江苏专用2018版高考数学专题复习专题8立体几何与空间向量第48练表面积与体积练习理

第4讲空间几何体及其表面积与体积考试要求 1.柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，A级要求；2.柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式，A级要求．知识梳理1．空间几何体的结构特征3(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( ) (3)圆柱的侧面展开图是矩形．( )(4)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( ) (5)已知球O 的半径为R ，其内接正方体的边长为a ，则R ＝32a .( ) 解析如图中的几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但不满足“每相邻两个侧面的公共边互相平行”，所以它不是棱柱，故(1)错；(2)有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体是棱锥，故(2)错．答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ 2．(必修2P55习题3改编)已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为________ cm.解析 S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π，∴r 2＝4，∴r ＝2(cm)． 答案 23．(2015·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析 设新的底面半径为r ，由题意得13πr 2·4＋πr 2·8＝13π×52×4＋π×22×8，解得r＝7. 答案74．(2016·全国Ⅱ卷改编)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．解析 设正方体的棱长为a ，则a 3＝8，解得a ＝2.设球的半径为R ，则2R ＝3a ，即R ＝ 3.所以球的表面积S ＝4πR 2＝12π. 答案 12π5．(2017·无锡期末)三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D －ABE 的体积为V 1，P －ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________.解析 设A 到平面PBC 距离为h ，则V 1＝V A －BDE ＝13S △BDE ·h ＝13·14S △PBC ·h ＝14V 2.所以V 1V 2＝14.答案 14考点一 空间几何体的结构特征 【例1】 给出下列四个命题： ①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱； ②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； ③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱． 其中不正确的命题为________(填序号)．解析 对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④正确． 答案 ①②③规律方法 解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可． 【训练1】 (1)给出以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题的个数是________．(2)一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面的可能图形为________(填正确答案的序号)．解析 (1)命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题②错，因这条腰必须是垂直于两底的腰；命题③对；命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行．(2)不论怎样去截这个球，都不可能出现④这种情况．而只要平面沿着正方体的一个对角面去截这个球，就会出现②这种情况，所以答案是①②③. 答案 (1)1 (2)①②③ 考点二 空间几何体的表面积【例2】 (1)(2017·苏州调研)若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为________． (2)(2015·全国Ⅱ卷改编)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为________． 解析 (1)依题意得，圆锥的侧面积等于π×1×12＋22＝5π.(2)三棱锥V O －ABC ＝V C －OAB ＝13S △OAB ×h ，其中h 为点C 到平面OAB 的距离，而底面△OAB 是直角三角形，顶点C 到底面OAB 的最大距离是球的半径，故V O －ABC ＝V C －OAB ＝13×12×R 3＝36，其中R为球O 的半径，所以R ＝6，所以球O 的表面积S ＝4πR 2＝144π. 答案 (1)5π (2)144π规律方法 (1)根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理． (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开成平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．【训练2】 (1)(2017·扬州模拟)正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球(正六棱柱的顶点都在此球面上)的表面积为________.(2)(2017·徐州检测)已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为________．解析 (1)依题意，该正六棱柱的外接球的球心应是上、下底面中心连线的中点，因此其半径等于42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝5，其表面积等于4π×25＝100π.(2)该圆柱的侧面积为2π×1×2＝4π，一个底面圆的面积是π，所以该圆柱的表面积为4π＋2π＝6π.答案 (1)100π (2)6π 考点三 空间几何体的体积【例3】 (1)(2017·南京调研)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长均为2，E 为棱CC 1的中点，则三棱锥A 1－B 1C 1E 的体积为________．(2)(2017·苏、锡、常、镇、宿迁五市调研)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是棱BB 1的中点，则四棱锥P －AA 1C 1C 的体积为________．解析 由题意得S △A 1B 1C 1＝12×2×3＝3，又因为E 为棱CC 1的中点，所以EC 1＝1，所以V 三棱锥A 1－B 1C 1E＝V 三棱锥E －A 1B 1C 1＝13EC 1·S △A 1B 1C 1＝33.(2)由正方体的性质可得点P 到平面AA 1C 1C 的距离等于点B 到平面AA 1C 1C 的距离，即12BD ＝22，故四棱锥P －AA 1C 1C 的体积为 13S 四边形AA 1C 1C ·22＝13×2×22＝13. 答案 (1)33 (2)13规律方法 (1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解，其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积．(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解．【训练3】 (1)(2017·盐城模拟)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2 cm ，E 为C 1D 1的中点，则三棱锥E －A 1BC 的体积为________ cm 3.(2)(2017·徐州、宿迁、连云港三市模拟)已知圆锥的母线长为10 cm ，侧面积为 60 π cm 2，则此圆锥的体积为______ cm 3.解析 (1)V 三棱锥E －A 1BC ＝V 三棱锥E －A 1D 1C ＝V 三棱锥A 1－D 1EC ＝13S △D 1EC ·A 1D 1＝13×12×1×2×2＝23.(2)设圆锥底面圆的半径为r ，母线为l ，则侧面积πrl ＝10πr ＝60π，解得r ＝6，则高h ＝l 2－r 2＝8，则此圆锥的体积为13πr 2h ＝13π×36×8＝96π.答案 (1)23(2)96π[思想方法]1．棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决． 2．旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状．3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．4．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径． [易错防范]1．台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行．2．对于简单的组合体的表面积，一定要注意其表面积是如何构成的，在计算时不要多算也不要少算．3．求几何体的体积问题，有时使用转换底面的方法使其高或底面易求，注意“等积转化”的思想方法.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．(2017·无锡模拟)若正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为________．解析 该正三棱锥的底面积为34×(2)2＝32，高为1－⎝⎛⎭⎪⎫632＝33，所以该正三棱锥的体积为13×32×33＝16.答案 162．(2017·宿迁模拟)用半径为2 cm 的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为________cm.解析 用半径为2 cm 的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，该圆锥的母线长为2，底面圆的周长为2π，所以底面圆的半径为1，则这个圆锥筒的高为22－12＝3(cm)． 答案33．如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为________．解析 三棱锥B 1－ABC 1的体积等于三棱锥A －B 1BC 1的体积，三棱锥A －B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.答案3124．(2017·盐城模拟)若一个圆锥的侧面展开图是面积为4π的半圆面，则该圆锥的体积为________．解析 由圆锥的侧面展开图是面积为4π的半圆面，得该半圆的半径是22，即为圆锥的母线长．半圆周长即为圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆半径为r ，则22π＝2πr ，解得r ＝2，所以圆锥的高是h ＝22－r 2＝6，体积是V ＝13πr 2h ＝263π.答案263π 5．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)已知△ABC 为等腰直角三角形，斜边BC 上的中线AD ＝2，将△ABC 沿AD 折成60°的二面角，连接BC ，则三棱锥C －ABD 的体积为________． 解析 由题意可得∠CDB ＝60°，DC ＝DB ，所以△DCB 是边长为2的等边三角形，且AD ⊥平面DCB ，所以三棱锥C －ABD 的体积为13S △BCD ·AD ＝13×12×2×2sin 60°×2＝233.答案2336．(2017·南京、盐城模拟)设一个正方体与底面边长为23，侧棱长为10的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为________．解析 由题意可得正四棱锥的高为2，体积为13×(23)2×2＝8，则正方体的体积为8，所以棱长为2. 答案 27．(2017·苏州调研)将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r 1，r 2，r 3，则r 1＋r 2＋r 3＝________.解析 由题意可得三个扇形的弧长分别为5π3，10π3，5π，分别等于三个圆锥底面圆的周长，则r 1＝56，r 2＝53，r 3＝52，所以r 1＋r 2＋r 3＝56＋53＋52＝5.答案 58．(2017·泰州模拟)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为BD 1的中点，三棱锥O －ABD 的体积为V 1，四棱锥O －ADD 1A 1的体积为V 2，则V 1V 2的值为________．解析 V 1＝12V 三棱锥D 1－ABD ＝12V 三棱锥B －ADD 1＝14V 四棱锥B －ADD 1A 1＝12V 四棱锥O －ADD 1A 1＝12V 2，则V 1V 2＝12. 答案 12二、解答题9．(2015·全国Ⅱ卷)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 解 (1)交线围成的正方形EHGF 如图：(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8.因为EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10.于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6.故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56，S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97(79也正确)．10．如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图2所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体D －ABC 的体积．(1)证明 在题图中，可得AC ＝BC ＝22， 从而AC 2＋BC 2＝AB 2，故AC ⊥BC ， 又平面ADC ⊥平面ABC ， 平面ADC ∩平面ABC ＝AC ，BC ⊂平面ABC ，∴BC ⊥平面ACD .(2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥B －ACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2，∴V B －ACD ＝13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423，由等体积性可知，几何体D －ABC 的体积为423.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．(2015·全国Ⅰ卷改编)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有________斛(保留整数)．解析 设圆锥底面半径为r ，因为米堆底部弧长为8尺，所以π2r ＝8，r ＝16π≈163(尺)，所以米堆的体积为V ＝13×14×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1632×5＝3209(立方尺)，又1斛米的体积约为1.62立方尺，所以该米堆有3209÷1.62≈22(斛)．答案 2212．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1，S 1，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2，S 2，若V 1V 2＝3π，则S 1S 2的值为________．解析 棱长为a 的正方体的体积V 1＝a 3，表面积S 1＝6a 2，底面半径和高均为r 的圆锥的体积V 2＝13πr 3，侧面积S 2＝2πr 2，则V 1V 2＝a 313πr3＝3π，则a ＝r ，所以S 1S 2＝6a 22πr 2＝32π. 答案32π13．(2017·南通调研)在体积为32的四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，AB ＝1，BC ＝2，BD ＝3，则CD 的长度为________．解析 四面体ABCD 的体积为13×12×2×3sin∠CBD ×1＝sin ∠CBD ＝32，则∠CBD ＝60°或∠CBD ＝120°.当∠CBD ＝60°时，CD 2＝9＋4－2×3×2×12＝7，CD ＝7；当∠CBD ＝120°时，CD 2＝9＋4＋2×3×2×12＝19，CD ＝19，故CD 的长度为7或19.答案7或1914．一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm 和6 cm ，高是32 cm.(1)求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积和表面积．解 (1)设O 1，O 分别为正三棱台ABC －A 1B 1C 1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O 1O ＝32，过O 1作O 1D 1⊥B 1C 1，OD ⊥BC ，则D 1D 为三棱台的斜高；过D 1作D 1E ⊥AD 于E ， 则D 1E ＝O 1O ＝32，因O 1D 1＝36×3＝32，OD ＝36×6＝3， 则DE ＝OD －O 1D 1＝3－32＝32. 在Rt △D 1DE 中，D 1D ＝D 1E 2＋ED 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3(cm)． 故三棱台的斜高为 3 cm.(2)设c ，c ′分别为上、下底的周长，h ′为斜高，S 侧＝12(c ＋c ′)h ′＝12(3×3＋3×6)×3＝2732(cm 2)， S 表＝S 侧＋S 上＋S 下＝2732＋34×32＋34×62＝9934(cm 2)． 故三棱台的侧面积为2732 cm 2，表面积为9934cm 2.高考导航 立体几何是研究空间几何体的基础和必备内容，也是历年高考命题的热点．其中有两个考查热点：一是空间几何体的表面积、体积的求解，试题难度不大；二是空间平行与垂直关系的证明与探索性问题，难度中等．热点一 求解空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积和体积多以常见几何体或与球的接、切组合体考查，主要考查空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力．求解几何体的表面积时，要考虑全面；求解棱锥的体积时，等体积转化是常用的思想方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以便于求解．例1 (1)(2017·盐城模拟)如图，正四棱锥PABCD 的底面一边AB 长为2 3 cm ，侧面积为8 3 cm 2，则它的体积为________cm 3.(2)(2017·苏、锡、常、镇四市调研)如图，正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ＝4，AA 1＝6.若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥AA 1EF 的体积是________．解析 (1)设正四棱锥PABCD 的侧面上的斜高为h ′，又底面一边AB 长为2 3 cm ，则侧面积为4×12×23h ′＝8 3 (cm 2)，解得h ′＝2(cm)，则它的高h ＝22－（3）2＝1，体积为13×(23)2×1＝4(cm 3)． (2)由正三棱柱的底面边长为4得点F 到平面A 1AE 的距离(等于点C 到平面A 1ABB 1的距离)为32×4＝23，则1A A EF V -三棱锥＝1F A AE V -三棱锥＝131S A AE ∆×23＝13×12×6×4×23＝8 3.答案 (1)4 (2)8 3探究提高 (1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和． (2)求体积时可以把空间几何体进行分解，把复杂的空间几何体的体积分解为一些简单几何体体积的和或差．求解时注意不要多算也不要少算．训练1 (1)(2017·扬州中学模拟)在正三棱锥PABC 中，M ，N 分别是PB ，PC 的中点，若截面AMN ⊥平面PBC ，则此棱锥中侧面积与底面积的比为________．第(1)题图 第(2)题图(2)如图，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥ADED 1的体积为________．解析 (1)取BC 的中点D ，连接AD ，PD ，且PD 与MN 的交点为E .因为AM ＝AN ，E 为MN 的中点，所以AE ⊥MN ，又截面AMN ⊥平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC ，则AE ⊥PD ，又E 点是PD 的中点，所以PA ＝AD .设正三棱锥PABC 的底面边长为a ，则侧棱长为32a ，斜高为22a ，则此棱锥中侧面积与底面积的比为3×12a ×22a 34a 2＝61.(2)1A DED V -＝1E ADD V -＝13×1S ADD ∆×CD ＝13×12×1＝16.答案 (1)6∶1 (2)16热点二 空间平行关系和垂直关系的证明(规范解答)直线与平面的位置关系是立体几何的核心内容，高考始终把直线与平面的平行、垂直关系作为考查的重点，以多面体为载体的线面位置关系的论证是历年必考内容，其中既有单独考查直线和平面的位置关系的试题，也有以简单几何体体积的计算为载体考查直线和平面的位置关系的试题．从内容上看，主要考查对定义、定理的理解及符号语言、图形语言、文字语言之间的相互转换；从能力上来看，主要考查考生的空间想象能力和逻辑思维能力． 例2 (满分12分)(2015·山东卷)如图，三棱台DEFABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．(1)求证：BD ∥平面FGH ；(2)若CF ⊥BC ，AB ⊥BC ，求证：平面BCD ⊥平面EGH .满分解答 (1)证明 法一 连接DG ，CD ，设CD ∩GF ＝M ，连接MH……………………………………………………………………………………1分在三棱台DEFABC 中，AB ＝2DE ，G 为AC 的中点，可得DF ∥GC ，DF ＝GC ，所以四边形DFCG 为平行四边形．则M为CD的中点，……………………………………………………………3分又H为BC的中点，所以HM∥BD，…………………………………………4分又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，所以BD∥平面FGH.…………………………………………………………6分法二在三棱台DEFABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形HBEF为平行四边形，可得BE∥HF.…………………………………………………………………3分在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GH∥AB.……………………………………………4分又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.……………………………5分因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.………………………………6分(2)证明连接HE，EG，因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB.………………………………………………………………7分由AB⊥BC，得GH⊥BC.又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CF∥HE. ……………………9分又CF⊥BC，所以HE⊥BC. ………………………………………………10分又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH. ………………………………………………………11分又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH. …………………………12分❶(法一)作辅助线得1分，证明四边形DFCG为平行四边形得2分，再得到HM∥BD得1分，最后根据线面平行的判定定理得结论得2分．❷(法二)证明四边形HBEF为平行四边形且BE∥HF得3分，再证明GH∥AB得1分，再推出平面FGH∥平面ABED得1分，最后得出BD∥平面FGH得1分．❸第(2)问中得到GF∥AB得1分，证明四边形EFCH是平行四边形且CH∥HE得2分，再得到BC⊥HE得1分，再得到BC⊥平面EGH得1分，最后证得结论得1分．❹第(1)问法一中若漏写“HM⊂平面FGH”，“BD⊄平面FGH”各扣1分；在第(2)问最后漏写“BC⊂平面BCD ”扣1分．证明线面平行问题(一)第一步：找(作)出所证线面平行中的平面内的一条直线． 第二步：证明线线平行．第三步：根据线面平行的判定定理证明线面平行． 第四步：反思回顾．检查关键点及答题规范． 证明线面平行问题(二)第一步：在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面．第二步：利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行； 第三步：证明所作平面与所证平面平行． 第四步：转化为线面平行． 第五步：反思回顾，检查答题规范． 证明面面垂直问题第一步：根据已知条件确定一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的一条直线． 第二步：结合已知条件证明确定的这条直线垂直于另一平面内的两条相交直线． 第三步：得出确定的这条直线垂直于另一平面． 第四步：转化为面面垂直． 第五步：反思回顾，检查答题规范．训练2 (2016·苏北四市调研)如图，在几何体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，DE ⊥平面ABCD .(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)若AF ∥DE ，DE ＝3AF ，点M 在线段BD 上，且BM ＝13BD ，求证：AM ∥平面BEF .证明 (1)因为DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以DE ⊥AC ，因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ，又BD ∩DE ＝D ， 从而AC ⊥平面BDE .(2)延长EF ，DA 交于点G ，连接GB ，因为AF ∥DE ，DE ＝3AF ，所以GA GD ＝AF DE ＝13， 因为BM ＝13BD ，所以BM BD ＝13，所以BM BD ＝GA GD ＝13，所以AM ∥GB ，又AM ⊄平面BEF ，GB ⊂平面BEF ， 所以AM ∥平面BEF .热点三 平面图形折叠成空间几何体将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间图形，把这类问题称为平面图形的翻折问题．平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生了变化，有的没有发生变化，弄清它们是解决问题的关键．一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化．解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值，这是化解翻折问题难点的主要方法．例3 (2016·全国Ⅱ卷)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置．(1)证明：AC ⊥HD ′；(2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝54，OD ′＝22，求五棱锥D ′ABCFE 的体积．(1)证明 由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD ， 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF CD，故AC ∥EF ， 由此得EF ⊥HD ，故EF ⊥HD ′， 所以AC ⊥HD ′.(2)解 由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4，所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3，于是OD ′2＋OH 2＝(22)2＋12＝9＝D ′H 2， 故OD ′⊥OH .由(1)知AC ⊥HD ′，又AC ⊥BD ，BD ∩HD ′＝H ，所以AC ⊥平面BHD ′，于是AC ⊥OD ′，又由OD ′⊥OH ，AC ∩OH ＝O ，所以OD ′⊥平面ABC . 又由EF AC ＝DH DO 得EF ＝92.五边形ABCFE 的面积S ＝12×6×8－12×92×3＝694.所以五棱锥D ′ABCFE 的体积V ＝13×694×22＝2322.探究提高 (1)①利用AC 与EF 平行，转化为证明EF 与HD ′垂直；②求五棱锥的体积需先求棱锥的高及底面的面积，结合图形特征可以发现OD ′是棱锥的高，而底面的面积可以利用菱形ABCD 与△DEF 面积的差求解，这样就将问题转化为证明OD ′与底面垂直以及求△DEF 的面积问题了．(2)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．训练3 (2017·徐州、连云港调研)如图1所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2所示．(1)求证：A 1F ⊥BE ；(2)线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由． (1)证明 由已知，得AC ⊥BC ，且DE ∥BC . 所以DE ⊥AC ，则DE ⊥DC ，DE ⊥DA 1， 又因为DC ∩DA 1＝D ， 所以DE ⊥平面A 1DC . 由于A 1F ⊂平面A 1DC ， 所以DE ⊥A 1F .又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE.(2)解线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图所示，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(1)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰△DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP，又DE∩DP＝D，所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.热点四线、面位置关系中的开放存在性问题是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题，是近几年高考命题的热点，常以解答题中最后一问的形式出现，一般有三种类型：(1)条件追溯型．(2)存在探索型．(3)方法类比探索型．例4 (2017·郑州质检)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且E，F分别为PC，BD的中点．(1)求证：EF∥平面PAD；(2)在线段CD上是否存在一点G，使得平面EFG⊥平面PDC？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．(1)证明如图所示，连接AC，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，且点F 为对角线BD的中点．所以对角线AC经过点F，又在△PAC中，点E为PC的中点，所以EF为△PAC的中位线，所以EF∥PA，又PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.(2)解存在满足要求的点G.在线段CD上存在一点G为CD的中点，使得平面EFG⊥平面PDC，因为底面ABCD是边长为a的正方形，所以CD⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，侧面PAD∩平面ABCD＝AD，所以CD⊥平面PAD.又EF∥平面PAD，所以CD⊥EF.取CD中点G，连接FG、EG.因为F为BD中点，所以FG∥AD.又CD⊥AD，所以FG⊥CD，又FG∩EF＝F，所以CD⊥平面EFG，又CD⊂平面PDC，所以平面EFG⊥平面PDC.探究提高(1)在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本．(2)第(2)问是探索开放性问题，采用了先猜后证，即先观察与尝试给出条件再加以证明，对于命题结论的探索，常从条件出发，探索出要求的结论是什么，对于探索结论是否存在，求解时常假设结论存在，再寻找与条件相容或者矛盾的结论．训练4 (2017·南京师大附中检测)如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE∶EC；若不存在，试说明理由．(1)证明连接BD，设AC交BD于点O，连接SO，由题意得四棱锥SABCD是正四棱锥，所以SO⊥AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，又SO∩BD＝O，所以AC⊥平面SBD，因为SD⊂平面SBD，所以AC⊥SD.(2)解在棱SC上存在一点E，使得BE∥平面PAC.连接OP.设正方形ABCD的边长为a，则SC＝SD＝2a.由SD⊥平面PAC得SD⊥PC，易求得PD＝2a 4.故可在SP上取一点N，使得PN＝PD.过点N作PC的平行线与SC交于点E，连接BE，BN，在△BDN中，易得BN∥PO，又因为NE∥PC，NE⊂平面BNE，BN⊂平面BNE，BN∩NE＝N，PO⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，PO∩PC＝P，所以平面BEN∥平面PAC，所以BE∥平面PAC.因为SN∶NP＝2∶1，所以SE∶EC＝2∶1.(建议用时：70分钟)一、填空题1．(2017·南通、扬州、泰州三市调研)已知正三棱柱的各条棱长均为a，圆柱的底面直径和高均为b.若它们的体积相等，则a3∶b3的值为________．解析 由题意可得34a 3＝14πb 3，则a 3b 3＝3π3. 答案 3π3 2．(2017·苏北四市调研)已知矩形ABCD 的边AB ＝4，BC ＝3，若沿对角线AC 折叠，使平面DAC ⊥平面BAC ，则三棱锥DABC 的体积为________．解析 在平面DAC 上过点D 作DE ⊥AC 于点E ，因为平面DAC ⊥平面BAC ，由面面垂直的性质定理可得DE ⊥平面BAC .又DE ＝125，所以三棱锥DABC 的体积为13×12×4×3×125＝245. 答案 245二、解答题3．(2017·盐城中学模拟)如图，在三棱锥PABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，PA ⊥PB ，M ，N 分别为AB ，PA 的中点．(1)求证：PB ∥平面MNC ；(2)若AC ＝BC ，求证：PA ⊥平面MNC .证明 (1)因为M ，N 分别为AB ，PA 的中点，所以MN ∥PB ，又因为MN ⊂平面MNC ，PB ⊄平面MNC ，所以PB ∥平面MNC .(2)因为PA ⊥PB .MN ∥PB ，所以PA ⊥MN .因为AC ＝BC ，AM ＝BM ，所以CM ⊥AB .因为平面PAB ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC ＝AB .所以CM ⊥平面PAB .因为PA ⊂平面PAB ，所以CM ⊥PA .又MN ∩CM ＝M ，所以PA ⊥平面MNC .4．(2017·南京模拟)如图，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，点D 为棱BC 上一点．(1)若AB ＝AC ，D 为棱BC 的中点，求证：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1；(2)若A 1B ∥平面ADC 1，求BDDC的值．(1)证明 因为AB ＝AC ，点D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC .因为ABCA 1B 1C 1是直三棱柱，所以BB 1⊥平面ABC .因为AD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AD .因为BC ∩BB 1＝B ，BC ⊂平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1，所以AD ⊥平面BCC 1B 1.因为AD ⊂平面ADC 1，所以平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1.(2)连接A 1C ，交AC 1于点O ，连接OD ，所以点O 为A 1C 的中点．因为A 1 B ∥平面ADC 1，A 1B ⊂平面A 1BC ，平面ADC 1∩平面A 1BC ＝OD ，所以A 1B ∥OD .因为点O 为A 1C 的中点，所以点D 为BC 的中点．所以BD DC＝1.5．(2017·苏、锡、常、镇、宿迁五市调研)如图，已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1的侧面ACC 1A 1是正方形，点O 是侧面ACC 1A 1的中心，∠ACB ＝π2，点M 是棱BC 的中点．(1)求证：OM ∥平面ABB 1A 1；(2)求证：平面ABC 1⊥平面A 1BC .证明 (1)在△A 1BC 中，因为点O 是A 1C 的中点，点M 是BC 的中点，所以OM ∥A 1B . 又OM ⊄平面ABB 1A 1，A 1B ⊂平面ABB 1A 1，所以OM ∥平面ABB 1A 1.(2)因为ABCA 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC ，所以CC 1⊥BC .又∠ACB ＝π2，即BC ⊥AC ，且CC 1，AC ⊂平面ACC 1A 1，CC 1∩AC ＝C ， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.。

１．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝２πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π（r＋r′）l２．空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体（棱柱和圆柱）S表面积＝S侧＋２S底V＝Sh锥体（棱锥和圆锥）S表面积＝S侧＋S底V＝错误!Sh台体（棱台和圆台）S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝错误!（S上＋S下＋错误!）h球S＝４πR２V＝错误!πR３[小题体验]１．一个球的表面积是１6π，那么这个球的体积为________．解析：设球的半径为R，因为表面积是１6π，所以４πR２＝１6π，解得R＝２．所以体积为错误!πR ３＝错误!.答案：错误!π２．（２0１8·南京高三年级学情调研）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为２7π cm３，则该圆柱的侧面积为________cm２.解析：设正方形的边长为a cm，则πa２·a＝２7π，得a＝３，所以侧面积２π×３×３＝１8π cm２.答案：１8π３．（２0１8·海安高三质量测试）已知正三棱锥的体积为３6错误!cm３，高为４cm，则底面边长为________cm.解析：设正三棱锥的底面边长为a cm，则其面积为S＝错误!a２，由题意知错误!×错误!a２×４＝３6错误!，解得a＝6错误!.答案：6错误!１．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错．２．易混侧面积与表面积的概念．[小题纠偏]１．圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为________，球的表面积与圆柱的侧面积之比为________．答案：２∶３１∶１２．已知正四棱柱的底面边长为３cm，侧面的对角线长为３错误!cm，则这个正四棱柱的侧面积是________cm２.解析：正四棱柱的高为错误!＝6 cm，所以侧面积是４×３×6＝7２cm２.答案：7２错误!错误![题组练透]１．棱长为２的正四面体的表面积是________．解析：每个面的面积为：错误!×２×２×错误!＝错误!.所以正四面体的表面积为４错误!.答案：４错误!２．一个六棱锥的体积为２错误!，其底面是边长为２的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．解析：由题意可知该六棱锥为正六棱锥，正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.由题意，得错误!×6×错误!×２２×h＝２错误!，所以h＝１，所以斜高h′＝错误!＝２，所以S侧＝6×错误!×２×２＝１２．答案：１２３．已知在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＝２AD＝２AB＝２，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周形成的几何体的表面积为________．解析：由题意得几何体如图所示，几何体是底面半径为１，高为２的圆柱挖去一个底面半径为１，高为１的圆锥后剩下的部分，所以几何体的表面积为一个圆柱底面与圆柱侧面、圆锥侧面之和，即π×１２＋２π×１×２＋π×１×错误!＝（５＋错误!）π.答案：（５＋错误!）π[谨记通法]几何体的表面积的求法（１）求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．（２）求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积．错误!错误![典例引领]１．（２0１8·苏州高三暑假测试）如图，正四棱锥P­ABCD的底面一边AB的长为２错误!cm，侧面积为8错误!cm２，则它的体积为________cm３.解析：记正四棱锥P­ABCD的底面中心为点O，棱AB的中点为H，连结PO，HO，PH，则PO⊥平面ABCD，因为正四棱锥的侧面积为8错误!cm２，所以8错误!＝４×错误!×２错误!×PH，解得PH＝２，在Rt△PHO中，HO＝错误!，所以PO＝１，所以V P­ABCD＝错误!·S正方形ABCD·PO＝４cm３.答案：４２．（２0１9·高邮模拟）如图，在正三棱柱ABC­A１B１C１中，已知AB＝AA１＝３，点P在棱CC１上，则三棱锥P­ABA１的体积为________．解析：因为S△ABA１＝错误!×３×３＝错误!，点P到平面ABA１的距离h为△ABC的高错误!，所以三棱锥P­ABA１的体积V＝错误!S△ABA１h＝错误!.答案：错误![由题悟法]有关几何体体积的类型及解题策略常见类型解题策略球的体积问题直接利用球的体积公式求解，在实际问题中要根据题意作出图形，构造直角三角形确定球的半径锥体、柱体的体积问题根据题设条件求出所给几何体的底面积和高，直接套用公式求解不规则几何体的体积问题常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解[即时应用]１．现有一个底面半径为３，母线长为５的圆锥状实心铁器，将其高温熔化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是________．解析：因为圆锥底面半径为３，母线长为５，所以圆锥的高为错误!＝４，其体积为错误!π×３２×４＝１２π.设铁球的半径为r，则错误!πr３＝１２π，解得r＝错误!，所以该铁球的半径是错误!.２．（２0１8·南通调研）如图，在正三棱柱ABC­A１B１C１中，若各棱长均为２，且M为A１C１的中点，则三棱锥M­AB１C的体积是________．解析：在正三棱柱ABC­A１B１C１中，AA１⊥平面A１B１C１，则AA１⊥B１M.因为B１M是正三角形的中线，所以B１M⊥A１C１.因为A１C１∩AA１＝A１，所以B１M⊥平面ACC１A１，则V M­AB１C ＝V B１­ACM＝错误!×错误!×AC×AA１×B１M＝错误!×错误!×２×２×错误!＝错误!.答案：错误!错误!错误![锁定考向]与球有关的切、接问题是每年高考的热点，也是难点，题型多为填空题．常见的命题角度有：（１）球与柱体的切、接问题；（２）球与锥体的切、接问题．[题点全练]角度一：球与柱体的切、接问题１．已知底面边长为１，侧棱长为错误!的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为________．解析：设该球的半径为R，根据正四棱柱的外接球的直径长为正四棱柱的体对角线长，可得（２R）２＝（错误!）２＋１２＋１２，解得R＝１，所以该球的体积V＝错误!πR３＝错误!.答案：错误!２．（２0１7·江苏高考）如图，在圆柱O１O２内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O１O２的体积为V１，球O的体积为V２，则错误!的值是________．解析：设球O的半径为R，因为球O与圆柱O１O２的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R、高为２R，所以错误!＝错误!＝错误!.角度二：球与锥体的切、接问题３．已知正三棱锥的高为１，底面边长为２错误!，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．解析：如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE，因为△ABC是正三角形，所以AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．因为AB＝２错误!，所以S△ABC＝３错误!，DE＝１，PE＝错误!.所以S表＝３×错误!×２错误!×错误!＋３错误!＝３错误!＋３错误!.因为PD＝１，所以三棱锥的体积V＝错误!×３错误!×１＝错误!.设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，则r＝错误!＝错误!—１．答案：错误!—１４．（２0１7·全国卷Ⅰ）已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S­ABC的体积为9，则球O的表面积为________．解析：如图，连接AO，OB，因为SC为球O的直径，所以点O为SC的中点，因为SA＝AC，SB＝BC，所以AO⊥SC，BO⊥SC，因为平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，所以AO⊥平面SCB，设球O的半径为R，则OA＝OB＝R，SC＝２R.所以V S­ABC＝V A­SBC＝错误!×S△SBC×AO＝错误!×错误!×AO，即9＝错误!×错误!×R，解得R＝３，所以球O的表面积为S＝４πR２＝４π×３２＝３6π.答案：３6π[通法在握]“切”“接”问题处理的注意事项（１）“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．（２）“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．[演练冲关]１．（２0１8·太湖高级中学检测）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为１，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为________．解析：由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r＝１，其高h＝１，所以球半径为R＝错误!＝错误!＝错误!，所以该球的体积V＝错误!πR３＝错误!×错误!３π＝错误!.答案：错误!２．三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝错误!，AC＝6，PC⊥平面ABC，PC＝２，则该三棱锥的外接球表面积为________．解析：由题可知，△ABC中AC边上的高为错误!＝错误!，球心O在底面ABC的投影即为△ABC的外心D，设DA＝DB＝DC＝x，所以x２＝３２＋（错误!—x）２，解得x＝错误!错误!，所以R２＝x２＋错误!２＝错误!＋１＝错误!（其中R为三棱锥外接球的半径），所以外接球的表面积S＝４πR２＝错误!π.答案：错误!π３．（２0１9·南京四校联考）已知在三棱锥S ABC中，△SAB，△SBC，△SAC都是以S为直角顶点的等腰三角形，且AB＝BC＝CA＝错误!，则三棱锥S—ABC的内切球的半径为________．解析：由题意知，SA＝SB＝SC.设SA＝SB＝SC＝a，则错误!a＝错误!，a＝１．设三棱锥S—ABC 的内切球的半径为r，则由等体积法可得，V S—ABC＝错误!×错误!＝V A—SBC＝错误!×错误!×１，解得r＝错误!，即三棱锥S—ABC的内切球的半径为错误!.答案：错误!一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１8·徐州高三年级期中考试）各棱长都为２的正四棱锥的体积为________．解析：由题意得，底面对角线长为２错误!，所以正四棱锥的高为错误!＝错误!，所以正四棱锥的体积V＝错误!Sh＝错误!×２２×错误!＝错误!.答案：错误!２．（２0１8·苏锡常镇调研）设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V１，S１，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V２，S２，若错误!＝错误!，则错误!的值为________．解析：法一：由题意知V１＝a３，S１＝6a２，V２＝错误!πr３，S２＝错误!πr２，由错误!＝错误!得错误!＝错误!，得a＝r，从而错误!＝错误!.法二：不妨设V１＝２7，V２＝9π，故V１＝a３＝２7，即a＝３，所以S１＝6a２＝５４．如图所示，又V２＝错误!h×πr２＝错误!πr３＝9π，即r＝３，所以l＝错误!r，即S２＝错误!l×２πr ＝错误!πr２＝9错误!π，所以错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!３．（２0１8·南京二模）如图，正三棱柱ABC­A１B１C１中，AB＝４，AA１＝6．若E，F分别是棱BB１，CC１上的点，则三棱锥A­A１EF的体积是________．解析：因为在正三棱柱ABC­A１B１C１中，AA１∥BB１，AA１⊂平面AA１C１C，BB１⊄平面AA１C１C，所以BB１∥平面AA１C１C，从而点E到平面AA１C１C的距离就是点B到平面AA １C１C的距离，作BH⊥AC，垂足为点H，由于△ABC是正三角形且边长为４，所以BH＝２错误!，从而三棱锥A­A１EF的体积V A­A１EF ＝V E­A１AF＝错误!S△A１AF·BH＝错误!×错误!×6×４×２错误!＝8错误!.答案：8错误!４．（２0１8·海安期中）如图，在棱长为２的正方体ABCD­A１B１C１D１中，O为底面ABCD的中心，则三棱锥O­A１BC１的体积为________．解析：连结AC，因为几何体是正方体，所以BO⊥平面A１OC１，BO是三棱锥B­A１OC１的高，则三棱锥O­A１BC１的体积为错误!×错误!×２错误!×２×错误!＝错误!.答案：错误!５．（２0１8·盐城模拟）若一圆锥的底面半径为１，其侧面积是底面积的３倍，则该圆锥的体积为________．解析：设圆锥的母线长为l，高为h，则π×１×l＝３π×１２，解得l＝３，则h＝错误!＝２错误!，故该圆锥的体积V＝错误!π×１２×２错误!＝错误!.答案：错误!6．（２0１8·苏锡常镇一调）如图，正方体ABCD­A １B１C１D１的棱长为１，P是棱BB１的中点，则四棱锥P­AA１C１C的体积为________．解析：四棱锥P­AA１C１C可看作：半个正方体割去三棱锥P­ABC和P­A１B１C１.所以V P­AA１C１C ＝错误!V ABCD­A１B１C１D１—V P­ABC—V P­A１B１C１＝错误!—错误!—错误!＝错误!.答案：错误!二保高考，全练题型做到高考达标１．（２0１9·扬州模拟）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的３倍，母线长为３，圆台的侧面积为8４π，则圆台较小底面的半径为________．解析：设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为３r.由S＝π（r＋３r）·３＝8４π，解得r＝7．答案：7２．（２0１8·常州期中）如图，一个实心六角螺帽毛坯（正六棱柱）的底边长为４，高为３，若在中间钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为________．解析：设孔的半径为r，∵此正六棱柱的底边长为４，高为３，在中间钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，∴２×πr２＝２πr×３，解得r＝３，∴孔的半径为３．答案：３３．（２0１8·常州期末）以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积的比值为________．解析：如图，由题意可得圆柱的侧面积为S１＝２πrh＝２πr２.圆锥的母线l＝错误!＝错误!r，故圆锥的侧面积为S２＝错误!×２πr×l＝错误!πr２，所以S２∶S１＝错误!∶２．答案：错误!４．（２0１8·苏北四市一模）将斜边长为４的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是________．解析：因为等腰直角三角形的斜边长为４，所以斜边上的高为２，故旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥的组合体，圆锥的底面半径为２，高为２，因此，几何体的体积为V＝２×错误!π×２２×２＝错误!.答案：错误!５．（２0１8·泰州中学高三学情调研）在正方体ABCD­A１B１C１D１中，P为AA１中点，Q为CC１的中点，AB＝２，则三棱锥B­P Q D的体积为________．解析：如图，连结P Q，则P Q∥AC，取P Q的中点G，连结BG，DG，可得BG⊥P Q，DG⊥P Q，又BG∩DG＝G，则P Q⊥平面BGD，在Rt△BPG中，由BP＝错误!，PG＝错误!，可得BG＝错误!，同理可得DG＝错误!，则△BDG边BD上的高为错误!＝１，所以S△BDG＝错误!×２错误!×１＝错误!，则V B­P Q D＝错误!×错误!×２错误!＝错误!.答案：错误!6．（２0１9·盐城检测）有一个用橡皮泥制作的半径为４的球，现要将该球所用的橡皮泥制作成一个圆柱和一个圆锥，使圆柱和圆锥有相同的底面半径和相等的高，若它们的高为8，则它们的底面半径为________．解析：由已知可得球的体积为V＝错误!π×４３＝错误!.设圆柱和圆锥的底面半径为r，则圆柱和圆锥的体积和为8πr２＋错误!πr２＝错误!，解得r＝２错误!.答案：２错误!7．（２0１8·启东调研）如图，Rt△ABC的外接圆⊙O的半径为５，CE垂直于⊙O所在的平面，BD∥CE，CE＝４，BD＝２，ED＝２错误!，若M为ED的中点，则V M­ACB＝________.解析：如图，过D作DH⊥CE于H，则BC＝DH，在Rt△EDH中，由ED＝２错误!，EH＝EC—DB＝２，得BC＝DH＝6，所以在Rt△ABC中，AB＝１0，BC＝6，所以AC＝8，即S△ABC＝２４，又因为CE垂直于⊙O所在的平面，BD∥CE，M为ED的中点，所以M到平面ABC的距离为３，所以V M­ACB＝错误!S△ABC×３＝２４．答案：２４8．（２0１8·连云港调研）已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为４，底面边长为２错误!，则该球的表面积为________．解析：如图，正四棱锥P­ABCD的外接球的球心O在它的高PO１上，设球的半径为R，因为底面边长为２错误!，所以AC＝４．在Rt△AOO１中，R２＝（４—R）２＋２２，所以R＝错误!，所以球的表面积S＝４πR２＝２５π.答案：２５π9．（２0１8·苏州期末）如图，在体积为V１的圆柱中挖去以圆柱上下底面为底面、共顶点的两个圆锥，剩余部分的体积为V２，则错误!＝________.解析：设圆锥与圆柱的底面面积为S，高为h，所以V１＝Sh，V２＝Sh—错误!Sh＝错误!Sh，则错误!＝错误!.答案：错误!１0．一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并向容器内注水，使水面恰好与铁球面相切．将球取出后，容器内的水深是多少？解：如图，作轴截面，设球未取出时，水面高PC＝h，球取出后，水面高PH＝x.根据题设条件可得AC＝错误!r，PC＝３r，则以AB为底面直径的圆锥容积为V圆锥＝错误!π×AC２×PC＝错误!π（错误!r）２×３r＝３πr３.V球＝错误!πr３.球取出后，水面下降到EF，水的体积为V水＝错误!π×EH２×PH＝错误!π（PH tan ３0°）２PH＝错误!πx３.又V水＝V圆锥—V球，则错误!πx３＝３πr３—错误!πr３，解得x＝错误!r.故球取出后，容器内水深为错误!r.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．已知直三棱柱ABC­A１B１C１的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝３，AC＝４，AB⊥AC，AA１＝１２，则球O的半径为________．解析：如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝错误!BC＝错误!错误!＝错误!，OM＝错误!AA１＝6，所以球O的半径R＝OA＝错误!＝错误!.答案：错误!２．三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC且PA＝２，△ABC是边长为错误!的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为________．解析：由题意得，此三棱锥外接球即为以△ABC为底面、以PA为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC 的外接圆半径r＝错误!×错误!×错误!＝１，外接球球心到△ABC的外接圆圆心的距离d＝１，所以外接球的半径R＝错误!＝错误!，所以三棱锥外接球的表面积S＝４πR２＝8π.答案：8π３．如图是一个以A １B１C１为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A１B１＝B１C１＝２，∠A１B１C１＝90°，AA１＝４，BB１＝３，CC１＝２，求：（１）该几何体的体积．（２）截面ABC的面积．解：（１）过C作平行于A１B１C１的截面A２B２C，交AA１，BB１分别于点A２，B２.由直三棱柱性质及∠A１B１C１＝90°可知B２C⊥平面ABB２A２，则该几何体的体积V ＝V A１B１C１­A２B２C ＋V C­ABB２A２＝错误!×２×２×２＋错误!×错误!×（１＋２）×２×２＝6．（２）在△ABC中，AB＝错误!＝错误!，BC＝错误!＝错误!，AC＝错误!＝２错误!.则S△ABC＝错误!×２错误!×错误!＝错误!.。

①一条直线和一个点可以确定一个平面；②三个平面两两相交得到三条交线，这三条交线最多只能交于一个点；③两个平面有无数个公共点，那么这两个平面一定重合；④三条两两相交但不交于同一点的直线在同一平面内．其中所有正确命题的序号是________．2．(2016·宿迁模拟)已知直线l、m、n及平面α，下列命题：①若l∥m，m∥n，则l∥n；②若l⊥α，n∥α，则l⊥n；③若l∥α，n∥α，则l∥n；④若l⊥m，m∥n，则l⊥n.其中所有正确命题的序号为________．3．(2016·蚌埠质检)已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是________．(填序号)①若l1⊥l2，l1⊥l3，则l2∥l3；②若l1⊥l2，l2∥l3，则l1⊥l3；③若l1∥l2，l2∥l3，则l1，l2，l3共面；④若l1，l2，l3共点，则l1，l2，l3共面．4．(2016·广元二诊)已知α、β、γ是三个不同平面，则下列命题正确的是________．(填序号)①α⊥β，β⊥γ⇒α∥γ；②α⊥β，β∥γ⇒α⊥γ；③α、β、γ共点⇒α、β、γ共线；④α⊥β，β⊥γ，γ⊥α⇒α、β、γ共线．5．(2016·江门模拟)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 1，BC 1的中点．下列结论中，正确的是________．(填序号)①EF ⊥BB 1； ②EF ∥平面ACC 1A 1； ③EF ⊥BD ； ④EF ⊥平面BCC 1B 1.6．(2016·青岛平度三校上学期期末)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝12，则下列结论中正确的是________．(填序号)①AC ⊥BE ；②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A －BEF 的体积为定值；④△AEF 的面积与△BEF 的面积相等． 7．(2016·南京模拟)给出下列命题：①若线段AB 在平面α内，则直线AB 上的点都在平面α内； ②若直线a 在平面α外，则直线a 与平面α没有公共点；③两个平面平行的充分条件是其中一个平面内有无数条直线平行于另一个平面； ④设a ，b ，c 是三条不同的直线，若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c . 其中假命题的序号是________． 8．(2016·潍坊调研)有下列命题：①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α； ②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若直线a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；④若直线a ∥b ，b ∥α，则a 平行于平面α内的无数条直线． 其中真命题的个数是________．9．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是________．10．(2016·安徽江南十校大联考)如图，在三棱锥A －BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成角的余弦值是________．11．设a ，b ，c 是空间中的三条直线，给出以下几个命题： ①设a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；②若a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则a ，c 也是异面直线； ③若a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交． 其中真命题的个数是________．12．(2016·金华十校联考)平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是m 1和n 1，给出下列四个命题：①m 1⊥n 1⇒m ⊥n ；②m ⊥n ⇒m 1⊥n 1；③m 1与n 1相交⇒m 与n 相交或重合；④m 1与n 1平行⇒m 与n 平行或重合．其中不正确的命题个数是________．13．(2016·上饶一模)如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都等于2，D 在AC 1上，F 为BB 1的中点，且FD ⊥AC 1，有下述结论：①AC 1⊥BC ； ②ADDC 1＝1； ③平面FAC 1⊥平面ACC 1A 1； ④三棱锥D －ACF 的体积为33.其中正确结论的个数为________．14．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是线段AB 、AD 、AA 1的中点，又P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x (0＜x ＜1)．设平面MEF ∩平面MPQ ＝l ，现有下列结论：①l∥平面ABCD；②l⊥AC；③直线l与平面BCC1B1不垂直；④当x变化时，l不是定直线．其中不成立的结论是________．(写出所有不成立结论的序号)答案精析1．②④ 2.①②④ 3.② 4.② 5．② 解析如图所示，取BB 1的中点M ，连结ME ，MF ，延长ME 交AA 1于P ， 延长MF 交CC 1于Q ，∵E ，F 分别是AB 1，BC 1的中点， ∴P 是AA 1的中点，Q 是CC 1的中点， 从而可得E 是MP 的中点，F 是MQ 的中点， ∴EF ∥PQ .又PQ ⊂平面ACC 1A 1，EF ⊄平面ACC 1A 1， ∴EF ∥平面ACC 1A 1.故②正确． 6．①②③解析 因为AC ⊥平面BDD 1B 1，BE ⊂平面BDD 1B 1， 所以AC ⊥BE ，故①正确；根据线面平行的判定定理，故②正确； 因为三棱锥的底面△BEF 的面积是定值， 且点A 到平面BDD 1B 1的距离是定值22， 所以其体积为定值，故③正确；很显然，点A 和点B 到EF 的距离不一定是相等的，故④错误． 7．②③④ 8．1解析 命题①直线l 可以在平面α内，不正确；命题②直线a 与平面α可以是相交关系，不正确；命题③直线a 可以在平面α内，不正确；命题④正确． 9．(0，2)解析 构造四面体ABCD ，使AB ＝a ，CD ＝2，AD ＝AC ＝BC ＝BD ＝1，取CD 的中点E ， 则AE ＝BE ＝22，∴22＋22＞a,0＜a ＜ 2. 10.78解析 连结ND ，取ND 的中点E ，连结ME ，则ME ∥AN ，异面直线AN ，CM 所成的角就是∠EMC .∵AN ＝22，∴ME ＝2＝EN ，MC ＝2 2. 又∵EN ⊥NC ，∴EC ＝EN 2＋NC 2＝3，∴cos ∠EMC ＝EM 2＋MC 2－EC 22EM ·MC ＝2＋8－32×2×22＝78.11．0解析 因为a ⊥b ，b ⊥c ，所以a 与c 可以相交，平行，异面，故①错． 因为a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 可能异面，相交，平行，故②错． 由a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 可以异面，相交，平行，故③错． 12．4 解析如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD 1，AB 1，B 1C ，A 1B 在底面A 1B 1C 1D 1上的射影分别是A 1D 1，A 1B 1，B 1C 1，A 1B 1.因为A 1D 1⊥A 1B 1，而AD 1不垂直于AB 1，故①不正确；因为AD 1⊥B 1C ，而A 1D 1∥B 1C 1，故②不正确；因为A 1D 1与A 1B 1相交，而AD 1与A 1B 异面，故③不正确；因为A 1D 1∥B 1C 1，而AD 1与B 1C 异面，故④不正确． 13．3 解析BC ⊥CC 1，但BC 不垂直于AC ，故BC 不垂直于平面ACC 1A 1， 又CC 1与AC 1相交，所以AC 1与BC 不垂直，故①错误； 连结AF ，C 1F ，可得AF ＝C 1F ＝ 5. 因为FD ⊥AC 1，所以可得D 为线段AC 1的中点，故②正确；取AC的中点为H，连结BH，DH，因为该三棱柱是正三棱柱，所以CC1⊥底面ABC，因为BH⊂底面ABC，所以CC1⊥BH，因为底面ABC为正三角形，可得BH⊥AC，又AC∩CC1＝C，所以BH⊥侧面ACC1A1.因为D和H分别为AC1，AC的中点，所以DH∥CC1∥BF，DH＝BF＝12CC1，可得四边形BFDH为平行四边形，所以FD∥BH，所以可得FD⊥平面ACC1A1，因为FD⊂平面FAC1，所以平面FAC1⊥平面ACC1A1，故③正确；VD－ACF ＝V F－ADC＝13·FD·S△ACD＝13×3×(12×1×2)＝33，故④正确．14．④解析连结BD，B1D1，∵A1P＝A1Q＝x，∴PQ∥B1D1∥BD∥EF，易证PQ∥平面MEF，又平面MEF∩平面MPQ＝l，∴PQ∥l，l∥EF，∴l∥平面ABCD，故①成立；又EF⊥AC，∴l⊥AC，故②成立；∵l∥EF∥BD，∴易知直线l与平面BCC1B1不垂直，故③成立；当x变化时，l是过点M且与直线EF平行的定直线，故④不成立．。

江苏专用高考数学大一轮复习第八章立体几何8.4空间几何体的表面积与体积教案含解析§8.4 空间几何体的表面积与体积考情考向分析 考查简单几何体的表面积与体积的计算，涉及空间几何体的结构特征，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，以填空题为主，中低档难度．1．侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱，直棱柱的侧面积公式是S 直棱柱侧＝ch ，底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱．柱体的体积公式是V 柱体＝Sh .2．如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，则该棱锥为正棱锥．正棱锥的侧面积公式是S 正棱锥侧＝12ch ′；锥体的体积公式为V 锥体＝13Sh .3．正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台，其侧面积公式是S正棱台侧＝12(c ＋c ′)·h ′；台体的体积公式是V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)． 4．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环；圆柱的侧面积公式是S 圆柱侧＝cl ＝2πrl ，圆锥的侧面积公式为S 圆锥侧＝12cl ＝πrl ，圆台的侧面积公式为S 圆台侧＝12(c ＋c ′)l＝π(r ＋r ′)l .5．若球的半径为R ，则球的体积V ＝43πR 3，球的表面积S ＝4πR 2.概念方法微思考1．如何求旋转体的表面积？提示 求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和．2．如何求不规则几何体的体积？提示 求不规则几何体的体积要注意分割与补形，将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则的几何体求解．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( √ ) (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( √ ) (3)锥体的体积等于底面积与高之积．( × )(4)已知球O 的半径为R ，其内接正方体的边长为a ，则R ＝32a .( √ ) (5)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS .( × ) 题组二 教材改编2．[P54T2]把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为________． 答案 4R解析 设圆柱的高为h ，则有πR 2h ＝3×43πR 3，∴h ＝4R .3．[P49T1]已知正三棱柱的底面边长为3cm ，侧面的对角线长为35cm ，则这个正三棱柱的侧面积是________cm 2. 答案 54解析 因为正三棱柱的高为(35)2－32＝6(cm)， 所以侧面积为3×3×6＝54(cm 2)．4．[P54T3]一个正六棱锥的底面边长为6cm ，高为53cm ，则它的体积为________cm 3. 答案 270解析 体积V ＝13Sh ＝13×6×12×6×6×32×53＝270(cm 3)．题组三 易错自纠5．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________． 答案 12π解析 由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线为23即为球的直径，所以球的表面积为4πR 2＝(2R )2π＝12π.6．已知某圆柱的侧面展开图是边长为2a ，a 的矩形，则该圆柱的体积为________． 答案a 32π或a 3π解析 设圆柱的母线长为l ，底面圆的半径为r ， 则当l ＝2a 时，2πr ＝a ，∴r ＝a2π，这时V 圆柱＝2a ·π⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2π2＝a32π；当l ＝a 时，2πr ＝2a ，∴r ＝aπ，这时V 圆柱＝a ·π⎝ ⎛⎭⎪⎫a π2＝a3π.综上，该圆柱的体积为a 32π或a 3π.题型一 求空间几何体的表面积1．(2018·全国Ⅰ改编)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为________． 答案 12π解析 设圆柱的轴截面的边长为x ， 则由x 2＝8，得x ＝22，∴S 圆柱表＝2S 底＋S 侧＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.2．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是4π，则其侧棱长为________． 答案233解析 依题意可以构造一个正方体，其体对角线就是该三棱锥外接球的直径． 设侧棱长为a ，外接球的半径为r . 由外接球的表面积为4π，得r ＝1， ∴3a ＝2r ＝2，∴a ＝233.3．正六棱台的上、下两底面的边长分别是1cm,2cm ，高是1cm ，则它的侧面积为_______cm 2. 答案972解析 正六棱台的侧面是6个全等的等腰梯形，上底长为1cm ，下底长为2cm ，高为正六棱台的斜高．又边长为1cm 的正六边形的中心到各边的距离是32cm ，边长为2cm 的正六边形的中心到各边的距离是3cm ，则梯形的高为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－322＝72(cm)，所以正六棱台的侧面积为6×12×(1＋2)×72＝972(cm 2)．思维升华求空间几何体表面积的注意点(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．题型二 求空间几何体的体积例1(1)(2018·宿迁模拟)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝AA 1＝3，点P 在棱CC 1上，则三棱锥P －ABA 1的体积为________．答案934解析 三棱锥P －ABA 1的体积等于三棱锥B －APA 1的体积，点B 到面APA 1的距离为332，△APA 1的面积为92，故三棱锥P －ABA 1的体积为934.(2)(2018·南京模拟)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3，∠ABC ＝90°，点D 为侧棱BB 1上的动点．当AD ＋DC 1最小时，三棱锥D －ABC 1的体积为________．答案 13解析 几何体展开图如图所示：△ABD ∽△ACC 1，∴BD CC 1＝AB AC， ∵AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3， ∴AC ＝3，CC 1＝3，∴BD ＝1，则1D ABC V －＝1A BC D V －＝13×12×1×2×1＝13.思维升华空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．跟踪训练1(1)(2018·江苏南京一中调研)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个正三角形组成，则该多面体的体积是________．答案26解析 由展开图，可知该多面体是正四棱锥，底面正方形的边长为1，侧棱长也为1，∴该正四棱锥的高h ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22，∴其体积V ＝13×12×22＝26. (2)如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为________．答案23解析 如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连结DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32， 取AD 的中点O ，连结GO ，易得GO ＝22， ∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，∴多面体的体积V ＝V 三棱锥E －ADG ＋V 三棱锥F －BCH ＋V 三棱柱AGD －BHC ＝2V 三棱锥E －ADG ＋V 三棱柱AGD －BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23.(3)如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 的中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为________．答案 1 解析 如题图， 因为△ABC 是正三角形， 且D 为BC 中点，则AD ⊥BC .又因为BB 1⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，故BB 1⊥AD ，且BB 1∩BC ＝B ，BB 1，BC ⊂平面BCC 1B 1， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1，所以AD 是三棱锥A －B 1DC 1的高． 所以11A B DC V 三棱锥－＝1311B DC S·AD ＝13×3×3＝1.题型三 表面积和体积的综合问题命题点1 侧面展开图的应用例2(1)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝5，AA 1＝3，M 为线段BB 1上的一动点，则当AM ＋MC 1最小时，△AMC 1的面积为________．答案3解析 将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1沿棱BB 1展开成平面图形，连结AC 1到AC 1与BB 1的交点即满足AM ＋MC 1最小，此时AC 1＝14，MC 1＝22，AM ＝2，∴cos∠AMC 1＝2＋8－142×2×22＝－12，∴sin∠AMC 1＝32，∴1AMC S ＝12×2×22×32＝ 3.(2)(2018·无锡期末)已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°且面积为3π的扇形，则该圆锥的体积等于________． 答案232π 解析 设圆锥侧面母线长为l ，底面半径为r ，∴⎩⎪⎨⎪⎧l ＝3r ，12×23π·l 2＝3π，∴⎩⎪⎨⎪⎧l ＝3，r ＝1，∴圆锥高h ＝32－12＝22， ∴V 圆锥＝13π×22＝232π.命题点2 和球有关的表面积、体积问题例3已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为________． 答案132解析 如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋62＝132.引申探究1．本例若将直三棱柱改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R ，内切球的半径为r . 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43， 从而V 外接球＝43πR 3＝43π×(23)3＝323π，V 内切球＝43πr 3＝43π×23＝32π3.2．本例若将直三棱柱改为“棱长为a 的正四面体”，则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为多少？解 正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4×34·a 2＝3a 2，其内切球半径r 为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa 26＝63π.思维升华 (1)侧面展开图体现的是一种转化思想．用于寻找两种情况下图形长度或角度间的关系．(2)球的有关问题，可作过球心的截面，以利于求球的半径．跟踪训练2(1)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝22，则三棱锥B －AEF 的体积为______．答案112解析 连结AC ，BD ，易知AC ⊥平面BDD 1B 1，则V 三棱锥B －AEF ＝V 三棱锥A －BEF ＝13×AC 2×S △BEF ＝13×AC 2×12×EF ×BB 1＝13×22×12×22×1＝112.(2)(2018·全国Ⅲ改编)设A ，B ，C ，D 是一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为________． 答案 18 3解析 由等边△ABC 的面积为93，可得34AB 2＝93， 所以AB ＝6，所以等边△ABC 的外接圆的半径为r ＝33AB ＝2 3. 设球的半径为R ，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为d ，则d ＝R 2－r 2＝16－12＝2. 所以三棱锥D －ABC 高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D －ABC 体积的最大值为13×93×6＝18 3.1．已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为23，则该直四棱柱的侧面积为________． 答案 16 2解析 由题意得，直四棱柱的侧棱长为(23)2－22＝22， 所以该直四棱柱的侧面积S ＝cl ＝4×2×22＝16 2.2.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3cm ，AD ＝2cm ，AA 1＝1cm ，则三棱锥B 1－ABD 1的体积为________cm 3.答案 1解析 三棱锥B 1－ABD 1的体积11B ABD V －三棱锥＝11D ABB V －三棱锥＝131ABB S ·A 1D 1＝13×12×3×1×2＝1.3．设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1，S 1，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2，S 2.若V 1V 2＝3π，则S 1S 2的值为________． 答案32π解析 由V 1V 2＝3a 3πr 3＝3π，得a ＝r ，S 1S 2＝6a 22πr2＝32π. 4．(2018·南京学情调研)已知圆柱M 的底面半径为2，高为6，圆锥N 的底面直径和母线长相等．若圆柱M 和圆锥N 的体积相等，则圆锥N 的高为________． 答案 6解析 设圆锥N 的底面半径为r ，则它的母线长为2r ，从而它的高为3r ，由圆柱M 与圆锥N 的体积相等，得4π×6＝13πr 2×3r ，解得r ＝23，因此圆锥N 的高h ＝3r ＝6.5．(2018·南通、扬州、泰州、淮安调研)已知圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为2π3的扇形，则这个圆锥的高为________． 答案 2 2解析 设圆锥的底面半径为r ，高为h ，因为圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为2π3的扇形，且扇形的弧长等于底面圆的周长，故有2πr ＝3×2π3，解得r ＝1，又圆锥的母线l ＝3，所以h ＝l 2－r 2＝9－1＝2 2.6．现有一个底面半径为3cm ，母线长为5cm 的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸造成一个实心铁球(不计损耗)，则该铁球的半径是________cm. 答案39解析 圆锥的高为4cm ，体积V 圆锥＝13π×32×4＝12π(cm 3)．设球的半径为r cm ，则43πr 3＝12π，即r 3＝9，所以r ＝39.7．《算术书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长l 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ＝136l 2h ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3，那么，近似公式V ≈25942l 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取________． 答案15750解析 V ＝13πr 2h ＝13π×⎝ ⎛⎭⎪⎫l 2π2h ＝112πl 2h ，由112π≈25942，得π≈15750.8．将半径为5的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，若这三个圆锥的底面半径依次为r 1，r 2，r 3，则r 1＋r 2＋r 3＝________. 答案 5解析 半径为5的圆的周长是10π，由题意知2πr 1＋2πr 2＋2πr 3＝10π，所以r 1＋r 2＋r 3＝5.9.如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝4，AA 1＝6.若E ，F 分别是棱BB 1，CC 1上的点，则三棱锥A －A 1EF 的体积是________．答案 8 3解析 过点C 作CD ⊥AB 于点D ，在正三角形ABC 中，AB ＝4， 则CD ＝23，因为CC 1∥平面A 1ABB 1，则点F 到平面A 1ABB 1的距离为23， 所以1A A EF V 三棱锥－＝1F AA E V 三棱锥－＝13×23×12×4×6＝8 3.10．(2018·苏州期末)一个长方体的三条棱长分别为3,8,9，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为________． 答案 3解析 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，该长方体上面钻孔后其表面积少了两个圆柱底面，多了一个圆柱侧面．由题意，得πr 2＋πr 2＝2πrh ，得r ＝h .经检验，只有r ＝3符合要求，此时在8×9的面上打孔．11.如图，在三棱锥A －BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD .(1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，点M 为AD 中点，求三棱锥A －MBC 的体积． (1)证明 ∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， ∴AB ⊥CD .∵CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，∴CD ⊥平面ABD .(2)解 ∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥BD . ∵AB ＝BD ＝1，∴S △ABD ＝12.∵点M 是AD 的中点，∴S △ABM ＝12S △ABD ＝14.由(1)知，CD ⊥平面ABD ， ∴三棱锥C －ABM 的高h ＝CD ＝1， 因此三棱锥A －MBC 的体积V A －MBC ＝V C －ABM ＝13S △ABM ·h ＝112.12.如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)求证：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P －ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．(1)证明 由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°， 得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD .又PD ∩AP ＝P ，PD ，AP ⊂平面PAD ， 所以AB ⊥平面PAD .又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD . (2)解 如图，在平面PAD 内作PE ⊥AD ，垂足为E .由(1)知，AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥AD ，AB ⊥PE ，AD ∩AB ＝A ，AD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以PE ⊥平面ABCD .设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x ， 由AB ∥CD ，AB ＝CD ，AB ⊥AD ， 得四边形ABCD 为矩形．故四棱锥P －ABCD 的体积V P －ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝83，故x ＝2.从而PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝PB ＝PC ＝22，可得四棱锥P －ABCD 的侧面积为12PA ·PD ＋12PA ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin60°＝6＋2 3.13．已知三棱锥O —ABC 的顶点A ，B ，C 都在半径为2的球面上，O 是球心，∠AOB ＝120°，当△AOC 与△BOC 的面积之和最大时，三棱锥O —ABC 的体积为________． 答案233解析 设球O 的半径为R ，因为S △AOC ＋S △BOC ＝12R 2(sin∠AOC ＋sin∠BOC )，所以当∠AOC ＝∠BOC ＝90°时，S △AOC ＋S △BOC 取得最大值，此时OA ⊥OC ， OB ⊥OC ，OB ∩OA ＝O ，OA ，OB ⊂平面AOB ，所以OC ⊥平面AOB ，所以V 三棱锥O —ABC ＝V 三棱锥C —OAB ＝13OC ·12OA ·OB sin∠AOB ＝16R 3sin∠AOB ＝233.14．有一根长为3πcm、底面半径为1cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕两圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁线的最短长度为________cm. 答案 5π解析 把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD (如图)，由题意知BC ＝3πcm，AB ＝4πcm，点A 与点C 分别是铁丝的起、止位置，故线段AC 的长度即为铁丝的最短长度．AC ＝AB 2＋BC 2＝5π(cm)．15．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝150°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为18，则球O 的表面积为________． 答案 144π解析 如图，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O －ABC 的体积最大．设球O 的半径为R ，此时V O －ABC ＝V C －AOB ＝13×12R 2×R ×sin150°＝112R 3＝18，故R ＝6，则球O 的表面积为S ＝4πR2＝4π×62＝144π.16.如图，△ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ，AB ＝4，EB ＝2 3.(1)求证：DE ⊥平面ACD ；(2)设AC ＝x ，V (x )表示三棱锥B －ACE 的体积，求函数V (x )的解析式及最大值．(1)证明 ∵四边形DCBE 为平行四边形， ∴CD ∥BE ，BC ∥DE .∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴DC ⊥BC ，DC ⊥AC .∵AB 是圆O 的直径，∴BC ⊥AC ，且DC ∩BC ＝C ，DC ，BC ⊂平面BCDE ，∴AC ⊥平面BCDE ，∴AC ⊥DE ， ∵AC ∩DC ＝C ，AC ，DC ⊂平面ACD ， ∴DE ⊥平面ACD .(2)解 由(1)可知BE ⊥AC ，BE ⊥BC ， 又BC ∩AC ＝C ，AC ，BC ⊂平面ABC ， ∴BE ⊥平面ABC ，在Rt△ABC 中，∵AC ＝x ，∴BC ＝16－x 2(0<x <4)， ∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12x ·16－x 2，∴V (x )＝V 三棱锥E －ABC ＝33x ·16－x 2(0<x <4)． ∵x 2(16－x 2)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋16－x 222＝64，当且仅当x 2＝16－x 2，即x ＝22时取等号，∴当x ＝22时，V (x )有最大值833.。