计算理论及有穷自动机共78页

a 1 a ε 5 ε 6 3 7 ε 8 ε 2 4 a ε
状态集合I 状态集合I的a弧转换，Ia = ε-closure(J) ,其中J 弧转换， closure(J ,其中 其中J 是所有那些可从I中的某一状态经过一条a 是所有那些可从I中的某一状态经过一条a 弧而到达的状态的全体。 弧而到达的状态的全体。
DFA 例：
DFA M=（{S,U,V,Q}, {a,b}, f, S, {Q}）其中 t M=（ {Q}） 定义为： 定义为： f（S，a）=U f（S，b）=V f（U，a）=Q f（U，b）=V f（V，a）=U f（v，b）=Q f（Q，a）=Q f（Q，b）=Q
DFA 的状态图表示
f（S，a）=U f（S，b）=V f（U，a）=Q f（U，b）=V a b U a Q b f（V，a）=U f（V，b）=Q f（Q，a）=Q f（Q，b）=Q a a，b S
• DFA的扩充 的扩充 对于DFA=(K,Σ,f,S,Z),扩充的映射为 ,Σ,f,S,Z),扩充的映射为 f: k X Σ* K定义为 （1）f(q, ε)=q （2）f(q,a α)=f(f(q,a), α) 其中， 其中，q∈ K,a ∈ Σ, α∈Σ*
• L(A) 对于DFA=(K,Σ,f,s,Z),如果 ,Σ,f,s,Z),如果 f(s, α)=q∈Z )=q∈ 则称符号串α可以被DFA所接受。 则称符号串α可以被DFA所接受。 DFA A所接受的符号串集，记为L(A) A所接受的符号串集，记为L(A)
• L(A) 对于NDFA A=(K,Σ,f,S,Z),如果 ,Σ,f,S,Z),如果 q∈f(q0, α),q0∈S,q∈Z ),q0∈S,q∈ 则称符号串α可以被NDFA所接受。 则称符号串α可以被NDFA所接受。 NDFA A所接受的符号串集，记为L(A) A所接受的符号串集，记为L(A)

例：将图示的DFA M最小化。
a
b
6
4
a
a
a
b
a
1
ab
5a
7
b3
b
b
2 b
1、将M状态分为两个子集： P0=({1,2,3,4},{5,6,7})
2、{1,2,3,4}读入a后划为： P1=({1,2},{3,4},{5,6,7})
3、进一步划分： P2=({1,2},{3},{4},{5,6,7})
对M的状态集S进行划分的步骤：
①把S的终态与非终态分开，分成两个子集， 形成基本划分，属于这两个不同子集的 状态是可区别的。
②假定某个时候已含m个子集，记={I(1) , I(2) , …,I(m) }且属于不同子集的状态是可 区别的，再检查中的每个I能否进一步划 分，对于某个I(i) ，令I(i) ={S1,S2,…,Sk}， 若存在一个输入字符使得move(I(i) ,a)不包 含在现行的某一子集I(i)中，则将I(i)一分 为二。
若M的某些结既是初态结，又是终态结，
或者存在一条从某个初态结到某个终态结 的道路，则空字可为M所接受。
例： NFA M=({0,1,2,3,4},{a,b},f,{0},{2,4})
f(0,a)={0,3} f(2,b)={2} f(0,b)={0,1}
f(3,a)={4} f(1,b)={2} f(4,a)={4}
M’=(K, ,f,S,Z)
一个含有m个状态和n个输入字符的NFA 可表示为一张状态转换图，该图含有m个 状态结，每个结可射出若干条 箭弧与别的 结点相连接，每条弧用*中的一个字（不 一定要不同的字，且可以为空字）作标记 （称输入字），整个图至少含有一个初态 结以及若干个终态结。

q 0 c h a rc h ,n a m e [ k ] n a m e r e a d ( c h ) 若 c h = l q 1 q 2 符 号 表 ， n a m e查 n a m e n a m e + c h 非 l , d 用 r e a d ( c h ) 若 没 有 ， 则 填 表 ， 否 则 返 回 其 地 址 r e a d ( c h ) 若 c h = lo rd
自动机接受(收)字符串
• 3）自动机接收语言 自动机 M所能接收的串组成一个集合， 则称该集合为自动机 M所能接收（识别）的 语言。 用L（M）表示： L （ M ） ＝ {ω ∣ t(q0, ω )∈ F , ω ∈ * }
3.2.4 自动机的等价性
•定义3.2 M和M是等价的，当且仅当 对每一个串x，M接收x当且仅当M接收x。 •定义3.3 如果M仅通过重新标记它的 状态就能转换称M,则M和M称为同构的 (Isomorphic)。 •FSA的一个基本定理是：对每一个自动 机M，存在一个等价的具有最少状态个 数的自动机M，而且对于每一个其状态 个数与M相同且等价于M的自动机M″, 必是与M同构的。换句话说，M在结构 上是唯一的。
3.2.5 非确定有穷状态自动机
•定义3.4 一个非确定有穷自动机NDFSA是一个
五元组
NDFSA=(Q, , t, q0, F) 其中，Q是一个非空有穷状态集， 是一个非空有穷输入字母集， 映射t为QQ的子集(即t是一个多值映射)， Q0Q是开始状态集， FQ是终止状态集。 •同样的，NDFSA也可以用状态转换表和状态转换 图表示。
3.2.3 构形和移动（2）
• 构形(q0，ω)称为初始构形，其中q0 是初始状态，ω是由该自动机可接 收或拒绝的任何输入串。构形(q, ) 称为终止构形，其中是空串， qF(终态集)。 • 自动机的移动(记为├)是从一种构 形到另一种构形的转换。 • DFSA的工作过程就是一系列的移动 过程。 • 记号├+称为├的传递闭包；├*称为 ├的自反闭包。 ├*表示“0次或多 次移动”；├+表示“一次或多次移 动”。

例2、假设字母表为{0,1}，构造一个识别含有001字串的所有 字符串的DFA的状态图。
1 0 q1 1 q2 0
0 1 q3
0,1
q4
第三章、有穷状态自动机
例2、假设字母表为{0,1}，构造一个识别含有001子串的所有 字符串的DFA的状态图。
1 0 q1 1 q2 0
0 1 q3
0,1
q4
第三章、有穷状态自动机
关键问题：DFA与NFA等价吗？
第三章、有穷状态自动机
第三章、有穷状态自动机
NFA与DFA的等价性
NFA与DFA等价是指两种模型识别相同的语言类（正则语言）。 对于任意给定的DFA，存在一个NFA与之等价； 对于任意给定的NFA，存在一个DFA与之等价。 DFA本身就是一种NFA，所以，要证明DFA与NFA等价，只需证明 对于任意给定的NFA，存在一个DFA与之等价。 下面根据给定的NFA构造一个DFA： 这里M2=（Q2,Σ,δ,q0,F ），Q2 =P(Q），
第三章、有穷状态自动机
δ1
q01 q1 q2
0 1
q1 q2 q1
0 q02 q3 q4
q01 q1 Q2
1 q3 q4 q5
δ2
q02 q3 q4
q5
q5
q5
第三章、有穷状态自动机
下面构造M= （Q,Σ,δ,q,F)， （1）Q={(r1,r2) ∣ r1∈Q1且r2∈Q2}； （2）Σ= {0,1}； （3）转移函数 δ（（r1,r2) ,a）= δ （δ1 （r1,a) ,δ 2（r2，a））， 如下页表所示； （4）q0=（q01，q02）是M的起始状态； （5）F={（q2,q02)，(q2,q3)，(q2,q4），(q2,q5)，(q01,q4)， (q1,q4)}。

郑重声明：下面带某种颜色的例子
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练习
={0, 1}. DFA接受的语言是1的个数为奇数. 要求画出DFA,然后给出正则表达式.
替换成
B
替换成
B
（3）
A
(c)
e1*
替换成
B
(e)
A e1 C e2 B
(b)
e1
A
Be2 (d)来自ACB
e1 (f)
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NFA到正则表达式的转换
具体操作如下：
首先，对NFA M进行拓广(广义FA)，在M的 状态转换图中，新设置一个唯一的开始状态S 和唯一的终止状态Z，并允许状态转换图中弧 上可以为正规表达式。
0
0
1
0
1
0*1(0 | 10*1)*
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2.2非确定型有穷自动机
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(ab ∪ aba)*
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2.2非确定型有穷自动机
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2.2 非确定型有穷自动机
因为: K K是一个函数, 所以
DFA在计算的每步以唯一的方式进入下一个状态

有穷自动机是描述能力和资源及其有限的计 算机的模型 如：自动控制器
Copyright 广东工业大学计算机学院 曾安, 2007. All rights reserved.
1.1.1 有穷自动机的形式化定义
有穷自动机（DFA：Deterministic Finite Automaton） M是一个5元组（ 5-tuple） M=(Q,,,q0,F)
状态说明 开始状态 状态 q0 q1 q2 q3
0 q1 q2 q3 q3
终止状态
输入字符 1 q0 q0 q0 q3
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课堂练习（2）
构造一个DFA，它接受的语言为 {x000|x∈{0，1}*}。
状态q0读到的0可能是输入字符串的最后三个0 的第1个0； 在状态q1 紧接着读到的0可能是输入字符串的 最后三个0的第2个0； 在状态q2 紧接着读到的0可能是输入字符串的 最后三个0的第3个0；
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构造一个DFA，它接受的语言为{x000y|x， y∈{0，1}*}
δ (q0,1)= q0——M在q0读到了一个1，它需要继 续在q0 “等待”可能是子串“000”的第1个 0的输入字符0； δ (q1,1)= q0——M在刚刚读到了一个0后，读 到了一个1，表明在读入这个1之前所读入 的0并不是子串“000”的第1个0，因此， M需要重新回到状态q0，以寻找子串“000” 的第1个0；
0
1 q1
1
0 q2 0,1 q3
0 q1 q3 q q2 q

C
01 S0 S1 S5 0 S1 S2 S7 1 S2 S2 S5 1 S3 S5 S7 0 S5 S3 S1 0 S7 S0 S1 1
3.2.3 合并等价状态
等价状态
若s和t是M的两个不同状态，称s和t等 价：如果从状态s出发能读出某个字而停 于终态，同样从t 出发也能读出同一个字 而停于终态；反之若从t 出发能读出某个字 而停于终态，则从s出发也能读出同一个 字而停于终态。
第三章 有穷自动机
本章介绍有关有穷自动机的基本概念和 理论以及正规文法、正规表达式与有穷自动 机之间的相互关系。
§3.1 有穷自动机的形式定义
有穷状态自动机(Finite-state Automata 或简称FA)在识别功能上与正 规文法类等价，而且也等价于一个特殊类 型的语言产生器——正规表达式(Regular Expression)。因此许多简单的程序语言 都可由FA所识别。事实上，它是描述词法 的有效工具，也是进行词法分析的主要理 论基础。
消除多余状态
多余状态是指从该自动机的开始状态出发， 任何 0 S1 S2 S7 1 S2 S2 S5 1 S3 S5 S7 0 S4 S5 S6 0 S5 S3 S1 0 S6 S8 S0 1 S7 S0 S1 1 S8 S0 S6 0
B
01 S0 S1 S5 0 S1 S2 S7 1 S2 S2 S5 1 S3 S5 S7 0 S5 S3 S1 0 S6 S8 S0 1 S7 S0 S1 1 S8 S0 S6 0
l, d
l, d
l
q0
q1
l q0
q1
q2
非 l,d
图(a)
图(b)
如果赋予状态q0、q1与q2一定的操作，则

因为a可能需要用来判定输入串的最初45个字符组成的子串是否满足语言的要当i45也就是m读到输入串的第45个字符时在a3的情况下m需要将a201111195532当i6也就是m读到输入串的第6个字符此时以前读到的第1个字符a就没有用了此时它要看a3是否成立如果成立m需要将a201111195632i4的考察并发现它满足语言的要求时m记下来的是i4此时它读入输入串的第i5个字符i5以前读到的第i个字符a就没有用了此时它要看ai1i53是否成立如果成立m需要将ai1下来
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3.2有穷状态自动机
• 例 3-2 构造一个DFA，它接受的语言为 {x000y|x，y∈{0，1}*}
q0——M的启动状态； q1—第—1个M0读；到了一个0，这个0可能是子串“000”的
q2—是—子M串在“q001后0”紧的接第2着个又0；读到了一个0，这个0可能
q3—符—串M含在有q子2后串紧“接00着0”又；读因到此了，一这个个0状，态发应现该输是入字终 止状态。
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3.1 语言的识别
• ⑷ 系统中有一个状态，它是系统的开始状 态，系统在这个状态下开始进行某个给定 句子的处理。
• ⑸ 系统中还有一些状态表示它到目前为止 所读入的字符构成的字符串是语言的一个 句子，把所有将系统从开始状态引导到这 种状态的字符串放在一起构成一个语言， 该语言就是系统所能识别的语言。
– 定义。 – ε-NFA与DFA的等价性。
• FA是正则语言的识别器
– 正则文法(RG)与FA的等价性。 – 相互转换方法。 – 带输出的有穷状态自动机。 – 双向有穷状态自动机。
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2
第3章 有穷状态自动机
• 重点：DFA的概念，DFA、NFA、ε-NFA 、 RG之间的等价转换思路与方法。

(c)
空移环路的消除
• 找到空移环路之后，要消除它只要把空移环路上 所有结点q1,q2,…,qn合成一个结点，并消除它们 所有的弧。如果其中的某一个结点qi(i=1或 2,…,n)是开始结点或终止结点，则将此合并后的 新结点相应地设置为开始状态或终止状态。
例3.8
q0
a
q1
q2
则L(A)=L(B)={(ab)n|n1}, 所以自动机A,B等价。
非确定的有穷自动机NDFA
• 定义3.5 一个非确定的有穷自动机是一个五 元组，NDFA=Q，，t，Q0，F，其中Q 为状态的有穷非空集， 为有穷输入字母 表，t为Q 到Q的子集(多值映射)， Q0Q是初始状态集，F Q为终止状态集。
例3.5 DFA A=({q0,q1}, {a,b}, t, q0, {q0} ), 其中 t(q0,a)=q1, t(q1,b)=q0.
DFA B=({q0’,q1’,q2’}, {a,b}, t’, q0’, {q2’} ), 其中 t’(q0’,a)=q1’, t’(q1’,b)=q2’, t’(q2’,a)=q1’.
有穷自动机DFA定义：
一个确定的有穷自动机（DFA）M是一个五元组：M=（Q， Σ，t，q0，F）其中
✓ 1 Q是一个有穷集，它的每个元素称为一个状态；
✓ 2 Σ是一个有穷字母表，它的每个元素称为一个输入符 号，所以也称Σ为输入符号字母表；
✓ 3 t是转换函数，是在Q×Σ→Q上的映射，即，如 t（qi， a）=qj，（qi，qjQ）就意味着，当前状态为qi，输入 符为a时，将转换为下一个状态qj，我们把qj称作qi的一 个后继状态；
例子
NDFA N=（{S，P，Z}，{0，1}，t，{S，P}， {Z}）

第三章有穷自动机
例：将图示的DFA M最小化。
a
b
6
4
a
a
a
b
a
1
a
b
5a
7
b3
b
b
2 b
第三章有穷自动机
1、将M状态分为两个子集： P0=({1,2,3,4},{5,6,7})
2、{1,2,3,4}读入a后划为： P1=({1,2},{3,4},{5,6,7})
3、进一步划分： P2=({1,2},{3},{4},{5,6,7})
② 检查Ia 和Ib，看它们是否已在表的第一列 中出现，把未曾出现者之一填入下一空行 的第一列上，再计算该行的第二、第三列 上的Ia 和Ib。
第三章有穷自动机
③ 重复第二步，直至表中所有第二、第三列 上的元素全部再第一列出现为止。
因为M中的状态(子集)的个数是有限的，所 以上述三步必定在有限步骤内终止。
f(V,a)＝U f(V,b)＝Q U Q V
f(Q,a)＝Q f(Q,b)＝Q V U Q
QQQ
第三章有穷自动机
3.1.3 状态转换图
图中标有的为开始状态，标有双圈的状态为终止 状态。
若f(Ki,a)=Kj，则从状态结点Ki到状态Kj画标记为a
的弧。
a
q0
q1
a
bb
bb
a
q3
q2
a
第三章有穷自动机
➢ NFA有一个开始状态集，而DFA只有一个 开始状态。
➢ NFA的映射是QQ的子集，是一个多 值映射，而DFA的映射是QQ，是一 个单值映射。
➢ DFA是NFA的特例，对于每个NFA M，存 在一个DFA M’，使得L(M)=L(M’)。