2021-2022学年雅安中学高一下学期入学考试数学试题一、单选题1．已知集合{|21}{|0}A x x B x x =-=<，≤≤，则A B =（ ）A ．[21]-，B ．[20)-，C ．(01]，D ．(0)-∞，【答案】B【分析】由交集定义直接求解即可.【详解】由{|21}{|0}A x x B x x =-=<，≤≤可得A B =[20)-，. 故选：B2．函数()=f x ）A ．(0e]，B ．(01]，C ．[e )+∞，D ．[1)+∞，【答案】A【分析】根据对数函数的真数大于0和偶次幂函数的底数非负，便可求得函数()f x 的定义域【详解】根据对数函数的定义域，可得：0x >根据偶次幂函数的底数非负，可得：1ln 0x -≥ 解得：0x e <≤ 故答案选：A3．已知(1)21x f x -=-，则(2)f =（ ） A ．3 B ．5 C ．7 D ．15【答案】C【分析】令3x =可得解.【详解】令3x =，3(2)217f =-=； 故选:C.4．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合．若点(22)P -，在角α终边上，则sin cos αα-=（ ）A ．2-B ．0C 2D 2【答案】D【分析】由三角函数定义求出sin ,cos αα，进而得解. 【详解】由定义可知，22r =2sin 22y r α=2cos 22x r α= 则sin cos 2αα-故选：D5．享有“数学王子称号的德国数学家高斯，是近代数学奠基者之一．[]y x =被称为“高斯函数”，其中R x ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]2.12=，[]33=，[]1.52-=-，设0x 为函数()3log 5f x x x =+-的零点，则[]0x =（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】先根据零点存在定理确定出零点的位置，进而根据高斯函数的定义求得答案. 【详解】因为函数()3log 5f x x x =+-在()0,∞+上单调递增，且()()3310,4log 410f f =-<=->，则存在唯一零点()03,4x ∈，使得()00f x =，由高斯函数的定义可知，[]03x =. 故选：A.6．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)()f x f x +=-，当(0,1]x ∈时，()2ln x f x x =+，则(2021)f =（ ） A ．12B ．2C ．2-D ．12-【答案】C【分析】先根据(3)()f x f x +=-得到()f x 是周期为6的函数，结合函数奇偶性得到答案. 【详解】因为(3)()f x f x +=-，所以(6)(3)f x f x +=-+，所以(6)()f x f x +=，所以()f x 是周期为6的函数，因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-， 故()()()(2021)33761112f f f f =⨯-=-=-=- 故选：C7．为了得到函数sin 2y x =的图象，可将函数πsin(2)3y x =-图象上的所有点（ ）A ．向右平移π3个单位B ．向左平移π3个单位C ．向右平移π6个单位D ．向左平移π6个单位【答案】D【分析】直接根据三角函数的平移规律计算可得.【详解】令()sin 23y f x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则sin 2sin 2663f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴为了得到函数sin 2y x =的图象，可将函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位．故选：D ．8．已知函数sin()(0π)y x ϕϕ=+<<为偶函数，则ϕ=（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．5π6【答案】C【分析】利用诱导公式化为余弦型函数行求解即可． 【详解】因为函数sin()(0π)y x ϕϕ=+<<为偶函数， 所以2k πϕπ=+，k Z ∈，因为0ϕπ<<， 所以当0k =时，2ϕπ=， 故选：C ．9．设32log 2a ，9log 15b ，322c =，则a ，b ，c 大小关系为（ ） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．a b c >> D ．b a c >>【答案】A【分析】利用对数函数的单调性及幂函数的单调性比较大小. 【详解】329333log 15log 15log 42log 222， 即c a b >> 故选:A.10．已知集合{}1, 2, 3A =，集合{}2, 3, 4, 5B =，集合C 满足A C ⋂≠∅且C B ⊆，则满足条件的集合C 的个数为（ ）A ．8B ．12C ．16D ．24【答案】B【分析】根据题意，可知集合B 的子集个数共有4216=个，结合条件得出C ≠∅且{}{}{}4,5,4,5C ≠，从而可得出满足条件的集合C 的个数.【详解】解：集合{}1, 2, 3A =，集合{}2, 3, 4, 5B =， 则集合B 的子集个数共有：4216=个， 又因为集合C 满足A C ⋂≠∅且C B ⊆， 可知C ≠∅且{}{}{}4,5,4,5C ≠，所以满足条件的集合C 的个数为：16-4=12个. 故选：B.11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 在(,0)-∞单调递增，又(2)0f -=，则不等式2(log 1)0f x ->的解集为（ ）A ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(8+)∞，C ．()1,282⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，D ．()1,122⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【答案】C【分析】由函数的奇偶性和增减性画出大致图形，再解对数不等式即可. 【详解】由已知条件画出大致图形，如图，则当2(log 1)0f x ->时，22log 10x -<-<或2log 12x ->，解得()1,282x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，. 故选：C12．已知函数()22ln 040.x x f x x x x ⎧+>=⎨--≤⎩，，， 若函数()()()2212y a f x a f x a ⎡⎤=-++-⎣⎦（其中0a >）有6个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．233⎛⎫⎪⎝⎭， B ．243⎛⎫⎪⎝⎭， C ．1312⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．[)24，【答案】D【分析】画出函数()f x 图像，分析出二次函数零点的分布，列不等式组可得解. 【详解】函数()f x 的图像如下：设()f x t =，则当0t <，方程()f x t =有一个根， 当02t ≤<，方程()f x t =有两个根， 当2t =，方程()f x t =有三个根， 当24t <<，方程()f x t =有四个根， 当4t =，方程()f x t =有三个根， 当4t >，方程()f x t =有两个根， 所以若2t =，4t =为方程()22120at a t a -++-=两根时，原函数有6个零点，得方程组()()22221220421420a a a a a a ⎧⋅-+⋅+-=⎪⎨⋅-+⋅+-=⎪⎩，无解； 若02t ≤<，24t <<为方程()22120at a t a -++-=两根时，原函数有6个零点，得不等式组()()()2220021020221220421420a a a a a a a a a a >⎧⎪⋅-+⋅+-≥⎪⎨⋅-+⋅+-<⎪⎪⋅-+⋅+->⎩，解得24a ≤<， 故选:D. 二、填空题 13．求值：12lg2lg 25-=________． 【答案】2【分析】利用对数的运算性质求解.【详解】()212lg2lg 2lg2lg52lg22lg52lg2lg5225--=-=+=+= 故答案为：214．给出两个条件：①，∈a b R ，()()()f a b f a f b +=；②()f x 在(+)-∞∞，上单调递增．请写出一个同时满足以上两个条件的一个函数________．（写出满足条件的一个函数即可） 【答案】()2x f x =，()4x f x =（答案不唯一）【分析】由条件知，单增的指数函数满足，写出一个即可.【详解】若()x f x a =，则()m n f m n a ++=，()(),m nf m a f n a ==，则()()()f m n f m f n +=；又()f x 在(+)-∞∞，上单调递增，故1a >，()2x f x =，()4x f x =等均满足. 故答案为：()2x f x =，15．已知函数()f x 对任意的x R ∈满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，()21f x x ax =-+，若()f x 有4个零点，则实数a 的取值范围是______． 【答案】()2,+∞【详解】试题分析：由f （﹣x ）=f （x ），可知函数是偶函数，根据偶函数的对称轴可得当x≥0时函数f （x ）有2个零点，即可得到结论． 解：∵f （﹣x ）=f （x ）， ∴函数f （x ）是偶函数， ∵f （0）=1＞0，根据偶函数的对称轴可得当x≥0时函数f （x ）有2个零点，即，∴，解得a ＞2，即实数a 的取值范围（2，+∞）， 故答案为（2，+∞）【解析】函数奇偶性的性质．16．已知函数π()sin()6f x x ω=+（0>ω）．给出以下结论： ①若12ω=，则函数()f x 的最小正周期为4π； ②若12ω=，则函数()f x 在区间ππ[]22，上单调递增；③若2ω=，函数()f x 的图象的对称轴方程为,212k x k Z ππ=+∈； ④若2ω=，[]12,,2t t ππ∈-，12()()1f t f t ，则12t t -的最大值为2π； 其中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④【分析】对①由周期公式可直接判断；对②③，由整体法可判断；对④，结合图象特征可判断.【详解】对①，若12ω=，则24T ππω==，故①正确； 对②，1π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当ππ22x，时，1π5,261212x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，5,,121222ππππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故②正确；对③，若2ω=，π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π2,62x k k Z ππ+=+∈，解得ππ26k x k Z ，，故③错误；对④，若2ω=，π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，12[π2π]t t ∈-，，，12()()1f t f t ，则12()()1f t f t ， 令22,62t k k Z πππ+=+∈，则,6t k k Z ππ=+∈，当1k =-时，56t π=-，当1k =时，76πt =，此时12t t -的最大值为75266πππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 当22,62t k k Z πππ+=-+∈，经验证12t t -的最大值也为2π，故④正确.故答案为：①②④ 三、解答题17．已知全集U R =，集合{|2126}A x a x a =+<<+，{|42}B x x =-≤≤． (1)若1a =-，求A B ⋃；(2)若A B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围． 【答案】(1){|44}A B x x ⋃=-≤< (2)152⎛⎫- ⎪⎝⎭，【分析】（1）直接根据并集的定义即可得出答案；（2）求出A B ⋂=∅时，a 的取值范围，从而可求出A B ⋂≠∅时，a 的取值范围. 【详解】(1)解：1a =-时，{|14}A x x =-<<， 则{|44}A B x x ⋃=-≤<； (2)解：若A B ⋂=∅，则264a +≤-或212a +≥，解得5a ≤-或12a ≥， 所以A B ⋂≠∅时，a 的取值范围是152a -<<， 即a 的取值范围是152⎛⎫- ⎪⎝⎭，．18．已知(0π)α∈，，sin 2cos αα=-． (1)求sin cos αα-；(2)求值sin(3π)cos(5π)3πcos()πtan(π)2sin()2ααααα+-⋅⋅++-的值． 【答案】(1)35sin cos αα-= (2)25-【分析】（1）根据同角三角函数之间的关系求解即可； （2）先用诱导公式化简代数式，整理后再计算即可.【详解】(1)方法1：由sin 2cos αα=-，可知ππ2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，由22sin cos 1αα+=，得25cos 1α=， 所以5cos α=，则25sin α= 所以35sin cos αα-=． 方法2：由已知得tan 2α=-，可知ππ2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，于是有25sin α=5cos α=，所以35sin cos αα-=．(2)()()()sin 3πcos 5π3πcos πtan π2sin 2ααααα+-⎛⎫⋅⋅+ ⎪+⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭ sin cos sin sin cos cos tan ααααααα--=⋅⋅=， 25525⎛=- ⎝⎭． 19．已知()()log 2a f x ax =-（其中0a >且1a ≠）． (1)若2a =，()2f x <，求实数x 的取值范围；(2)若[]46x ∈，，()f x 的最大值大于1，求a 的取值范围． 【答案】(1)()13， (2)()12,1,23⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）由对数函数的定义域和单调性解不等式即可求解x 的取值范围； （2）由x 取值范围求出2ax -取值范围，分类讨论参数a ，由函数的增减性，确定函数最大值，再令()max 1f x >解不等式即可.【详解】(1)当2a =时，()()2log 222f x x =-<， 即有()22log 22log 4x -<，所以220224x x ->⎧⎨-<⎩，，解得13x <<，故实数x 的取值范围是()13，； (2)因为0a >，则[]46x ∈，时，42262a ax a -≤-≤-． 当1a >时，则函数()f x 最大值()()max log 621a f x a =->，解得1a >； 当01a <<时，则函数()f x 最大值()()max log 421a f x a =->，解得1223a <<； 综上所述，a 的取值范围是()12,1,23⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．20．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象的横坐标伸长为原来的4倍，再向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象．（1）在下列网格纸中画出函数()g x 在11,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的大致图象；（2）求函数()f x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间．【答案】（1）答案见解析；（2）5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）由三角函数图像变换规律求得()12sin 23πx g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用五点作图法，列表、描点、连线可得函数的图像；（2）由3222262k x k πππππ+≤-≤+，求得()f x 的递减区间5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ），再令0k =，1k =可求出函数()f x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间【详解】（1）将函数()f x 的图像的横坐标伸长为原来的4倍，得到12sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，再向右平移3π个单位后，得到()112sin 2sin 23623πx g ππx x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，列表如下： 123x π- 2π-2ππ32πx3π-23π53π83π 113π()g x2-0 22-故函数()g x 在11,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的大致图像如下图所示：（2）令3222262k x k πππππ+≤-≤+（k ∈Z ）， 得536k x k ππππ+≤≤+（k ∈Z ）， 令0k =，得536x ππ≤≤， 令1k =，得41136ππx ≤≤， 故函数()f x 在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间为5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 21．已知函数()||1(0)=+-≠m f x x x x． （1）若对任意的x ∈R ＋，不等式f (x )>0恒成立，求m 的取值范围；（2）试讨论函数f (x )零点的个数．【答案】（1）14m >；（2）答案见解析. 【分析】（1）分离参数，将问题转化为求函数最值问题，进而得到答案；（2）分离参数，作出函数的图象，通过数形结合求得答案.【详解】（1）当x >0时，()1m f x x x =+-，不等式f (x )>0恒成立等价于10m x x+->恒成立，则()20m x x x >-+>恒成立，而()2211024x x x x ⎛⎫-+=--+> ⎪⎝⎭，当12x =时，有最大值14，所以14m >. （2）令()||10m f x x x =+-=，得22,0,0x x x m x x x ⎧->=⎨+<⎩， 在同一坐标系中作出函数22,0,0x x x y x x x ⎧->=⎨+<⎩与函数y m =的图象(如图，仅作出1144m -<<时的情况)．结合图象可知， ①14m >或14m <-，有一个零点； ②14m =±或m ＝0时，有两个零点； ③1144m -<<且m ≠0时，有三个零点． 22．已知()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，且(1)1f =，若,[1,1],0m n m n ∈-+≠ 时，有()()0f m f n m n+>+. (1)求证：()f x 在[1,1]-上为增函数；(2)求不等式1()(1)2f x f x +<-的解集； (3)若对所有[1,1],[,]34x ππα∈-∈-恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）；（3）或.【详解】试题分析：（1）根据定义证明函数单调性的步骤，首先设12,[1,1]x x ∈-且12x x <，然后计算，利用奇函数的性质，将此式转化为，最后判定符号，证明单调性；（2）根据函数是定义在的奇函数，所以满足，解不等式； （3）进行两次恒成立下参变分离的转化，第一次，，第二次整理为，重点求三角函数的最大值，整理为关于的二次函数，求二次函数的最大值，求的取值范围.试题解析：解：（1）证明：任取12,[1,1]x x ∈-且12x x <，则2121212121()()()()()()()0()f xf x f x f x f x f x x x x x +--=+-=⋅->+-∴21()()f x f x >，∴()f x 为增函数（2）1()(1)2f x f x +<-11121{1110,4112x x x x x-≤+≤⇔-≤-≤⇔≤<+<- 即不等式1()(1)2f x f x +<-的解集为[10,)4.（3）由于()f x 为增函数，∴()f x 的最大值为221(1)12tan 1cos f t t αα=≤+---对[,]34ππα∈-恒成立2212tan 2cos t t αα⇔+≥++对[,]34ππα∀∈-的恒成立, 设21()2tan 2cos g ααα=++，则2max (()),[,]34t t g ππαα+≥∈- 又21()2tan 2cos g ααα=++222cos sin 2tan 2cos αααα+=++21tan 2tan 2αα=+++2(tan 1)2α=++，[,]tan [3,1],34ππαα∈-∴∈，∴当tan 1α=时，max (())()64g g πα==.26,t t ∴+≥即(3)(2)0t t +-≥，23t t ∴≥≤-或所以实数t 的取值范围为2 3.t t ≥≤-或【解析】1.抽象函数证明单调性；2.解不等式；3.恒成立问题.。
