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高中数学第二单元圆锥曲线与方程2.2.1双曲线及其标准方程教学案新人教B版选修1-1

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2．2.1 双曲线及其标准方程学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．知识点一 双曲线的定义 观察图形，思考下列问题思考1 图中动点M 的几何性质是什么？的轨迹是什么？M ，则动点|2F 1F |＝||2MF |－|1MF ||若 2思考小于且0大于(a 2等于定值________________的距离的2F ，1F 把平面内到两个定点 梳理叫________________，________________的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做|)2F 1F |做双曲线的焦距．知识点二 双曲线的标准方程思考1 双曲线的标准形式有两种，如何区别焦点所在的坐标轴？思考2 如图，类比椭圆中a ，b ，c 的意义，对于双曲线，你能在y 轴上找一点B ，使|OB |＝b 吗？梳理焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0) y2a2－x2b2＝1(a >0，b >0) 焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距|F 1F 2|＝2c ，c 2＝a 2＋b 2类型一 求双曲线的标准方程 例1 求下列双曲线的标准方程．(1)与椭圆y225＋x216＝1有公共焦点，且过点(－2，10)；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)；(3)过点P (3，154)，Q (－163，5)，且焦点在坐标轴上．反思与感悟 待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)．②与双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x2a2－k －y2b2＋k＝1(－b 2＜k ＜a 2)．(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值．(4)结论：写出双曲线的标准方程．跟踪训练1 根据条件求双曲线的标准方程． (1)c ＝6，经过点A (－5,2)，焦点在x 轴上； (2)经过点P (4，－2)和点Q (26，22)；(3)已知双曲线与椭圆x227＋y236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)．类型二 双曲线的定义及应用 命题角度1 双曲线的焦点三角形 例 2 (1)如图，已知双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，点A ，B 均在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为双曲线的左焦点，则△ABF 1的周长为________．引申探究的面积．2PF 1F △，其他条件不变，求90°＝2PF 1F ∠中若(2)本例 ＝2PF 1F ∠使得P ，若双曲线上一点2F 、1F 的左、右焦点分别是1＝y216－x29已知双曲线(2)．________的面积为2PF 1F △，则60° 反思与感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一：；a 2＝||2PF |－|1PF ||根据双曲线的定义求出① 之间满足的关系式；|2F 1F |，|2PF |，|1PF |利用余弦定理表示出② 的值；|2PF |·|1PF |通过配方，利用整体的思想求出③ 求得面积．2PF 1F |sin∠2PF |·|1PF ×|12＝2F 1PF △S 利用公式④ 求得面积．)点的纵坐标P 为P y |(P y |×|2F 1F ×|12＝2F 1PF △S 方法二：利用公式(2)||2PF |－|1PF ||线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件特别提醒：利用双曲间的关系．|2PF |·|1PF |，2|2PF |＋2|1PF |的变形使用，特别是与a 2＝ 的距1F 在双曲线上，且到其中一个焦点P ，点1＝y28－x216已知双曲线的方程是 2跟踪训练．)为坐标原点O (的大小|ON |的中点，求1PF 是N ，点10离为命题角度2 与双曲线有关的轨迹问题外相2C 及圆1C 同时与圆M ，动圆9＝2y ＋23)－x (：2C 和圆1＝2y ＋23)＋x (：1C 已知圆 3例切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________．反思与感悟 定义法求双曲线方程的注意点(1)注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值．(2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题． (3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上．A2sin 满足C ，B ，A ，且三内角0)，2(2B ，0)，22－(A 中，已知ABC △在 3跟踪训练＋sin C ＝2sin B ，求顶点C 的轨迹方程．)(的轨迹是M 的点6的距离之差的绝对值等于(3,0)2F ，0)3,－(1F ．到两定点1 A ．椭圆 B ．线段 C ．双曲线D ．两条射线 ＝|1PF 3|是双曲线上的一点，且P 的左，右焦点，1＝y224－2x 分别是双曲线2F ，1F ．设2)(的面积等于2F 1PF △，则|2PF 4| 24．A 38．B C ．24D ．48 )(的值是a 有相同的焦点，则1＝y22－x2a 与双曲线1＝y2a2＋x24．椭圆3 12A.2或－1．B12或1．C1．D)(的取值范围是k 轴上的双曲线，则x 表示焦点在1＝y2k ＋2＋x2k ＋3，方程R ∈k ．若4 A ．－3<k <－2 B ．k <－3 C ．k <－3或k >－2D ．k >－2 5．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)；．)10，(3长轴的顶点为焦点，且过1＝y25＋x28以椭圆3)(时表示|2F 1F |＝a 2不要漏了绝对值符号，当|)2F 1F <|a (2a 2＝||2PF |－|1PF ||．双曲线定义中1两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a >b 不一定成立，要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别．在椭圆中.2b ＋2a ＝2c ，在双曲线中2c ＋2b ＝2a 3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组．的形式求<0)mn 1(＝2ny ＋2mx 如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如解．答案精析问题导学 知识点一思考1 ||MF 1|－|MF 2||＝常数(常数|F 1F |或|F 2F |)且常数<|F 1F 2|. 思考2 以F 2为端点的一条射线． 梳理 差的绝对值 双曲线的焦点 两焦点间的距离 知识点二思考1 双曲线标准方程中x 2与y 2的系数的符号决定了焦点所在的坐标轴．当x 2的系数为正时，焦点在x 轴上；当y 2的系数为正时，焦点在y 轴上，而与分母的大小无关． 思考2 以双曲线与x 轴的交点A 为圆心，以线段OF 2为半径画圆交y 轴于点B .题型探究．(0,3)2F ，3)，－(01F 的焦点为1＝y225＋x216椭圆方法一(1) 解 1例 ，>0)b ，>0a 1(＝x2b2－y2a2设双曲线的方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧10a2－4b2＝1，a2＋b2＝9，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧a2＝5，b2＝4.解得 1.＝x24－y25故所求双曲线的方程为 轴上，y 知焦点在1＝y225＋x216由椭圆方程 方法二 ．<25)λ1(16<＝x2λ－16－y225－λ设所求双曲线方程为，1＝4λ－16－1025－λ，所以)10，2－(因为双曲线过点解得λ＝20或λ＝7(舍去)， 1.＝x24－y25故所求双曲线的方程为 (2)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12.25.＝2a －2c ＝2b ∴，13＝c ∴，26＝c 2又 1.＝x225－y2144双曲线的标准方程为∴ ．<0)mn 1(＝2ny ＋2mx 设双曲线方程为(3) 在双曲线上，5)，163－(Q ，)154，(3P 因为点 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116，n ＝19.解得⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，所以 1.＝x216－y29故所求双曲线方程为 ，>0)b ，>0a 1(＝y2b2－x2a2设双曲线标准方程为(1) 解 1跟踪训练 .2a －6＝2a －2c ＝2b ∴，6＝c ∵ ，1＝46－a2－25a2∴，1＝4b2－25a2由题意知 ．)舍30(＝2a 或5＝2a 解得 1.＝2y －x25双曲线的标准方程为1.∴＝2b ∴ ．<0)mn 1(＝2ny ＋2mx 设双曲线方程为(2) 在双曲线上，)22，6(2Q 和点2)，－(4P 点∵ ⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝－14，解得⎩⎪⎨⎪⎧16m ＋4n ＝1，24m ＋8n ＝1，∴ 1.＝y24－x28双曲线的方程为∴ ，(0,3)2F ，3)，－(01F 的焦点坐标为1＝y236＋x227椭圆(3) 1.＝x2b2－y2a2故可设双曲线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2＝9，42a2－152b2＝1，由题意，知 ⎩⎪⎨⎪⎧a2＝4，b2＝5.解得 1.＝x25－y24故双曲线的方程为 3(2)16 m 2＋a (1)4 2例 解析 (1)由双曲线的定义，，a 2＝|2AF |－|1AF |知 .a 2＝|2BF |－|1BF | ，|AB |＝|2BF |＋|2AF |又 的周长为1ABF △所以 |AB |＋|1BF |＋|1AF | ＝4a ＋2|AB |＝4a ＋2m .5.＝c ，4＝b ，3＝a ，得1＝y216－x29由)(2 由双曲线定义和余弦定理，，±6＝|2PF |－|1PF |得 ，|cos 60°2PF |·|1PF 2|－2|2PF |＋2|1PF |＝2|2F 1F | ，|2PF |·|1PF |＋2|)2PF |－|1PF (|＝210所以 ，64＝|2PF |·|1PF |所以 2PF 1F |·sin∠2PF |·|1PF |12＝2PF 1F △S ∴ .316＝32×64×12＝ 引申探究解 由双曲线方程知a ＝3，b ＝4，c ＝5， ，6＝a 2＝||2PF |－|1PF ||由双曲线的定义得 36.＝|2PF |·|1PF 2|－2|2PF |＋2|1PF |所以① 100.＝2)c (2＝2|2F 1F |＝2|2PF |＋2|1PF |中，由勾股定理得2PF 1F Rt△在 ② ，32＝|2PF |·|1PF |得①代入②将 16.＝|2PF |·|1PF |12＝2PF 1F △S 所以的中位线，2F 1PF 形是三角ON ，2PF ，连接2F 设双曲线的另一个焦点为 解 2跟踪训练 ，|2PF |12＝|ON |所以 ，10＝|1PF |，8＝||2PF |－|1PF ||因为 |ON |，18或2＝|2PF |所以 9.或1＝|2PF |12＝ 1)－≤x 1(＝y28－2x 3例 －|1MC | ，根据两圆外切的条件B 和A 分别外切于点2C 及圆1C 与圆M 如图，设动圆 解析，|MB |＝|MA |因为|, MB |＝|2BC |－|2MC |，|MA |＝|1AC |，|2BC |－|2MC |＝|1AC |－|1MC |所以 |.2C 1C |＝2<6且2的距离的差是常数1C ，2C 与两定点M ，这表明动点2＝|1MC |－|2MC |即 ，)的距离小1C 的距离大，与2C 与M 点(的轨迹为双曲线的左支M 根据双曲线的定义，动点－≤x 1 (＝y28－2x ，其轨迹方程为)y ，x (的坐标为M ，设点8＝2b ，则3＝c ，1＝a 这里1)．的外接圆ABC △为R (c2R＝C sin ，b 2R ＝B sin ，a 2R ＝A sin 由正弦定理，得 解 3跟踪训练半径)．因为2sin A ＋sin C ＝2sin B ， ，c2＝a －b ，即b 2＝c ＋a 2所以 |AB |12＝|CB |－|CA |从而有 |.AB <|22＝ 由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．，22＝c ，2＝a 因为 ，6＝2a －2c ＝2b 所以 ．)2>x 1(＝y26－x22即所求轨迹方程为 当堂训练1．D 2.C 3.D 4.A5．解 (1)由题设知，a ＝3，c ＝4，，2b ＋2a ＝2c 由 7.＝23－24＝2a －2c ＝2b 得 因为双曲线的焦点在x 轴上，1.＝y27－x29所以所求双曲线的标准方程为 (2)由已知得c ＝6，且焦点在y 轴上，因为点A (－5,6)在双曲线上，|－5－02＋6－62－－5－02＋6＋62|＝a 2所以 ＝|13－5|＝8，20.＝24－26＝2a －2c ＝2b ，4＝a 则 1.＝x220－y216所以所求双曲线的标准方程为 .22＝c 轴上，且x 由题意得，双曲线的焦点在(3) ，>0)b ，>0a 1(＝y2b2－x2a2设双曲线的标准方程为 点，)10，(3因为过8.＝2c ＝2b ＋2a 则有 ，1＝10b2－9a2所以 5.＝2b ，3＝2a 解得 1.＝y25－x23故所求双曲线的标准方程为。

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高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标

高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标

2.2.1 双曲线及其标准方程课堂导学三点剖析一、双曲线的定义【例1】 已知双曲线的两个焦点F 1、F 2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的方程.解析：若以线段F 1F 2所在的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则双曲线的方程为标准形式.由题意得2a =24,2c =26,∴a =12,c =13,b 2=132-122=25.由于双曲线的焦点在x 轴上，双曲线的方程为2514422y x -=1. 若以线段F 1、F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系，则双曲线的方程为2514422x y -=1. 温馨提示求轨迹方程时，如果没有直角坐标系，应先建立适当的直角坐标系，求双曲线的标准方程就是求a 2、b 2的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴.双曲线的焦点所在的坐标轴，不像椭圆那样看x 2、y 2的分母的大小，而是看x 2、y 2的系数的正、负.二、求双曲线的标准方程【例1】 求满足下列条件的双曲线的标准方程.(1)经过点A (1，3104)，且a =4; (2)经过点A (2，332)、B (3，-22). 解析：(1)若所求双曲线方程为12222=-by a x (a ＞0,b ＞0),则将a =4代入，得22216b y x -=1,又点A (1,3104)在双曲线上，∴29160161b -=1, 解得b 2＜0,不合题意，舍去.若所求双曲线方程为2222bx a y -=1(a ＞0,b ＞0),同上，解得b 2=9,∴双曲线的方程为91622x y -=1. (2)设双曲线方程为mx 2+ny 2=1(mn ＜0),∵点A (2,332)、B (3，-22)在双曲线上， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.41,31.189,1344n m n m n m 解之，得 ∴所求双曲线的方程为4322y x -=1. 温馨提示求双曲线的标准方程首先要做的是确定焦点的位置.如果不能确定，解决方法有两种：一是对两种情形进行讨论，有意义的保留，无意义的舍去；二是设双曲线方程为mx 2+ny 2=1(mn＜0),解出的结果如果是m ＞0,n ＜0,那么焦点在x 轴上，如果m ＜0,n ＞0,那么焦点在y 轴，在已知双曲线的两个焦点及经过一个点时，可以用双曲线的定义，直接求出a .应加强练习，注意体会.三、确定方程表示的曲线类型【例3】 已知方程kx 2+y 2=4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型.解析：(1)当k =0时，y =±2,表示两条与x 轴平行的直线.(2)当k =1时，方程为x 2+y 2=4，表示圆心在原点，半径为2的圆.(3)当k ＜0时，方程为kx y 4422--=1，表示焦点在y 轴上的双曲线. (4)当0＜k ＜1时，方程为4422y kx +=1，表示焦点在x 轴上的椭圆. (5)当k ＞1时，方程为4422y kx +=1，表示焦点在y 轴上的椭圆. 温馨提示本题是判定方程所表示的曲线类型.对参数k 讨论时首先要找好讨论的分界点，除了区别曲线类型外，同一类曲线还要区别焦点在x 轴和y 轴的情况.各个击破类题演练1已知点F 1(-2，0)、F 2(2，0)，动点P 满足|PF 2|-|PF 1|=2，当点P 的纵坐标是21时，点P 到坐标原点的距离是( )A.26B.23C.3D.2解析：由题意知，P 点的轨迹是双曲线的左支，c =2,a =1,b =1,∴双曲线的方程为x 2-y 2=1.把y =21代入双曲线方程，得x 2=1+41=45,∴|OP |2=x 2+y 2=,464145=+∴|OP |=.26 答案：A变式提升1在△MNG 中，已知NG =4.当动点M 满足条件s in G -s in N =21s in M 时，求动点M 的轨迹方程. 解析：如右图所示，以NG 所在的直线为x 轴，以线段NG 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系.∵sin G -sin N =21sin M ∴由正弦定理，得|MN |-|MG |=21×4 ∴由双曲线的定义知，点M 的轨迹是以N 、G 为焦点的双曲线的右支(除去与x 轴的交点) ∴2c =4,2a =2,c =2,a =1,∴b 2=c 2-a 2=3.∴动点M 的轨迹方程为x 2-32y =1(x ＞0，且y ≠0)类题演练2双曲线2222by a x -=1(a ＞0,b ＞0)与直线x =6的一个交点到两焦点的距离分别是30和20，求该双曲线的方程.解：将x =6代入双曲线方程，得22226by a -=1. 则y =±226a ab -, 设一个交点P 的坐标为(6，226a ab -),则由题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==-++-=,,30)6()6(,20302222222222b a c a a b c a 解之得a =5,b 2=.3658925⨯ 故所求的双曲线方程为.136589252522=⨯-y x变式提升2在面积为1的△PMN 中，tan∠PMN =21,tan∠MNP =2,建立适当坐标系，求以M 、N 为焦点且过点P 的双曲线方程.解：以MN 所在直线为x 轴，M N 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设P (x 0,y 0)、M (-c ,0)、N(c ,0)(y 0＞0,c ＞0),如图.则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⨯⨯=-=+,1221,2,2100000y c c x y c x y 解得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==--==.23,143,332,635222200c a y a x y x 设双曲线方程为 将点P (332,635)代入，可得a 2=125.∴所求双曲线方程为13112522=-y x =1(y ＞0).类题演练3已知F 1(-8，3)，F 2(2，3)，动点P 适合|PF 1|-|PF 2|=2a ，当a 为3和5时，P 点的轨迹为( )A.双曲线和一直线B.双曲线和一射线C.双曲线一支和一直线D.双曲线一支和一射线解析：当a =3时，2a =6＜|F 1F 2|=10，点P 的轨迹是双曲线的右支.当a =5时，2a =10=|F 1F 2|,点P 的轨迹是以F 2为端点的一条射线.故选D.答案：D变式提升3 如果112||22-=-+-ky k x 表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距C 的取值范围是( )A.(1，+∞)B.(0，2)C.(2，+∞)D.(1，2) 解析：由题意得,02||01⎩⎨⎧>-<-k k 解得k ＞2,则c =.132)2|(|)1(>-=-+-k k k 答案：A。

新课标人教B版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程教案

新课标人教B版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程教案

第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程 2.1.2求曲线的轨迹方程一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．(二)能力训练点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．(三)学科渗透点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础．二、教材分析1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．)2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．(解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．)教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．三、教学过程学生探究过程：(一)复习引入大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质．我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析．(二)几种常见求轨迹方程的方法1．直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．对(1)分析：动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0．解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．即x2+y2=4R2或x2+y2=0．故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．对(2)分析：题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：设弦的中点为M(x，y)，连结OM，。

高中数学 2.2.1双曲线的及其标准方程教案 新人教版选修1-1

高中数学 2.2.1双曲线的及其标准方程教案 新人教版选修1-1

§2．2．1双曲线的及其标准方程【学情分析】：学生已经学过椭圆，了解椭圆的定义，经历了根据椭圆的特征，建立适当的坐标系，能较熟练求椭圆的方程，也了解椭圆的简单的几何性质并能解决与椭圆的几何性质有关的问题。

本节课将通过学生的自主探究、总结来进行教学。

【教学目标】：知识与技能1、使学生掌握双曲线的定义、标准方程2、掌握焦点、焦点位置、焦距与方程关系，会求双曲线的标准方程；过程与方法1、理解双曲线标准方程的推导过程；2、认识双曲线的变化规律及与其系数之间的关系；情感态度与价值观通过运用双曲线标准方程解决一些实际问题，使学生充分认识数学的价值，习惯用数学的眼光解决生活中的数学问题。

【教学重点】：双曲线的定义、标准方程【教学难点】：双曲线标准方程的推导过程【课前准备】：课件【教学过程设计】：练习与测试：1．一动圆P 过定点M （－4，0），且与已知圆N ：(x －4)2＋y 2＝16相切，求动圆圆心P 的轨迹。

分析：由题意，列出动圆圆心满足的几何条件，若能由此条判断出动点的轨迹是哪种曲线，则可直接求出其轨迹方程来内切时，定圆N 在动圆P 的内部，有|PC|＝|PM|－4， 外切时，有|PC|＝|PM|＋4，故点P 的轨迹是双曲线x 24－y 212＝1。

2．已知动圆P 与定圆C 1：(x ＋5)2＋y 2＝49,C 2：(x －5)2＋y 2＝1 都相切，求动圆圆心的轨迹的方程 分析：外切有|PC 1|＝7＋r, |PC 2|＝1＋r ，∴|PC 1|－|PC 2|＝6，内切有|PC 1|＝r －7, |PC 2|＝r －1，∴|PC 2|－|PC 1|＝6故点P 的轨迹是双曲线x 29－y 216＝13．若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的( )（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.解析：应用直接推理和特值否定法．当k>3时，有k-3>0,k+3>0，所以方程 表示双曲线；当方程表示双曲线时，k=-4 是可以的，这不在k>3里．故应该选A ．4．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，则双曲线的标准方程是____________________.解：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在x 轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为5:4，即:5:4c b =，解得5,4c b ==，则双曲线的标准方程是221916x y -= 5．若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________.1922=-y x6．已知双曲线的两个焦点为)0,5(1-F ，)0,5(2F ，P 是此双曲线上的一点，且21PF PF ⊥，2||||21=∙PF PF ，则该双曲线的方程是（ ）A ．13222=-y x B ．12322=-y x C ．1422=-y x D ．1422=-y x 答案：C7．“ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件 答案：C8．与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2），求双曲线方程解：设双曲线方程为22a x －22by =1由题意易求c =25 又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b =1又∵a 2+b 2=（25）2， ∴a 2=12，b 2=8故所求双曲线的方程为122x －82y =1。

高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程学案 新人教B版选修11

高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程学案 新人教B版选修11

2．2.1 双曲线及其标准方程1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．2．掌握双曲线的标准方程．(重点))3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．(难点[基础·初探]教材整理1 双曲线的定义阅读教材P45～P46思考与讨论，完成下列问题．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( )(2)点A(1,0)，B(－1,0)，若|AC|－|BC|＝2，则点C的轨迹是双曲线．( )(3)到两定点F1(－3,0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是两条射线．( )【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2 双曲线的标准方程阅读教材P46思考与讨论下面第一行～P47例1以上部分，完成下列问题．双曲线的标准方程判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1中，a >0，b >0且a ≠b .( )(2)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a >b .( ) (3)双曲线x 2－y 23＝1的焦点在y 轴上．( )【答案】 (1)× (2)× (3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：______________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：______________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_______________________________________________________[小组合作型](1)双曲线16－9＝1上一点A 到点(5,0)的距离为15，则点A 到点(－5,0)的距离为( )A ．7B ．23C ．7或23D ．5或25(2)如图2­2­1，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点为F 1，F 2，过点F 1作直线交双曲线的左支于点A ，B ，且|AB |＝m ，则△ABF 2的周长为________．图2­2­1【自主解答】 (1)易知双曲线的焦点坐标分别为F 1(－5,0)，F 2(5,0)， ||AF 1|－|AF 2||＝8，所以|AF 1|＝7或23.(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，所以|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝4a . 又因为|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝m ， 所以|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＋m .所以△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＋2m . 【答案】 (1)C (2)4a ＋2m双曲线的定义是用双曲线上任意一点到两焦点的距离来描述的．定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a ＜|F 1F 2|，包含|PF 1|－|PF 2|＝2a 和|PF 1|－|PF 2|＝－2a ，即要看到点离定点的距离的“远”与“近”．涉及双曲线上点到焦点的距离问题，或符合双曲线定义的轨迹问题可用双曲线的定义求解．[再练一题]1．已知圆M 1：(x ＋4)2＋y 2＝25，圆M 2：x 2＋(y －3)2＝1，一动圆P 与这两个圆都外切，试求动圆圆心P 的轨迹. 【导学号：25650061】【解】 设动圆的半径是R ，则由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|PM 1|＝R ＋5，|PM 2|＝R ＋1，两式相减得|PM 1|－|PM 2|＝4＜|M 1M 2|＝5，所以动圆圆心P 的轨迹是以点M 1(－4,0)、M 2(0,3)为焦点的双曲线中靠近焦点M 2(0,3)的一支．(1)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上； (3)a ＝4，c ＝5.【精彩点拨】 本题主要考查用待定系数法求双曲线的标准方程，求解时注意先定位再定量．【自主解答】 (1)法一：若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154和Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，将P ，Q 两点坐标代入可得 ⎩⎪⎨⎪⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.法二：设双曲线方程为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)．∵P ，Q 两点在双曲线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)法一：依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．依题设有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1. 法二：∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.(3)∵a ＝4，c ＝5， ∴b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9， ∴所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1或y 216－x 29＝1.1．求双曲线标准方程的步骤(1)确定双曲线的类型并设出标准方程； (2)求出a 2，b 2的值．2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x 轴上和y 轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)来求解．[再练一题]2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上； (2)与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4; 【导学号：25650062】(3)求经过点(3,0)，(－6，－3)的双曲线的标准方程．【解】 (1)因为双曲线的焦点在y 轴上，所以可设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题设知，a ＝25，且点A (2，－5)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，25a 2－4b2＝1，解得a 2＝20，b 2＝16.故所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1.(2)椭圆x 227＋y 236＝1的两个焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，双曲线与椭圆的一个交点为(15，4)或(－15，4)．设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧42a2－152b 2＝1，a 2＋b 2＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故所求双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. (3)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13.故所求双曲线的标准方程为x 29－y 23＝1.[探究共研型]【提示】 双曲线的定义，正余弦定理，勾股定理等．若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，P 是双曲线上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积．【精彩点拨】 双曲线方程――→双曲线的定义|PF 1|－|PF 2|＝±2a ――→平方|PF 1|2＋|PF 2|2的值――→余弦定理∠F 1PF 2＝90°――→面积公式S △F 1PF 2 【自主解答】 由双曲线方程x 29－y 216＝1，可知a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.由双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝±2a ＝±6，将此式两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2| ＝36＋2×32＝100.如图所示，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.1．本题在解题过程中运用了方程的思想，在解方程时，又运用了整体代换的思想． 2．在解焦点三角形的有关问题时，一般利用两个关系式： (1)利用双曲线的定义可得|PF 1|·|PF 2|的关系式．(2)利用正余弦定理可得|PF 1|，|PF 2|的关系式，然后可以求解出|PF 1|，|PF 2|.但是，一般我们不直接求出|PF 1|，|PF 2|，而是根据需要，把|PF 1|＋|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|，|PF 1|·|PF 2|等看成一个整体来处理．[再练一题]3．设双曲线x 24－y 29＝1，F 1、F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上． (1)若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积；(2)若∠F 1MF 2＝60°，求△F 1MF 2的面积．【解】 (1)由双曲线方程知a ＝2，b ＝3，c ＝13， 设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2(r 1＞r 2)． 由双曲线定义得r 1－r 2＝2a ＝4， 两边平方得r 21＋r 22－2r 1r 2＝16， 即|F 1F 2|2－4S △F 1MF 2＝16， 即4S △F 1MF 2＝52－16， ∴S △F 1MF 2＝9.(2)若∠F 1MF 2＝60°，在△MF 1F 2中，由余弦定理得 |F 1F 2|2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos 60°，∴r 1r 2＝36，则S △F 1MF 2＝12r 1r 2sin 60°＝9 3.[构建·体系]1．双曲线x 216－y 29＝1的焦点坐标为( )A ．(－7，0)，(7，0)B ．(0，－7)，(0，7)C ．(－5,0)，(5,0)D ．(0，－5)，(0,5)【解析】 由双曲线的标准方程，知a ＝4，b ＝3，所以c ＝5.又由于焦点在x 轴上，故选C.【答案】 C2．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) 【导学号：25650063】A ．－1＜k ＜1B ．k ＞0C ．k ≥0D ．k ＞1或k ＜－1【解析】 方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则(1＋k )(1－k )＞0， ∴(k ＋1)(k －1)＜0， ∴－1＜k ＜1. 故选A. 【答案】 A3．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.【解析】 由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m ＞0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.【答案】 164．若点P 到点(0，－3)与到点(0,3)的距离之差为2，则点P 的轨迹方程为________． 【解析】 由题意并结合双曲线的定义，可知点P 的轨迹方程为双曲线的上支，且c ＝3,2a ＝2，则a ＝1，b 2＝9－1＝8，所以点P 的轨迹方程为y 2－x 28＝1(y ≥1)．【答案】 y 2－x 28＝1(y ≥1)5．求以椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，94的双曲线的标准方程．【解】 因为椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)． 由双曲线的定义知，||PF 1|－|PF 2|| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪＋2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－02－－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－02 ＝8，即2a ＝8，则a ＝4.又c ＝5， 所以b 2＝c 2－a 2＝9， 故所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.。