定积分的应用

目录1 引言 (1)2 文献综述 (1)2.1国外研究现状 (1)2.2国内研究现状 (2)2.3国内外研究现状评价 (2)2.4 提出问题 (2)3 预备知识 (3)3.1 定积分概念的提出 (3)3.2 定积分的定义 (4)3.3 定积分的近似计算 (5)3.4 胡克定律 (6)4 定积分的应用 (6)4.1定积分在平面几何的应用 (6)4.2定积分在立体几何中的应用 (7)4.3定积分在经济学中的应用 (8)4.4定积分在工程中的应用 (13)4.5定积分在物理学中的应用 (16)5 结论 (19)5.1 主要发现 (19)5.2 启示 (20)5.3 局限性 (20)5.4 努力方向 (20)参考文献 (21)1引言任何一个数学概念，都具有抽象性、精确性、应用广泛性．数学的生命力的源泉在于它的概念和结论尽管极为抽象，但它们是从现实中来的，并且在其他科学中，在技术中，在全部生活实践中都有广泛的应用.微积分学的创立被誉为“人类精神的最高胜利”，在数学史上，它的发展为现代数学做出了不朽的功绩.微积分的创立是数学发展史上的一个重要的转折，它不但成为高等数学的发展的基础，也成为众多相关科学发展的数学分析工具.凡是复杂图形的研究，化学反映过程的分析，物理方面的应用，以及弹道﹑气象的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等等，都要用得到微积分.正是由于微积分的广泛的应用，才使得我们人类在数学﹑科学技术﹑经济等方面得到了长足的发展，解决了许多的困难.定积分能精确解决求非均匀分布的总量这一类问题，它现在已广泛应用于自然科学、技术科学、社会科学、经济科学等领域.以下将讲述一下定积分在数学﹑经济﹑工程﹑物理方面的中的一些应用.2 文献综述2.1国外研究现状周述岐、C.H.爱德华在文献[1-2]中，具体介绍了微积分的发展历史，从微积分一些概念的萌芽到微积分的产生，再到对微积分基础的争论和研究，最后到19世纪微积分现在形势的确立．定积分是微积分的一个重要的部分，它不仅是计算区域面积或度量几何体的数学工具，而且是计算许多实际问题的重要工具.牛顿在1664年夏开始认真研究数学，首先是欧几里得的《几何原本》和笛卡尔的《几何学》．卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他影响最深，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路．1684年莱布尼茨发表了他的第一篇微分学论文《一种求极大与极小值和求切线的新方法》，刊登在《教师学报》上，这也是数学史上第一篇正式发表的微积分文献．该文是莱布尼茨对自己1673年以来微分学研究的概括，其中定义了微分并广泛采用了微分记号dx、dy．莱布尼茨假设横坐标x的微分是任意的量，纵坐标y的微分dy就定义为它与dx之比等于纵坐标与次切距之比的那个量．莱布尼茨对微积分的贡献出了引入一套行之有效的数学符号以外，还有以下几个方面：(1)明确了求“和”和求“查”为互逆运算的思想；(1)建立了一套包括指数函数、对数函数以及形为x x的微分公式在内的微分基本公式；(3)给出了求积问题(dy ydy dy y ⎰⎰⎰2,,)的计算方法；(4)讨论了微分在求切线、法线、极大值和极小值中的应用． 2.2国内研究现状文献[3-8]专门介绍了定积分的概念及其应用，因为这些是数学教材，作者只是在数学和物理方面做了一些介绍，使我们掌握了些定积分的思想和基本用法，但非常的不完善.本文在第一部分，定积分的概念以及在数学方面的应用从中进行了选取.文献[9-13]中，介绍了一些数学在经济方面的应用，其中马敏﹑冯梅的《经济应用数学》在经济函数的边际，经济函数的变化率，贴现率，最佳值，资本存量问题，消费者剩余和生产者剩余等六个方面也都体现了定积分的思想.文章中在涉及经济方面的问题用到了这些内容.文献[14-16]中讨论了定积分在物理学方面的应用，很多例题是非常具有代表性的.本文的最后一部分就是参考它，从变力做功，物体质量方面进行了归纳．2.3国内外研究现状评价牛顿和莱布尼茨对微积分的创建都作出了巨大的贡献，但两人的方法和途径是不同的.牛顿是在力学研究的基础上，运用几何方法研究微积分的；莱布尼兹主要是在研究曲线的切线和面积的问题上，运用分析学方法引进微积分要领的.牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣精深；但莱布尼兹的表达形式简洁准确，胜过牛顿.在对微积分具体内容的研究上，牛顿先有导数概念，后有积分概念；莱布尼兹则先有积分概念，后有导数概念.虽然牛顿和莱布尼兹研究微积分的方法各异，但殊途同归．国内一些书籍及资料中可以看到，有些只介绍定积分定义及一些计算定积分的方法，或者从数学上看定积分，有的从经济数学的方面介绍定积分在经济方面的应用，物理学中也只是简要地介绍定积分的部分应用，很多例题不够详尽．因此，对定积分应用的归纳不但能提高学生的解题技巧，同时，也能在实际问题中应用到定积分，达到学以致用的目的．2.4提出问题定积分是数学、物理、工程、技术等有关问题高度抽象的结果，它能精确解决求非均匀分布的总量这一类问题，它现在已广泛应用于自然科学、技术科学、社会科学、经图1-2济科学等领域．本文首先介绍定积分的产生背景以及概念，随后从数学，经济，工程，物理等方面介绍定积分的应用．3预备知识3.1 定积分概念的提出曲边梯形的面积:（如图1-1）所谓曲边梯形，是指由直线a x =、b x =（b a <），x 轴及连续曲线)(x f y =（0)(≥x f ）所围成的图形.其中x 轴上区间],[b a 称为底边，曲线)(x f y =称为曲边.[1]不妨假定0)(≥x f ，下面来求曲边梯形的面积.由于c x f ≠)(（],[b a x ∈）无法用矩形面积公式来计算，但根据连续性，任两点],[,21b a x x ∈ ，12x x -很小时，)(1x f ，)(2x f 间的图形变化不大，即点1x 、点2x 处高度差别不大.于是可用如下方法求曲边梯形的面积.(1)分割: 用直线1x x =，2x x =，…，1-=n x x （b x x x a n <<<<<-121 ）将整个曲边梯形任意分割成n 个小曲边梯形，区间上分点为：b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 这里取0x a =，n x b =.区间],[b a 被分割成n 个小区间],[1i i x x -，用i x ∆表示小区间],[1i i x x -的长度，i S ∆表示第i 块曲边梯形的面积，),,2,1(n i =，整个曲边梯形的面积S 等于n 个小曲边梯形的面积之和，即∑=∆=ni i S S 1（2）近似代替: 对每个小曲边梯形，它的高仍是变化的，但区间长度i x ∆很小时，每个小曲边梯形各点处的高度变化不大，所以用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，就是，在第i 个小区间],[1i i x x -上任取一点i ξ，用以],[1i i x x -为底，)(i f ξ为高的小矩形面积i i x f ∆)(ξ，近似代替这个小曲边梯形的面积（图1-2）， 即i i i x f S ∆≈∆)(ξ.（3）求和 整个曲边梯形面积的近似值为 n 个小矩形面积之和，即n S S S S ∆++∆+∆= 21=∆++∆+∆≈n n x f x f x f )()()(2211ξξξ ini i x f ∆∑=)(1ξ 上式由于分割不同，i ξ选取不同是不一样的，即近似值与分割及i ξ选取有关.（4）取极限 将分割不断加细，每个小曲边梯形底边长趋于零，它的高度改变量趋于零，曲边梯形的面积与取代它的矩形面积无限接近，从而和式∑=∆ni i i x f 1)(ξ的极限就定义为曲边梯形面积的精确值.令 },,,m ax {21n x x x ∆∆∆= λ，当0→λ时，有∑=→∆=ni i i x f S 10)(lim ξλ 上面的例子，最终归结为一个特定的形式和式逼近.在科学技术中还有许多同样的数学问题，解决这类数学问题的思想方法概括说来就是“分割，近似求和，取极限”这是定积分概念的背景.3.2 定积分的定义设函数)(x f y =在区间],[b a 上有界，在],[b a 中任意插入若干个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210把],[b a 分成n 个小区间：],,[10x x ],[,],,[,],,[],,[113221n n i i x x x x x x x x --各个小区间的长度依次为：011x x x -=∆,122x x x -=∆,…, 1--=∆n n n x x x在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i ξ)(1i i i x x ≤≤-ξ，作函数值与小区间长度i x ∆的乘积i i x f ∆)(ξ.并作和=S ∑=∆ni i i x f 1)(ξ记},,,m ax {21n x x x ∆∆∆= λ，如果不论对],[b a 怎样分割，也不管在小区间],[1i i x x -上点i ξ（n i ,,2,1 =）怎样取法，只要当0→λ时，和S 总是趋于确定的极限I ，我们称这个极限值为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分（简称为积分），记作⎰ba dx x f )(，即 ⎰ba dx x f )(==I ∑=→∆ni i i x f 10)(lim ξλ （1） 其中)(x f 称为被积函数，dx x f )(称为被积表达式，a 称为积分下限，b 称为积分上限，x 称为积分变量，∑=∆n i i ix f 1)(ξ称为积分和.曲边梯形的面积是曲边方程)(x f y =在区间],[b a 上的定积分. [2] 即=S ⎰ba dx x f )()0)((≥x f .3.3定积分的近似计算定积分是分布在间上的总体量.因为整体是由局部组成的额，所以将实际问题抽象为定积分，必须从整体着眼，从局部入手.这里所说的“局部”不是区间分法的小区间，而是小区间在极限过程中缩为一“点”了．但是，我们看待这个点仍具有小区间的意义．具体做法是，首先将区间上的整体量化成区间上每一点的积分，亦称微元．这是“化整为零”；然后，对区间上每一点上的微分无限累加——“连续作和”，这是“积零为整”，就得到了欲求的定积分．定积分的思想即“化整为零→近似代替→积零为整→取极限”．定积分这种“和的极限”的思想，梯形法：[3] 从几何意义上来说，，梯形法是用曲线上相邻两点的弦近似代替小弧，近似计算定积分的方法．设函数)(x f 在[a,b]可积，将区间[a,b]分为n 等分，分点是<<<=x x x a 210…b x n =<其中n a b h x x k k -==--1 ，k=1,2, …,n各分点的纵坐标是：y x k k f =)( , k=0,1,2, …,n近似计算定积分的梯形法公式：[3])2()(110∑⎰-=++-≈n k k n ba y y y n ab dx x f抛物线法：[3] 抛物线法是通过曲线上相邻三点的抛物线近似代替小弧计算定积分的方法．设函数)(x f 在[a,b]可积．将区间[a,b]等分为2n （偶数）个小区间，分点是：<<<=x x x a 210… b x x n n =<<-212其中xk-x(k-1)=(b-a)/2n.设各分点的纵坐标是y x k k f =)( , k=1,2, (2)近似计算定积分的抛物线法公式：[3])24(6)(1211220∑∑⎰==-+++-=nk k n k k n b a y y y y n a b dx x f 3.4胡克定律 力学有一种力是弹簧的弹力．当弹簧被拉直或压缩时．它就会对与之相连的物体有弹力作用，这种弹力总是力图是弹簧恢复原状，所以叫做恢复力．这种恢复力在弹性限度内，其大小和形变成正比．以F 表示弹力，以x 表示形变亦即弹簧的长度变化，则kx F -= （1）式中k 叫弹簧的劲度系数，负号表示弹力的方向总是和弹簧位移的方向相反．（1）式常被称为胡克定律.[4]4 定积分的应用4.1定积分在平面几何中的应用在初高中我们学习过求圆，三角形，平四边形，梯形等比较规则的图形面积，然而对于不规则的图形就无能为力了，所以再学定积分以前我们只能求一些简单图形的面积，部分稍复杂的图形，可能用有限个简单图形的分割也能求出来，但有很大的局限性，定积分的出现为这些问题，提出了很好的解决条件. [5]一般地，由上、下两条连续曲线y=2f (x)与y=1f (x)以及两条直线x=a 与x=b(a<b)所围成的平面图形，它的面积计算公式为 ⎰-=b a dx x x A f f )()(12 （1）例 1. 求由抛物线2y x =与x-2y-3=0所围成平面图形的面积A解: 该平面图形如图2-1所示，先求出直线与抛物线交点P(1,-1) 与Q(9,3).用X=1把图形分成左，右两部分，应用公式（1） 分别求得它们的面积为⎰⎰==--=10101342)(dx x dx X X A 328)23(912=--=⎰dx x x A 33221=+=A A A 4.2定积分在立体几何中的应用（1）由截面面积函数求立方体体积设Ω为三维空间中的一立体，它夹在垂直于x 轴的两平面x=a 与 x=b 之间（a<b ）.为了方便起见称Ω为位于[a,b]上的立方体.若在任意一点x ∈[a,b]处作垂直于x 轴的平面，它截得Ω的截面面积显然是x 的函数，记得A(x),x ∈[a,b],并称之为Ω的截面面积函数.则通过定积分的定义，得到由截面面积函数求立方体体积的一般计算公式和旋转体的体积公式V=()ba A x dx ⎰.[6] 例 2.求由椭球面2222221x y z a b c++=所围立体（椭球）的体积. 解: 以平面00()x x x a =≤截椭球面，得椭圆（它在yoz 平面上的正投影）：22222200221(1)(1)y z x x b c a a +=--.所以截面面积函数为A(x)=22(1)x bc aπ-,x ∈[-a,a]. 于是求得椭球体积 p Q 图2-1abc dx bc V a a a x ππ34)1(22=-=⎰- 显然，当a=b=c=r 时，这就等于球的体积43π3r . （2）旋转曲面的面积设平面光滑曲线C 的方程为y=()f x ,x ∈[a,b](不妨设f(x)≥0).这段曲线绕x 轴旋转一周得到旋转曲面，则面积公式s=2π(ba f x ⎰.[7]如果光滑曲线C 由参数方程x=x(t),y=y(t),t ∈[α,β]给出，且y(t)≥0,那么由弧微分知识推知曲线C 绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积为S=2π(y t βα⎰.例3. 计算圆2x +2y =2R 在[1x ,2x ]⊂[-R,R]上的弧段绕x 轴旋转所得球带的面积. 解: 对曲线[1x ,2x ]上应用公式（3），得到S=2π21x x ⎰=2πR(21x x -). 特别当1x =-R, 2x =R 时，则得球的表面积S 球=4π2R .4.3 定积分在经济学中的应用（1）求经济函数在区间上的增量根据边际收入，边际成本，边际利润以及产量x 的变动区间[,]a b 上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[,]a b 上的定积分：[8]dx x R a R b R ba ⎰'=-)()()( （1） dx x C a Cb C ba ⎰'=-)()()( （2） ⎰'=-ba dx x L a Lb L )()()( （3） 例4. 已知某商品边际收入为0.0825x -+（万元/t ），边际成本为5（万元/t ），求产量x 从250t 增加到300t 时销售收入()R x ，总成本C ()x ，利润()I x 的改变量（增量）.解: 首先求边际利润()()()0.082550.0820L x R x C x x x '''=-=-+-=-+所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出：300250(300)(250)()R R R x dx '-=⎰300250(0.0825)x dx =-+⎰300300250250(300)(250)()C C C x dx dx '-==⎰⎰=250万元300300250250(300)(250)()(0.0820)L L L x dx x dx '-==-+⎰⎰=-100万元例 5.某厂生产某种产品，每日生产的产品的总成本C 的变化率（即边际成本）是日产量x 的函数x x C 257)(+='，已知固定成本为1000元，求总成本函数y .解: 因总成本是边际成本的一个原函数，所以)(x C ⎰+=dx x )257(c x x ++=507已知当0=x 时，1000)0(=C ，代入上式得1000=c ，于是总成本函数为)(x C 1000507++=x x例 6.某产品销售总收入是销售量x 的函数)(x R .已知销售总收入对销售量的变化率（即边际收入）x x R 52300)(-='，求销售量由100增加到400时所得的销售收入. 解: 因销售收入是边际收入的一个原函数，按题意，有 )300()400(R R -⎰'=400300)(dx x R ⎰-=400300)52300(dx x 4003002)51300(x x -= 16000=（元）（2）求经济函数在区间上的平均变化率设某经济函数的变化率为()f t ，则称2121()t t f t dt t t -⎰为该经济函数在时间间隔21[,]t t 内的平均变化率. [9]例7. 某银行的利息连续计算，利息率是时间t （单位：年）的函数：()0.08r t =+求它在开始2年，即时间间隔[0，2]内的平均利息率.解: 由于22()(0.08r t dt dt =+⎰⎰0.160.010.16=+=+所以开始2年的平均利息率为2()0.0820r t dtr ==+-⎰0.094≈例 8.某公司运行t （年）所获利润为()L t （元）利润的年变化率为()310L t '=⨯/年）求利润从第4年初到第8年末，即时间间隔[3，8]内年平均变化率解: 由于3885852333()310210(1)3810L t dt t '=⨯=⨯⋅+=⨯⎰⎰所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为853()7.61083L t dt '=⨯-⎰（元/年）即在这5年内公司平均每年平均获利57.610⨯元. （3）由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量设某个项目在t （年）时的收入为()f t （万元），年利率为r ，即贴现率是()rt f t e -，则应用定积分计算，该项目在时间区间[,]a b 上总贴现值的增量为()brt af t e ndt -⎰.设某工程总投资在竣工时的贴现值为A （万元），竣工后的年收入预计为a （万元）年利率为r ，银行利息连续计算.在进行动态经济分析时，把竣工后收入的总贴现值达到A ，即使关系式Trt ae dt A -=⎰成立的时间T （年）称为该项工程的投资回收期. [10]例 9.某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元，竣工后的年收入预计为200万元，年利息率为0.08，求该工程的投资回收期.解: 这里1000A =，200a =，0.08r =，则该工程竣工后T 年内收入的总贴现值为0.080.080.0802002002500(1)0.08Tt tT T e dt e e ---==--⎰令 0.082500(1)T e --=1000，即得该工程回收期为110001ln(1)ln 0.60.0825000.08T =--=-=6.39（年） （4）利润、产量与开工时数的最佳值的确定例10. 某厂生产一种产品，年产量为x 吨时，总费用的变化率（即边际费用）为)(x f 825.0+=x （单位：百元/吨），这种产品每吨的销售价为3000元，问一年生产多少产品工厂利润最大，并求出年利润的最大值.解: 总费用是边际费用的原函数，故=)(x C ⎰+xdx x 0)825.0(x x 8125.02+=而收入函数)(x R x 30=（百元），又由)(x L ＝)(x R =-)(x C 2125.022x x -则 )(x L 'x 25.022-= 令 )(x L '0=，得88=x （吨）. 驻点唯一.此时025.0)88(<-=''L ，由实际问题可知，当88=x 时，)(x L 取得最大值96888125.08822)88(2=⨯-⨯=L (百元).因此，年产量为88吨时工厂获得最大利润96800元.例 11. 某工厂生产一种产品，每日总收入的变化率（即边际收入）是日产量x 的函数x x R 2.030)(-='（单位：元/件）.该厂生产此种产品的能力为每小时30件，问怎样安排生产才能使这种产品每日的总收入最大？并求出此最大总收入值.解: 由题意)(x R ⎰-=xdx x 0)2.030(21.030x x -=，令 02.030)(=-='x x R ，得150=x ，又02.0)(<-=''x R ，因为)(x R 只有唯一的驻点150=x ，由实际问题知，当150=x 时，)(x R 取得最大值22501501.015030)150(2=⨯-⨯=R .因此，每日取得最大总收入的产量为150件，此时2250)150(=R （元）.完成150件产品需要的工时为530150=（小时），所以，每天生产这种产品5小时，就使每日收入最大，最大值为2250元.（5）资本存量问题例12. 资本存量)(t s s =是时间t 的函数.它的导数等于净投资)(t I .现知道净投资t t I 3)(=（单位：10万元/年）.求第一年底到第四年底的资本存量.解: 因资本存量s 是净投资的一个原函数，故=-)1()4(s s dt t ⎰41341232t=＝14（10万元）所以，第一年底到第四年底的总资本存量为1400000元.例 13. 某银行根据前四年存款情况，知该行现金净存量的变化率是时间t 的函数455.14)(t x f =（单位：万元/年），计划从第五年起积存现金1000万元.按此变化率需几年时间？解: 依题意1000⎰+=xdt t 44455.14即1000]4)4[(9584949-+=x由此，得49494589000)4(+=+x解此方程，得9993.94≈+x6≈x .所以，从第五年积存1000万元现金约需6 年.（6）消费者剩余和生产者剩余在自由市场中，生产并销售某一商品的数量可由这一商品的供给与需求曲线描述，它的状态可在如图上直观表现如下：0p 的经济意义是供应者会生产此商品的最低价.1p 是消费者会购买此种商品的最高价.1q 是免费供给此种商品的需求量经市场功能调节后，市场将趋于平衡价*P 和平衡数量*q ，两条曲线在),(**p q 相交. [11]消费者以平衡价格购买了某种商品，他们本来打算出较高的价格购买这种商品，消费者剩余是指消费者因此而省下来的钱的总数.用积分式来表达就是： 消费者剩余⎰=*0)(q d dq q Q **q p -＝曲边三角形*1p Mp 面积.生产者以平衡价格出售了某种商品，他们本来打算以较低一些的售价售出这些商品，生产者剩余是指生产者因此而获得的额外收入.用积分式表达就是生产者剩余⎰-=***)(q s dq q Q q p ＝曲边三角形*0p Mp 面积.4.4定积分在工程中的应用（1）定积分中值定理定积分中值定理作为定积分的一个重要性质，计算河床的平均深度时，应用定积分中值定理知识.此问题主要出现在水利工程专业的《工程水文学》课程中，主要应用于计算河流、湖泊等河床横断面水的平均深度，以此用作河流测流、工程设计或施工的一个依据.只要测量出河面在某处的宽度（B ），河床的横断面形状和河床的最大深度（h ），则可运用定积分中值定理知识计算该处河床的平均深度（h ），即⎰-=badx x f a b h )(1(m).例 14.设一河流的河面在某处的宽度为2 b ，河流的横断面为一抛物线弓形，河床的最深处在河流的中央，深度为h ，求河床的平均深度-h .分析：首先，选取坐标系使x 轴在水平面上，y 轴正向朝下，且y 轴为抛物线的对称轴.于是，抛物线方程为y=h-22x b h ⋅.然后，运用定积分中值定理便可求得河床的平均深度-h .解：河床的平均深度⎰-=b a dx x f a b h )(1=h 32.（2）定积分的近似计算知识的应用近似求物体的截面积，应用梯形法或抛物线法等定积分的近似计算知识.此问题主要出现在水利工程专业的《灌溉排水技术》课程中，主要应用于近似计算河床、渠道的过水断面面积，进而计算截面流量（即渠系测流）.由水利学知识可知，单位时间内流过某一截面的流体的体积就叫做通过这个截面的流量，即Q ＝V/t （m 3/s ）.在水利工程中，流量的计算通常运用公式Q=sv(m 3/s)，即过水断面面积（s ）与流速（v ）的乘积.例15.有一条宽为24米的大型干渠，正在输水浇灌农田，试利用流速仪并结合梯形法或抛物线法近似求横截面积等高等数学知识进行测流.图4-1分析：根据灌溉管理学知识，首先选择测流断面，确定测线.测流断面选择在渠段正直，水流均匀，无漩涡和回流的地方，断面与水流方向垂直；测流断面的测线确定为12条.其次，测定断面.先在渠道两岸拉一条带有尺度的绳索，测出测深线的起点距（与断面起点桩的水平距离）；测线深度，用木制或竹制的测深杆施测，从渠道一岸到对岸每隔2米测量一次水深，测得数据如下表.根据施测结果绘出测流断面图，如图所示.第三，利用流速仪施测断面流速.例如，利用旋环式流速仪测出该渠道断面平均流速为v=0.60m/s.第四，近似计算渠道过水断面面积和流量.. 测线深度施测数据表 （单位：m ）解答：抛物线法：A ≈30.67m 2 ； Q=18.40m 3/s. 梯形法：A ≈30.40m 2 ； Q=18.24m 3/s.（3）微元法知识的应用微元法在专业基础课和专业课中应用非常广泛，求解物体所受液体的侧压力，应用微元法知识.此问题主要出现在水利工程专业的《水力学》、《水工建筑物》等课程中，主要应用于计算水闸及输水建筑物（如坝下涵管、隧洞、渠道、管道等）上的闸门所受水压力的大小，作为设计或校核闸门结构的一个重要依据.水闸是一种低水头水工建筑物，既能挡水，又能泄水，用以调节水位，控制泄流量；多修建于河道、渠系及水库、湖泊岸边，在水利工程中的应用十分广泛.闸门是水闸不可缺少的组成部分，用来调节流量和上、下游水位，宣泄洪水和排放泥沙等. [12]闸门的形式很多，按其结构形式通常分为平面闸门、弧形闸门及自动翻倒闸门等；按其工作条件可分为工作闸门和修理闸门；按其所处的位置不同可分为露顶闸门和潜孔闸门；按其所用的材料可分为钢闸门、钢筋混凝土闸门、钢丝网水泥闸门和木闸门等；按其形状不同又可分为矩形闸门、梯形闸门、圆形闸门和椭圆形闸门等. [13]闸门的主要作用是挡水，承受水压力是其作用荷载之一.运用微元法计算闸门所受水压力时，设受水压力作用的区域与水平面垂直且由曲线y=f(x)＞0,(0≤a ≤x ≤b)x=a,x=b 及x 轴所组成.x 轴正向朝下，y 轴在水平面上，水的密度为ρ=1000㎏/m 3,则闸门所受的水压力大小为F= ⎰badx x gxf )(ρ(N).例 16. 有一个水平放置的无压输水管道，其横断面是直径为6m 的圆，水流正好半满，求此时输水管道一端的竖直闸门上所受的水压力.图4-2分析：首先建立合适的直角坐标系，如图所示，则圆的方程为222r y x =+=9. 然后，运用微元法求解即可.解答：F=1.76×105N.4.5定积分在物理学的应用(1)变力做功在功的问题中，恒力做功是最简单的，公式为W F S =⋅．“以常代变”，功的微元应该通过恒力做功公式得到的．[14]例 17. 一压簧，原长1m ，把它每压缩1cm 时所用的力为0.05N ．问在弹性范围内把它由1m （如图6-1）压缩到60cm （如图6-2）所做的功．图6-1图6-2解：令起点为原点，压缩的方向为x 轴的正方向，当把弹簧自原点压缩至[]0,0.4之间的任意点x 处时（如图6-3）图6-3由胡克定律知所承受的弹簧的压力为()0.0550.01F x x x == 在此力的作用下，再继续压缩一点点dx ，即压缩至x dx +处，由于dx 很小，这个压缩过程可认为力()F x 不变，即恒力做功，则由恒力做功公式得功的微元dW ()F x dx =积分得W ()0.4F x dx =⎰0.45xdx =⎰20.4502x =0.4=()J ．例18. 在原点处有一带电量为q +的点电荷，在它的周围形成了一个电场．现在x a =处有一单位正电荷沿x 轴正方向移至x b =处，求电场力所做的功．又问若把该电荷继续移动，移动至无穷远处，电场力要做多少功．解:点电荷在任意点x 处时所受的电场力为()2qF x kx =（k 为静电力常量） 电场力做功的微元dW 为点电荷由任意点x 处移动至x dx +处时电场力()F x 所做的功 即()2qdW F x dx kdx x== 则移至x b =处电场力做的功2ba q W kdx x =⎰1b kq a x =-11kq a b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； 移至无穷远处电场力做的功2aq W kdx x +∞=⎰kqa=（物理学中称此值为电场在x a =处的电位）． 例 19. 一圆台形水池，深15m ，上下口半径分别为20m 和10m ，如果把其中盛满的水全部抽干，需要做多少功?解：水是被“一层层”地抽出去的，在这个过程中，不但每层水的重力在变，提升的高度也在连续地变化图6-4其中抽出任意一层水（x 处厚为dx 的扁圆柱体，如图6-4阴影部分）所做的功为抽水做功的微元dW ，γ为密度，即dW dm g x dV g x γ=⋅⋅=⋅⋅⋅22203gx x dx γπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则2152203W gx x dx γπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰21502203g x x dx γπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰23415801200099g x x x γπ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭20625g γπ=202125000π=()J ．(2)求物体质量对于密度均匀的物体的质量l m l γ=⋅或A m A γ=⋅、m V γ=⋅，这时密度γ是常量；但对于密度不均匀（密度是变量）的物体的质量就不能直接用上述公式了，而应该用微元法．[15]例 20.一半圆形金属丝，其上任意点处的线密度与该点到连接金属丝端点的直径的距离成正比，求金属丝的质量．解: 建立如图6-5坐标系图6-5则()22l x ky R x γ==- ()0k >22y R x'=-()()22ds dx dy =+21y dx '=+22R x=-()l dm x ds γ=⋅2222R x R x=--kRdx =RR m kRdx -=⎰22kR =．例 21. 设有一心脏线1cos r θ=+形的物质薄片，其面密度()2cos A γθθ=+，试求此物质薄片的质量．。