2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量第2讲空间几何体的表面积与体积试题理新人教版

8．2 空间几何体的表面积与体积1．柱体、锥体、台体的表面积(1)直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积S直棱柱侧＝____________，S正棱锥侧＝____________，S正棱台侧＝__________(其中C，C′为底面周长，h为高，h′为斜高)．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积S圆柱侧＝________，S圆锥侧＝________，S圆台侧＝________(其中r，r′为底面半径，l为母线长)．(3)柱或台的表面积等于________与__________的和，锥体的表面积等于________与__________的和．2．柱体、锥体、台体的体积(1)棱柱、棱锥、棱台的体积V棱柱＝__________，V棱锥＝__________，V棱台＝__________(其中S，S′为底面积，h为高)．(2)圆柱、圆锥、圆台的体积V圆柱＝__________，V圆锥＝__________，V圆台＝__________(其中r，r′为底面圆的半径，h为高)．3．球的表面积与体积(1)半径为R的球的表面积S球＝________．(2)半径为R的球的体积V球＝___________.自查自纠1．(1)Ch 12Ch′12()C＋C′h′(2)2πrlπrlπ(r＋r′)l(3)侧面积两个底面积侧面积一个底面积2．(1)Sh 13Sh13h()S＋SS′＋S′(2)πr2h 13πr2h13πh()r2＋rr′＋r′23．(1)4πR2(2)43πR3已知圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥体积为( )A.2π2B.2πC.3π3D.3π解：易知圆锥的底面直径为2，母线长为2，则该圆锥的高为22-12＝3，因此其体积是13π·12×3＝3π3.故选C.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体对角线的长是( )A．2 3 B．3 2 C．6 D. 6解：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则有ab＝2，ac＝3，bc＝6，解得a＝1，b＝2，c＝3，则长方体的体对角线的长l＝a2＋b2＋c2＝6.故选D.(2016·全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A．17πB．18πC．20πD．28π(解：由三视图作出该四棱柱的直观图如图所示，为等腰梯形．由三视图给出的数据容易求出(1＋2)×1＝32，所以四棱柱的体积为故填32.类型一 空间几何体的面积问题2016·全国卷Ⅲ)如图，网格纸上小正方，粗实线画出的是某多面体的三视图，36 5 B ．54＋1890D ．81解：由三视图可得该几何体是平行六面体，上下3的正方形，故面积都是9，前后两个侧面是平行四边形，一边长为3，该边上的高为B ．π＋3D.52π＋解：由三视图可知，该几何体是半个圆锥，且母解：如图，设球的一条半径与圆柱相应的母线的，圆柱侧面积S ＝2π×4sin ＝π4时，S 取最大值球的表面积与该圆柱的侧面积之差为【点拨】根据球的性质，内接圆柱上、下底面中心连线的中点为球心，且圆柱的上、下底面圆周均在球面上，球心和圆柱的上、下底面圆上的点的连线与母线的夹角相等，这些为我们建立圆柱的侧面积与上述夹角之间的函数关系提供了依据．·陕西)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )B ．4πC ．2解：该几何体为半圆柱，底面半径为1，高为π×12＋2×2＋12×2π×1×2＝类型三 空间多面体的体积问题如图，在多面体ABCDEF 中，已知边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，2，则该多面体的体积为( )B.33C.43如图，过A ，B 两点分别作AM ，BN 垂直于，N ，连接DM ，CN ，可证得DM 则多面体ABCDEF 分为三部分，即多面体的体积＋V E ­AMD ＋V F ­BNC .依题意知AEFB 为等腰梯形．△DME Rt △CNF ，所以EM ＝NF ＝，所以BN ＝32. ，则H 为BC 的中点，12 B．18 C．24解：由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥得到的．所以该几何体的体积为×3×4×3＝24.故选C.类型四空间旋转体的体积问题已知某几何体的三视图如图所示，其中，视图、侧(左)视图均是由三角形与半圆构成，＋12B.4π3＋16＋16D.2π3＋12由三视图可得该几何体的上部是一个三棱锥，下部是半球，根据三视图中的数据可得V＝12⎭⎪⎫12×1×1×1＝2π6＋16.故选C.【点拨】根据已知三视图想象出该几何体的直观图，然后分析该几何体的组成，再用对应的体积公式(2015·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )π B.23＋2π D.23＋2π解：由三视图容易看出，该几何体是由一个半圆B．2πC．3π解：由三视图可知，该几何体为半径为r＝表面积为底面圆面积加上半球面的面积，位置有关 位置有关 Q 位置都有关 Q 位置均无关，是定值＝V Q ­A ′EF ＝13×⎝ ⎛12×的体积与点E ，F .ABC ­A 1B 1C 1的底面边长为的中点，则三棱锥A ．32C ．1 解：在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，易知面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面·AD ＝13×12×2×．22斛 C ．36斛 D ．解：设圆锥底面半径为r ，因为米锥底部弧长为r ＝16≈16尺，所以米堆的体积为B.17C.16解：设正方体棱长为a ，则截去部分为三棱锥，其体积VA ­A 1B 1D 1＝13×12a 3＝16a 3，剩余部分的56a 3，所以截去部分体积与剩余部分体故选D .是球O 半径OP 上的两点，且解：由三视图作出该几何体的直观图如图所示，ABC 是等腰三角形．点D 为底边AC 的中点．3，BD ⊥AC ，BD ＝1，SD ⊥底面ABC ，SD ＝­ABC ＝13SD ·S △ABC ＝13×1×12×1×23＝33.故填．(2014·江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，，则V 1V 2的值是____________． 解：设两圆柱底面半径为r 1，r 2，两圆柱高为＝94，r 1r 2＝32，又两圆柱侧面积相等，所以2πr 2πr解：由题意可设直角梯形上底、下底和高为，它们分别为圆台的上、下底半径和高．如OA 于C ，则Rt △ABC ＝2x ，BC ＝O ′O ＝2＋（5x ）2＝3x .9.·上海)底面边长为其表面展开图是三角形P 1P 2P 3.如图，的边长及三棱锥的体积V .解：由正三棱锥P ­ABC 的性质及其表面展开图是，C 分别是△P 1P 2P 3三边的中点，且依三角形中位线定理可得易判断正三棱锥P ­ABC 为棱长为V ＝212×23＝223. ·全国卷Ⅱ)如图，长方体10，AA 1＝8，点E ，F 4.过点E ，F 的平面的面相交，交线围成一个正方形．，垂足为M ，则AM ＝A 1E 为正方形，所以EH ＝EF ＝2-EM 2＝6，AH ＝10，HB 因为长方体被平面α分成两个高为所以其体积的比值为97⎝ ⎛⎭⎪⎫79也正确.一个几何体的三视图如图所示，从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有( )4<V 3 B ．V 1<V 3<V 23<V 4D ．V 2<V 3<V 1解：由已知条件及三视图可知，该几何体从上到下依次是圆台，圆柱，正方体，棱台，则V 1＝4π)＝7π3，V 2＝π×12×2＝1×(4＋4×16＋16)＝283.综上可知，。

2 3 D－ABC的体积为_____. 12 a
答案 解析
取AC的中点O，连结DO，BO，△ADC，△ABC都是等腰直角三角形.
2 AC 因为DO＝BO＝ ＝ a，BD＝a，所以△BDO也是等腰直角三角形. 2 2 又因为DO⊥AC，DO⊥BO，AC∩BO＝O，
所以DO⊥平面ABC，即DO就是三棱锥D－ABC的高.
4.柱、锥、台和球的表面积和体积
名称 几何体 柱体 (棱柱和圆柱)
表面积
体积
S表面积＝S侧＋2S底
V＝___ Sh
1 Sh V＝____ 3
锥体
(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
台体 (棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝1 (S上＋S下 3 ＋
S上S下 )h
球
S＝____ 4πR2
4 3 V＝_____ 3 πR
3 跟踪训练3 一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是 cm. 2 (1)求三棱台的斜高； 解答
设 O1 、 O 分别为正三棱台 ABC—A1B1C1 的上、下底面 正三角形的中心，如图所示， 则O1O＝3 ，过O1作O1D1⊥B1C1，OD⊥BC，则D1D为 2 三棱台的斜高；过D1作D1E⊥AD于E，则D1E＝O1O＝3 ， 2 3 3 3 因为 O1D1＝ 6 ×3＝ 2 ，OD＝ 6 ×6＝ 3， 3 3 在Rt△D DE中， 则DE＝OD－O1D1＝ 3－ ＝ . 1 2 2 3 3 2 2 2 2 D1D＝ D1E ＋ED ＝ 2 ＋ ＝ 3(cm). 故三棱台的斜高为 3 cm . 2
所以圆柱的体积V＝πr2h＝π(6r－r3)， 令V′＝π(6－3r2)＝0，得r＝ 2 ，

2.已知棱长为a的正四面体，则此正四面体的表面积S1与其内切球的表 面积S2的比值为多少？ 解答
正四面体的表面积为 S1＝4·43·a2＝ 3a2，
其内切球半径 r 为正四面体高的14，即 r＝14·36a＝126a，
因此内切球表面积为
S2＝4πr2＝π6a2，则SS12＝
π3aa22＝6
π
3 .
思维升华
空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可 直接利用公式进行求解. (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、 分割法、补形法等方法进行求解. (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直 观图，然后根据条件求解.
4.《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米 2 000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，
π≈3)，则圆柱底面圆周长约为 答案 解析
A.1丈3尺
B.5丈4尺
C.9丈2尺
D.48丈6尺
设圆柱底面半径为r尺，高为h尺， 依题意，圆柱体积为V＝πr2h＝2 000×1.62≈3×r2×13.33， 所以r2≈81，即r≈9， 所以圆柱底面圆周长为2πr≈54,54尺＝5丈4尺，即圆柱底面圆周长约为 5丈4尺，故选B.
2 ＝99＋39＝138(cm2).
3.(2016·全国甲卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面
的表面积为 答案 解析
A.12π
32 B. 3 π
C.8π
D.4π
由题意可知正方体的棱长为 2，其体对角线 2 3即为球的直径，所以球 的表面积为 4πR2＝(2R)2π＝12π，故选 A.

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几何体的表面积与体积试题理新人教版基础巩固题组（建议用时：40分钟)一、选择题1。

(2015·全国Ⅰ卷）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1。

62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( ）A。

14斛 B.22斛C。

36斛D。

66斛解析设米堆的底面半径为r尺，则错误!r＝8，所以r＝错误!.所以米堆的体积为V＝错误!×错误!π·r2·5＝错误!·错误!错误!·5≈错误!(立方尺）.故堆放的米约有错误!÷1.62≈22(斛)。

答案B2。

某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A.2 B。

92C.错误!D。

3解析由三视图知,该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底＝错误!（1＋2)×2＝3.∴V ＝错误!x·3＝3，解得x＝3。

答案D3.（2017·合肥模拟）一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是（）A.1＋错误!B。