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2014---2015学年第1学期:复变函数与积分变换（30学时，A 卷）参考答案及评分标准一．填空题1、3; 2;2、e -; i π-2;3、0;4、0;5、πi ;6、12<+i z ;7、 -+-!6!4!2142z z ; 8、3; 9、t cos ; 10、1. 二．解：令,θi e z = 则,θθd ie dz i =,izdzd =θ 且根据Euler 公式, 有 ()(),2121cos 1--+=+=z z e e i i θθθ ()(),21212cos 2222--+=+=z z e e i i θθθ则有()()⎰⎰=--⋅+-+=-112220256cos 452cos 12z iz dzzz z z d πθθθ ()⎰=+-+=122425216z dz z z z z i().61⎰==z dz z f i 4分上述积分中被积函数()z f 有三个有限奇点 .2,21,0 而在积分曲线1=z 围成区域内只有二个奇点,21,0 分别是二级和一级极点. 6分 根据留数定理, 有()[]()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰21,Re 0,Re 2)(z f s z f s i dz z f Cπ. 8分根据留数计算规则, 分别有⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→)(21lim 21),(Re 21z f z z f s z()221lim 2421-+=→z z z z ()2124221=-+=z z z z1217-=; 11分[][])(lim0),(Re 20z f z dzd z f s z →=2521lim 240+-+=→z z z dz d z ()()()()2242302525412524lim+--+-+-=→z zz z z z z z()()()()224232525412524=+--+-+-=z z z z z z z z.45=14分 所以有 ()[](),6121,Re 0,Re -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+z f s z f s.3)(i dz z f Cπ-=⎰则积分πθθθπ2cos 452cos 1220=-⎰d 15分三．解： (1) 解：根据钟形脉冲函数的Fourier 变换公式, 有822222][ωπ--=e e F t. 2分又22cos 22ti t i e e t -+=, 根据Fourier 变换位移性质, 有[][]()2222222221]2[cos t t i t t i t e e F e e F et F ----⋅+⋅=⋅[][])(21222222+=--=-+=ωωωωtt e F e F())(42828)2(22+---+=ωωπee . 6分根据能量谱密度的定义()()2ωωF S =得到函数222cos )(te t tf -⋅=的能量谱密度())2(84)2(44)2(222+----++=ωωωπωee eeS . 8分（2）解：根据能量谱密度()ωS 和相关函数()τR 之间有关系式, 有()()[]ωτS F R 1-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=--+-----414)2(14)2(122248ωωωππe F e e F e F 2分根据Fourier 变换的位移性质, 有,4124)2(122⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----ωτωe F e e F i .4124)2(122⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----ωτωe F e e F i 4分 则有()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=----4141222248ωωττππτe F e e F eeR i i 注意到 τττ2cos 222=+-i i e e , 则()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=---41122cos 4ωτπτe F e R . 6分 根据钟形脉冲函数的Fourier 变换公式 []βωββπ422--=e eF t , 有22141τωπ---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡e e F . 所以有()()212cos 4ττπτ--+=ee R . 8分四．解：根据Laplace 变换积分性质, 有[]t e L sdt t e L t tt 2sin 1]2sin [0--=⎰. 2分 由42]2[sin 2+=s t L , 根据Laplace 变换的位移性质, 有 ()412]2sin [2++=-s t e L t ,即422]2sin [2++=-s s t e L t. 4分 所以有 ()522]2sin [2++=⎰-s s s dt t e L tt . 6分 五．解：(1) 根据Euler 公式和Fourier 变换的定义, 有[]⎰+∞∞-⋅-=dx xe x F x i ω2sin 2sin⎰∞+∞-⋅--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dx e i e e xi xi x i ω222 ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰⎰+∞∞-⋅+-+∞∞-⋅--dx e dx e i x i x i 2221ωω. 4分 根据基本公式可以得到[]()()[]2222212sin +--=ωπδωπδix F ()()[]22--+=ωδωδπi . 8分(2) 对方程两边关于函数自变量x 作Fourier 变换. 记()()[]x y F Y =ω. 根据Fourier 变换的微分和积分性质, 有()()[]02sin 322=++x F i Y Y i ωωωω. 2分 利用(1)的结论, 有()()()()[]221232+---=ωδωδωπωωY . 4分 根据Fourier 逆变换的定义和-δ函数的筛选性质, 有()()[]ωY F x y 1-=()()[]⎰+∞∞--+--=ωωωωδωδωd e xi 122432()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+---=⎰⎰∞+∞-∞+∞-ωωωωδωωωωδωωd e d e xi x i 12124322⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅--⋅=-==22221143ωωωωωωωωxi xi e e()x i xi e e 2221-+=x 2cos =. 8分六．解：根据Laplace 变换的位移性质, 有()[]()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=--1212122211s s L s F L()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=--11122212s s L et. 2分 令()()()11122++=ss s G ，则()s G 有两个一级极点i i ,-和一个二级极点-.14分 根据求Laplace 逆变换的留数公式, 有()[]()[]()[]()[]1,Re ,Re ,Re 1-++-=-s G e s i s G e s i s G e s s G L st st st . 6分根据留数计算规则, 有()[]()()[]s G e i s i s G e s st is st +=--→lim ,Re()()i s s e stis -+=-→21lim()()is sti s s e -=-+=21()212i i e it --=-.4it e --=9分()[]()()[]s G e i s i s G e s st is st -=→lim ,Re()()i s s e stis ++=→21lim()()is sti s s e =++=21()212i i e it +=.4it e -=12分()[]()()[]s G e s ds d s G e s st s st 211lim1,Re +=--→1lim21+=-→s e ds d sts()()2221121lim +-+=-→s se s te stst s()()1222121-=+-+=s ststs se s te().21t e t -+=15分代入上式，并利用Euler 公式, 有()[]()4211itit t e e e t s G L---+-+=()2cos 1te t t -+=-. 所以有()[]().cos 1231t t e t e t s F L ---⋅-+=17分。
20**-20** 1 复变函数与积分变换（A 卷）（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设 复数1z i =-，则arg z =（ ）A ．4π-B ．4πC ．34πD ．54π 2．设z 为非零复数，,a b 为实数且z a bi z=+，则22a b +（ ）A ．等于0B ．等于1C ．小于1D ．大于1 3．函数()f z z =在0z =处（ ）A ．解析B ．可导C ．不连续D ．连续 4．设z x iy =+，则下列函数为解析的是（ ）A 22()2f z x y i xy =-+ B ()f z x iy =- C ()2f z x i y =+ D ()2f z x iy =+ 5．设C 为正向圆周||1z =，则积分Czdz =⎰（ ）A ．6i πB ．4i πC ．2i πD ．0 6. 设C 为正向圆周||1z =，则积分(2)Cdzz z =-⎰( ).A ．i π-B ．i πC ．0D ．2i π7. 设12,C C 分别是正向圆周||1z =与|2|1z -=，则积分121sin 222z C C e z dz dz i z z π⎛⎫+= ⎪--⎝⎭⎰⎰ A ．2i π B ．sin 2 C ．0 D ．cos2 8．幂级数1(1)nnn z i ∞=+∑的收敛半径为 ( ) A.0 B.12C. 2D. 2课程考试试题学期 学年 拟题人:校对人: 拟题学院（系）: 适 用 专 业:9. 0z =是函数2(1)sin ()(1)z e zf z z z -=-的（ ） A ．本性奇点 B ．可去奇点 C ．一级极点 D ．二级极点10.已知210(1)sin (21)!n n n z z n ∞+=-=+∑，则4sin Re [,0]zs z =（ ）A ．1B ．13!C ．13!-D ．1-二、填空题(每空3分，共15分)1 复数1i -+，的指数形式为__________。
复变函数考题及答案【篇一：复变函数试题与答案】>一、选择题1．当z?1?i时，z100?z75?z50的值等于（） 1?i（a）i （b）?i（c）1 （d）?12．设复数z满足arc(z?2)??3，arc(z?2)?5?，那么z?（） 61331?i （d）??i 2222（a）?1?3i （b）?3．复数z?tan??i(3?i （c）??????)的三角表示式是（） 2 ???)?i??)] （b）sec?（a）sec22??3?3???)?i??)] 22?（c）?sec3?3?????)?i??)]（d）?sec???)?i??)] 2222224．若z为非零复数，则z?与2z的关系是（）2222（a）z??2z （b）z??2z22（c）z??2z （d）不能比较大小５．设x,y为实数，则动点(x,y)z1?x??yi,z2?x??yi且有z1?z2?12，的轨迹是（）（a）圆（b）椭圆（c）双曲线（d）抛物线６．一个向量顺时针旋转?3，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为1?3i，则原向量对应的复数是（）（a）2（b）1?i （c）3?i （d）3?i1７．使得z2?z成立的复数z是（） 2（a）不存在的（b）唯一的（c）纯虚数（d）实数８．设z为复数，则方程z??2?i的解是（）（a）?3333?i （b）?i （c）?i （d）??i 4444９．满足不等式z?i?2的所有点z构成的集合是（） z?i（a）有界区域（b）无界区域（c）有界闭区域（d）无界闭区域10．方程z?2?3i?2所代表的曲线是（）（a）中心为2?3i，半径为2的圆周（b）中心为?2?3i，半径为２的圆周（c）中心为?2?3i，半径为2的圆周（d）中心为2?3i，半径为２的圆周11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（a）z?1?2 （b）z?3?z?3?4 z?2z?a?1(a?1) （d）z?a?z?a?c?0(c?0) 1?az（c）12．设f(z)?1?,z1?2?3i,z2?5?i,，则f(z1?z2 ）（a）?4?4i（b）4?4i（c）4?4i（d）?4?4i13．limim(z)?im(z0)（） x?x0z?z0（a）等于i（b）等于?i（c）等于0（d）不存在14．函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在点z0?x0?iy0处连续的充要条件是（）（a）u(x,y)在(x0,y0)处连续（b）v(x,y)在(x0,y0)处连续（c）u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续（d）u(x,y)?v(x,y)在(x0,y0)处连续 2z2?z?115．设z?c且z?1，则函数f(z)?的最小值为（） z （a）?3 （b）?2（c）?1 （d）1二、填空题1．设z?(1?i)(2?i)(3?i)，则z? (3?i)(2?i)2．设z?(2?3i)(?2?i)，则argz?3．设z?,arg(z?i)?3?，则z? 4(cos5??isin5?)24．复数的指数表示式为 2(cos3??isin3?)5．以方程z?7?i的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式z?2?z?2?5所表示的区域是曲线的内部 6７．方程2z?1?i?1所表示曲线的直角坐标方程为2?(1?i)z８．方程z?1?2i?z?2?i所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线９．对于映射??2i22，圆周x?(y?1)?1的像曲线为 z410．lim(1?z?2z)? z?1?i三、若复数z满足z?(1?2i)z?(1?2i)?3?0，试求z?2的取值范围．四、设a?0，在复数集c中解方程z2?2z?a.五、设复数z??i，试证z是实数的充要条件为z?1或im(z)?0. 21?z3六、对于映射??11(z?)，求出圆周z?4的像. 2z七、试证１.z1?0(z2?0)的充要条件为z1?z2?z1?z2； z2z1?0(zj?0,k?j,k,j?1,2,?,n))的充要条件为 z2２.z1?z2???zn?z1?z2???zn.八、若limf(z)?a?0，则存在??0，使得当0?z?z0??时有f(z)?x?x01a. 2九、设z?x?iy，试证x?y2?z?x?y.十、设z?x?iy，试讨论下列函数的连续性： ?2xy,z?0?1.f(z)??x2?y2 ?0,z?0??x3y?,z?02.f(z)??x2?y2.?0,z?0?第二章解析函数一、选择题：1．函数f(z)?3z在点z?0处是( )（a）解析的（b）可导的（c）不可导的（d）既不解析也不可导2．函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的( )4 2（a）充分不必要条件（b）必要不充分条件（c）充分必要条件（d）既非充分条件也非必要条件3．下列命题中，正确的是( )（a）设x,y为实数，则cos(x?iy)?1（b）若z0是函数f(z)的奇点，则f(z)在点z0不可导（c）若u,v在区域d内满足柯西-黎曼方程，则f(z)?u?iv在d内解析（d）若f(z)在区域d内解析，则在d内也解析4．下列函数中，为解析函数的是( )（a）x2?y2?2xyi（b）x2?xyi（c）2(x?1)y?i(y2?z?x20?2x)（d）x3?iy35．函数f(z)?z2im(z)在处的导数( )（a）等于0 （b）等于1 （c）等于?1（d）不存在6．若函数f(z)?x2?2xy?y2?i(y2?axy?x2)在复平面内处处解析，那么实常数a?( )（a）0（b）1（c）2（d）?27．如果f?(z)在单位圆z?1内处处为零，且f(0)??1，那么在z?1内f(z)?( )（a）0（b）1（c）?1（d）任意常数8．设函数f(z)在区域d内有定义，则下列命题中，正确的是（a）若f(z)在d内是一常数，则f(z)在d内是一常数（c）若f(z)与f(z)在d内解析，则f(z)在d内是一常数（d）若argf(z)在d内是一常数，则f(z)在d内是一常数9．设f(z)?x2?iy2，则f?(1?i)?( )5【篇二：复变函数期末考试复习题及答案详解】=txt>1、 ?|z?z?1(z?z)n?0|__________.（n为自然数） 022.sinz?cos2z? _________.3.函数sinz的周期为___________.f(z)?14.设z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.?5.幂级数?nzn的收敛半径为__________.n?06.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. lim 1?z2?...?zn7.若nlim??zn??z，则n??n?______________.zres(ezn,0)?8.________，其中n为自然数.9. sinzz的孤立奇点为________ .limf(10.若z0是f(z)z?zz)?___的极点，则0.三.计算题（40分）：f(z)?11. 设(z?1)(z?2)，求f(z)在d?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.1dz2. ?|z|?1cosz.2??13. 设f(z)??3??7c??zd?，其中c?{z:|z|?3}，试求f(1?i).w?z?14. 求复数z?1的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数f(z)在区域d内解析. 证明：如果|f(z)|在d内为常数，那么它在d内为常数.2. 试证: f(z)在割去线段0?rez?1的z平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0?rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分)1. 设z??i，则|z|?__,argz?__,?__2.设f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?c，则zlim?1?if(z)?________.3.?dz|z?z0|?1(z?zn?_________.（n为自然数）0)?4. 幂级数?nzn的收敛半径为__________ .n?05. 若z0是f(z)的m阶零点且m0，则z0是f(z)的_____零点.6. 函数ez的周期为__________.7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为________.8. 设f(z)?11?z2，则f(z)的孤立奇点有_________.9. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为________.10. res(z?1z4,1)?____. 三. 计算题. (40分)1. 求函数sin(2z3)的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z?i处的值.i3. 计算积分：i???i|z|dz，积分路径为（1）单位圆（|z|?1）的右半圆.sinzz?24. 求(z?dz)22.四. 证明题. (20分)1. 设函数f(z)在区域d内解析，试证：f(z)在d内为常数的充要条件是f(z)在d内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设f(z)?1z2?1，则f(z)的定义域为___________. 2. 函数ez 的周期为_________.3. 若zn?21?n?i(1?1n?n)n，则limn??zn?__________.4. sin2z?cos2z?___________.dz5. ?|z?z?0|?1(z?zn_________.（n为自然数） )?6. 幂级数?nxn的收敛半径为__________.n?07. f(z)?1设z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.8. 设ez??1，则z?___. 9. 若z0是f(z)的极点，则limz?zf(z)?___.z10. res(ezn,0)?____.三. 计算题. (40分)11. 将函数f(z)?z2ez在圆环域0?z??内展为laurent级数.??2. 试求幂级数?n!nzn的收敛半径. n?n3. 算下列积分：?ezdzcz2(z2?9)，其中c是|z|?1.4. 求z9?2z6?z2?8z?2?0在|z|1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数f(z)在区域d内解析. 证明：如果|f(z)|在d内为常数，那么它在d内为常数.2. 设f(z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数r及m，使得当|z|?r时|f(z)|?m|z|n，证明f(z)是一个至多n次的多项式或一常数。
---《复变函数》考试试题（一）一、判断题（ 20 分）：1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导，则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛，则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析，且f '( z)，则f ( z) C（常数） 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点，则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限，则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数，则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . （）二. 填空题（ 20 分）1、|z z 0 |dz__________. （ n 为自然数）1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11，则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n，则 nn______________.Res(e z8.n,0)________，其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点，则z z.三. 计算题（ 40 分）：f (z)11. 设(z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ).Cz，其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．× 2．√ ３．√ ４．√５．√6．√ ７．×８．×９．× 10．×二．填空题2 in1 2.1 ；3. 2k ， ( k z) ；4.z i ； 5.11.n；16. 整函数；7. ； 1 ； 9. 0； 10..8.(n 1)!三．计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题（二）一. 判断题 . （20 分）1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析，则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点，则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导，则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析，则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ，则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ，则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n（ n 为自然数）---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1，则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分： I| z | dz，积分路径为（1）单位圆（ | z | 1）i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（二）参考答案一.判断题 .1．√２．×３．√４．√ ５．× 6．×７．×８．√９．× 10．× .二.填空题---1.1 ，， i ；2. 3(1sin 2)i ；3.2 i n14. 1；5. m 1 . 0n；216.2k i ，( k z) .7. 0；8. i；9.R ；10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值，所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题（三）一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析，则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析，则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .（ ）8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点，则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ，则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ，则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n（ n 为自然数）_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1，则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点，则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分：e zdz，其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 及 M ，使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n，证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。
2014年复变函数与积分变换练习题参考答案一、选择题 （ 每题2分，共16分） 1．设{|1||3}P z z =<<，则P 为【 B 】(A)无界区域 (B) 多连通区域 (C)单连通区域 (D) 闭区域. 2. 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000z x iy =+处连续的充要条件是【 D 】 (A) 函数)(z f 在区域D 内可导 (B) 函数),(y x u 在点00,()x y 处连续(C) 函数),(y x v 在点00,()x y 处连续(D) 函数),(y x u 和),(y x v 在点00,()x y 处连续.3. 若),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析，则下列命题中错误的是 【 D 】 (A) 函数)(z f 在区域D 内可导(B) 函数),(),,(y x v y x u 是区域D 内的调和函数(C) 函数),(),,(y x v y x u 在区域D 内满足柯西-黎曼方程 (D) 函数),(y x u 是),(y x v 在区域D 内的共轭调和函数 4．设C 为|1|0z r-=>的正向圆周，则1Czdz z =-⎰【 B 】(A) 0 (B) 2i π (C) 1 (D) 4i π5. 下列复数项级数中绝对收敛的是【 A 】(A)1(6+8)!nn i n ∞=∑(B) ∑∞=-1)1(n n(C) ∑∞=1n nni (D)113()2nn i ∞=+∑6．下列函数中以0=z 为本性奇点的是【 D 】(A) 2sin z z z - (B) z z sin (C) z sin 1 (D) 1()z cos 7．函数()h z 在单连通区域D 内解析是函数()h z 在D 内存在原函数的【 B 】 (A) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D)既非必要条件也非充分条件.8．指数衰减函数,0()=0,0t e t f t t α-⎧>⎨<⎩（其中α>0）的傅里叶变换是【 B 】 (A) 1j αω- (B) 1j αω+ (C) 11j ω+ (D) 1j ωα+二、填空题（每题2分，共14分）9.设复数z=+ 42ie π .10．计算复值函数(1)n i L += ln2(/32)k i ππ++ .11．已知C 为|1|2z -=的正向圆周，求3z Cedz z=⎰i π .12．设C 为正向圆周1||=z ,则积分2116Cdz z=-⎰ 0 .13．幂级数061nn zn ∞=+∑的收敛半径 R= 1 .14．映射2z z ω=+在点1+zi =处的伸缩率是 .15．设k 为实常数， 2()sin f t t kt t =+,则)(t f 的拉普拉斯变换为222322()ks s k s++ . 三、计算题（每题5分，共25分）16．讨论函数3232()3(3)f z y x y i x xy =-+-的解析性， 其中z x yi =+,求导函数()f z '. （参考习题集P16第5题）17．利用留数计算43|z|=1/51dz z z-⎰. （习题集P46第4题）解 令430=zz- 得到=0=1z z ，为函数431()z zf z -=孤立奇点，…….. (1分)但是=1z 在圆||=1/5z 之内，=0z 是431()z zf z -=的三阶极点。
（完整）《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案,推荐⽂档23∞ ?复变函数与积分变换?期末试题（A）1．1 -i⼀．填空题（每⼩题3 分，共计15 分）的幅⾓是（）；2. Ln(-1 +i) 的主值是（1）；3.f (z) =1 +z 2，z - sin z f (5)(0) =（）；f (z) =1，4．z = 0 是z 4 的（）极点；5．z Re s[f(z),∞]=（）；⼆．选择题（每⼩题3 分，共计15 分）1．解析函数f (z) =u(x, y) +iv(x, y) 的导函数为（）；（A）f '(z) =u x +iu y ；（B）f '(z) =u x-iu y；（C） f '(z) =ux+ivy ；（D） f '(z) =u y +iv x.2．C 是正向圆周z = 3 ，如果函数f (z) =（），则?C f (z)d z = 0 ．3；（B）3(z -1)；（C）3(z -1)；（D）3.n=1（A）z =-2 点条件收敛；（B）z = 2i 点绝对收敛；（C）z = 1 +i 点绝对收敛；（D）z = 1 + 2i 点⼀定发散．４．下列结论正确的是( )（A）如果函数f (z) 在z0点可导，则f (z) 在z0点⼀定解析；得分e(B) 如果 f (z ) 在 C 所围成的区域内解析，则 ?C f (z )dz = 0（C ）如果 ?C f (z )dz = 0 ，则函数 f (z ) 在 C 所围成的区域内⼀定解析；（D ）函数 f (z ) = u (x , y ) + iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（）．(A) ∞为sin 1的可去奇点 z(B) ∞为sin z 的本性奇点 ∞为 1 的孤⽴奇点; ∞ 1 (C) sin 1z(D) 为的孤⽴奇点. sin z三．按要求完成下列各题（每⼩题 10 分，共计 40 分）（1）设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求a ,b ,c ,d .z（2）．计算 ?Cz (z - 1)2d z 其中 C 是正向圆周： z = 2 ；得分zd z （3）计算? 15z =3 (1 +z 2 )2 (2 +z 4 )3(sin z )3在扩充复平⾯上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题 14 分）将函数 f (z ) = 1z 2 (z - 1)在以下区域内展开成罗朗级得分数；（1） 0 < z - 1 < 1 ，（2） 0 < z < 1 ，（3）1 < z < ∞五．（本题 10 分）⽤ Laplace 变换求解常微分⽅程定解问题 y (x ) - 5 y '(x ) + 4 y (x ) = e -xy (0) = y '(0) = 1得分六、（本题 6 分）求 f (t) e t(0) 的傅⽴叶变换，并由此证明：costt2 2 d 2 e 0复变函数与积分变换?期末试题（A ）答案及评分标准⼀．填空题（每⼩题 3 分，共计 15 分）得分3 的幅⾓是（ 2k Ln (-1 + i ) ee 1． 1- i 2 - + , k = 0,±1,±2 ）；2.的主值是（ 31 ln2 +3 24 iz - sin z f (z ) =3.1+ z 2 ， f(5)(0) = （ 0），4． z = 0 是1 z4的（⼀级）极点；5． f (z ) = z， R e s [ f (z ),∞] =（-1）；⼆．选择题（每题 3 分，共 15 分）1----5B DC B D三．按要求完成下列各题（每⼩题 10 分，共 40 分）（1）．设 f (z ) = x 2 + axy + by 2 + i (cx 2 + dxy + y 2 ) 是解析函数，求a ,b ,c ,d .解：因为 f (z ) 解析，由 C-R 条件u = vx y u = -vy x2x + ay = dx + 2y ax + 2by = -2cx - dy ,a = 2, d = 2, ， a = -2c ,2b = -d ,c = -1, b = -1,给出 C-R 条件 6 分，正确求导给 2 分，结果正确 2 分。
得分得分«复变函数与积分变换»期末试题（A ） 正文：一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ ）；2.)1(i Ln +-的主值是（ ）；3. 211)(zz f +=，=)0()5(f （ ）； 4．0=z 是 4sin z z z -的（ ）极点；5． z z f 1)(=，=∞]),([Re z f s （ ）；二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）；（A ）y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=⎰C z z f ．（A ） 23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n n nz c 在2=z 点收敛，则级数在（A ）2-=z点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰C dz z f （C ）如果0)(=⎰C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a（2）．计算⎰-C z z z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；得分（3）计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z（4）函数323 2)(sin)3 ()2)(1()(z zzzzzfπ-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题14分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<-<z ，（2）10<<z ，（3）∞<<z 1五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题 ⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x得分 得分六、（本题6分）求)()(0>=-ββt e t f 的傅立叶变换，并由此证明：t e d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题（A ）答案及评分标准一．填空题（每小题3分，共计15分） 得分1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2.)1(i Ln +-的主值是（ i 432ln 21π+ ）；3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ），4．0=z 是4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题3分，共15分）1----5 B D C B D三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
《复变函数》考试试题（一） 1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数）2.=+z z 22cos sin_________.3.函数z sin 的周期为___________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________.5.幂级数n n nz ∞=∑的收敛半径为__________.6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________.8.=)0,(Re n zz es ________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为________ .10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.(20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）二. 填空题. (20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设Ciy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(l i m 1z f iz ________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数）4. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .5. 若z 0是f (z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的_____零点.6. 函数e z 的周期为__________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________.8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有_________.9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.10. ____)1,1(Res 4=-zz .三. 计算题. (40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z =处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z I d ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. (20分)1. 设函数f (z )在区域D 内解析，试证：f (z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）二. 填空题. (20分) 1. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的定义域为___________. 2. 函数e z的周期为_________.3. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.4. =+z z 22cos sin ___________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n nnx的收敛半径为__________.7. 设11)(2+=z z f ，则f (z )的孤立奇点有__________.8. 设1-=z e ，则___=z . 9. 若0z是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. (40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn nz nn ∑+∞=!的收敛半径. 3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. (20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数.2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题(一)一、 判断题(20分):1、若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析、 ( )2、有界整函数必在整个复平面为常数、 ( )3、若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛、 ( )4、若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数)、 ( )5、若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数、 ( )6、若z 0就是)(z f 的m 阶零点,则z 0就是1/)(z f 的m 阶极点、 ( )7、若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0就是函数f(z)的可去奇点、 ( )8、若函数f(z)在就是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠、 ( ) 9、 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f 、( )10、若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数、( ) 二、填空题(20分)1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________、(n 为自然数)2、=+z z 22cos sin _________、 3、函数z sin 的周期为___________、4、设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________、5、幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________、6、若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它就是__________、7、若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________、8、=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数、9、 zz sin 的孤立奇点为________ 、10、若0z 就是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z 、三、计算题(40分):1、 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式、2、 .cos 11||⎰=z dz z3、 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4、 求复数11+-=z z w 的实部与虚部、四、 证明题、(20分) 1、 函数)(z f 在区域D 内解析、 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数、 2、 试证: ()f z =0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值、 《复变函数》考试试题(一)参考答案一． 判断题1.×2.√ ３.√ ４.√ ５.√ 6.√ ７.×８.×９.×10.× 二.填空题 1、 2101i n n π=⎧⎨≠⎩ ; 2、 1; 3、 2k π,()k z ∈; 4、 z i =±; 5、 16、 整函数;7、 ξ;8、 1(1)!n -; 9、 0; 10、 ∞、三.计算题、1、 解 因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑、 2、 解 因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-、 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰、 3、 解 令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰、所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+、 4、 解 令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a bw z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++、 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b-=+++、 四、 证明题、1、 证明 设在D 内()f z C =、令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则、两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x yy uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-、 代入 (2) 则上述方程组变为00x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩、 消去x u 得, 22()0x u v v +=、 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数、2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =、 所以12,u c v c ==、 (12,c c 为常数)、 所以12()f z c ic =+为常数、2、证明()f z =0,1z =、 于就是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支、由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π、 所以()f z =2π、 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于就是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π,故2(1)i f e π-==、《复变函数》考试试题(二)一. 判断题、(20分)1、 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续、 ( )2、 cos z 与sin z 在复平面内有界、 ( )3、 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续、 ( )4、 有界整函数必为常数、 ( )5、 如z 0就是函数f (z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在、 ( )6、 若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析、 ( )7、 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f 、( )8、 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛、 ( ) 9、 若f (z )在区域D 内解析,则|f (z )|也在D 内解析、 ( )10、 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f 、( )二、 填空题、 (20分)1、 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2、设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f iz ________、3、=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________、(n 为自然数)4、 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ 、5、 若z 0就是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0就是)('z f 的_____零点、6、 函数e z 的周期为__________、7、 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________、 8、 设211)(zz f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________、 9、 函数||)(z z f =的不解析点之集为________、10、 ____)1,1(Res 4=-zz 、 三、 计算题、 (40分)1、 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式、2、 在复平面上取上半虚轴作割线、 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值、3、 计算积分:⎰-=iiz z Id ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆、4、 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π、四、 证明题、 (20分)1、 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件就是)(z f 在D 内解析、2、 试用儒歇定理证明代数基本定理、《复变函数》考试试题(二)参考答案一. 判断题、1.√ ２.×３.√ ４.√ ５.×6.×７.×８.√ ９.×10.×、 二、 填空题1、1,2π-, i ; 2、 3(1sin 2)i +-; 3、2101i n n π=⎧⎨≠⎩; 4、 1; 5、 1m -、 6、 2k i π,()k z ∈、 7、 0; 8、 i ±; 9、 R ; 10、 0、 三、 计算题1、 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑、2、 解 令i z re θ=、则22(),(0,1)k if z k θπ+===、又因为在正实轴去正实值,所以0k =、所以4()if i eπ=、3、 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤、所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰、4、 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0、四、 证明题、1、 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-、 (12,c c 为实常数)、 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-、 则0x y y x u v u v ====、 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析、 (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-、比较等式两边得 0x y y x u v u v ====、 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数、2、 即要证“任一 n 次方程 101100(0)n n n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”、证明 令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<、()f z =、由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00na z = 有相 同个数的根、 而 00na z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =、 因此n 次方程在z R <内有n 个根、《复变函数》考试试题(三)一、 判断题、 (20分)、1、 cos z 与sin z 的周期均为πk2、 ( ) 2、 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析、 ( )3、 若函数f (z )在z 0处解析,则f (z )在z 0连续、 ( )4、 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛、 ( )5、 若函数f (z )就是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数,则数f (z )在区域D 内为常数、 ( )6、 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导、 ( )7、 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f 、 ( )8、 若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数、( )9、 若z 0就是)(z f 的m 阶零点, 则z 0就是1/)(z f 的m 阶极点、 ( ) 10、 若z 就是)(z f 的可去奇点,则)),((Res 0=z z f 、( )二、 填空题、 (20分)1、 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________、2、 函数e z的周期为_________、3、 若n n n i n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________、4、 =+z z 22cos sin ___________、5、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________、(n 为自然数) 6、 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________、7、 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________、8、 设1-=ze ,则___=z 、9、 若0z 就是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z 、10、 ____)0,(Res =n zze 、三、 计算题、 (40分)1、 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数、2、 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径、3、 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 就是1||=z 、4、 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数、四、 证明题、 (20分) 1、 函数)(z f 在区域D 内解析、 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数、 2、 设)(z f 就是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 就是一个至多n 次的多项式或一常数。
《复变函数》考试试题（十三）一、填空题．（每题２分）１．设(cos sin )z r i θθ=+，则1z=_____________________． ２．设函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，00A u iv =+，000z x iy =+，则0lim ()z z f z A →=的充要条件是_______________________．３．设函数()f z 在单连通区域D 内解析，则()f z 在D 内沿任意一条简单闭曲线C 的积分()C f z dz =⎰_________________________．４．设z a =为()f z 的极点，则lim ()z a f z →=____________________．５．设()sin f z z z =，则0z =是()f z 的________阶零点． ６．设21()1f z z=+，则()f z 在0z =的邻域内的泰勒展式为_________________． ７．设z a z a b -++=，其中,a b 为正常数，则点z 的轨迹曲线是_________________． ８．设sincos 66z i ππ=--，则z 的三角表示为_________________________． ９．40cos z zdz π=⎰___________________________． １０．设2()ze f z z-=，则()f z 在0z =处的留数为________________________． 二、计算题．１．计算下列各题．（９分）(1) cos i ； (2) ln(23)i -+; (3) 33i - 2．求解方程380z +=．（７分）３．设22u x y xy =-+，验证u 是调和函数，并求解析函数()f z u iv =+，使之()1f i i =-+．（８分）４．计算积分．（10分）(1)2()C x iy dz +⎰，其中C 是沿2y x =由原点到点1z i =+的曲线． (2) 120[()]ix y ix dz +-+⎰，积分路径为自原点沿虚线轴到i ，再由i 沿水平方向向右到1i +． ５．试将函数1()(1)(2)f z z z =--分别在圆环域01z <<和12z <<内展开为洛朗级数．（８分）６．计算下列积分．（８分） (1) 2252(1)z z dz z z =--⎰； (2) 224sin (1)z z dz z z =-⎰．７．计算积分241x dx x +∞-∞+⎰．（８分） ８．求下列幂级数的收敛半径．（６分）(1) 11n n nz∞-=∑； (2) 1(1)!n n n z n ∞=-∑． ９．讨论2()f z z =的可导性和解析性．（６分）三、证明题．１．设函数()f z 在区域D 内解析，()f z 为常数，证明()f z 必为常数．（５分） ２．试证明0az az b ++=的轨迹是一直线，其中a 为复常数，b 为实常数．（５分） 《复变函数》考试试题（十三）参考答案一、填空题．（每题２分）1. 1i e r θ-2. 0lim (,)x x o y y ou x y u →→=及0lim (,)x x o y y o v x y v →→= 3. 0 4. ∞ 5. 2 6. 24621(1)n n z z z z -+-+⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅ 7.椭圆8. 1(1)2-+ 9. )124π+- 10. 1- 二、计算题．１．计算下列各题．（９分）解: (1) 11cos ()2i e e -=+ (2) ln(23)ln 23arg(23)i i i i -+=-++-+13ln13(arctan )22i π=+- (3) 3(3)ln3(3)(ln32)3ln32(6ln3)3i i i i k k i k e e e πππ---+⋅++-===227[cos(ln 3)sin(ln 3)]k ei π=- 2. 解: 233802k i z z e ππ++=⇒=== (0,1,2)k =故380z +=共有三个根: 01z =, 12z =-, 21z =3. 解: 222,2x y u x y xy u x y u y x =-+⇒=+=-+2222220u u u x y∂∂⇒+=-=⇒∂∂是调和函数. (,)(,)(0,0)(0,0)(,)()(2)(2)x y x y y x v x y u dx u dy c y x dx x y dy c =-++=-+++⎰⎰ 00()(2)x yx dx x y dy c =-+++⎰⎰22222x y xy c =-+++ 22221()()(2)222x y f z u iv x y xy i xy ⇒=+=-++-+++ 211(2)22i z i =-+ 4. 解 (1)12222015()()()66c x iy dz x ix d x ix i +=++=-+⎰⎰ (2) 11122000[()]()[(1)]ix y ix dz i y dy x ix dx +-+=-+-+⎰⎰⎰ 11(3)2326i i i =-+-=-+ 5. 解: 01z <<时01111()()(1)(2)2122n n n o n z f z z z z z z ∞∞====-=-+----∑∑ 101(1)n n n z z ∞+==-∑ 12z <<时11111()1(1)(2)212(1)(1)2f z z z z z z z z-==-=------- 0121n n n o n z n z+∞+∞===--+∑∑ 6. 解: (1) 22522[Re (,)]4(1)c z z dz i s f i z z ππ==-=-∞=--⎰(2) 224sin 2[Re (,)]0(1)z z dz i s fz z π==-∞=-⎰ 7.解: 设24()1z f z z =+ 1(1)2z i =+和21)2z i =-+为上半平面内的两个一级极点,且121Re [(),]z z s f z z →==222Re [(),]lim 2z z s f z z →==24212x dx i x ππ+∞-∞=+=+⎰ 8. (1) 1R = (2) R =∞9. 解: 设z x iy =+,则222()f z z x y ==+ 2,2,0x y x y u x u y v v ==== 当且仅当0x y ==时,满足C R -条件,故()f z 仅在0z =可导,在z 平面内处处不解析.三、1. 证明: 设f u iv =+,因为()f z 为常数,不妨设22u v C += (C 为常数)则0x y u u v v ⋅+⋅= 0y y u u v v ⋅+⋅=由于()f z 在D 内解析,从而有x y u v =, y x u v =-将此代入上述两式可得0x y x y u u v v ====于是12,u C v C ≡≡ 因此()f z 在D 内为常数.2. 解: 设z x iy =+, a A Bi =+ （A ，B 为实常数） 则()()()()az A Bi x iy Ax By i Ay Bx =-+=++- 0az az b az az b ++=++=⇔2()0Ax By b ++= 故0az az b ++=的轨迹是直线22)0Ax By b ++=。
复变函数考试题和答案****一、选择题（每题5分，共30分）1. 复数 \( z = a + bi \) 的共轭复数为（）。
A. \( a - bi \)B. \( a + bi \)C. \( -a + bi \)D. \( -a - bi \)**答案：A**2. 复数 \( z = a + bi \) 的模长为（）。
A. \( \sqrt{a^2 + b^2} \)B. \( \sqrt{a^2 - b^2} \)C. \( \sqrt{a^2 + b} \)D. \( \sqrt{a + b^2} \)**答案：A**3. 函数 \( f(z) = \frac{1}{z} \) 在 \( z = 0 \) 处的性质是（）。
A. 可导B. 连续C. 可微D. 奇点**答案：D**4. 函数 \( f(z) = z^2 \) 在复平面上是（）。
A. 单叶函数B. 多叶函数C. 常数函数D. 线性函数**答案：A**5. 函数 \( f(z) = \sin(z) \) 是（）。
A. 整函数B. 亚纯函数C. 非解析函数D. 多项式函数**答案：A**6. 函数 \( f(z) = e^z \) 在复平面上是（）。
A. 整函数B. 亚纯函数C. 非解析函数D. 多项式函数**答案：A**二、填空题（每题5分，共20分）1. 复数 \( z = 3 + 4i \) 的共轭复数是 \( \_\_\_\_\_\_\_ \)。
**答案：3 - 4i**2. 复数 \( z = 1 + i \) 的模长是 \( \_\_\_\_\_\_\_ \)。
**答案：\( \sqrt{2} \)**3. 函数 \( f(z) = z^3 \) 在 \( z = 1 \) 处的导数是 \( \_\_\_\_\_\_\_ \)。
**答案：3**4. 函数 \( f(z) = \frac{1}{z-1} \) 的奇点是 \( \_\_\_\_\_\_\_ \)。
复变函数考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，则以下关系式中正确的是（）。
A. u_x = v_yB. u_y = -v_xC. u_x = -v_yD. u_y = v_x答案：B2. 复变函数中，柯西-黎曼方程成立的条件是（）。
A. u和v都是调和函数B. u和v都是解析函数C. u和v都是连续函数D. u和v都是可微函数答案：D3. 以下哪个函数是解析函数？（）A. f(z) = |z|B. f(z) = z^2C. f(z) = z^3D. f(z) = z^4答案：B4. 函数f(z)=e^z的实部和虚部分别是（）。
A. u(x,y)=e^x*cos(y), v(x,y)=e^x*sin(y)B. u(x,y)=e^x*sin(y), v(x,y)=e^x*cos(y)C. u(x,y)=e^x*cos(y), v(x,y)=e^x*sin(y)D. u(x,y)=e^x*sin(y), v(x,y)=e^x*cos(y)答案：C5. 以下哪个函数是多值函数？（）A. f(z) = log(z)B. f(z) = sin(z)C. f(z) = cos(z)D. f(z) = z^2答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 若f(z)=z^2，则f'(z)=________。
答案：2z2. 函数f(z)=z+1/z的极点是________。
答案：z=03. 函数f(z)=1/z的留数在z=0处为________。
答案：14. 函数f(z)=z^3的导数是________。
答案：3z^25. 函数f(z)=e^z的导数是________。
答案：e^z三、解答题（每题10分，共30分）1. 证明函数f(z)=z^2是解析函数，并求其导数。
答案：函数f(z)=z^2是解析函数，因为其满足柯西-黎曼方程。
设z=x+iy，则f(z)=(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy。
复变函数期末试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是复变函数的定义？A. 函数表达式包含复数部分和常数部分。
B. 函数的定义域为复数集合。
C. 函数表达式只包含实数。
D. 复变函数可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
答案：C2. 设函数 f(z) = z^2 - 2z。
那么 f(z) 在 z = 1 处的导数是多少？A. 0B. -1C. 2D. 4答案：B3. 设函数 f(z) = sin(z)。
则它的周期是多少？A. 2πB. πC. 2D. 1答案：A二、填空题1. 复数的共轭是指实数部分相等，虚数部分______的两个复数。
答案：相反2. 设 z = a + bi 是一个复数，其中 a 和 b 分别表示实部和虚部。
那么实部 a = ______，虚部 b = ______。
答案：a，b三、计算题1. 计算复数 z = 2 + 3i 和 w = -1 - 4i 的和 z + w。
解答：z + w = (2 + 3i) + (-1 - 4i)= 1 - i答案：1 - i2. 计算复数 z = 1 + 2i 和 w = 3 - i 的乘积 z × w。
解答：z × w = (1 + 2i)(3 - i)= 3 + 6i - i - 2i^2= 3 + 5i + 2= 5 + 5i答案：5 + 5i四、问答题1. 复数的解析函数具有什么特点？答：复数的解析函数具有以下特点：- 函数的实部和虚部都是解析函数。
- 函数的导数在定义域内处处存在。
- 函数满足柯西－黎曼方程。
2. 复数在数学和实际应用中有什么作用？答：复数在数学和实际应用中具有广泛的作用，包括但不限于以下几个方面：- 复数可以用于表示电路中的交流电信号。
- 复数可以用于解决数学方程中的平方根问题。
- 复数可以用于描述波的传播和干涉现象。
- 复数可以用于解析几何中的向量运算。
以上为复变函数期末试题及答案，希望能对您有所帮助。
复变函数期末练习题 一、填空题 1.0||10()n z z dzz z -==-⎰ .(n 为自然数)2. 22sin cos z z += _________. 3. 函数sin z 的周期为___________. 4. 设21()1f z z =+，则()f z 的孤立奇点有__________. 5. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________.6. 若函数()f z 在整个平面上处处解析，则称它是__________.7. 若lim n n z ξ→∞=，则12 (i)nn z z z n→∞+++= ______________.8. Re (,0)zn e s z= ________，其中n 为自然数.9.sin zz的孤立奇点为________ . 10. 若0z 是()f z 的极点，则0lim ()z z f z →= 。
11. 设z i =-，则||z = ，arg z = ，z = 。
12. 设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz ________.13. 幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________ .14. 若0z 是()f z 的m 阶零点且0m >，则0z 是)('z f 的_____零点. 15. 函数ze 的周期为__________.16. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________. 17. 函数||)(z z f =的不解析点之集为________.18. 41Res(,1)z z -= 。
19. 设21()1f z z =+，则()f z 的定义域为___________.20. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __________.21. 设1ze =-，则z = .22. 设11z i=-，则Re z = ，Im z = . 23. 函数211)(z z f +=的幂级数展开式为___ _______。
复变函数与积分变换试题与答案一、填空题：（每题3分）1.i 31--的三角表达形式： ； 指数表达形式： ； 几何表达形式： . 2．=-i 2)3( ；3. 设Max =M {}C z z f ∈|)(|,L 为曲线C 的长度，则≤⎰z z f C d )( . 4．级数21n z z z +++++的和函数的解析域是 。
5. 分式线性函数、指数函数、幂函数的映照特点各是 二、解答题（每题8分）1．设22()i f z xy x y =+，则()f z 在何处可导？何处解析？2．已知f （z ）的虚部为222121),(y x y x v +-=，求解析函数0)0()(=+=f iv u z f 且.3.求积分 ,C I zdz =⎰ C 为沿单位圆(||1)z =的逆时针一周的曲线。
4.求sin d (1)Czz z z -⎰，其中C 为||2z =。
5.求e d cos zCz z⎰，其中C 为||2z =。
6．把函数)2)(1(12-+z z 在2||1<<z 内展开成罗朗级数。
7．指出 6sin )(z zz z f -= 在有限复平面上的孤立奇点及类型，并求奇点处的留数。
8.求将单位圆 | z | < 1内保形映照到单位圆 | w | < 1内， 且满足0)21(=f ，2)21(arg π='f 的分式线性映照。
四、利用拉氏变换求解微分方程（6分）⎩⎨⎧='==+'+''-1)0()0(34y y e y y y t （提示：1[]1t L e s -=+）试题答案一、填空题：（每题3分） 1.i 31--的三角表达形式：222[cos(2)sin(2)]33k i k ππππ-++-+; 指数表达形式：2(2)32k i eππ-+ ；几何表达形式：|12,-=2(1(2)3Arg k ππ-=-+. 2．=-i 2)3(222ln3k ieππ--+；3. 设Max =M {}C z z f ∈|)(|,L 为曲线C 的长度，则()d Cf z z ML ≤⎰.4．级数21n z z z +++++的和函数的解析域是||1z <。
