一元二次方程2(新编2019教材)

2.5 一元二次方程的应用第1课时 增长率问题与经济问题双基演练1．某药品原来每盒售价96元，由于两次降价，现在每盒54元，•则平均每次降价的百分数为_______．2．某农场的粮食产量，若两年内从25万公斤，增加到30.25万公斤，则平均每年的增长率为_______．3．某人在银行存了400元钱，两年后连本带息一共取款484元，设年利率为x ，则列方程为__________________，解得年利率是_________．4．某市2002年底人口为20万人，人均住房面积9m 2，计划2003年、2004年两年内平均每年增加人口为1万，为使到2004年底人均住房面积达到10m ，则该市两年内住房平均增长率必须达到_________．=3.317，精确到1%）5．某林场原有森林木材存量为a ，木材每年以25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为x ，•••则经过一年木材存量达到________，经过两个木材存量达到__________．6．某商品连续两次降价10%后为m 元，则该商品原价为（ ）A ．1.12m 元B ．1.12m 元C ．0.81m 元 D ．0.81m 元 7．某钢铁厂去年1月份某种钢的产量为5000吨，3月份上升到7200吨，设平均每月的增长率为x ，根据题意，得（ ）A ．5000（1+x 2）=7200B ．5000（1+x ）+5000（1+x ）2=7200C ．5000（1+x ）2=7200D ．5000+5000（1+x ）+5000（1+x ）2=72008．某书城开展学生优惠购书活动，凡一次性购书不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．•某学生第一次去购书付款72元，第二次又去购书享受了八折优惠，他查看了所买书的定价，•发现两次共节省了34元，则该学生第二次购书实际付款________元．能力提升9．益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，•若每件商品售价a 元，则可卖出（350-10a ）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？10．恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，•商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193．6万元，求这两个月的平均增长率．11．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，•现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，•如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树?聚焦中考12．（河北省）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，预计2009年投入5 000万元．设教育经费的年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A ．23000(1)5000x +=B ．230005000x =C ．23000(1)5000x +=％D ．23000(1)3000(1)5000x x +++=13．(浙江省衢州市）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是( )A 、256)x 1(2892=-B 、289)x 1(2562=-C 、256)x 21(289=-D 、289)x 21(256=-14．（乌鲁木齐）．乌鲁木齐农牧区校舍改造工程初见成效，农牧区最漂亮的房子是学校．2005年市政府对农牧区校舍改造的投入资金是5786万元，2007年校舍改造的投入资金是8058.9万元，若设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为 ．15．（贵阳市）汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．（1）该公司2006年盈利多少万元？（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？16.（南京）西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?答案:1．25% 2．10% 3．400（1+x ）2=484，10%4．11% 5．54a-x ，2516a-94x 6．C 7．C8．204 点拨：第一次购书付款72元，享受了九折优惠，实际定价为72÷0.9=•80元，省去了8元钱．依题意，第二次节省了26元．设第二次所购书的定价为x 元．（x-200）×0.8+200×0.9=x-26．解之得x=230．所以第二次购书实际付款为230-26=204元．9．解：依题意：（a-21）（350-10a ）=400，整理，得a 2-56a+775=0，解得a 1=25，a 2=31．因为21×（1+20%）=25.2，所以a 2=31不合题意，舍去．所以350-10a=350-10×25=100（件）．答：需要进货100件，每件商品应定价25元．10．解：设这两个月的平均增长率是x ，依题意列方程，得200（1-20%）（1+x ）2=193.6，（1+x ）2=1.21，1+x=±1.1，x=-1±1.1，所以x 1=0.1，x 2=-2.1（舍去）．答：这两个月的平均增长率是10%．11．设多种x 棵树，则（100+x ）（1000-2x ）=100×1000×（1+15.2%）•，•整理，•得：•x 2-400x+7600=0，（x-20）（x-380）=0，解得x 1=20，x 2=38012．A 13。

第10讲从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式知识点一二次函数的零点1．一般地，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)当函数值取零时自变量x 的值，即二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交点的横坐标，也称为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的零点．2．函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x 轴交点的横坐标，也是函数值为零时自变量x 的值，也是函数相应的方程的实数根．知识点二一元二次方程的根、二次函数的图象、二次函数的零点之间的关系当a >0时，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点之间的关系如表所示：判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根有两个相异的实数根x 1，2＝－b ±b 2－4ac2a有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b 2a没有实数根二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点有两个零点x 1，2＝－b ±b 2－4ac2a有一个零点x ＝－b 2a无零点知识点三一元二次不等式及解法1．一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，称为一元二次不等式．2．一元二次不等式的解法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解．当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m；若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n.知识点四二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系考点一：求二次函数的零点例1(1)二次函数y＝x2－7x＋12的零点为________；(2)若函数y1＝x2－ax－b的图象如图所示，则函数y2＝bx2－ax－1的零点是________．【总结】变式求下列函数的零点．(1)y＝3x2－2x－1；(2)y＝ax2－x－a－1(a∈R)；(3)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示．考点二：函数的零点个数的判断与证明例2若a>2，求证：函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点．【总结】变式（1）求函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件．（2）求证：函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点．考点三：二次函数零点的分布探究例3(1)判断二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)是否存在零点；(2)若二次函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4(a≠2)的两个零点均为正数，求实数a的取值范围．【总结】变式已知函数y＝x2－x－a2＋a(a∈R).(1)若该函数有两个不相等的正零点，求a的取值范围；(2)若该函数有两个零点，一个大于1，另一个小于1，求a的取值范围．考点四：不含参数的一元二次不等式的解法例4解下列不等式：(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；(3)4x2＋4x＋1>0.【总结】变式（1）不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集是()A ．{x |x <－1}B |xC |－1<x D |x <－1或x （2）解不等式：－2<x 2－3x ≤10.考点五：含参数的一元二次不等式的解法例5(1)解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0；(2)已知关于x 的不等式(m 2＋4m －5)x 2－4(m －1)x ＋3>0对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【总结】变式已知函数y ＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R)，且y ≤0的解集为[－1，2].(1)求函数y 的解析式；(2)解关于x 的不等式m (x 2－x －2)>2(x －m －1)(m ≥0).考点六：一元二次不等式解集逆向应用例6(多选)已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为x |－12<x <2，则下列结论正确的是()C．c>0D．a＋b＋c>0【总结】变式若不等式ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y＝ax2－x－c的图象为()1．函数y＝x2－4x＋3的零点为()A．(1，0)B．(1，3)C．1和3D．(1，0)和(3，0)2．函数y＝x2－2x＋2的零点个数是()C．2D．33．已知p：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有两个异号实数根，q：ac<－1，则p是q的________条件．4．讨论函数y＝(ax－1)(x－2)(a∈R)的零点．5．不等式x(x－9)＜x－21的解集为()A．(3，7)B．(－∞，3)∪(7，＋∞)C．(－7，－3)D．(－∞，－7)∪(－3，＋∞)6．已知a＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＜0的解集是()A．{x|x＞5a或x＜－a}B．{x|x＜5a或x＞－a}C．{x|－a＜x＜5a}D．{x|5a＜x＜－a}7．(多选)关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列正确的是() A．a＜0B．关于x的不等式bx＋c＞0的解集为(－∞，－6)C．a＋b＋c＞0D．关于x的不等式cx2－bx＋a＞08．写出一个解集为(－2，3)的一元二次不等式________．9．已知y＝(x－a)(x－2).(1)当a＝1时，求不等式y＞0的解集；(2)解关于x的不等式y＜0.1．若x 1，x 2是二次函数y ＝x 2－5x ＋6的两个零点，则1x 1＋1x 2的值为()A ．－12B ．－13C ．－16D ．562．函数y ＝x 2－(a ＋1)x ＋a 的零点个数为()A ．1B ．2C ．1或2D ．03．关于x 的函数y ＝x 2－2ax －8a 2(a >0)的两个零点为x 1,x 2，且x 2－x 1＝15，则a ＝()A ．52B ．72C ．154D ．1524．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是()A |x B |－13≤xC ．∅D |x 5．若一元二次不等式kx 2－2x ＋k ＜0的解集为{x |x ≠m }，则m ＋k 的值为()A ．－1B ．0C ．－2D ．26．已知函数y ＝x 2－6x ＋5－m 的两个零点都大于2，则实数m 的取值范围是()A ．[－4，－3)B ．(－4，－3]C ．(－4，－3)D ．(－∞，－4)∪(－3，＋∞)7．(多选)若关于x 的一元二次方程(x －2)·(x －3)＝m 有实数根x 1，x 2，且x 1<x 2，则下列结论中正确的是()A．当m＝0时，x1＝2，x2＝3B．m>－14C．当m>0时，2<x1<x2<3D．当m>0时，x1<2<3<x28．若一元二次不等式kx2－2x＋k＜0的解集为{x|x≠m}，则m＋k的值为()A．－1B．0C．－2D．29．(多选)函数y＝(x－2)(x－4)－1有两个零点x1，x2，且x1＜x2，下列关于x1，x2的关系中错误的有() A．x1＜2且2＜x2＜4B．x1＞2且x2＞4C．x1＜2且x2＞4D．2＜x1＜4且x2＞410．函数y＝x2＋x＋m的两个零点都是负数，则m的取值范围为________．11．求下列函数的零点．(1)y＝x－2x－3；(2)y＝x2－(3a－1)x＋(2a2－2).12．已知函数y＝ax2＋bx＋1有两个零点x1，x2，则“|a|≥1”是“|x1|＋|x2|≤2”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件13．(多选)对于函数y＝ax2－x－2a，下列说法中正确的是()A．函数一定有两个零点B．a>0时，函数一定有两个零点C．a<0时，函数一定有两个零点D．函数的零点个数是1或214．一元二次不等式x2－(a＋1)x＋a＜0(a＞1)的解集中有3个整数，则实数a的取值范围为________．15．已知函数y＝2ax－a＋3在(－1，1)上有零点，则实数a的取值范围是________________．16．解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.17．若函数y＝x2－2ax＋a2－1的两个零点分别为m，n，且m<－1，n>12，求实数a的取值范围．18．已知二次函数y＝x2－4x＋2k.(1)若二次函数y＝x2－4x＋2k有零点，求实数k的取值范围；(2)如果k是满足(1)的最大整数，且二次函数y＝x2－4x＋2k的零点是二次函数y＝x2－2mx＋3m－1的一个零点，求m的值及二次函数y＝x2－2mx＋3m－1的另一个零点．。

《二次函数与一元二次方程、不等式》课标解读教材分析本节内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式是初中从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式的延续和深化，对已学习过的集合与常用逻辑用语、不等式等知识的巩固和运用具有重要作用，也与后面要学习的直线与圆锥面线以及导数等内容密切相关.许多问题的解决都会借助于本节课的知识，是近年来高考综合题的热点，在高中数学中起着广泛的应用工具作用.本节内容包括：从函数观点看一元二次方程、从函数观点看一元二次不等式.通过学习，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，体会数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想，提升学生直观想象和数学运算素养.学情分析学生在初中就已经接触了不等式，并通过从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，有着良好的知识基础.同时学生的心智发育逐渐成熟，发散思维习惯和方式已初步形成，具备了一定的数形结合思想，有着较好的观察与总结、类比、化归、探究的能力.教学建议一方面，引导学生回顾从一次函数的角度看一元一次方程与一元一次不等式，类比学会从二次函数的角度看一元二次方程与一元二次不等式，进一步理解函数、方程和不等式之间的关系，体会数学的整体性，提升数学运算等素养.另一方面，课上通过多列举具体的问题（也可以让学生提出问题或总结常见问题），让学生认识一元二次不等式在现实世界的广泛应用，提升数学建模素养. 学科核心素养目标与素养1.通过学习，理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数之间的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法，培养学生数形结合的能力、分类讨论的思想，积累基本解题经验，达到逻辑推理和直观想象核心素养水平一的层次.2.能够利用一元二次不等式解决一些实际问题，提升数学建模的能力，达到数学建模和数学运算核心素养水平一的层次.情境与问题通过用栅栏围矩形区域种植花卉的情境，引出一元二次不等式，进而探究它与一元二次方程、二次函数之间的关系.内容与节点本节内容为二次函数与一元二次方程、不等式，而一元二次不等式的求解是解不等式的基础和核心，它已成为代数、三角、解析几何交汇综合的部分.过程与方法1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法，强化直观想象和逻辑推理的核心素养水平.2.利用一元二次不等式解决一些实际问题的探究过程，使学生掌握数学建模的方法，巩固数学建模和数学运算的核心素养.教学重点难点重点能借助一元二次函数求解一元二次不等式.难点理解三个“二次”之间的关系.。