2.3.3直线与平面垂直的性质(高中数学人教版必修二)

结论：a⊥OA
P
线斜垂直
线射垂直
逆定理
O α
定理
线射垂直
线斜垂直
逆定理
a
A
例1：如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，直线D1O与AC
垂直吗？说明你的理由。
D1
C1
D1O在平面ABCD内的射影是DO
AC与BD垂直
A1
B1
D1O与AC垂直（三垂线定理 ）
你知道吗？ D1B⊥AC
D
C
线射垂直
线斜垂直 A
射影OA和a直线之间的垂直关系
α
O
2、直线a可以移动，但只能在平面内移
动。因此，直线a和斜线PA可以相交也
可以异面。
P
3、三垂线定理的实质是平面的一条斜 线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
O α
a
A
a
A
新知探究 • 逆定理
思考：
如果将定理中的条件a⊥OA改成a⊥PA，你会得到
怎样的结果？命题一定成立吗?
P
定理
即:线射垂直
线斜垂直
O α
a
A
定理中包括三种垂直关系：
①线面垂直 ②线射垂直 ③ 线斜垂直
P PO
P
a OA
P
a PA
O Aa
O Aa
O Aa
α
α
α
直线和 平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
对定理的几点说明
P
1、三垂线定理描述的是斜线PA、
如图：请说出下列图形中的垂线、斜线和射影。
P
直线PO是垂线 直线PA是斜线

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高考调研 ·新课标 ·数学（必修二）
(2)由(1)知 AD⊥BG， 连接 PG.∵△PAD 为正三角形，G 为 AD 中点， ∴PG⊥AD，∵BG∩PG＝G， ∴AD⊥平面 PBG，∵PB⊂平面 PBG， ∴AD⊥PB.
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探究 2 证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定 理， 再一种方法是利用面面垂直的性质定理， 本题已知面面垂直， 故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理，证明 线面垂直的问题时，要注意以下三点：①两个平面垂直；②直线 必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线．
(1)求证：FG∥平面 BED； (2)求证：平面 BED⊥平面 AED； (3)求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值．
线 AC 和 A1D 都垂直．求证：EF∥BD1.
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【证明】
连接 AB1，B1C，BD.
∵DD1⊥平面 ABCD， AC⊂平面 ABCD， ∴DD1⊥AC.又∵ AC⊥BD，BD∩DD1＝D， ∴AC⊥平面 BDD1B1.∴AC⊥BD1. 同理，AB1⊥BD1，又 AB1∩ AC＝ A， ∴BD1⊥平面 AB1C.① 由正方体性质和四边形 CDA1B1 为平行四边形， ∴ A1D∥B1C. 又 EF 与 A1D、AC 都垂直，∴EF⊥AC，EF⊥B1C. 又∵AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面 AB1C.② 由①，②可知，EF∥BD1.
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题型三 例3
综合应用
(2016· 天津)如图，四边形 ABCD 是平行四边形，平面
AED⊥平面 ABCD，EF∥AB，AB＝2， BC＝EF＝1，AE＝ 6， DE＝3，∠BAD＝60°， G 为 BC 的中点．

面面垂直性质定理的应用 【例 2】 如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥平面 ABC，平面 PAB⊥ 平面 PBC.
求证：BC⊥AB.
[证明] 如图，在平面 PAB 内，作 AD⊥PB 于点 D. ∵平面 PAB⊥平面 PBC， 且平面 PAB∩平面 PBC＝PB，AD⊂平面 PAB， ∴AD⊥平面 PBC. 又 BC⊂平面 PBC，∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，∴PA⊥BC， 又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面 PAB. 又 AB⊂平面 PAB，∴BC⊥AB.
线线、线面、面面垂直的综合应用 [探究问题] 试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系． [提示] 垂直问题转化关系如下所示：
【例 3】 如图所示，△ABC 为正三角形，EC⊥平面 ABC，BD ∥CE，且 CE＝CA＝2BD，M 是 EA 的中点，
求证：(1)DE＝DA； (2)平面 BDM⊥平面 ECA； (3)平面 DEA⊥平面 ECA. 思路探究：(1)设出 BD，分别求出 DE、DA 的长度或证明 DM⊥AE， 即证 DM 为 AE 的中垂线即可．(2)(3)只需证明 DM⊥平面 ECA 即可．
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质
学习目标
核心素养
1. 理解直线和平面垂直、平面与平面 1.通过学习直线与平面垂直的
垂直的性质定理，并能用文字、符号 性质，提升直观想象、逻辑推
和图形语言描述定理．(重点)
3．已知直线 a，b，平面 α，且 a⊥α，下列条件中，能推出 a∥b
的是( )
A．b∥α
B．b⊂α

求证:MN∥AD1. 证明:因为ADD1A1为正方形,所以AD1⊥A1D. 因为CD⊥平面ADD1A1,所以CD⊥AD1. 因为A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC. 因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.
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典例透析
反思当题中垂直条件很多,但又需证明两条直线的平行关系时,就 要考虑直线与平面垂直的性质定理,从而完成垂直向平行的转化.
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【变式训练】
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点 ,MN⊥平面A1DC.
答案:B
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典例透析
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1.理解直线与平面垂直的性质定理 剖析:(1)直线与平面垂直的性质定理考查的是在直线与平面垂直 的条件下,可得出什么结论. (2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两 条直线都与同一个平面垂直). (3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系,提供了“ 垂直”与“平行”关系相互转化的依据. (4)垂直于同一条直线的两个平面互相平行.
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典例透析
【例题】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC,A1D 都垂直相交.求证:EF∥BD1.