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高一数学——周期函数解读知识解读1．周期函数：对于函数f （x ），如果存在一个非零常数T （T ≠0），使得当x 取定义域D 内的每一个值时，都有f （x +T ）=f （x ）恒成立，那么这个函数f （x ）叫做周期函数，常数T 叫做函数f （x ）的一个周期，周期函数的周期不唯一．2．最小正周期：对于一个周期函数f （x ）来说，如果在所有的周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做这个函数f （x ）的最小正周期． 重要结论（分别对应各种题型，以下k 为非零整数，T 表示周期）1、由定义判断：如果()()f x f x a =+，则()y f x =是周期函数，T=ka ；2、若函数f(x)满足f(x+a)=－f(x)(a >0), 则f (x )为周期函数且T=2ka ；3、若函数()()f x a f x a +=-，(a >0)，则()x f 是周期函数，T=2ka ；4、若函数f (x )满足f(x+a)=()x f 1 (a >0), 则f(x)为周期函数且T=2ka ； 5、若函数f(x)满足f(x+a)= ()x f 1-(a >0), 则f (x )为周期函数且T=2ka ； 6、若函数f(x)满足1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是周期函数，T=2ka ； 7、若函数f(x)满足1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是周期函数，T=4ka ； 8、若函数y=f(x)满足f(x+a)= )(1)(1x f x f -+(x ∈R ，a >0)，则f(x)为周期函数且T=4ka ； 9、若函数y=f(x)的图像关于直线x=a, x=b(b>a)都对称，则f(x)为周期函数且T=2k (b -a )；10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是周期函数，T=2k(b-a)；11、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是周期函数,T=4k(b-a)；12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且T=2k|a|；13、若奇函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且T=4k |a |；14、若函数y=f(x)满足f(x)=f(x-a)+f (x+a )(a >0)，则f(x)为周期函数,T=6ka ；15、若奇函数y=f(x)满足f(x+T)=f(x)(x ∈R ，T≠0)，则f(2T )=0。
专题函数的周期性一知识点精讲1. 周期函数的定义：对于/（兀）定义域内的每一个兀，都存在非零常数使得 /（X4- T ）= f （x 恒成立，则称函数/（兀）具有周期性，丁叫做/（兀）的一个周期，则灯（R W ZK H O ）也是/（兀）的周期，所有周期中的最小正数叫/⑴ 的最小正周期.周期函 数的定义域一定是无限集2性质①若/U ）的周期中，存在一个最小的正数，则称它为夬兀）的最小正周期； ②若周期函数心）的周期为T,则/（亦）（0^0）是周期函数，且周期为丄丨力|（9） 函数y = f （x ） （XG ^）的图象关于直线x = a ^x = b （a<b ）都对称，则函数/（兀）是 以2（h-a ）为周期的周期函数.（10） 函数y = f （x ） （x G 7?）的图象关于两点A 仏％）、（° </?）都对称,则函数 /（兀）是2（b —a ）为周期的周期函数.（11） 函数y = fM （XG /?）的图象关于4（仏％）和直线x = b （a<h ）都对称，则函数 /（X ）是以4 （h-a ）为周期的周期函数.（⑵ f （x + a ） = f （x ）-f （x-a ）t 则/（兀）的周期T = 6a.二典例解析1. 设 f （x ）是（一8,+8）上的奇函数，f （x+2）二-f （x ）,当 OWxWl 时,f （x ）二X,则 f （7.5）=（）A.0.5B. -0.5 C 」.5 D. -1.5a h2. 若y=fi2x ）的图像关于直线x =—和兀=刁（/?>。
）对称，则/（兀）的一个周期为（ ）3.几种特殊的具有周期性的抽象函数：函数歹=/（兀）满足对定义域内任一实数兀（其中。
>0为常数） /（无）=/（兀 +。
），则 y = f^x ）的周期 T = a ./（x+a ） = -/（%）,则/⑴的周期 T = 2a./（x + a ） = ±y^-j,则/G ）的周期 T = 2a./（x + d ） = /（x-d ）,则/（兀）的周期 T = 2a ・+ 则/（x ）的周期 T = 2a. 1 + /（兀） f （兀+ G ） =」7（X ）,则/（兀）的周期T = 4a 数. 1 + /O ）f （兀 + G ） = I + 心）,则 /（x ）的周期:T = 4a . 1-/（兀）函数y = 满足/（^ + .v ） = f （a-x ） （Q >0）,若/（x ）为奇函数，则其周期为 (1) (2) (3) (4) (5)(6)(7) (8)3. _________________________________________________________________ 已知/⑴在R 上是奇函数满足/(x + 3) = -/(x),/(l) = 2,则/(5)= ____________________________4.已知定义在R 上的奇函数/(劝满足/(兀+2) = —/(“)，则/(200^|= _________________ 例5.已知函数)u /(劝是定义在/?上的周期函数，周期7 = 5,函数y = /(x)(-l<x<l)是奇函数，又知y = /(x)在［0,1］上是一次函数，在［1,4］上是二次函数，且在x = 2时函数取 得最小值-5。
周期数列参数（大全）这个是斐波那契数列，还有一个鲁卡斯数列我感觉到有时更好用！特别是7天线更神奇！用传统的5,10，有时破了5天线，还没到10天线就回头了呢，其实是7天线在起作用。
19世纪时法国一个数学家鲁卡斯（E．Lucas）在研究数论的素数分布问题时发现和斐波那契数有些关系，而他又发现一种新的数列：1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，199，322，521等等。
这数列和斐波那契数列有相同的性质，第二项以后的项是前面二项的和组成。
数学家们称这数列为鲁卡斯数列。
斐波纳契数列与解鲁卡斯数列都与黄金分割比有密切的关系.鲁卡斯数列与费波纳茨数列的关系费波纳茨数列Fn：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233……….鲁卡斯数列…L n：1、3、4、7、11、18、29、47、76、123、199、322……..鲁卡斯数列的构成为相邻两费波纳茨数之和的集合，即Ln=Fn-1+Fn+1。
1876年鲁卡斯在研究一元二次方程POW（X，2）-X-1=0的两个根X1=（1+SQRT（5））/2，X2=（1-SQRT（5））/2时{1/X=X/（1-X）}得出了两个重要的推论结果：Fn=(1/SQRT(5))*POW((1+SQRT(5))/2,n)-(1/SQRT(5))*POW((1-SQRT(5))/2,n)Ln=POW((1+SQRT(5))/2,n)+POW((1-SQRT(5))/2,n)方程1/X=X/（1-X）的正根，为无理数∮=（1+SQRT （5））/2≈1.618，即著名的黄金分割比。
由黄金分割比按0.38（∮平方分之一）的乘率递减求出的正方形，所作圆弧的连线，即黄金螺旋线。
螺旋线是宇宙构成的基本形态，也是股市起伏时间序的基本形态，而其本质的参数即是黄金分割比∮。
比较费波纳茨数列与鲁卡斯数列，对相邻两数的比值取n趋向无穷大的极限，比值趋向黄金分割比∮Fn+1/Fn------->?∮Ln+1/Ln------->?∮因此，结论是两数列的本质是一致的，都与黄金分割比有着密切的关系。
周期函数与周期数列TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】第14讲周期函数与周期数列本节主要内容有周期；周期数列、周期函数．周期性是自然规律的重要体现之一，例如地球公转的最小正周期就体现为年的单位．在数学中，我们就经常遇见各种三角函数，这类特殊的周期函数，特别是正弦、余弦函数与音乐有着密切的联系:19世纪法国数学家傅立叶证明了所有的乐声──不管是器乐还是声乐都能用数学表达式来描述，它们一定是一些简单的正弦周期函数的和．作为认识自然规律的主要手段，数学在本学科中严格地引进了“周期”这个重要概念．在中学数学中，我们仅仅讨论定义域是整个实数轴的实值映射的周期性，尽管形式十分简单，但与之相关的问题仍有待研究．中学数学里称函数的周期，没有特殊说明是指其最小正周期．如果函数y＝f(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期．一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N＋)也是f(x)的周期．1．若f(x＋T)=－f(x)，则2T是f(x)的周期，即f(x＋2T)=f(x)证明：f(x＋2T)=f(x＋T＋T)=－f(x＋T)=f(x)，由周期函数的性质可得f(x＋2n T)=f(x)，(n∈Z)2．若f (x ＋T )=±，则2T 是f (x )的周期，即f (x ＋2T )=f (x )．仅以f (x ＋T )=证明如下：f (x ＋2T )=f (x ＋T ＋T )==f (x )．由周期函数的性质可得f (x ＋2n T )=f (x )，(n ∈Z ) 3．在数列{}n a 中，如果存在非零常数T ，使得m T m a a +=对于任意的非零自然数m 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫数列{}n a 的周期． A 类例题例1（2001年上海春季卷）若数列}{n a 前8项的值各异，且n 8n a a =+对任意的N n ∈都成立，则下列数列中可取遍}{n a 前8项值的数列为（）A ．}{12+k aB ．}{13+k aC ．}{14+k aD ．}{16+k a解析由数列{a n }前8项的值各异，n 8n a a =+对任意n ∈N ＋都成立，得数列{a n }的周期T=8，则问题转化为2k ＋1，3k ＋1，4k ＋1，6k ＋1中k=1，2，3，…代入被8除若余数能取到0，1，2，3，4，5，6，7即为答案．经检验3k ＋1可以，故}{13+k a 可取遍{a n }的前8项值．答案为B ．说明本题还可以奇偶性的角度考虑，在2k ＋1，3k ＋1，4k ＋1，6k ＋1中，2k ＋1，4k ＋1，6k ＋1都是奇数，除8后仍都是奇数，只有3k ＋1除8后余数能取到0，1，2，3，4，5，6，7．例2定义在R 上的奇函数且f (x ＋2)=f (x －2)，且f (1)=2则f (2)＋f (7)=．解因为f (x ＋2)=f (x －2)，知f (x ＋2T )=f (x )．即f (x ＋4)=f (x )．所以f (7)=f (3＋4)=f (－1＋4)=f (－1)=－f (1)=－2．f (－2)=f (－2＋4)=f (2)所以f (2)=0．从而f (2)＋f (7)=－2．情景再现1．已知函数f(x)对任意实数x ，都有f(a ＋x)＝f(a －x)且f(b ＋x)＝f(b －x)，求证:2|a －b|是f(x)的一个周期．(a≠b)2．已知数列{n x }满足x 1=1，x 2=6，11-+-=n n n x x x (n ≥2)，求x 2006及S 2006．B 类例题例3定义在R 上的奇数满足f (1＋x )=f (1－x )，当(]5,4∈x 时，f (x )=2x －4，则)0,1[-∈x 时f (x )=因为f (1＋x )=f (1－x )，f (x )=f (－x )，知f (x ＋4)=f (x )， 故当]1,0(∈x 时，x ＋4(]5,4∈，f (x )=f (x ＋4)=2x ＋4－4=2x ．又)0,1[-∈x 时，即－]1,0(∈x ，所以f (x )=－f (－x )=－2－x ()0,1[-∈x )例4设f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任意x 1、x 2∈［0，21］，都有f (x 1＋x 2)=f (x 1)·f (x 2)，且f (1)=a >0．(1)求f (21)、f (41);(2)证明f (x )是周期函数；(3)记a n =f (2n ＋n21)，求).(ln lim n n a ∞→（2001年全国高考题）分析本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力．认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f (x 1＋x 2)=f (x 1)·f (x 2)找到问题的突破口．由f (x 1＋x 2)=f (x 1)·f (x 2)变形为)2()2()2()22()(xf x f x f x x f x f ⋅⋅=+=是解决问题的关键．解(1)因为对x 1，x 2∈［0，21］，都有f (x 1＋x 2)=f (x 1)·f (x 2)，所以f (x )=)2()22(x f x x f =+≥0，x ∈［0，1］又因为f (1)=f (21＋21)=f (21)·f (21)=［f (21)］2f (21)=f (41＋41)=f (41)·f (41)=［f （41）］2又f (1)=a >0∴f (21)=a 21，f (41)=a 41(2)证明：依题意设y =f (x )关于直线x =1对称，故f (x )=f (1＋1－x )，即f (x )=f (2－x )，x ∈R ．又由f (x )是偶函数知f (－x )=f (x )，x ∈R ，∴f (－x )=f (2－x )，x ∈R ．将上式中－x 以x 代换得f (x )=f (x ＋2)，这表明f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期．(3)解：由(1)知f (x )≥0，x ∈［0，1］∵f (21)=f (n ·n 21)=f (n 21＋(n －1)n 21)=f (n 21)·f ((n －1)·n21) =……=f (n 21)·f (n 21)·……·f (n 21)=［f (n21)］n =a 21∴f (n21)=a n 21．又∵f (x )的一个周期是2∴f (2n ＋n 21)=f (n21)，因此a n =a n 21∴.0)ln 21(lim )(ln lim ==∞→∞→a na n n n 例5(1997年全国高中数学联赛)已知数列{n x }满足11-+-=n n n x x x (n ≥2)，x 1=a ，x 2=b ，记S n =x 1＋x 2＋?＋x n ，则下列结论正确的是()A ．x 100??a ，S 100=2b ?aB ．x 100??b ，S 100?2b ?aCx 100??b ，S 100=b ?aD ．x 100??a ，S 100?b ?a解因为11-+-=n n n x x x ==-----121)(n n n x x x 2--n x ，于是得n n n x x x =-=++36所以数列{n x }是周期数列，其周期为6k(k∈Z)，且x1＋x2＋?＋x6=0，x100=x4=－x1=－a．故S100 16(x1＋x2＋?＋x6)＋x97＋x98＋?＋x99＋x100=x1＋x2＋x3＋x4=x2＋x3=2b－a．例6设数列a1，a2，a3，…，a n，满足a1=a2=1，a3=2，且对任意自然数n都有a n·a n＋1·a n＋≠1，a n·a n＋1·a n＋2a n＋3=a n＋a n＋1＋a n＋2＋a n＋3，求a1＋a2＋a3＋…＋a100．2解由a n·a n＋1·a n＋2a n＋3=a n＋a n＋1＋a n＋2＋a n＋3，①得a n＋1·a n＋2·a n＋3a n＋4=a n＋1＋a n＋2＋a n＋3＋a n＋4，②两式相减得：(a n－a n＋4)·(a n＋1＋a n＋2a n＋3－1)=0，由于a n＋1＋a n＋2a n＋3≠1，所以a n＋4=a n．又a1=a2=1，a3=2，由①得2a4=4＋a4，所以a4=4．故a1＋a2＋a3＋a4=8，于是a1＋a2＋a3＋…＋a100=25(a1＋a2＋a3＋a4)=200．情景再现3．设f(x)是定义在区间(－∞，＋∞)上以2为周期的函数，对k∈Z，用I表示区间(2k－k时f(x)=x2．1，2k＋1]，已知当x∈I(Ⅰ)求f(x)在I上的解析表达式;k(Ⅱ)对自然数k，求集合Mk={a│使方程f(x)=ax在I k上有两个不相等的实根}．4．(2005年上海理科卷)在直角坐标平面中，已知点1(1,2)P ，22(2,2)P，33(3,2)P ，…，(,2)n n P n ，其中n 是正整数．对平面上任一点0A ，记1A 为0A 关于点1P 的对称点，2A 为1A 关于点2P 的对称点，……，n A 为1n A -关于点n P 的对称点．(1)求向量02A A 的坐标；(2)当点0A 在曲线C 上移动时，点2A 的轨迹是函数()y f x =的图象，其中()f x 是以3为周期的周期函数，且当(]0,3x ∈时，()lg f x x =，求以曲线C 为图象的函数在(]1,4的解析式；对任意偶数n ，用n 表示向量0n A A 的坐标C 类例题例7．(2005年广东卷19)设函数()(,)(2)(2),(7)(7)f x f x f x f x f x -∞+∞-=+-=+在上满足，且在闭区间[0，7]上，只有.0)3()1(==f f（Ⅰ）试判断函数)(x f y =的奇偶性；（Ⅱ）试求方程0)(=x f 在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论．解（Ⅰ）由(2)(2)()(4)(4)(14)(7)(7)()(14)f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x -=+=-⎧⎧⇒⇒-=-⎨⎨-=+=-⎩⎩)10()(+=⇒x f x f ，从而知函数)(x f y =的周期为10=T又(3)(1)0,(7)0f f f ==≠而，(3)(310)(7)0f f f -=-+=≠，所以(3)(3)f f -≠±故函数)(x f y =是非奇非偶函数;(II)又(3)(1)0,(11)(13)(7)(9)0f f f f f f ====-=-=故f(x)在[0，10]和[－10，0]上均有有两个解，从而可知函数)(x f y =在[0，2005]上有402个解，在[－2005．0]上有400个解，所以函数)(x f y =在[－2005，2005]上有802个解．例8数列{a n}满足a n=a n－1－a n－2(n≥3)．如果它的前1492项之和是1985，而它的前1985项之和是1492．那么前2001项的和是多少(1985年中美数学邀请赛复赛试题)解因为a n=a n－1－a n－2=(a n－2－a n－3)－a n－2=－a n－3同理a n－3=－a n－6所以a n=a n－6故数列{a n}是周期数列．其周期为6．且f(n)=f(6k＋n)，(k∈N)．=a n＋a n－1＋a n－2＋L＋a1，且a n=a n－1－a n－2(n≥3)Sn=(a n－1－a n－2)＋(a n－2－a n－3)＋(a n－3－a n－4)＋…＋(a2–a1)＋a2＋a1所以Sn=a n－1＋a2(n≥3)=a1491＋a2=a248×6＋3＋a2=a3＋a2=1985，因此S1492=a1984＋a2=a330×6＋4＋a2=a4＋a2=a3=1492．S1985由以上两式得a2=493，=a2000＋a2=a333×6＋2＋a2=a2＋a2=986．所以S2001情景再现5．已知f (x )是定义在R 上的函数f (10＋x)=f (10－x)，f (20＋x)=f (20－x)．则f (x )是()．A ．周期为20的奇函数B ．周期为20的偶函数C ．周期为40的奇函数D ．周期为40的偶函数6．在数列{a n }中．a n =13，a n =56．对所有的正整数n 都有a n ＋1=a n ＋a n ＋2，求a 1994．(1994年第5届希望杯”竞赛题)习题14A 类习题1．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{}a n 是等和数列，且a 12=，公和为5，那么(1)a 18的值为_______，(2)这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________________(2004年北京理工卷)．2．若存在常数0>p ，使得函数=)()(px f x f 满足)(),)(2(x f R x p px f 则∈-的一个正周期为．（2003年春季北京卷）3．对任意整数x ，函数)(x f 满足)(1)(1)1(x f x f x f -+=+，若2)1(=f ，则=)2003(f ．4．已知函数f(x)的定义域为N ，且对任意正整数x ，都有f(x)＝f(x －1)＋f(x ＋1)．若f(0)＝2004，求f(2004)．5．已知对于任意a ，b∈R，有f(a ＋b)＋f(a －b)＝2f(a)f(b)，且f(x)≠0⑴求证：f(x)是偶函数；⑵若存在正整数m 使得f(m)＝0，求满足f(x ＋T)＝f(x)的一个T 值(T≠0)6．记f (n)为自然数n 的个位数字，a n =f (n 2)－f (n)．求a 1＋a 2＋a 3＋L ＋a 2006的值．B 类习题7．函数f 定义在整数集上．满足：()f n =()310005n n f n -≥⎧⎪⎨+⎡⎤⎪⎣⎦⎩若若n＜1000，求()84f 的值．8．已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n a n ＋1a n ＋2=a n ＋a n ＋1＋a n ＋2，且a n ＋1a n ＋2≠1，求20061ii a=∑的值．9．设函数f (x )的定义域关于原点对称且满足：(i)f (x 1－x 2)=)()(1)()(1221x f x f x f x f -+⋅；(ii)存在正常数a 使f (a )=1．求证：(1)f (x )是奇函数．(2)f (x )是周期函数，且有一个周期是4a ．10．已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x ＋T )=T f (x )成立．（1）函数f (x )=x 是否属于集合M ？说明理由；（2）设函数f (x )=a x （a >0，且a ≠1）的图象与y=x 的图象有公共点，证明：f (x )=a x ∈M ；（3）若函数f (x )=sin kx ∈M ，求实数k 的取值范围．(2003年上海卷)C 类习题11．整数数列}{n a ，时对于每个n ≥3都有a n =a n －1－a n －2，若前2003项的和为a ，(a ≠0)则S 5=()A ．aB ．C ．D ．5a(2003年希望杯)12．设f(x)是一个从实数集R 到R 的一个映射，对于任意的实数x ，都有|f(x)|≤1，并且f (x)＋)71+(+)61+(=)4213+(x f x f x f ，求证:f(x)是周期函数．本节“情景再现”解答：1．不妨设a ＞b ，于是f(x ＋2(a －b))＝f(a ＋(x ＋a －2b))＝f(a －(x ＋a －2b))＝f(2b －x)＝f(b －(x －b))＝f(b ＋(x －b))＝f(x)∴2(a －b)是f(x)的一个周期当a ＜b 时同理可得．所以，2|a －b|是f(x)的周期2．解法一：由x 1=1，x 2=6，及11-+-=n n n x x x 得x 3=5，x 4=－1，x 5=－6，x 6=－5，x 7=1，x 8=6，所以数列{n x }是周期数列，其周期为6k(k ∈Z )，且x 1＋x 2＋?＋x 6=0，所以x 2006=x 6×334＋2=x 2=6．S 2006=7解法二：因为11-+-=n n n x x x ==-----121)(n n n x x x 2--n x ，于是得n n n x x x =-=++36所以数列{n x }是周期数列，其周期为6k(k ∈Z )，且x 1＋x 2＋?＋x 6=0，所以x 2006=x 6×334＋2=x 2=6．S 2006=73．⑴证明：令a ＝b ＝0得，f(0)＝1(f(0)＝0舍去)又令a ＝0，得f(b)＝f(－b)，即f(x)＝f(－x)，所以，f(x)为偶函数⑵令a ＝x ＋m ，b ＝m 得f(x ＋2m)＋f(x)＝2f(x ＋m)f(m)＝0所以f(x ＋2m)＝－f(x)于是f(x ＋4m)＝f[(x ＋2m)＋2m]＝－f(x ＋2m)＝f(x)即T ＝4m(周期函数)4．(Ⅰ):∵f (x)是以2为周期的函数，∴ 当k ∈Z 时，2k 是f(x)的周期．又∵ 当x∈I k 时，(x －2k)∈I 0，∴ f(x)=f(x －2k)=(x －2k)2．即对 k ∈Z ，当x ∈I k 时，f(x)=(x －2k)2．(Ⅱ)解:当k ∈N 且x ∈I k 时，利用(Ⅰ)的结论可得方程(x －2k)2=ax ，整理得 x 2－(4k ＋a)x ＋4k 2=0．它的判别式是△=(4k ＋a)2－16k 2=a(a ＋8k)．上述方程在区间Ik 上恰有两个不相等的实根的充要条件是a 满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++≥++-+<->+])8(4[2112])8(4[21120)(k a a a k k k a a a k k k a a ，化简⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤++>+>+ak a a a k a a k a a 2)8(2)8(0)8(③②①由①知a >0，或a <－8k ．当a >0时:因2＋a>2－a ，故从②，③可得≤2－a ，即．即所以1210+≤<k a 当a <－8k 时:2＋a<2－8k<0，易知<2＋a 无解．综上所述，a 应满足1k 21a 0+≤<，故所求集合(1)K>0时}1210{+≤<=k a a M K(2)K=0，{a ｜－1<a <0，或0<a <1}4．（1）设点),(0y x A ，A 0关于点P 1的对称点A 1的坐标为),4,2(1y x A --A 1关于点P 2的对称点A 2的坐标为)4,2(2y x A ++，所以，}.4,2{20=A A（2）[解法一])(},4,2{20x f A A ∴= 的图象由曲线C 向右平移2个单位，再向上平移 4个单位得到．因此，基线C 是函数)(x g y =的图象，其中)(x g 是以3为周期的周期函数，且当[解法二]设⎩⎨⎧=-=-42),,(),,(222220y y x x y x A y x A 于是若).3lg()3()(,330,6322222-=-=≤-<≤<x x f x f x x 于是则当),1lg(4.63,412-=+≤<≤<x y x x 则时.4)1lg()(,]4,1{--=∈∴x x g x 时当（3）n n n A A A A A A A A 242200-+++=由于)(2,2143210212222n n n k k k k P P P P P P A A P P A A ---+++== 得，5．解析:f (20＋x)=f [10＋(10＋x)]=f (10－(10＋x))=f (－x )，类似地f (20－x)=f (x )，所以f (x )=－f (－x )，故f (x )是奇函数且f (x )的周期为40．故选C ．6．解因为a n ＋1=a n ＋a n ＋2，所以a n ＋2=a n ＋1＋a n ＋3，以上两式相减得a n ＋3=－a n ，所以a n ＋6=a n所以数列{a n }是以6周期的周期数列．所以a 1994=a 332×6＋2=a 2=56．本节“习题14”解答：1．答案：(1)3解：(1)由题可得5=a 1＋a 2=a 2＋a 3=a 3＋a 4=…=a 2n －1＋a 2n =a 2n ＋a 2n ＋1得a 2n ＋1=a 2n ＋3，a 2n =a 2n ＋2，故得为周期数列T=2，a 18=a 2，又因为a 1=2，所以a 2=3，故a 18=a 2=3．(2)当n为偶数时，S n n =52；当n 为奇数时，S n n =-5212． 2．答案:2p 注：填2p的正整数倍中的任何一个都正确．解：设u=px －·所以px=u ＋则f (u)=f (u ＋)对于任意的实数u 都成立，根据周期函数的定义，f(x)的一个正周期为，所以f (x)的一个正周期为． 3．解由)(1)(1)1(x f x f x f -+=+得)(1)2(x f x f -=+，故)()4(x f x f =+，21)3()3504()2003(-==+⨯=f f f ．4．解因为f(x)＝f(x －1)＋f(x ＋1)所以f(x ＋1)＝f(x)＋f(x ＋2)，两式相加得0＝f(x －1)＋f(x ＋2)即：f(x ＋3)＝－f(x)∴f(x ＋6)＝f(x)，f(x)是以6为周期的周期函数，2004＝6×334，∴f(2004)＝f(0)＝2004．5．⑴证明：令a ＝b ＝0得，f(0)＝1(f(0)＝0舍去)又令a ＝0，得f(b)＝f(－b)，即f(x)＝f(－x)，所以，f(x)为偶函数⑵令a ＝x ＋m ，b ＝m 得f(x ＋2m)＋f(x)＝2f(x ＋m)f(m)＝0所以f(x ＋2m)＝－f(x)于是f(x ＋4m)＝f[(x ＋2m)＋2m]＝－f(x ＋2m)＝f(x)，即T ＝4m(周期函数)6．解易知f (n ＋10)=f (n)，f [(n ＋10)2]=f (n 2)所以a n ＋10=a n 即a n 是以10为周期的数列又易知a 1=0，a 2=2，a 3=6，a 4=2，a 5=0，a 6=0，a 7=2，a 8=－4，a 9=－8，a 10=0．所以a 1＋a 2＋a 3＋L ＋a 10=0．故a 1＋a 2＋a 3＋L ＋a 2005=a 1＋a 2＋a 3＋L ＋a 6=10．7．解先考虑n=999(近1000时)情况：()999ffff =()1004ffff f ⎡⎤⎣⎦=()1001ffff =()998fff =()1003fff f ⎡⎤⎣⎦ =()1000fff =()997ff =()1002ff f ⎡⎤⎣⎦=()999ff ．(有规律()999ffff =()999ff )．∴()84f =()845f f +⎡⎤⎣⎦=()8425ff f +⨯⎡⎤⎣⎦=()8435fff f +⨯⎡⎤⎣⎦ =()184841835fff +⨯=()184999fff =()182999fff =……=()999ff =()1004fff =()1001ff =()998f =()1003ff=()1000f =997．8．解易知a 3=3，a 4=1，a 5=2，由a n a n ＋1a n ＋2=a n ＋a n ＋1＋a n ＋2，①得a n ＋1a n ＋2a n ＋3=a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3，②②－①得：(a n ＋3－a n )(a n ＋1a n ＋2－1)=0，又a n ＋1a n ＋2≠1，所以a n ＋3－a n =0，即a n 是以3为周期的数列，又a 1＋a 2＋a 3=6，所以20061ii a=∑=6×668＋1＋2=4011．9．证明:(1）不妨令x =x 1－x 2，则f (－x )=f (x 2－x 1)=)()(1)()()()(1)()(12212112x f x f x f x f x f x f x f x f -+-=-+=－f (x 1－x 2)=－f (x )．∴f (x )是奇函数．(2）要证f (x ＋4a )=f (x )，可先计算f (x ＋a )，f (x ＋2a )．∵f (x ＋a )=f ［x －(－a )］=)1)((1)(1)()()(1)()()()(1)()(=+-=--+-=---+-a f x f x f x f a f x f a f x f a f x f a f ．∴f (x ＋4a )=f ［(x ＋2a )＋2a ］=)2(1a x f +-=f (x )，故f (x )是以4a 为周期的周期函数．10．解（1）对于非零常数T ，f (x ＋T)=x ＋T ，T f (x )=T x ．因为对任意x ∈R ，x ＋T=T x 不能恒成立，所以f (x )=.M x ∉（2）因为函数f (x )=a x（a >0且a ≠1）的图象与函数y=x 的图象有公共点，所以方程组：⎩⎨⎧==xy a y x有解，消去y 得a x =x ，显然x =0不是方程a x =x 的解，所以存在非零常数T ，使a T =T ．于是对于f (x )=a x 有)()(x Tf a T a a a T x f x x T T x =⋅=⋅==++故f (x )=a x ∈M ．（3）当k=0时，f (x )=0，显然f (x )=0∈M ．当k ≠0时，因为f (x )=sin kx ∈M ，所以存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x ＋T)=T f (x )成立，即sin(kx ＋k T)=Tsin kx ．因为k ≠0，且x ∈R ，所以kx ∈R ，kx ＋k T ∈R ，于是sin kx ∈[－1，1]，sin(kx ＋k T)∈[－1，1]，故要使sin(kx ＋k T)=Tsin kx ．成立，只有T=1±，当T=1时，sin(kx ＋k )=sin kx 成立，则k =2m π，m ∈Z ．当T=－1时，sin(kx －k )=－sin kx 成立，即sin(kx －k ＋π)=sin kx 成立，则－k ＋π=2m π，m ∈Z ，即k =－2(m －1)π，m ∈Z ．综合得，实数k 的取值范围是{k |k =m π，m ∈Z}11．解因为a n =a n －1－a n －2=(a n －2－a n －3)－a n －2=－a n －3，同理a n －3=－a n －6所以a n =a n －6，故数列{a n }是周期数列．其周期为6．因此S n =a n ＋a n －1＋a n －2＋L ＋a 1，且a n =a n －1－a n －2(n ≥3)．所以S n =(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋(a n －3－a n －4)＋…＋(a 2–a 1)＋a 2＋a 1=a n －1＋a 2(n ≥3)．因此S 2003=a 2002＋a 2=a 333×6＋4＋a 2=a 4＋a 2=S 5，故选A ．12．证明:由已知f(x)＋)4216x (f )427x (f )4213x (f +++=+所以)426x (f )4213x (f )x (f )427x (f +-+=-+19124942()()......()()42424242f x f x f x f x =+-+==+-+ 即)427x (f )4249x (f )x (f )4242x (f +-+=-+①同理有)4243x (f )4249x (f )421x (f )427x (f +-+=+-+即)421x (f )4243x (f )427x (f )4249x (f +-+=+-+② 由①②)427x (f )4249x (f )x (f )4242x (f +-+=-+ 4314428442()()()()......()()424242424242f x f x f x f x f x f x =+-+=+-+==+-+ 于是f(x ＋1)－f(x)＝f(x ＋2)－f(x ＋1)，记这个差为d同理f(x ＋3)－f(x ＋2)＝f(x ＋2)－f(x ＋1)＝d……f(x ＋n ＋1)－f(x ＋n)＝f(x ＋n)－f(x ＋n －1)＝……＝f(x ＋1)－f(x)＝d即是说数列{f(x ＋n)}是一个以f(x)为首项，d 为公差的等差数列因此f(x ＋n)＝f(x)＋nd ＝f(x)＋n[f(x ＋1)－f(x)]对所有的自然数n 成立，而对于x ∈R ，|f(x)|≤1，即f(x)有界，故只有f(x ＋1)－f(x)＝0即f(x ＋1)＝f(x)x ∈R 所以f(x)是周期为1的周期函数．。
周期数列一、周期数列的定义：类比周期函数的概念，我们可定义：对于数列}{n a ，如果存在一个常数T )(+∈N T ，使得对任意的正整数0n n >恒有n T n a a =+成立，则称数列}{n a 是从第0n 项起的周期为T 的周期数列。
若10=n ，则称数列}{n a 为纯周期数列，若20≥n ，则称数列}{n a 为混周期数列，T 的最小值称为最小正周期，简称周期。
设{An}是整数,m 是某个取定的大于1的正整数,若Bn 是An 除以m 后的余数,即Bn=An(mod m),且Bn 在{0,1,2,...,m-1},则称数列{Bn}是{An}关于m 的模数列,记作{An(mod m)}。
若模数列{An(mod m)}是周期的,则称{An}是关于模m 的周期数列。
二、 周期数列的性质1、周期数列是无穷数列，其值域是有限集；2、如果T 是数列}{n a 的周期，则对于任意的+∈N k ，kT 也是数列}{n a 的周期。
3、若数列}{n a 满足21---=n n n a a a （+∈N n ，且2>n ），则6是数列的一个周期。
4、已知数列}{n a 满足n t n a a =+（+∈N t n ,，且t 为常数），n S 分别为}{n a 的前n 项的和，若r qt n +=（t r <≤0，+∈N r ），则r n a a =，r t n S qS S +=。
特别地：数列}{n a 的周期为6，（即：n n a a =+6）则262012335S S S += 5、若数列}{n a 满足s a a k n n =+-),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 是周期数列； 若数列}{n a 满足s a a a k n n n =+++-- 1),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 是周期数列。
若数列}{n a 满足s a a a k n n n =⋅⋅⋅-- 1)0,,(≠∈>+s N n k n ，则数列}{n a 是周期数列。
周期函数注意点以及常见抽象函数周期性的证明周期函数是指函数在一些时间间隔内重复出现相同的值的函数。
周期函数的周期是指函数在一个完整的周期内重复出现的时间间隔。
在讨论周期函数的注意点之前，我们先来了解一下常见的抽象函数周期性的证明。
常见抽象函数周期性的证明：1.偶函数的周期性证明：偶函数是指满足f(-x)=f(x)的函数。
要证明一个函数是偶函数，需要通过代数方法来验证上述等式是否成立。
其中常见的方法有代入法和变量替换法。
例如对于函数f(x)=x^2-1，将x替换成-x，得到f(-x)=(-x)^2-1=x^2-1=f(x)，所以函数f(x)是一个偶函数。
2.奇函数的周期性证明：奇函数是指满足f(-x)=-f(x)的函数。
要证明一个函数是奇函数，也需要通过代数方法来验证上述等式是否成立。
同样常见的方法有代入法和变量替换法。
例如对于函数f(x)=x^3+x，将x替换成-x，得到f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)，所以函数f(x)是一个奇函数。
3.周期为2π的三角函数的周期性证明：对于常见的三角函数sin(x)和cos(x)，它们的周期都是2π，也就是说sin(x + 2π) = sin(x)和cos(x + 2π) = cos(x)。
可以通过代数方法来证明它们的周期性，我们需要利用三角函数的性质和三角恒等式。
例如对于函数f(x) = sin(x)，我们有f(x + 2π) = sin(x + 2π)= sin(x)cos(2π) + cos(x)sin(2π) = sin(x)，而且sin(x)在区间[0,2π]上单调递增，所以可以得出函数f(x)的周期是2π。
同理，对于函数f(x) = cos(x)，我们有f(x + 2π) = cos(x + 2π) = cos(x)cos(2π) - sin(x)sin(2π) = cos(x)，而且cos(x)在区间[0,2π]上单调递减，所以可以得出函数f(x)的周期是2π。
高一数学-周期函数周期函数是指在一定区间内具有重复性的函数。
这些函数的数值在周期内重复出现，并且周期是有限或者无限的。
周期函数在自然界和科学技术中都有很广泛的应用，比如心电图、天气预报和电子信号等等。
最简单的周期函数就是正弦函数和余弦函数。
它们的图像呈现出周期性的波动，可以用一个正弦曲线表示。
正弦函数的定义域是实数集，值域是[-1,1]；而余弦函数的定义域也是实数集，值域同样是[-1,1]。
正弦函数的图像在x轴上朝右移动1/4个周期，即f(x+π/2),图像就会向右移动，并呈现出余弦函数的形态；余弦函数的图像在x轴上朝右移动1/4个周期，即f(x-π/2),图像就会向右移动，并呈现出正弦函数的形态。
因此，正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的周期是2π。
具体而言，在周期为T的函数中，当输入增加一定的量后，输出会重复以前的结果。
周期的长度取决于输入的变化量。
近年来，周期函数的研究变得日益重要，特别是在数据处理、计算机科学、信号处理和数学建模等领域。
为了更好地使用周期函数，我们需要学习一些基本概念和技能。
首先，我们需要了解周期函数的基本性质。
对于一个具有周期T的周期函数f(x)，有如下性质：（1）对于任意的x∈R，f(x+T)=f(x)，即在周期为T的函数中，当输入增加T的量之后，输出结果与原来相同。
（2）对任意的t∈R，当t趋于正无穷或负无穷时，f(t)也会随着t趋近于正无穷和负无穷而趋于某个定值。
（3）对于一个周期函数f(x)，在周期为T的一个长度内，它的最大值和最小值存在且相等，并且f（x）在周期内是周期函数的极值。
（4）几个周期函数的和也是周期函数，具有相同的周期。
例如，cos(x)+sin(x),2cos(x)等等。
其次，我们需要学习如何从给定的函数图像中找到函数的周期。
对于周期函数f(x)，它的周期为T，就是使得f(x)=f(x+T)的最小正数T。
当我们在寻找周期函数的周期时，可以按照以下步骤进行：（1）观察函数的图像，找出最小正数T，使得f(x)=f(x+T)。
周期数列一、周期数列的定义：类比周期函数的概念，我们可定义：对于数列}{n a ，如果存在一个常数T )(+∈N T ，使得对任意的正整数0n n >恒有n T n a a =+成立，则称数列}{n a 是从第0n 项起的周期为T 的周期数列。
若10=n ，则称数列}{n a 为纯周期数列，若20≥n ，则称数列}{n a 为混周期数列，T 的最小值称为最小正周期，简称周期。
设{An}是整数,m 是某个取定的大于1的正整数,若Bn 是An 除以m 后的余数,即Bn=An(mod m),且Bn 在{0,1,2,...,m-1},则称数列{Bn}是{An}关于m 的模数列,记作{An(mod m)}。
若模数列{An(mod m)}是周期的,则称{An}是关于模m 的周期数列。
二、 周期数列的性质1、周期数列是无穷数列，其值域是有限集；2、如果T 是数列}{n a 的周期，则对于任意的+∈N k ，kT 也是数列}{n a 的周期。
3、若数列}{n a 满足21---=n n n a a a （+∈N n ，且2>n ），则6是数列的一个周期。
4、已知数列}{n a 满足n t n a a =+（+∈N t n ,，且t 为常数），n S 分别为}{n a 的前n 项的和，若r qt n +=（t r <≤0，+∈N r ），则r n a a =，r t n S qS S +=。
特别地：数列}{n a 的周期为6，（即：n n a a =+6）则262012335S S S += 5、若数列}{n a 满足s a a k n n =+-),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 是周期数列； 若数列}{n a 满足s a a a k n n n =+++-- 1),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 是周期数列。
若数列}{n a 满足s a a a k n n n =⋅⋅⋅-- 1)0,,(≠∈>+s N n k n ，则数列}{n a 是周期数列。
毕业论文文献综述数学与应用数学概周期函数的定义及其性质一、前言部分函数在日常生活中扮演越来越重要的角色,而概周期函数正成为函数的一个重要组成部分. 概周期函数是在20世纪20年代由丹麦著名数学家H.Bohr首先提出的,它为了解决周期函数对加法运算不封闭而创造的一类新函数.在二、三十年代有了进一步发展，包括概周期函数的调和分析理论以及1933年由S.Bochner所建立的Bannch空间向量值概周期函数的理论.往后的发展更密切的联系着常微分方程、稳定性理论和动力系统，其应用范围不仅限于常微分方程和古典动力系统，也涉及泛函数微分方程、Banach空间微分方程以及一类广泛的偏微分方程.经过几代数学家的努力,概周期函数理论有了巨大的发展,但是还有许多有待解决的问题. 首先,抽象空间中的概周期函数理论已经被广泛研究,伪概周期函数作为概周期函数的一种推广,在微分方程理论中有重要的应用,但是距离空间中的伪概周期函数理论尚未建立.随着科学技术的发展，学者们首次在距离空间中定义了向量值伪概周期函数,考察了该函数的性质,给出了距离空间中的函数是伪概周期函数的充要条件,即唯一分解定理:距离空间中的伪概周期函数和概周期函数之间的距离是一个唯一的遍历扰动. 其次,求微分方程的概周期函数型解和概周期微分方程的求解在数学理论方面也有了很大的进步,在常微分,偏微分方程及抽象微分方程,光滑动力系统都有应用.学者们研究了非线性抛物方程有界解的存在唯一问题.主要通过先验证非齐次Cauchy问题有界解是存在唯一的,并得出解的表达式,应用这个表达式及压缩映像不动点定理证明非线性Cauchy问题的有界解是存在的,并给出了解存在的条件. 最后,学者们也看到了Fréchet空间中的渐近概周期函数和算子半群的性质,并将得到的结果应用到抽象Cauchy问题中,得出Fréchet空间中抽象Cauchy问题的渐近概周期解是存在且唯一的.而本文介绍的概周期函数又称殆周期函数,周期函数的一种推广,具有某种近似周期性的有界连续函数.概周期函数是在研究周期函数某种性质的基础上进一步提出来的.三角多项式以及三角多项式序列的极限都是周期函数.而三角和序列的极限却未必是周期函数.但这类极限函数的特征可以用某种近似周期性来刻画.关于概周期函数,我们可以从两个不同角度去看待：一方面,概周期函数是一类具有独特结构性质的连续函数,是周期函的推广；另一方面,概周期函数可以看成是一致收敛的三角多项式序列的限.从而,概周期函数理论的建立,为我们开辟了一个道路,使我们能够究一类更广泛的三角级数,甚至指数级数.即使在现实生活中,概周期函数也是比周期函数更容易见到的一类函例如,天体力学,机械振动,生态学系统,经济领域以及工程技术中出振荡现象的许许多多的实际问题往往都可以转化为求解常微分方程、泛函分方程、差分方程以及偏微分方程等数学模型的周期解,其中有些问题诸如天体运转,生态环境,以及市场供需规律等）考查概周期解比考查周解更具有现实意义.此外通过查找资料，发现近年来，国内外各个大学和科学研究所的学者专家都取得了喜人的成果，对生产生活和科学技术的发展起到了间接的推动作用，因此，对概周期函数的研究意义重大.本综述报告的主要任务是结合数学分析的相关书籍和文献的学习，总结许多学者对概周期函数的各个研究成果．我们希望通过总结已有文献来深刻概理解周期函数的定义，进而从不同的角度，不同的思维来深入探讨概周期函数的定义及其性质．二、主题部分近些年来,国内外许多学者对有关周期函数,概周期函数方面的问题很感兴趣,并发表了大量的研究成果.例如文献[]1作者所发表的《Almost Periodic Function 》. 现将要引用的文献以及文献的重要研究结果概括如下：文献[]2展示泛函分析中的重要概念以及定理，其中Hahn-Banach 定理是泛函分析中一个十分重要的基本定理.它的重要性不仅表现在其对Banach 空间理论体系所起的作用上，而且还表现解决许多具体的分析问题之中.然而Hahn-Banach 定理的这些巧妙的应用，不是我们能一目了然的.事实上，往往需要把原始分析问题的陈述转成几何形式.本书中的泛函分析的几个基本定理可以应用到常、偏微分方程理论、实函数论、函数逼近论、数值分析、数学规划理论、变分不等方程等好几个数学分支中.对概周期函数的研究有一定的理论帮助.文献[]35-讲述了一些关于周期函数与概周期函数最基本的定义以及一些简单的性质,从多方面理解概周期函数,周期函数,同时也利用周期函数与概周期函数的定义,把周期函数的周期集与概周期函数的概周期集进行了比较,另外也对周期函数与概周期函数的性质进行了比较,并得出一些重要结论.文章也概括了概周期函数在纯量积、有限和、乘积运算下是封闭的.因此，概周期函数的集合是上的代数.而且它关于实数的格运算和一致极限下也是封闭的.期刊中也明确表示随着现代科学技术的不断发展,对于函数的概周期性质的研究已经在实际应用中越来越显示出它的意义.特别是在动力系统的研究中占有非常重要的位置的地位.现将主要结果概括如下:定义1 设()f x 是在实轴上定义的连续的实(或复)函数.如果对于任给的0ε>,存在实数()0l ε>,使得在任意长度为()l ε的区间里至少存在一个数τ满足:()(),.f x f x x τε+-<-∞<<+∞则称()f x 是概周期函数.定理 1 任何概周期函数都是有界的,且一致连续.定理 2 若()f x 为概周期函数, a 为实数,则()()()(),,,f x a f ax af x f x +也都是概周期函数.定理3 若()(),f x g x 为概周期函数,则()()()(),f x g x f x g x ±也为概周期函数;又()inf 0g x m =>,则()()/f x g x 也为概周期函数集.文献[]68-清晰的解释了关于概周期函数的微分方程的一些定义,定理,以及概周期函数基本的定义和性质，还有它们的证明.其中更重要的是概周期函数的一般理论,现概括如下:定义 2 设 ()(),,n f t x C R D E ∈⨯，如果对任给0ε>和D 中任一紧集S ，存在数(),l l S ε=，使得R 上长为l 的任意区间内总有τ使()(),,,f t x f t x τε+-<对一切(),t x R S ∈⨯成立，则称(),f t x 对x D ∈关于t 是一致概周期的，即(),f t x 是t 的概周期函数，对x D ∈是一致的.定义 3 设()(),n t C R E ϕ+∈如果有定义在R 上的概周期函数()p t 和定义在R +上的连续函数()q t ,()lim 0t q t →+∞=,在R +上有分解式 ()()(),t p t q t ϕ=+则称()t ϕ是R +上渐近概周期函数.文献[]910-主要给出了一些概周期数列几个等价的新定义,运用数学分析的方法,对其等价性进行了详细证明,使概周期理论得到进一步发展,由于该等价定义使得概周期函数理论联系起来,所以该性质具有较大的理论和实际应用价值.最重要的是结论把概周期数列和概周期函数联系起来,因而有较大的理论价值.现将主要结果概括如下:定义 4 一个函数()f C R ∈被称为概周期的，若对0ε∀>，存在一个三角多项式e S ，使得e f S -.用()AP R 表示概周期函数全体组成的集合.可以看到()AP R 是三角多项式集合在()C R 中的完备化.定义5 设X 是一个Banach 空间，序列0,nn n N x x x X κ∈=，被称为三角多项式，若存在12,,,N R λλλ∈L 和12,,N X φφφ∈L ，使得1N i n l l x e λμφ==∑,记为()x TP X ∈. 文献[]1113-主要讲了在概周期函数的运算中要用到的一些定理，性质，以及典型的例子，更是概周期函数的扩展，对深入研究概周期函数有所帮助.研究结果也表明随着现代科技的发展，概周期函数在微分动力系统中的应用也会越来越重要.文献[]14讲述拓扑线性空间特别是局部空间的一般理论和它们的某些应用,是为基础数学,概率统计以及计算数学,应用数学等专业撰写的教材.是对泛函分析的衍生,尽管Banach 空间概括了相当广泛的客观对象，理论的发展和解决实际问题的需要逐渐显示出赋范结构不敷应用.泛函分析的理论会受到一定的局限，所以拓扑学研究范围更广泛的空间成为必要.文献[]15给出了几乎周期函数的定义,以及几个命题,还有最小几乎周期函数存在的定理和几乎周期函数的判定定理,最后讨论了几个几乎周期函数的最小几乎正周期.主要结果概括如下：定理4 至少有一个关于M 的连续点!而没有最小几乎正周期的几乎周期函数()f x ，则! ()f x 为定义在M 上的几乎常值函数.定理5 设()f x 为D 上的函数，若存在常数1212,,,a a b b 为常数，使得()()11..f a x f b x a e +=-于D (1)()()22..f a x f b x a e +=-于D (2)则()f x 为D 上的几乎周期函数.且()()1122a b a b +-+为它的一个几乎周期.定理6 设()f x 为D 上的函数.若存在常数1212,,,a a b b ,使得()()11..f a x f b x a e +=--于D (3)()()22..f a x f b x a e +=--于D (4)则()f x 为上D 以()()11222a b a b +-+为一个几乎周期的几乎周期函数.三、总结部分数学是一门基础学科，我们生活的方方面面无不有数学的影子在里面，，它不仅指导我们进行生产，学习，同时对我们认识自然，了解事物的本质都有着积极的作用．概周期函数近几年在自然界，生活中有着广泛的应用背景，因此近几年关于概周期函数的各方面研究都取得了突破性的进展，这些研究成果渗透到了社会的方方面面，为社会的发展做出了重要的贡献，各国的专家学者对概周期函数做了深入的研究，并且已经取得很多重要有益的结论，并且这些结论在概周期函数的研究上经常被采用．根据所总结的文献来看，许多学者已对概周期函数的性质，定义以及定理，应用进行了研究，但是即便如此概周期函数还尚存在很多不明确的问题，例如非线性时滞动力系统的应用还有很多需要解决的问题.所以随着科学技术的发展，时间的推移，我相信概周期函数也会在微分动力系统中的应用，会越来越占有重要的位置.四、参考文献[1] H ．Bohr. Almost Periodic Function[M].New York: ．Chelsea,1952.[2] 张恭庆，林源渠.泛函分析讲义[M].北京:北京大学出版社，1987.[3] 王五生.周期函数与概周期函数[J].河池师专学报.2003,12:59-61.[4] 汪宏喜.概周期函数及其主要性质[J].工科数学.1997,4:143—146.[5] 黄容伟.周期,拟周期和概周期的关系命题[J].广西师范学院学报.2002,12:84-86.[6] 何崇佑.概周期微分方程[M].北京:高等教育出版社，1992.[7] 列维坦.概周期函数[M].北京:高等教育出版社，1956.[8] F.M.菲赫金哥尔茨 .微积分学教程[M].北京：高等教育出版社，2006.[9] 王兆艳,仲会民.关于概周期数列的一个结论[J].济宁学院学报.2007,12:14-15.[10] 王五生,覃运初.概周期函数的运算与模包含关系[J].河北师范大学学报.2005,1:11-14.[11] J.K. Hale, Ordinary Differential Equations[M].Krieger, Malabar, Florida,1980．[12] 杜燕飞.概周期函数的几类推广及非线性抛物方程的解[D].哈尔滨工业大学，2007.[13] 张传义,武女则.线性连续衰退记忆系统的可分性[J].系统科学与数学.2007,27:293-301.[14] 刘培德.拓扑线性空间基础[M].武汉大学出版社,2002.[15] 任潜能.几乎周期函数[J].湖北工业大学学报.2006,2：66-69。
中学教材对函数的周期性及其应用的介绍很简单，有很多学生对学习这部分内容感到困难，也有很多疑问．为了帮助学生解决疑点和丰富学生对周期性的学习，本文谈一下周期函数及其周期．一、周期函数周期的求法１．利用公式确定周期我们利用周期定义和三角函数的诱导公式可得一般的三角周期函数，正如（１）ｓｉｎ（ｘ＋２!）＝ｓｉｎｘ，ｃｏｓ（ｘ＋２!）＝ｃｏｓｘ，所以２!为ｙ＝ｓｉｎｘ、ｙ＝ｃｏｓｘ的周期；（２）ｔａｎ（ｘ＋!）＝ｔａｎｘ，ｃｏｔ（ｘ＋!）＝ｃｏｔｘ，所以!为ｙ＝ｔａｎｘ、ｙ＝ｃｏｔｘ的周期．２．利用函数的运算和特性，求出函数的周期定理１两个周期（这周期不一定是最小正周期）相同的周期函数的和、差、积、商（作为分母的周期函数不能为零）也是周期函数，并且周期不变．例如，若ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）都是Ｔ为周期的周期函数，则ｆ（ｘ）±ｇ（ｘ），ｆ（ｘ）·ｇ（ｘ），ｆ（ｘ）／ｇ（ｘ）（其中ｇ（ｘ）≠０）也都是周期函数，并且Ｔ也是它们的周期．证明：设这两个周期函数ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）的和、差、积、商函数分别为Ｆ１（ｘ）、Ｆ２（ｘ）、Ｆ３（ｘ）、Ｆ４（ｘ），即Ｆ１（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ），Ｆ２（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ），Ｆ３（ｘ）＝ｆ（ｘ）·ｇ（ｘ），Ｆ４（ｘ）＝ｆ（ｘ）／ｇ（ｘ）（其中ｇ（ｘ）≠０）．∵ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）有相同的周期Ｔ，∴当ｘ取ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）的定义域内的任一个值时，有ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ＋Ｔ）＝ｇ（ｘ）（其中ｘ＋Ｔ是在定义域内），∴有（１）Ｆ１（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ＋Ｔ）＋ｇ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）＝Ｆ１（ｘ）；（２）Ｆ２（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ＋Ｔ）－ｇ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）＝Ｆ２（ｘ）；（３）Ｆ３（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ＋Ｔ）·ｇ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）·ｇ（ｘ）＝Ｆ３（ｘ）；（４）Ｆ４（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ＋Ｔ）／ｇ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）／ｇ（ｘ）＝Ｆ４（ｘ）（其中ｇ（ｘ）≠０）．因此Ｆ１（ｘ）、Ｆ２（ｘ）、Ｆ３（ｘ）、Ｆ４（ｘ）都是周期函数，并且Ｔ是它们的一个周期．定理２周期函数的绝对值函数也是周期函数，即若ｆ（ｘ）是周期函数，Ｔ是它的周期，则ｆ（ｘ）也是周期函数，并且Ｔ也是它的周期．证明：∵ｆ（ｘ）是周期函数，Ｔ是它的周期，∴ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）（ｘ、ｘ＋Ｔ都是在定义域内），∴由绝对值的性质得ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ），∴ｆ（ｘ）也是周期函数，Ｔ是它的周期．定理３周期函数的有限次整数幂的函数（以后把它称为函数幂）也是周期函数，并且原来函数的周期也是函数幂的周期．例如，若ｆ（ｘ）是周期函数，Ｔ是它的周期，则［ｆ（ｘ）］ｎ（ｎ∈Ｚ，ｆ（ｘ）≠０）也是周期函数，并且Ｔ也是它的周期．证明：设Ｆ（ｘ）＝［ｆ（ｘ）］ｎ（ｎ∈Ｚ）．∵ｆ（ｘ）是周期函数，Ｔ是它的周期，∴ｆ（ｘ＋Ｔ）＝ｆ（ｘ）（ｘ、ｘ＋Ｔ都在定义域内）．∴Ｆ（ｘ＋Ｔ）＝［ｆ（ｘ＋Ｔ）］ｎ＝［ｆ（ｘ）］ｎ＝Ｆ（ｘ）．∴Ｆ（ｘ）＝［ｆ（ｘ）］ｎ（ｎ∈Ｚ）也是周期函数，Ｔ是它的周期．例１：证明函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ是周期函数，并求出它的一个周期．分析∵ｓｉｎｘ和ｃｏｓｘ都是周期函数，２!是它们的周期，所以由上面定理２得ｓｉｎｘ和ｃｏｓｘ都是周期函数，并且２!是它们的周期，由上面定理１得ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ也是周期函数，又因为ｓｉｎｘ（ｘ＋!２）＋ｃｏｓ（ｘ＋!２）＝ｃｏｓｘ＋－ｓｉｎｘ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ，所以!２是ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ的一个周期．３．利用递推关系，找出函数的周期定理４具有递推性质：ａｎ＋ｋ＝ａｎ－ａｎ－ｋ（其中ｋ为正整数，ｎ为可变的正整数，且ｎ＞ｋ）的数列｛ａｎ｝必定是周期数列，６ｋ就是它的周期．证明：∵ａｎ＋ｋ＝ａｎ－ａｎ－ｋ（ｋ为某正整数）①∴ａｎ＝ａｎ－ｋ－ａｎ－２ｋ（其中ｎ＞２ｋ）②将①②两式左右两边相加并合并同类项得：ａｎ＋ｋ＝－ａｎ－２ｋ∴ａｎ＋３ｋ＝－ａｎ∴ａｎ＋６ｋ＝－ａｎ＋３ｋ＝－（－ａｎ）＝ａｎ③又由ｎ的任意性可知数列｛ａｎ｝是一个周期数列，而６ｋ就是它的周期．我们从上面定理４的推导过程可得到：推论具有递推性质：ａｎ＋ｋ＝ａｎ－ａｎ－ｋ（其中ｋ为正整数，ｎ为可变的正整数，且ｎ＞ｋ）的周期数列｛ａｎ｝的任一周期段的各项之和必为零．证明：①由上面定理４得｛ａｎ｝是一个周期数列，６ｋ是它的周期；周期函数及其周期文／茂名学院高州师范分院蒋雪英５７广东教育·教研２００７年第１期广东教育·教研２００７年第１期②设它的任一周期段的各项分别为ａｎ＋１，ａｎ＋２，…，ａｎ＋６ｋ，由上面定理４的证明过程（由③式的证明过程）中可得：ａｎ＋１＝－ａｎ＋１＋３ｋ，ａｎ＋２＝－ａｎ＋２＋３ｋ，…，ａｎ＋３ｋ＝－ａｎ＋６ｋ；∴ａｎ＋１＋ａｎ＋２＋…＋ａｎ＋３ｋ＋ａｎ＋３ｋ＋１＋ａｎ＋３ｋ＋２＋…＋ａｎ＋６ｋ＝ａｎ＋１＋ａｎ＋２＋…＋ａｎ＋３ｋ＋（－ａｎ＋１－ａｎ＋２－…－ａｎ＋３ｋ）＝（ａｎ＋１－ａｎ＋１）＋（ａｎ＋２－ａｎ＋２）＋…＋（ａｎ＋３ｋ－ａｎ＋３ｋ）＝０二、周期的应用１．求周期函数的函数值例２：已知函数ｆ（ｘ）的定义域是Ｒ，ｆ（ｘ＋１）［１－ｆ（ｘ）］＝１＋ｆ（ｘ），ｆ（１）＝２!．求ｆ（２００６）的值．分析：由已知式子得ｆ（ｘ＋１）＝１＋ｆ（ｘ）１－ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）≠１，ｆ（ｘ）≠０，所以ｆ（ｘ＋２）＝ｆ［（ｘ＋１）＋１］＝１＋ｆ（ｘ＋１）１－ｆ（ｘ＋１）＝１＋１＋ｆ（ｘ）１－ｆ（ｘ）１－１＋ｆ（ｘ）１－ｆ（ｘ）＝－１ｆ（ｘ），所以ｆ（ｘ＋４）＝ｆ［（ｘ＋２）＋２］＝－１ｆ（ｘ＋２）＝ｆ（ｘ），即ｆ（ｘ＋４）＝ｆ（ｘ），所以ｆ（ｘ）是以４为周期的周期函数．又因为２００６＝４×５０１＋２，所以ｆ（２００６）＝ｆ（２＋４×５０１）＝ｆ（２），而ｆ（２）＝１＋ｆ（１）１－ｆ（１）＝１＋２!１－２!＝－３－２２!，所以ｆ（２００６）＝－３－２２!．这里我们利用函数ｆ（ｘ）的周期性把求ｆ（２００６）的值转化为求ｆ（２）的值．这比直接将ｘ＝２００６代入计算简化了许多．２．求周期函数的最大值和最小值例３：求函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ的最大值和最小值．分析：此函数的定义域是Ｒ，由例１知它是一个周期函数，并且π２是它的周期．若在整个定义域Ｒ上考察它的函数值，然后找出它的最大值和最小值，则计算量大且复杂．我们若根据函数的周期性，只在它的一个周期［０，π２］上考察ｆ（ｘ）的函数值，就可得出ｆ（ｘ）的最大值和最小值，因为当ｘ∈［０，π２］时，有π４≤ｘ＋π４≤π２＋π４，ｓｉｎｘ≥０，ｃｏｓｘ≥０，所以ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝２!ｓｉｎ（ｘ＋π４），再由正弦函数的单调性质得：当ｘ＋π４＝π２（即当ｘ＝π４）时，ｆ（ｘ）有最大值２!；当ｘ＋π４＝π４（即当ｘ＝０）或当ｘ＋π４＝π２＋π４（即当ｘ＝π２）时，ｆ（ｘ）有最小值１．显然，我们利用函数的周期性把考察ｘ的范围缩小了，从而可去掉函数式中的绝对值符号，使问题变成一个关于三角函数的最值问题．３．求周期数列的前ｎ项之和例４：己知数列｛ａｎ｝有ａｎ＝ａｎ－１－ａｎ－２（ｎ≥３）；它的前１８４项之和等于１９７，前１９７项之和等于１８４，求它的前２００６项之和．解：（１）由上面定理４可知数列｛ａｎ｝是一个周期数列且６是它的周期．由定理４的推论得：Ｓ１８０＝Ｓ６·３０＝０·３０＝０（其中Ｓ１８０是数列｛ａｎ｝的前１８０项之和，其余有关Ｓ及其下标的符号类推），所以Ｓ１８４＝Ｓ１８０＋ａ１８１＋ａ１８２＋ａ１８３＋ａ１８４＝Ｓ１８０＋ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４＝ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４＝１９７①又由定理４的推论得：Ｓ１９２＝Ｓ６·３２＝０·３２＝０．所以Ｓ１９７＝Ｓ１９２＋ａ１９３＋ａ１９４＋ａ１９５＋ａ１９６＋ａ１９７＝Ｓ１９２＋ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４＋ａ５＝０＋ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４＋ａ５＝１８４②比较①②得：ａ５＝Ｓ１９７－Ｓ１８４＝１８４－１９７＝－１３．又由定理４的③式的证明过程可得：ａ１＝－ａ１＋３＝－ａ４，ａ２＝－ａ２＋３＝－ａ５＝１３，即ａ４＝－ａ１，ａ５＝－ａ２．（２）因为Ｓ２００４＝Ｓ６·３３４＝０，又根据已知条件得ａ３＝ａ２－ａ１，即ａ１＝ａ２－ａ３，所以Ｓ２００６＝Ｓ２００４＋ａ２００５＋ａ２００６＝Ｓ２００４＋ａ１＋ａ２＝ａ１＋ａ２＝（ａ２－ａ３）＋ａ２＝２ａ２－ａ３＝２×１３－ａ３③又因为ａ４＝－ａ１，ａ５＝－ａ２，所以②式变为１８４＝ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４＋ａ５＝ａ１＋ａ２＋ａ３－ａ１－ａ２＝ａ３④再用④式代入③得Ｓ２００６＝２×１３－１８４＝－１５８．责任编辑罗峰５８。
第23卷第4期 河池师专学报 V ol .23No.42003年12月 JOU R NAL OF HECHI N ORM AL COL LEGEDec.2003 周期函数与概周期函数王五生(河池学院 数学系,广西 宜州 546300)[摘 要] 利用周期函数与概周期函数的定义,把周期函数的周期集与概周期函数的概周期集进行了比较,把周期函数与概周期函数的性质进行了比较,并得出一些重要结论。
[关键词] 周期函数;概周期函数;概周期集;比较周期函数与概周期函数[中图分类号] O154.3 [文献标识码] A [文章编号] 1005-765(2003)04-0059-031 基本概念与基本定理定义1 设函数f (x )定义在数集A 上。
若存在L >0,对任意x A ,有x L A ,且f (x L )=f (x )则称函数f (x )是周期函数,L 称为函数f (x )的一个周期。
若f (x )有最小的正周期,称最小正周期为函数f (x )的基本周期,简称为周期。
定义2 称函数f (t) C (R,E)是(Boh r)概周期的,如果对任意 >0,集合T (f , )={ ;|f (t + )-f (t)|< ,对于任意t R }是相对稠密的,即对任给 >0,存在L =L ( )>0,使得在每个长度为L 的区间内至少有一个 = ( ) T (f , ),使|f (t + )-f (t)|< 对一切t R 成立。
集合T (f , )叫做f (t)的 移位数集或 概周期集。
叫做f (t)的 移位数或 概周期。
L ( )叫做T (f , )的包含区间长。
定理1 若f (t)是概周期函数,则f (t)在R 上一致连续,且有界。
定理2 若f (t)与g(t)是概周期函数,则对任意的 >0,T (f , ) T (g , )是非空相对稠密的。
2 主要结论定理3 设f (t)是周期函数, 是它的一个周期,则对任意自然数n ,n 也是它的周期。
概周期函数又称殆周期函数,周期函数的一种推广,具有某种近似周期性的有界连续函数。
概周期函数是在研究周期函数某种性质的基础上进一步提出来的。
三角多项式以及三角多项式序列的极限都是周期函数。
而三角和(сj为复数,λj为实数)序列的极限却未必是周期函数。
但这类极限函数的特征可以用某种近似周期性来刻画。
考虑最简单的情形，两个连续周期函数ƒ(x)及g（x）的和函数S(x)=ƒ(x)+g(x)，设F为ƒ(x)的周期，G为g(x)的周期。
如果F 和G是可公度的,即存在正整数n1和n2，使得n1F=n2G,那么S(x)也为一周期函数，而且以n1F=n2G为周期。
但当F和G是不可公度时,虽然不存在整数n1和n2，满足,但由有理数集的稠密性原理可知:存在正整数n1和n2，使得|n1F－n2G|<δ,这里，δ是事先任给的正数。
从而，存在数τ满足|n1F－τ|<δ及|n2G－τ|<δ。
还可以进一步证明更强的结论：对任给的δ>0,存在着正数l(δ)，使得在每一个长为l(δ)的区间内至少有一数τ满足上式。
这样，由ƒ(x)和g(x)的连续性、周期性以及上述事实便得到：对任给的ε>0,存在着正数l(ε)，使得在每一个长为l(ε)的区间内至少有一数τ，满足│S(x+τ)-S(x)│<ε。
上式虽然并不说明S(x)为周期函数，但它具有近似的周期性。
一般来说，可以给出如下的精确描述：设ƒ(x)为定义于实轴上的复值连续函数，如果τ满足，就称τ为ƒ（x）的属于ε的平移数。
若对任一ε>0，存在l(ε)>0,使得长度为l(ε)的区间内至少包含一个ƒ(x)的属于ε的平移数,则称ƒ(x)为概周期函数。
任一周期函数必为概周期函数；由上可知，任意有限个周期函数的和函数也必为概周期函数。
因而，复值三角和必为概周期函数。
概周期函数理论中的一个重要结果是：ƒ(x)为概周期函数当且仅当ƒ(x)可以用上述的三角和序列来一致逼近。
周期函数与周期数列TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】第14讲周期函数与周期数列本节主要内容有周期；周期数列、周期函数．周期性是自然规律的重要体现之一，例如地球公转的最小正周期就体现为年的单位．在数学中，我们就经常遇见各种三角函数，这类特殊的周期函数，特别是正弦、余弦函数与音乐有着密切的联系:19世纪法国数学家傅立叶证明了所有的乐声──不管是器乐还是声乐都能用数学表达式来描述，它们一定是一些简单的正弦周期函数的和．作为认识自然规律的主要手段，数学在本学科中严格地引进了“周期”这个重要概念．在中学数学中，我们仅仅讨论定义域是整个实数轴的实值映射的周期性，尽管形式十分简单，但与之相关的问题仍有待研究．中学数学里称函数的周期，没有特殊说明是指其最小正周期．如果函数y＝f(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期．一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N＋)也是f(x)的周期．1．若f(x＋T)=－f(x)，则2T是f(x)的周期，即f(x＋2T)=f(x)证明：f(x＋2T)=f(x＋T＋T)=－f(x＋T)=f(x)，由周期函数的性质可得f(x＋2n T)=f(x)，(n∈Z)2．若f (x ＋T )=±，则2T 是f (x )的周期，即f (x ＋2T )=f (x )．仅以f (x ＋T )=证明如下：f (x ＋2T )=f (x ＋T ＋T )==f (x )．由周期函数的性质可得f (x ＋2n T )=f (x )，(n ∈Z ) 3．在数列{}n a 中，如果存在非零常数T ，使得m T m a a +=对于任意的非零自然数m 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫数列{}n a 的周期． A 类例题例1（2001年上海春季卷）若数列}{n a 前8项的值各异，且n 8n a a =+对任意的N n ∈都成立，则下列数列中可取遍}{n a 前8项值的数列为（）A ．}{12+k aB ．}{13+k aC ．}{14+k aD ．}{16+k a解析由数列{a n }前8项的值各异，n 8n a a =+对任意n ∈N ＋都成立，得数列{a n }的周期T=8，则问题转化为2k ＋1，3k ＋1，4k ＋1，6k ＋1中k=1，2，3，…代入被8除若余数能取到0，1，2，3，4，5，6，7即为答案．经检验3k ＋1可以，故}{13+k a 可取遍{a n }的前8项值．答案为B ．说明本题还可以奇偶性的角度考虑，在2k ＋1，3k ＋1，4k ＋1，6k ＋1中，2k ＋1，4k ＋1，6k ＋1都是奇数，除8后仍都是奇数，只有3k ＋1除8后余数能取到0，1，2，3，4，5，6，7．例2定义在R 上的奇函数且f (x ＋2)=f (x －2)，且f (1)=2则f (2)＋f (7)=．解因为f (x ＋2)=f (x －2)，知f (x ＋2T )=f (x )．即f (x ＋4)=f (x )．所以f (7)=f (3＋4)=f (－1＋4)=f (－1)=－f (1)=－2．f (－2)=f (－2＋4)=f (2)所以f (2)=0．从而f (2)＋f (7)=－2．情景再现1．已知函数f(x)对任意实数x ，都有f(a ＋x)＝f(a －x)且f(b ＋x)＝f(b －x)，求证:2|a －b|是f(x)的一个周期．(a≠b)2．已知数列{n x }满足x 1=1，x 2=6，11-+-=n n n x x x (n ≥2)，求x 2006及S 2006．B 类例题例3定义在R 上的奇数满足f (1＋x )=f (1－x )，当(]5,4∈x 时，f (x )=2x －4，则)0,1[-∈x 时f (x )=因为f (1＋x )=f (1－x )，f (x )=f (－x )，知f (x ＋4)=f (x )， 故当]1,0(∈x 时，x ＋4(]5,4∈，f (x )=f (x ＋4)=2x ＋4－4=2x ．又)0,1[-∈x 时，即－]1,0(∈x ，所以f (x )=－f (－x )=－2－x ()0,1[-∈x )例4设f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任意x 1、x 2∈［0，21］，都有f (x 1＋x 2)=f (x 1)·f (x 2)，且f (1)=a >0．(1)求f (21)、f (41);(2)证明f (x )是周期函数；(3)记a n =f (2n ＋n21)，求).(ln lim n n a ∞→（2001年全国高考题）分析本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力．认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f (x 1＋x 2)=f (x 1)·f (x 2)找到问题的突破口．由f (x 1＋x 2)=f (x 1)·f (x 2)变形为)2()2()2()22()(xf x f x f x x f x f ⋅⋅=+=是解决问题的关键．解(1)因为对x 1，x 2∈［0，21］，都有f (x 1＋x 2)=f (x 1)·f (x 2)，所以f (x )=)2()22(x f x x f =+≥0，x ∈［0，1］又因为f (1)=f (21＋21)=f (21)·f (21)=［f (21)］2f (21)=f (41＋41)=f (41)·f (41)=［f （41）］2又f (1)=a >0∴f (21)=a 21，f (41)=a 41(2)证明：依题意设y =f (x )关于直线x =1对称，故f (x )=f (1＋1－x )，即f (x )=f (2－x )，x ∈R ．又由f (x )是偶函数知f (－x )=f (x )，x ∈R ，∴f (－x )=f (2－x )，x ∈R ．将上式中－x 以x 代换得f (x )=f (x ＋2)，这表明f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期．(3)解：由(1)知f (x )≥0，x ∈［0，1］∵f (21)=f (n ·n 21)=f (n 21＋(n －1)n 21)=f (n 21)·f ((n －1)·n21) =……=f (n 21)·f (n 21)·……·f (n 21)=［f (n21)］n =a 21∴f (n21)=a n 21．又∵f (x )的一个周期是2∴f (2n ＋n 21)=f (n21)，因此a n =a n 21∴.0)ln 21(lim )(ln lim ==∞→∞→a na n n n 例5(1997年全国高中数学联赛)已知数列{n x }满足11-+-=n n n x x x (n ≥2)，x 1=a ，x 2=b ，记S n =x 1＋x 2＋＋x n ，则下列结论正确的是()A ．x 100a ，S 100=2baB ．x 100b ，S 1002baCx 100b ，S 100=baD ．x 100a ，S 100ba解因为11-+-=n n n x x x ==-----121)(n n n x x x 2--n x ，于是得n n n x x x =-=++36所以数列{n x }是周期数列，其周期为6k(k∈Z)，且x1＋x2＋＋x6=0，x100=x4=－x1=－a．故S100 16(x1＋x2＋＋x6)＋x＋x98＋＋x99＋x100=x1＋x2＋x3＋x4=x2＋x3=2b－a．97例6设数列a1，a2，a3，…，a n，满足a1=a2=1，a3=2，且对任意自然数n都有a n·a n＋1·a n＋≠1，a n·a n＋1·a n＋2a n＋3=a n＋a n＋1＋a n＋2＋a n＋3，求a1＋a2＋a3＋…＋a100．2解由a n·a n＋1·a n＋2a n＋3=a n＋a n＋1＋a n＋2＋a n＋3，①得a n＋1·a n＋2·a n＋3a n＋4=a n＋1＋a n＋2＋a n＋3＋a n＋4，②两式相减得：(a n－a n＋4)·(a n＋1＋a n＋2a n＋3－1)=0，由于a n＋1＋a n＋2a n＋3≠1，所以a n＋4=a n．又a1=a2=1，a3=2，由①得2a4=4＋a4，所以a4=4．故a1＋a2＋a3＋a4=8，于是a1＋a2＋a3＋…＋a100=25(a1＋a2＋a3＋a4)=200．情景再现表示区间(2k－3．设f(x)是定义在区间(－∞，＋∞)上以2为周期的函数，对k∈Z，用Ik时f(x)=x2．1，2k＋1]，已知当x∈I(Ⅰ)求f(x)在I上的解析表达式;k(Ⅱ)对自然数k，求集合Mk={a│使方程f(x)=ax在I k上有两个不相等的实根}．4．(2005年上海理科卷)在直角坐标平面中，已知点1(1,2)P ，22(2,2)P，33(3,2)P ，…，(,2)n n P n ，其中n 是正整数．对平面上任一点0A ，记1A 为0A 关于点1P 的对称点，2A 为1A 关于点2P 的对称点，……，n A 为1n A -关于点n P 的对称点．(1)求向量02A A 的坐标；(2)当点0A 在曲线C 上移动时，点2A 的轨迹是函数()y f x =的图象，其中()f x 是以3为周期的周期函数，且当(]0,3x ∈时，()lg f x x =，求以曲线C 为图象的函数在(]1,4的解析式；对任意偶数n ，用n 表示向量0n A A 的坐标C 类例题例7．(2005年广东卷19)设函数()(,)(2)(2),(7)(7)f x f x f x f x f x -∞+∞-=+-=+在上满足，且在闭区间[0，7]上，只有.0)3()1(==f f（Ⅰ）试判断函数)(x f y =的奇偶性；（Ⅱ）试求方程0)(=x f 在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论．解（Ⅰ）由(2)(2)()(4)(4)(14)(7)(7)()(14)f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x -=+=-⎧⎧⇒⇒-=-⎨⎨-=+=-⎩⎩)10()(+=⇒x f x f ，从而知函数)(x f y =的周期为10=T又(3)(1)0,(7)0f f f ==≠而，(3)(310)(7)0f f f -=-+=≠，所以(3)(3)f f -≠±故函数)(x f y =是非奇非偶函数;(II)又(3)(1)0,(11)(13)(7)(9)0f f f f f f ====-=-=故f(x)在[0，10]和[－10，0]上均有有两个解，从而可知函数)(x f y =在[0，2005]上有402个解，在[－2005．0]上有400个解，所以函数)(x f y =在[－2005，2005]上有802个解．例8数列{a n}满足a n=a n－1－a n－2(n≥3)．如果它的前1492项之和是1985，而它的前1985项之和是1492．那么前2001项的和是多少(1985年中美数学邀请赛复赛试题)解因为a n=a n－1－a n－2=(a n－2－a n－3)－a n－2=－a n－3同理a n－3=－a n－6所以a n=a n－6故数列{a n}是周期数列．其周期为6．且f(n)=f(6k＋n)，(k∈N)．=a n＋a n－1＋a n－2＋L＋a1，且a n=a n－1－a n－2(n≥3)Sn=(a n－1－a n－2)＋(a n－2－a n－3)＋(a n－3－a n－4)＋…＋(a2–a1)＋a2＋a1所以Sn=a n－1＋a2(n≥3)=a1491＋a2=a248×6＋3＋a2=a3＋a2=1985，因此S1492=a1984＋a2=a330×6＋4＋a2=a4＋a2=a3=1492．S1985由以上两式得a2=493，=a2000＋a2=a333×6＋2＋a2=a2＋a2=986．所以S2001情景再现5．已知f (x )是定义在R 上的函数f (10＋x)=f (10－x)，f (20＋x)=f (20－x)．则f (x )是()．A ．周期为20的奇函数B ．周期为20的偶函数C ．周期为40的奇函数D ．周期为40的偶函数6．在数列{a n }中．a n =13，a n =56．对所有的正整数n 都有a n ＋1=a n ＋a n ＋2，求a 1994．(1994年第5届希望杯”竞赛题)习题14A 类习题1．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{}a n 是等和数列，且a 12=，公和为5，那么(1)a 18的值为_______，(2)这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________________(2004年北京理工卷)．2．若存在常数0>p ，使得函数=)()(px f x f 满足)(),)(2(x f R x p px f 则∈-的一个正周期为．（2003年春季北京卷）3．对任意整数x ，函数)(x f 满足)(1)(1)1(x f x f x f -+=+，若2)1(=f ，则=)2003(f ．4．已知函数f(x)的定义域为N ，且对任意正整数x ，都有f(x)＝f(x －1)＋f(x ＋1)．若f(0)＝2004，求f(2004)．5．已知对于任意a ，b∈R，有f(a ＋b)＋f(a －b)＝2f(a)f(b)，且f(x)≠0⑴求证：f(x)是偶函数；⑵若存在正整数m 使得f(m)＝0，求满足f(x ＋T)＝f(x)的一个T 值(T≠0)6．记f (n)为自然数n 的个位数字，a n =f (n 2)－f (n)．求a 1＋a 2＋a 3＋L ＋a 2006的值．B 类习题7．函数f 定义在整数集上．满足：()f n =()310005n n f n -≥⎧⎪⎨+⎡⎤⎪⎣⎦⎩若若n＜1000，求()84f 的值．8．已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n a n ＋1a n ＋2=a n ＋a n ＋1＋a n ＋2，且a n ＋1a n ＋2≠1，求20061ii a=∑的值．9．设函数f (x )的定义域关于原点对称且满足：(i)f (x 1－x 2)=)()(1)()(1221x f x f x f x f -+⋅；(ii)存在正常数a 使f (a )=1．求证：(1)f (x )是奇函数．(2)f (x )是周期函数，且有一个周期是4a ．10．已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x ＋T )=T f (x )成立．（1）函数f (x )=x 是否属于集合M 说明理由；（2）设函数f (x )=a x （a >0，且a ≠1）的图象与y=x 的图象有公共点，证明：f (x )=a x ∈M ；（3）若函数f (x )=sin kx ∈M ，求实数k 的取值范围．(2003年上海卷)C 类习题11．整数数列}{n a ，时对于每个n ≥3都有a n =a n －1－a n －2，若前2003项的和为a ，(a ≠0)则S 5=()A ．aB ．C ．D ．5a(2003年希望杯)12．设f(x)是一个从实数集R 到R 的一个映射，对于任意的实数x ，都有|f(x)|≤1，并且f (x)＋)71+(+)61+(=)4213+(x f x f x f ，求证:f(x)是周期函数．本节“情景再现”解答：1．不妨设a ＞b ，于是f(x ＋2(a －b))＝f(a ＋(x ＋a －2b))＝f(a －(x ＋a －2b))＝f(2b －x)＝f(b －(x －b))＝f(b ＋(x －b))＝f(x)∴2(a －b)是f(x)的一个周期当a ＜b 时同理可得．所以，2|a －b|是f(x)的周期2．解法一：由x 1=1，x 2=6，及11-+-=n n n x x x 得x 3=5，x 4=－1，x 5=－6，x 6=－5，x 7=1，x 8=6，所以数列{n x }是周期数列，其周期为6k(k ∈Z )，且x 1＋x 2＋＋x 6=0，所以x 2006=x 6×334＋2=x 2=6．S 2006=7解法二：因为11-+-=n n n x x x ==-----121)(n n n x x x 2--n x ，于是得n n n x x x =-=++36所以数列{n x }是周期数列，其周期为6k(k ∈Z )，且x 1＋x 2＋＋x 6=0，所以x 2006=x 6×334＋2=x 2=6．S 2006=73．⑴证明：令a ＝b ＝0得，f(0)＝1(f(0)＝0舍去)又令a ＝0，得f(b)＝f(－b)，即f(x)＝f(－x)，所以，f(x)为偶函数⑵令a ＝x ＋m ，b ＝m 得f(x ＋2m)＋f(x)＝2f(x ＋m)f(m)＝0所以f(x ＋2m)＝－f(x)于是f(x ＋4m)＝f[(x ＋2m)＋2m]＝－f(x ＋2m)＝f(x)即T ＝4m(周期函数)4．(Ⅰ):∵f (x)是以2为周期的函数，∴ 当k ∈Z 时，2k 是f(x)的周期．又∵ 当x∈I k 时，(x －2k)∈I 0，∴ f(x)=f(x －2k)=(x －2k)2．即对 k ∈Z ，当x ∈I k 时，f(x)=(x －2k)2．(Ⅱ)解:当k ∈N 且x ∈I k 时，利用(Ⅰ)的结论可得方程(x －2k)2=ax ，整理得 x 2－(4k ＋a)x ＋4k 2=0．它的判别式是△=(4k ＋a)2－16k 2=a(a ＋8k)．上述方程在区间Ik 上恰有两个不相等的实根的充要条件是a 满足⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++≥++-+<->+])8(4[2112])8(4[21120)(k a a a k k k a a a k k k a a ，化简⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤++>+>+ak a a a k a a k a a 2)8(2)8(0)8(③②①由①知a >0，或a <－8k ．当a >0时:因2＋a>2－a ，故从②，③可得≤2－a ，即．即所以1210+≤<k a 当a <－8k 时:2＋a<2－8k<0，易知<2＋a 无解．综上所述，a 应满足1k 21a 0+≤<，故所求集合(1)K>0时}1210{+≤<=k a a M K(2)K=0，{a ｜－1<a <0，或0<a <1}4．（1）设点),(0y x A ，A 0关于点P 1的对称点A 1的坐标为),4,2(1y x A --A 1关于点P 2的对称点A 2的坐标为)4,2(2y x A ++，所以，}.4,2{20=A A（2）[解法一])(},4,2{20x f A A ∴= 的图象由曲线C 向右平移2个单位，再向上平移 4个单位得到．因此，基线C 是函数)(x g y =的图象，其中)(x g 是以3为周期的周期函数，且当[解法二]设⎩⎨⎧=-=-42),,(),,(222220y y x x y x A y x A 于是若).3lg()3()(,330,6322222-=-=≤-<≤<x x f x f x x 于是则当),1lg(4.63,412-=+≤<≤<x y x x 则时.4)1lg()(,]4,1{--=∈∴x x g x 时当（3）n n n A A A A A A A A 242200-+++=由于)(2,2143210212222n n n k k k k P P P P P P A A P P A A ---+++== 得，5．解析:f (20＋x)=f [10＋(10＋x)]=f (10－(10＋x))=f (－x )，类似地f (20－x)=f (x )，所以f (x )=－f (－x )，故f (x )是奇函数且f (x )的周期为40．故选C ．6．解因为a n ＋1=a n ＋a n ＋2，所以a n ＋2=a n ＋1＋a n ＋3，以上两式相减得a n ＋3=－a n ，所以a n ＋6=a n所以数列{a n }是以6周期的周期数列．所以a 1994=a 332×6＋2=a 2=56．本节“习题14”解答：1．答案：(1)3解：(1)由题可得5=a 1＋a 2=a 2＋a 3=a 3＋a 4=…=a 2n －1＋a 2n =a 2n ＋a 2n ＋1得a 2n ＋1=a 2n ＋3，a 2n =a 2n ＋2，故得为周期数列T=2，a 18=a 2，又因为a 1=2，所以a 2=3，故a 18=a 2=3．(2)当n为偶数时，S n n =52；当n 为奇数时，S n n =-5212． 2．答案:2p 注：填2p的正整数倍中的任何一个都正确． 解：设u=px －·所以px=u ＋则f (u)=f (u ＋)对于任意的实数u 都成立，根据周期函数的定义，f(x)的一个正周期为，所以f (x)的一个正周期为．3．解由)(1)(1)1(x f x f x f -+=+得)(1)2(x f x f -=+，故)()4(x f x f =+，21)3()3504()2003(-==+⨯=f f f ．4．解因为f(x)＝f(x －1)＋f(x ＋1)所以f(x ＋1)＝f(x)＋f(x ＋2)，两式相加得0＝f(x －1)＋f(x ＋2)即：f(x ＋3)＝－f(x)∴f(x ＋6)＝f(x)，f(x)是以6为周期的周期函数，2004＝6×334，∴f(2004)＝f(0)＝2004．5．⑴证明：令a ＝b ＝0得，f(0)＝1(f(0)＝0舍去)又令a ＝0，得f(b)＝f(－b)，即f(x)＝f(－x)，所以，f(x)为偶函数⑵令a ＝x ＋m ，b ＝m 得f(x ＋2m)＋f(x)＝2f(x ＋m)f(m)＝0所以f(x ＋2m)＝－f(x)于是f(x ＋4m)＝f[(x ＋2m)＋2m]＝－f(x ＋2m)＝f(x)，即T ＝4m(周期函数)6．解易知f (n ＋10)=f (n)，f [(n ＋10)2]=f (n 2)所以a n ＋10=a n 即a n 是以10为周期的数列又易知a 1=0，a 2=2，a 3=6，a 4=2，a 5=0，a 6=0，a 7=2，a 8=－4，a 9=－8，a 10=0．所以a 1＋a 2＋a 3＋L ＋a 10=0．故a 1＋a 2＋a 3＋L ＋a 2005=a 1＋a 2＋a 3＋L ＋a 6=10．7．解先考虑n=999(近1000时)情况：()999ffff =()1004ffff f ⎡⎤⎣⎦=()1001ffff =()998fff =()1003fff f ⎡⎤⎣⎦ =()1000fff =()997ff =()1002ff f ⎡⎤⎣⎦=()999ff ．(有规律()999ffff =()999ff )．∴()84f =()845f f +⎡⎤⎣⎦=()8425ff f +⨯⎡⎤⎣⎦=()8435fff f +⨯⎡⎤⎣⎦ =()184841835fff +⨯=()184999fff =()182999fff =……=()999ff =()1004fff =()1001ff =()998f =()1003ff=()1000f =997．8．解易知a 3=3，a 4=1，a 5=2，由a n a n ＋1a n ＋2=a n ＋a n ＋1＋a n ＋2，①得a n ＋1a n ＋2a n ＋3=a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3，②②－①得：(a n ＋3－a n )(a n ＋1a n ＋2－1)=0，又a n ＋1a n ＋2≠1，所以a n ＋3－a n =0，即a n 是以3为周期的数列，又a 1＋a 2＋a 3=6，所以20061ii a=∑=6×668＋1＋2=4011．9．证明:(1）不妨令x =x 1－x 2，则f (－x )=f (x 2－x 1)=)()(1)()()()(1)()(12212112x f x f x f x f x f x f x f x f -+-=-+=－f (x 1－x 2)=－f (x )．∴f (x )是奇函数．(2）要证f (x ＋4a )=f (x )，可先计算f (x ＋a )，f (x ＋2a )．∵f (x ＋a )=f ［x －(－a )］=)1)((1)(1)()()(1)()()()(1)()(=+-=--+-=---+-a f x f x f x f a f x f a f x f a f x f a f ．∴f (x ＋4a )=f ［(x ＋2a )＋2a ］=)2(1a x f +-=f (x )，故f (x )是以4a 为周期的周期函数．10．解（1）对于非零常数T ，f (x ＋T)=x ＋T ，T f (x )=T x ．因为对任意x ∈R ，x ＋T=T x 不能恒成立，所以f (x )=.M x ∉（2）因为函数f (x )=a x （a >0且a ≠1）的图象与函数y=x 的图象有公共点，所以方程组：⎩⎨⎧==xy a y x有解，消去y 得a x =x ，显然x =0不是方程a x =x 的解，所以存在非零常数T ，使a T =T ．于是对于f (x )=a x 有)()(x Tf a T a a a T x f x x T T x =⋅=⋅==++故f (x )=a x∈M ．（3）当k=0时，f (x )=0，显然f (x )=0∈M ．当k ≠0时，因为f (x )=sin kx ∈M ，所以存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x ＋T)=T f (x )成立，即sin(kx ＋k T)=Tsin kx ．因为k ≠0，且x ∈R ，所以kx ∈R ，kx ＋k T ∈R ，于是sin kx ∈[－1，1]，sin(kx ＋k T)∈[－1，1]，故要使sin(kx ＋k T)=Tsin kx ．成立，只有T=1±，当T=1时，sin(kx ＋k )=sin kx 成立，则k =2m π，m ∈Z ．当T=－1时，sin(kx －k )=－sin kx 成立，即sin(kx －k ＋π)=sin kx 成立，则－k ＋π=2m π，m ∈Z ，即k =－2(m －1)π，m ∈Z ．综合得，实数k 的取值范围是{k |k =m π，m ∈Z}11．解因为a n =a n －1－a n －2=(a n －2－a n －3)－a n －2=－a n －3，同理a n －3=－a n －6所以a n =a n －6，故数列{a n }是周期数列．其周期为6．因此S n =a n ＋a n －1＋a n －2＋L ＋a 1，且a n =a n －1－a n －2(n ≥3)．所以S n =(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋(a n －3－a n －4)＋…＋(a 2–a 1)＋a 2＋a 1=a n －1＋a 2(n ≥3)．因此S 2003=a 2002＋a 2=a 333×6＋4＋a 2=a 4＋a 2=S 5，故选A ．12．证明:由已知f(x)＋)4216x (f )427x (f )4213x (f +++=+所以)426x (f )4213x (f )x (f )427x (f +-+=-+19124942()()......()()42424242f x f x f x f x =+-+==+-+ 即)427x (f )4249x (f )x (f )4242x (f +-+=-+① 同理有)4243x (f )4249x (f )421x (f )427x (f +-+=+-+即)421x (f )4243x (f )427x (f )4249x (f +-+=+-+② 由①②)427x (f )4249x (f )x (f )4242x (f +-+=-+ 4314428442()()()()......()()424242424242f x f x f x f x f x f x =+-+=+-+==+-+ 于是f(x ＋1)－f(x)＝f(x ＋2)－f(x ＋1)，记这个差为d同理f(x＋3)－f(x＋2)＝f(x＋2)－f(x＋1)＝d……f(x＋n＋1)－f(x＋n)＝f(x＋n)－f(x＋n－1)＝……＝f(x＋1)－f(x)＝d即是说数列{f(x＋n)}是一个以f(x)为首项，d为公差的等差数列因此f(x＋n)＝f(x)＋nd＝f(x)＋n[f(x＋1)－f(x)]对所有的自然数n成立，而对于x∈R，|f(x)|≤1，即f(x)有界，故只有f(x＋1)－f(x)＝0即f(x＋1)＝f(x)x∈R所以f(x)是周期为1的周期函数．。
