数字信号处理-第4章汇总

或叫功率密度谱函数 x x(m ) 1 [P x x()] 2 1 P x x()ej m d
即此时 Pxx (与) 为xx (一m )傅里叶变换对
1．xx(0)21 P xx，(为)d 信号x 2 的平均功率
2． Pxx() ，0 即功率谱非负
且Pxx()P，xx() Pxx(为)实P 偶xx函*(数)
然而在实际工程问题中，我们遇到的离散时间信 号或数据往往是无法用确定的数学解析式或数据链 表来表示的，有可能描述这种信号的参变量是随机 变量，我们将这类信号称为随机信号。
数字信号处理第四章
例如信号：x(t)Acos，(如t 果其)中的参变量除了时间变量t以
外， 都是常A,数和 ，那 么该信号有确定的变换规律，每一时
数字信号处理第四章
平稳随机信号的数字特征
1、数学期望
2、均方值
3、方差
4、自相关序列
5、自协方差序列 6、互相关、互协方差序列
各态历经随机信号的数字特征
1、数学期望
2、均方值
3、方差
4、自相关序列
5、自协方差序列 6、互相关、互协方离散随机信号的频谱，离 散线性系统对随机信号的响应和FIR最优滤波和线性 预测等内容，即课本的2－4节。
第四章 离散随机信号处理
数字信号处理第四章
离散时域信号和系统有时域和频域两种表示，之 前的分析和讨论都是以假定信号为确定性为基础的。 所谓确定性是指序列在每一点上的值都可以由数学 表达式，数据链表或某种法则确定，也就是说信号 的过去、当前和未来的值都是确知的。对于确定性 信号，我们可以用Z变换或者傅里叶变换来表示。
E [ x ( k ) h ( n k ) ] k
其中H ( e j 0 ) 为直流分量。

由此得到 x(n) n 3n u(n 1)
4. 围线积分法(留数法) 留数法是求Z反变换的一种有用的方法。 根据复变函数 理论， 若
X (z) x(n)z n ， Rx | z | Rx n
第 4 章 Ｚ变换
则
式中， c是X(z)的收敛域中的一条逆时针方向环绕原点的闭 合积分围线。
直接计算围线积分比较麻烦， 一般采用留数定理求解。 按照留数定理， 若函数F(z)=X(z)zn－1在围线c上连续， 在c内 有K个极点zk， 而在围线外部有M个极点zm（M和K都取有限 值）， 则有
第 4 章 Ｚ变换
2. 一般X(z)是z的有理分式， 可以表示为X(z)=B(z)/A(z)， B(z)、 A(z) 都是z的实系数多项式， 并且没有公因式。 记住了 常用序列的Z变换， 就可以将X(z)表示成简单项之和的形式， 而后求取其中的每一项Z反变换（可以查表）， 然后把求得的 每一项部分分式相加， 就得到所求的x(n)， 即若
第 4 章 Ｚ变换
（1） X(z)的收敛域为|z|>Rx－， x(n)必为因果序列， 此时 应将X(z)展开为z的负幂级数， 为此X(z)的分子、 分母应按照 z的降幂排列（或z－1升幂）；
（2） X(z)的收敛域为|z|<Rx+， x(n)必为左边序列， 此时 应将X(z)展开为z的正幂级数， 为此X(z)的分子、 分母应按照 z的升幂排列（或z－1降幂）。
1. 只在有限长度n1≤n≤n2内序列x(n)才具有非零值， 而在此 区间外x(n)=0， 即
第 4 章 Ｚ变换
x(n), n1≤n≤n2 x(n)= 0, 其他
这类序列称为有限长序列。 有限长序列的Z变换为
n2
X (z) x(n) zn nn1

nk N nk N
所以
X (k ) [Rex(n) j Imx(n)]
nk nk [Re WN j Im WN )] N 1 n 0
{Rex(n)ReW Imx(n)ImW j (Rex(n)ImW Imx(n)ReW )}, k 0,1,2,..., N 1
…
N r 0,1,..., 1 4
X 2 k f 3 ( X 5 (k ), X 6 (k ))
蝶形运算
数字信号处理－第四章 快速傅立叶变换
x1 (0)
. .
x1 ( N 1)
.
N/2点 DFT
N x1 n x1 2r x1 2r 1, r 0,1,2,..., 1 4 X 1 (k ) x1 2r x3 r , x1 2r 1 x4 (r )
.
数字信号处理－第四章 快速傅立叶变换
x(n) X (k ),
令
x1 (n) X 1 (k ), x2 (n) X 2 (k ),
n, k 0,1,2,..., N 1 N n, k 0,1,2,..., 1 2 N n, k 0,1,2,..., 1 2
N 1 n 0 nk N
x2 0 x5 (0)
N/4点 N x5 ( N 1) . DFT x2 2 4 2
.
.
X 5 (k )
x2 1 x6 (0)
蝶形 运算
X 6 (k )
X 2 (k )
N/4点 . N N x2 1 x6 ( 1) . DFT 4 2
数字信号处理－第四章 快速傅立叶变换
4.2 直接计算DFT的问题及改进的途径

k 0,1,..., N 1 2
5、时间抽取蝶形运算流图符号
X1(k)
X1(k) WNk X 2 (k)
X 2 (k )
WNk
1 X1(k) WNk X 2 (k)
返回DIF 返回例题
设 N 23 8
X1(k)
X 2 (k )
WNk
k 0
W80
1
W81
2
W82
3
W83
X (k)
k 0,1,,7
l0
l 0
X1(k) X 3(k) WNk X 4 (k)
2
X1(k
N 4
)
X 3 (k )
W Nk
2
X
4
(k)
k 0,1,..., N 1 4
x2(r)也进行同样的分解：
x5 (l) x2 (2l)
x6 (l) x2 (2l 1)
l 0,1,..., N 1 4
)
N
/ 21
x1(r)WNrk/ 2
X1(k)
r 0
r 0
X2(k N / 2) X2(k) X (k) X1(k) WNk X 2 (k)
W (kN N
/
2)
WNkWNN
/
2
WNk
N点X(k)可以表示成前 N点和后 点N 两部分：
2
2
前半部分X(k)：
X (k) X1(k) WNk X 2 (k)
N 1
X (k) x(n)WNnk k = 0, 1, …, N-1
n0
x(n)
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
n = 0, 1, …, N-1
二者的差别只在于WN 的指数符号不同，以及差一 个常数因子1/N，所以IDFT与DFT具有相同的运算量。