材料力学 06弯曲应力

M+dM
M dM * N2 SZ IZ
M
N1
y1
dA y
( y )
( y)
Q
dx
Q
N2
结论
QS ( y ) ( y ) IZb dM S ( y ) dx I Z b
M+dM
* Z
* Z
S A y d A
z
—计算切应力截面
以外部分面积A﹡对中 性轴 z 的静矩
z


三、薄壁圆环截面梁 t Q R0 y z
QS y I zb
S
* Z max
z
max
2
QS I zb
z max
t 4 t R0 R0 2 2 3 2 t 4 t R0 R0 2 R02t 2 2 3 2
考察微段 dx 的变形： o—o 中性层； b—b 距中性层 y 远处 的纵向层;
dx
— 中性层曲率半径； d为微段两相邻截面的
相对转角。 微段上距中性层 y 远处 b—b 层的纵向应变：
y
=
( + y) d — d
d


y
纯弯曲时梁横截面上各 点的纵向正应变沿截面高度 线性分布； 中性轴处正应变为零； 中性轴两侧分别为拉应 变和压应变； 距中性轴最远处，正应 变的绝对值最大。
2、变形特点
①、杆件的轴线由直线变为曲线； ②、任意两横截面绕各自面内某一直线相对 转动一角度。 3、梁 (beam) 以弯曲变形为主的杆件。 直梁——轴线为直线；曲梁——轴线为曲线 本课程以直梁为主。
二、平面弯曲
P2 P1
杆件轴线
R2 纵向对称面 R1
工程问题中，大部分梁的横截面具有一根对称轴，梁 具有通过轴线的纵向对称面。当作用于梁上的所有载荷和 支座反力都位于纵向对称面内，且垂直于梁的轴线时，梁 弯曲变形后，其轴线成为曲线仍在纵向对称面上。
P2 P1
杆件轴线
R2 纵向对称面 R1
平面弯曲条件： ⑴ 横截面有对称轴； ⑵ 荷载作用在纵对称面内； ⑶ 轴线为纵对称面内平面曲线。
§6.2 纯弯梁横截面正应力分析
C A a RA Q P x Pa M M x P a a RB P P D B
√
纯弯曲 横力弯曲

Q

一、变形几何关系
1、变形特点
材料力学
中国石油大学（华东）
2010年6月17日
§6.1 平面弯曲概念 §6.2 纯弯梁横截面正应力分析
§6.3 弯曲切应力
§6.4 弯曲强度计算
§6.5 提高梁弯曲强度的主要措施 §6.6 弯曲中心
§6.1 平面弯曲概念
P
P
P
一、弯曲变形
1、受力特点 外力垂直于杆件轴线； 外力偶矩作用在杆件轴线所在平面内。
弯曲正应力沿截面高度线性分布，中性轴 上为零，距中性轴越远，数值越大。 的正负号： 可根据弯曲变形判断； 拉为正，压为负。
矩形
b h z y
max
M
max
当
y = ymax 有
max
My max M Iz Wz
抗弯截面系数 单位：m3
Iz 式中 W z y max
bh3 Iz 12
ql 2
max
3 Q 3 2 3 ql 2 A 2 bh 4 bh
ql
max l max h
细长梁的强度决定于正应力。
例
矩形截面木梁 q=3.6kN/m，L=3m，bh=0.12m0.18m） []=7MPa，[]=0.9 MPa， 试求：最大正应力和最大剪应力之比； 并校核梁的强度。 解：1、外力分析
=
( + y) d — d
d


y
二、物理方程与应力分布
对于线弹性材料，在弹性范 围内加载， ≤ p，横截面上的 正应力与正应变满足胡克定律
E E
y

纯弯时梁横截面上正应力沿截面高 度线性分布； 中性轴处正应力为零； 距中性轴最远的截面边缘，有最大 正应力； 截面上同一高度各点正应力相同。
横截面
z 轴——中性轴 y 轴——纵对称轴
E
z y y
y

y 坐标相同的点所在纵线 变形相同，因而应力相同， 所以 = (y)
三、静力平衡方程
梁在纯弯情形下，横截 面上只有对于 z 轴的弯矩， 对于 y 轴的弯矩以及轴力均 为零。
N A d A 0
M
y
dA
A z d A 0
1 RA RB ql 2
2、内力分析，确定危险截面
Qmax
qL 3600 3 5400 N 2 2
M max
qL2 3600 32 8 8 4050 N m
3、求最大应力并校核强度
max
M max 6M max 6 4050 2 Wz bh 0.12 0.182
A yz d A 0
dA
I yz 0
y 是对称轴 这一条自动满足
横截面对于 z 轴的弯矩
M z A y d A y E E 2 A y d A M

Iz
1

A
y dA
——曲率公式
2
dA
M EI z
My IZ
四、纯弯正应力公式
M y IZ
B 1
2m 180 120
z y
分析
M y Iz
M EI z
1
解：1、外力分析 1 1 RA qL 60 3 90kN 2 2
1 A
1m
B 1
2m
RB RA 90kN
RA
M1
2、内力分析，画 M 图
RB
qLx qx 2 M1 ( ) 2 2
x 1
Iz W z ymax
bh3 bh2 12 h 6 2
T形
当 y= 当
y+max
-
有 有

max max
y=y
max
My Iz My max Iz
max
五、纯弯正应力公式应用条件
1、截面有一根纵向对称轴——平面弯曲 2、推导时使用了虎克定律 ,最大正应力不得 超过比例极限 max < P 3、当梁的跨高比 L / h≥5 的横力弯曲，误差 ＜2﹪， 因此，对细长梁，无论纯弯曲还是横力弯曲，横 截面上的正应力都可用下式计算
3、中性层
梁弯曲时，部分纤维伸长，部分纤维缩短，由伸长区 到缩短区，其间必然存在一长度不变的过渡层，弯曲变形 过程中长度始终不变的纵线组成的层。 意义：中性层将梁分成两个区域：凹侧缩短受压，凸 侧伸长受拉。
4、中性轴
z x y 中性层与横截面的交线。 意义：中性轴将横截面分成两个区域：受拉区和受压 区，而中性轴上的正应力为零。弯曲变形可看作横截 面绕自己的中性轴转动。 梁的变形对称于梁的纵向对称面，因此，中性轴 必垂直于截面的纵向对称轴。
M
z
A y d A M
横截面上轴力为零。
N A dA E y y A E dA


E

A ydA 0

A
ydA 0
Sz 0
dA
整个横截面对于中性轴的 静矩为零，所以中性轴通过截 面形心。
横截面对于 y 轴的弯矩为零。
M
y
A z d A y E E A yz d A 0
1 A
1m
1o2 o 30源自B 12m 180 120
z y
全梁的最大正应力：
max
M max 67.5 103 104.2 106 Pa 104.2MPa 6.48 10 4 Wz
3、求曲率半径
EI z 200 109 5.832 10 5 1 194.4m 3 60 10 M1
所以
M
N1
y1
dA y
( y )
( y)
Q
dx
Q
N2
3、公式的讨论
QS I zb
S A y d A
z
z
b
b h2 2 y 2 4
h
z
Q 2I z
h2 2 y 4
沿截面高度按
抛物线规律分布 y
1 A
1m
1o
2 o 30
B 1
2m 180 120
z y
1、2两点的正应力：
M 1 y 60 103 60 10 3 1 2 61.7 106 Pa 61.7MPa 5.832 10 5 Iz （压应力） 此截面上的最大正应力：
1max
M1 60 103 92.6 106 Pa 92.6MPa Wz 6.48 10 4


2
I Z max

64
2 R0 t 4

64
2R0 t R03t
4
max
b 2t
Q 2R t 3 R0 t 2t 2Q 2 m 2R0t
2 0
三、弯曲正应力与弯曲剪应力的数值比较
b h y
Q max Q max
z
max
3 ql 2 M max 28 4 bh 2 Wz bh 6
My IZ
4、小曲率梁
受均布载荷作用的简支梁如图所示，q=60kN/m 截面宽度b=120mm ，高度h=180mm 试求：（1）1—1截面上1、2两点的正应力； 例 （2）此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力； （4）已知E =200GPa，求1—1截面的曲率半径。