江苏省数学竞赛提优教案：第33讲__周期函数与周期数列

小学苏教版四年级上册数学区级赛课《简单的周期》教案一. 教材分析《简单的周期》是小学苏教版四年级上册数学的一章节，主要让学生初步理解周期现象，学会用观察、归纳的方法找出简单的周期规律，并能应用周期规律解决一些实际问题。

本节课的内容为学生提供了丰富的现实材料，让学生在探究中发现问题、提出问题、解决问题，培养学生的动手操作能力、小组合作能力和归纳总结能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了简单的加减法和乘除法，具备了一定的逻辑思维能力。

同时，学生在生活中也接触过一些周期现象，如季节变化、钟表计时等，对周期现象有一定的认识。

但是，学生对周期规律的发现和应用还需要通过课堂学习来进一步培养。

三. 教学目标1.让学生理解周期现象，找出简单的周期规律。

2.培养学生用观察、归纳的方法解决问题。

3.培养学生动手操作能力、小组合作能力和归纳总结能力。

4.让学生能够应用周期规律解决一些实际问题。

四. 教学重难点1.重点：让学生找出简单的周期规律。

2.难点：让学生能够应用周期规律解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活情境，让学生感受周期现象，引发学生的学习兴趣。

2.观察归纳法：引导学生观察、归纳周期规律。

3.小组合作法：培养学生合作精神，提高学生解决问题的能力。

4.实践操作法：让学生动手操作，提高学生的动手能力。

六. 教学准备1.教具：课件、实物、计时器等。

2.学具：学生用书、练习本、画笔等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示生活中的周期现象，如季节变化、钟表计时等，引导学生关注周期现象，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）呈现一系列具有周期性的图片，如水果、数字等，让学生观察并尝试找出其中的规律。

学生通过观察、讨论，发现图片中的周期规律。

3.操练（10分钟）让学生分组进行实践活动，每组选择一个周期性现象，如日历、天气等，用画笔在白板上绘制出周期规律。

学生在操作过程中，加深对周期规律的理解。

第10讲 等差数列与等比数列本节主要内容有等差数列、等比数列的基本知识，a 1、a n 、d 或q 、n 、S n 的基本关系 1.理解等差、等比数列的概念，掌握等差数列定义的多种表达形式，能判断一个数列是不是等差数列．2.掌握等差、等比数列的常规简单性质，并能应用于解题，能灵活应用等差、等比中项的性质．3.求公差、公比．首项．项数时的基本量思想，方程思想，巧用设而不求的方法进行整体代换的思想，从特殊到一般探索推广结论的创新意识A 类例题例1给定公比为q (q ≠1)的等比数列{a n }，设b 1=a 1+a 2+a 3, b 2=a 4+a 5+a 6,…, b n =a 3n －2+a 3n －1+a 3n ,…，则数列{b n }( )A.是等差数列B.是公比为q 的等比数列C.是公比为q 3的等比数列D.既非等差数列也非等比数列 (1999年全国高中数学联赛)分析 利用等比数列的推广的通项公式a n = a m q n －m .解 由题设, a n = a 1q n －1,则a 3n +3= a 3n q 3、 a 3n +2= a 3n －1 q 3、a 3n +1= a 3n －2 q 3. 故b n +1 b n =a 3n +1+a 3n+2+a 3n +3a 3n －2+a 3n －1+a 3n = q 3(a 3n －2+a 3n －1+a 3n ) a 3n －2+a 3n －1+a 3n=q 3. 例2 设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有( )A.2个B.3个C.4个D.5个 (1997年全国高中数学联赛)分析 利用等差数列的求和公式及分类讨论思想. 解 ： 由21972)1(=-+=d n n na S n 即2na 1+(n －1)d=2×972， 则n[2a l +(n －1)d]= 2×972，且2a 1+(n －1)d 是非负整数．故n 是2 ×972的正 因数，且n ≥3，于是n=97、972、2 ×97或2 ×972．(1)若n=97，则2a l +96d=2 ×97，且a l 与d 是非负整数，由2 a l = 2 ×97－96d ≥0可得0≤d ≤, 且d ∈Z ，所以d=0，1，2，代人2 a l +96d= 2 ×97得⎩⎨⎧==9701a d 或⎩⎨⎧==4911a d 或⎩⎨⎧==121a d , 故当n=97时，符合题意的等差数列有3个． (2)若n=972，则2 a l +(972－1)d=2，由2a l =2－(972－1)d ≥0得0≤d ≤19722- 故d=0．此时a l =1即n=972时，符合题意的等差数列只有1个．(3)若n=2×97，则2 a l +(2×97－1)d=97，即 0≤d ＜1．所以d=0，此时a l =297，不台题意(4)若n= 2×972，则2 a l +(2×972－1)d=1，即0≤d ＜1．所以d=0，此时a l =12，不合题意．故当n=2×97或2×972时，符合题意的等差数列不存在． 综上所述，符合题意的等差数列共有3+1=4个故选( C )情景再现1．(2005年全国高考题)在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，2a 是1a 与4a 的等比中项，已知数列13a a 、、1k a 、2......n k k a a 、、成等比数列，求数列{k n }的通项n k2．三个不同素数的立方根不可能是一个等差数列中的三项(不一定是连续的)．(第2届美国中学生数学竞赛试题)B 类例题例3 (2004年浙江理科卷) ΔOBC 的在个顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、（0,2）,设P 1为线段BC 的中点,P 2为线段CO 的中点,P 3为线段OP 1的中点,对于每一个正整数n,P n+3为线段P n P n+1的中点,令P n 的 坐标为(x n,y n ),.2121++++=n n n n y y y a （Ⅰ）求321,,a a a 及n a ; （Ⅱ）证明;,414*+∈-=N n y y nn(Ⅲ)若记,,444*+∈-=N n y y b n n n 证明{}n b 是等比数列．分析 本题主要考查数列的递推关系、等比数列等基础知识，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的创新能力． 利用图形及递推关系即可解决此类问题． 解 (Ⅰ)因为43,21,153421=====y y y y y ， 所以2321===a a a ，又由题意可知213+-+=n n n y y y ∴321121++++++=n n n n y y y a =221121++++++n n n n y y y y =,2121n n n n a y y y =++++∴{}n a 为常数列．∴.,21*∈==N n a a n(Ⅱ)将等式22121=++++n n n y y y 两边除以2， 得,124121=++++n n n y y y CB XY P P P O123又∵2214++++=n n n y y y , ∴.414n n yy -=+ （Ⅲ）∵)41()41(44444341n n n n n y y y y b ---=-=+++-=)(41444n n y y --+ =,41n b - 又∵,041431≠-=-=y y b ∴{}n b 是公比为41-的等比数列． 说明 本题符号较多，有点列{P n }，同时还有三个数列{a n }，{y n }，{ b n }，再加之该题是压轴题，因而考生会惧怕，而如果没有良好的心理素质，或足够的信心，就很难破题深入．即使有的考生写了一些解题过程，但往往有两方面的问题：一个是漫无目的，乱写乱画；另一个是字符欠当，丢三落四．最终因心理素质的欠缺而无法拿到全分．例4 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝6，a 3＝11，且1(58)(52),1,2,3,n n n S n S An B n +--+=+=…，其中A,B 为常数． （Ⅰ）求A 与B 的值；（Ⅱ）证明数列{a n }为等差数列．(2005年江苏卷)分析本题是一道数列综合运用题，第一问由a 1、a 2、a 3求出s 1、s 2、s 3代入关系式，即求出A 、B ；第二问利用)1(1≥-=-n s s a n n n 公式，推导得证数列{a n }为等差数列．解 （1）由已知，得S 1=a 1=1,S 2=a 1+a 2=7,S 3=a 1+a 2+a 3=18． 由(5n －8)S n+1－(5n+2)S n =An+B 知⎩⎨⎧-=+-=+⎩⎨⎧+=-+=--.482.28,2122,732312B A B A B A S S B A S S 即 解得 A=－20， B=－8．（Ⅱ）方法1 由（1）得，（5n －8）S n+1－(5n+2)S n =－20n －8, ① 所以 (5n －3)S n+2－(5n+7)S n+1=－20n －28, ② ②－①,得, (5n －3)S n+2－(10n －1)S n+1+(5n+2)S n =－20, ③ 所以 (5n+2)S n+3－(10n+9)S n+2+(5n+7)S n+1=－20．④ ④－③,得 (5n+2)S n+3－(15n+6)S n+2+(15n+6)S n+1－(5n+2)S n =0． 因为 a n+1=S n+1－S n 所以 (5n+2)a n+3－(10n+4)a n+2+(5n+2)a n+1=0． 又因为 (5n+2)0≠,所以 a n+3－2a n+2+a n+1=0,即 a n+3－a n+2=a n+2－a n+1, 1≥n ． 又 a 3－a 2=a 2－a 1=5, 所以数列}{n a 为等差数列． 方法2．由已知，S 1=a 1=1,又(5n －8)S n+1－(5n+2)S n =－20n －8,且5n －80≠,所以数列}{}{n n a ，s 因而数列是惟一确定的是惟一确定的．设b n =5n －4,则数列}{n b 为等差数列，前n 项和T n =,2)35(-n n 于是 (5n －8)T n+1－(5n+2)T n =(5n －8),8202)35()25(2)25)(1(--=-+-++n n n n n n由惟一性得b n =a,即数列}{n a 为等差数列．说明 本题主要考查了等差数列的有关知识,考查了分析推理、理性思维能力及相关运算能力等．例5 (湖南省2002年高中数学竞赛)一台计算机装置的示意图如图，其中J 1，J 2表示数据入口，C 是计算结果的出口，计算过程是由J 1、J 2分别输入自然数m 和n ，经过计算后得自然数K 由C 输出，若此种装置满足以下三个性质： ①J 1，J 2分别输入1，则输出结果1；②若J 1输入任何固定自然数不变，J 2输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2；③若J 2输入1，J 1输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍，试问： （Ⅰ）若J 1输入1，J 2输入自然数n ，则输出结果为多少？ （Ⅱ）若J 2输入1，J 1输入自然数m ，则输出结果为多少？（Ⅲ）若J 1输入自然2002，J 2输入自然数9，则输出结果为多少？分析 本题的信息语言含逻辑推理成分，粗看不知如何入手．若细品装置的作用，发现可以把条件写成二元函数式，将逻辑推理符号化，并能抽象出等比数列或等差数列的模型． 解 J 1输入m ，J 2输入n 时，输出结果记为f （m ，n ），设f （m ，n ）=k ，则f （1，1）=1，f （m ，n+1）=f （m ，n ）+2，f （m+1，1）=2f （m ，1） （2分） （Ⅰ）因为f （1，n+1）=f （1，n ）+2， 故f （1，1），f （1，2），…，f （1，n ），…组成以f （1，1）为首项，2为公差的等差数列． 所以，f （1，n ）=f （1，1）+2（n －1）=2n －1； （Ⅱ）因为f （m+1，1）=2f （m ，1）， 故f （1，1），f （2，1），…，f （m ，1）…组成以f （1，1）为首项，2为公比的等比数列．所以，f （m ，1）=f （1，1）•2m －1=2 m －1，（Ⅲ）因为f （m ，n+1）=f （m ，n ）+2，故f （m ，1），f （m ，2），…，f （m ，n ），…组成以f （m ，1）为首项，2为公差的等差数列．所以，f （m ，n ）=f （m ，1）+2（n －1）=2 m －1+2n －2，f （2002，9）=22001+16说明 解题关键点首先要读懂题目，理解题意，要充满信心．这种给出陌生的背景（问题的情景），文字叙述比较长的题目，其实所涉及数学知识往往比较简单，剔除伪装并符号化，就是我们熟悉的问题．例6 设正数列a 0,a 1,a 2, ,a n , 满足12122----=-n n n n n a a a a a (n ≥2)且a 0=a 1=1．求{a n }的通项公式． (1993年全国高中数学联赛)情景再现3． 已知数列n a 的首项a a =1（a 是常数），24221+-+=-n n a a n n （2,≥∈n N n ）．（Ⅰ）{}n a 是否可能是等差数列．若可能，求出{}n a 的通项公式；若不可能，说明理由；（Ⅱ）设b b =1，2n a b n n +=（2,≥∈n N n ），n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}n S 是等比数列，求实数a 、b 满足的条件．4． 已知二次函数y =f (x )在x =22+t 处取得最小值－42t (t ＞0),f (1)=0．(1)求y =f (x )的表达式；(2)若任意实数x 都满足等式f (x )·g (x )+a n x +b n =x n +1 , ［g (x )］为多项式，n ∈N *),试用t 表示a n 和b n ；(3)设圆C n 的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2，圆C n 与C n +1外切(n =1,2,3,…);{r n }是各项都是正数的等比数列，记S n 为前n 个圆的面积之和，求r n 、S n ．C 类例题例7 实数x 为有理数的充分必要条件是：数列x ，x +1，x +2，x +3，…中必有3个不同的项，它们组成等比数列．(加拿大1993年高中竞赛题)证明：(1)充分性：若3个不同的项x +i ，x +j ，x +k 成等比数列，且i ＜j ＜k ， 则(x +I)(x +k)=(x +j)2，即ik j j k i x -=-+2)2(．若02=-+j k i ，则02=-ik j ，于是得i=j=k 与i ＜j ＜k 矛盾． 故02≠-+j k i ,jk i ikj x 22-+-=且i 、j 、k 都是正整数，故x 是有理数．(2)必要性：若x 为有理数且x ≤0，则必存在正整数k ，使x+k>0．令y=x+k ，则正数列y 、y+1、y+2、…是原数列x ，x+1，x+2，x+3，…的一个子数列，只要正数列y ，y+l ，y+2,…中存在3个不同的项组成等比数列，那么原数列中必有3个不同的项组成等比数列，因此不失一般性，不妨设x ＞0．①若x ∈N ,设q 是大于l 的正整数，则xq －x 、xq 2－x 都是正整数．令i=xq －x , j=xq 2－x 则i<j ，即x ，x+i ，x+j ，是数列x ，x+1，x+2，x+3，…中不同的三项，且x ，x+i(即xq )，x+j (即xq 2)成等比数列．②若x 为正分数，设 x = nm (m 、n ∈N ，且m 、n 互质，m≠1)．可以证明，x ，x+n ，x+(m+2)n ，这三个不同的项成等比数列，事实上，x [x +(m +2)n ]= n m (n m +mn+2n )=(n m )2+n 2+2n m ·n =(nm +n )2.所以x [x +(m +2)n ] =( x +n )2.，即三项x ，x+n ，x+(m+2)n 成等比数列．综上所述，实数x 为有理数的充分必要条件是数列x ，x+1，x+2，x+3，…中必有3个不同的项．它们组成等比数列.说明 以上证明巧妙之处在于：当x 是正分数mn时，在数列x ，x+1，x+2，x+3，…寻求组成等比数列的三项，这三项是x ，x + n, x+(m+2)n ．例8 设S={1，2，3，…，n}，A 为至少含有两项的、公差为正的等差数列，其项都在S 中，且添加S 的其他元素于A 后均不能构成与A 有相同公差的等差数列，求这种A 的个数(这里只有两项的数列也看作等差数列)．(1991年全国高中数学联赛二试)分析 可先通过对特殊的n(如n=1，2，3)，通过列举求出A 的个数，然后总结规律，找出 a n的递推关系，从而解决问题；也可以就A 的公差d=1，2,…，n －1时，讨论A 的个数· 解 设A 的公差d,则1≤d ≤n －1.(1)设n 为偶数,则当1≤d ≤n 2.公差d 的A 有d 个;当n2≤d ≤n －1. 公差d 的A 有n －d 个.故当n 为偶数时,这样的A 有：(1+2+3+…+ n 2)+[1+2+3+…+(n －n 2－1)]= 14n 2.(2)设n 为奇数,则当1≤d ≤n －12.公差d 的A 有d 个;当n+12≤d ≤n －1. 公差d 的A 有n －d 个. 故当n 为奇数时,这样的A 有：(1+2+3+…+n －12)+(1+2+3+…+n －12)= 14(n －1)2. 综上所述：这样的A 有[14n 2]．情景再现5．设数列{n a }的首项1a =1，前n 项和n s 满足关系式t s t ts n n 3)32(31=+--(t>0,n ∈ N,n ≥2)．（1） 求证数列{n a }是等比数列；（2） 设数列{n a }的公比为)(t f ，作数列{n b }，使11=b ，)1(1-=n n b f b ，(n ∈ N,n ≥2)，求b n ．6．已知数列{a n }是由正数组成的等差数列，m ,n ，k 为自然数，求证：(1)若m+k=2n ，则21m a +21k a =22n a ;(2) 211a +221a +…+2221-n a +2121-n a ≥212n a n -(n ＞1)．习题10A 类习题1．(2004年重庆卷)若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S > 成立的最大自然数n 是（ ）A ．4005B ．4006C ．4007D ．40082．已知a 、b 、c 成等比数列，如果a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列，则y cx a +=_________．3．等比数列{}a n 的首项a 11536=,公比q =-12,用πn 表示它的前n 项之积．则πn ()n N ∈最大的是( )A ．π9B ．π11C ．π12D ．π13 (1996年全国高中数学联赛)4．给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中p ≠q ，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方程bx 2－2ax +c =0( ) (2000年全国高中数学联赛)A ．无实根B ．有两个相等实根C ．有两个同号相异实根D ．有两个异号实根5．已知数列{}n a 是首项01>a ，且公比0,1≠->q q 的等比数列，设数列{}n b 的通项).(21*++∈-=N n ka a b n n n ，数列{}n a ．{}n b 的前n 项和分别为n s ,n T ，如果n T >k n s ，对一切自然数n 都成立，求实数R 的取值范围．6．(2000年高考新课程卷)（I ）已知数列{}n c ，其中n n n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常 数p ．（II ）设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列．B 类习题7．已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线． 1(0,1,2)n n y n n b ≤≤+=⋅⋅⋅时，该图象是斜率为的线段1b ≠（其中正常数），1(0,1,2)n n y n n b ≤≤+=⋅⋅⋅时，该图象是斜率为的线段（1b ≠其中正常数），{}()(1,2,)n n x f x n n ==⋅⋅⋅设数列由定义.121..2()3()1n x x x f x y f x y x ==（）求和的表达式；（）求的表达式，并写出其定义域；（）证明：的图象与的图象没有横坐标大于的交点4 7 （ ） （ ） （ ） ... a j 1 (7)12（ ） （ ） （ ） …a j 2 ……（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） … a j 3 …… （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） … a j 4 ……………………………………… ……a i 1a i 2a i 3a i 4a i 5… a ij ……………………………………… ……其中每行、每列都是等差数列，a ij 表示位于第i 行第j 列的数． （I ）写出a 45的值；（II ）写出a ij 的计算公式以及2008这个数在等差数阵中所在的一个位置．（III ）证明：正整数N 在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．9．(2006年全国高考上海春季卷)已知数列3021,,,a a a Λ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列；201110,,,a a a Λ是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a Λ是公差为2d 的等差数列（0≠d ）． （1）若4020=a ，求d ；（2）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,,,a a a Λ是公差为3d 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列． 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？10．(第8届希望杯第二试)在△ABC 中，三边长为a 7，b =2，c =3．作△ABC 的内切圆⊙O 1，再作与边AB 、AC 和⊙O 1都相切的⊙O 2，又作与AB 、AC 与⊙O 2都相切的⊙O 3，如此继续下去作这样相切的圆，求所有这种圆面积的和．C 类习题11． (第2届美国数学邀请赛试题)如果{a n }是等差数列，公差是1，a 1+ a 2+ a 3+…+ a 98=137，求a 2 +a 4 +a 6 +…+a 98 之值．12．(2003年全国高考江苏卷)设,0>a 如图，已知直线ax y l =:及曲线C ：2x y =,C 上的点Q 1的横坐标为1a（a a <<10）．从C 上的点Q n （n ≥1）作直线平行于x 轴，交直线l 于点1+n P ，再从点1+n P 作直线平行于y 轴，交曲线C 于点Q n+1．Q n （n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{}.n a （Ⅰ）试求n n a a 与1+的关系，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当21,11≤=a a 时，证明∑=++<-n k k k k a a a 121321)(；c ylQ r 2（Ⅲ）当a =1时，证明∑-++<-nk k k k a a a 121.31)(本节“情景再现”解答：1．依题设得()11n a a n d =+-，2214a a a =∴()()21113a d a a d +=+，整理得21d a d =∵0d ≠， ∴1d a =,得n a nd =所以，由已知得123n d d k d k d k d ，，，，...，...是等比数列．由于0d ≠，所以数列1，123n k k k ，，，...，...也是等比数列，首项为1，公比为331q ==，由此得19k =等比数列{k n }的首项19k =，公比3q =，所以()1193123....n n n k q n -+=⨯==，，，即得到数列{k n }的通项为13n n k +=2．用反证法．假设三个不同的素数p 、q 、r 的立方根是一个等差数列的不同三项, 即设ld a p +=13 ①,md a q +=13 ②,nd a r +=13③．由此可得ml q p d --=33,ml qm p l a -⋅-⋅=331．将代入③式并化简整理得：=⋅-3)(q n m +⋅-3)(q n l 3)(r l m ⋅-两边立方得：=⋅-p n m 3)(+⋅-q n l 3)(r l m ⋅-3)(+3))()((3pqr n m l mm m l ⋅---左式=p n m ⋅-3)(为整数,因3pqr 是无理数．故右式为无理数,所以左式≠右式．3．（Ⅰ）∵),3,2(242,211Λ=+-+==-n n n a a a a n n 依,∴2228422-=+-+=a a a , 542129223-=+-+=a a a ,882234-=+=a a a ,34,32,222342312-=--=--=--=-a a a a a a a a a a a若}{n a 是等差数列，则1,2312=-=-a a a a a 得,但由3423a a a a -=-，得a=0,矛盾．∴}{n a 不可能是等差数列．(Ⅱ)∵2n a b n n +=, ∴22211)1(2)1(4)1(2)1(++++-++=++=++n n n a n a b n n nn n b n a 2222=+=(n ≥2) ,∴22422+=+=a a b 当a ≠－1时, }{,0n n b b ≠从第2项起是以2为公比的等比数列．∴)12)(22(12)12)(22(111-++=--++=--n n n a b a b S ,n ≥2时,222)1(222222)1(222)1(111--++---=--++--++=---a b a a b a b a a b a S S n n n n n ∴}{nS 是等比数列, ∴1-n n S S (n ≥2)是常数．∵a ≠－1时, ∴b －2a －2=0 ,当a=－1时，122,0-==n n b b b 由（n ≥3）,得0=n b （n ≥2）, ∴b b b b S n n =+++=ΛΛ21, ∵}{n S 是等比数列 ∴b ≠0 综上, }{n S 是等比数列,实数a 、b 所满足的条件为⎩⎨⎧≠-=⎩⎨⎧+=-≠01221b a a b a 或 4．(1)设f (x )=a (x －22+t )2－42t ，由f (1)=0得a =1．∴f (x )=x 2－(t +2)x +t +1．(2)将f (x )=(x －1)［x －(t +1)］代入已知得：(x －1)［x －(t +1)］g (x )+a n x +b n =x n +1，上式对任意的x ∈R 都成立，取x =1和x =t +1分别代入上式得：⎩⎨⎧+=++=++1)1()1(1n n n n n t b a t b a 且t ≠0，解得a n =t 1［(t +1)n +1－1］，b n =t t 1+［1－(t +1]n ) (3)由于圆的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2，又由(2)知a n +b n =1，故圆C n 的圆心O n 在直线x +y =1上，又圆C n 与圆C n +1相切，故有r n +r n +1=2｜a n +1－a n ｜=2(t +1)n +1设{r n }的公比为q ，则⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+++++2111)1(2)1(2n n n n n n t q r r t q r r ②÷①得q =n n r r 1+=t +1，代入①得r n =2)1(21+++t t n∴S n =π(r 12+r 22+…+r n 2)=342221)2()1(21)1(++π=--πt t t q q r n ［(t +1)2n －1］ 5．分析 由已知等式作递推变换，转化为关于1+n a 与n a 的等式，在此基础上分析1-n a 与n a 的比值，证得（1）的结论后，进一步求)(t f ，再分析数列{n b }的特征，并求其通项公式．（1）证明：由11a s ==1，22121a a a s +=+=，t t a t 31)32()1(32=⋅+-+，得tt a 3322+=， 于是t t a a 33212+= ． ……①又t s t ts n n 3)32(31=+--，t s t ts n n 3)32(321=+---（n=3,4，……）， 两式相减，得0))(32()(3211=-+-----n n n n s s t s s t ， 即)0(0)32(31>=+--t a t ta n n ．①②于是，得tt a a n n 3321+=-（n=3,4……）． ……② 综合①②，得{}n a 是首项为1，公比为tt 332+的等比数列 （2）解 由（1），得321332)(+=+=t t t t f ，32)1(11+==--n n n b b f b 即321=--n n b b ． 所以数列{}n b 是首项为1，公差为32的等差数列，于是31232)1(1+=⋅-+=n n b n ．点评 要判断一个数列是否是等比数列，关键要看通项公式，若是已知求和公式，在求通项公式时一方面可用)2(1≥=--n a s s n n n ，另一方面要特别注意1a 是否符合要求． 6． (1)设等差数列{a n }的公差为d,由m+k=2n,得a k =2a n ,因为a 2m + a 2k ≥12(a m + a k )2=2a 2n ． (a m a k )2≤[(a m + a k 2)2]2=a 4n． 所以 a 2m + a 2k (a m a k )2≥ 2a 2n a 4n = 2a 2n当且仅当d=0时等号成立． (2)由(1)结论,1 a 2i +1 a 22n －i ≥2a 2n(i=1,2,…,n －1)把这n －1个不等式相加,再把所得的结果两边同时加上1a 2n 便得到所证明的结论．当d=0时等号成立．本节“习题10”解答：1．由120032004200320040,0,.0a a a a a >+><得公差d ＜0，于是a 2 004＜0．a l ＋a 4006=a 2 003＋a 2 004＞0，故S 4 006＞0．另一方面，a l ＋a 4 007=2a 2 004＜0，故S 4 007＜0．故答案选B ．2． b =aq ,c =aq 2,x =21(a +b )=21a (1+q ),y =21(b +c )=21aq (1+q ),y c x a +=)1(41)1(21)1(2122222q q a q q a q q a xycx ay ++++=+=2． 3．等比数列{}a n 的通项公式1211536-⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=n n a ,前n 项之积n π2)1(211536-⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=n n ,易知9π、12π、13π 为正数,10π、11π为负数,故只需比较9π、12π、13π． 因为3211536199-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=-a ,23211011=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a ,43211112-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a ,83211213=⎪⎭⎫⎝⎛-=a a ,且.18274323)3(121110>=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=⋅⋅a a a 所以=π12121110a a a ⋅⋅>π⋅99π．又因为1013<<a 及121313π=πa ,∴1213π<π．故选C ．4．由题意知pq =a 2,2b=p+c ,2c=q+b 由于后二式得b=2p+q 3,c=p+2q3,于是有bc =2p+q 3·p+2q 3=p+p+q 3·p+q+q 3≥ 3p 2q · 3pq 2=pq =a 2,因为p ≠q,故bc ＞a 2,方程的判别式△=4a 2－4bc ＜0,因此,方程无实数根．5．要求k 的取值范围，必需将关于k 的不等式n T >k n s 具体化．因此，可首先从探求n T 与n s 的关系入手，寻求突破口．解 因为{}n a 是首项01>a ，公比0,1≠->q q 的等比数列，故q a a n n =+1 ， 22q a a n n =+．)(221kq q a ka a b n n n n -=-=++，n T =n b b b +++Λ21=（a 1+a 2+…+a n ）（q －kq 2）=n s )(2kq q -．依题意，由n T >k n s ，得n s )(2kq q -> k n s ① 对一切自然数n 都成立．当0>q 时，由01>a ，知0>n a ,n s >0；当－1<q<0时，由01>a ，1－q>0,1－nq >0,所以n s =01)1(1>--qq a n ． 综合上述两种情况，当0,1≠->q q 时，n s >0恒成立 ． 由①式，可得k kq q >-2， ② 即q qqq k q q k +=+<<+111,)1(22． 由于21≥+qq ，故要使①式恒成立，k<－21．点评 本题条件表达较复杂，要认真阅读理解，并在此基础上先做一些能做的工作，如求n T 与n s 的关系，将不等式具体化等．待问题明朗化后，注意k<)(q f 恒成立，则k 小于f （q ）的最小值．6． （I ）因为{}n n pc c -+1是等比数列，故有()()()11221-+++--=-n n n n n n pc c pc c pc c ，将nn n c 32+=代入上式，得()[]2113232n n n n p +-+++=()[]()[]112111132323232--+++++-+⋅+-+n n n n n n n n p p ，即 ()()[]23322n n p p -+-=()()[]()()[]111133223322--++-+--+-n n n n p p p p ， 整理得()()0323261=⋅⋅--n n p p ，解得 p =2或p =3． （II ）设{}n a 、{}n b 的公比分别为p 、q ，n n n b a c +=,为证{}n c 不是等比数列只需证3122c c c ⋅≠． 事实上,()pqb a q b p a q b p ac 11221221211222++=+=，=⋅31c c ()()()2211221221212111q p b a q b p a q b p a b a +++=++．由于 q p ≠，pq q p 222>+，又1a 、1b 不为零，因此，3122c c c ⋅≠，故{}n c 不是等比数列．7．{}1)1(111,11,1,,2,1,)1(,1)(,)()()(,)(.0111,)()(,)(,21,2)(.110)0()(,1)(,10,1)(,0)0()1(111111111102121212211101--=+⋅⋅⋅++=≠-⋅⋅⋅==--===--==+==-=--=≤≤===--==≤≤==----------b b b b b x b b x x n b x x n x f n x f b x x x f x f b n x f y x bx b x x b x x x f x f b x f y y x f x x f x f b x f y y x f f n n n n n n n n n n n n n n n n 得由公比为其首项为为等比数列由此知数列故又故得段线段的斜率为图象中第由函数记得即故由的线段的图象是斜率为函数时当又由得故由的线段的图象是斜率为函数时当又由).,0[)(,10);1,0[)(,1:.,10;11)1(lim lim ,1,),3,2,1(1)1(,)(),3,2,1,(),()()1(,,1.)(,10,)1(,10)2(1111∞+<<->∞→∞→<<-=--=>⋅⋅⋅=--=⋅⋅⋅=≤≤-+=≤≤+≤≤=≤≤=≤≤-∞→∞→-++的定义域为时当的定义域为时当综上所述时时当时当进行讨论须对的定义域为求由时即当时当时即当知从当x f b b bx f b x n b b b b b b x b n b b b x x f n x x x x x b n x f x x x n y n x x f x x y y n n n n n n n n n n n n n .1)(,)(,1,,1,)(,0)()(,0)(111)()()()1()()()(,,),1,1(,)(,11,1)3(11的交点的图象没有横坐标大于的图象与故函数成立恒有时可知当仿上述证明时当成立其次即有所以故又此时有使存在对任意的成立恒有时先证明当x y x f x x f x b x x f x x f x x f x x f x bb n x f x x f x x f n x x x x b x f x f x x x x b b x x x f b b x b n n n n n n n n n n n nn n n n =<><>>->->-=+⋅⋅⋅++>=->-⇒≥->-=-≤<-∈<-<<>-+8． （I ）4945=a ;（II ）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：)1(341-+=j a j ;第二行是首项为7，公差为5的等差数列：)1(572-+=j a j ……第i 行是首项为)1(34-+i ，公差为21i +的等差数列，因此j j i j i ij j i i a ij ++=++=-++-+=)12(2)1)(12()1(34,要找2008在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数i ，j ，使得20082=++j i ij , 所以122008+-=i ij , 当1=i 时，得669=j 所以2008在等差数阵中的一个位置是第1行第669列．（III ）必要性：若N 在该等差数阵中，则存在正整数i ，j 使得j j i N ++=)12(从而12)12(212+++=+j j i N )12)(12(++=j i 即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k ，l ，使得)12)(12(12++=+l k N , 从而kl a l l k N =++=)12(可见N 在该等差数阵中．综上所述，正整数N 在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．9． （1）3,401010.102010=∴=+==d d a a ． （2）())0(11010222030≠++=+=d d d d a a ，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230d a ，当),0()0,(∞+∞-∈Y d 时，[)307.5,a ∈+∞． （3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n 时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a Λ是公差为n d 的等差数列． 研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a 的取值范围．研究的结论可以是：由()323304011010d d d d a a +++=+=，依次类推可得()n n d d a +++=+Λ110)1(10⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--⨯=+.1),1(10,1,11101d n d d d n 当0>d 时，)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等． 10． 因为cosA= b 2+c 2－a 22bc = 12 ,即A=60°,于是sin30°= r 1－r 2 r 1+r 2 = 12 得 r 2 r 1 = 13,同理r n r n －1= 13, 所以面积的和S=πr 121－19 = 98πr 12,又r1= bc sin A a +b +c =5 3－ 216 11．93．由 a 1+ a 3+ a 5+…+ a 97=(a 2 +a 4 +a 6 +…+a 98)－49可得． 12．（Ⅰ）解：∵).1,1(),,1(),,(422122121n n n n n n n n n a a a aQ a a aP a a Q ⋅⋅++-∴,121n n a aa ⋅=+ ∴2222122221)1()1(11-+--=⋅=⋅=n n n n a aa a a a a a Λ==⋅=-++-+3222221222321)1()1()1(n n a a a a a=1211211121212221)()1()1(----+-+++==n n n n n aa a a a a aΛ， ∴.)(121-=n aa a a n（Ⅱ）证明：由a =1知,21n n a a =+ ∵,211≤a ∴.161,4132≤≤a a ∵当.161,132≤≤≥+a a k k 时 ∴∑∑=++=++<-=-≤-n k n k k nk k k k a a a a a a a 1111121.321)(161)(161)(（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a =1时，,121-=n a a n 因此∑∑∑=++-=+-=++-≤-=-n k i i i n i k k k nk k k k a a a a a a a a a 122111112112121121121)()()(∑-=-⋅-<-=1213131211312111)1()1(n i i a a a a a a a = .31121151<++a a a。

第70讲 函数问题选讲本节主要内容有运用函数的有关知识解决函数自身的问题和与函数有关的方程、不等式、数列等问题。

A 类例题 例1 如果在区间[1，2]上，函数f (x )=x 2+px +q 与g (x )=x +1x2在同一点取相同的最小值，求f (x )在该区间上的最大值．(1996年全国高中数学联赛) 解 由于g(x)= x +1x 2=12x +12x+1x2≥3314=3232． 当且仅当12x=1x2，即x=32时等号成立．由于32∈[1，2]，故x=32时g(x)取得最小值．因为f (x )=x 2+px +q =22()24p p x q ++-，所以－p2=32且 4q －p 24=3232，解得p =－232，q =3232+34．由于32－1<2－32．故在[1．2]上f(x)的最大值为f(2)=4－5232+34．说明 本题在求g(x)的最小值时，利用了均值不等式：a b c ++≥a b c R +∈，，），当且仅当a =b =c 时等号成立。

例2 若函数)(log 23a ax x y -+=的值域为R ，则实数a 的取值范围是 。

（1994年 “希望杯”全国数学邀请赛）解法一 根据函数值域定义，对于任意实数y ，关于x 的方程y a ax x =-+)(log 23，即032=--+y a ax x 恒有解，因此0344)3(422≥⋅++=++=∆y y a a a a （*） 恒成立。

因为430y⋅>，所以（*）式成立的充要条件是042≥+a a ，解得4-≤a 或0≥a 。

即实数a 的取值范围是(,4][0,)-∞-+∞。

解法二 根据对数函数和二次函数的性质，)()(2R x a ax x x u ∈-+=的最小值应不小于0， 即042≤--a a ，解得4-≤a 或0≥a 。

即实数a 的取值范围是(,4][0,)-∞-+∞。

说明 解法一运用转化思想把对数函数转化为指数形式（关于x 的二次方程）获得解答；解法二运用对数函数和二次函数的复合获得思路。

第14讲 周期函数与周期数列本节主要内容有周期；周期数列、周期函数． 周期性是自然规律的重要体现之一，例如地球公转的最小正周期就体现为年的单位．在数学中，我们就经常遇见各种三角函数，这类特殊的周期函数，特别是正弦、余弦函数与音乐有着密切的联系:19世纪法国数学家傅立叶证明了所有的乐声──不管是器乐还是声乐都能用数学表达式来描述，它们一定是一些简单的正弦周期函数的和． 作为认识自然规律的主要手段，数学在本学科中严格地引进了“周期”这个重要概念．在中学数学中，我们仅仅讨论定义域是整个实数轴的实值映射的周期性，尽管形式十分简单，但与之相关的问题仍有待研究．中学数学里称函数的周期，没有特殊说明是指其最小正周期．如果函数y ＝f (x)对于定义域内任意的x ，存在一个不等于0的常数T ，使得f (x ＋T)＝f (x) 恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T 是它的一个周期． 一般情况下，如果T 是函数f (x)的周期，则kT(k ∈N ＋)也是f (x)的周期． 1．若f (x ＋T )=－f ( x )，则2T 是f ( x )的周期，即f (x ＋2 T )= f ( x ) 证明：f (x ＋2 T )= f (x ＋T ＋T )=－ f (x ＋T )= f ( x )， 由周期函数的性质可得f (x ＋2n T )= f ( x )，(n ∈Z )2．若f (x ＋T )=±1f ( x )，则2T 是f ( x )的周期，即f (x ＋2 T )= f ( x )．仅以f (x ＋T )=1f ( x )证明如下：f (x ＋2 T )= f (x ＋T ＋T )= 1f ( x+T )= f ( x )．由周期函数的性质可得f (x ＋2n T )= f ( x )，(n ∈Z ) 3．在数列{}n a 中，如果存在非零常数T ，使得m T m a a +=对于任意的非零自然数m 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫数列{}n a 的周期．A 类例题例1（2001年上海春季卷） 若数列}{n a 前8项的值各异，且n 8n a a =+对任意的N n ∈都成立，则下列数列中可取遍}{n a 前8项值的数列为 （ ） A ．}{12+k aB ．}{13+k aC ．}{14+k aD ．}{16+k a解析 由数列{a n }前8项的值各异， n 8n a a =+对任意n ∈N ＋都成立，得数列{a n }的周期T= 8，则问题转化为2k ＋1， 3k ＋1， 4k ＋1， 6k ＋1中k= 1，2，3，…代入被8除若余数能取到0， 1， 2， 3， 4， 5，6， 7即为答案． 经检验3k ＋ 1可以，故}{13+k a 可取遍{a n }的前8项值．答案为B ．说明 本题还可以奇偶性的角度考虑，在2k ＋1， 3k ＋1， 4k ＋1， 6k ＋1中，2k ＋1， 4k ＋1， 6k ＋1都是奇数，除8后仍都是奇数，只有3k ＋1除8后余数能取到0， 1， 2， 3，4， 5，6， 7．例2 定义在R 上的奇函数且f ( x ＋2)=f ( x －2)，且f (1)= 2则f ( 2)＋f (7)= ．解 因为f ( x ＋2)=f ( x －2)，知f (x ＋2T )= f ( x )．即f (x ＋4)= f ( x )． 所以f (7)= f ( 3＋4)= f (－1＋4)= f ( －1)=－ f ( 1)=－2． f (－2)= f ( －2＋4)= f (2)所以f (2)= 0． 从而f ( 2)＋f (7)=－2．情景再现1．已知函数f(x)对任意实数x ，都有f(a ＋x)＝f(a －x)且f(b ＋x)＝f(b －x)， 求证:2|a －b|是f(x)的一个周期．(a≠b)2． 已知数列{n x }满足x 1=1，x 2=6，11-+-=n n n x x x (n ≥2)，求x 2006及S 2006．B 类例题例3定义在R 上的奇数满足 f (1＋x )=f (1－x )，当(]5,4∈x 时， f ( x )=2x －4，则)0,1[-∈x 时f( x )=因为f (1＋x )=f (1－x )， f (x )=f (－x )，知f (x ＋4)= f ( x )， 故当]1,0(∈x 时， x ＋4(]5,4∈， f ( x )= f (x ＋4)= 2x＋4－4=2x ．又)0,1[-∈x 时，即－]1,0(∈x ，所以f ( x )=－ f ( －x )=－ 2－x ()0,1[-∈x )例4 设f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任意x 1、x 2∈［0，21］，都有f (x 1＋x 2)=f (x 1)·f (x 2)，且f (1)=a >0． (1)求f (21)、f (41); (2)证明f (x )是周期函数； (3)记a n =f (2n ＋n21)，求).(ln lim n n a ∞→ （2001年全国高考题）分析 本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力． 认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f (x 1＋x 2)=f (x 1)·f (x 2)找到问题的突破口．由f (x 1＋x 2)=f (x 1)·f (x 2)变形为)2()2()2()22()(x f x f x f x xf x f ⋅⋅=+=是解决问题的关键．解 (1) 因为对x 1，x 2∈［0，21］，都有f (x 1＋x 2)=f (x 1)·f (x 2)，所以f (x )=)2()22(x f x x f =+≥0，x ∈［0，1］又因为f (1)=f (21＋21)=f (21)·f (21)=［f (21)］2 f (21)=f (41＋41)=f (41)·f (41)=［f （41）］2 又f (1)=a >0∴f (21)=a 21，f (41)=a 41(2)证明：依题意设y =f (x )关于直线x =1对称，故f (x )=f (1＋1－x )，即f (x )=f (2－x )，x ∈R ． 又由f (x )是偶函数知f (－x )=f (x )，x ∈R ， ∴f (－x )=f (2－x )，x ∈R ．将上式中－x 以x 代换得f (x )=f (x ＋2)，这表明f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期．(3)解：由(1)知f (x )≥0，x ∈［0，1］∵f (21)=f (n ·n 21)=f (n 21＋(n －1) n 21)=f (n 21)·f ((n －1)·n21) =……=f (n 21)·f (n 21)·……·f (n 21)=［f (n 21)］n =a 21∴f (n21)=a n 21．又∵f (x )的一个周期是2∴f (2n ＋n 21)=f (n21)，因此a n =a n 21∴.0)ln 21(lim )(ln lim ==∞→∞→a na n n n 例5 (1997年全国高中数学联赛)已知数列{n x }满足11-+-=n n n x x x (n ≥2)，x 1=a ， x 2=b ， 记S n =x 1＋x 2＋ ＋x n ，则下列结论正确的是 ( )A ． x 100=-a ，S 100=2b -aB ．x 100=-b ，S 100=2b -aC x 100=-b ，S 100=b -aD ．x 100=-a ，S 100=b -a解 因为11-+-=n n n x x x ==-----121)(n n n x x x 2--n x ，于是得n n n x x x =-=++36所以数列{n x }是周期数列，其周期为6k(k ∈Z )，且x 1＋x 2＋ ＋x 6=0，x 100=x 4=－x 1 =－a ．故S 100=16(x 1＋x 2＋ ＋x 6)＋x 97＋x 98＋ ＋x 99＋x 100= x 1＋x 2＋ x 3＋x 4=x 2＋x 3=2b －a ． 例6 设数列 a 1 ，a 2 ，a 3 ，…， a n ，满足a 1 = a 2 =1， a 3 =2，且对任意自然数n 都有 a n ·a n＋1 ·a n ＋2≠1， a n ·a n ＋1 ·a n ＋2 a n ＋3= a n ＋a n ＋1 ＋a n ＋2＋a n ＋3，求 a 1 ＋a 2 ＋a 3＋…＋a 100． 解 由a n ·a n ＋1 ·a n ＋2 a n ＋3= a n ＋a n ＋1 ＋a n ＋2＋a n ＋3， ①得a n ＋1 ·a n ＋2 ·a n ＋3 a n ＋4= a n ＋1 ＋a n ＋2 ＋a n ＋3＋a n ＋4， ②两式相减得：(a n －a n ＋4 )·(a n ＋1 ＋a n ＋2 a n ＋3－1)=0， 由于a n ＋1 ＋a n ＋2 a n ＋3≠1，所以a n ＋4 =a n ．又a 1 = a 2=1，a 3=2，由①得2a 4 =4＋a 4 ，所以a 4=4．故 a 1 ＋a 2 ＋a 3＋a 4=8，于是 a 1 ＋a 2 ＋a 3＋…＋a 100=25(a 1 ＋a 2 ＋a 3＋a 4)=200．情景再现3．设f(x)是定义在区间(－∞，＋∞)上以2为周期的函数，对k ∈Z ，用I k 表示区间(2k －1，2k ＋1]，已知当x ∈I 0时f(x)=x 2． (Ⅰ)求f(x)在I k 上的解析表达式;(Ⅱ)对自然数k ，求集合Mk={a │使方程f(x)=ax 在I k 上有两个不相等的实根}．4． (2005年上海理科卷)在直角坐标平面中，已知点1(1,2)P ，22(2,2)P ，33(3,2)P ，…，(,2)n n P n ，其中n 是正整数．对平面上任一点0A ，记1A 为0A 关于点1P 的对称点，2A 为1A 关于点2P 的对称点，……，n A 为1n A -关于点n P 的对称点．(1)求向量02A A 的坐标；(2)当点0A 在曲线C 上移动时，点2A 的轨迹是函数()y f x =的图象，其中()f x 是以3为周期的周期函数，且当(]0,3x ∈时，()lg f x x =，求以曲线C 为图象的函数在(]1,4的解析式；对任意偶数n ，用n 表示向量0n A A 的坐标C 类例题例7 ．(2005年广东卷19)设函数()(,)(2)(2),(7)(7)f x f x f x f x f x -∞+∞-=+-=+在上满足，且在闭区间[0，7]上，只有.0)3()1(==f f （Ⅰ）试判断函数)(x f y =的奇偶性；（Ⅱ）试求方程0)(=x f 在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论．解 （Ⅰ）由(2)(2)()(4)(4)(14)(7)(7)()(14)f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x -=+=-⎧⎧⇒⇒-=-⎨⎨-=+=-⎩⎩)10()(+=⇒x f x f ，从而知函数)(x f y =的周期为10=T又(3)(1)0,(7)0f f f ==≠而，(3)(310)(7)0f f f -=-+=≠，所以(3)(3)f f -≠±故函数)(x f y =是非奇非偶函数;(II) 又(3)(1)0,(11)(13)(7)(9)0f f f f f f ====-=-=故f(x)在[0，10]和[－10，0]上均有有两个解，从而可知函数)(x f y =在[0，2005]上有402个解，在[－2005．0]上有400个解，所以函数)(x f y =在[－2005，2005]上有802个解．例8数列{ a n }满足 a n = a n －1－ a n －2 (n ≥3)．如果它的前1492项之和是1985， 而它的前1985项之和是1492．那么前 2 001项的和是多少? (1985年中美数学邀请赛复赛试题)解 因为a n = a n －1－ a n －2 =( a n －2－ a n －3 )－ a n －2 =－ a n －3同理a n －3=－ a n －6 所以a n = a n －6故数列{ a n }是周期数列．其周期为6． 且f ( n)=f ( 6k ＋n)， (k ∈N)．S n = a n ＋a n －1＋a n －2＋ ＋a 1， 且a n = a n －1－ a n －2 (n ≥3)所以S n =( a n －1－ a n －2)＋( a n －2－ a n －3)＋ ( a n －3－ a n －4)＋…＋ ( a 2 –a 1) ＋ a 2＋a 1 = a n －1＋ a 2 (n ≥3)因此S 1492= a 1491＋ a 2= a 248×6＋3＋ a 2= a 3＋ a 2=1985，S 1985= a 1984＋ a 2= a 330×6＋4＋ a 2= a 4＋ a 2= a 3=1492． 由以上两式得a 2=493，所以S 2001= a 2000＋ a 2= a 333×6＋2＋ a 2= a 2＋ a 2=986．情景再现5．已知f (x )是定义在R 上的函数f (10＋ x)= f (10－ x)， f (20＋ x)= f (20－ x)． 则f (x )是( )．A ．周期为20的奇函数B ．周期为20的偶函数C ．周期为40的奇函数D ．周期为40的偶函数6．在数列{ a n }中． a n = 13， a n = 56．对所有的正整数n 都有a n ＋1 = a n ＋ a n ＋2，求a 1994 ．(1994年第5届希望杯”竞赛题)习题14A 类习题1．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{}a n 是等和数列，且a 12=，公和为5，那么(1)a 18的值为_______，(2)这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________________ (2004年北京理工卷)． 2．若存在常数0>p ，使得函数=)()(px f x f 满足)(),)(2(x f R x ppx f 则∈-的一个正周期为 ．（2003年春季北京卷）3．对任意整数x ，函数)(x f 满足)(1)(1)1(x f x f x f -+=+，若2)1(=f ，则=)2003(f ．4．已知函数f(x)的定义域为N ，且对任意正整数x ，都有f(x)＝f(x －1)＋f(x ＋1)．若f(0)＝2004，求f(2004)．5．已知对于任意a ，b ∈R ，有f(a ＋b)＋f(a －b)＝2f(a)f(b)，且f(x)≠0 ⑴求证：f(x)是偶函数； ⑵若存在正整数m 使得f(m)＝0，求满足f(x ＋T)＝f(x)的一个T 值(T≠0)6．记f (n)为自然数n 的个位数字，a n = f (n 2)－ f (n)．求a 1＋a 2＋a 3＋ ＋a 2006的值．B 类习题7．函数f 定义在整数集上． 满足：()f n =()310005n n f n -≥⎧⎪⎨+⎡⎤⎪⎣⎦⎩若若n＜1000， 求()84f 的值．8． 已知数列{ a n }满足 a 1=1，a 2=2，a n a n ＋1a n ＋2=a n ＋ a n ＋1＋a n ＋2，且 a n ＋1a n ＋2≠1，求20061ii a=∑的值．9． 设函数f (x )的定义域关于原点对称且满足：(i)f (x 1－x 2)=)()(1)()(1221x f x f x f x f -+⋅；(ii)存在正常数a 使f (a )=1．求证： (1)f (x )是奇函数．(2)f (x )是周期函数，且有一个周期是4a ．10． 已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x ＋T )=T f (x )成立．（1）函数f (x )= x 是否属于集合M ？说明理由；（2）设函数f (x )=a x （a >0，且a ≠1）的图象与y=x 的图象有公共点，证明： f (x )=a x ∈M ；（3）若函数f (x )=sin kx ∈M ，求实数k 的取值范围．(2003年上海卷)C 类习题11．整数数列}{n a ，时对于每个n ≥3都有a n = a n －1 －a n －2，若前2003项的和为a ，(a ≠0)则S 5=( )A ．aB ． a 5C ． 5a D ． 5 a( 2003年希望杯)12． 设f(x)是一个从实数集R 到R 的一个映射，对于任意的实数x ，都有|f(x)|≤1，并且f (x)＋)71+(+)61+(=)4213+(x f x f x f ，求证:f(x)是周期函数．本节“情景再现”解答：1． 不妨设a ＞b ， 于是f(x ＋2(a －b))＝f(a ＋(x ＋a －2b))＝f(a －(x ＋a －2b))＝f(2b －x)＝f(b －(x －b))＝f(b ＋(x －b))＝f(x) ∴ 2(a －b)是f(x)的一个周期当a ＜b 时同理可得． 所以，2|a －b|是f(x)的周期2．解法一：由x 1=1，x 2=6，及 11-+-=n n n x x x 得x 3=5，x 4=－1， x 5=－6，x 6=－5， x 7=1，x 8=6， 所以数列{n x }是周期数列，其周期为6k(k ∈Z )，且 x 1＋x 2＋ ＋x 6=0，所以x 2006= x 6×334＋2= x 2=6． S 2006=7解法二：因为11-+-=n n n x x x ==-----121)(n n n x x x 2--n x ，于是得n n n x x x =-=++36所以数列{n x }是周期数列，其周期为6k(k ∈Z )，且x 1＋x 2＋ ＋x 6=0，所以x 2006= x 6×334＋2= x 2=6． S 2006=7 3． ⑴证明：令a ＝b ＝0得，f(0)＝1(f(0)＝0舍去)又令a ＝0，得f(b)＝f(－b)， 即f(x)＝f(－x) ， 所以，f(x)为偶函数 ⑵令a ＝x ＋m ，b ＝m 得f(x ＋2m)＋f(x)＝2f(x ＋m)f(m)＝0所以f(x ＋2m)＝－f(x) 于是f(x ＋4m)＝f[(x ＋2m)＋2m] ＝－f(x ＋2m) ＝f(x) 即T ＝4m(周期函数)4． (Ⅰ):∵f (x)是以2为周期的函数，∴ 当k ∈Z 时，2k 是f(x)的周期．又∵ 当x ∈I k 时，(x －2k)∈I 0，∴ f(x)=f(x －2k)=(x －2k)2．即对 k ∈Z ，当x ∈I k 时，f(x)=(x －2k)2． (Ⅱ)解:当k ∈N 且x ∈I k 时，利用(Ⅰ)的结论可得方程(x －2k)2=ax ， 整理得 x 2－(4k ＋a)x ＋4k 2=0． 它的判别式是 △=(4k ＋a)2－16k 2=a(a ＋8k)．上述方程在区间Ik 上恰有两个不相等的实根的充要条件是a 满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++≥++-+<->+])8(4[2112])8(4[21120)(k a a a k k k a a a k k k a a ， 化简⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤++>+>+ak a a a k a a k a a 2)8(2)8(0)8( ③②①由①知a >0，或a <－8k ． 当a >0时:因2＋a>2－a ，故从②，③可得a (a +8k ) ≤2－a ，即 ．⎩⎨⎧a (a +8k )≤(2－a )2，2－a >0.即⎩⎨⎧(2k +1)a ≤1，a ＜2.所以 1210+≤<k a 当a <－8k 时:2＋a<2－8k<0，易知a (a +8k ) <2＋a 无解． 综上所述，a 应满足1k 21a 0+≤<， 故所求集合(1)K>0 时 }1210{+≤<=k a a M K (2)K=0 ， {a ｜－1<a <0， 或0<a <1}4．（1）设点),(0y x A ，A 0关于点P 1的对称点A 1的坐标为),4,2(1y x A --A 1关于点P 2的对称点A 2的坐标为)4,2(2y x A ++，所以，}.4,2{20=A A（2）[解法一])(},4,2{20x f A A ∴= 的图象由曲线C 向右平移2个单位，再向上平移 4个单位得到．因此，基线C 是函数)(x g y =的图象，其中)(x g 是以3为周期的周期函数，且当.4)1lg()(,]4,1(,,4)2lg()(,]1,2(--=∈-+=-∈x x g x x x g x 时当于是时[解法二]设⎩⎨⎧=-=-42),,(),,(222220y y x x y x A y x A 于是若).3lg()3()(,330,6322222-=-=≤-<≤<x x f x f x x 于是则当),1lg(4.63,412-=+≤<≤<x y x x 则时 .4)1l g ()(,]4,1{--=∈∴x x g x 时当 （3）n n n A A A A A A A A 242200-+++=由于)(2,2143210212222n n n k k k k P P P P P P A A P P A A ---+++== 得，}.3)12(4,{}3)12(2,2{2})2,1{}2,1{}2,1({213-=-=+++=-n n n n n5．解析:f (20＋ x)= f [10＋ (10＋ x)]=f (10－ (10＋ x))= f (－x )， 类似地 f (20－ x)= f (x )，所以f (x )=－f (－x )， 故f (x )是奇函数且f (x )的周期为40．故选C ．6．解 因为a n ＋1 = a n ＋ a n ＋2 ， 所以a n ＋2 = a n ＋1＋ a n ＋3， 以上两式相减得a n ＋3 =－ a n ， 所以a n ＋6 = a n所以数列{ a n }是以6周期的周期数列．所以a 1994= a 332×6＋2= a 2=56．本节“习题14”解答：1． 答案：(1) 3 解：(1)由题可得5= a 1 ＋a 2 = a 2＋a 3 =a 3 ＋a 4=…= a 2n －1＋a 2n =a 2n ＋a 2n ＋1得a 2n ＋1=a 2n ＋3 ，a 2n =a 2n ＋2，故得为周期数列T=2， a 18 =a 2 ，又因为 a 1=2，所以a 2=3，故a 18 =a 2 =3．(2) 当n 为偶数时，S n n =52；当n 为奇数时，S n n =-5212． 2． 答案:2p 注：填2p的正整数倍中的任何一个都正确． 解：设u= px －p 2·所以px= u ＋p 2则f (u) = f (u ＋p2)对于任意的实数u 都成立，根据周期函数的定义，f( x)的一个正周期为p 2，所以f (x)的一个正周期为p2．3． 解 由)(1)(1)1(x f x f x f -+=+得)(1)2(x f x f -=+，故)()4(x f x f =+，21)3()3504()2003(-==+⨯=f f f ．4． 解 因为f(x)＝f(x －1)＋f(x ＋1) 所以f(x ＋1)＝f(x)＋f(x ＋2)， 两式相加得0＝f(x －1)＋f(x ＋2)即：f(x ＋3)＝－f(x) ∴ f(x ＋6)＝f(x)， f(x)是以6为周期的周期函数，2004＝6×334 ，∴ f(2004)＝f(0)＝2004． 5． ⑴证明：令a ＝b ＝0得，f(0)＝1(f(0)＝0舍去)又令a ＝0，得f(b)＝f(－b)，即f(x)＝f(－x) ， 所以，f(x)为偶函数 ⑵令a ＝x ＋m ，b ＝m 得f(x ＋2m)＋f(x)＝2f(x ＋m)f(m)＝0所以f(x ＋2m)＝－f(x) 于是f(x ＋4m)＝f[(x ＋2m)＋2m] ＝－f(x ＋2m) ＝f(x)，即T ＝4m(周期函数)6． 解易知f (n ＋10)=f (n)， f [(n ＋10)2]=f (n 2) 所以a n ＋10 = a n 即a n 是以10为周期的数列又易知a 1=0，a 2=2，a 3=6， a 4=2，a 5=0，a 6=0，a 7=2，a 8=－4，a 9=－8， a 10=0． 所以a 1＋a 2＋a 3＋ ＋a 10=0． 故a 1＋a 2＋a 3＋ ＋a 2005= a 1＋a 2＋a 3＋ ＋a 6=10． 7． 解 先考虑n=999(近1000时) 情况：()999ffff =()1004ffff f ⎡⎤⎣⎦=()1001ffff =()998fff =()1003fff f ⎡⎤⎣⎦ =()1000fff =()997ff =()1002ff f ⎡⎤⎣⎦=()999ff ． (有规律()999ffff =()999ff )．∴()84f =()845f f +⎡⎤⎣⎦=()8425ff f +⨯⎡⎤⎣⎦=()8435fff f +⨯⎡⎤⎣⎦ =()184841835fff +⨯=()184999fff =()182999fff =……=()999ff =()1004fff =()1001ff =()998f =()1003ff=()1000f =997．8． 解 易知a 3=3，a 4=1，a 5=2，由 a n a n ＋1a n ＋2=a n ＋ a n ＋1＋a n ＋2， ① 得a n ＋1a n ＋2a n ＋3=a n ＋1＋ a n ＋2＋a n ＋3， ② ②－①得：(a n ＋3－a n )( a n ＋1a n ＋2－1)=0， 又a n ＋1a n ＋2≠1，所以a n ＋3－a n =0，即a n 是以3为周期的数列，又a 1＋ a 2＋a 3=6，所以20061ii a=∑=6×668＋1＋2=4011．9． 证明: (1）不妨令x =x 1－x 2，则f (－x )=f (x 2－x 1)=)()(1)()()()(1)()(12212112x f x f x f x f x f x f x f x f -+-=-+=－f (x 1－x 2)=－f (x )．∴f (x )是奇函数．(2）要证f (x ＋4a )=f (x )，可先计算f (x ＋a )，f (x ＋2a )．∵f (x ＋a )=f ［x －(－a )］=)1)((1)(1)()()(1)()()()(1)()(=+-=--+-=---+-a f x f x f x f a f x f a f x f a f x f a f ．).(111)(1)(11)(1)(1)(1)(])[()2(x f x f x f x f x f a x f a x f a a x f a x f -=++--+-=++-+=++=+∴ ∴f (x ＋4a )=f ［(x ＋2a )＋2a ］=)2(1a x f +-=f (x )，故f (x )是以4a 为周期的周期函数．10． 解（1）对于非零常数T ，f (x ＋T)=x ＋T ， T f (x )=T x ． 因为对任意x ∈R ，x ＋T= T x 不能恒成立，所以f (x )=.M x ∉（2）因为函数f (x )=a x （a >0且a ≠1）的图象与函数y=x 的图象有公共点，所以方程组：⎩⎨⎧==xy a y x有解，消去y 得a x =x ，显然x =0不是方程a x =x 的解，所以存在非零常数T ，使a T =T ． 于是对于f (x )=a x 有)()(x Tf a T a a aT x f x x T Tx =⋅=⋅==++ 故f (x )=a x ∈M ．（3）当k=0时，f (x )=0，显然f (x )=0∈M ．当k ≠0时，因为f (x )=sin kx ∈M ，所以存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有 f (x ＋T)=T f (x )成立，即sin(kx ＋k T)=Tsin kx ． 因为k ≠0，且x ∈R ，所以kx ∈R ，kx ＋k T ∈R ， 于是sin kx ∈[－1，1]，sin(kx ＋k T) ∈[－1，1]， 故要使sin(kx ＋k T)=T sin kx ．成立，只有T=1±，当T=1时，sin(kx ＋k )=sin kx 成立，则k =2m π， m ∈Z ．当T=－1时，sin(kx －k )=－sin kx 成立，即sin(kx －k ＋π)= sin kx 成立，则－k ＋π=2m π， m ∈Z ，即k =－2(m －1) π， m ∈Z ．综合得，实数k 的取值范围是{k |k = m π， m ∈Z}11． 解 因为a n = a n －1－ a n －2 =( a n －2－ a n －3 )－ a n －2 =－ a n －3，同理a n －3=－ a n －6所以a n = a n －6，故数列{ a n }是周期数列．其周期为6． 因此S n = a n ＋a n －1＋a n －2＋ ＋a 1， 且a n = a n －1－ a n －2 (n ≥3)．所以S n =( a n －1－ a n －2)＋( a n －2－ a n －3)＋ ( a n －3－ a n －4)＋…＋ ( a 2 –a 1) ＋ a 2＋a 1= a n －1＋ a 2 (n ≥3)． 因此S 2003= a 2002＋ a 2= a 333×6＋4＋ a 2= a 4＋ a 2=S 5，故选A ．12． 证明:由已知f(x)＋)4216x (f )427x (f )4213x (f +++=+所以)426x (f )4213x (f )x (f )427x (f +-+=-+ 19124942()()......()()42424242f x f x f x f x =+-+==+-+ 即 )427x (f )4249x (f )x (f )4242x (f +-+=-+ ① 同理有)4243x (f )4249x (f )421x (f )427x (f +-+=+-+ 即 )421x (f )4243x (f )427x (f )4249x (f +-+=+-+ ② 由①②)427x (f )4249x (f )x (f )4242x (f +-+=-+ 4314428442()()()()......()()424242424242f x f x f x f x f x f x =+-+=+-+==+-+ 于是f(x ＋1)－f(x)＝f(x ＋2)－f(x ＋1)，记这个差为d同理f(x ＋3)－f(x ＋2)＝f(x ＋2)－f(x ＋1)＝d……f(x ＋n ＋1)－f(x ＋n)＝f(x ＋n)－f(x ＋n －1)＝……＝f(x ＋1)－f(x)＝d即是说数列{f(x ＋n)}是一个以f(x)为首项，d 为公差的等差数列因此f(x ＋n)＝f(x)＋nd ＝f(x)＋n[f(x ＋1)－f(x)]对所有的自然数n 成立， 而对于x ∈R ，|f(x)|≤1，即f(x)有界，故只有f(x ＋1)－f(x)＝0即f(x ＋1)＝f(x) x ∈R 所以f(x)是周期为1的周期函数．。

高中数学竞赛一轮课程教案
适用对象：高中学生
课程时间：4周，每周2次，每次2小时
课程目标：通过一轮系统性的教学，帮助学生掌握数学竞赛所需的基本知识和解题技巧，培养其解决问题的能力和思维逻辑。

教学内容：
第一周
1. 数列与数列的性质
2. 序列与通项公式
3. 等差数列、等比数列的性质
4. 数列的数学归纳法
5. 数列的和与通项和公式
第二周
1. 函数的概念与性质
2. 基本初等函数的性质与图像
3. 函数的奇偶性、周期性
4. 函数的提高应用
第三周
1. 不等式与绝对值
2. 不等式的性质与变形
3. 一元二次不等式
4. 多项式与常用不等式
第四周
1. 数论与整数问题
2. 空间几何与解题技巧
3. 各类解题技巧与应用
4. 模拟测试与讲解
教学方法：理论讲解、例题演练、作业练习、课堂互动、模拟测试等
评估方式：课后作业、小测验、期末综合测试
教学资源：教材、练习册、试题集、辅导资料
教学建议：鼓励学生主动思考，勤于练习，及时复习巩固，尽可能多参加数学竞赛，积极参与讨论与交流。

备注：本教案旨在帮助学生夯实数学基础，提高解题技巧和应试水平，需要根据实际情况进行适当调整和完善。

课题：周期问题班级姓名一、本讲知识点和能力目标1、知识点：周期。

2、知识目标：（1）让学生知道许多事物的变化都具有周期性，掌握其中变化的周期，并能灵活运用周期变化规律解决实际问题。

（2）通过自主互动式的学习，提高学生主动探究问题的能力。

（3）初步渗透物质世界是变化的规律，引导学生善于自主发现规律，并生成认真研究规律的好习惯。

3、能力目标：能够运用数学方法解决生活中的周期问题.二、教案方法自主、启发与导学三、本讲内容安排第一课时周期的意义和初级类型。

第二课时较复杂的周期问题。

（代表性问题）第三课时周期问题的拓展和探索。

第四课时独立练习四、课外延伸、知识拓展周期与余数问题的结合五、需要理解和记忆的知识在日常生活中了那么多现象都是按照一定的规律、依次不断重复出现的，我们把这种现象叫做周期现象儿歌从前有座山，山里有个庙，庙里有个老和尚给小和尚讲故事。

讲的是，从前有座山，山里有个庙，庙里有个老和尚给小和尚讲故事。

讲的是，从前有座山，山里有个庙，……常见的简算形式有关时间的儿歌一、三、五、七、八、十、腊，三十一天永不差。

四、六、九与十一三十天要牢记。

二月只有二十八。

平年三百六十五，闰年再把一日加。

第一课时【经典例题】例1．根据周期找位置：（1）卡片出示：△○○△○○△○○△○○……3个一组——一个△两个○（2）学生同桌说一说排列规律，说出它的变化周期是几？答：变化周期是3（3）提问：第13个图形是什么？第60个呢？13÷3=4（组）………1（个）60÷3=20（组）答：第13个图形是△。

第60个是○。

例2．在3.4507507……中的第50位小数是几？50÷3=18（组）……2（个）答：第50位小数是0。

例 3.2007年六·一是星期五，明年的六、一儿童节将会是星期几？（365＋1）÷7=366÷7=52（周）……2（天）答：明年的六、一儿童节将会是星期日。

莫愁前路无知己，天下谁人不识君。

第三十三课时函数模型及其应用(1)【学习导航】知识网络学习要求1．了解解实际应用题的一般步骤；2．初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法；3．渗透建模思想，初步具有建模的能力. 自学评价1．数学模型就是把用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．2. 数学建模就是把实际问题加以建立相应的的过程，是数学地解决问题的关键．3. 实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察．【精典范例】例1．写出等腰三角形顶角y（单位：度）与底角x的函数关系．点评: 函数的定义域是函数关系的重要组成部分．实际问题中的函数的定义域，不仅要使函数表达式有意义，而且要使实际问题有意义．例2．某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元,生产每台计算机的可变成本为3000元,每台计算机的售价为5000元.分别写出总成本C (万元)、单位成本P（万元）、销售收入R（万元）以及利润L（万元）关于总产量x（台）的函数关系式.分析：销售利润()L x=销售收入()R x-成本()C x,其中成本()C x= (固定成本+可变成本).例3．大气温度()y C o随着离开地面的高度()x km增大而降低，到上空11km为止，大约每上升1km，气温降低6C o，而在更高的上空气温却几乎没变（设地面温度为22C o）．求：（1）y与x的函数关系式；（2） 3.5x km=以及12x km=处的气温．点评:由于自变量在不同的范围中函数的表达式不同，因此本例第1小题得到的是关于自变量的分段函数；第2小题是已知自变量的值，听课随笔莫愁前路无知己，天下谁人不识君。

求函数值的问题．追踪训练一1．生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本，可表示为商品数量的函数，现知道一企业生产某种产品的数量为x 件时的成本函数是()21200102C x x x =++（元），若每售出一件这种商品的收入是200元，那么生产并销售这种商品的数量是200件时，该企业所得的利润可达到多少？2．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间近似满足如图所示的曲线.（OA 为线段，AB 为某二次函数图象的一部分，O 为原点）.（1）写出服药后y 与t 之间的函数关系式()y f x =；（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于49微克时，对治疗有效，求服药一次治疗疾病有效的时间.【选修延伸】一、函数与图象高考热点1: （2002年高考上海文，理16）一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系，如图所示，图（1）表示某年12个月中每月的平均气温.图（2）表示某家庭在这年12个月中每个月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是（ ）A.气温最高时，用电量最多B.气温最低时，用电量最少C.当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加D.当气温小于某一值时，用电量随气温渐低而增听课随笔莫愁前路无知己，天下谁人不识君。

第 17 讲 同 余同余是数论中的重要概念，同余理论是研究整数问题的重要工具之一。

设m 是一个给定的正整数，如果两个整数a 与b 用m 除所得的余数相同，则称a 与b 对模同余，记作)(mod m b a ≡，否则，就说a 与b 对模m 不 同余，记作)(mod m b a ≡，显然，)(|)(,)(mod b a m Z k b km a m b a -⇔∈+=⇔≡； 1、 同余是一种等价关系，即有自反性、对称性、传递性1).反身性：)(mod m a a ≡；2).对称性：)(mod )(mod m a b m b a ≡⇔≡；3). 传递性：若)(mod m b a ≡，)(mod m c b ≡则)(mod m c a ≡; 2、加、减、乘、乘方运算若 a b ≡（mod m ） c d ≡（mod m ）则 a c b d ±≡±（mod m ），ac bd ≡（mod m ），nna b ≡（mod m ） 3、除法设 ac bd ≡（mod m ）则 a b ≡（mod(,)mc m ）。

A 类例题例1．证明： 一个数的各位数字的和被9除的余数等于这个数被9除的余数。

分析 20≡2(mod9)，500≡5(mod9)，7000≡7(mod9)，……，由于10n －1=9M ，则10n≡1(mod9)，故a n ×10n≡a n (mod9)。

可以考虑把此数变为多项式表示a n ×10n+ a n-1×10n-1+…+ a 1×10+a 0后处理。

证明 设a=110n n a a a a -=a n ×10n + a n-1×10n-1+…+ a 1×10+a 0，∵10≡1(mod9)，∴10n ≡1(mod9)，∴a n ×10n+ a n-1×10n-1+…+ a 1×10+a 0≡a n + a n-1+…+ a 1+a 0。