2018-2019学年度高中数学必修5配套练习题课时分层作业课时分层作业 5 角度问题

课时分层作业(十一) 等差数列的前n项和(建议用时:40分钟) [学业达标练]一、选择题1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若2a 6＝a 8＋6,则S 7等于( ) A.49 B.42 C.35D.28B [2a 6－a 8＝a 4＝6,S 7＝72(a 1＋a 7)＝7a 4＝42.]2.已知数列{a n }是等差数列,a 4＝15,S 5＝55,则过点P (3,a 3),Q (4,a 4)的直线斜率为( )【导学号:91432169】A.4B.14C.－4D.－14A [由题S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5×2a 32＝55.解得a 3＝11.∴P (3,11),Q (4,15), ∴k ＝15－114－3＝4.故选A.] 3.在小于100的自然数中,所有被7除余2的数之和为( ) A.765 B.665 C.763D.663B [∵a 1＝2,d ＝7,2＋(n －1)×7<100,∴n <15,∴n ＝14,S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665.] 4.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 5a 3＝59,则S 9S 5等于( )【导学号:91432170】A.1B.－1C.2D.12A [S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝92·2a 552·2a 3＝9a 55a 3＝95·a 5a 3＝1.] 5.现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为( )A.9B.10C.19D.29B [钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列,最上面一层钢管数为1,逐层增加1个.∴钢管总数为:1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n ＝19时,S 19＝190.当n ＝20时,S 20＝210>200.∴n ＝19时,剩余钢管根数最少, 为10根.]二、填空题6.已知{a n }是等差数列,a 4＋a 6＝6,其前5项和S 5＝10,则其公差为d ＝________.【导学号:91432171】12[a 4＋a 6＝a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝6,① S 5＝5a 1＋12×5×(5－1)d ＝10,② 由①②联立解得a 1＝1,d ＝12.]7.已知数列{a n }中,a 1＝1,a n ＝a n －1＋12(n ≥2),则数列{a n }的前9项和等于________.27 [由a 1＝1,a n ＝a n －1＋12(n ≥2),可知数列{a n }是首项为1,公差为12的等差数列,故S 9＝9a 1＋9×(9－1)2×12＝9＋18＝27.]8.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且6S 5－5S 3＝5,则a 4＝________.【导学号:91432172】13 [设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,由6S 5－5S 3＝5,得3(a 1＋3d )＝1,所以a 4＝13.]三、解答题9.等差数列{a n }中,a 10＝30,a 20＝50. (1)求数列的通项公式; (2)若S n ＝242,求n .[解] (1)设数列{a n }的首项为a 1,公差为d . 则⎩⎨⎧ a 10＝a 1＋9d ＝30，a 20＝a 1＋19d ＝50，解得⎩⎨⎧a 1＝12，d ＝2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋(n －1)×2＝10＋2n . (2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d 以及a 1＝12,d ＝2,S n ＝242,得方程242＝12n ＋n (n －1)2×2,即n 2＋11n －242＝0,解得n ＝11或n ＝－22(舍去).故n ＝11.10.已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ,求a 2＋a 3－a 4＋a 5＋a 6.【导学号:91432173】[解] ∵S n ＝n 2－2n , ∴当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1 ＝n 2－2n －[(n －1)2－2(n －1)] ＝n 2－2n －(n －1)2＋2(n －1) ＝2n －3,∴a 2＋a 3－a 4＋a 5＋a 6 ＝(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)－a 4 ＝2a 4＋2a 4－a 4＝3a 4 ＝3×(2×4－3)＝15.[冲A 挑战练]1.如图2-3-1所示将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有n (n >1,n ∈N *)个点,相应的图案中总的点数记为a n ,则a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n 等于( )图2-3-1A.3n 22 B.n (n ＋1)2 C.3n (n －1)2D.n (n －1)2C [由图案的点数可知a 2＝3,a 3＝6,a 4＝9,a 5＝12,所以a n ＝3n －3,n ≥2, 所以a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n ＝(n －1)(3＋3n －3)2＝3n (n －1)2.]2.已知命题:“在等差数列{a n }中,若4a 2＋a 10＋a ( )＝24,则S 11为定值”为真命题,由于印刷问题,括号处的数模糊不清,可推得括号内的数为( )【导学号:91432174】A.15B.24C.18D.28C [设括号内的数为n ,则4a 2＋a 10＋a (n )＝24, ∴6a 1＋(n ＋12)d ＝24.又S 11＝11a 1＋55d ＝11(a 1＋5d )为定值, 所以a 1＋5d 为定值. 所以n ＋126＝5,n ＝18.]3.设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1＝－1,a n ＋1＝S n S n ＋1,则S n ＝________. －1n [当n ＝1时,S 1＝a 1＝－1,所以1S 1＝－1.因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1,所以1S n －1S n ＋1＝1,即1S n ＋1－1S n ＝－1,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项,－1为公差的等差数列,所以1S n＝(－1)＋(n －1)·(－1)＝－n ,所以S n ＝－1n ] 4.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0,S 2m －1＝38,则m ＝________.【导学号:91432175】10 [因为{a n }是等差数列, 所以a m －1＋a m ＋1＝2a m ,由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0,得2a m －a 2m ＝0,由S 2m －1＝38知a m ≠0,所以a m ＝2,又S 2m －1＝38,即(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝38,即(2m －1)×2＝38,解得m ＝10.]5.设S n 是数列{a n }的前n 项和且n ∈N *,所有项a n >0,且S n ＝14a 2n ＋12a n －34. (1)证明:{a n }是等差数列. (2)求数列{a n }的通项公式.[解] (1)证明:当n ＝1时,a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1－34,解得a 1＝3或a 1＝－1(舍去). 当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝14(a 2n ＋2a n－3)－14(a 2n －1＋2a n －1－3).所以4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1,即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0,因为a n ＋a n －1>0,所以a n －a n －1＝2(n ≥2).所以数列{a n }是以3为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)知a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.。

2018年人教A版高中数学必修5学业分层测评与综合测试汇编目录人教A必修5学业分层测评1 正弦定理Word版含解析人教A必修5学业分层测评2 余弦定理Word版含解析人教A必修5学业分层测评3 解三角形的实际应用Word版含解析人教A必修5学业分层测评4 角度问题Word版含解析人教A必修5学业分层测评5 三角形中的几何计算Word版含解析人教A必修5学业分层测评6 数列的概念与简单表示法Word版含解析人教A必修5学业分层测评7 数列的通项与递推公式Word版含解析人教A必修5学业分层测评8 等差数列的概念与简单表示Word版含解析人教A必修5学业分层测评9 等差数列的性质Word版含解析人教A必修5学业分层测评10 等差数列的前n项和Word版含解析人教A必修5学业分层测评11 等差数列前n项和的综合应用Word版含解析人教A必修5学业分层测评12 等比数列Word版含解析人教A必修5学业分层测评13 等比数列的性质Word版含解析人教A必修5学业分层测评14 等比数列的前n项和Word版含解析人教A必修5学业分层测评15 等比数列前n项和的性质及应用Word版含解析人教A必修5学业分层测评16 不等关系与不等式Word版含解析人教A必修5学业分层测评17 一元二次不等式及其解法Word版含解析人教A必修5学业分层测评18 一元二次不等式的应用Word版含解析人教A必修5学业分层测评19 二元一次不等式（组）与平面区域Word版含解析人教A必修5学业分层测评20 简单的线性规划问题Word版含解析人教A必修5学业分层测评21 基本不等式：ab≤a＋b2 Word版含解析人教A必修5章末综合测评1 Word版含解析人教A必修5章末综合测评2 Word版含解析人教A必修5章末综合测评3 Word版含解析人教A必修5模块综合测评1 Word版含解析人教A必修5模块综合测评2 Word版含解析学业分层测评（一）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在△ABC 中，a=4，A=45°，B=60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3 【解析】 由已知及正弦定理，得4sin 45°=b sin 60°，∴b=4sin 60°sin 45°=4×3222=2 6. 【答案】 C2．在△ABC 中，∠A=60°，a=43，b=42，则∠B 等于( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对【解析】 ∵sin B=bsin A a =42×3243=22，∴∠B=45°或135°.但当∠B=135°时，不符合题意，所以∠B=45°，故选C. 【答案】 C3．若三角形三个内角之比为1∶2∶3，则这个三角形三边之比是( ) A ．1∶2∶3 B ．1∶3∶2 C ．2∶3∶1 D ．3∶1∶2【解析】 设三角形内角∠A 、∠B 、∠C 分别为x,2x,3x ，则x ＋2x ＋3x=180°，∴x=30°.由正弦定理a sin A =b sin B =csin C，可知a ∶b ∶c=sin A ∶sin B ∶sin C ，∴a ∶b ∶c=sin 30°∶sin 60°∶sin 90°=12∶32∶1=1∶3∶2.【答案】 B4．在△ABC 中，若3b=23asin B ，cos A=cos C ，则△ABC 形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 【解析】 由正弦定理知b=2R·sin B ，a=2R·sin A ， 则3b=23a·sin B 可化为：3sin B=23sin A·sin B.∵0°<∠B<180°，∴sin B ≠0，∴sin A=32，∴∠A=60°或120°，又cos A=cos C ，∴∠A=∠C ，∴∠A=60°，∴△ABC 为等边三角形． 【答案】 C 二、填空题5．在△ABC 中，B=45°，C=60°，c=1，则最短边的边长等于________． 【解析】 由三角形内角和定理知：A=75°，由边角关系知B 所对的边b 为最小边，由正弦定理b sin B =c sin C 得b=csin B sin C =1×2232=63. 【答案】 636．(2015·广东高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a=3，sin B=12，C=π6，则b=________.【解析】 在△ABC 中，∵sin B=12，0<B<π，∴B=π6或B=56π.又∵B ＋C<π，C=π6，∴B=π6，∴A=π－π6－π6=23π.∵a sin A =b sin B ，∴b=asin B sin A =1. 【答案】 17．在△ABC 中，若3a=2bsin A ，则B=________. 【解析】 由正弦定理得3sin A=2sin B·sin A ，∵sin A ≠0，∴sin B=32.又0<B<180°，∴B=60°或120°.【答案】 60°或120° 三、解答题8．在△ABC 中，已知a cos A =b cos B =ccos C，试判断△ABC 的形状. 【=05920059】【解】 令asin A=k ，由正弦定理得a=ksin A ，b=ksin B ，c=ksin C.代入已知条件，得sin A cos A =sin B cos B =sin Ccos C，即tan A=tan B=tan C.又A ，B ，C ∈(0，π)，∴A=B=C ，∴△ABC 为等边三角形．9．在△ABC 中，∠A=60°，sin B=12，a=3，求三角形中其它边与角的大小．【解】 由正弦定理得a sin A =b sin B ，即b=a·sin Bsin A =3×12sin 60°= 3.由于∠A=60°，则∠B<120°，又sin B=12，∴∠B=30°，则∠C=90°，则c=asin Csin A=2 3.[能力提升]1．(2014·江西高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若3a=2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A.19B.13 C ．1 D ．72【解析】 ∵a sin A =b sin B ，∴sin B sin A =b a .∵3a=2b ，∴b a =32.∴sin B sin A =32.∴2sin 2B －sin 2A sin 2A =2⎝⎛⎭⎫sinB sin A 2－1=2×⎝⎛⎭⎫322－1=92－1=72. 【答案】 D2．在△ABC 中，下列关系中一定成立的是( ) A ．a>bsin A B ．a=bsin A C ．a<bsin A D ．a ≥bsin A【解析】 由正弦定理a sin A =bsin B，∴asin B=bsin A ，在△ABC 中，0<sin B ≤1，故asin B ≤a ，∴a ≥bsin A ．故选D.【答案】 D 3．有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下：“在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a=3，B=π4，________，求角A.”经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A=π6.(试在横线上将条件补充完整)【解析】 分两种情况：(1)若破损处的条件为边b 的长度，则由a sin A =b sin B ，得b=asin Bsin A=3sin π4sinπ6=6；(2)若破损处的条件为边c 的长度，由A ＋B ＋C=π，B=π4，A=π6，知C=7π12，再运用正弦定理，得c=32＋62.【答案】 b=6或c=32＋624．已知方程x 2－bcos Ax ＋acos B=0的两根之积等于两根之和，且a ，b 为△ABC 的两边，∠A 、∠B 为a 、b 的对角，试判断△ABC 的形状．【解】 设方程的两根为x 1，x 2，由根与系数关系得x 1＋x 2=bcos A ，x 1x 2=acos B ，由题意得bcos A=acos B.由正弦定理得2Rsin Bcos A=2Rsin Acos B. ∴sin Acos B －cos Asin B=0，即sin(A －B)=0.在△ABC 中，0<∠A<π，0<∠B<π，－π<∠A －∠B<π. ∴∠A －∠B=0即∠A=∠B ，∴△ABC 为等腰三角形.学业分层测评（二） (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab>0，则△ABC( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形【解析】 由题意知a 2＋b 2－c22ab<0，即cos C<0，∴△ABC 为钝角三角形． 【答案】 C2．△ABC 的三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6，则AB →·BC →的值为( ) A ．19 B ．14 C ．－18 D ．－19 【解析】 由余弦定理的推论知cos B=AB 2＋BC 2－AC 22AB·BC =1935，∴AB →·BC →=|AB →|·|BC →|·cos(π－B)=7×5×⎝⎛⎭⎫－1935=－19. 【答案】 D3．(2015·广东高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a=2，c=23，cos A=32且b<c ，则b=( )A ．3B ．2 2C ．2D ． 3【解析】 由a 2=b 2＋c 2－2bccos A ，得4=b 2＋12－6b ，解得b=2或4.又b<c ，∴b=2. 【答案】 C4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2=3bc ，sin C=23sin B ，则A=( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【解析】 ∵sin C=23sin B ，由正弦定理，得c=23b ，∴cos A=b 2＋c 2－a 22bc =－3bc ＋c 22bc =－3bc ＋23bc 2bc =32，又A 为三角形的内角，∴A=30°. 【答案】 A5．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且b 2=ac ，则B 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π3B.⎣⎡⎭⎫π3，πC.⎝⎛⎦⎤0，π6 D ．⎣⎡⎭⎫π6，π 【解析】 cos B=a 2＋c 2－b 22ac =(a －c )2＋ac2ac=(a －c )22ac ＋12≥12， ∵0<B<π，∴B ∈⎝⎛⎦⎤0，π3.故选A. 【答案】 A 二、填空题 6．(2014·福建高考)在△ABC 中，A=60°，AC=2，BC=3，则AB 等于 ．【解析】 ∵A=60°，AC=2，BC=3，设AB=x ，由余弦定理，得BC 2=AC 2＋AB 2－2AC·ABcos A ，化简得x 2－2x ＋1=0，∴x=1，即AB=1.【答案】 17．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C=5∶7∶8，则B 的大小是 ． 【解析】 由正弦定理知：a=2Rsin A ，b=2Rsin B ，c=2Rsin C ．设sin A=5k ，sin B=7k ，sin C=8k ， ∴a=10Rk ，b=14Rk ，c=16Rk ， ∴a ∶b ∶c=5∶7∶8，∴cos B=25＋64－492×5×8=12，∴B=π3.【答案】 π38．(2014·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知b －c=14a,2sin B=3sinC ，则cos A 的值为 ．【解析】 由2sin B=3sin C 及正弦定理得2b=3c ，即b=32c.又b －c=14a ，∴12c=14a ，即a=2c.由余弦定理得 cos A=b 2＋c 2－a 22bc =94c 2＋c 2－4c 22×32c 2=－34c 23c 2=－14.【答案】 －14三、解答题9．在△ABC 中，(1)a=3，b=4，c=37，求最大角． (2)b=6，c=2，B=60°，求a. 【解】 (1)显然角C 最大，∴cos C=a 2＋b 2－c 22ab =32＋42－372×3×4=－12，∴C=120°.(2)法一 由正弦定理b sin B =c sin C ，得sin C=csin B b =2sin 60°6=36=22，∴C=45°或C=135°.∵b>c ，∴B>C ，又∵B=60°，∴C=45°. ∵A ＋B ＋C=180°，∴A=180°－(60°＋45°)=75°，∴a 2=b 2＋c 2－2bccos A=6＋4－46×cos 75°=10－46×6－24=4＋23，∴a=4＋23=3＋1.法二 ∵b 2=a 2＋c 2－2accos B ， ∴6=a 2＋4－4acos 60°=a 2＋4－2a. ∴a 2－2a －2=0.解得a=1＋3或a=1－3(不合题意，舍去)， ∴a=1＋ 3.10．在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2=0的两根，2cos (A ＋B)=1. (1)求角C 的度数； (2)求AB 的长．【解】 (1)∵cos C=cos [π－(A ＋B)]=－cos (A ＋B)=－12，且C ∈(0，π)，∴C=2π3.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2=0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2，∴AB 2=b 2＋a 2－2abcos 120°=(a ＋b)2－ab=10， ∴AB=10.[能力提升]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c 2=2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形【解析】 由2c 2=2a 2＋2b 2＋ab 得，a 2＋b 2－c 2=－12ab ，所以cos C=a 2＋b 2－c 22ab =－12ab 2ab =－14<0，所以90°<C<180°，即三角形为钝角三角形，故选A. 【答案】 A2．已知锐角三角形边长分别为2,3，x ，则x 的取值范围是( ) A ．(5，5) B ．(1, 5) C ．(5，13) D ．(13，5)【解析】 三边需构成三角形，且保证3与x 所对的角都为锐角，由余弦定理得⎩⎪⎨⎪⎧22＋32－x 2>0，22＋x 2－32>0，解得5<x<13.【答案】 C3．(2015·北京高考)在△ABC 中，a=4，b=5，c=6，则sin 2Asin C= . 【解析】 由正弦定理得sin A sin C =ac ，由余弦定理得cos A=b 2＋c 2－a 22bc，∵a=4，b=5，c=6，∴sin 2A sin C =2sin Acos A sin C =2·sin A sin C ·cos A=2×46×52＋62－422×5×6=1. 【答案】 14．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c=6，b=2，cos B=79. 【=05920060】(1)求a ，c 的值；(2)求sin(A －B)的值．【解】 (1)由b 2=a 2＋c 2－2accos B ， 得b 2=(a ＋c)2－2ac(1＋cos B)，又b=2，a ＋c=6，cos B=79，所以ac=9，解得a=3，c=3.(2)在△ABC 中，sin B=1－cos 2B=429，由正弦定理得sin A=asin B b =223.因为a=c ，所以A 为锐角，所以cos A=1－sin 2A=13.因此sin(A －B)=sin Acos B －cos Asin B=10227.学业分层测评（三）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．为了测量B，C之间的距离，在河岸A，C处测量，如图1-2-9，测得下面四组数据，较合理的是()图1-2-9A．c与αB．c与bC．b，c与βD．b，α与γ【解析】因为测量者在A，C处测量，所以较合理的应该是b，α与γ.【答案】 D2．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则14时两船之间的距离是()A．50 n mile B．70 n mileC．90 n mile D．110 n mile【解析】到14时，轮船A和轮船B分别走了50 n mile，30 n mile，由余弦定理得两船之间的距离为l=502＋302－2×50×30×cos 120°=70 (n mile)．【答案】 B3．如图1-2-10，要测量河对岸A，B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，AD=20(3＋1)，则A，B间距离是()图1-2-10A．202米B．203米C．206米D．402米【解析】可得DB=DC=40，AD=20(3＋1)，∠ADB=60°，所以在△ADB中，由余弦定理得AB=206(米)．【答案】 C4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为()A．20 m B．30 mC．40 m D．60 m【解析】如图，设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB=30°，OB=20，BD=40，OD=203，在Rt △AOD 中，OA=OD·tan 60°=60，∴AB=OA －OB=40(m)． 【答案】 C 5．如图1-2-11所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB=BC=60 m ，则建筑物的高度为( )图1-2-11A ．15 6 mB ．20 6 mC ．25 6 mD ．30 6 m 【解析】 设建筑物的高度为h ，由题图知，PA=2h ，PB=2h ，PC=233h ，∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理，得cos ∠PBA=602＋2h 2－4h 22×60×2h， ①cos ∠PBC=602＋2h 2－43h 22×60×2h. ②∵∠PBA ＋∠PBC=180°， ∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC=0. ③由①②③，解得h=306或h=－306(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m. 【答案】 D 二、填空题6．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长 千米．【解析】 如图，∠BAO=75°，C=30°，AB=1，∴∠ABC=∠BAO －∠BCA=75°－30°=45°.在△ABC 中，AB sin C =ACsin ∠ABC，∴AC=AB·sin ∠ABCsin C =1×2212=2(千米)．【答案】 2 7．如图1-2-12，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B ，望对岸的标记物C ，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120 m ，则河的宽度是 m.图1-2-12【解析】 tan 30°=CD AD ，tan 75°=CDDB，又AD ＋DB=120， ∴AD·tan 30°=(120－AD)·tan 75°， ∴AD=603，故CD=60. 【答案】 608．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A 开始做匀速直线运动，到达点B 时，发现足球在点D 处正以2倍于自己的速度向点A 做匀速直线滚动，如图1-2-13所示，已知AB=4 2 dm ，AD=17 dm ，∠BAC=45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A 点 dm 的C 处截住足球. 【=05920061】图1-2-13【解析】 设机器人最快可在点C 处截住足球，点C 在线段AD 上，设BC=x dm ，由题意知CD=2x dm ，AC=AD －CD=(17－2x)dm. 在△ABC 中，由余弦定理得BC 2=AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos A ，即x 2=(42)2＋(17－2x)2－82(17－2x)cos 45°，解得x 1=5，x 2=373.∴AC=17－2x=7(dm)，或AC=－233(dm)(舍去)．∴该机器人最快可在线段AD 上距A 点7 dm 的点C 处截住足球． 【答案】 7 三、解答题9．A ，B ，C ，D 四个景点，如图1-2-14，∠CDB=45°，∠BCD=75°，∠ADC=15°.A ，D 相距2km ，C ，D 相距(32－6)km ，求A ，B 两景点的距离．图1-2-14【解】 在△BCD 中， ∠CBD=180°－∠BCD －∠CDB=60°，由正弦定理得BD sin ∠BCD =CDsin ∠CBD ，即BD=CD·sin 75°sin 60°=2.在△ABD 中，∠ADB=45°＋15°=60°，BD=AD ， ∴△ABD 为等边三角形， ∴AB=2.答：A ，B 两景点的距离为2 km.10．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，求两条船之间的距离．【解】如图所示，∠CBD=30°，∠ADB=30°，∠ACB=45°.∵AB=30(m)， ∴BC=30(m)，在Rt △ABD 中，BD=30tan 30°=303(m)．在△BCD 中，CD 2=BC 2＋BD 2－2BC·BD·cos 30°=900， ∴CD=30(m)，即两船相距30 m.[能力提升]1．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离d 1与第二辆车与第三辆车的距离d 2之间的关系为( )A ．d 1>d 2B ．d 1=d 2C ．d 1<d 2D ．不能确定大小 【解析】 如图，B ，C ，D 分别是第一、二、三辆车所在的位置，由题意可知α=β.在△PBC 中，d 1sin α=PBsin ∠PCB ，在△PCD 中，d 2sin β=PDsin ∠PCD，∵sin α=sin β，sin ∠PCB=sin ∠PCD ，∴d 1d 2=PBPD.∵PB<PD ，∴d 1<d 2. 【答案】 C 2．如图1-2-15，在湖面上高为10 m 处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m, 3=1.732)( )图1-2-15A ．2.7 mB ．17.3 mC ．37.3 mD ．373 m【解析】 在△ACE 中，tan 30°=CE AE =CM －10AE.∴AE=CM －10tan 30°(m)．在△AED 中，tan 45°=DE AE =CM ＋10AE，∴AE=CM ＋10tan 45°(m)，∴CM －10tan 30°=CM ＋10tan 45°， ∴CM=10(3＋1)3－1=10(2＋3)≈37.3(m)．【答案】 C 3.如图1-2-16所示，福建省福清石竹山原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC.小明在山脚B 处看索道AC ，此时视角∠ABC=120°；从B 处攀登200米到达D 处，回头看索道AC ，此时视角∠ADC=150°；从D 处再攀登300米到达C 处．则石竹山这条索道AC 长为 米．图1-2-16【解析】 在△ABD 中，BD=200米，∠ABD=120°. 因为∠ADB=30°，所以∠DAB=30°.由正弦定理，得BD sin ∠DAB =ADsin ∠ABD，所以200sin 30°=AD sin 120°.所以AD=200×sin 120°sin 30°=2003(米)．在△ADC 中，DC=300米，∠ADC=150°，所以AC 2=AD 2＋DC 2－2AD ×DC ×cos ∠ADC=(2003)2＋3002－2×2003×300×cos 150°=390 000，所以AC=10039(米)．故石竹山这条索道AC 长为10039米．【答案】 100394．2015年10月，在邹平县启动了山东省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机．为了测量两山顶M ，N 间的距离，无人机沿水平方向在A ，B 两点进行测量，A ，B ，M ，N 在同一个铅垂平面内(如图1-2-17)，无人机能够测量的数据有俯角和A ，B 间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M ，N 间的距离的步骤．图1-2-17【解】 方案一：①需要测量的数据有：A 点到M ，N 点的俯角α1，β1；B 点到M ，N 的俯角α2，β2；A ，B 间的距离d.②第一步：计算AM.由正弦定理AM=dsin α2sin(α1＋α2)；第二步：计算AN.由正弦定理AN=dsin β2sin(β2－β1)；第三步：计算MN.由余弦定理MN=AM2＋AN2－2AM·ANcos(α1－β1).方案二：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B间的距离d.②第一步：计算BM.由正弦定理BM=dsin α1sin(α1＋α2)；第二步：计算BN.由正弦定理BN=dsin β1sin(β2－β1)；第三步：计算MN.由余弦定理MN=BM2＋BN2－2BM·BNcos(β2＋α2).学业分层测评（四） (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为( ) A ．α>β B ．α=β C ．α＋β=90° D ．α＋β=180°【解析】 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α=β，故应选B. 【答案】 B2．在静水中划船的速度是每分钟40 m ，水流的速度是每分钟20 m ，如果船从岸边A 处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船的前进方向应指向河流的上游并与河岸垂直方向所成的角为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60° 【解析】 如图所示，sin ∠CAB=2040=12，∴∠CAB=30°.【答案】 B3．我舰在敌岛A 处南偏西50°的B 处，且A 、B 距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为( )A ．28海里/小时B ．14海里/小时C ．142海里/小时D ．20海里/小时 【解析】 如图，设我舰在C 处追上敌舰，速度为v ，在△ABC 中，AC=10×2=20(海里)， AB=12海里，∠BAC=120°，∴BC 2=AB 2＋AC 2－2AB·ACcos 120°=784， ∴BC=28海里， ∴v =14海里/小时． 【答案】 B4．地上画了一个角∠BDA=60°，某人从角的顶点D 出发，沿角的一边DA 行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达△BDA 的另一边BD 上的一点，我们将该点记为点N ，则N 与D 之间的距离为( )A．14米B．15米C．16米D．17米【解析】如图，设DN=x m，则142=102＋x2－2×10×xcos 60°，∴x2－10x－96=0.∴(x－16)(x＋6)=0.∴x=16或x=－6(舍)．∴N与D之间的距离为16米．【答案】 C二、填空题5．(2015·湖北高考)如图1-2-26，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD= m.图1-2-26【解析】由题意，在△ABC中，∠BAC=30°，∠ABC=180°－75°=105°，故∠ACB=45°.又AB=600 m，故由正弦定理得600sin 45°=BCsin 30°，解得BC=300 2 m.在Rt△BCD中，CD=BC·tan 30°=3002×3 3=1006(m)．【答案】100 66．某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处，然后朝南偏西60°方向航行3海里到达C处，若A处与C处的距离为3海里，则x的值为．【解析】x2＋9－2·x·3cos 30°=(3)2，解得x=23或x= 3.【答案】3或2 37．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为km. 【=05920062】【解析】如图所示，依题意有AB=15×4=60，∠MAB=30°，∠AMB=45°，在△AMB中，由正弦定理得60sin 45°=BMsin 30°，解得BM=302(km)．【答案】 30 28．一船自西向东航行，上午10：00到达灯塔P 的南偏西75°、距塔68 n mile 的M 处，下午14：00到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为n mile/h.【解析】 如图，由题意知∠MPN=75°＋45°=120°，∠PNM=45°. 在△PMN 中，由正弦定理，得 MN sin 120°=PMsin 45°，∴MN=68×3222=34 6.又由M 到N 所用时间为14－10=4(h)，∴船的航行速度v =3464=1726(n mile/h)．【答案】 1726三、解答题9．平面内三个力F 1、F 2、F 3作用于同一点且处于平衡状态．已知F 1、F 2的大小分别为1 N 、6＋22N ，F 1与F 2的夹角为45°，求F 3的大小及F 3与F 1的夹角的大小．【解】 如图，设F 1与F 2的合力为F ，则F 3=－F. ∵∠BOC=45°， ∴∠ABO=135°.在△OBA 中，由余弦定理得 |F|2=|F 1|2＋|F 2|2－2|F 1|·|F 2|cos 135° =4＋2 3.∴|F|=1＋3，即|F 3|=3＋1. 又由正弦定理得sin ∠BOA=|F 2|sin ∠ABO |F|=12.∴∠BOA=30°. ∴∠BOD=150°.故F 3的大小为(3＋1)N ，F 1与F 3的夹角为150°. 10. (2016·焦作模拟)如图1-2-27，正在海上A 处执行任务的渔政船甲和在B 处执行任务的渔政船乙，同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40°方向距渔政船甲70 km 的C 处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西20°方向的B 处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C 处沿直线AC 航行前去救援，渔政船乙仍留在B 处执行任务，渔政船甲航行30 km 到达D 处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在B 处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙(渔政船乙沿直线BC 航行前去救援渔船丙)，此时B 、D 两处相距42 km ，问渔政船乙要航行多少距离才能到达渔船丙所在的位置C 处实施营救．图1-2-27【解】 设∠ABD=α，在△ABD 中，AD=30， BD=42，∠BAD=60°.由正弦定理得AD sin α=BDsin ∠BAD，sin α=AD BD sin ∠BAD=3042sin 60°=5314，又∵AD<BD ，∴0°<α<60°，cos α=1－sin 2α=1114，cos ∠BDC=cos(60°＋α)=－17.在△BDC 中，由余弦定理得 BC 2=DC 2＋BD 2－2DC·BDcos ∠BDC=402＋422－2×40×42cos(60°＋α)=3 844，BC=62 km ， 即渔政船乙要航行62 km 才能到达渔船丙所在的位置C 处实施营救．[能力提升]1．(2016·湖南师大附中期中)为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路C ，D 两点处进行测量．在C 点测得塔底B 在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿着南偏东40°方向前进10米到D 点，测得塔顶的仰角为30°，则塔的高度为( )A ．5米B ．10米C ．15米D ．20米 【解析】 如图，由题意得，AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥BC ，AB ⊥BD. 设塔高AB=x ，在Rt △ABC 中，∠ACB=45°， 所以BC=AB=x ，在Rt △ABD 中，∠ADB=30°，∴BD=ABtan 30°=3x ，在△BCD 中，由余弦定理得 BD 2=CB 2＋CD 2－2CB·CD·cos 120°， ∴(3x)2=x 2＋100＋10x ，解得x=10或x=－5(舍去)，故选B. 【答案】 B2．甲船在岛A 的正南B 处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB=10千米，同时乙船自岛A 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )A.1507分钟B.157分钟 C ．21.5分钟 D ．2.15小时【解析】 如图，设t 小时后甲行驶到D 处，则AD=10－4t ，乙行驶到C 处，则AC=6t.∵∠BAC=120°，∴DC 2=AD 2＋AC 2－2AD·AC·cos 120°=(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t ×cos 120°=28t 2－20t ＋100=28⎝⎛⎭⎫t －5142＋6757.当t=514时，DC 2最小，即DC 最小，此时它们所航行的时间为514×60=1507分钟．【答案】 A 3．如图1-2-28所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ= .图1-2-28【解析】 在△ABC 中，AB=40，AC=20，∠BAC=120°， 由余弦定理知BC 2=AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos 120°=2 800⇒BC=207.由正弦定理AB sin ∠ACB =BCsin ∠BAC ⇒sin ∠ACB=AB BC ·sin ∠BAC=217，∠BAC=120°，则∠ACB 为锐角，cos ∠ACB=277.由θ=∠ACB ＋30°，则cos θ=cos(∠ACB ＋30°)=cos ∠ACB·cos 30°－sin ∠ACB·sin 30°=2114. 【答案】21144．如图1-2-29，某军舰艇位于岛屿A 的正西方C 处，且与岛屿A 相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以100海里/小时的速度从岛屿A 出发沿东偏北60°方向逃窜，同时，该军舰艇从C 处出发沿东偏北α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上．图1-2-29(1)求该军舰艇的速度； (2)求sin α的值．【解】 (1)依题意知，∠CAB=120°，AB=100×2=200，AC=120，∠ACB=α， 在△ABC 中，由余弦定理，得 BC 2=AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos ∠CAB=2002＋1202－2×200×120cos 120°=78 400，解得BC=280.所以该军舰艇的速度为BC2=140海里/小时．(2)在△ABC 中，由正弦定理，得AB sin α=BCsin 120°，即sin α=ABsin 120°BC =200×32280=5314.学业分层测评（五） (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知方程x 2sin A ＋2xsin B ＋sin C=0有重根，则△ABC 的三边a ，b ，c 的关系满足( ) A ．b=ac B ．b 2=ac C ．a=b=c D ．c=ab【解析】 由方程有重根，∴Δ=4sin 2B －4sin Asin C=0，即sin 2B=sin AsinC ，∴b 2=ac. 【答案】 B2．在△ABC 中，A=60°，b=1，S △ABC =3，则角A 的对边的长为( ) A.57 B.37 C.21 D ．13【解析】 ∵S △ABC =12bcsin A=12×1×c ×sin 60°=3，∴c=4.由余弦定理a 2=b 2＋c 2－2bccos 60°=1＋16－2×1×4×12=13.∴a=13. 【答案】 D3．在△ABC 中，a=1，B=45°，S △ABC =2，则此三角形的外接圆的半径R=( ) A.12B ．1C ．2 2D ．522【解析】 S △ABC =12acsin B=24c=2，∴c=4 2.b 2=a 2＋c 2－2accos B=1＋32－82×22=25，∴b=5.∴R=b 2sin B =52×22=522.【答案】 D4．在△ABC 中，AC=7，BC=2，B=60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62 D ．3＋394【解析】在△ABC 中，由余弦定理可知： AC 2=AB 2＋BC 2－2AB·BCcos B ，即7=AB 2＋4－2×2×AB ×12.整理得AB 2－2AB －3=0. 解得AB=－1(舍去)或AB=3.故BC 边上的高AD=AB·sin B=3×sin 60°=332.【答案】 B5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A>B>C,3b=20acos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4 【解析】 由题意知：a=b ＋1，c=b －1，所以3b=20acos A=20(b ＋1)·b 2＋c 2－a 22bc=20(b ＋1)·b 2＋(b －1)2－(b ＋1)22b (b －1)，整理得7b 2－27b －40=0，解之得：b=5(负值舍去)，可知a=6，c=4.结合正弦定理可知sin A ∶sin B ∶sin C=6∶5∶4. 【答案】 D 二、填空题6．在△ABC 中，B=60°，AB=1，BC=4，则BC 边上的中线AD 的长为 ． 【解析】 画出三角形知AD 2=AB 2＋BD 2－2AB·BD·cos 60°=3，∴AD= 3. 【答案】 37．有一三角形的两边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角α的余弦值是方程5x 2－7x －6=0的根，则此三角形的面积是 cm 2.【解析】 解方程5x 2－7x －6=0，得x=2或x=－35，∵|cos α|≤1，∴cos α=－35，sin α=45.故S △=12×3×5×45=6(cm 2)．【答案】 6 8．(2016·郑州模拟)在△ABC 中，B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC 的面积为 ． 【解析】 由余弦定理得b 2=a 2＋c 2－2accos B ， 即49=a 2＋25－2×5×acos 120°.整理得a 2＋5a －24=0，解得a=3或a=－8(舍)．∴S △ABC =12acsin B=12×3×5sin 120°=1534.【答案】 1534三、解答题9．已知△ABC 的三内角满足cos(A ＋B)cos(A －B)=1－5sin 2C ，求证：a 2＋b 2=5c 2. 【=05920063】【证明】 由已知得cos 2Acos 2B －sin 2Asin 2B=1－5sin 2C ， ∴(1－sin 2A)(1－sin 2B)－sin 2Asin 2B=1－5sin 2C ， ∴1－sin 2A －sin 2B=1－5sin 2C ， ∴sin 2A ＋sin 2B=5sin 2C.由正弦定理得，所以⎝⎛⎭⎫a 2R 2＋⎝⎛⎭⎫b 2R 2=5⎝⎛⎭⎫c 2R 2， 即a 2＋b 2=5c 2. 10．(2014·全国卷Ⅱ)四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2. (1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积． 【解】 (1)由题设及余弦定理得 BD 2=BC 2＋CD 2－2BC·CDcos C=13－12cos C ， ① BD 2=AB 2＋DA 2－2AB·DAcos A=5＋4cos C ． ②由①，②得cos C=12，故C=60°，BD=7.(2)四边形ABCD 的面积S=12AB·DAsin A ＋12BC·CDsin C =⎝⎛⎭⎫12×1×2＋12×3×2·sin 60°=2 3. [能力提升]1．已知锐角△ABC 中，|AB →|=4，|AC →|=1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4【解析】 由题意S △ABC =12|AB →||AC →|sin A=3，得sin A=32，又△ABC 为锐角三角形，∴cos A=12，∴AB →·AC →=|AB →||AC →|cos A=2.【答案】 A2．在斜三角形ABC 中，sin A=－2cos B·cos C ，且tan B·tan C=1－2，则角A 的值为( ) A.π4 B.π3 C.π2 D ．3π4【解析】 由题意知，sin A=－2cos B·cos C=sin(B ＋C)=sin B·cos C ＋cos B·sin C ，在等式－2cos B·cos C=sin B·cos C ＋cos B·sin C 两边除以cos B·cos C 得tan B ＋tan C=－2，tan(B ＋C)=tan B ＋tan C 1－tan Btan C=－1=－tan A ，所以角A=π4.【答案】 A 3．(2015·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知△ABC 的面积为315，b －c=2，cos A=－14，则a 的值为 ．【解析】 在△ABC 中，由cos A=－14可得sin A=154，所以有⎩⎨⎧12bc ×154＝315，b －c ＝2，a 2＝b 2＋c 2－2bc ×⎝⎛⎭⎫－14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝6，c ＝4.【答案】 84．(2015·陕西高考)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.向量m =(a ，3b)与n =(cos A ，sin B)平行．(1)求A ；(2)若a=7，b=2，求△ABC 的面积．【解】 (1)因为m ∥n ，所以asin B －3bcos A=0， 由正弦定理，得sin Asin B －3sin Bcos A=0， 又sin B ≠0，从而tan A= 3.由于0<A<π，所以A=π3.(2)法一 由余弦定理，得a 2=b 2＋c 2－2bccos A ，而a=7，b=2，A=π3，得7=4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3=0. 因为c>0，所以c=3.故△ABC 的面积为12bcsin A=332.法二 由正弦定理，得7sinπ3=2sin B ，从而sin B=217.又由a>b ，知A>B ，所以cos B=277.故sin C=sin(A ＋B)=sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3 =sin Bcos π3＋cos Bsin π3=32114.所以△ABC 的面积为12absin C=332.学业分层测评（六） (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下面有四个结论，其中叙述正确的有( ) ①数列的通项公式是唯一的；②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数； ③数列若用图象表示，它是一群孤立的点； ④每个数列都有通项公式．A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【解析】 数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以①④不正确． 【答案】 B2．数列的通项公式为a n =⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，则a 2·a 3等于( )A ．70B ．28C ．20D ．8【解析】 由a n =⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，得a 2=2，a 3=10，所以a 2·a 3=20. 【答案】 C3．数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是( ) A ．a n =(－1)n ·(2n －1) B ．a n =(－1)n ·(2n －1)C ．a n =(－1)n ＋1·(2n －1)D ．a n =(－1)n ＋1·(2n －1) 【解析】 数列各项正、负交替，故可用(－1)n 来调节，又1=21－1,3=22－1,7=23－1,15=24－1，…，所以通项公式为a n =(－1)n ·(2n－1)．【答案】 A4．(2015·宿州高二检测)已知数列{a n }的通项公式是a n =n －1n ＋1，那么这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列【解析】 a n =n －1n ＋1=1－2n ＋1，∴当n 越大，2n ＋1越小，则a n 越大，故该数列是递增数列．【答案】 A5．在数列－1,0，19，18，…，n －2n2，…中，0.08是它的( )A ．第100项B ．第12项C ．第10项D ．第8项【解析】 ∵a n =n －2n 2，令n －2n 2=0.08，解得n=10或n=52(舍去)．【答案】 C 二、填空题 6．(2015·黄山质检)已知数列{a n }的通项公式a n =19－2n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为 ．【解析】 由a n =19－2n>0，得n<192.∵n ∈N *，∴n ≤9. 【答案】 97．已知数列{a n }，a n =a n ＋m(a<0，n ∈N *)，满足a 1=2，a 2=4，则a 3= .【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝a ＋m ＝2，a 2＝a 2＋m ＝4，∴a 2－a=2， ∴a=2或－1，又a<0，∴a=－1.又a ＋m=2，∴m=3， ∴a n =(－1)n ＋3， ∴a 3=(－1)3＋3=2. 【答案】 2 8．(2015·宁津高二检测)如图2-1-1①是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2-1-1②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1=A 1A 2=A 2A 3=…=A 7A 8=1，如果把图②中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n = .图2-1-1【解析】 因为OA 1=1，OA 2=2，OA 3=3，…， OA n =n ，…，所以a 1=1，a 2=2，a 3=3，…，a n =n. 【答案】 n 三、解答题9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)45，12，411，27，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)1,3,6,10,15，…；(4)7,77,777，…. 【=05920064】【解】 (1)注意前4项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为45，48，411，414，…，于是它们的分母依次相差3，因而有a n =43n ＋2.(2)把分母统一为2，则有12，42，92，162，252，…，因而有a n =n 22.(3)注意6=2×3,10=2×5,15=3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…，因而有a n =n (n ＋1)2. (4)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘以9，得9,99,999，…，因而有a n =79(10n －1)．10．在数列{a n }中，a 1=2，a 17=66，通项公式是关于n 的一次函数． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 2016；(3)2016是否为数列{a n }中的项？【解】 (1)设a n =kn ＋b(k ≠0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝2，17k ＋b ＝66， 解得k=4，b=－2.∴a n =4n －2.(2)a 2 016=4×2 016－2=8 062.(3)由4n －2=2 016得n=504.5∉N *， 故2 016不是数列{a n }中的项．[能力提升]1．已知数列{a n }的通项公式a n =log (n ＋1)(n ＋2)，则它的前30项之积是( ) A.15B ．5C ．6D ．log 23＋log 31325【解析】 a 1·a 2·a 3·…·a 30=log 23×log 34×log 45×…×log 3132=lg 3lg 2×lg 4lg 3×…×lg 32lg 31=lg 32lg 2=log 232=log 225=5.【答案】 B2．已知数列{a n }中，a n =n 2－kn(n ∈N *)，且{a n }单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，3) C ．(－∞，2) D ．(－∞，3]【解析】 a n ＋1－a n =(n ＋1)2－k(n ＋1)－n 2＋kn=2n ＋1－k ，又{a n }单调递增，故应有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1－k>0恒成立，分离变量得k<2n ＋1，故只需k<3即可．【答案】 B 3．根据图2-1-2中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有 个点．图2-1-2【解析】 观察图形可知，第n 个图有n 个分支，每个分支上有(n －1)个点(不含中心点)，再加中心上1个点，则有n(n －1)＋1=n 2－n ＋1个点．【答案】 n 2－n ＋14．已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2－21n2(n ∈N *)．(1)0和1是不是数列{a n }中的项？如果是，那么是第几项？(2)数列{a n }中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项．【解】 (1)令a n =0，得n 2－21n=0，∴n=21或n=0(舍去)，∴0是数列{a n }中的第21项．令a n =1，得n 2－21n2=1，而该方程无正整数解，∴1不是数列{a n }中的项． (2)假设存在连续且相等的两项是a n ，a n ＋1，则有a n =a n ＋1，即n 2－21n 2=(n ＋1)2－21(n ＋1)2.解得n=10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．学业分层测评（七） (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知数列{a n }满足：a 1=－14，a n =1－1a n －1(n>1)，则a 4等于( )A.45B.14 C ．－14 D.15【解析】 a 2=1－1a 1=5，a 3=1－1a 2=45，a 4=1－1a 3=－14.【答案】 C2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A ．a n ＋1=a n ＋n ，n ∈N *B ．a n =a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2C ．a n ＋1=a n ＋(n ＋1)，n ∈N *，n ≥2D ．a n =a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥2 【解析】 由a 2－a 1=3－1=2， a 3－a 2=6－3=3，a 4－a 3=10－6=4， a 5－a 4=15－10=5，归纳猜想得a n －a n －1=n(n ≥2)， 所以a n =a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2. 【答案】 B3．设a n =－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( ) A.163 B.133C ．4D ．0 【解析】 ∵a n =－3⎝⎛⎭⎫n －522＋34，由二次函数性质得，当n=2或3时，a n 最大，最大为0. 【答案】 D4．在数列{a n }中，a 1=2，a n ＋1－a n －3=0，则{a n }的通项公式为( ) A ．a n =3n ＋2 B ．a n =3n －2 C ．a n =3n －1 D ．a n =3n ＋1 【解析】 因为a 1=2，a n ＋1－a n －3=0， 所以a n －a n －1=3， a n －1－a n －2=3， a n －2－a n －3=3， …a 2－a 1=3，以上各式相加，则有a n －a 1=(n －1)×3， 所以a n =2＋3(n －1)=3n －1. 【答案】 C5．已知在数列{a n }中，a 1=3，a 2=6，且a n ＋2=a n ＋1－a n ，则a 2 016=( ) A ．3 B ．－3 C ．6 D ．－6【解析】 由题意知：a 3=a 2－a 1=3，a 4=a 3－a 2=－3， a 5=a 4－a 3=－6，a 6=a 5－a 4=－3， a 7=a 6－a 5=3，a 8=a 7－a 6=6， a 9=a 8－a 7=3，a 10=a 9－a 8=－3， …故知{a n }是周期为6的数列， ∴a 2 016=a 6=－3. 【答案】 B二、填空题6．数列{a n }中，若a n ＋1－a n －n=0，则a 2 016－a 2015= .【解析】 由已知a 2 016－a 2 015－2 015=0， ∴a 2 016－a 2 015=2 015. 【答案】 2 0157．数列{a n }满足a n =4a n －1＋3，且a 1=0，则此数列的第5项是 ． 【解析】 因为a n =4a n －1＋3，所以a 2=4×0＋3=3， a 3=4×3＋3=15，a 4=4×15＋3=63，a 5=4×63＋3=255. 【答案】 2558．数列{a n }满足：a 1=6，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n =32a n －3，那么这个数列的通项公式为 ．【解析】 由a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n =32a n －3，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1=32a n －1－3(n ≥2)，两式作差得3a n －1=a n (n ≥2)，∴a n =a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1=6·3n －1=2·3n (n ≥2)．∵a 1=6也适合上式， ∴a n =2·3n (n ∈N *)(n ∈N *)． 【答案】 a n =2·3n (n ∈N *) 三、解答题9．已知数列{a n }中，a 1=1，a n ＋1=3a na n ＋3(n ∈N *)，求通项a n .【解】 将a n ＋1=3a na n ＋3两边同时取倒数得：1a n ＋1=a n ＋33a n， 则1a n ＋1=1a n ＋13， 即1a n ＋1－1a n =13， ∴1a 2－1a 1=13，1a 3－1a 2=13，…，1a n －1a n －1=13， 把以上这(n －1)个式子累加， 得1a n －1a 1=n －13. ∵a 1=1，∴a n =3n ＋2(n ∈N *)．10．已知数列{a n }的通项公式a n =(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫67n ，试求数列{a n }的最大项. 【=05920065】 【解】 假设第n 项a n 为最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.即⎩⎨⎧(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫67n ≥(n ＋1)·⎝⎛⎭⎫67n －1，(n ＋2)·⎝⎛⎭⎫67n≥(n ＋3)·⎝⎛⎭⎫67n ＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤5，n ≥4，即4≤n ≤5，。

新人教版高中数学必修5全册同步课时作业（含解析答案）目录课时作业1 正弦定理第1课时课时作业2 正弦定理第2课时课时作业3 余弦定理课时作业4 正、余弦定理习题课课时作业5 应用举例第1课时课时作业6 应用举例第2课时）正、余弦定理的综合应用课时作业7 数列的概念与简单表示法课时作业8 数列的性质和递推公式课时作业9 等差数列第1课时课时作业10 等差数列第2课时课时作业11 等差数列第3课时课时作业12 等差数列的前n项和第1课时课时作业13 等差数列的前n项和第2课时课时作业14 等差数列的前n项和第3课时课时作业15 等比数列第1课时课时作业16 等比数列第2课时课时作业17 等比数列的前n项和第1课时课时作业18 等比数列的前n项和第2课时课时作业19 专题研究一数列通项的求法课时作业20 专题研究二特殊数列求和方法课时作业21 专题研究三数列的实际应用课时作业22 不等关系与不等式课时作业23 一元二次不等式及其解法第1课时课时作业24 一元二次不等式及其解法第2课时课时作业25 二元一次不等式组）表示的平面区域课时作业26 简单的线性规划问题第1课时课时作业27 简单的线性规划问题第2课时课时作业28 简单的线性规划问题课时作业29 基本不等式 ab≤a＋b2 第1课时课时作业30 基本不等式 ab≤a＋b2 第2课时课时作业31 基本不等式1课时作业32 基本不等式2课时作业1 正弦定理（第1课时）1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．b sin C ＝c sin A C ．ab sin C ＝bc sin B D ．ab sin C ＝bc sin A答案 D2．在△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3答案 C3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰三角形答案 A4．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则∠B 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 B解析 ∵sin A a ＝sin B b ，∴cos B b ＝sin B b，∴cos B ＝sin B ，从而tan B ＝1，又0°<B <180°，∴B ＝45°.5．(2013·湖南)在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B 为( ) A.π3B.π6C.π3或23π D.π6或56π 答案 C解析 由3a ＝2b sin A ，得3sin A ＝2sin B ·sin A . ∴sin B ＝32.∴B ＝π3或2π3. 6．在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1，则a ∶b ∶c 为( ) A ．3∶1∶1 B ．2∶1∶1 C.2∶1∶1 D.3∶1∶1答案 D解析 由已知得A ＝120°，B ＝C ＝30°，根据正弦定理的变形形式，得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶1∶1. 7．以下关于正弦定理的叙述或变形中错误．．的是( ) A ．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C B ．在△ABC 中，a ＝b ⇔sin2A ＝sin2BC ．在△ABC 中，a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin CD ．在△ABC 中，正弦值较大的角所对的边也较大 答案 B解析 对于B 项，当a ＝b 时，sin A ＝sin B 且cos A ＝cos B ，∴sin2A ＝sin2B ，但是反过来若sin2A ＝sin2B .2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.不一定a ＝b ，∴B 选项错误．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°答案 A9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．答案π6解析 由sin B ＋cos B ＝2sin(B ＋π4)＝2，得sin(B ＋π4)＝1，所以B ＝π4.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝2·si nπ42＝12，所以A ＝π6或5π6(舍去)． 10．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin A ＝________.答案 12解析 由A ＋C ＝2B ，且A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°，由正弦定理，得3sin60°＝1sin A ，∴sin A ＝12.11．(2012·福建)在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，则AC ＝________.答案 2解析如图所示，由正弦定理，得AC sin B ＝BC sin A ，即AC sin45°＝3sin60°，即AC22＝332，故AC ＝ 2. 12．(2012·北京)在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________．答案π2解析 由正弦定理，得a sin ∠A ＝bsin ∠B .从而332＝3sin ∠B，即sin ∠B ＝12.∴∠B ＝30°或∠B ＝150°.由a >b 可知∠B ＝150°不合题意，∴∠B ＝30°. ∴∠C ＝180°－60°－30°＝90°.13．已知三角形的两角分别是45°、60°，它们夹边的长是1，则最小边长为________． 答案3－114．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.答案10215．△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，则a (sin C －sin B )＋b (sin A －sin C )＋c (sin B －sin A )＝________.答案 0解析 ∵a sin A ＝bsin B ，∴a sin B ＝b sin A .同理可得a sin C ＝c sin A 且b sin C ＝c sin B .∴原式＝0.16．已知在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a 、b 和B . 答案 a ＝10 2 b ＝5(6＋2) B ＝105°17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，求a 的值．答案2解析 由正弦定理，得6sin120°＝2sin C ，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°. ∴△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.18．已知在△ABC 中，∠A ＝45°，a ＝2，c ＝6，解此三角形． 解析 由正弦定理a sin A ＝csin C ，得 sin C ＝62sin45°＝62×22＝32. 因为∠A ＝45°，c >a ，所以∠C ＝60°或120°. 所以∠B ＝180°－60°－45°＝75° 或∠B ＝180°－120°－45°＝15°. 又因为b ＝a sin Bsin A，所以b ＝3＋1或3－1. 综上，∠C ＝60°，∠B ＝75°，b ＝3＋1 或∠C ＝120°，∠B ＝15°，b ＝3－1. ►重点班·选作题19．下列判断中正确的是( )A ．当a ＝4，b ＝5，A ＝30°时，三角形有一解B ．当a ＝5，b ＝4，A ＝60°时，三角形有两解C ．当a ＝3，b ＝2，B ＝120°时，三角形有一解D ．当a ＝322，b ＝6，A ＝60°时，三角形有一解答案 D20．△ABC 的外接圆半径为R ，C ＝60°，则a ＋bR的取值范围是( ) A ．[3，23] B ．[3，23) C ．(3，23] D ．(3，23)答案 C课时作业2 正弦定理（第2课时）1．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形答案 A2．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，且B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A.32B.34C.32或 3 D.34或32 答案 D3．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( ) A ．－223B.223 C ．－63D.63答案 D解析 依题意得0°<B <60°，a sin A ＝b sin B ，sin B ＝b sin A a ＝33，cos B ＝1－sin 2B ＝63，选D.4．(2013·山东)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( ) A ．2 3 B ．2 C. 2 D ．1答案 B解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin A ＝3sin B.又∵B ＝2A ，∴1sin A ＝3sin2A ＝32sin A cos A .∴cos A ＝32，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∠C ＝90°. ∴c ＝12＋32＝2.5．(2013·陕西)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 B解析 ∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A .又∵sin A >0，∴sin A ＝1，∴A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知A ＝60°，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3答案 B7．已知△ABC 的面积为32，且b ＝2，c ＝3，则( )A ．A ＝30°B ．A ＝60°C ．A ＝30°或150°D ．A ＝60°或120° 答案 D8．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2 C.12 D ．4 答案 A9．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135° 答案 C10．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度为________． 答案 211．△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝ccos C 2，则△ABC 的形状是________．答案 等边三角形12．在△ABC 中，lg(sin A ＋sin C )＝2lgsin B －lg(sin C －sin A )，则该三角形的形状是________．答案 直角三角形 解析 由已知条件lg(sin A ＋sin C )＋lg(sin C －sin A )＝lgsin 2B ， ∴sin 2C －sin 2A ＝sin 2B ，由正弦定理，可得c 2＝a 2＋b 2. 故三角形为直角三角形．13．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝ 3.(1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．答案 (1)3＋4310 (2)36＋935014．在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cosC ，试判断三角形的形状． 解析 由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)．将原等式化为8R 2sin 2B sin 2C ＝8R 2sin B sin C cos B cos C .∵sin B ·sin C ≠0，∴sin B sin C ＝cos B cos C . 即cos(B ＋C )＝0.∴B ＋C ＝90°，即A ＝90°. 故△ABC 为直角三角形．15．在△ABC 中，求证：cos2A a 2－cos2B b 2＝1a 2－1b2.证明 ∵左边＝1－2sin 2A a 2－1－2sin 2Bb2＝1a 2－1b 2－2(sin 2A a 2－sin 2B b2)， 由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，∴sin 2A a 2－sin 2Bb2＝0.∴原式成立． ►重点班·选作题16．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，边长c 的取值范围是( )A ．(152，＋∞)B ．(10，＋∞)C ．(0,10)D ．(0，403]答案 D17．(2012·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积． 解析 (1)因为0<A <π，cos A ＝23，得sin A ＝1－cos 2A ＝53. 又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ，所以tan C ＝ 5. (2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16.于是sin B ＝5cos C ＝56.由a ＝2及正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝ 3.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52.1．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a ＝________.答案 1解析 在△ABC 中，由正弦定理，得1sin B＝3sin2π3，解得sin B ＝12，因为b <c ，故角B 为锐角，所以B ＝π6，则A ＝π6.再由正弦定理或等腰三角形性质可得a ＝1.课时作业3 余弦定理1．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin B sinC ＋sin 2C ，则A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°答案 C解析 由正弦定理，得a 2＝b 2＋bc ＋c 2，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12.∴A ＝120°.2．若a ，b ，c 是△ABC 的三边，且c a 2＋b2>1，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形答案 D 解析 ∵c a 2＋b2>1，即a 2＋b 2<c 2，a 2＋b 2－c 2<0，于是cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0.∴∠C 为钝角，即得△ABC 为钝角三角形．3．边长5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°答案 B解析 设中间的角大小为B ，由余弦定理，求得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝52＋82－722×5×8＝12.而0<B <π，∴B ＝π3.∴最大角与最小角的和是π－π3＝2π3＝120°.4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 2答案 D5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案 A解析 由sin C ＝23sin B ，可得c ＝23b ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－3bc ＋c 22bc ＝32，于是A ＝30°，故选A.6．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，则这个三角形最大角的外角是( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，∴可令a ＝3x ，b ＝5x ，c ＝7x (x >0)，显然c 边最大．∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9x 2＋25x 2－49x 22·3x ·5x ＝－12.∴C ＝120°，∴其外角为60°.7．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3 C.π6或5π6D.π3或2π3答案 D解析 本题考查边角关系中余弦定理的应用．解斜三角形问题的关键是充分挖掘题中边角特征，选择合理的定理求解．因此(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，所以由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得sin B ＝32，选D. 8．在△ABC 中，已知a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形答案 B解析 由a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·b 2＋a 2－c 22ab，化简得a 4＋2a 2b 2＋b 4＝c 4，即(a 2＋b 2)2＝c 4.∴a 2＋b 2＝c 2或a 2＋b 2＝－c 2(舍去)． 故△ABC 是直角三角形．9．若将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度确定答案 A10．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________. 答案 30°11．(2012·湖北)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.答案2π3解析 ∵由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，整理可得，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝－ab 2ab ＝－12，∴C ＝2π3. 12．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C ，B ＝π3且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．答案3解析 在△ABD 中，B ＝π3，BD ＝2，AB ＝1，则AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos π3＝3.所以AD ＝ 3.13．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C 的值为________．答案612解析 由余弦定理可得bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝b 2＋c 2－a 22＋c 2＋a 2－b 22＋a 2＋b 2－c 22＝a 2＋b 2＋c 22＝32＋42＋622＝612.14．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，求∠A 的大小及b sin Bc的值． 解析 ∵b 2＝ac ，又a 2－c 2＝ac －bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴∠A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理，得sin B ＝b sin Aa. ∵b 2＝ac ，∠A ＝60°，∴b sin B c ＝b 2sin60°ca ＝sin60°＝32.故∠A ＝60°，b sin Bc 的值为32. 15．已知锐角三角形ABC 中，边a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A 、B 满足2sin(A ＋B )－3＝0，求角C 的度数，边c 的长度及△ABC 的面积．解析 由2sin(A ＋B )－3＝0，得sin(A ＋B )＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴C ＝60°. ∵a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝12－6＝6. ∴c ＝6，S △ABC ＝12ab sin C ＝12·2·32＝32.►重点班·选作题16．设△ABC 三边长分别为15,19,23，现将三边长各减去x 后，得一钝角三角形，则x 的范围为________．答案 (3,11)解析 由两边之和大于第三边，得 15－x ＋19－x >23－x ，∴x <11. ① 又因得到的三角形为钝角三角形， ∴(15－x )2＋(19－x )2<(23－x )2.即x 2－22x ＋57<0，(x －3)(x －19)<0,3<x <19.② 由①、②可得3<x <11.17．在△ABC 中，已知c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，求角C . 解析 ∵c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0， ∴[c 2－(a 2＋b 2)]2－a 2b 2＝0，∴c 2－(a 2＋b 2)＝±ab .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝±12，∴C ＝120°或C ＝60°.1．已知△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，所对的三边分别为a 、b 、c ，若三角形ABC 的面积为S ＝a 2－(b －c )2，则tan A2等于________．答案 14解析 本题考查余弦定理和解三角形等．由S ＝12bc sin A ，又S ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，由余弦定理知a 2－b 2－c 2＝－2bc ·cos A ⇒12bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ⇒sin A ＝4(1－cos A )⇒2sin A 2cos A 2＝4×2sin 2A 2⇒tan A 2＝14. 2．在△ABC 中，A 、B 、C 满足A ＋C ＝2B ，且最大角与最小角的对边之比为(3＋1)∶2，求A 、B 、C 的度数．解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°.不妨设最大角为A ，则最小角为C . 由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得 (b c)2＝(a c)2＋1－2·a c·cos B . 将a c ＝3＋12及cos B ＝12代入，得b c ＝62. ∴sin B sin C ＝62，∴sin C ＝22.∵c <b ，∴C ＝45°，∴A ＝75°. 3．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，设f (x )＝a 2x 2－(a 2－b 2)x －4c 2. (1)若f (1)＝0且B －C ＝π3，求角C 的大小；(2)若f (2)＝0，求角C 的取值范围．解析 (1)∵f (1)＝0，∴a 2－(a 2－b 2)－4c 2＝0. ∴b 2＝4c 2，∴b ＝2c .∴sin B ＝2sin C . 又B －C ＝π3，∴sin(C ＋π3)＝2sin C .∴sin C ·cos π3＋cos C ·sin π3＝2sin C .∴32sin C －32cos C ＝0，∴sin(C －π6)＝0. 又－π6<C －π6<5π6，∴C ＝π6.(2)若f (2)＝0，则4a 2－2(a 2－b 2)－4c 2＝0.∴a 2＋b 2＝2c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab.又a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab . 即2c 2＝a 2＋b 2≥2ab ，∴ab ≤c 2. ∴cos C ≥12，∴0<C ≤π3.课时作业4 正、余弦定理习题课1．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝44°，则此三角形的情况为( ) A ．无解 B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定答案 B2．若△ABC 的内角A 、B 、C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B 等于( ) A.154 B.34 C.31516D.1116 答案 D3．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形答案 C解析 方法一 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝180°. ∴C ＝180°－(A ＋B )，∴sin C ＝sin(A ＋B )． ∴已知条件可化为2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )． ∴sin(A －B )＝0.又－π<A －B <π，∴A －B ＝0，∴A ＝B .∴△ABC 为等腰三角形．方法二 运用正、余弦定理将角的三角函数式化为边的等式．2·a 2＋c 2－b 22ac ·a 2R ＝c 2R.整理，得a 2－b 2＝0，∴a ＝b .∴△ABC 为等腰三角形．4．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a >b >c ，若a 2<b 2＋c 2，则∠A 的取值范围是( )A ．(π2，π)B ．(π4，π2)C ．(π3，π2)D ．(0，π2)答案 C解析 ∵a 2<b 2＋c 2，∴b 2＋c 2－a 2>0.∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc>0.∴A <90°.又∵a 边最大，∴A 角最大．∵A ＋B ＋C ＝180°，∴3A >180°. ∴A >60°，∴60°<A <90°.5．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6答案 B解析 设b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k (k >0)，从而解出a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k ，∴a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.由正弦定理，得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3.6．在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，C 的平分线CD 把三角形面积分为3∶2两部分，则cos A ＝( )A.13 B.12 C.34 D ．0答案 C 解析∵CD 是∠C 的平分线，∴S △ACD S △BCD ＝12AC ·CD sinC 212BC ·CD sin C 2＝AC BC ＝sin B sin A ＝32. ∵B ＝2A ，∴sin B sin A ＝sin2A sin A ＝2cos A ＝32.∴cos A ＝34.7．在钝角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则最大边c 的取值范围是( ) A ．1<c <3B ．2<c<3C.5<c <3 D ．22<c <3答案 C8．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2(a >0，b >0)，则最大角为________． 答案 120°9．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________． 答案310．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________． 答案 1211．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的外接圆半径为________． 答案8155解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝122＋122－622×12×12＝78，∴sin A ＝1－cos 2A ＝158. ∴2R ＝asin A ，R ＝a 2sin A ＝8155. 12．已知△ABC 中，∠A ＝60°，最大边和最小边的长是方程3x 2－27x ＋32＝0的两实根，那么BC 边长等于________．答案 7解析 ∵A ＝60°，所求为BC 边的长，而BC 即为角A 的对边，∴BC 边既非最大边也非最小边．不妨设最大边长为x 1，最小边长为x 2， 由题意得：x 1＋x 2＝9，x 1x 2＝323. 由余弦定理，得BC 2＝x 21＋x 22－2x 1x 2cos A ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2－2x 1x 2cos A ＝92－2×323－2×323×cos60°＝49.∴BC ＝7.13．在△ABC 中，已知BC ＝8，AC ＝5，三角形面积为12，则cos2C ＝________. 答案725解析 由题意得S △ABC ＝12·AC ·BC ·sin C ＝12，即12×8×5×sin C ＝12，则sin C ＝35. cos2C ＝1－2sin 2C ＝1－2×(35)2＝725.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若b ＝a cos C 且△ABC 的最大边长为12，最小角的正弦值为13.(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积． 解析 (1)∵b ＝a cos C ，由正弦定理，得sin B ＝sin A cos C . 由A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )． ∴sin(A ＋C )＝sin A cos C .∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C . ∴cos A sin C ＝0.∵0<A <π，0<C <π，∴sin C >0. ∴cos A ＝0，∴A ＝π2.∴△ABC 为直角三角形． (2)∵△ABC 的最大边长为12， 由第(1)问知，斜边a ＝12. 又∵△ABC 的最小角的正弦值为13，∴Rt △ABC 中最短直角边长为12×13＝4.另一直角边长为122－42＝8 2. ∴S △ABC ＝12×4×82＝16 2.15．(2013·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23.(1)求b 的值；(2)求sin(2B －π3)的值．解析 (1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B .又由b sin A ＝3c sin B ，可得a ＝3c ，又a ＝3，故c ＝1. 由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，cos B ＝23，可得b ＝ 6.(2)由cos B ＝23，得sin B ＝53，进而得cos2B ＝2cos 2B －1＝－19，sin2B ＝2sin B cos B ＝459.所以sin(2B －π3)＝sin2B cos π3－cos2B sin π3＝45＋318.课时作业5 应用举例（第1课时）1．若P在Q的北偏东44°50′，则Q在P的( )A．东偏北45°10′B．东偏北45°50′C．南偏西44°50′ D．西偏南45°50′答案 C2．在某次测量中，在A处测得同一方向的B点的仰角为60°，C点的俯角为70°，则∠BAC等于( )A．10° B．50°C．120° D．130°答案 D3．一只船速为2 3 米/秒的小船在水流速度为2米/秒的河水中行驶，假设两岸平行，要想使过河时间最短，则实际行驶方向与水流方向的夹角为( )A．120° B．90°C．60° D．30°答案 B4．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )A．10 3 m B．100 3 mC．2030 m D．30 m答案 D解析设炮台顶部为A，两条船分别为B、C，炮台底部为D，可知∠BAD＝45°，∠CAD ＝60°，∠BDC＝30°，AD＝30.分别在Rt△ADB，Rt△ADC中，求得DB＝30，DC＝30 3.在△DBC中，由余弦定理，得BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC cos30°，解得BC＝30.5．某人向正东方向走x km后，他向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好 3 km，那么x的值为( )A. 3 B．2 3C．23或 3 D．3答案 C6．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )A．a km B.3a kmC.2a km D．2a km答案 B7．海上有A、B、C三个小岛，已知A、B相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C的距离是( )A．10 3 海里 B.1063海里C．5 2 海里D．5 6 海里答案 D8.如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC 的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算A、B两点的距离为( ) A．50 2 m B．50 3 mC．25 2 m D.2522m答案 A9．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( )A．5 海里B．5 3 海里C．10 海里D．10 3 海里答案 D10．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2 km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为 3 km，则A，B两船的距离为( )A．2 3 km B．3 2 kmC.15 kmD.13 km答案 D11．一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B 时与灯塔S 的距离是________km.(精确到0.1 km)答案 5.212．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B ，望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度是________m.答案 6013．已知船在A 处测得它的南偏东30°的海面上有一灯塔C ，船以每小时30海里的速度向东南方向航行半小时后到达B 点，在B 处看到灯塔在船的正西方向，问这时船和灯塔相距________海里．答案563－1214．A 、B 是海平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足，求山高CD .解析如图，由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD . 因此，只需在△ABD 中求出AD 即可．在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°. 由AB sin15°＝ADsin45°，得AD ＝AB ·sin45°sin15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)．∵CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°， ∴CD ＝AD ＝800(3＋1)≈2 186(m)． 答：山高CD 为2 186 m.15．如图所示，海中小岛A 周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里后，在C 处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？思路分析 船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A 到直线BC 的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC 或AB 的大小，再计算出A 到BC 的距离，将它与38海里比较大小即可．解析 在△ABC 中，BC ＝30，B ＝30°，∠ACB ＝135°， ∴∠BAC ＝15°.由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，即30sin15°＝AC sin30°.∴AC ＝60cos15°＝60cos(45°－30°)＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(6＋2)． ∴A 到BC 的距离d ＝AC sin45°＝15(3＋1)≈40.98海里>38海里，所以继续向南航行，没有触礁危险．1．一船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过 3 h 后，该船实际航行为( )A ．215 kmB ．6 km C.84 km D ．8 km答案 B 2.如图，为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观察点C 、D ，在某天10∶00观察到该航船在A 处，此时测得∠ADC ＝30°，2分钟后该船行驶至B 处，此时测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，则船速为________(千米/分钟)．答案64解析 在△BCD 中，∠BDC ＝30°＋60°＝90°，CD ＝1，∠BCD ＝45°， ∴BC ＝ 2.在△ACD 中，∠CAD ＝180°－(60°＋45°＋30°)＝45°， ∴CDsin45°＝AC sin30°，AC ＝22.在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos60°＝32，∴AB ＝62，∴船速为622＝64 千米/分钟．3.如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距20 3 海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？答案 救船到达D 点需要1小时．解析 由题意知AB ＝5(3＋3)(海里)，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB 中，由正弦定理，得DB sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB.∴DB ＝AB ·sin∠DAB sin ∠ADB ＝53＋3·sin45°sin105°＝53＋3·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝533＋13＋12＝103(海里)．又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)， 在△DBC 中，由余弦定理，得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×12＝900.∴CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时)．答：救援船到达D 点需要1小时． 4.如图所示，a是海面上一条南北向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B、C分别在A的正东方20 km处和54 km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8 s后监测点A、20 s后监测点C相继收到这一信号．在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离．(结果精确到0.01 km)答案(1)PB＝x－12 km，PC＝18＋x km 132 7(2)17.71 km课时作业6 应用举例（第2课时）正、余弦定理的综合应用1．已知方程x 2sin A ＋2x sin B ＋sin C ＝0有重根，则△ABC 的三边a 、b 、c 满足关系式( ) A ．b ＝ac B ．b 2＝ac C ．a ＝b ＝c D ．c ＝ab答案 B解析 由Δ＝0，得4sin 2B －4sin A sinC ＝0，结合正弦定理得b 2＝ac . 2．在△ABC 中，已知A ＝30°，且3a ＝3b ＝12，则c 的值为( ) A ．4 B ．8 C ．4或8 D ．无解答案 C解析 由3a ＝3b ＝12，得a ＝4，b ＝43，利用正弦定理可得B 为60°或120°，从而解出c 的值．3．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝32，则边BC 的长为( ) A. 3 B ．3 C.7 D ．7答案 A 解析 由S △ABC ＝32，得12AB ·AC sin A ＝32. 即12×2AC ×32＝32，∴AC ＝1，由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝22＋12－2×2×1×12＝3.∴BC ＝ 3.4．在△ABC 中，2a cos B ＝c ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形答案 A解析 方法一 由余弦定理，得2a a 2＋c 2－b 22ac＝c .所以a 2＋c 2－b 2＝c 2.则a ＝b .则△ABC是等腰三角形．方法二 由正弦定理，得2×2R sin A cos B ＝2R sin C ，即2sin A cos B ＝sin C .又sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B ，所以sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝sin C .又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin C .所以sin(A －B )＝0.又0<A <π，0<B <π，则－π<A －B <π.所以有A ＝B ，则△ABC 是等腰三角形．讲评 方法一是转化为三角形的边的关系，利用代数运算获得三角形的关系式；方法二是转化为三角形的角的关系，利用三角函数知识获得了三角形的角的关系．方法二中，如果没有想到等式sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cos B ，那么就会陷入困境．由于受三角函数知识的限制，提倡将已知条件等式转化为边的关系来判断三角形的形状．5．(2013·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝( )A.π3 B.2π3 C.3π4D.5π6答案 B解析 ∵3sin A ＝5sin B ，∴3a ＝5b .① 又b ＋c ＝2a ，②∴由①②可得，a ＝53b ，c ＝73b .∴cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab＝b 2＋53b 2－73b 22×53b 2＝－12.∴C ＝23π.6．已知锐角三角形的边长分别是3,5，x ，则x 的取值范围是( ) A ．1<x < 5 B ．4<x <30 C ．1<x <4 D ．4<x <34答案 D解析 若5最大，则32＋x 2－52>0，得x >4. 若x 最大，则32＋52－x 2>0，得0<x <34. 又2<x <8，则4<x <34.7．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A 、B 、C 的度数依次是________．答案 45°、30°、105°解析 ∵a ＝2b ，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . ∴2b 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又∵c 2＝b 2＋2bc ， ∴cos A ＝22，A ＝45°，sin B ＝12，B ＝30°，∴C ＝105°.8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝______.答案33解析 由正弦定理，得(3sin B －sin C )cos A ＝sin A cos C . 化简得3sin B cos A ＝sin(A ＋C )． ∵0<sin B ≤1，∴cos A ＝33. 9．设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a ＝2b sin A . (1)求B 的大小；(2)若a ＝33，c ＝5，求b .解析 (1)由a ＝2b sin A ，得sin A ＝2sin B sin A ，所以sin B ＝12.由△ABC 为锐角三角形，得B ＝π6.(2)根据余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2a cos B ＝27＋25－45＝7，所以b ＝7.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解析 (1)由已知，根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 故cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，故A ＝120°.(2)由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，得sin B ＝sin C ＝12.因为0°<B <90°，0°<C <90°，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．11．在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．解析 在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理，得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝100＋36－1962×10×6＝－12.∴∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理，得AB sin ∠ADB ＝ADsin B. ∴AB ＝AD ·sin∠ADB sin B ＝10sin60°sin45°＝10×3222＝5 6.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S ＝34(a 2＋b 2－c 2)． (1)求角C 的大小；(2)求sin A ＋sin B 的最大值．解析 (1)由题意可知12ab sin C ＝34·2ab cos C ，所以tan C ＝ 3.因为0<C <π，所以C ＝π3.(2)由已知sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin(π－C －A ) ＝sin A ＋sin(2π3－A )＝sin A ＋32cos A ＋12sin A＝3sin(A ＋π6)≤ 3.当△ABC 为正三角形时取等号， 所以sin A ＋sin B 的最大值是 3.13．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)求sin B ＋sin C 的最大值．解析 (1)由已知，根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .故cos A ＝－12，A ＝120°.(2)由(1)，得sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B ) ＝32cos B ＋12sin B ＝sin(60°＋B )． 故当B ＝30°时，sin B ＋sin C 取得最大值1. ►重点班·选作题14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．解析 (1)因为cos2C ＝1－2sin 2C ＝－14，及0<C <π，所以sin C ＝104.(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时， 由正弦定理a sin A ＝csin C，得c ＝4.由cos2C ＝2cos 2C －1＝－14，及0<C <π得cos C ＝±64.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0，解得b ＝6或2 6.所以⎩⎨⎧b ＝6，c ＝4.或⎩⎨⎧b ＝26，c ＝4.1．(2013·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则∠B ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6答案 A解析 根据正弦定理，得a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b 等价于sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，即sin(A ＋C )＝12.又a >b ，∴∠A ＋∠C ＝5π6，∴∠B ＝π6.故选A 项．2．(2012·北京)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.答案 4解析 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4＋7－b 2－b 22×2×7－b ＝－14，解得b ＝4.3．(2011·湖北)设△ABC 的内角，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.答案2π3解析 ∵由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，整理，可得a 2＋b 2－c 2＝－ab .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12，∴C ＝2π3.4．(2013·北京)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值； (2)若c 的值．解析 (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ， 所以在△ABC 中，由正弦定理，得3sin A ＝26sin2A. 所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知，cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223. 在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin Csin A＝5.5．(2013·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解析 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0，即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0.因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0.又cos B ≠0，所以tan B ＝3，又0<B <π，所以B ＝π3.(2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，所以b 2＝3(a －12)2＋14.又0<a <1，于是有14≤b 2<1，即12≤b <1.6．(2013·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，(1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影． 解析 (1)由2cos2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35，即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35.则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.(2)由cos A ＝－35，0<A <π，得sin A ＝45.由正弦定理，有a sin A ＝b sin B ，所以，sin B ＝b sin A a ＝22.由题知a >b ，则A >B ，故B ＝π4. 根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×(－35)，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．。

高中数学课时分层作业5组合的应用（含解析）北师大版选修23课时分层作业(五)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．若5名代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有( ) A．A45种B．45种C．54种D．C45种D[由于4张同样的参观券分给5名代表，每人最多分一张，从5名代表中选4人满足分配要求，故有C45种．]2．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有( )A．24种B．18种C．12种D．6种B[先选后排，共C23A33＝18种．]3．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( )A．140种B．120种C．35种D．34种D[从7人中选4人，共有C47＝35种选法，4人全是男生的选法有C44＝1种．故4人中既有男生又有女生的选法种数为35－1＝34.]4．身高各不相同的7名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是( )A．5 040 B．36C．18 D．20D[最高的同学站中间，从余下6人中选3人在一侧只有一种站法，另3人在另一侧也只有一种站法，所以排法有C36＝20(种)．]5．直线a∥b，a上有5个点，b上有4个点，以这九个点为顶点的三角形个数为( ) A．C25C14＋C15C24B．(C25＋C14)(C15＋C24)C．C39－9 D．C39－C35A[可以分为两类：a上取两点，b上取一点，则可构成三角形个数为C25C14；a上取一点，b上取两点，则可构成三角形个数为C15C24，利用分类加法计数原理可得以这九个点为顶点的三角形个数为C25C14＋C15C24，故选A.]二、填空题6．正六边形顶点和中心共7个点，可组成________个三角形．32[不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是：正六边形过中心的3条对角线，即共有3种情况，故组成三角形的个数为C37－3＝32.]7．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有________种.112[每个宿舍至少2名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2人，3人，4人，5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定，所以有C27＋C37＋C47＋C57＝112种分配方案．] 8．若7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)140[第一步，安排周六有C37种方法，第二步，安排周日有C34种方法，所以不同的安排方案共有C37C34＝140种．]三、解答题9．(1)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？(2)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？[解](1)正方体8个顶点可构成C48个四点组，其中共面的四点组有正方体的6个表面及正方体6组相对棱分别所在的6个平面的四个顶点．故可以确定四面体C48－12＝58个．(2)由(1)知，正方体共面的四点组有12个，以这每一个四点组构成的四边形为底面，以其余的四个点中任意一点为顶点都可以确定一个四棱锥，故可以确定四棱锥12C14＝48个．10．12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽出3件．(1)共有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？[解](1)有C312＝220种抽法．(2)分两步：先从2件次品中抽出1件有C12种方法；再从10件正品中抽出2件有C210种方法，所以共有C12C210＝90种抽法．(3)法一(直接法)：分两类：即包括恰有1件次品和恰有2件次品两种情况，与(2)小题类似共有C12C210＋C22C110＝100种抽法．法二(间接法)：从12件产品中任意抽出3件有C312种方法，其中抽出的3件全是正品的抽法有C310种方法，所以共有C312－C310＝100种抽法．[能力提升练]1．某外商计划在4个城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )A．16种 B．36种 C．42种 D．60种D[若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A34种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项，共C23A24种方法．由分类加法计数原理知共A34＋C23A24＝60种方法．]2．从乒乓球运动员男5名、女6名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法有( ) A．C25C26种B．C25A26种C．C25A22C26A22种D．A25A26种B[先从5名男选手中任意选取2名，有C25种选法，再从6名女选手中任意选择两名与选出的男选手打比赛，有C26A22，即A26种，所以共有C25A26种．]3．2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有________种．12[先分医生有A22种，再分护士有C24种(因为只要一个学校选2人，剩下的2人一定去另一学校)，故共有A22C24＝2×4×32＝12种．]4．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有________种．60[若四个数之和为奇数，则有1奇数3个偶数或者3个奇数1个偶数．若1奇数3个偶数，则有C15C34＝20种，若3个奇数1个偶数，则有C35C14＝40种，共有20＋40＝60种．] 5．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是从A到B的映射．(1)若B中每一元素都有原象，则不同的映射f有多少个？(2)若B中的元素0无原象，则不同的映射f有多少个？(3)若f满足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，则不同的映射f又有多少个？[解](1)显然映射f是一一对应的，故不同的映射f共有A44＝24个．(2)∵0无原象，而1,2,3是否有原象，不受限制，故A中每一个元素的象都有3种可能，只有把A中每一个元素都找出象，这件工作才算完成，∴不同的映射f有34＝81个．(3)∵1＋1＋1＋1＝4,0＋1＋1＋2＝4,0＋0＋1＋3＝4,0＋0＋2＋2＝4，∴不同的映射有：1＋C24A22＋C24A22＋C24＝31个．。

课时分层作业(十四) 等比数列的性质(建议用时:40分钟) [学业达标练]一、选择题1.已知等比数列{a n },a 1＝1,a 3＝19,则a 5等于( ) A.±181 B.－181 C.181D.±12C [根据等比数列的性质可知a 1a 5＝a 23⇒a 5＝a 23a 1＝181.]2.在等比数列{a n }中,a 1＋a 2＋a 3＝2,a 4＋a 5＋a 6＝4,则a 10＋a 11＋a 12等于( )【导学号:91432208】A.32B.16C.12D.8B [a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝q 3＝42＝2,∴a 10＋a 11＋a 12＝(a 1＋a 2＋a 3)q 9＝2·(2)3＝24＝16.]3.已知等比数列{a n }中,a n >0,a 1,a 99是方程x 2－10x ＋16＝0的两根,则a 40a 50a 60的值为( )A.32B.64C.256D.±64B [由题意得,a 1a 99＝16,∴a 40a 60＝a 250＝a 1a 99＝16,又∵a 50>0,∴a 50＝4, ∴a 40a 50a 60＝16×4＝64.]4.设{a n }是公比为q 的等比数列,令b n ＝a n ＋1,n ∈N *,若数列{b n }的连续四项在集合{－53,－23,17,37,82}中,则q 等于( )【导学号:91432209】A.－43B.－32C.－32或－23D.－34或－43C [即a n 的连续四项在集合{－54,－24,16,36,81}中,由题意知,这四项可选择－54,36,－24,16,此时,q ＝－23,若选择16,－24,36,－54,则q ＝－32.]5.已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列,则mn 等于( )A.32B.32或23C.23D.以上都不对A [不妨设12是x 2－mx ＋2＝0的根,则其另一根为4,∴m ＝4＋12＝92, 对方程x 2－nx ＋2＝0,设其根为x 1,x 2(x 1<x 2),则x 1x 2＝2, ∴等比数列为12,x 1,x 2,4, ∴q 3＝412＝8,∴q ＝2,∴x 1＝1,x 2＝2, ∴n ＝x 1＋x 2＝1＋2＝3, ∴m n ＝92×3＝32.]二、填空题6.在等比数列{a n }中,a 3＝16,a 1a 2a 3…a 10＝265,则a 7等于________.【导学号:91432210】256 [因为a 1a 2a 3…a 10＝(a 3a 8)5＝265,所以a 3a 8＝213,又因为a 3＝16＝24,所以a 8＝29＝512. 因为a 8＝a 3·q 5,所以q ＝2,所以a 7＝a 8q ＝256.]7.在右列表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每纵列成等比数列,则x ＋y ＋z 的值为________.2 [∵x 2＝24,∴x ＝1.∵第一行中的数成等差数列,首项为2,公差为1,故后两格中数字分别为5,6. 同理,第二行后两格中数字分别为2.5,3. ∴y ＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫123,z ＝6·⎝ ⎛⎭⎪⎫124, ∴x ＋y ＋z ＝1＋5·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋6·⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝3216＝2.] 8.某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m 倍,那么该单位此年的月平均增长率是________.【导学号:91432211】11m －1 [由题意可知,这一年中的每一个月的产值成等比数列,求月平均增长率只需利用a 12a 1＝m ,所以月平均增长率为11m －1.]三、解答题9.在等比数列{a n }中,a 2－a 1＝2,且2a 2为3a 1和a 3的等差中项,求数列{a n }的首项、公比.[解] 设该数列的公比为q . 由已知,得⎩⎨⎧a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以⎩⎨⎧ a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝3，(q ＝1舍去), 故首项a 1＝1,公比q ＝3.10.已知数列{a n }中,a 1＝1,a n ＋1＝52－1a n,b n ＝1a n －2,求数列{b n }的通项公式.【导学号:91432212】[解] a n ＋1－2＝52－1a n－2＝a n －22a n,1a n ＋1－2＝2a n a n －2＝4a n －2＋2,即b n ＋1＝4b n ＋2,b n ＋1＋23＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＋23.又a 1＝1,故b 1＝1a 1－2＝－1,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n ＋23是首项为－13,公比为4的等比数列,所以b n ＋23＝－13×4n －1,b n ＝－4n －13－23.[冲A 挑战练]1.等比数列{a n }是递减数列,前n 项的积为T n ,若T 13＝4T 9,则a 8a 15＝( ) A.±2 B.±4 C.2D.4C [∵T 13＝4T 9,∴a 1a 2…a 9a 10a 11a 12a 13＝4a 1a 2…a 9, ∴a 10a 11a 12a 13＝4.又∵a 10·a 13＝a 11·a 12＝a 8·a 15, ∴(a 8·a 15)2＝4,∴a 8a 15＝±2.又∵{a n }为递减数列,∴q >0,∴a 8a 15＝2.]2.公差不为零的等差数列{a n }中,2a 3－a 27＋2a 11＝0,数列{b n }是等比数列,且b 7＝a 7,则b 6b 8＝( )【导学号:91432213】A.16B.14C.4D.49 A [∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0,∵b 7＝a 7≠0,∴b 7＝a 7＝4,∴b 6b 8＝b 27＝16.]3.在等比数列{a n }中,若a 7＝－2,由此数列的前13项之积等于________. －213 [由于{a n }是等比数列,∴a 1a 13＝a 2a 12＝a 3a 11＝a 4a 10＝a 5a 9＝a 6a 8＝a 27,∴a 1a 2a 2…a 13＝(a 27)6·a 7＝a 137,而a 7＝－2.∴a 1a 2a 3…a 13＝(－2)13＝－213.]4.已知－7,a 1,a 2,－1四个实数成等差数列,－4,b 1,b 2,b 3,－1五个实数成等比数列,则a 2－a 1b 2＝________.－1 [由题意,知a 2－a 1＝－1－(－7)3＝2,b 22＝(－4)×(－1)＝4.又因为b 2是等比数列中的第三项,所以b 2与第一项同号,即b 2＝－2,所以a 2－a 1b 2＝2－2＝－1.]5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{b n }中,b 1＝a 1,b n ＝a n －a n －1(n ≥2),且a n ＋S n ＝n .(1)设c n ＝a n －1,求证:{c n }是等比数列; (2)求数列{b n }的通项公式.【导学号:91432214】[解] (1)证明:∵a n ＋S n ＝n ,① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1. ∴2a n ＋1＝a n ＋1,∴2(a n ＋1－1)＝a n －1, ∴a n ＋1－1a n －1＝12,∵首项c 1＝a 1－1, 又a 1＋a 1＝1,∴a 1＝12,∴c 1＝－12, 又c n ＝a n －1,∴q ＝12.∴{c n }是以－12为首项,公比为12的等比数列. (2)由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n,∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.∴当n ≥2时,b n ＝a n －a n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. 又b 1＝a 1＝12,代入上式也符合,∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.。

(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5的值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10A [由等差数列的性质，得a 1＋a 9＝2a 5，又∵a 1＋a 9＝10，即2a 5＝10，∴a 5＝5.]2．数列{a n }满足3＋a n ＝a n ＋1且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 6(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )【导学号：91432156】A ．－2B ．－12C ．2 D.12C [∵a n ＋1－a n ＝3，∴{a n }为等差数列，且d ＝3.a 2＋a 4＋a 6＝9＝3a 4，∴a 4＝3，a 5＋a 7＋a 9＝3a 7＝3(a 4＋3d )＝3(3＋3×3)＝36，∴log 6(a 5＋a 7＋a 9)＝log 636＝2.]3．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( )A ．5B ．8C ．10D ．14B [由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，所以a 7＝8.]4．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 等于( )【导学号：91432157】A ．8B ．4C ．6D ．12A [因为a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝4a 8＝32，所以a 8＝8，即m ＝8.]5．下列说法中正确的是( )A ．若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2成等差数列B ．若a ，b ，c 成等差数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列D ．若a ，b ，c 成等差数列，则2a,2b,2c 成等差数列C [因为a ，b ，c 成等差数列，则2b ＝a ＋c ，所以2b ＋4＝a ＋c ＋4，即2(b ＋2)＝(a ＋2)＋(c ＋2)，所以a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列．]二、填空题6．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________.【导学号：91432158】－21 [设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＋a ＋a ＋d ＝9，a －d 2＋a 2＋a ＋d 2＝59. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，d ＝－4.∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.∴它们的积为－21.]7．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数为________． 1或2 [∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，∴Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2≥0.∴二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2.]8．在通常情况下，从地面到10 km 高空，高度每增加1 km ，气温就下降某一个固定数值．如果1 km 高度的气温是8.5 ℃，5 km 高度的气温是－17.5 ℃，则2 km,4 km,8 km 高度的气温分别为________、________、________.【导学号：91432159】2 ℃ －11 ℃ －37 ℃ [用{a n }表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a 1＝8.5，a 5＝－17.5，由a 5＝a 1＋4d ＝8.5＋4d ＝－17.5，解得d ＝－6.5，∴a n ＝15－6.5n .∴a 2＝2，a 4＝－11，a 8＝－37，即2 km,4 km,8 km 高度的气温分别为2 ℃，－11 ℃，－37 ℃.]三、解答题9．已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2a 4a 6＝45，求此数列的通项公式．[解] ∵a 1＋a 7＝2a 4，a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15，∴a 4＝5.又∵a 2a 4a 6＝45，∴a 2a 6＝9，即(a 4－2d )(a 4＋2d )＝9，(5－2d )(5＋2d )＝9，解得d ＝±2.若d ＝2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝2n －3；若d ＝－2，a n ＝a 4＋(n －4)d ＝13－2n .10．四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数.【导学号：91432160】[解] 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )，依题意，2a ＝2，且(a －3d )(a ＋3d )＝－8，即a ＝1，a 2－9d 2＝－8，∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d >0，∴d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.[冲A 挑战练]1．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( )A ．a 1＋a 101>0B ．a 2＋a 101<0C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝51C [根据性质得：a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝…＝a 50＋a 52＝2a 51，由于a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，所以a 51＝0，又因为a 3＋a 99＝2a 51＝0，故选C.]2．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( ) 【导学号：91432161】A ．14B ．15C ．16D ．17C [设公差为d ，∵a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，∴5a 8＝120，a 8＝24，∴a 9－13a 11＝(a 8＋d )－13(a 8＋3d )＝23a 8＝16.] 3．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________．43 [n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )． 又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )． ∴d 1d 2＝13n －m 14n －m ＝43.] 4．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共为4升，则第5节的容积为________升．6766 [设自上而下各节的容积构成的等差数列为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9.则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 1＋6d ＝3，7＋a 8＋a 9＝3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1322，d ＝766，故a 5＝a 1＋4d ＝6766.] 5．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？【导学号：91432162】[解] 设已知的两数列的所有相同的项构成的新数列为{c n }，c 1＝11，又等差数列5,8,11，…的通项公式为a n ＝3n ＋2，等差数列3,7,11，…的通项公式为b n ＝4n －1.所以数列{c n }为等差数列，且公差d ＝12，①所以c n ＝11＋(n －1)×12＝12n －1.又a 100＝302，b 100＝399，c n ＝12n －1≤302，②得n ≤2514，可见已知两数列共有25个相同的项．。

课时分层作业(二十三) 基本不等式:ab≤a＋b 2(建议用时:40分钟)[学业达标练]一、选择题1.下列结论正确的是()【导学号:91432353】A.当x>0且x≠1时,lg x＋1lg x≥2B.当x>0时,x＋1x≥2C.当x≥2时,x＋1x的最小值为2D.当0<x≤2时,x－1x无最大值B[A中,当0<x<1时,lg x<0,lg x＋1lg x≥2不成立;由基本不等式知B正确;C中,由对勾函数的单调性, 知x＋1x的最小值为52;D中,由函数f(x)＝x－1x在区间(0,2]上单调递增,知x－1x的最大值为32,故选B.]2.下列各式中,对任何实数x都成立的一个式子是()A.lg(x2＋1)≥lg(2x)B.x2＋1>2xC.1x2＋1≤1 D.x＋1x≥2C[对于A,当x≤0时,无意义,故A不恒成立;对于B,当x＝1时,x2＋1＝2x,故B不成立;对于D,当x<0时,不成立.对于C,x2＋1≥1,∴1x2＋1≤1成立,故选C.]3.设a,b为正数,且a＋b≤4,则下列各式中正确的一个是()【导学号:91432354】A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥2B [因为ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4,所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.]4.四个不相等的正数a ,b ,c ,d 成等差数列,则( ) A.a ＋d2>bc B.a ＋d2<bc C.a ＋d2＝bcD.a ＋d2≤bcA [因为a ,b ,c ,d 成等差数列,则a ＋d ＝b ＋c ,又因为a ,b ,c ,d 均大于0且不相等,所以b ＋c >2bc ,故a ＋d2>bc .] 5.若x >0,y >0,且2x ＋8y ＝1,则xy 有( )【导学号:91432355】A.最大值64B.最小值164 C.最小值12D.最小值64D [由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ,∴xy ≥8,即xy有最小值64,等号成立的条件是x ＝4,y ＝16.] 二、填空题6.若a >0,b >0,且1a ＋1b ＝ab ,则a 3＋b 3的最小值为________. 42 [∵a >0,b >0,∴ab ＝1a ＋1b≥21ab,即ab ≥2,当且仅当a ＝b ＝2时取等号,∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42,当且仅当a ＝b ＝2时 取等号,则a 3＋b 3的最小值为4 2.]7.已知0<x <1,则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________.【导学号:91432356】12 [由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34,当且仅当3x ＝3－ 3x ,即x ＝12时等号成立.] 8.若对任意x >0,xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立,则a 的取值范围是________.⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ [因为x >0,所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号,所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15,即x x 2＋3x ＋1的最大值为15,故 a ≥15.] 三、解答题9.(1)已知x <3 ,求f (x )＝4x －3＋x 的最大值; (2)已知x ,y 是正实数,且x ＋y ＝4,求1x ＋3y 的最小值.【导学号:91432357】[解] (1)∵x <3, ∴x －3<0, ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1, 当且仅当43－x＝3－x , 即x ＝1时取等号, ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ,y 是正实数,∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3x y ,即x ＝2(3－1),y ＝2(3－3)时取“＝”号.又x ＋y ＝4,∴1x＋3y≥1＋32,故1x＋3y的最小值为1＋32.10.某种汽车,购车费用是10万元,每年使用保险费、养路费、汽油费约为0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元,问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少？[解]设使用x年平均费用最少.由条件知,汽车每年维修费用构成以0.2万元为首项,0.2万元为公差的等差数列.因此,汽车使用x年总的维修费用为0.2＋0.2x2x万元.设汽车的年平均费用为y万元,则有y＝10＋0.9x＋0.2＋0.2x2xx＝10＋x＋0.1x2x＝1＋10x＋x10≥1＋210x·x10＝3.当且仅当10x＝x10,即x＝10时,y取最小值.即这种汽车使用10年时,年平均费用最少.[冲A挑战练]1.若－4<x<1,则f(x)＝x2－2x＋22x－2()【导学号:91432358】A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值－1D.有最大值－1D[f(x)＝x2－2x＋22x－2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x－1)＋1x－1,又∵－4<x<1,∴x－1<0.∴－(x－1)>0.故f(x)＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤－(x－1)＋1－(x－1)≤－1.当且仅当x－1＝1x－1,即x＝0时等号成立.]2.已知x>0,y>0,且x＋y＝8,则(1＋x)(1＋y)的最大值为()A.16B.25C.9D.36B [(1＋x )(1＋y )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋x )＋(1＋y )22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋(x ＋y )22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋822＝25,因此当 且仅当1＋x ＝1＋y ,即x ＝y ＝4时,(1＋x )(1＋y )取最大值25,故选B.] 3.已知x >0,y >0,lg 2x＋lg 8y＝lg 2,则1x ＋13y 的最小值为________.【导学号:91432359】4 [由lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2,得2x ·8y ＝2, 即2x ＋3y ＝21, ∴x ＋3y ＝1,∴1x ＋13y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y (x ＋3y )＝x ＋3y x ＋x ＋3y3y ＝1＋3y x ＋x3y ＋1≥2＋23y x ·x 3y ＝2＋2＝4.当且仅当3y x ＝x 3y ,即x ＝12,y＝16时等号成立.]4.若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1,则x ＋y 的最大值是________. 233[∵x 2＋y 2＋xy ＝1, ∴(x ＋y )2＝1＋xy . ∵xy ≤(x ＋y )24, ∴(x ＋y )2－1≤(x ＋y )24,整理求得－233≤x ＋y ≤233, ∴x ＋y 的最大值是233.]5.某厂家拟在2017年举行某产品的促销活动,经调查,该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位:万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位:万元)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数),如果不举行促销活动,该产品的年销售量是1万件.已知2017年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用).(1)将2017年该产品的利润y (单位:万元)表示为年促销费用m 的函数; (2)该厂家2017年的促销费用为多少万元时,厂家的利润最大？【导学号:91432360】[解] (1)由题意,可知当m ＝0时,x ＝1,∴1＝3－k , 解得k ＝2,∴x ＝3－2m ＋1, 又每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx 元,∴y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1.5×8＋16x x －(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0).(2)∵m ≥0,16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8,当且仅当16m ＋1＝m ＋1,即m ＝3 时等号成立,∴y ≤－8＋29＝21,∴y max ＝21.故该厂家2017年的促销费用为3万元时,厂家的利润最大,最大利润为 21万元.。

课时分层作业(五)　补集(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．若全集U＝{0,1,2,3}且∁U A＝{2}，则集合A的真子集共有( )A．3个 B．5个C．7个D．8个C　[A＝{0,1,3}，真子集有23－1＝7个．]2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( )A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0<x<1}D　[由题意可知，A∪B＝{x|x≤0，或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．]3．已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁U B等于( )A．{3} B．{4}C．{3,4} D．∅A　[∵U＝{1,2,3,4}，∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}．又∵B＝{1,2}，∴{3}⊆A⊆{1,2,3}．又∁U B＝{3,4}，∴A∩∁U B＝{3}．]4．设全集U为实数集R，M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|x≥3或x<1}都是全集U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是( )A．{x|－2≤x<1}B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|x<2}A　[阴影部分表示的集合为N∩(∁U M)＝{x|－2≤x<1}，故选A.]5．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁I M＝∅，则M∪N等于( ) A．M B．N C．I D．∅A　[因为N∩∁I M＝∅，所以N⊆M(如图)，所以M∪N＝M.]二、填空题6．设全集U＝R，A＝{x|x<1}，B＝{x|x>m}，若∁U A⊆B，则实数m的取值范围是________．{m|m<1}　[∵∁U A＝{x|x≥1}，B＝{x|x>m}，∴由∁U A⊆B可知m<1.]7．已知集合A＝{x|－2≤x<3}，B＝{x|x<－1}，则A∩(∁R B)＝________.{x|－1≤x<3}　[∵A＝{x|－2≤x<3}，B＝{x|x<－1}，∴∁R B＝{x|x≥－1}，∴A∩(∁R B)＝{x|－1≤x<3}．]8．设全集U＝R，则下列集合运算结果为R的是________．(填序号)①Z∪∁U N；②N∩∁U N；③∁U(∁U∅)；④∁U Q.①　[结合常用数集的定义及交、并、补集的运算，可知Z∪∁U N＝R，故填①.]三、解答题9．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4,7,8}，求A∩B，A∪B，(∁U A)∩(∁U B)，A∩(∁U B)，(∁U A)∪B.[解]　法一(直接法)：由已知易求得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，∁U A＝{1,2,6,7,8}，∁U B＝{1,2,3,5,6}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{1,2,6}，A∩(∁U B)＝{3,5}，(∁U A)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．法二(Venn图法)：画出Venn图，如图所示，可得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1,2,6}，A∩(∁U B)＝{3,5}，(∁U A)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．10．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁U A)∪B，A∩(∁U B)，∁U(A∪B)．[解]　如图所示．∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}，∴∁U A＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，∁U B＝{x|x<－3，或2<x≤4}．A∩B＝{x|－2<x≤2}，A∪B＝{x|－3≤x<3}．故(∁U A)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}，∁U(A∪B)＝{x|x<－3，或3≤x≤4}．[等级过关练]1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是( )A．A∪B B．A∩BC．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)D　[∵A∪B＝{1,3,4,5,6}，∴∁U(A∪B)＝{2,7}．]2．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是( ) A．{a|a≤1}B．{a|a<1}C．{a|a≥2}D．{a|a>2}C　[由于A∪(∁R B)＝R，则B⊆A，可知a≥2.故选C.]3．设全集U是实数集R，M＝{x|x<－2，或x>2}，N＝{x|1≤x≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为________．{x|－2≤x<1}　[阴影部分所表示的集合为∁U(M∪N)＝(∁U M)∩(∁U N)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<1或x>3}＝{x|－2≤x<1}．]4．设全集U＝{1,2，x2－2}，A＝{1，x}，则∁U A＝________.{2}　[若x＝2，则x2－2＝2，与集合中元素的互异性矛盾，故x≠2，从而x＝x2－2，解得x＝－1或x＝2(舍去)．故U＝{1,2，－1}，A＝{1，－1}，则∁U A＝{2}．]5．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪(∁U A)＝R，B∩(∁U A)＝{x|0<x<1或2<x<3}，求集合B.[解]　∵A＝{x|1≤x≤2}，∴∁U A＝{x|x<1或x>2}．又B∪(∁U A)＝R，A∪(∁U A)＝R，可得A⊆B.而B∩(∁U A)＝{x|0<x<1或2<x<3}，∴{x|0<x<1或2<x<3}⊆B.借助于数轴可得B＝A∪{x|0<x<1或2<x<3}＝{x|0<x<3}.。

课时分层作业(十九) 一元二次不等式的应用(建议用时:40分钟) [学业达标练]一、选择题1.不等式1＋x1－x≥0的解集为( )【导学号:91432298】A.{x |－1<x ≤1}B.{x |－1≤x <1}C.{x |－1≤x ≤1}D.{x |－1<x <1}B [原不等式⇔⎩⎨⎧(x ＋1)(x －1)≤0，x －1≠0，∴－1≤x <1.]2.不等式(x －2)2(x －3)x ＋1<0的解集为( )A.{x |－1<x <2或2<x <3}B.{x |1<x <3}C.{x |2<x <3}D.{x |－1<x <2}A [原不等式⇔⎩⎨⎧(x ＋1)(x －3)<0，x －2≠0，∴－1<x <3且x ≠2.]3.不等式组⎩⎨⎧x －1>a 2，x －4<2a有解,则实数a 的取值范围是( )【导学号:91432299】A.(－1,3)B.(－∞,－1)∪(3,＋∞)C.(－3,1)D.(－∞,－3)∪(1,＋∞)A [由题意得,a 2＋1<x <4＋2a .∴只须4＋2a >a 2＋1,即a 2－2a －3<0,∴－1<a <3.]4.若关于x 的不等式x 2－4x －m ≥0对任意x ∈(0,1]恒成立,则m 的最大值为( )A.1B.－1C.－3D.3C [x 2－4x －m 在x ∈[0,1]时,最小值为1－4－m , ∴令－3－m ≥0,∴m ≤－3.]5.在R 上定义运算⊙:A ⊙B ＝A (1－B ),若不等式(x －a )⊙(x ＋a )<1对任意的实数x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围为( )【导学号:91432300】A.－1<a <1B.0<a <2C.－12<a <32D.－32<a <12C [∵(x －a )⊙(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a ), ∴不等式(x －a )⊙(x ＋a )<1,即(x －a )(1－x －a )<1对任意实数x 恒成立,即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 恒成立,所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0, 解得－12<a <32,故选C.] 二、填空题6.当x ∈(1,2)时,不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立,则m 的取值范围是________. (－∞,－5] [设f (x )＝x 2＋mx ＋4,要使x ∈(1,2)时,不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立.则有⎩⎨⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎨⎧1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，解得m ≤－5.]7.偶函数y ＝f (x )和奇函数y ＝g (x )的定义域均为[－4,4],f (x )在[－4,0]上,g (x )在[0,4]上的图象如图3-2-2所示,则不等式f (x )g (x )<0的解集为________. 【导学号:91432301】图3-2-2{x ∈R |－2<x <0或2<x <4} [由已知得当x ∈(－4,－2)∪(2,4)时,f (x )>0,当x ∈(－2,2)时,f (x )<0,当x ∈(－4,0)时,g (x )>0,x ∈(0,4)时,g (x )<0.所以当x ∈(－2,0)∪(2,4)时,f (x )g (x )<0. 所以不等式f (x )g (x )<0的解集为{x ∈R |－2<x <0或2<x <4}.]8.某地每年销售木材约20万m 3,每m 3价格为2 400元.为了减少木材消耗,决定按销售收入的t %征收木材税,这样每年的木材销售量减少52t 万m 3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t 的取值范围是________.[3,5] [设按销售收入的t %征收木材税时,税金收入为y 万元,则y ＝2 400×⎝⎛⎭⎪⎫20－52t ×t %＝60(8t －t 2). 令y ≥900,即60(8t －t 2)≥900,解得3≤t ≤5.] 三、解答题9.若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}. (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0;(2)b 为何值时,ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R?【导学号:91432302】[解] (1)由题意知1－a <0,且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根,∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a <0，41－a ＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0, 即为2x 2－x －3>0,解得x <－1或x >32,∴所求不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >32. (2)ax 2＋bx ＋3≥0,即3x 2＋bx ＋3≥0, 若此不等式解集为R ,则Δ＝b 2－4×3×3≤0,∴－6≤b ≤6.10.某地区上年度电价为0.8元/kw·h,年用电量为a kw·h.本年度计划将电价降低到0.55元/kw·h 至0.75元/kw·h 之间,而用户期望电价为0.4元/kw·h.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k ).该地区电力的成本价为0.3元/kw·h.(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式; (2)设k ＝0.2a ,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?[解] (1)设下调后的电价为x 元/千瓦时,依题意知,用电量增至kx －0.4＋a ,电力部门的收益为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k x －0.4＋a (x －0.3)(0.55≤x ≤0.75). (2)依题意,有⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫0.2a x －0.4＋a (x －0.3)≥[a ×(0.8－0.3)](1＋20%)，0.55≤x ≤0.75.整理,得⎩⎨⎧x 2－1.1x ＋0.3≥0，0.55≤x ≤0.75.解此不等式,得0.60≤x ≤0.75.∴当电价最低定为0.60元/千瓦时时,仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.[冲A 挑战练]1.下列选项中,使不等式x <1x <x 2成立的x 的取值范围是( )【导学号:91432303】A.(－∞,－1)B.(－1,0)C.(0,1)D.(1,＋∞)A [法一:取x ＝－2,知符合x <1x <x 2,即－2是此不等式的解集中的一个元素,所以可排除选项B,C,D.法二:由题知,不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x 2<0,即(x 2－1)(x 3－1)x 2<0,从而(x －1)2(x ＋1)(x 2＋x ＋1)x 2<0,解得x <－1,选A.]2.函数f (x )＝kx 2－6kx ＋(k ＋8)的定义域为R ,则实数k 的取值范围为( ) A.(0,1) B.[1,＋∞) C.[0,1]D.(－∞,0]C [kx 2－6kx ＋(k ＋8)≥0恒成立, 当k ＝0时,满足.当k ≠0时,⎩⎨⎧k >0，Δ＝(－6k )2－4k (k ＋8)≤0⇒0<k ≤1. 综上,0≤k ≤1.]3.若关于x 的不等式x －ax ＋1>0的解集为(－∞,－1)∪(4,＋∞),则实数a ＝________.【导学号:91432304】4 [∵(x －a )(x ＋1)>0与x －ax ＋1>0同解,∴(x －a )(x ＋1)>0的解集为(－∞,－1)∪(4,＋∞),∴4,－1是(x －a )(x ＋1)＝0的根,∴a ＝4.]4.若关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈[0,1]恒成立,则实数m 的取值范围是________.(－∞,－3] [设f (x )＝x 2－4x ＝(x －2)2－4, ∴f (x )在x ∈[0,1]上单调递减,∴当x ＝1时,函数f (x )取得最小值f (1)＝－3,∴要使x 2－4x ≥m 对于任意x ∈[0,1]恒成立,则需m ≤－3.]5.设不等式mx 2－2x －m ＋1＜0对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立,求x 的取值范围.【导学号:91432305】[解] 原不等式可化为(x 2－1)m －(2x －1)＜0.令f (m )＝(x 2－1)m －(2x －1),其中m ∈[－2,2], 则原命题等价于关于m 的一次函数(x 2－1≠0时)或常数函数(x 2－1＝0时)在m ∈[－2,2]上的函数值恒小于零.(1)当x 2－1＝0时,由f (m )＝－(2x －1)＜0得x ＝1;(2)当x 2－1＞0时,f (m )在[－2,2]上是增函数,要使f (m )＜0在[－2,2]上恒成立,只需⎩⎨⎧x 2－1＞0，f (2)＝2(x 2－1)－(2x －1)＜0， 解得1＜x ＜1＋32;(3)当x 2－1＜0时,f (m )在[－2,2]上是减函数,要使f (m )＜0在[－2,2]上恒成立,只需⎩⎨⎧x 2－1＜0，f (－2)＝－2(x 2－1)－(2x －1)＜0， 解得－1＋72＜x ＜1. 综合(1)(2)(3),得－1＋72＜x ＜1＋32.。

课时分层作业(九) 等差数列的概念及简单的表示(建议用时:40分钟) [学业达标练]一、选择题1.在等差数列{a n }中,a 2＝5,a 6＝17,则a 14等于( ) A.45 B.41 C.39D.37B [设公差为d ,则d ＝a 6－a 26－2＝17－54＝3,∴a 1＝a 2－d ＝2,∴a 14＝a 1＋13d ＝2＋13×3＝41.]2.在数列{a n }中,a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1,则a 101的值为( )【导学号:91432143】A.49B.50C.51D.52D [∵a n ＋1－a n ＝12,∴数列{a n }是首项为2,公差为12的等差数列, ∴a n ＝a 1＋(n －1)·12＝2＋n －12, ∴a 101＝2＋101－12＝52.]3.在等差数列{a n }中,已知a 3＋a 8＝10,则3a 5＋a 7等于( ) A.10 B.18 C.20D.28 C [设公差为d ,则a 3＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝2a 1＋9d ＝10. ∴3a 5＋a 7＝3(a 1＋4d )＋(a 1＋6d )＝4a 1＋18d ＝20.] 4.数列{a n }中,a n ＋1＝a n1＋3a n ,a 1＝2,则a 4为( )【导学号:91432144】A.87B.85C.165D.219D [法一:a 1＝2,a 2＝21＋3×2＝27,a 3＝271＋67＝213,a 4＝2131＋613＝219. 法二:取倒数得1a n ＋1＝1a n＋3,∴1a n ＋1－1a n＝3,∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项,3为公差的等差数列.∴1a n＝12＋(n －1)·3＝3n －52＝6n －52, ∴a n ＝26n －5,∴a 4＝219.]5.若lg 2,lg(2x －1),lg(2x ＋3)成等差数列,则x 的值等于( ) A.0 B.log 25 C.32D.0或32B [依题意得2lg(2x －1)＝lg 2＋lg(2x ＋3), ∴(2x －1)2＝2(2x ＋3), ∴(2x )2－4·2x －5＝0, ∴(2x －5)(2x ＋1)＝0,∴2x ＝5或2x ＝－1(舍),∴x ＝log 25.] 二、填空题6.在等差数列{a n }中,a 3＝7,a 5＝a 2＋6,则a 6＝________.【导学号:91432145】13 [设公差为d ,则a 5－a 2＝3d ＝6, ∴a 6＝a 3＋3d ＝7＋6＝13.]7.已知数列{a n }中,a 1＝3,a n ＝a n －1＋3(n ≥2),则a n ＝________. 3n [因为n ≥2时,a n －a n －1＝3,所以{a n }是以a 1＝3为首项,公差d ＝3的等差数列,所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋3(n －1)＝3n .]8.在等差数列{a n }中,已知a 5＝11,a 8＝5,则a 10＝________.【导学号:91432146】1 [法一:设数列{a n }的公差为d ,由题意知: ⎩⎨⎧a 1＋4d ＝11，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎨⎧a 1＝19，d ＝－2，故a n ＝19＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋21. ∴a 10＝－2×10＋21＝1. 法二:∵a n ＝a m ＋(n －m )d , ∴d ＝a n －a mn －m, ∴d ＝a 8－a 58－5＝5－113＝－2, a 10＝a 8＋2d ＝5＋2×(－2)＝1.] 三、解答题9.在等差数列{a n }中,已知a 1＝112,a 2＝116,这个数列在450到600之间共有多少项？[解] 由题意,得 d ＝a 2－a 1＝116－112＝4,所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝112＋4(n －1)＝4n ＋108. 令450≤a n ≤600,解得85.5≤n ≤123,又因为n 为正整数,故有38项. 10.已知函数f (x )＝3xx ＋3,数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2且x ∈N *)确定. (1)求证:⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列;(2)当x 1＝12时,求x 2 015.【导学号:91432147】[解] (1)证明:∵x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2且n ∈N *),∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1,∴1x n－1x n －1＝13(n ≥2且n ∈N *),∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列. (2)由(1)知1x n＝1x 1＋(n －1)×13＝2＋n －13＝n ＋53,∴1x2 015＝2 015＋53＝2 0203, ∴x 2 015＝32 020.[冲A 挑战练]1.首项为－24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫83，3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤83，3C.⎝ ⎛⎦⎥⎤83，3 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫83，3 C [设a n ＝－24＋(n －1)d , 由{ a 9＝－24＋8d ≤0，a 10＝－24＋9d >0，解得83<d ≤3.]2.在数列{a n }中,a 1＝3,且对任意大于1的正整数n ,点(a n ,a n －1)在直线x －y －3＝0上,则( )【导学号:91432148】A.a n ＝3nB.a n ＝3nC.a n ＝n － 3D.a n ＝3n 2 D [∵点(a n ,a n －1)在直线x －y －3＝0上,∴a n －a n －1＝3,即数列{a n }是首项为3,公差为3的等差数列. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)3＝3n , ∴a n ＝3n 2.]3.已知数列{a n }满足a 2n ＋1＝a 2n ＋4,且a 1＝1,a n >0,则a n ＝________. 4n －3 [由a 2n ＋1－a 2n ＝4,知数列{a 2n }成等差数列,且a 21＝1∴a 2n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3. 又∵a n >0,∴a n ＝4n －3.]4.等差数列{a n }中,首项为33,公差为整数,若前7项均为正数,第7项以后各项都为负数,则数列的通项公式为________.【导学号:91432149】a n ＝38－5n (n ∈N *) [由题意可得 ⎩⎨⎧a 7＝a 1＋6d >0，a 8＝a 1＋7d <0，即⎩⎨⎧33＋6d >0，33＋7d <0，解得－336<d <－337, 又∵d ∈Z ,∴d ＝－5,∴a n ＝33＋(n －1)×(－5)＝38－5n (n ∈N *).]5.数列{a n }满足a 1＝1,a n ＋1＝(n 2＋n －λ)a n (n ＝1,2, … ),λ是常数. (1)当a 2＝－1时,求λ及a 3的值;(2)是否存在实数λ使数列{a n }为等差数列？若存在,求出λ及数列 {a n }的通项公式;若不存在,请说明理由.[解] (1)由于a n ＋1＝(n 2＋n －λ)a n (n ＝1,2,…), 且a 1＝1.所以当a 2＝－1时,得－1＝2－λ,故λ＝3. 从而a 3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3. (2)数列 {a n }不可能为等差数列, 证明如下:由a 1＝1,a n ＋1＝(n 2＋n －λ)a n , 得a 2＝2－λ,a 3＝(6－λ)(2－λ), a 4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ).若存在λ,使{a n }为等差数列,则a 3－a 2＝a 2－a 1,即(5－λ)(2－λ)＝1－λ,解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2,a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.这与{a n}为等差数列矛盾.所以,不存在λ使{a n}是等差数列.。