式=2+2﹣=2+．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．19．计算题：（1）+﹣；（2）（1+）（﹣）﹣（2﹣1）2．考点：二次根式的混合运算．分析：（1）先进行二次根式的化简，然后合并；（2）先进行二次根式的乘法运算，然后合并．解答：解：（1）原式=3+﹣=4﹣；（2）原式=﹣+﹣3﹣13+4=4﹣2﹣13．点评：本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则以及二次根式的化简．20．计算（1）+（3+）（2）（﹣）×2（3）先化简，再求值．（a+）﹣（﹣b），其中a=2，b=3．考点：二次根式的混合运算；二次根式的化简求值．专题：计算题．分析：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据二次根式的乘法法则运算；（3）先把各二次根式化为最简二次根式得到原式=+2﹣+，然后合并后把a和b的代入即可．解答：解：（1）原式=3+3+2=8；（2）原式=2﹣2=4﹣；（3）原式=+2﹣+=+3当a=2，b=3时，原式=+3．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了二次根式的化简求值．。
二次根式运算公式二次根式的运算公式，那可是数学世界里相当重要的一部分！就像我们生活中的钥匙，能打开很多难题的大门。
先来说说二次根式的乘法公式，就是根号 a 乘以根号 b 等于根号下a×b（a≥0，b≥0）。
比如说，有一个长方形，它的长是根号 5 厘米，宽是根号 3 厘米，那这个长方形的面积是多少呢？这时候乘法公式就派上用场啦！面积就是根号 5×根号 3 ，等于根号下 5×3 ，也就是根号 15 平方厘米。
还有二次根式的除法公式，根号 a 除以根号 b 等于根号下 a÷b（a≥0，b＞0）。
我记得有一次在课堂上，我给学生们出了一道题：一个面积是 12 平方厘米的正方形，它的边长是多少？这其实就是让他们用除法公式来解决。
因为正方形面积等于边长的平方，所以边长就是根号12 ，再用除法公式化简，就是 2 倍根号 3 厘米。
再来说说二次根式的加减法。
这就像是把不同种类的水果分类，只有同类的二次根式才能相加减。
比如说，根号 2 加上 3 倍根号 2 ，那就等于 4 倍根号 2 。
有一次，我在菜市场买菜，看到卖水果的摊位。
摊主在整理一堆水果，把苹果放在一起，香蕉放在一起，橙子放在一起。
这让我一下子就想到了二次根式的加减法，只有同类的才能合并在一起，就像这些水果一样。
而在实际的运算中，我们常常需要先把二次根式化简，化成最简二次根式，再进行运算。
这就好比我们把杂乱的房间整理干净，东西归位，才能更清楚地看到我们拥有什么，需要处理什么。
在学习二次根式运算公式的时候，同学们可千万不能马虎。
要多做练习题，就像我们熟悉走路一样，走得多了，自然就熟练了。
而且要认真仔细，一步一个脚印，不然就容易出错。
总之，二次根式运算公式是我们解决数学问题的有力工具，只要掌握好了，就能在数学的海洋里畅游，轻松应对各种难题！希望同学们都能跟这些公式成为好朋友，让它们帮助我们在数学的道路上越走越远！。
二次根式计算范文
1.二次根式的化简：
二次根式的化简指的是将含有二次根式的算式化为最简形式。
例如，将√8化为2√2
2.二次根式的加减：
二次根式的加减指的是对含有二次根式的算式进行加法或减法运算。
例如，(√2+√3)+(√2-√3)=2√2
3.二次根式的乘法：
二次根式的乘法指的是对含有二次根式的算式进行乘法运算。
例如，(√2+√3)*(√2-√3)=2-√6
4.二次根式的除法：
二次根式的除法指的是对含有二次根式的算式进行除法运算。
例如，(√2+√3)/(√2-√3)=(√2+√3)*(√2+√3)/(√2-
√3)*(√2+√3)=5+2√6
5.二次根式的开方：
二次根式的开方指的是对含有二次根式的算式进行开方运算。
例如，开方(√2+√3)=1.316...
6.二次根式的化简与运算：
对于复杂的二次根式表达式，可以通过化简和运算得到最简形式。
例如，化简(√2+√8)/(√2-√8)*(√2+2√6)=3√2+5√6
以上是关于二次根式计算的基本内容，如果需要进一步了解，可以深入研究相关的数学知识。
二次根式加减乘除混合运算1. 二次根式的基本概念首先，咱们得搞清楚二次根式到底是个啥。
说白了，二次根式就是形如√a的表达式，其中a是个非负数。
想象一下，你在数轴上走，√a就像是在告诉你“嘿，我是a的平方根哦！”这听上去是不是有点儿像魔法？当然，实际运算的时候，我们不想让它看上去那么复杂，毕竟数学就像炒菜，简单易懂才能上手。
对于√4，大家都知道它等于2；而√9，那更是家喻户晓的3。
所以，掌握这几个基本的二次根式，基本上就是开启了你的数学魔法门。
1.1 加法与减法好了，既然咱们已经知道了二次根式的基本概念，接下来就要聊聊加法和减法了。
比如说，√2 + √2，这里其实就简单了，两者相加就是2√2。
想象一下，两个好朋友聚会，互相拉着手，最后变成了一起组成的团体；而如果你是√2 √1，那就没什么好说的了，直接是√2 1，这就像两个朋友之间的争吵，没办法和好如初，只能各自回家。
其实，二次根式的加减法就像日常生活中的和谐与矛盾，理解了这些运算，就能轻松应对。
1.2 乘法与除法接下来，我们聊聊乘法和除法，听起来是不是有点儿严肃？其实，这就像是二次根式的舞会，大家都得找个搭档。
√2 × √3就好比是两位舞者，翩翩起舞，结果是√6。
而如果你要除以√2，那就变成了√3 / √2，简直就是高难度的单人舞，没关系，慢慢来，先练习好基本步伐，再去挑战复杂的动作。
无论是乘法还是除法，记住一条：根号的相乘就像是多了一个舞伴，而相除则是少了一个，这样想起来是不是轻松多了？2. 混合运算的技巧这儿我们要进入混合运算的领域，听起来是不是有点儿复杂？别担心，咱们可以把它当作一道拼图，把不同的部分拼接在一起。
比如说，√2 + √3 × √2，这里可得注意顺序，先乘后加，就像做菜要先炒再加料，结果是√2 + 3 = √2 + 3√2。
这样一来，二次根式就像是调味品，搭配得当才是美味。
我们要记得，混合运算的关键在于顺序，确保你把每一步都按部就班地做了，就不会出错。
二次根式的运算二次根式是代数中常见的一种形式，它包括了平方根和其他次方根。
在数学中，我们经常需要对二次根式进行各种运算。
本文将介绍二次根式的基本运算方法和相关概念。
一、二次根式的定义二次根式可以表示为√a的形式，其中a为非负实数。
根号下的数称为被开方数，它代表了一个数的平方根。
二次根式也可以写为指数形式，如a的1/2次方或a的1/3次方。
二、二次根式的基本运算1. 二次根式的加减法对于同类项的二次根式，可以对它们的被开方数进行加减运算。
例如，√2 + √3可以简化为√(2 + 3)，即√5。
2. 二次根式的乘法二次根式的乘法运算需要注意求根的法则。
例如，√2 × √3可以化简为√(2 × 3)，即√6。
3. 二次根式的除法同理，对于二次根式的除法运算，我们需要将除数和被除数的根号下的数相除，并合并同类项。
例如，√6 ÷ √2 可以化简为√(6 ÷ 2)，即√3。
三、二次根式的化简有时候，我们需要将二次根式进行进一步的化简。
以下是几种常见的化简方式：1. 化简平方根如果一个二次根式的被开方数可以被完全平方数整除，那么我们可以化简为一个整数。
例如，√4可以化简为2。
2. 合并同类项对于具有相同根号下数的二次根式，我们可以合并它们，得到一个更简洁的表达式。
例如，√2 + √2可以合并为2√2。
3. 有理化分母当二次根式出现在分母中时，我们通常需要对分母进行有理化。
有理化的目的是将分母化为有理数，方便进行运算。
例如，将1/√3有理化分母，可以得到√3/3。
四、二次根式的应用二次根式在代数中有着广泛的应用。
它常出现在几何学、物理学等领域的计算中。
在几何学中，二次根式可以表示线段长度、面积以及体积等。
例如，计算某个多边形的面积时，可能需要计算边长的二次根式。
在物理学中，二次根式可以表示物理量的大小。
例如，物体的质量、速度等都可以用二次根式来表示。
总结：二次根式是代数中常见的一种形式，它包括平方根和其他次方根。
二次跟式的加减乘除练习知识点1.二次根式的有关概念：(1)二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。
(2)最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式；①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含_______________________。
如不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而，，5，都是最简二次根式。
(3)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果_____________，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
如, , 就是同类二次根式，因为=2，=3，它们与的被开方数均为2。
(4)有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。
如与，a+与a-，-与+，互为有理化因式。
2.二次根式的性质：(1)(a≥0)是一个非负数, 即≥0;(2)非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)；(3)某数的平方的算术平方根等于某数的__________，即=|a|=(4)非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=·（a≥0,b≥0）。
(5)非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即=（a≥0,b>0）。
3.二次跟式的加减法则：同类二次根式可以合并，合并时，只合并二次根式前边的倍数，被开方数不变。
知识点四：二次根式的乘除1.二次根式的乘法法则：).0,0(≥≥=•baabba反过来，就得到).0,0(≥≥•=babaab二次根式的除法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。
b a ba =)0,0(>≥b a 知识点五: 二次根式的性质a (a ≥0)是一个非负数, 即a ≥0;(2)非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：(a )2=a(a ≥0)；(3)某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|=(4)非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即b a ab •=（a ≥0,b ≥0）。
(5)非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即ba=ba （a ≥0,b>0）。
知识点六: 二次根式的化简求值的化简方法)0,0(>≥a b a b 。
把ab化为ab，然后分母有理化为aab 。
利用商的算术平方根的性质和分式的基本性质化去根号内的分母，即aab a ab a b ==2。
3.化简二次根式k：运用积的算术平方根的性质()[]0,0,≥≥•=b a b a ab 二次根式的性质[])0(2≥=a a a及因式分解等知识化简二次根式k。
知识点随练1.二次根式的概念和性质【例1】（2014湖北宜昌一中期中）在式子2231,,1,0,,22x a x ++-中，一定是二次根式的有（ ）个 个 个 个【例2】x 是怎样的数时，下列各式有意义（1）1x 2+ (2)1-x 1 (3)()2-x 1-x 1x ++2. 计算 【例3】（1）25； （2）2)5.1(-；（3）2)3(-a（a<3）；（4）2)32(-x（x<23）3.二次根式的定义和非负性的应用【例4】（2014吉林四平二中期中）已知实数x满足20052006x x-+-=x，求x的值。
【例5】实数a，b在数轴上的位置如图，那么化简ba--2a的结果是（）+b4.二次根式的综合应用【例6】（2014浙江湖州中考）已知实数满足324422+--+-=xxxy，求9x＋8y的值。
.【例7】在实数范围内分解因式：(1)x4－9；(2)3x3－6x； (3)3x2－5．5、二次根式乘除例1、实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+2)(ba-的结果是（）。
-2a+b B．2a-b C．-b D．B例2、（2017•杭州一模）下列二次根式中，最简二次根式的是（）A.51B.5.0C.5D.50例3、（2017•农安县校级模拟）下列计算，正确的是（）A.()5423222baba=B.()222baba-=-C.yxyxyx+=++22D.()()y xyxyx-=-+例4、（2017•农安县校级模拟）下列计算，正确的是（）A.()5423222baba=B.()222baba-=-b aOC.y xyxyx+=++22D.()()y xyxyx-=-+练习练习1. 在式子()12,02,1,42223+-<--+xxxxayx，，4，x中，是二次根式的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个练习2. 下列各式中，是二次根式的是（）7-B.32 C.a-D.)0(≥xx练习3. 当x取什么实数时，下列各式有意义（1）x-；⑵()212-x；⑶xx-⋅-21；练习4. （1）()()xx--21；（2）5124--xx；（3）311x--练习5. 计算下列各式：（1）()213；（2）()23.5-；（3）26；（4）()2100-练习6. （1）221917--（2）1834练习7．（2014浙江温州一中月考）已知443422-=++++-ccba，求cba)(的值．练习8. 已知实数a满足aaa=-+-20092008，求22008-a的值。
练习9．实数a在数轴上的位置如图所示，化简：=-+-2)2(|1|aa__ ___。
练习10．已知△ABC的三边分别为则=+----||)(2cabcba___ ___练习11．若的值。
求xyz,0)4(322=-+-++zyx练习12．若,x y是实数，且21122y x x<-+-+，化简22yy--练习13．在实数范围内分解因式：xx363-⑵3322+-xx练习14、下列哪一个选项中的等式成立（）22.2=A33.3=B44.4=C55.5=D练习15、如果,2)2(2a a -=-那么（ ）A ．a ＜2B ．a ≤2C ．a＞2D ．a ≥2练习16、实数a 、b 在数轴上的对应点如图，化简222)(b a b a -+-的结果是（ ）A ．2a-2bB ．0C ．-2aD ．2b练习17、（2017春•淮安区期末）下列变形正确的是（ ）94)9)(4(-⨯-=-- B.221441164116=⨯=⨯=C.ba b a +=+2)( D.12425242522=-=-练习18、（2016春•利川市校级月考）a•50的值是一个整数，则正整数a 的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．5练习19、计算32•的结果是（ ）5 B.6 C. 32 D.23练习20、（2015春•北流市期中）已知13+=m ，132-=n ，则m 和n 的大小关系为（）A.n m= B.1=mn C.n m -= D.1-=mn练习21、（2017•济宁模拟）2的倒数是（）21C.22 D.22-1．下列根式能合并的一组是（ ）A ． a 和3a2B ．a 1a aC ．2a和23a D 33a 43a2．（2014浙江丽水一中期中）若最简二次根式3a 4a 3b -+2a b 6-+能合并，则a ，b 的值分别是（ ）A ．2和1B ．1和2C ．2和2D ．1和13．若m 4n +3m n +m ，n 的值为（ ）A ．m=1，n=1B ．m=0，n=2C ．m=1，n=1或m=0，n=2D ．m=2，n=04．下列各式正确的是（ ） ①a b a b +=+ ②22a b a b -=- ③5x 223-=④ax b x a bx -=- ⑤22a 33a 55a += ⑥23a 3a 33a +=A ．①③B ．②⑤C ．④D ．⑥5．计算1212434827-+的值是（ ）A ．1405 B ．703C ．1403 D ．7036．已知484x 23-=则x 的值是（ ）A ．3B ．32C ．34D ．387．若a ＞0，b ＞0，计算b a ab +＝______。
8．如果3x 2124-=x ＝______。
9．若a ，b 1818a b 28++=+则a ＋b_____。
10．已知x ＋y ＝5,xy ＝3 ，则x y y x +=________。
11．计算：332x x 19x 6x x 34x +-的结果是______。
12．已知1x+210x =-+，则221x x +=_______。
13．计算：（1）2182216612527-++；（2）11111(10836)2(27)32383----；22222b b ba 8a (ab )82a 2a 2b a b ⎡⎤--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦14．已知x 31=+，y 31=-，求2222x y x y xy -+的值。
15．已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简22a a+b (c a)b c-----。
已知一个直角三角形的两直角边分别为(5厘米和(5+厘米，求这个三角形的周长和面积。
17.（2017•广州）下列运算正确的是（ ）A.263b a b a +=+ B.3232ba b a +=+⨯ C.a a =2 D.)0(≥=a a a18.（2017•资阳）下列运算正确的是（ ）A.222)(y x y x +=+B.()532x x = C.x x =2 D.326x x x=÷19.（2016•南充）下列计算正确的是（ ）A.3212= B.2323= C.x x x -=-3 D.x x =220.（2017•澧县一模）下列运算正确的是（ ） A.1021010=• B.()532a a =C.a a a=-3445 D.222743a a a =+21.（2017春•新宾县期中）已知53+=a ,352-=b ,则a 与b 的关系是（ ）A ．a=bB ．ab=1C ．a=-bD ．ab=-522.计算：().___2010120122011201020092=-+⨯⨯⨯23.（2017春•萧山区校级期中）如果一个三角形的三边长分别为52361227212--+-k k k k ，则化简、、的结果是（ ）A ．-k-1B ．k+1C ．3k-11D ．11-3k24.（2017春•蒙城县期末）如果2121--=--x x x x ，那么x 的取值范围是______.。
