考点12 函数模型及其应用(教师版)单元检测系列(基础类) 备战2021年高考

函数模型及应用教案函数模型是基于数学函数的一种建模方法，通过将现实问题抽象为数学函数的形式来描述、分析和解决问题。

函数模型的应用非常广泛，涉及到许多领域，包括物理、经济、生物等。

一、函数模型的基本概念1. 函数的定义：函数是一个映射关系，将输入映射到唯一的输出，通常用f(x)表示。

2. 自变量和因变量：函数的自变量是输入值，通常用x表示；函数的因变量是输出值，通常用y表示。

3. 函数图像：函数图像是函数在坐标系中的几何表示，可以通过计算和绘制得到。

4. 函数的性质：函数可以有多个性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。

二、函数模型的应用1. 物理学中的应用：物理学中许多自然现象都可以用函数模型来描述，如运动学中的位移函数、速度函数和加速度函数，力学中的万有引力函数等。

2. 经济学中的应用：经济学中常常用函数模型来描述供求关系、成本函数、效用函数等，以便分析经济现象和制定经济政策。

3. 生物学中的应用：生物学中常常用函数模型来描述生物体的生长、代谢和进化过程，以便研究和预测生物现象。

4. 工程学中的应用：工程学中常常用函数模型来描述电路、信号处理、控制系统等，以便分析和设计工程系统。

5. 数据分析中的应用：数据分析中常常用函数模型来描述数据的分布和趋势，以便预测和优化数据。

三、函数模型的教学内容1. 函数的基本概念和性质：教学内容包括函数的定义、自变量和因变量的概念、函数图像的绘制和函数的性质分析等。

2. 函数的分类和常见函数模型：教学内容包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等的定义、图像和性质分析等。

3. 函数的应用实例分析：教学内容包括物理、经济、生物、工程等领域的函数模型实例分析，以及数据分析中的函数模型应用实例。

4. 函数模型的建立和求解：教学内容包括根据实际问题建立函数模型、利用函数模型求解问题等。

四、函数模型的教学方法1. 理论讲解：通过讲解基本概念、定理和性质，帮助学生理解函数模型的基本原理和方法。

专题12函数模型及其应用（教学案）高考数学（理）一轮复习精品资料1.综合考查函数的性质；2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本初等函数的建模问题；3.考查函数的最值．1．几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型(2)2.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：【疑点清源】1．要注意实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．2．解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质．(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题．(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题．(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．高频考点一、用函数图象刻画变化过程例1、(1)设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()(2)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()答案(1)D(2)B【感悟提升】判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．【变式探究】已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是()答案D解析依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知，选D.高频考点二已知函数模型的实际问题例2、候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋b log3Q10(其中a、b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a 、b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q10≥3，解得Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s ，则其耗氧量至少要270个单位． 【感悟提升】求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．【变式探究】某般空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为kg.答案19解析由图象可求得一次函数的解析式为y ＝30x －570，令30x －570＝0，解得x ＝19. 高频考点三构造函数模型的实际问题例3、某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A ．10.5万元B ．11万元C ．43万元D ．43.025万元答案C【变式探究】(1)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)()A．1.5%B．1.6%C．1.7%D．1.8%(2)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况答案(1)C(2)B【举一反三】某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了km.答案9解析设出租车行驶x km时，付费y元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，8＋x －＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋x －＋1，x >8，由y ＝22.6，解得x ＝9.思维升华构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．【变式探究】(1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL ，那么，此人至少经过小时才能开车．(精确到1小时)(2)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为()A ．10B ．11C ．13D ．21 答案(1)5(2)A解析(1)设经过x 小时才能开车． 由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x≤0.3，x ≥log 0.750.3≈4.19.∴x 最小为5.高频考点四、函数应用问题例4、已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7400x－40000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．解(1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40) ＝－6x 2＋384x －40，当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40) ＝－40000x－16x ＋7360.所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40000x －16x ＋7360，x >40.(2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6104， 所以W max ＝W (32)＝6104；②当x >40时，W ＝－40000x－16x ＋7360，由于40000x＋16x ≥240000x×16x ＝1600，当且仅当40000x＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号， 所以W 取最大值为5760. 综合①②知，当x ＝32时，W 取得最大值6104万元。

计时双基练十二 函数模型及其应用A 组 基础必做1．下表是函数值y 随自变量x 变化的一组数据，它最可能的函数模型是( )A.C ．指数函数模型D ．对数函数模型解析 根据已知数据可知，自变量每增加1，函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型。

答案 A2．设甲、乙两地的距离为a (a >0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和所用的时间x 的函数图像为( )解析 注意到y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程\”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D 。

答案 D3．(2015·辽宁五校联考)一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t 内的路程为s ＝12t 2米，那么，此人( )A ．可在7秒内追上汽车B ．可在9秒内追上汽车C ．不能追上汽车，但期间最近距离为14米D ．不能追上汽车，但期间最近距离为7米解析 已知s ＝12t 2，车与人的间距d ＝(s ＋25)－6t ＝12t 2－6t ＋25＝12(t －6)2＋7。

当t＝6时，d 取得最小值7。

答案 D4．(2015·北京朝阳区模拟)某房地产公司计划出租70套相同的公寓房。

当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租。

设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)。

要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( )A ．3 000元B ．3 300元C ．3 500元D ．4 000元解析 由题意，设利润为y 元，租金定为3 000＋50x 元(0≤x ≤70，x ∈N )。

高考数学初等函数知识点：函数模型及其应用第1篇：高考数学初等函数知识点：函数模型及其应用导语：常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等，下面就由小编为大家带来高考数学初等函数知识点：函数模型及其应用，大家一起去看看怎么做吧！1.我们目前已学习了以下几种函数：一次函数y=kx+b(k≠0)，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，指数函数y=ax(a>0且a≠1)，对数函数y=logax(a>0且a≠1)，幂函数y=xa(a为常数)2.用已知函数模型解决实际问题的基本步骤：第一步，审清题意，设立变量;第二步，根据所给模型，列出函数关系式;第三步，利用函数关系求解;第四步，再将所得结论转译成具体问题的解答.3.在处理曲线拟合与预测的问题时，通常需要以下几个步骤：(1)能够根据原始数据、表格、绘出散点图;(2)通过考查散点图，画出“最贴近”的曲线，即拟合曲线;(3)根据所学函数知识，求出拟合曲线的函数解析式;(4)利用函数关系，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据.4.解疑释惑(1)怎样理解“数学建模”和实际问题的关系?一般来说，对问题进行修改和简化，形成一种比较精确和简洁的表述，这时可称之为“实际模型”，它和“实际原形”不同，因为它被简化了，不是实际问题所有方面都得到了体现.而是在得到一个“实际模型”之后，再用数学符号和表达式来代替实际问题中的变量和关系，得到的结果是一个“数学模型”. (2)怎样才能搞好“数学建模”?在“数学建模”中要把握好下列几个问题：1理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题.2数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函数.3求解模型：以所学的数学*质为工具对建立的数学模型进行求解.○4检验模型：将所求的结果代回模型中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效*，如果不满意，要考虑重新建模.5评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果作出解释并给出其实际意义，最后对所建立的模型给出运用范围.如果模型与实际问题有较大出入，则要对模型改进，并重复上述步骤.(3)“数学建模”中要注意什么问题?1有的应用题文字叙述冗长，或者选择的知识背景较为陌生，处理时，要注意认真、耐心地阅读和理解题意.2解决函数应用题时要注意用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系，寻找已知量与未知量之间的内在联系，然后将这些内在联系与数学知识联想，建立函数关系式或列出方程，利用函数*质或方程观点来求解，则可使应用题化生为熟，尽快得到解决.5.规律总结(1)如果实际问题中的规律很难用一个统一的关系式表示，可考虑用分段函数来表示它.另外，在实际问题的计算中应注意统一单位.(2)分类讨论建立函数模型在实际问题中较为常见，应引起充分注意.(3)建立“数学模型”常用的分析方法：(1)关系分析法：即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法.(2)列表分析法：即通过列表的方式探索问题的数学模型的方法.(3)图象分析法：即通过对图象中的数量关系分析来建立问题的数学模型的方法.第2篇：高一数学函数模型及其应用知识点函数部分的知识最主要的是怎样运用，在考试中考察的也是应用及模型，因此掌握数学函数模型及其应用知识点是掌握本课内容的基础，希望大家可以认真学习。

【高三】2021届高考数学函数模型及其应用知识归纳复习教案 3.函数模型及其应用知识归纳1．求解函数应用问题的思路和方法2.功能建模的基本过程误区警示在解决函数应用问题时，关键环节是检查问题。

检查问题时：一要弄清问题的实际背景，注意隐含条件；二是将书面语言正确准确地翻译成数学语言言，用数学表达式加以表示；第三，找出给定的条件和需要解决的问题过何种数学模型加以解决；四是严格按照各种数学模型的要求进行推理运算算，并对运算结果作出实际解释．3.对常见功能模型的理解（1）一次函数模型（其增长特点是直线上升（的系数），通过图象可很直观地认识它）、二次函数型、正反比例函数型（2）指数函数模型：可以用指数函数表示的函数模型。

它的增长特征是，随着自变量的增加，函数值的增长速度越来越快。

它通常被生动地称为“指数爆炸”。

（3）对数函数模型：能用对数函数表达式表达的函数模型，其增长特点是开始阶段增长得较快，但随着的逐渐增大，其函数值变化越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”。

（4）幂函数模型：可以用幂函数表示的函数模型。

它的增长取决于价值的变化。

公共二次函数模型。

（5）分式（“勾”）函数模型：形如的函数模型，在现实生活中有着广泛的应用，常利用“基本不等式”解决，有时通过利用导数研究其单调性来求最值。

四、典型分析题型1：正比例、反比例、一次函数型和二次函数型例1。

当一件商品的原价为每件1元时，每天可以卖出M件。

现在，在降价X个百分点（即X%）后，销售量增加了Y个百分点，日销售量是原来的k倍。

（1）设y=nx，其中n是大于1的常数，试将k写成x的函数；（2）当销售量最大时，求X的值（结果可用n的公式表示）；（3）当n＝2时，要使销售额比原来有所增加，求x的取值范围。

解决方案：（1）根据主题的含义，有一个（1-x%）×M（1+y%）=Kam，替换y=NX并简化它（2）由（1）知当时，k值最大。

因为销售额为amk，所以此时销售额也最大，且销售额最大为元。

第九节函数模型及其应用考试要求：1．在实际情景中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律．2．结合现实情景中的具体问题，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．一、教材概念·结论·性质重现1．常见的函数模型(1)正比例函数模型：f (x )＝kx (k 为常数，k ≠0)．(2)反比例函数模型：f (x )＝��(k 为常数，k ≠0)．(3)一次函数模型：f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)．(4)二次函数模型：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)．(5)指数型函数模型：f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b >0，b ≠1)．(6)对数型函数模型：f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a >0，a ≠1)．(7)幂函数模型：f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)．(8)“对勾”函数模型：y ＝x ＋��01．不要忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果的合理性．函数性质y ＝a x (a >1)y ＝log a x (a >1)y ＝x n (n >0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化各有不同值的比较存在一个x 0，当x ＞x 0时，有log a x ＜x n ＜a x1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)幂函数增长比直线增长更快．(×)(2)不存在x0，使��0<�0�<log a x0.(×)(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>1)的增长速度．(√) (4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(×) 2．下列函数中，随x的增大，y的增长速度最快的是()A．y＝0.001e x B．y＝1000ln xC．y＝x1000D．y＝1000·2xA解析：在对数函数、幂函数、指数函数中，指数函数的增长速度最快，排除B，C；指数函数中，底数越大，函数增长速度越快．故选A.3．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)＞g(x)＞h(x)B．g(x)＞f(x)＞h(x)C．g(x)＞h(x)＞f(x)D．f(x)＞h(x)＞g(x)B解析：当x∈(4，＋∞)时，易知增长速度由大到小依次为g(x)＞f(x)＞h(x)．故选B. 4．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.99 2.01 3.98y－0.990.010.98 2.00则对x，y最适合的拟合函数是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2D．y＝log2xD解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.5．用长度为24的材料围成一个矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_________．3解析：设隔墙的长度为x(0<x<6)，矩形的面积为y，则y＝x·24−4�＝2x(6－x)＝－2(x－3)22＋18，∴当x＝3时，y最大．考点1利用函数的图象刻画实际问题——基础性1．如图，一个高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一个排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是()B解析：函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除C，D；开始时，h随着时间的变化，变化缓慢，水排出超过一半时，h随着时间的变化，变化加快，故对应的图象为B.故选B. 2．有一个盛水的容器，由悬在它上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示．若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是()B解析：由函数图象可判断出该容器的形状不规则，又函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，排除A，C，D.故选B.3．(多选题)(2022·北京东城区模拟)某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y，观影人数记为x，y关于x的函数图象如图(1)所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图(2)、图(3)中的实线分别为调整后y关于x的函数图象．给出下列四种说法，其中正确的是()A．图(2)对应的方案是：提高票价，并提高固定成本B．图(2)对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本C．图(3)对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变D．图(3)对应的方案是：提高票价，并降低固定成本BC 解析：由题图(1)可设y 关于x 的函数为y ＝kx ＋b ，k ＞0，b ＜0，k 为票价，当k ＝0时，y ＝b ，则－b 为固定成本．由题图(2)知，直线向上平移，k 不变，即票价不变，b 变大，则－b 变小，固定成本减小，故A 错误，B 正确；由题图(3)知，直线与y 轴的交点不变，直线斜率变大，即k 变大，票价提高，b 不变，即－b 不变，固定成本不变，故C 正确，D 错误．4．某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (单位：千克)随时间x (单位：天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．1909解析：前10天满足一次函数关系．设为y ＝kx ＋b .将点(1，10)和点(10，30)的坐标代入函数解析式得10=�+�，30=10�+�，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709.当x ＝6时，y ＝1909.1．解决这类问题一般要根据题意构建函数模型，先建立函数模型，再结合模型选图象，并结合五个幂函数的图象与性质来求解．2．有些题目，如第3题，根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证答案是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考点2已知函数模型解决实际问题——综合性汽车急刹车的停车距离与诸多因素有关，其中最为关键的两个因素是驾驶员的反应时间和汽车行驶的速度．设d 表示停车距离，d 1表示反应距离，d 2表示制动距离，则d ＝d 1＋d 2.如图是根据美国公路局公布的试验数据制作的停车距离示意图．序号速度(km/h)停车距离14017.025026.536035.747046.058052.769070.7710085.48110101.0由图中数据得到如表的表格，根据表格中的数据，建立停车距离与汽车速度的函数模型．可选择模型①：d ＝av ＋b ；模型②：d ＝av 2＋bv ；模型③：d ＝av ＋��；模型④：d ＝av 2＋��(其中v 为汽车速度，a ，b 为待定系数)进行拟合．如果根据序号3和序号7两组数据分别求出四个函数模型的解析式，并通过计算120km/h 时的停车距离与实验数据比较，则拟合效果最好的函数模型是()A．d ＝av ＋b B．d ＝av 2＋bv C．d ＝av ＋��D．d ＝av 2＋��B 解析：若选择模型①，则60�+�=35.7，100�+�=85.4，解得a ＝1.2425，b ＝－38.85.故d ＝1.2425v －38.85.当v ＝120时，停车距离d 的预测值为1.2425×120－38.85＝110.25.若选择模型②，则3600�+60�=35.7，10000�+100�=85.4，解得a ＝0.006475，b ＝0.2065.故d ＝0.006475v 2＋0.2065v .当v ＝120时，停车距离d 的预测值为0.006475×1202＋0.2065×120＝118.02.若选择模型③，则60�+�60=35.7，100�+�100=85.4，解得a ＝0.9996875，b ＝－1456.875.故d ＝0.9996875v －1456.875�.当v ＝120时，停车距离d 的预测值为0.9996875×120－1456.875120＝107.821875.若选择模型④，则3600�+�60=35.7，10000�+�100=85.4，解得a ＝15.9951960，b ＝379.2857143.故d ＝15.9951960v 2＋379.2857143�.当v ＝120时，停车距离d 的预测值为15.9951960×1202＋379.2857143120＝120.675.由实验数据可知当v ＝120时，停车距离为118m．模型②的预测值更接近118m，故模型②拟合效果最好．解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答．→→→1．某市家庭煤气的使用量x (单位：m 3)和煤气费f (x )(单位：元)满足关系f (x )＝�，0<�≤�，�+��−�，�>�.已知某家庭2021年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费1月份4m 34元2月份25m 314元3月份35m 319元若4月份该家庭使用了20m 3的煤气，则其煤气费为()A．11.5元B．11元C．10.5元D．10元A 解析：根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝4，0<�≤5，4−5，�>5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2．某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，该企业考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润y (百万元)与年投资成本x (百万元)变化的一组数据：年份2018201920202021…投资成本x 35917…年利润y1234…给出以下3个函数模型：①y ＝kx ＋b (k ≠0)；②y ＝ab x (a ≠0，b ＞0且b ≠1)；③y ＝log a (x ＋b )(a ＞0且a ≠1)．(1)选择一个恰当的函数模型来描述x ，y 之间的关系；(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型．解：(1)将(3，1)，(5，2)代入y ＝kx ＋b (k ≠0)，得1=3�+�，2=5�+�，解得�=12，�=−12，所以y ＝12x －12.当x ＝9时，y ＝4，不符合题意．将(3，1)，(5，2)代入y ＝ab x (a ≠0，b ＞0且b ≠1)，得1=��3，2=��5，解得�=24，�=2，所以y ＝24·(2)x＝2�−32当x ＝9时，y ＝29−32＝8，不符合题意．将(3，1)，(5，2)代入y ＝log a (x ＋b )(a ＞0且a ≠1)，得1=log �3+�，2=log �5+�，解得�=2，�=−1，所以y ＝log 2(x －1)．当x ＝9时，y ＝log 28＝3；当x ＝17时，y ＝log 216＝4.故可用③来描述x ，y 之间的关系．(2)令log 2(x －1)＞6，则x ＞65.因为年利润665＜10%，所以该企业要考虑转型．考点3构造函数模型解决实际问题——应用性考向1二次函数、分段函数模型某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？解：(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2.3.因为x为整数，所以3≤x≤6，x∈Z.当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，结合x为整数得6＜x≤20，x∈Z.所以y＝f(x)＝50�−115，3≤�≤6，�∈�，−3�2+68�−115，6＜�≤20，�∈�.(2)对于y＝50x－115，3≤x≤6，x∈Z，显然当x＝6时，y max＝185.对于y＝－3x2＋68x－115＝－3�−＋8113，6＜x≤20，x∈Z，当x＝11时，y max＝270.因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成．如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．(1)某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2017年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)()A．2020年B．2021年C．2022年D．2023年B解析：若2018年是第一年，则第n年科研费为1300×1.12n，由1300×1.12n>2000，可得lg 1.3＋n lg 1.12>lg 2，得n ×0.05>0.19，n >3.8，n ≥4，即4年后，到2021年科研经费超过2000万元．故选B.(2)基本再生数R 0与世代间隔T 是流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在病毒感染初始阶段，可以用指数模型I (t )＝e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在病毒感染初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)()A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天B 解析：因为R 0＝3.28，T ＝6，R 0＝1＋rT ，所以r ＝3.28−16＝0.38，所以I (t )＝e rt ＝e 0.38t .设在病毒感染初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t 1天，则e 0.38�＋�1＝2e 0.38t ，所以e 0.38�1＝2，所以0.38t 1＝ln 2，所以t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8(天)．故选B.(1)要先学会合理选择模型．与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．1．某位股民买入某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．无法判断盈亏情况C．没有盈利也没有亏损D．略有亏损D解析：设买入股票时的价格为m (m >0)元．先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)后的价格为m ×(1＋10%)3×(1－10%)3＝0.993m <m ，所以该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为略有亏损．故选D.2．某汽车销售公司在A，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A．10.5万元B．11万元C．43万元D．43.025万元C解析：设公司在A地销售该品牌的汽车x(0≤x≤16且x∈N)辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－110·�−＋110×2124＋32.因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．3．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地漏出，t min后剩余的细沙量为y＝a e－bt(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．16解析：当t＝0时，y＝a；当t＝8时，y＝a e-8b＝12a.故e-8b＝12.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝a e－bt＝18a，e－bt＝18＝(e-8b)3＝e-24b，则t＝24，所以再经过16min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．课时质量评价(十四)A组全考点巩固练1．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x(分钟)的函数图象为()D解析：y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，排除B.故选D.2．气象学院用32万元购置了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第1天开始连续使用，第n天的维修保养费为4n＋46(n∈N*)元，使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器平均每天耗资最少)为止，则一共要使用()A．300天B．400天C．600天D．800天B 解析：使用n 天的平均耗资为3202�+2�+48元，当且仅当320000�＝2n 时取得最小值，此时n ＝400.3．(2023·济南月考)某乡村一条污染河道的蓄水量为v 立方米，每天的进出水量为k 立方米．已知污染源以每天r 个单位污染河水，某一时段t (单位：天)，河水污染质量指数m (t )(每立方米河水所含的污染物)满足m (t )＝��+�0−e −���(m 0为初始质量指数)，经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是(参考数据：ln 10≈2.30)()A．1个月B．3个月C．半年D．1年C 解析：由题意可知，m (t )＝�0e−180�＝0.1m 0，则e −180�＝0.1，即－180t ＝ln 0.1≈－2.30，所以t ≈184，则要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是184天，即半年．故选C.4．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8300－170p －p 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()A．30元B．60元C．28000元D．23000元D解析：设毛利润为L (p )元，则由题意知L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20)＝(8300－170p －p 2)(p－20)＝－p 3－150p 2＋11700p －166000，所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．当p ∈(0，30)时，L ′(p )>0；当p ∈(30，＋∞)时，L ′(p )<0.故L (p )在p ＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L (30)＝23000.5．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%.若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求．(参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)8解析：设至少过滤n 次才能达到市场要求，则2%×1−≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.6．我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离．但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为w ，厚度为x 的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为12w ，厚度变为4x ，在理想情况下，对折次数n 有下列关系：n ≤23·log 2��(注：lg 2≈0.3)．根据以上信息，一张长为21cm，厚度为0.05mm 的纸最多能对折________次．8解析：由题知n ≤23log 24200＝23log 24+log 21000+log ＝232+3log 210+log 2因为log 210＝1lg 2≈10.3，0<log 22120<1，所以n ≤8＋23log 22120，n 的最大值为8.B 组新高考培优练7．(2022·聊城一模)“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2mg/cm 3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%.当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2mg/cm 3，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为()(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.477)A．5B．7C．8D．9C 解析：设该污染物排放前过滤的次数为n (n ∈N *)，由题意1.2×0.8n≥6，两边取以10为底的对数可得lg≥lg 6，即n lg2＋lg 3，所以n ≥lg 2+lg 31−3lg 2.因为lg 2≈0.3，lg 3≈0.477，所以lg 2+lg 31−3lg 2≈0.3+0.4771−3×0.3＝7.77，所以n ≥7.77，又n ∈N *，所以n min ＝8，即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8次．故选C.8．(多选题)(2022·济南月考)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们行走的路程f i (x )(i ＝1，2，3，4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)，则下列结论正确的是()A．当x >1时，甲走在最前面B．当x >1时，乙走在最前面C．当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲CD 解析：甲、乙、丙、丁的路程f i (x )(i ＝1，2，3，4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．当x ＝2时，f 1(2)＝3，f 2(2)＝4，所以A 不正确；当x ＝5时，f 1(5)＝31，f 2(5)＝25，所以B 不正确．根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x ＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面，所以C 正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D 正确．9．李冶(1192－1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，有多部数学著作，其中《益古演段》主要研究平面图形问题，求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是________步、________步(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)．2060解析：设圆池的半径为r 步，则方田的边长为(2r ＋40)步，由题意，得(2r ＋40)2－3r 2＝13.75×240，解得r ＝10或r ＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步．10．(2023·泰安模拟)某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量y (单位：微克)随着时间x (单位：时)变化的函数关系式近似为y＝≤�≤6，12−�6＜�≤12．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．(1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？(2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？解：(1)设服用1粒，经过x 小时能有效抗病毒，即血液含药量需不低于4微克，可得0≤�≤6，2�8−�≥4，解得163≤x ≤6.所以163小时后该药能起到有效抗病毒的效果．(2)设经过x 小时能有效抗病毒，即血液含药量需不低于4微克．若0≤x ≤6，药物浓度2�8−�≥4，解得163≤x ≤6.若6＜x ≤12，药物浓度(12－x �−6x 2－20x ＋100≥0，所以6＜x ≤12；若12＜x ≤18，药物浓度12－(x －6)≥4，解得x ≤14，所以12＜x ≤14.综上，x 14，所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为263小时．。

基础课15 函数的模型及其应用考点考向课标要求真题印证考频热度核心素养 函数的模型及其应用掌握 2023年新高考Ⅰ卷T10 2020年全国Ⅰ卷（理）T6 2020年全国Ⅲ卷（理）T4★★☆ 数学抽象 数学建模 数学运算命题分析预测从近几年高考的情况来看，函数模型及其应用常结合数学文化背景考查，试题难度中等.预计2025年高考会以数学文化为背景考查对数函数与指数函数的应用一、几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型 f (x )=ax +b(a ,b 为常数，a ≠0) 二次函数模型 f (x )=ax 2+bx +c(a ,b ,c 为常数，a ≠0) 反比例函数模型 f (x )=k x+b(k ,b 为常数且k ≠0)指数函数模型 f (x )=ba x +c(a ,b ,c 为常数，b ≠0,a >0且a ≠1) 对数函数模型 f (x )=blog a x +c(a ,b ,c 为常数，b ≠0,a >0且a ≠1) 幂函数模型 f (x )=ax α+b(a ,b ,α为常数，a ≠0,α≠0)“对勾”函数模型f (x )=x +ax(a >0)二、三种函数模型的性质函数性质y =a x (a >1)y =log a x (a >1)y=x α(α>0) 在(0,+∞)上的增减性 单调①递增 单调②递增单调③递增增长速度越来④越快越来⑤越慢相对平稳图象的变化随x的增大，逐渐表现为与⑥y轴平行随x的增大，逐渐表现为与⑦x轴平行随α的值变化而变化值的比较存在一个x0，当x>x0时，有⑧log a x<xα<a x【提醒】对于幂函数模型y=xα(α>0),当0<α≤1时，增长较慢；当α>1时，增长较快.题组1 走出误区1. 判一判.（对的打“√”,错的打“×”）（1）某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( × )（2）函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.( × )（3）不存在x0，使a x0<x0n<log a x0.( × )（4）“指数爆炸”是指数型函数y=ab x+c(a≠0，b>0且b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.( × )2. （易错题）某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一个函数用于根据当月评价分数x（单位：分，正常情况下，0≤x≤100，若有突出贡献可以高于100分，且教职工平均每月评价分数在50分左右）计算当月绩效工资y （单位：元），要求绩效工资不低于500元，不设上限且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外在绩效工资越低或越高的同时，人数要越少，则下列函数最符合要求的是( C ).A. y=(x−50)2+500B. y=10x25+500C. y=11000(x−50)3+625 D. y=50[10+lg(2x+1)]【易错点】忽视函数的性质致误，在实际应用问题中，要结合问题的实际意义和函数的性质来确定拟合函数.[解析]由题意知，拟定函数应满足：①是增函数，且增长速度先快后慢再快；②在x=50左右增长速度较慢，且y的最小值为500.对于A，y=(x−50)2+500在[0,100]上先减后增，不符合要求；对于B，y=10x25+500是指数型函数，增长速度越来越快，不符合要求；对于C ，y =11000(x −50)3+625的图象是由y =x 3的图象平移和伸缩变换得到的，符合题目要求；对于D ，y =50[10+lg (2x +1)]是对数型函数，增长速度越来越慢，不符合要求.故选C .题组2 走进教材3. （人教A 版必修①P150·T2改编）在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，若野兔总只数的倍增期为21个月，则1万只野兔增长到10万只野兔大约需要年6.(lg 2≈0.3，结果填整数)[解析]设经过x 年后的野兔有y 只，由题意知y =104⋅212x 21=104⋅24x 7，令y =105，即104⋅24x 7=105，则24x 7=10.两边取常用对数得4x7lg 2=1，解得x =74lg 2≈71.2≈5.83. 故大约需要6年.4. （人教A 版必修①P161·T9改编）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）之间的关系为P =P 0e −kt ，其中P 0，k 是正的常数，若在前5 h 消除了10%的污染物，则20 h 后约剩65.61%的污染物.[解析]当t =0时，P =P 0⋅e −k⋅0=P 0， 当t =5时，P 0⋅e −5kP 0=90%，即e −5k =0.9.所以k =−15ln 0.9， 当t =20时，P 0⋅e −20kP 0=e −20k =e 4ln 0.9=0.94=0.6561，即20 h 后，还剩65.61%的污染物.题组3 走向高考5. [2020·新高考Ⅰ卷改编]基本再生数R 0与世代间隔T 是某传染病的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在该疾病传染的初始阶段，可以用指数模型I (t )=e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在该疾病传染的初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为( B ).(ln 2≈0.69) A. 1.2天 B. 1.8天 C. 2.5天 D. 3.5天[解析]因为R0=3.28，T=6，R0=1+rT，所以r=3.28−16=0.38，所以I(t)= e rt=e0.38t.设在该疾病传染的初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则e0.38(t+t1)=2e0.38t，所以e0.38t1=2，所以0.38t1=ln 2，所以t1=ln 20.38≈0.690.38≈1.8（天）.故选B.考点一利用函数图象刻画实际问题［自主练透］1. 如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一个排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若当水流出时间为t时，鱼缸水深为ℎ，则函数ℎ=f(t)的图象大致是( B ).A.B.C.D.[解析]函数ℎ=f(t)是关于t的减函数，故排除C，D，从一开始，ℎ随着时间变化而减小，但变化逐渐变慢，当超过一半时，ℎ减小的速度变快，故选B.2. [2024·泰州模拟]某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据作出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况，下列可以近似地刻画茶水温度y（单位：℃）随时间x（单位：min）变化规律的数学模型是( B ).A. y=mx2+n(m>0)B. y=ma x+n(m>0,0<a<1)C. y=ma x+n(m>0,a>1)D. y=mlog a x+n(m>0，a>0，且a≠1)[解析]由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m>0,0<a<1.故选B.判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法1.构建函数模型法：先建立函数模型，再结合模型选图象.2.验证法：根据实际问题中变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际情况的答案.考点二 已知函数模型解决实际问题［自主练透］1. [2024·北京模拟]科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数v =12log 3x100−lg x 0（单位：km/min ），其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数x 0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.若雄鸟的飞行速度为1.3 km/min ，雌鸟的飞行速度为0.8 km/min ，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的( B ). A. 2倍B. 3倍C. 4倍D. 5倍[解析]设雄鸟每分钟的耗氧量为x 1，雌鸟每分钟的耗氧量为x 2，由题意可得{1.3=12log 3x1100−lg x 0,0.8=12log 3x 2100−lg x 0,两式相减可得12=12log 3x 1x 2，所以log 3x 1x 2=1，即x 1x 2=3，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍.故选B .2. [2024·云南模拟]牛顿冷却定律描述了一个物体在常温环境下的温度变化：若物体的初始温度为T 0，则经过一定时间t （单位：分钟）后的温度T （单位：℃）将满足T −T a =(12)tℎ⋅(T 0−T a )，其中T a 是环境温度，ℎ称为半衰期.现有一杯85 ℃的热茶，放置在25 ℃的房间中，若热茶降温到55 ℃，需要10分钟，则欲降温到45 ℃，大约需要( C )分钟.（参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771） A. 12B. 14C. 16D. 18[解析]根据题意有55−25=(12)10ℎ(85−25)，解得ℎ=10， 所以45−25=(12)t10(85−25)，则t 10=log 1213，解得t =10×lg 3lg 2≈10×0.47710.3010≈16.故选C .已知函数模型解决实际问题的要点1.认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.2.根据已知条件，利用待定系数法，确定模型中的待定系数.3.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.考点三 构建函数模型解决实际问题［多维探究］ 二次函数模型典例1 （双空题）劳动实践是大学生学习知识、锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会、回报社会的一种良好形式.某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为x 件时，售价为s 元/件，且满足s =820−2x ，每天的成本合计为(600+20x )元，则当日产量为200件时，获得的日利润最大，最大利润为7.94万元.[解析]由题意易得，日利润y =s ⋅x −(600+20x )=x (820−2x )−(600+20x )=−2(x −200)2+79400，故当日产量为200件时，获得的日利润最大，最大利润为7.94万元，指数、对数模型典例2 金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度ℎ与其采摘后的时间t （单位：天）满足的函数解析式为ℎ=mln (t +a )(a >0).若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%，采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为80%.若不及时处理，则采摘下来的金针菇在( C )后会失去全部新鲜度.(√2≈1.414，结果保留一位小数) A. 4.0天B. 4.3天C. 4.7天D. 5.1天[解析]由已知得{mln (1+a )=0.4,mln (3+a )=0.8,两式相除得ln (3+a )ln (1+a )=2，即ln (3+a )=2ln (1+a )，则(1+a )2=3+a ，因为a >0，所以a =1，设t 天后采摘下来的金针菇会失去全部新鲜度，则mln (t +1)=1，又mln (1+1)=0.4，所以ln (t+1)ln 2=10.4，即2ln (t +1)=5ln 2=ln 32，所以(t +1)2=32，解得t =4√2−1≈4.7（负值已舍去）.故选C .分段函数模型典例3 如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x，若将△PAB的面积表示为关于x的函数f(x)，则( C ).A. 当x∈(0,π4]时，f(x)=2tan x B. 当x∈(π4,3π4]时，f(x)=−tan xC. 当x∈[3π4,π)时，f(x)=−tan x D. 当x∈[3π4,π)时，f(x)=tan x[解析]∵OB=BC=1，∴∠BOC=π4，如图1所示，易得OC=OD=√12+12=√2，∴OC2+OD2=CD2，∴∠COD=π2，则∠BOD=π4+π2=3π4.当x∈(0,π4]时，点P在线段BC上（不包括点B），如图2所示，则PB=OBtan x=tan x，此时f(x)=12ABtan x=tan x；当x∈(π4,3π4]时，点P在线段CD上（不包括点C），如图3所示，此时f(x)=12AB⋅BC=1；当x∈[3π4,π)时，点P在线段DA上（不包括点A），如图4所示，此时∠POA=π−x，则PA=OAtan(π−x)=−tan x，则f(x)=12AB⋅PA=−tan x.故选C.在应用函数解决实际问题时需注意的四个步骤审题 弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型 求解将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型求解 求解函数模型，得出数学结论 还原将数学结论还原为实际问题的答案1. 天文学用绝对星等衡量天体的发光强度，用目视星等衡量观测者看到的天体亮度，可用M =m −5lg dd 0近似表示绝对星等M 、目视星等m 和观测距离d （单位：光年）之间的关系.已知织女星的绝对星等为0.58，目视星等为0.04，大角星的绝对星等为−0.38，目视星等为−0.06，则观测者与织女星和大角星之间的距离的比值约为( D ). A. 10−2.2B. 100.172C. 10−0.044D. 10−0.172[解析]设观测者与织女星和大角星之间的距离分别为d 1，d 2，则{0.58=0.04−5lg d1d 0,−0.38=−0.06−5lg d 2d 0,两式相减得5lg d 1d 2=−0.86，所以lg d 1d 2=−0.172，所以d1d 2=10−0.172.故选D .2. 某公司在30天内A 商品的销售价格P （单位：元）与时间t （单位：天）的关系满足图象所示的函数，A 商品的销售量Q （单位：万件）与时间t 的关系是Q =40−t ，则下列说法正确的是( B ).①第15天日销售额最大； ②第20天日销售额最大； ③最大日销售额为120万元；④最大日销售额为125万元. A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④[解析]由图象可得当0≤t ≤20时，可设P =at +b ，根据图象可知直线P =at +b 过点(0,2),(20,6)，所以{b =2,6=20a +b,解得{b =2,a =15,所以P =15t +2，当20≤t ≤30时，可设P =mt +n ，根据图象可知直线P =mt +n 过点(20,6),(30,5)， 所以{6=20m +n,5=30m +n,解得{m =−110,n =8,所以P =−110t +8，故P ={15t +2,0≤t <20,−110t +8,20≤t ≤30,又Q =−t +40(0<t ≤30)，设第t 天的销售额为y 万元， 所以y =P ⋅Q ={(15t +2)(−t +40),0<t <20,(−110t +8)(−t +40),20≤t ≤30, 化简可得y ={−15t 2+6t +80,0<t <20,110t 2−12t +320,20≤t ≤30,当0<t <20时，y =−15(t −15)2+125，所以y ≤125，当且仅当t =15时，等号成立；当20≤t ≤30时，y =110(t −60)2−40，所以y ≤120，当且仅当t =20时，等号成立.综上可得，第15日的销售额最大，最大值为125万元，故①④正确. 故选B .3. 某科研小组对面积为8000平方米的某池塘里的一种生物的生长规律进行研究.一开始在此池塘投放了一定面积的该生物，观察实验得到该生物的覆盖面积y （单位：平方米）与所经过的月数x(x ∈N )的数据如表所示.x 0 2 3 4 y42562.5156.3为了描述该生物的覆盖面积y（单位：平方米）与经过的月数x(x∈N)的关系，现有以下四种模型可供选择：①y=ax+b(a>0);②y=k⋅a x(k>0,a>1);③y=p√x+q(p>0);④y=log a x+b成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可(a>1)（1）试判断哪种函数模型更适合，并求出该模型的函数解析式；（2）经过几个月，此生物能覆盖整个池塘？（参考数据：√2≈1.414,lg 2≈0.301）[解析]（1）因为函数y=k⋅a x(k>0,a>1)刻画的是增长速度越来越快的变化规律，符合表中数据的变化规律，而y=ax+b(a>0)刻画的是增长速度不变的规律，y=p√x+q(p>0)和y=log a x+b(a>1)刻画的是增长速度越来越慢的变化规律，所以y=k⋅a x(k>0,a>1)更合适，则{k⋅a0=4,k⋅a2=25,解得{a=52,k=4,所以y=4⋅(52)x,x∈N.（2）设约经过x个月，此生物能覆盖整个池塘，则4⋅(52)x≥8000,解得x≥log522000=lg 2000lg 52=3+lg 21−2lg 2≈8.294.故约经过9个月，此生物能覆盖整个池塘.第11 页。

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核心素养测评十二函数模型及其应用(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.某股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先后经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下降10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A.略有盈利B.略有亏损C.不盈不亏D.无法判断【解析】选B.设这只股票的价格为a元,则经历n次涨停后的价格为a ×1.1n,再经历n次跌停后的价格为a×1.1n×0.9n=0.99n a<a.2.高为H,满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出,若鱼缸水深为h时,鱼缸内水的体积为v,则函数v=f(h)的大致图象是( )【解析】选B.v=f(h)是增函数,且曲线的增长速度应该是先变慢再快,然后由快再变慢.3.有一组试验数据如表所示:2.03 4.01 5.1 6.12x18.0y 315 23.8 36.041则最能体现这组数据关系的函数模型是( )A.y=-1B.y=x2-1C.y=2 log2xD.y=x3【解析】选B.由表格数据可知,函数的解析式应该是指数函数类型、二次函数类型、幂函数类型,选项C不正确.取x=2.01,代入A选项,得y=-1>7,代入B选项,得y=x2-1≈3,代入D选项,得y=x3>8;取x=3,代入A选项,得y=-1=15,代入B选项,得y=x2-1=8,代入D选项,得y=x3=27.4.某城市出租车起步价为10元,最远可租乘3 km(含3 km),以后每1 km 增加1.6元(不足1 km按1 km计费),则出租车的费用y(元)与行驶的路程x(km)之间的函数图象大致为( )【解析】选C.出租车起步价为10元(最远3 km的路程),即在(0,3]内对应y的值为10,以后每1 km增加1.6元(不足1 km按1 km计费);C 项符合.5.一水池有两个进水口,一个出水口,每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.给出以下3个论断:①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水,则一定正确的是( )A.①B.①②C.①③D.①②③【解析】选A.由甲、乙两图知,进水速度是出水速度的,所以0点到3点不出水,3点到4点可能一个进水口进水,一个出水口出水,但总蓄水量降低,4点到6点也可能两个进水口进水,一个出水口出水,一定正确的是①.【变式备选】(2020·三明模拟)用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超过1%,则至少要洗的次数是(参考数据lg 2≈0.301 0) ( )A.3B.4C.5D.6【解析】选B. 设要洗x次,则≤,所以x≥≈3.322,因此至少洗4次.二、填空题(每小题5分,共15分)6.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是________.【解析】总费用为4x+×6=4≥4×2=240,当且仅当x=,即x=30时等号成立.答案:307.(2020·唐山模拟)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为________m. 世纪金榜导学号【解析】设矩形花园中与x相邻的另一边长为y m,则=,即y=40-x,矩形花园的面积S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400,当x=20 m时,面积最大.答案:208.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt +c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为________分钟. 世纪金榜导学号【解析】由实验数据和函数模型知,二次函数p=at2+bt+c的图象过点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5),分别代入解析式,得解得所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2(t-3.75)2+0.812 5,所以当t=3.75时,可食用率p最大,即最佳加工时间为3.75分钟.答案:3.75三、解答题(每小题10分,共20分)9.某种出口产品的关税税率为t,市场价格x(单位:千元)与市场供应量p(单位:万件)之间近似满足关系式:p=,其中k,b均为常数.当关税税率t=75%时,若市场价格为5千元,则市场供应量约为1万件;若市场价格为7千元,则市场供应量约为2万件. 世纪金榜导学号(1)试确定k,b的值.(2)市场需求量q(单位:万件)与市场价格x近似满足关系式:q=2-x,当p=q时,市场价格称为市场平衡价格,当市场平衡价格不超过4千元时,试确定关税税率的最大值.【解析】(1)由已知⇒解得b=5,k=1.(2)当p=q时,=2-x,所以(1-t)(x-5)2=-x⇒t=1+=1+.而f(x)=x+在(0,4]上单调递减,所以当x=4时,f(x)有最小值,故当x=4时,关税税率的最大值为500%.10.某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元、0.5万元. 世纪金榜导学号(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系.(2)若该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎样分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?【解析】(1)设两类产品的收益与投资的函数关系分别为f(x)=k1x,g(x)=k2.由已知得f(1)==k1,g(1)==k2,所以f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0).(2)设投资股票类产品为x万元,则投资债券类产品为(20-x)万元.依题意得y=f(20-x)+g(x)=+=(0≤x≤20).所以=2,即x=4时,收益最大,y max=3万元.故投资债券类产品16万元,投资股票类产品4万元时获得最大收益,为3万元.(15分钟35分)1.(5分)小明在如图1所示的跑道上匀速跑步,他从点A出发,沿箭头方向经过点B跑到点C,共用时30 s,他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程,设小明跑步的时间为t(s),他与教练间的距离为y(m),表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示,则这个固定位置可能是图1中的 ( )A.点MB.点NC.点PD.点Q【解析】选D.A.假设这个位置在点M,则从A至B这段时间,y不随时间的变化改变,与函数图象不符,故本选项错误;B.假设这个位置在点N,则从A至C这段时间,A点与C点对应y的大小应该相同,与函数图象不符,故本选项错误;C.假设这个位置在点P,教练离小明的距离最后时间段会越来越近不会再由近至远,而点P不符合这个条件,故本选项错误;D.经判断点Q符合函数图象,故本选项正确.【变式备选】已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶,甲、乙两车的速度曲线分别为v甲和v乙,如图所示,那么对于图中给定的t0和t1,下列判断中一定正确的是( )A.在t1时刻,甲车在乙车前面B.t1时刻后,甲车在乙车后面C.在t0时刻,两车的位置相同D.t0时刻后,乙车在甲车前面【解析】选A.由图象可知,曲线v甲比v乙在0～t0,0～t1与t轴所围成的图形面积大,则在t0,t1时刻,甲车均在乙车前面.2.(5分)(2019·南京模拟)近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每座城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P(单位:万元)与投入a(单位:万元)满足P=3-6,乙城市收益Q(单位:万元)与投入A(单位:万元)满足Q=A+2,则投资两座城市收益的最大值为 ( )A.26万元B.44万元C.48万元D.72万元【解析】选B.设在甲城市投资x万元,在乙城市投资(120-x)万元,所以总收益f(x)=3-6+(120-x)+2=-x+3+26,由题意知解得40≤x≤80.令t=,则t∈[2,4],所以y=-t2+3t+26=-(t-6)2+44,当t=6,即x=72时,y取得最大值44,所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.3.(5分)已知某工厂生产某种产品的月产量y(单位:万件)与月份x之间满足关系y=a·0.5x+b,现已知该产品1月、2月的产量分别为1万件、1.5万件,则该产品3月份的产量为________万件.【解析】由已知得解得故当x=3时y=-2×0.53+2=1.75.答案:1.754.(10分)某快递公司在某市的货物转运中心,拟引进智能机器人分拣系统,以提高分拣效率和降低物流成本,已知购买x台机器人的总成本p(x)=x2+x+150 (万元). 世纪金榜导学号(1)若使每台机器人的平均成本最低,问应买多少台?(2)现按(1)中的数量购买机器人,需要安排m人将邮件放在机器人上,机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣(如图),经实验知,每台机器人的日平均分拣量q(m)=(单位:件),已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1 200件,问引进机器人后,日平均分拣量达到最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几? 【解析】(1)由总成本p(x)=x2+x+150(万元),可得每台机器人的平均成本y===x++1≥2+1=2.当且仅当x=,即x=300时,上式等号成立.所以若使每台机器人的平均成本最低,应买300台.(2)引进机器人后,每台机器人的日平均分拣量q(m)=当1≤m≤30时,300台机器人的日平均分拣量为160m(60-m)=-160m2+9 600m,所以当m=30时,日平均分拣量有最大值144 000.当m>30时,日平均分拣量为480×300=144 000.所以300台机器人的日平均分拣量的最大值为144 000件.若传统人工分拣144 000件,则需要人数为=120人.所以日平均分拣量达到最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少×100%=75%.【变式备选】某公司制订了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过10万元时,按销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过10万元时,若超出A万元,则额外奖励2log5(A+1)万元.记奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元).(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型.(2)如果业务员小李获得3.5万元的奖金,那么他的销售利润是多少万元?【解析】(1)由题意得,该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型为y=(2)由(1)知,当x∈[0,10]时,0≤0.15x≤1.5,因为业务员小李获得3.5万元的奖金,即y=3.5,所以x>10,因此1.5+2log5(x-9)=3.5,解得x=14.所以业务员小李的销售利润是14万元.5.(10分)某公司为了实现年销售利润1 000万元的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:从销售利润达到10万元开始,按销售利润进行奖励,且奖金数额y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金数额不超过5万元,同时奖金数额不超过销售利润的25%.现有三个奖励模型:y=0.025x,y= 1.003x,y=ln x+1,问其中是否有模型能完全符合公司的要求?请说明理由. 世纪金榜导学号(参考数据:1.003538≈5,e=2.718 28…,e8≈2 981)【解析】由题意,符合公司要求的模型需同时满足:当x∈[10,1 000]时,①函数为增函数;②函数的最大值不超过5;③y≤x·25%.(1)对于y=0.025x,易知满足①,但当x>200时,y>5,不满足公司的要求.(2)对于y=1.003x,易知满足①,但当x>538时,y>5,不满足公司的要求.(3)对于y=ln x+1,易知满足①.当x∈[10,1 000]时,y≤ln 1 000+1.下面证明ln 1 000+1≤5.因为ln 1 000+1-5=ln 1 000-4=(ln 1 000-8)=(ln 1 000-ln 2 981)<0,满足②.再证明ln x+1≤x·25%,即2ln x+4-x≤0.设F(x)=2ln x+4-x,则F′(x)=-1=<0,x∈[10,1 000],所以F(x)在[10,1 000]上为减函数,F(x)max=F(10)=2ln 10+4-10=2ln 10-6=2(ln 10-3)<0,满足③.综上,奖励模型y=ln x+1能完全符合公司的要求.【拓广探索练】1.某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品.已知经销甲、乙商品所获得的利润分别为P(万元)和Q(万元),且它们与投入资金x(万元)的关系是:P=,Q=(a>0).若不管资金如何投入,经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于5万元,则a的最小值应为世纪金榜导学号( )A. B.5 C. D.2【解析】选A.设投入x万元经销甲商品,则经销乙商品投入(20-x)万元,总利润y=P+Q=+·.令y≥5,则+·≥5对0≤x≤20恒成立.所以a≥10-,所以a≥对0≤x<20恒成立.令f(x)=,因为f(x)=的最大值为,且x=20时,a≥10-也成立,所以a min=.2.食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位:万元)满足P=80+4,Q=a+120,设甲大棚的投入为x(单元:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元). 世纪金榜导学号(1)求f(50)的值.(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大? 【解析】(1)由题意知甲大棚投入50万元,则乙大棚投入150万元,所以f(50)=80+4+×150+120=277.5(万元).(2)f(x)=80+4+(200-x)+120=-x+4+250,依题意得⇒20≤x≤180,故f(x)=-x+4+250(20≤x≤180).令t=,则t∈[2,6],y=-t2+4t+250=-(t-8)2+282,当t=8,即x=128时,f(x)取得最大值,f(x)max=282.所以甲大棚投入128万元,乙大棚投入72万元时,总收益最大.关闭Word文档返回原板块莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

第13讲函数模型及其应用思维导图知识梳理1．几种常见的函数模型题型归纳题型1 用函数图象刻画变化过程【例1-1】（2020•徐汇区二模）某地区的绿化面积每年平均比上一年增长20%，经过x 年，绿化面积与原绿化面积之比为y ，则()y f x =的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【分析】求出函数()y f x =的解析式，由指数函数的图象即可得解．【解答】解：设原来为a ，则(120%)12x x a y a+==，故选：D ．【例1-2】（2019秋•琼山区校级期末）两个学校1W 、2W 开展节能活动，活动开始后两学校的用电量1()W t 、2()W t 与时间t （天)的关系如图所示，则一定有( )A ．1W 比2W 节能效果好B ．1W 的用电量在[0，0]t 上的平均变化率比2W 的用电量在[0，0]t 上的平均变化率大C ．两学校节能效果一样好D ．1W 与2W 自节能以来用电量总是一样大【分析】根据条件判断两个学校的变化率的大小即可．【解答】解：1W 的变化率大，2W 的变化率小，则1W 比2W 节能效果好，故选：A．【跟踪训练1-1】（2019秋•武昌区期末）在2h内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是()A．B．C．D．【分析】根据在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减即可得出．【解答】解：在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为直线，且为增函数，排除A，D，停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．排除C．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是B．故选：B．【跟踪训练1-2】（2020•来宾模拟）近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了--系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q．已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率（单位时间的供应量）逐步提高的是()A．B．C．D．【分析】分析可知，图象应上升的，且越来越陡，由此即可得出选项． 【解答】解：单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快， 图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡， 所以函数的图象应一直下凹的． 故选：B ． 【名师指导】判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．题型2 应用所给函数模型解决实际问题【例2-1】（2020•山东）基本再生数0R 与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：()rt I t e =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 近似满足01R rT =+．有学者基于已有数据估计出0 3.28R =，6T =．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为( )(20.69)ln ≈ A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【分析】根据所给模型求得0.38r =，令0t =，求得I ，根据条件可得方程0.382t e =，然后解出t 即可． 【解答】解：把0 3.28R =，6T =代入01R rT =+，可得0.38r =，0.38()t I t e ∴=， 当0t =时，(0)1I =，则0.382t e =， 两边取对数得0.382t ln =，解得21.80.38ln t =≈． 故选：B ．【例2-2】（2020•新课标Ⅲ）Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()(I t t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(53)()1t K I t e --=+，其中K为最大确诊病例数．当*()0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为( )(193)ln ≈ A ．60B ．63C ．66D ．69【分析】根据所给材料的公式列出方程0.23(53)0.951t K K e--=+，解出t 即可．【解答】解：由已知可得0.23(53)0.951t K K e--=+，解得0.23(53)119t e --=， 两边取对数有0.23(53)19t ln --=-， 解得66t ≈， 故选：C ．【跟踪训练2-1】（2020春•海淀区校级期末）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为 4.8 1.5lgE M =+，1976年7月28日我国唐山发生的里氏7.8级地震与2008年5月12日我国汶川发生的里氏8.0级地震所释放出来的能量的比值为( ) A ．0.310B ．0.3C ． 1.3lgD ．0.310-【分析】设汶川地震所释放出的能量是1E ，唐山地震所释放出的能量是2E ，由已知列式结合对数的运算性质求得1E 与2E 的值，作比得答案．【解答】解：设汶川地震所释放出的能量是1E ，唐山地震所释放出的能量是2E ， 则1 4.8 1.57.816.5lgE =+⨯=，2 4.8 1.5816.8lgE =+⨯=，16.5110E ∴=，16.8210E =；∴0.31210E E -==． 故选：D ．【跟踪训练2-2】（2020•梅州二模）某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C)︒满足函数关系(kx b y e e +=为自然对数的底数，k ，b 为常数），若该食品在0C ︒的保鲜时间是384小时，在22C ︒的保鲜时间是24小时，则该食品在33C ︒的保鲜时间是 ． 【分析】利用已知条件求出函数的解析式，然后代入求解即可．【解答】解：食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C)︒满足函数关系(kx b y e e +=为自然对数的底数，k ，b 为常数），若该食品在0C ︒的保鲜时间是384小时，在22C ︒的保鲜时间是24小时，可得：384b e =，2224k b e +=，解得384b ln =，1411k ln =-， 所以438411ln x ln y e-+=，该食品在33C ︒的保鲜时间：33844333841146ln lnln e e-⨯+==（小时）． 故答案为：6． 【名师指导】求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．题型3 构建函数模型解决实际问题【例3-1】（2020春•内江期末）某公司生产某种产品，其年产量为x 万件时利润为()R x 万元，当035x <时，年利润为21()202502R x x x =-++，当35x >时，年利润为1800()5202R x x x=--+．（1）若公司生产量在035x <且年利润不低于400万时，求生产量x 的范围； （2）求公司年利润()R x 的最大值．【分析】（1）令21()202504002R x x x =-++，解之即可；（2）分段讨论出()R x 的最大值即可．【解答】解：（1）当035x <时，令21()202504002R x x x =-++，解得1030x ；（2）当035x <时，222111()20250(40)250(20)50222R x x x x x x =-++=--+=--+，故此时()R x 在(0,20)上单调递增，在(20,35)上单调递减， 则此时()R x 最大值为(20)450R =；当35x >时，1800()5202R x x x =--+，则21800()02R x x'=-+=时，40x =，故此时()R x 在(35,40)上单调递增，在(40,)+∞上单调递减， 则此时()R x 最大值为(40)480R =， 综上公司年利润()R x 的最大值为480．【例3-2】一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的2 2.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)，则a(1－x)10＝12a，即(1－x)10＝12，解得x＝1－11012⎛⎫⎪⎝⎭.(2)设经过m年剩余面积为原来的22，则a(1－x)m＝22a，即11021122m⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即m10＝12，解得m＝5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年．【例3-3】某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 3 平方米，且高度不低于 3 米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________米．【答案】23【解析】由题意可得BC＝18x－x2(2≤x<6)，∴y＝18x＋3x2≥218x×3x2＝6 3.当且仅当18x＝3x2(2≤x<6)，即x＝23时等号成立．【例3-4】（2019秋•济南期末）济南新旧动能转换先行区，承载着济南从“大明湖时代”迈向“黄河时代”的梦想，肩负着山东省新旧动能转换先行先试的重任，是全国新旧动能转换的先行区．先行区将以“结构优化、质量提升”为目标，通过开放平台汇聚创新要素，坚持绿色循环保障持续发展，建设现代绿色智慧新城．2019年某智能机器人制造企业有意落户先行区，对市场进行了可行性分析，如果全年固定成本共需2000（万元），每年生产机器人x （ 百个），需另投人成本C （x ）（万元），且C(x)={10x 2+200x ，0＜x ＜40601x +10000x−4500，x ≥40，由市场调研知，每个机器人售价6万元，且全年生产的机器人当年能全部销售完．（1）求年利润L （x ）（万元）关于年产量x （ 百个）的函数关系式；（利润＝销售额﹣成本） （2）该企业决定：当企业年最大利润超过2000（万元）时，才选择落户新旧动能转换先行区．请问该企业能否落户先行区，并说明理由．【分析】（1）根据题意利润＝销售额﹣成本，分段求年利润L （x ）（万元）关于年产量x （ 百个）的函数关系式即可；（2）分段求函数的最大值，利用二次函数的性质结合基本不等式，即可求解．【解答】解：（1）当0＜x ＜40时，L （x ）＝6×100x ﹣10x 2﹣200x ﹣2000＝﹣10x 2+400x ﹣2000， 当x ≥40时，L(x)=6×100x −601x −10000x +4500−2000=2500−(x +10000x)， 所以L(x)={−10x 2+400x −2000，0＜x ＜402500−(x +10000x )，x ≥40； （2）当0＜x ＜40时，所以L （x ）＝﹣10x 2+400x ﹣2000＝﹣10（x ﹣20）2+2000， 所以当x ＝20时，L （x ）max ＝L （20）＝2000； 当x ≥40时，所以L(x)=2500−(x +10000x )≤2500−2√x ⋅10000x=2500−200=2300， 当且仅当x =10000x，即x ＝100时， 所以L （x ）max ＝L （100）＝2300＞2000． 故该企业能落户新旧动能转换先行区．【跟踪训练3-1】（2020春•东营区校级月考）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．若两颗星的星等与亮度满足112232Em m lg E -=．其中星等为k m ，星的亮度为(1,2)k E k =．（1）若1210000E E =，则21m m -= ；（2）若太阳的星等是26.7-，天狼星的星等是 1.5-，则太阳与天狼星的亮度的比值为 ． 【分析】（1）由1210000E E =，得42110E E -=，代入112232Em m lg E -=，即可求得21m m -的值；（2）设太阳的星等是126.7m =-，天狼星的星等是2 1.5m =-，代入112232Em m lg E -=，求得12E E 即可．【解答】解：（1）由1210000E E =，得42110E E -=， 又112232Em m lg E -=，∴422113310622E m m lg lg E --===-；（2）设太阳的星等是126.7m =-，天狼星的星等是2 1.5m =-，则1122326.7( 1.5)2Em m lg E -=---=，即1216.8E lg E -=，则16.81210E E -=． 即太阳与天狼星的亮度的比值为16.810-． 故答案为：6-；16.810-．【跟踪训练3-2】（2019秋•平谷区期末）某餐厅经营盒饭生意，每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每盒盒饭的成本为15元，销售单价与日均销售量的关系如表： 单价/元 16 17 18 19 20 21 22 日销售量/盒480440400360320280240根据以上数据，当这个餐厅每盒盒饭定价______元时，利润最大（ ） A ．16.5B ．19.5C ．21.5D ．22【分析】设销售单价为x 元时，销售量为480﹣40（x ﹣16）＝1120﹣40x ，日销售利润y ＝（x ﹣15）（1120﹣40x ）．由此能求出结果．【解答】解：设销售单价为x 元时，销售量为480﹣40（x ﹣16）＝1120﹣40x ， ∴日销售利润y ＝（x ﹣15）（1120﹣40x ）＝﹣40(x −432)2+1690． ∴当这个餐厅每盒盒饭定价21.5元时，利润取最大值1690元． 故选：C ．【跟踪训练3-3】（2019秋•临沂期末）某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t （单位：分钟）满足5≤t≤20，t ∈N ．经测算，该路无人驾驶公交车载客量p （t ）与发车时间间隔t 满足：p(t)={60−(t −10)2，5≤t ＜10，60，10≤t ≤20，其中t ∈N ． （1）求p （5），并说明p （5）的实际意义； （2）若该路公交车每分钟的净收益y =6p(1)+24t−10（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益． 【分析】（1）把t ＝5代入分段函数P （t ）的解析式即可；（2）先求出y 关于t 的函数解析式，再利用基本不等式即可求出结果． 【解答】解：（1）p （5）＝60﹣（5﹣10）2＝35， 实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35；（2）∵y =6p(t)+24t −10，∴当5≤t ＜l 0时，y =360−6(t−10)2+24t−10， 即y =−6t 2+120t−216t −10=110−(6t +216t )，∵6t +216t ≥2√6t ×216t =72，当且仅当6t =216t，即t ＝6时等号成立，所以，当t ＝6时，y 取得最大值38， 当10≤t ≤20时，y =6×60+24t −10=384t−10， 则当t ＝10时，y 取得最大值28.4，综上，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元． 【名师指导】建模解决实际问题的三个步骤。

2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题12函数模型及其应用最新考纲1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.基础知识融会贯通1．几类函数模型2.三种函数模型的性质【知识拓展】1．解函数应用题的步骤2．“对勾”函数形如f (x )＝x ＋ax(a >0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减． (2)当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ， 当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a .重点难点突破【题型一】用函数图象刻画变化过程【典型例题】某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值（单位：°C ）数据，绘制如下折线图，那么，下列叙述错误的是（ ）A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有5个D ．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势【解答】解：由2018年各月的每天最高气温平均值和最低气温平均值（单位：℃）数据，绘制出的折线图，知：在A中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A正确；在B中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B正确；在C中，全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C 正确；在D中，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D错误故选：D．【再练一题】某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100℃，水温y（℃）与时间t（min）近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y（℃）与时间t（min）近似满足函数的关系式为（a，b为常数），通常这种热饮在40℃时，口感最佳．某天室温为20℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示．那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为（）A．35min B．30min C．25min D．20min【解答】解：由题意知当0≤t≤5时，图象是直线，当t≥5时，图象的解析式为，图象过（5，100）和（15，60），则，得，即y＝80（）20，t≥5，当y＝40时，得80（）20＝40，即80（）20，得（），得2，得t＝25，即最少需要的时间为25min，故选：C．思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．【题型二】已知函数模型的实际问题【典型例题】在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y ＝e kx+b（e＝2.71828…为自然对数的底数，k，b为常数），若该食品在0℃时的保鲜时间为120小时，在30℃时的保鲜时间为15小时，则该食品在20℃时的保鲜时间为（）A．30小时B．40小时C．50小时D．80小时【解答】解：由题意可知，∴e30k，∴e10k，∴e20k+b＝（e10k）2•e b•120＝30．故选：A．【再练一题】地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（）A．（1，2）B．（5，6）C．（7，8）D．（15，16）【解答】解：lgE＝4.8+1.5M，∴lgE1＝4.8+1.5×8＝16.8，lgE2＝4.8+1.5×7.5＝16.05，∴E1＝1016.8，E2＝1016.05，∴100.75，∵100.75＞90.75＝31.5＝35，∴的值所在的区间为（5，6），故选：B．思维升华求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该模型求解实际问题．【题型三】构建函数模型的实际问题命题点1构造一次函数、二次函数模型【典型例题】已知汽车刹车距离y（米）与行驶速度的平方v2（v的单位：千米/时）成正比，当汽车行驶速度为60千米/时，刹车距离为20米．若某人驾驶汽车的速度为90千米/时，则刹车距离为米．【解答】解：由汽车刹车距离y（米）与行驶速度的平方v2（v的单位：千米/时）成正比，设y＝kv2，当汽车行驶速度为60千米/时，刹车距离为20米，∴20＝3600k，解得k，∴y v2，当v＝90千米/时，∴y902＝45米，故答案为：45【再练一题】某农场种植一种农作物，为了解该农作物的产量情况，现将近四年的年产量f（x）（单位：万斤）与年份x （记2015年为第1年）之间的关系统计如下：则f（x）近似符合以下三种函数模型之一：①f（x）＝ax+b；②f（x）＝2x+a；③f（x）＝x2+b．则你认为最适合的函数模型的序号是．【解答】解：若模型为②，则f（1）＝2+a＝4，解得a＝2，于是f（x）＝2x+2，此时f（2）＝6，f（3）＝10，f（4）＝18，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为③，则f（1）＝1+b＝4，解得b＝3，于是f（x）＝x2+3，f（2）＝7，f93）＝12，f（4）＝19，此时，与表格中的数据相差太大，不符合；若模型为①，则根据表中数据得，解得a，b，经检验是最适合的函数模型．故答案为：①．命题点2构造指数函数、对数函数模型【典型例题】已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物2500mg，设经过x个小时后，药物在病人血液中的量为ymg．（1）y与x的关系式为；（2）当该药物在病人血液中的量保持在1500mg以上，才有疗效；而低于500mg，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过小时（精确到0.1）．（参考数据：0.20.3≈0.6，0.82.3≈0.6，0.87.2≈0.2，0.89.9≈0.1）【解答】解：（1）由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减， 给某病人注射了该药物2500mg ，经过x 个小时后，药物在病人血液中的量为y ＝2500×（1﹣20%）x ＝2500×0.8x （mg ）， 即y 与x 的关系式为 y ＝2500×0.8x ；（2）当该药物在病人血液中的量保持在1500mg 以上，才有疗效；而低于500mg ，病人就有危险， 令2500×0.8x ≥500， ∴0.8x ≥0.2，∵0.87.2≈0.2，y ＝0.8x 是单调减函数， ∴x ≤7.2，所以要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时． 故答案为：（1）y ＝2500×0.8x ，（2）7.2．【再练一题】燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬．研究发现，燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2，单位是m /s ，其中O 表示燕子的耗氧量的单位数．记v 1＝25m /s 时耗氧量为O 1，v 2＝5m /s 时耗氧量为O 2，则O 1是O 2的 16 倍．【解答】解：v ＝5log 2，当v 1＝25m /s 时耗氧量为O 1，则25＝5log 2，即25，即O 1＝10×25，v 2＝5m /s 时耗氧量为O 2，5＝5log 2，即2，即O 2＝10×2，∴24＝16，故则O 1是O 2的16倍， 故答案为：16命题点3 构造y ＝x ＋ax (a >0)型函数【典型例题】某公司一年购买某种货物480吨，每次购买x吨，运费为10万元/次，一年的总存储费用为3x万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x的值是．【解答】解：设总费用为y，则y＝3x+103x2240，当且仅当3x即x＝40时取等号．故答案为：40．【再练一题】某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为L，其中k为常数．若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L．欲使每小时的油耗不超过9L，则速度x的取值范围为．【解答】解：设每小时的油耗（所需要的汽油量）为y，由题意可得y，当x＝120时，y＝11.5，∴11.5（120﹣k），解得k＝100，∴y（x﹣100）∵每小时的油耗不超过9L，∴（x﹣100）≤0，即x2﹣145x+4500≤0，解得45≤x≤100，又60≤x≤120，可得60≤x≤100，每小时的油耗不超过9升，x的取值范围为[60，100]，故答案为：[60，100]命题点4构造分段函数模型【典型例题】2018年个税改革方案中专项附加扣除等内容将于2019年全面施行．不过，为了让老百姓尽早享受到减税红利，自2018年10月至2018年12月，先将工资所得税起征额由3500元/月提高至5000元/月，并按新的税率表（见附录）计算纳税．按照税法规定，小王2018年9月和10月税款计算情况分别如下：（相关计算公式为：应纳税额＝纳税所得额﹣起征额，税款＝应纳税额×适用税率﹣速算扣除数，税后工资＝纳税所得额﹣税款）（1）某职工甲2018年9月应纳税额为2000元，那么他9月份的税款为元；（2）某职工乙2018年10月税后工资为14660元，则他享受减税红利为元．附录：【解答】解：（1）根据题意，某职工甲2018年9月应纳税额为2000元，则甲的应纳税额对应的税率为10%，速算扣除数为105，那么他9月份的税款为2000×10%﹣105＝95元；（2）根据题意，设乙的工资为x元，个税改革之前其应缴的个税为y元，个税改革之后其应缴的个税为y′元，则y，y′，若职工乙2018年10月税后工资为14660元，即y′＝14660，分析可得有0.1（x﹣5000）﹣210＝x﹣14660，解可得x＝15500，该职工的税款15500﹣14660＝840元，在个税改革之前，该职工的税款y ＝0.25×（15500﹣3500）﹣1005＝1995元，则职工乙享受减税红利为1995﹣840＝1155元；故答案为：（1）95，（2）1155．【再练一题】某公司代理销售某种品牌小商品，该产品进价为5元/件，销售时还需交纳品牌使用费3元/件，售价为x元/件，其中10≤x≤30，且x∈N*．根据市场调查，当10≤x≤15，且x∈N*时，每月的销售量h（万件）与（18﹣x）2成正比；当15≤x≤30，且x∈N*时，每月的销售量h（万件）与成反比．已知售价为15元/件时，月销售量为9万件．（1）求该公司的月利润f（x）（万件）与每件产品的售价x（元）的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，该公司的月利润f（x）最大？并求出最大值．【解答】解：（1）当10≤x≤15且x∈N×时，设h（x）＝k1（18﹣x）2，由题意可知h（15）＝9，即9＝9k1，故k1＝1，此时利润f（x）＝（x﹣8）（18﹣x）2，当15≤x≤30且x∈N×时，设h（x），又h（15）＝9，故9，故k2＝3．此时利润f（x）＝（x﹣8）．∴f（x）．（2）当10≤x≤15且x∈N×时，f′（x）＝（x﹣18）（3x﹣34），令f′（x）＝0可得x＝18（舍）或x，∴当10≤x时，f′（x）＞0，当x≤15时，f′（x）＜0，∴f（x）在[10，）上单调递增，在（，15]上单调递减，∵x∈N×，且f（11）＝147，f（12）＝144，∴当x＝11时，f（x）取得最大值147．当15≤x≤30且x∈N×时，f′（x），令f′（x）＝0可得x＝10±2（舍），∴当15≤x≤30时，f′（x）＞0，故f（x）在[15，30]上单调递增，∴当x＝30时，f（x）取得最大值f（30）＝99．综上，当x＝11时，f（x）取得最大值147．答：当每件产品的售价为11元时，该公司的月利润f（x）最大，最大利润为147万元．思维升华构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．基础知识训练1．图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．点F在平面ABCD 和BC上的射影分别为H，M．已知HM = 5 m，BC = 10 m，梯形ABFE的面积是△FBC面积的2.2倍．设∠FMH = ．（1）求屋顶面积S关于的函数关系式；（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k（k为正的常数），下部主体造价与其高度成正比，比例系数为16 k．现欲造一栋上、下总高度为6 m的别墅，试问：当为何值时，总造价最低？【答案】（1）；（2）当时该别墅总造价最低【解析】（1）由题意FH⊥平面ABCD，FM⊥BC，又因为HM ⊂平面ABCD，得FH⊥HM．在Rt△FHM中，HM = 5，，所以．因此△FBC的面积为．从而屋顶面积．所以S关于的函数关系式为)．（2）在Rt△FHM中，，所以主体高度为．所以别墅总造价为记，所以，令，得，又，所以．列表：− 0 +所以当时，有最小值．答：当时该别墅总造价最低．2．如图，某公园摩天轮的半径为40m，点O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每10min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．已知在时刻时点P距离地面的高度为，其中，求的解析式；在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过70m？【答案】（1）．；（2）摩天轮转动的一圈内，有点P距离地面超过70m.【解析】（1）由题意可得（2）由解得：故摩天轮转动的一圈内，有距离地面超过3．小王在某景区内销售该景区纪念册，纪念册每本进价为5元，每销售一本纪念册需向该景区管理部门交费2元，预计这种纪念册以每本20元的价格销售时，小王一年可销售2000本，经过市场调研发现，每本纪念册的销售价格在每本20元的基础上每减少一元则增加销售400本，而每增加一元则减少销售100本，现设每本纪念册的销售价格为x元．写出小王一年内销售这种纪念册所获得的利润与每本纪念册的销售价格的函数关系式，并写出这个函数的定义域；当每本纪念册销售价格x为多少元时，小王一年内利润最大，并求出这个最大值．【答案】（1）见解析；（2）32400【解析】由题每本书的成本为7元设每本纪念册的销售价格为x元．当时，当时，，小王一年内销售这种纪念册所获得的利润与每本纪念册的销售价格的函数关系式为：．此函数的定义域为．．，当，则当时，当，则当时，所以当时，小王获得的利润最大为4．某地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件，则安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？【答案】（1）饮用水和蔬菜分别为200件和120件；（2）有3种方案．设计方案分别为：①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆；（3）运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元．【解析】（1）设饮用水有x件，则蔬菜有（x–80）件．x+（x–80）=320，解得x=200．∴x–80=120．答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件；（2）设租用甲种货车m辆，则租用乙种货车（8–m）辆．得：，解得2≤m≤4．∵m为正整数，∴m=2或3或4，安排甲、乙两种货车时有3种方案．设计方案分别为：①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆；（3）3种方案的运费分别为：①2×400+6×360=2960（元）；②3×400+5×360=3000（元）；③4×400+4×360=3040（元）；∴方案①运费最少，最少运费是2960元．答：运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元．5．某地区今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，54，58为了预测以后各月的患病人数，甲选择的了模型，乙选择了模型，其中y为患病人数，x为月份数，a，b，c，p，q，r都是常数，结果4月，5月，6月份的患病人数分别为66，82，115，你认为谁选择的模型较好？需说明理由至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过2000人？试用你选择的较好模型解决上述问题．【答案】（1）应将作为模拟函数,理由见解析；（2）个月.【解析】由题意，把，2，3代入得：，解得，所以，所以，；把，2，3代入，得：，解得，所以，所以；更接近真实值，应将作为模拟函数．，解得，至少经过11个月患该传染病的人数将会超过2000人．6．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售单价（单位：元/千克）满足关系式，其中为常数，已知销售单价为元/千克时，每日可售出该商品千克.（1）求的值；（2）若该商品的进价为元/千克，试确定销售单价的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值.【答案】（1）（2）当时，函数取得最大值，且最大值等于440.【解析】（1）因为.且时，.所以解得. .（2）由（1）可知，该商品每日的销售量.所以商场每日销售该商品所获得的利润：因为为二次函数，且开口向上，对称轴为.所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于440.所以当销售价格定为6元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大利润为440元.7．小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发匀速前行，且途中休息一段时间后继续以原速前行．家到公园的距离为2000m，如图是小明和爸爸所走的路程s（m）与步行时间t（min）的函数图象．（1）直接写出BC段图象所对应的函数关系式（不用写出t的取值范围）_______．（2）小明出发多长时间与爸爸第三次相遇？（3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早18分钟到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少多少分钟？【答案】(1) s=40t–400 (2) 37.5min (3) 3min【解析】（1）设直线BC所对应的函数表达式为s=kt+b，将（30，800），（60，2000）代入得，，解得，∴直线BC所对应的函数表达式为s=40t–400．（2）设小明的爸爸所走路程s与时间t的函数关系式为s=mt+n，则，解得．即小明的爸爸所走路程s与时间t的函数关系式是s=24t+200，解方程组，得，即小明出发37.5min时与爸爸第三次相遇．（3）当s=2000时，2000=24t+200，得t=75，∵75–60=15，∴小明希望比爸爸早18 min到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需要减少3min．8．“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境和提高果树产量，某果农计划从甲、乙两个仓库用汽车向A，B两个果园运送有机化肥，甲、乙两个仓库分别可运出80吨和100吨有机化肥；A，B两个果园分别需用110吨和70吨有机化肥．两个仓库到A，B两个果园的路程如下表所示：设甲仓库运往A果园x吨有机化肥，若汽车每吨每千米的运费为2元．（1）根据题意，填写下表．（2）设总运费为y元，求y关于x的函数表达式，并求当甲仓库运往A果园多少吨有机化肥时，总运费最省？最省的总运费是多少元？【答案】(1)(2) y=–20x+8300,当甲仓库运往A果园80吨有机化肥时，总运费最省，最省的总运费是6700元．【解析】（1）填表如下：故答案为80–x，x–10，2×20×（80–x），2×20×（x–10）；（2）y=2×15x+2×25×（110–x）+2×20×（80–x）+2×20×（x–10），整理得y关于x的函数表达式为y=–20x+8300，∵–20<0，且10≤x≤80，∴当x=80时，总运费y最省，此时y最小=–20×80+8300=6700．故当甲仓库运往A果园80吨有机化肥时，总运费最省，最省的总运费是6700元．9．一辆公交车从A站出发匀速开往B站．在行驶时间相同的前提下，如果车速是60千米/小时，就会超过B站0.2千米；如果车速是50千米/小时，就还需行驶0.8千米才能到达B站．（1）求A站和B站相距多少千米？行驶时间是多少？如果要在行驶时间点恰好到达B站，行驶的速度是多少？（2）图①是这辆公交车线路的收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客数量的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行了提高票价的听证会．乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏．公交公司认为：运营成本难以下降，公司已尽力，提高票价才能扭亏．根据这两种意见，可以把图①分别改画成图②和图③．（a）说明图①中点A和点B的实际意义；（b）你认为图②和图③两个图象中，反映乘客意见的是__________，反映公交公司意见的是__________．【答案】(1)A站和B站相距5.8千米，行驶时间是0.1小时，如果要在行驶时间点恰好到达B站，行驶的速度是58千米/小时．(2)（a）A点表示公交公司的该条公交路线的运营成本为1万元；B点表示当乘客量为1.5万人时，公交公司的该条公交路线收支恰好平衡；（b）反映乘客意见的是图③；反映公交公司意见的是图②；【解析】（1）设A,B两站相距千米，行驶时间是小时，依题意得，解得（千米/小时），即如果要在行驶时间点恰好到达B站，行驶的速度是（千米/小时）.（2）（a）A点表示公交公司的该条公交线路的运营成本为万元；B点表示当乘客量为万人时，公交公司的该条公交线路收支恰好平衡；（b）反映乘客意见的是图③，反映公交公司意见的是图②.10．某银行柜台异地跨行转账手续费的收费标准为转账金额的，且最低1元笔，最高50元笔，王杰需要在该银行柜台进行一笔异地跨行转账的业务．(1)若王杰转账的金额为x元，手续费为y元，请将y表示为x的函数；(2)若王杰转账的金额为元，他支付的手续费大于5元且小于50元，求t的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】解：由题意得中的分段函数得，如果王杰支付的手续费大于5元且小于50元则转账金额大于1000元，且小于10000元则只需要考虑当时的情况即可由，得即实数t的取值范围是11．2016年汕头市开展了一场创文行动一直以来，汕头市部分市民文明素质有待提高、环境脏乱差现象突出、交通秩序混乱、占道经营和违章搭建问题严重，为了解决这一老大难问题，汕头市政府打了一场史无前例的“创文”仗，目的是全力改善汕头市环境、卫生道路、交通各方面不文明现象，同时争夺2020年“全国文明城市”称号随着创文活动的进行，我区生活环境得到了很大的改善，但因为违法出行的三轮车减少，市民出行偶有不便有一商人从中看到商机，打算开一家汽车租赁公司，他委托一家调查公司进行市场调查，调查公司的调查结果如表：每辆车月租金定价辆若他打算购入汽车100辆用于租赁业务，通过调查发现租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元由上表，他决定每辆车月租金定价满足：为方便预测，月租金定价必须为50的整数倍；不低于3000元；定价必须使得公司每月至少能出租10辆汽车设租赁公司每辆车月租金定价为x元时，每月能出租的汽车数量为y辆．(1)按调查数据，请将y表示为关于x的函数．(2)当x何值时，租赁公司月收益最大？最大月收益是多少？【答案】(1)，且；(2)当时，即月租金定为4050时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．【解析】由表格可知，当定价为3000元时，能出租100辆，当定价每提升50元时能出租的车辆将减少1辆，则，令，得，得，得，所以所求函数，且，知，租赁公司的月收益为，则，时，取得最大值为307050，即月租金定为4050时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．12．2018年末，天猫某商铺为了制定2019年营销方案，分析了2018年每次促销活动时某网红产品的销售量单位：千套与销售价格单位：元的关系关系式为，其中，m为常数，已知销售价格为40元套时，每次促销可售出此产品21千套．求m的值；假设此产品的成本约为每套产品20元只考虑销售出的产品数，试确定销售价格x的值，使该商铺每次销售此产品所获得的利润最大．【答案】（1）320；（2）见解析【解析】代入，得：，．设商铺所获利润为，则，令，则，令，时，，当时，，时，取得最大值，时，取得最大值．故销售价格为套时，该商铺每次销售此产品所获得的利润最大．13．科学研究表明：人类对声音有不的感觉，这与声音的强度单位：瓦平方米有关在实际测量时，常用单位：分贝来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I满足关系式：是常数，其中平方米如风吹落叶沙沙声的强度平方米，它的强弱等级分贝．已知生活中几种声音的强度如表：声音来源平方米强弱等级分贝求a和m的值为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I的最大值．【答案】（1）；（2）平方米【解析】（1）将平方米，平方米代入得：则：由题意得：，即：，得，即此时声音强度的最大值为平方米14．已知甲、乙两个旅游景点之间有一条5km的直线型水路，一艘游轮以的速度航行时考虑到航线安全要求，每小时使用的燃料费用为万元为常数，且，其他费用为每小时万元．若游轮以的速度航行时，每小时使用的燃料费用为万元，要使每小时的所有费用不超过万元，求x的取值范围；求该游轮单程航行所需总费用的最小值．【答案】（1）；（2）见解析【解析】由题意时，每小时使用的燃料费为，解得；此时每小时的所有费用为，化简得，解得；又，，的取值范围是；设该游轮单程航行所需总费用为y万元，则，令，则，即；由，得对称轴；，即，则函数上单调递减，在上单调递增；故当，即时，y取得最小值为；，即，则函数上单调递减，故当，即时，y取得最小值为；综上所述，当时，该游轮单程航行所需总费用的最小值为万元，当时，该游轮单程航行所需总费用的最小值为万元．15．随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整.调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额，依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：(1)假如小红某月的工资、薪金等所得税前收入总和不高于8000元，记表示总收入，表示应纳的税，试写出调整前后关于的函数表达式；(2)某税务部门在小红所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：。

2021年高考总复习：函数模型及其应用第十节函数模型及其应用[知识能否忆起]1．几种常见的函数模型函数模型一次函数模型二次函数模型指数函数模型对数函数模型幂函数模型 2.三种增长型函数模型的图象与性质函数在(0，＋∞)上的增减性增长速度图象的变化 [小题能否全取]1．(教材习题改编)f(x)＝x，g(x)＝2，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x) C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x) 答案：选B 由图象知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x)．2．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( )2函数解析式 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) f(x)＝blogax ＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0) y＝ax(a>1) 增函数越来越快随x增大逐渐表现为与y轴平行 y＝logax(a>1) 增函数越来越慢随x增大逐渐表现为与x轴平行 y＝xn(n>0) 增函数相对平稳随n值变化而不同 x解析：选B 由题意h＝20－5t,0≤t≤4.结合图象知应选B.3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本12为C(x)＝x＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量2为( )A．36万件 B．18万件 C．22万件D．9万件12解析：选B 利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．24．一种产品的成本原为a元，在今后的m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x(0500时，f(x)＝0.05×500－×500－?0.25×＋0.5?＝12－x，10020 000400??1191－x＋x－，0500.22(2)当0500时，f(x)＝12－15344345x4时，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.当乙的用水量超过4吨，即3x>4时，y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.。

2019版高考数学总复习第二章函数、导数及其应用12 函数模型及其应用课时作业文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学总复习第二章函数、导数及其应用12 函数模型及其应用课时作业文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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课时作业 12 函数模型及其应用一、选择题1．下列函数中随x的增大而增大速度最快的是（）A．v＝1100·e x B．v＝100ln xC．v＝x100 D．v＝100×2x解析：只有v＝错误!·e x和v＝100×2x是指数函数,并且e>2，所以v＝错误!·e x的增大速度最快，故选A。

答案：A2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（）A B C D解析：距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降得快，故应选C。

答案：C3．（2018·河北唐山月考）某种新药服用x小时后血液中的残留量为y 毫克，如图所示为函数y＝f（x）的图象,当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药,为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为( ）A．上午10：00 B．中午12：00C．下午4:00 D．下午6：00解析：当x∈［0，4]时,设y＝k1x，把(4，320）代入,得k1＝80,∴y＝80x.当x∈[4,20]时，设y＝k2x＋b，把(4,320),（20,0）代入得错误!解得错误!∴y＝400－20x.∴y＝f(x）＝错误!由y≥240，得错误!或错误!∴3≤x≤8。

●高考明方向1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.★备考知考情1.利用函数图象刻画实际问题及建立函数模型解决实际问题，是高考命题的热点．2.常与函数的图象、单调性、最值以及基本不等式、导数的应用交汇命题，考查建模能力及分析问题和解决问题的能力．3.选择题、填空题、解答题三种题型都有考查，但以解答题为主.一、知识梳理《名师一号》P35知识点一几类函数模型知识点二三种增长型函数之间增长速度的比较1.指数函数y＝a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)：在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内a x会小于x n，但由于a x的增长快于x n的增长，因而总存在一个x0，当x＞x0时，有a x＞x n.2．对数函数y＝log a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)：对数函数y＝log a x(a＞1)的增长速度，不论a与n值的大小如何，总会慢于y＝x n的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，当x＞x0时，有log a x＜x n由1、2可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，当x＞x0时，有a x＞x n＞log a x.注意：《名师一号》P36 问题探究问题1、2问题1解决实际应用问题的一般步骤是什么？(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：问题2在解决实际应用问题时应注意哪些易错的问题？(1)函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要理解题意，选择适当的函数模型．(2)要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．(3)注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．二、例题分析：（一）三种函数模型增长速度的比较例1.《名师一号》P36 对点自测5、65.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．()(2)幂函数增长比直线增长更快．()(3)不存在x0，使a x0<x n0<log a x0.()(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x、h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)<f(x)<g(x)．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√思考：如何证明：任意x∈(4，＋∞)，x2<2x恒成立。

第12讲 函数模型及其应用考纲要求: 1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线增长、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．命题趋势: 函数的实际应用，考查几个常见的函数模型：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型，用来求解实际问题中的最值问题、优化问题．探 究 案探究一 一次函数与二次函数模型【例1】 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为y ＝12x 2－200x ＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元．则该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？探究二 指数函数、对数函数模型【例2】 (1)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时(2)(2016·四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1．12≈0.05，lg 1．3≈0.11，lg 2≈0.30)( )A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年【跟踪训练1】(1)里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．(2) (2018·湛江模拟)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝ae－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．探究三 分段函数模型【例3】 已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2，0<x ≤10，108x －1 0003x 2，x >10.(1)写出年利润W (万元)关于年产品x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)【跟踪训练2】国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15 000元． (1)写出每人需交费用y 关于人数x 的函数； (2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？探究四 函数y ＝x ＋ax (a >0)模型【例4】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．【跟踪训练3】小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？易错警示易错点 函数应用问题错因分析：(1)题意理解偏差，数学模型应用不准确；(2)数学计算不准，回答问题不合实际含义． 【例】 已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．【跟踪训练】 已知某厂固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为2万元，设生产该产品x (x ∈N ，单位：百台)，其总成本为g (x )万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r (x )满足r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋8x ，0≤x ≤7，24.5＋x ，x >7，假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求：(1)要使工厂有盈利，生产数量x 应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？。

2021高考数学考点突破——函数的应用函数模型及其应用学案【考点梳理】1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y ＝kx ＋b (k ≠0)．(2)反比例函数模型：y ＝k x＋b (k ，b 为常数且k ≠0)． (3)二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)．(4)指数函数模型：y ＝a ·b x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ＞0，b ≠1，a ≠0)． (5)对数函数模型：y ＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，a ＞0，a ≠1，m ≠0)． (6)幂函数模型：y ＝a ·x n＋b (a ≠0)． 2．三种函数模型之间增长速度的比较函数 性质 y ＝a x (a ＞1) y ＝log a x (a ＞1) y ＝x n (n ＞0)在(0，＋∞)上 的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x 的增大逐步表现为与y 轴平行随x 的增大逐步表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同值的比较存在一个x 0，当x ＞x 0时，有log a x ＜x n＜a x(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：【考点突破】考点一、用函数图象刻画变化过程【例1】已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )A B C D[答案] D[解析] 依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观看四个选项知，选D.【类题通法】判定函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法：(1)构建函数模型法：当依照题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当依照题意不易建立函数模型时，则依照实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情形，选择出符合实际情形的答案．【对点训练】一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时刻t(h)的函数关系用图象表示为( )[答案] B[解析] 由题意h＝20－5t，0≤t≤4.结合图象知应选B.考点二、二次函数模型【例2】某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160/件)应为( )A．4 B．5.5 C．8.5 D．10[答案] C[解析] 由题意可设定价为x元/件，利润为y元，则y＝(x－3)[400－40(x－4)]＝40(－x 2＋17x －42)，故当x ＝8.5时，y 有最大值，故选C. 【类题通法】在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范畴，需依照函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题． 【对点训练】某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试运算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则估量单价为多少时，利润最大( )A ．8元/件B ．10元/件C ．12元/件D ．14元/件 [答案] B[解析] 设单价为6＋x ，日均销售量为100－10x ，则日利润y ＝(6＋x －4)(100－10x )－20＝－10x 2＋80x ＋180＝－10(x －4)2＋340(0＜x ＜10)．∴当x ＝4时，y max ＝340.即单价为10元/件，利润最大，故选B.考点三、指数函数模型【例3】将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设5 min 后甲桶和乙桶中的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4 L ，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．10 [答案] A[解析] 依照题意，因为5 min 后甲桶和乙桶中的水量相等，因此函数y ＝f (t )＝a en t满足f (5)＝a e 5n＝12a ，解得n ＝15ln 12.设k min 后甲桶中的水只有a 4 L ，即f (k )＝14a ，因此15ln 12·k ＝ln 14，因此15ln 12·k ＝2ln 12，解得k ＝10，∴m ＝k －5＝5，选A. 【类题通法】在解决指数函数模型问题时，一样需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数． 【对点训练】某食品的保鲜时刻y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时刻是192小时，在22 ℃的保鲜时刻是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时刻是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时 [答案] C[解析] 由已知条件，得192＝e b ，又48＝e22k ＋b＝e b·(e 11k )2，∴e 11k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4819212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＝12.设该食品在33 ℃的保鲜时刻是t 小时，则t ＝e33k ＋b＝192 e 33k＝192(e 11k )3＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝24. 考点四、对数函数模型【例4】已知一容器中有A ，B 两种菌，且在任何时刻A ，B 两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用P A ＝lg n A 来记录A 菌个数的资料，其中n A 为A 菌的个数，现有以下几种说法：①P A ≥1；②若今天的P A 值比昨天的P A 值增加1，则今天的A 菌个数比昨天的A 菌个数多10； ③假设科学家将B 菌的个数操纵为5万，则现在5<P A <5.5(注：lg 2≈0.3)． 则正确的说法为________．(写出所有正确说法的序号) [答案] ③[解析] 当n A ＝1时，P A ＝0，故①错误；若P A ＝1，则n A ＝10，若P A ＝2，则n A ＝100，故②错误；B 菌的个数为n B ＝5×104，∴n A ＝10105×104＝2×105，∴P A ＝lg n A ＝lg 2＋5.又∵lg 2≈0.3，∴5<P A <5.5，故③正确． 【类题通法】在解决对数函数模型问题时，一样需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数． 【对点训练】燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发觉，两岁燕子的飞行速度能够表示为v ＝5log 2q10(m/s)，其中q 表示燕子的耗氧量，则燕子静止时的耗氧量为_______个单位．当一只两岁燕子的耗氧量为80个单位时，其速度是_______m/s.[答案] 10 15[解析] 由题意，燕子静止时v ＝0，即5log 2q 10＝0，解得q ＝10；当q ＝80时，v ＝5log 28010＝15(m/s)．考点五、“y ＝x ＋a x(a >0)”型函数模型【例5】某公司一年购买某种物资600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总储备费用为4x 万元.要使一年的总运费与总储备费用之和最小，则x 的值是________.[答案] 30[解析] 一年的总运费与总储备费用之和为y ＝6×600x＋4x ＝3 600x＋4x ≥23 600x ×4x ＝240，当且仅当3 600x＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240.【类题通法】关于y ＝x ＋ax(a >0，x >0)类型的函数最值问题，要专门注意定义域和差不多不等式中等号成立的条件，假如在定义域内满足等号成立，可考虑用差不多不等式求最值，否则要考虑函数的单调性，现在可借用导数来研究函数的单调性． 【对点训练】某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h 的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202km ，那么这批物资全部到达灾区的最少时刻是________h(车身长度不计)．[答案] 12[解析] 设全部物资到达灾区所需时刻为t h ，由题意可知，t 相当于最后一辆行驶了⎝ ⎛⎭⎪⎫36×⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202＋400km 所用的时刻，因此，t ＝36×⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202＋400v ≥12，当且仅当36v 400＝400v ，即v ＝2003时取等号．故这些汽车以2003 km/h 的速度匀速行驶时，所需时刻最少，最少时刻为12 h.考点六、分段函数模型【例6】某市环保研究所对市中心每天环境中放射性污染情形进行调查研究后发觉，一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x x 2＋1－a ＋2a ＋23，x ∈[0，24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.假如以每天f (x )的最大值为当天的环境综合放射性污染指数，并记为M (a )，若规定当M (a )≤2时为环境综合放射性污染指数不超标，则该市中心的环境综合放射性污染指数不超标时，a 的取值范畴为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，49C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，49D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤49，12 [答案] B [解析] 设t ＝xx 2＋1，当x ≠0时，可得t ＝1x ＋1x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，当x ＝0时，t ＝0，因而f (x )＝g (t )＝|t －a |＋2a ＋23＝⎩⎪⎨⎪⎧－t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a <t ≤12，从而有g (0)＝3a ＋23，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a＋76，g (0)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14，因而M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0≤a ≤14，g 0，14<a ≤12，即M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14<a ≤12，当0≤a ≤14时，M (a )<2，当14<a ≤49时，M (a )≤2，当49<a ≤12时，M (a )>2，因此该市中心的环境综合放射性污染指数不超标时，a 的取值范畴为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，49.【类题通法】分段函数模型的求解策略(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏． (3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)． 【对点训练】某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价收费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另外每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.[答案] 9[解析] 设出租车行驶了x km ，付费y 元，由题意得 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0＜x ≤3，8＋2.15×x －3＋1，3＜x ≤8，8＋2.15×5＋2.85×x －8＋1，x ＞8.当x ＝8时，y ＝19.75＜22.6，因此由8＋2.15×5＋2.85×(x －8)＋1＝22.6，得x ＝9.。