06弯曲应力_3切应力_机

二、弯曲强度条件
1、塑性材料：
max
M max y max Iz
令Iz /ymax=W， W-----抗弯截面系数
弯曲强度条件：
max
M max W
[]
注意:
当梁为变截面梁时, max 并不一定发生在| M |max 所在面上。
2.脆性材料： 因为 [t ] < [c ] ，所以应分别建立强度条件。
q 30 kN m
解：弯矩图如图所示
A
0.5m
B
WZ
M max
2m
FB 28.1kN

61.2cm3
FA 46.9kN
31.9
查表
N0 12.6工字钢 WZ=77.5cm3
15
kN
13.16
28.1
kNm
3.75
例5
铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴 的惯性矩Iz=403×10－7m4，铸铁抗拉强度［σ ＋］ =50MPa，抗压强度［σ －］=125MPa。试按正应力强 200 度条件校核梁的强度。
y
z
F F
y
结 论:
对于均质,连续的等截面直梁在纯弯曲时,横截面上只产生 正应力， (与横截面的形状无关)。
6.2纯弯曲时的正应力
纯弯曲时梁的正应力公式推导：
F F
m n
m
n
m
n
m
dx
n
一、变形几何关系（应变-位移）
o n
d
凹边变弯缩短
dx
n
（- ）
无 （+）
m
z y

m
dx
中性层上变弯 凸边变弯伸长

Iz=πD4/64 Iz=π(D4-d4)/64 若设圆环的直径比d/D=α，则相
应的截面抗弯系数为
Wz
=
π D3 32
Wz
=
π D3 32
(1−α 4 )
y 第10章 梁的弯曲应力 C Dz
y
O
z
d D
工程力学
q=60kN/m
A
1m
C
l = 3m
FS 90kN
(+ ) (− )
M ql2 / 8 = 67.5kN⋅ m
T形截面外伸梁尺寸及受载如图，截面对形心轴z的惯性矩
Iz=86.8cm4，yl=3.8cm。求梁横截面上的最大拉应力和最大压应力。
解 1)由静力平衡
2kN
0.8kN
y1 y2 6cm
方程求出梁的支反力
FA=0.6kN，FB=2.2kN A
C
BD
zC
作弯矩图。 得最大正弯矩在截面
1m 1m 1m
FA
FB
=
−
E ρ
I
z
1 ρ
=
Mz EIz
重要公式 σ = − Mz y Iz
工程力学
σ = − My Iz
第10章 梁的弯曲应力
M AZ y
x
y 横截面上正应力分布规律: (1)中性轴是过横截面形心的一条直线。中性轴上，正应力为零。 (2)以中性轴为界，横截面上的一侧受拉，一侧受压。 (3)离中性轴越远，正应力的绝对值越大。在横截面上离中性轴 最远的边或点上有最大的拉应力和最大的压应力。
几何关系 ( 平截面假定 )
正应变与中性层曲率间的关系
物理关系 ( Hooke 定律 )
正应力与中性层曲率间的关系

称为抗弯截面系数
只有一根对称轴的横截面形状: yt，max yc，max O y
O y
z
t,max
My t ,max Iz
c,max
Myc,max Iz
z
简单截面的弯曲截面系数 b h ⑴ 矩形截面
z
bh3 Iz 12 b3h Iy 12
⑵ 圆形截面
y d
Iz bh2 Wz h/2 6 Iy b2h Wy 源自/2 63()
Ⅱ .纯弯曲理论的推广 对于细长梁（ l/h > 5 ），纯弯曲时的正应力计算 公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确。 F
l
M ( x) y Iz
Fl
4
max
M ( x) Wz
解：
由弯曲曲率公式 可得：
M EIz
M EI z
1
代入弯曲正应力公式：
M EIZ Ed 533.3MPa WZ WZ 2
3.正应力的正负号与弯矩 及点的坐标 y的正负号有关。实际计算中，可根 据截面上弯矩的方向，直接判断中性 轴的哪一侧产生拉应力，哪一侧产生 压应力，而不必计及M和y的正负。
三、最大弯曲正应力 有两根对称轴的横截面形状: b h
z
y y
z
max
M M Mymax I z Wz Iz y max

基本假设2:
梁内各纵向纤维无挤压 假设，纵向纤维间无正应 力。

中性层与中性轴
纵向对称面 中性层 Z 中性轴
中性层 根据变形的连续性 可知，梁弯曲时从其凹 入一侧的纵向线缩短区 到其凸出一侧的纵向线 伸长区，中间必有一层 纵向无长度改变的过渡 层，称为中性层 。 中性轴: 中性层与横截面的交 线就是中性轴。

F ，在右端截面上有法向的合内力
∗ N1
∗ 。 FN 2
§4―5 梁横截面上的切应力及强度条件
§4―5 梁横截面上的切应力及强度条件
' 在AA1BB1面上有合力 dFS 。其大小为
My1 M F = ∫ ∗ σ 1dA = ∫ ∗ dA = A A Iz Iz
∗ N1
M ∗ ∫A∗ y1dA = I z S z
§4―5 梁横截面上的切应力及强度条件
一、梁横截面上的切应力
在横力弯曲的情况下，梁横截面内存在剪力，相 应地有切应力的存在。
1、矩形截面梁上的切应力
m Fs M n M+dM -σ1 -σ2
τ
m (a)
dx (b)
Fs+dFs n σ1 (c)
σ2
§4―5 梁横截面上的切应力及强度条件
如上图a所示，用m—m、n—n两截面假想地从梁中 取出长为dx的微段。该段两端横截面上的内力如图b所 示；两端截面上正应力的大小和方向可由正应力公式求 出；其切应力的方向如图c所示，大小未知。 为求得切应力τ 的大小，在上述微段上用平行于中 性层且离中性层距离为y的位置，截取体积元素B1m， 如下图a 所示。由切应力互等定律，除在两端面上有正 应力和切应力外，在A1AB1B面上也在切应力，且切应 力大小与y位置处的切应力相等。将体积元素B1m作为 脱离体进行受力分析（图b)，在左端截面上有法向合内 力
§4―5 梁横截面上的切应力及强度条件
例题4 23 例题4—23 如下
图a所示为一简易起重设 备。起重机（包含电葫 芦自重）P = 30kN ,跨 长l = 5m 。吊车大梁AB 由20a工字钢制成，其许 用弯曲正应力〔σt〕 =30MPa ，许用切应力 〔τ〕=30MPa 。试校核 梁的强度。