2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题8 立体几何与空间向量 第50练含解析

确定球心位置的三种方法决定球的几何要素是球心的位置和球的半径，在球与其他几何体的结合问题中，通过位置关系的分析，找出球心所在的位置是解题的关键，不妨称这个方法为球心位置分析法．方法一由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．(1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；(2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；(4)正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到；(5)若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A．16πB．20πC．24πD．32π【解析】已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，可求得底面边长为2，故球的直径为22＋22＋42＝26，则半径为6，故球的表面积为24π，故选C．【答案】 C方法二构造长方体或正方体确定球心(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；(3)若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；(4)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为()A．2B．6 2C．112D．52【解析】易知四面体A′EFD的三条侧棱A′E，A′F，A′D两两垂直，且A′E＝1，A′F＝1，A′D＝2，把四面体A′EFD补成从顶点A′出发的三条棱长分别为1，1，2的一个长方体，则长方体的外接球即为四面体A′EFD的外接球，球的半径为r＝1212＋12＋22＝62.故选B．【答案】 B方法三 由性质确定球心利用球心O 与截面圆圆心O ′的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．正三棱锥A -BCD 内接于球O ，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O 的表面积为________．【解析】 如图，M 为底面△BCD 的中心，易知AM ⊥MD ，DM ＝1，AM ＝ 3.在Rt △DOM 中，OD 2＝OM 2＋MD 2，即OD 2＝(3－OD )2＋1，解得OD ＝233，故球O 的表面积为4π×⎝⎛⎭⎫2332＝163π.【答案】163π。

⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5. 求证：(1)直线P A ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .2．(2016·福州质检)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是AA 1的中点，O 为底面正方形对角线B 1D 1与A 1C 1的交点． (1)求证：AC 1⊥平面B 1D 1C ；(2)过E 构造一条线段与平面B 1D 1C 垂直，并证明你的结论．3．(2016·张掖第二次诊断)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，且△ABC 为正三角形，AA 1＝AB ＝6，D 为AC 的中点． (1)求证：直线AB 1∥平面BC 1D ；(2)求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；(3)求三棱锥C－BC1D的体积．4．(2016·山东省实验中学质检)如图所示，ABC－A1B1C1是底面边长为2，高为3 2的正三棱柱，经过AB的截面与上底面相交于PQ，设C1P＝λC1A1(0＜λ＜1)．(1)证明：PQ∥A1B1；(2)是否存在λ，使得平面CPQ⊥截面APQB？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．答案精析1．证明 (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点， 所以DE ∥P A .又因为P A ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ， 所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8， 所以DE ∥P A ，DE ＝12P A ＝3， EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2， 所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF . 又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ， 所以DE ⊥平面ABC . 又DE ⊂平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面ABC .2．(1)证明 ∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1， B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴AA 1⊥B 1D 1，∵A 1C 1⊥B 1D 1，且AA 1∩A 1C 1＝A 1， AA 1⊂平面AA 1C 1，A 1C 1⊂平面AA 1C 1， ∴B 1D 1⊥平面AA 1C 1， ∵AC 1⊂平面AA 1C 1， ∴B 1D 1⊥AC 1.同理可得B 1C ⊥平面ABC 1，B 1C ⊥AC 1， ∵B 1D 1∩B 1C ＝B 1，B 1D 1⊂平面B 1D 1C ，B 1C ⊂平面B 1D 1C ， ∴AC 1⊥平面B 1D 1C .(2)解 连结EO ，则线段EO 与平面B 1D 1C 垂直． 证明如下：∵E 是AA 1的中点，O 是A 1C 1的中点， ∴EO ∥AC 1.∵AC 1⊥平面B 1D 1C ， ∴EO ⊥平面B 1D 1C .3．(1)证明 连结B 1C 交BC 1于点O ，连结OD ，如图，则点O 为B 1C 的中点． ∵D 为AC 的中点， ∴AB 1∥OD .∵OD ⊂平面BC 1D ，AB 1⊄平面BC 1D ， ∴直线AB 1∥平面BC 1D .(2)证明 ∵AA 1⊥底面ABC ，BD ⊂底面ABC ， ∴AA 1⊥BD .∵△ABC 是正三角形，D 是AC 的中点，∴BD ⊥AC . ∵AA 1∩AC ＝A ，AA 1⊂平面ACC 1A ， AC ⊂平面ACC 1A 1， ∴BD ⊥平面ACC 1A 1. ∵BD ⊂平面BC 1D ， ∴平面BC 1D ⊥平面ACC 1A 1.(3)解 由(2)知，在△ABC 中，BD ⊥AC ， BD ＝BC sin60°＝33， ∴S △BCD ＝12×3×33＝932，∴V 三棱锥C －BC 1D ＝V 三棱锥C 1－BCD ＝13×932×6＝9 3.4．(1)证明 由正三棱柱的性质可知，平面A 1B 1C 1∥平面ABC ，又因为平面APQB ∩平面A 1B 1C 1＝PQ ，平面APQB ∩平面ABC ＝AB ，所以PQ ∥AB . 又因为AB ∥A 1B 1，所以PQ ∥A 1B 1.(2)解 假设存在这样的λ满足题意，分别取AB 的中点D ，PQ 的中点E ，连结CE ，DE ，CD .由(1)及正三棱柱的性质可知△CPQ 为等腰三角形，APQB 为等腰梯形， 所以CE ⊥PQ ，DE ⊥PQ ，所以∠CED 为二面角A －PQ －C 的平面角． 连结C 1E 并延长交A 1B 1于点F ，连结DF . 因为C 1P C 1A 1＝C 1EC 1F ＝λ，C 1A 1＝2，C 1F ＝3，所以C 1E ＝3λ，EF ＝3(1－λ)． 在Rt △CC 1E 中可求得CE 2＝34＋3λ2，在Rt △DFE 中可求得DE 2＝34＋3(1－λ)2.若平面CPQ ⊥截面APQB ，则∠CED ＝90°，所以CE 2＋DE 2＝CD 2，代入数据整理得3λ2－3λ＋34＝0，解得λ＝12，即存在满足题意的λ，λ＝12.。

①一条直线和一个点可以确定一个平面；②三个平面两两相交得到三条交线，这三条交线最多只能交于一个点；③两个平面有无数个公共点，那么这两个平面一定重合；④三条两两相交但不交于同一点的直线在同一平面内．其中所有正确命题的序号是________．2．(2016·宿迁模拟)已知直线l、m、n及平面α，下列命题：①若l∥m，m∥n，则l∥n；②若l⊥α，n∥α，则l⊥n；③若l∥α，n∥α，则l∥n；④若l⊥m，m∥n，则l⊥n.其中所有正确命题的序号为________．3．(2016·蚌埠质检)已知l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是________．(填序号)①若l1⊥l2，l1⊥l3，则l2∥l3；②若l1⊥l2，l2∥l3，则l1⊥l3；③若l1∥l2，l2∥l3，则l1，l2，l3共面；④若l1，l2，l3共点，则l1，l2，l3共面．4．(2016·广元二诊)已知α、β、γ是三个不同平面，则下列命题正确的是________．(填序号)①α⊥β，β⊥γ⇒α∥γ；②α⊥β，β∥γ⇒α⊥γ；③α、β、γ共点⇒α、β、γ共线；④α⊥β，β⊥γ，γ⊥α⇒α、β、γ共线．5．(2016·江门模拟)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 1，BC 1的中点．下列结论中，正确的是________．(填序号)①EF ⊥BB 1； ②EF ∥平面ACC 1A 1； ③EF ⊥BD ； ④EF ⊥平面BCC 1B 1.6．(2016·青岛平度三校上学期期末)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝12，则下列结论中正确的是________．(填序号)①AC ⊥BE ；②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A －BEF 的体积为定值；④△AEF 的面积与△BEF 的面积相等． 7．(2016·南京模拟)给出下列命题：①若线段AB 在平面α内，则直线AB 上的点都在平面α内； ②若直线a 在平面α外，则直线a 与平面α没有公共点；③两个平面平行的充分条件是其中一个平面内有无数条直线平行于另一个平面； ④设a ，b ，c 是三条不同的直线，若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c . 其中假命题的序号是________． 8．(2016·潍坊调研)有下列命题：①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α； ②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若直线a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；④若直线a ∥b ，b ∥α，则a 平行于平面α内的无数条直线． 其中真命题的个数是________．9．设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是________．10．(2016·安徽江南十校大联考)如图，在三棱锥A －BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成角的余弦值是________．11．设a ，b ，c 是空间中的三条直线，给出以下几个命题： ①设a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；②若a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则a ，c 也是异面直线； ③若a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交． 其中真命题的个数是________．12．(2016·金华十校联考)平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是m 1和n 1，给出下列四个命题：①m 1⊥n 1⇒m ⊥n ；②m ⊥n ⇒m 1⊥n 1；③m 1与n 1相交⇒m 与n 相交或重合；④m 1与n 1平行⇒m 与n 平行或重合．其中不正确的命题个数是________．13．(2016·上饶一模)如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都等于2，D 在AC 1上，F 为BB 1的中点，且FD ⊥AC 1，有下述结论：①AC 1⊥BC ； ②ADDC 1＝1； ③平面FAC 1⊥平面ACC 1A 1； ④三棱锥D －ACF 的体积为33.其中正确结论的个数为________．14．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是线段AB 、AD 、AA 1的中点，又P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x (0＜x ＜1)．设平面MEF ∩平面MPQ ＝l ，现有下列结论：①l∥平面ABCD；②l⊥AC；③直线l与平面BCC1B1不垂直；④当x变化时，l不是定直线．其中不成立的结论是________．(写出所有不成立结论的序号)答案精析1．②④ 2.①②④ 3.② 4.② 5．② 解析如图所示，取BB 1的中点M ，连结ME ，MF ，延长ME 交AA 1于P ， 延长MF 交CC 1于Q ，∵E ，F 分别是AB 1，BC 1的中点， ∴P 是AA 1的中点，Q 是CC 1的中点， 从而可得E 是MP 的中点，F 是MQ 的中点， ∴EF ∥PQ .又PQ ⊂平面ACC 1A 1，EF ⊄平面ACC 1A 1， ∴EF ∥平面ACC 1A 1.故②正确． 6．①②③解析 因为AC ⊥平面BDD 1B 1，BE ⊂平面BDD 1B 1， 所以AC ⊥BE ，故①正确；根据线面平行的判定定理，故②正确； 因为三棱锥的底面△BEF 的面积是定值， 且点A 到平面BDD 1B 1的距离是定值22， 所以其体积为定值，故③正确；很显然，点A 和点B 到EF 的距离不一定是相等的，故④错误． 7．②③④ 8．1解析 命题①直线l 可以在平面α内，不正确；命题②直线a 与平面α可以是相交关系，不正确；命题③直线a 可以在平面α内，不正确；命题④正确． 9．(0，2)解析 构造四面体ABCD ，使AB ＝a ，CD ＝2，AD ＝AC ＝BC ＝BD ＝1，取CD 的中点E ， 则AE ＝BE ＝22，∴22＋22＞a,0＜a ＜ 2. 10.78解析 连结ND ，取ND 的中点E ，连结ME ，则ME ∥AN ，异面直线AN ，CM 所成的角就是∠EMC .∵AN ＝22，∴ME ＝2＝EN ，MC ＝2 2. 又∵EN ⊥NC ，∴EC ＝EN 2＋NC 2＝3，∴cos ∠EMC ＝EM 2＋MC 2－EC 22EM ·MC ＝2＋8－32×2×22＝78.11．0解析 因为a ⊥b ，b ⊥c ，所以a 与c 可以相交，平行，异面，故①错． 因为a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 可能异面，相交，平行，故②错． 由a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 可以异面，相交，平行，故③错． 12．4 解析如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD 1，AB 1，B 1C ，A 1B 在底面A 1B 1C 1D 1上的射影分别是A 1D 1，A 1B 1，B 1C 1，A 1B 1.因为A 1D 1⊥A 1B 1，而AD 1不垂直于AB 1，故①不正确；因为AD 1⊥B 1C ，而A 1D 1∥B 1C 1，故②不正确；因为A 1D 1与A 1B 1相交，而AD 1与A 1B 异面，故③不正确；因为A 1D 1∥B 1C 1，而AD 1与B 1C 异面，故④不正确． 13．3 解析BC ⊥CC 1，但BC 不垂直于AC ，故BC 不垂直于平面ACC 1A 1， 又CC 1与AC 1相交，所以AC 1与BC 不垂直，故①错误； 连结AF ，C 1F ，可得AF ＝C 1F ＝ 5. 因为FD ⊥AC 1，所以可得D 为线段AC 1的中点，故②正确；取AC的中点为H，连结BH，DH，因为该三棱柱是正三棱柱，所以CC1⊥底面ABC，因为BH⊂底面ABC，所以CC1⊥BH，因为底面ABC为正三角形，可得BH⊥AC，又AC∩CC1＝C，所以BH⊥侧面ACC1A1.因为D和H分别为AC1，AC的中点，所以DH∥CC1∥BF，DH＝BF＝12CC1，可得四边形BFDH为平行四边形，所以FD∥BH，所以可得FD⊥平面ACC1A1，因为FD⊂平面FAC1，所以平面FAC1⊥平面ACC1A1，故③正确；VD－ACF ＝V F－ADC＝13·FD·S△ACD＝13×3×(12×1×2)＝33，故④正确．14．④解析连结BD，B1D1，∵A1P＝A1Q＝x，∴PQ∥B1D1∥BD∥EF，易证PQ∥平面MEF，又平面MEF∩平面MPQ＝l，∴PQ∥l，l∥EF，∴l∥平面ABCD，故①成立；又EF⊥AC，∴l⊥AC，故②成立；∵l∥EF∥BD，∴易知直线l与平面BCC1B1不垂直，故③成立；当x变化时，l是过点M且与直线EF平行的定直线，故④不成立．。

设直线MN与平面PAB所成角为θ, DN =λ DC(λ∈[0,1]),




则 MN
= MA
+ AD
+ DN
=(λ+1,2λ-1,-1),
又平面PAB的一个法向量为n=(1,0,0),
| λ 1|

则sin θ=|cos< MN ,n>|=
( λ 1)2 (2 λ 1) 2 1
( λ 1) 2
=
,
2
5λ 2 λ 3
1
( λ 1)2
t2
5
令λ+1=t(t∈[1,2]),则 2
= 2
=
≤ ,
2
7
5 λ 2 λ 3 5t 12t 10 10 1 12 1 5
5
∴sin θ≤ 35 ,当t= ,即λ= 2 时,等号成立,
7
3

系有关的存在性问题;(2)与空间角有关的存在性问题.解决方案有两种:①
根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位置,然后
加以证明,得出结论;②假设所求的点或线存在,并设定参数表达已知条
件,根据题目进行求解,若能求出参数的值且符合已知限定的范围,则存在
这样的点或线,否则不存在.向量法是解决此类问题的常用方法,它可以将
(2)因为DE⊥平面ABCD,
所以∠EBD就是BE与平面ABCD所成的角,
即∠EBD=60°,所以 ED = 3 .
BD
由AD=3,四边形ABCD是正方形,得BD=3 2 ,
则DE=3 6 ,所以AF= 6 .
如图,分别以DA,DC,DE所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,