2013届高考数学一轮复习讲义：12[1].5 独立性、二项分布及其应用

第5讲二项分布与正态分布[最新考纲]1．了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2．理解n次独立重复试验的模型及二项分布．3．能解决一些简单的实际问题.知识梳理1．条件概率及其性质设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)；事件A与B，A与B，A与B都相互独立．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用A i(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…A n)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(A n)．(2)二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功概率．4．正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝bφμ，σ(x)d x，则称随⎠⎛a机变量X 服从正态分布，记为X ～N (μ，σ2)．函数φμ，σ(x )＝，x ∈R 的图象(正态曲线)关于直线x＝μ对称，在x ＝μ处达到峰值1σ2π. (2)正态总体三个基本概率值 ①P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682_6. ②P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954_4. ③P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.997_4.辨 析 感 悟1．条件概率与相互独立事件的概率(1)若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )．(√)(2)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率，一定有P (AB )＝P (A )·P (B )．(×)(3)(教材习题改编)袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是0.5.(√) 2．二项分布与正态分布(4)在正态分布函数φμ，σ(x )＝中，μ是正态分布的期望值，σ是正态分布的标准差．(√)(5)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k ，k ＝0,1,2，…，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复试验中事件A 发生次数的概率分布．(√)(6)(2014·扬州调研改编)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P ＝C 13·⎝ ⎛⎭⎪⎫131·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133－1＝49.(×) [感悟·提升]1．古典概型中，A 发生的条件下B 发生的条件概率公式为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝n (AB )n (A )，其中，在实际应用中P (B |A )＝n (AB )n (A )是一种重要的求条件概率的方法． 2．P (A ·B )＝P (A )·P (B )只有在事件A 、B 相互独立时，公式才成立，此时P (B )＝P (B |A )，如(1)，(2)．3．判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：一是是否为n 次独立重复试验．在每次试验中事件A 发生的概率是否均为p . 二是随机变量是否为在这n 次独立重复试验中某事件发生的次数．且P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k 表示在独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率.考点一 条件概率【例1】 (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( )． A.18 B.14 C.25 D.12(2)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”， 则P (B |A )＝________.解析 (1)P (A )＝C 23＋C 22C 25＝410＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110.由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P (AB )P (A )＝110410＝14.(2)由题意可得，事件A 发生的概率P (A )＝S 正方形EFGH S 圆O ＝2×2π×12＝2π. 事件AB 表示“豆子落在△EOH 内”，则P(AB)＝S△EOHS圆O＝12×12π×12＝12π.故P(B|A)＝P(AB)P(A)＝12π2π＝14.答案(1)B(2)1 4规律方法(1)利用定义，求P(A)和P(AB)，则P(B|A)＝P(AB) P(A).(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝n(AB)n(A).【训练1】已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是()．A.1127B.11 24C.827D.9 24解析设从1号箱取到红球为事件A，从2号箱取到红球为事件B.由题意，P(A)＝42＋4＝23，P(B|A)＝3＋18＋1＝49，∴P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝23×49＝827，所以两次都取到红球的概率为827.答案 C考点二相互独立事件同时发生的概率【例2】(2013·陕西卷改编)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X ≥2”的事件概率． 审题路线 (1)甲选择3号和乙没选择3号是相互独立事件，利用相互独立事件概率乘法可求；(2)“X ≥2”表示事件“X ＝2”与“X ＝3”的和事件，根据互斥事件、相互独立事件的概率公式计算．解 (1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝C 12C 23＝23，P (B )＝C 24C 35＝35.∵事件A 与B 相互独立，A 与B 相互独立．则A ·B 表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”． ∴P (A B )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝23×25＝415， (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”， 则P (C )＝C 24C 35＝35，依题意，A ，B ，C 相互独立，A ，B ，C 相互独立，且AB C ，A B C ，A BC ，ABC 彼此互斥．又P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC ) ＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375， P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝1875，∴P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3375＋1875＝1725.规律方法 (1)解答本题关键是把所求事件包含的各种情况找出来，从而把所求事件表示为几个事件的和事件．(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有 ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解．②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．【训练2】 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116. (1)求乙投球的命中率p ；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率．解 (1)设“甲投一次球命中”为事件A ，“乙投一次球命中”为事件B . 由题意得：P (B )P (B )＝116， 于是P (B )＝14或P (B )＝－14(舍去)． 故p ＝1－P (B )＝34. 所以乙投球的命中率为34.(2)法一 由题设知，P (A )＝12，P (A )＝12. 故甲投球2次，至少命中1次的概率为 1－P (A ·A )＝1－P (A )P (A )＝34. 法二 由题设知，P (A )＝12，P (A )＝12. 故甲投球2次，至少命中1次的概率为 C 12P (A )P (A )＋P (A )P (A )＝34. 考点三 正态分布下的概率【例3】 已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，且P (X <4)＝0.8，则P (0<X <2)＝( )．A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2 解析 由P (X <4)＝0.8，得P(X≥4)＝0.2，由题意知正态曲线的对称轴为直线x＝2，P(X≤0)＝P(X≥4)＝0.2，∴P(0<X<4)＝1－P(X≤0)－P(X≥4)＝0.6，∴P(0＜X＜2)＝12P(0<X<4)＝0.3.答案 C规律方法(1)求解本题关键是明确正态曲线关于x＝2对称，且区间[0,4]也关于x ＝2对称．(2)关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.【训练3】若在本例中，条件改为“已知随机变量X～N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，”求P(X>4)的值．解∵随机变量X～N(3,1)，∴正态曲线关于直线x＝3对称，由P(2≤X≤4)＝0.682 6，得P(X>4)＝12[1－P(2≤X≤4)]＝12(1－0.682 6)＝0.158 7.考点四独立重复试验与二项分布【例4】某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；(2)求中奖人数X的分布列．审题路线(1)甲、乙、丙各购买一瓶饮料是否中奖，相互独立，由相互独立事件同时发生的概率乘法公式，第(1)问可求；(2)依题意随机变量X服从二项分布，不难求出分布列．解 (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A ，B ，C ，且相互独立，那么A ，B ，C 相互独立．又P (A )＝P (B )＝P (C )＝16，∴P (A ·B ·C )＝P (A )P (B )P (C )＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫562＝25216， 即甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为25216. (2)X 的可能取值为0,1,2,3，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，16，∴P (X ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎫16k ⎝ ⎛⎭⎪⎫563－k(k ＝0,1,2,3)． 则P (X ＝0)＝C 03·5363＝125216，P (X ＝1)＝C 13·5263＝2572， P (X ＝2)＝C 23·563＝572， P (X ＝3)＝C 3363＝1216，所以中奖人数X 的分布列为规律方法 (1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后求概率．【训练4】 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X ，求X 的概率分布列及数学期望E (X )．解 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么 1－P (C )＝1－110·p ＝4950，解得p ＝15. (2)由题意，P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫1103＝11 000， P (X ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫1102×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110＝271 000，P (X ＝2)＝C 23×110×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102＝2431 000， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎪⎫1－1103＝7291 000. 所以，随机变量X 的概率分布列为X 0 1 2 3 P11 000271 0002431 0007291 000E (X )＝0×11 000＋1×271 000＋2×2431 000＋3×7291 000＝2710.1．相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P (AB )＝P (A )P (B )．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．2．在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次可看做是C k n 个互斥事件的和，其中每一个事件都可看做是k 个A 事件与(n －k )个A 事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是p k (1－p )n －k .因此n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为C k n p k (1－p )n －k. 3．若X 服从正态分布，即X ～N (μ，σ2)，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1.易错辨析11——对二项分布理解不准致误【典例】 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13. (1)设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列； (2)设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的分布列．解 (1)将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为13，且每次试验结果是相互独立的， 故X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13.所以X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 6⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫236－k，k ＝0,1,2,3,4,5,6. (2)由于Y 表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y 是随机变量，其取值为0,1,2,3,4,5,6.其中：{Y ＝k }(k ＝0,1,2,3,4,5)表示前k 个路口没有遇上红灯，但在第k ＋1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算． P (Y ＝k )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·13(k ＝0,1,2,3,4,5)，而{Y ＝6}表示一路没有遇上红灯． 故其概率为P (Y ＝6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫236，因此Y 的分布列为：[易错警示]由于这名学生在各个交通岗遇到红灯的事件相互独立，可以利用二项分布解决，二项分布模型的建立是易错点；另外，对“首次停车前经过的路口数Y ”理解不当，将“没有遇上红灯的概率也当成13”．[防范措施] 独立重复试验中的概率公式P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k表示的是n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率，p 与(1－p )的位置不能互换，否则该式子表示的意义就发生了改变，变为事件A 有k 次不发生的概率了． 【自主体验】(2013·辽宁卷)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．解 (1)设事件A ＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A ＝“张同学所取的3道题都是甲类题”．因为P (A )＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－P (A )＝56.(2)X 所有的可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝C 02·⎝ ⎛⎭⎪⎫350·⎝ ⎛⎭⎪⎫252·15＝4125； P (X ＝1)＝C 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫351·⎝ ⎛⎭⎪⎫251·15＋C 02⎝ ⎛⎭⎪⎫350·⎝ ⎛⎭⎪⎫252· 45＝28125；P (X ＝2)＝C 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎫250·15＋C 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫351·⎝ ⎛⎭⎪⎫251·45＝57125； P (X ＝3)＝C 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫352·⎝ ⎛⎭⎪⎫250·45＝36125. 所以X 的分布列为：所以E (X )＝0×4125＋1×28125＋2×57125＋3×36125＝2.基础巩固题组一、选择题1．设随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)的值是( )．A.316B.516C.716D.58 答案 B2．已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)．若P (X >2)＝0.023，则P (－2≤X ≤2)＝( )．A ．0.477B ．0.628C ．0.954D ．0.977 答案 C3．(2014·湖州调研)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )． A.5960 B.35 C.12 D.160 答案 B4．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为( )． A ．0.45 B ．0.6 C ．0.65 D ．0.75 答案 D5．(2013·湖北卷改编)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0.则p 0的值为( )．(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)＝0.997 4.) A ．0.954 4 B ．0.682 6 C ．0.997 4 D ．0.977 2 答案 D 二、填空题6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________． 答案 357．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________． 答案 0.1288．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________． 答案 0.72 三、解答题9．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立． (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率；(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．10．某公交公司对某线路客源情况统计显示，公交车从每个停靠点出发后，乘客人数及频率如下表：(1)(2)全线途经10个停靠点，若有2个以上(含2个)停靠点出发后乘客人数超过18人的概率大于0.9，公交公司就考虑在该线路增加一个班次，请问该线路需要增加班次吗？能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．设随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 没有零点的概率是12，则μ＝( )．A ．1B ．4C ．2D ．不能确定解析 根据题意函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 没有零点时，Δ＝16－4X <0，即X >4，根据正态密度曲线的对称性，当函数f (x )＝x 2＋4x ＋X 没有零点的概率是12时，μ＝4. 答案 B2．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎨⎧－1，第n 次摸取红球，1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( )． A ．C 57⎝⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫235 B ．C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫232·⎝ ⎛⎭⎪⎫135C ．C 57⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫135D ．C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫132·⎝ ⎛⎭⎪⎫235 解析 S 7＝3即为7次摸球中，有5次摸到白球，2次摸到红球，又摸到红球的概率为23，摸到白球的概率为13.故所求概率为P ＝C 27⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫135. 答案 B 二、填空题3．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知 小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________．解析 记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，若小球落入B 袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝14，从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.答案 34 三、解答题4．(2013·山东卷)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率．(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望． 解 (1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意知，各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (A 2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827， P (A 3)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×12＝427. 所以，甲队以3∶0胜利，以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427. (2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4， 由题意知，各局比赛结果相互独立， 所以P (A 4)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝427. 由题意知，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3， 根据事件的互斥性得P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝16 27，又P(X＝1)＝P(A3)＝4 27，P(X＝2)＝P(A4)＝4 27，P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝3 27，∴X的分布列为∴E(X)＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×327＝79.。

第五节 独立性、二项分布及其应用一．考点梳理1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件B 发生的条件下事件A 发生的概率，称为事件B 发生的条件下事件A 的 ，用符号 来表示，其公式为P (A |B )＝ . 2．相互独立事件同时发生的概率 (1)对于两个事件A 、B .假如P (AB )＝ ，则称A ，B 相互独立．假如A ，B 相互独立．则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互 ．(2)一般地，假如事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1A 2…A n )＝3．独立重复试验与二项分布(1)n 次独立重复试验独立重复试验是指在相同条件下重复实行 次的，各次之间相互 的一种试验，在这种试验中每一次试验只有 结果，即要么A ，要么A ，且任何一次试验中发生的概率都是 的．(2)二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (x ＝k )＝ (k ＝0,1,2，…，n )．此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～ ．二．自我检测1．(2011·广东卷改编)甲、乙两队实行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为_____．2．设小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是____．3.(2011·湖北卷)如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为________．4．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )等于________．三．例题分析考向一 条件概率【例1】 抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A 为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”．(1)求P (A )，P (B )，P (AB )；(2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率．【训练1】从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于________考向二 相互独立事件的概率【例2】 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116. (1)求乙投球的命中率p ；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(3)若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率．【训练2】 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能准确回答下列问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能准确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为45、35、25、15，且各轮问题能否准确回答互不影响． (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．考向三 独立重复试验与二项分布【例3】 (2012·南京师大附中检测)为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12、13、16，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设． (1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记X 为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求X 的概率分布．【训练3】 (2010·江苏卷)某工厂生产甲、乙两种产品．甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元．设生产各件产品相互独立．(1)记X (单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的概率分布；(2)求生产4件甲产品所获得的利润很多于10万元的概率．四．练习反馈1．(2010·辽宁卷)两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为_____．2．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为________．3．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是________．4．(2010·江西卷)一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p 1和p 2.则p 1和p 2的大小关系是________．5．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是________．6．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．7．某次乒乓球比赛的决赛在甲、乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为23. (1)求比赛三局甲获胜的概率；(2)求甲获胜的概率．8．某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．。

2013年高考总复习数学 （北师大） 江西专用理第十章10.4二项分布及其应用考纲要求1．了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2．理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．知识梳理 1．条件概率一般地，设A ，B 为两个事件，且P (A )＞0，称P (B |A )＝______为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率．如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝__________.2．事件的相互独立性设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝________，则称事件A 与事件B 相互独立．如果事件A 与事件B 相互独立，则A 与____，____与B ，A 与____也都相互独立．3．独立重复试验与二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝______________，k ＝0,1,2，…，n .此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次可看成是C k n 个互斥事件的和，其中每一个事件都可看成是k 个A 事件与n －k 个A 事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是________．因此n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率为C (1).n kkkn p p －－基础自测1．在一段时间内，甲去某地的概率是14，乙去此地的概率是15，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是( )．A ．320B ．15C ．25D ．9202．每次试验的成功率为p (0＜p ＜1)，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为( )．A ．33710C (1)p p －B ．33310C (1)p p －C ．p 3(1－p )7D ．p 7(1－p )33．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8081，则此射手的命中率为__________．4．甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p ⎝⎛⎭⎫p >12，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59.(1)求p 的值；(2)设ξ表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量ξ的分布列． 思维拓展1．P (B |A )与P (AB )有何区别？提示：P (B |A )的值是AB 发生相对于事件A 发生的概率的大小；而P (AB )是AB 发生相对于原来的全体基本事件而言，一般P (B |A )≠P (AB )．2．若事件A ，B 互斥，则P (B |A )是多少？提示：A 与B 互斥，即A 与B 不同时发生，所以P (AB )＝0，P (B |A )＝0. 3．互斥事件与相互独立事件有什么区别？提示：两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．互斥事件与相互独立事件之间没有必然的联系，也就是说两个事件相互独立，则一定不能互斥；反之，若两个事件互斥，则不能相互独立． 4．甲、乙、丙三人分别射击同一个目标，都是“中”与“不中”两种结果，是三次独立重复试验吗？提示：不是，因为甲、乙、丙三人击中的概率不一定相同，只是独立事件，但不符合独立重复试验的要求．一、条件概率【例1－1】甲乙两市位于长江下游，根据一百多年来的记录知道，一年中雨天的比例，甲为20%，乙为18%，两市同时下雨的天数占12%.求：(1)乙市下雨时甲市也下雨的概率； (2)甲乙两市至少一市下雨的概率．【例1－2】把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B ；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A 的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B 的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验为成功，求试验成功的概率．方法提炼1．求P (B |A )时，可把A 看作新的基本事件空间来计算B 发生的概率，也就是说把B 发生的样本空间缩小为A 所包含的基本事件．2．若事件B ，C 互斥，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )，即为了求得比较复杂事件的概率，往往可以先把它分解成若干个互不相容的较简单事件之和，先求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．请做[针对训练]2二、相互独立事件同时发生的概率【例2－1】抛掷3枚质地均匀的硬币，设A 表示事件第一枚正面朝上，事件B 表示3枚结果相同，试判定A 与B 相互独立吗？【例2－2】甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响．求：(1)至少有1人面试合格的概率； (2)签约人数ξ的分布列．方法提炼1．当从意义上不易判定两事件是否相互独立时，可运用公式P (AB )＝P (A )P (B )计算判定．求相互独立事件同时发生的概率时，要搞清事件是否相互独立．若能把复杂事件分解为若干简单事件，同时注意运用对立事件可把问题简化．2．由两个事件相互独立的定义，可推广到三个或三个以上相互独立事件的概率计算公式，即若A 1，A 2，…，A n 相互独立，则P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．3．在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰有一个发生”、“都发生”、“都不发生”、“不都发生”等词语的意义．若能把相关事件正确地表示出来，同时注意使用逆向思考方法，常常能使问题的解答变得简便．请做[针对训练]3三、二项分布【例3－1】甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人答对正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分． (1)求随机变量ξ的分布列；(2)设C 表示事件“甲得2分，乙得1分”，求P (C )．【例3－2】在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的．若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：(1)恰有两道题答对的概率； (2)至少答对一道题的概率．方法提炼1．独立重复试验是相互独立事件的特例，注意二者的区别．独立重复试验必须具备如下的条件：(1)每次试验的条件完全相同，有关事件的概率不变；(2)各次试验结果互不影响，即每次试验相互独立；(3)每次试验只有两种结果，这两种可能结果的发生是对立的．2．判断某随机变量是否服从二项分布，主要看以下两点：(1)在每次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生；(2)在每一次试验中，事件发生的概率相同．若满足，则在n 次独立重复试验中就可把事件发生的次数作为随机变量，此时该随机变量服从二项分布．写二项分布时，首先确定X 的取值，直接用公式P (X ＝k )计算概率即可．请做[针对训练]4考情分析二项分布及其应用在每年的高考解答题中均有涉及，主要以条件概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验和二项分布的概率模型为载体，综合考查某一事件发生的概率．能正确确定离散型随机变量的取值，明确各个值所对应的事件的概率是正确解答此类问题的关键．针对训练 1．(2011广东高考，理6)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )．A ．12B ．35C ．23D ．342．一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，求P (AB )、P (A |B )．3．在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．4．某小学三年级的英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词；每周星期五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测(一周所学的单词每个被抽到的可能性相同)．(1)英语老师随机抽了4个单词进行检测，求至少有3个是后两天学习过的单词的概率；(2)某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为45，对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为35；若老师从后三天所学单词中各抽取了一个进行检测，求该学生能默写对的单词数ξ的分布列．参考答案基础梳理自测 知识梳理 1．P (AB )P (A ) P (B |A )＋P (C |A )2．P (A )P (B ) B A B 3．C (1)(1)kn kn kkk n p p p p ⋅⋅－－－　－基础自测1．C 解析：记甲去某地的概率是P (A )＝14，乙去此地的概率是P (B )＝15，故至少有1人去此地的概率为1－P (A B )＝1－P (A )P (B )＝1－34×45＝25.2．C 3．23 解析：设此射手的命中率为p ，由1－(1－p )4＝8081，得p ＝23. 4．解：(1)当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故p 2＋(1－p )2＝59，解得p ＝13或p ＝23.又p ＞12，所以p ＝23.(2)依题意知ξ的所有可能取值为2,4,6.P (ξ＝2)＝59，P (ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫1－59×59＝2081， P (ξ＝6)＝1－59－2081＝1681，所以随机变量ξ考点探究突破【例1－1】解：分别用A ，B 表示事件“甲下雨”和“乙下雨”，按题意有，P (A )＝20%，P (B )＝18%，P (AB )＝12%.(1)乙市下雨时甲市也下雨的概率为P (A |B )＝P (AB )P (B )＝1218＝23.(2)甲乙两市至少一市下雨的概率为P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝20%＋18%－12%＝26%.【例1－2】解：设A ＝{从第一个盒子中取得标有字母A 的球}， B ＝{从第一个盒子中取得标有字母B 的球}， R ＝{第二次取出的球是红球}， W ＝{第二次取出的球是白球}，则容易求得P (A )＝710，P (B )＝310，P (R |A )＝12，P (W |A )＝12，P (R |B )＝45，P (W |B )＝15.事件“试验成功”表示为RA ∪RB ，又事件RA 与事件RB 互斥，故由概率的加法公式，得P (RA ∪RB )＝P (RA )＋P (RB ) ＝P (R |A )P (A )＋P (R |B )P (B ) ＝12×710＋45×310＝0.59. 【例2－1】解：掷3枚硬币，基本事件总数为8，事件A 的基本事件个数为4，所以P (A )＝48＝12.B 的基本事件个数为2，所以P (B )＝28＝14.AB 包含的基本事件为(正、正、正)，所以P (AB )＝18.而P (A )P (B )＝12×14＝18，所以A 、B 相互独立．【例2－2】解：用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格．由题意知A ，B ，C 相互独立，且P (A )＝P (B )＝P (C )＝12.(1)至少有1人面试合格的概率是1－P (A B C )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－⎝⎛⎭⎫123＝78. (2)ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝312⎛⎫ ⎪⎝⎭＋312⎛⎫ ⎪⎝⎭＋312⎛⎫ ⎪⎝⎭＝38，P (ξ＝1)＝P (A B C )＋P (AB C )＋P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝312⎛⎫ ⎪⎝⎭＋312⎛⎫ ⎪⎝⎭＋312⎛⎫ ⎪⎝⎭＝38，P (ξ＝2)＝P (A BC )＝P (A )P (B )P (C )＝18，P (ξ＝3)＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝18.所以，ξ的分布列是【例3－1】解：(1)P (ξ＝0)＝03C ×023⎛⎫ ⎪⎝⎭×3213⎛⎫- ⎪⎝⎭＝127， P (ξ＝1)＝13C×23×2213⎛⎫- ⎪⎝⎭＝29， P (ξ＝2)＝23C ×223⎛⎫ ⎪⎝⎭⎝⎛⎭⎫1－23＝49， P (ξ＝3)＝33C ×323⎛⎫⎪⎝⎭＝827，所以ξ的分布列为(2)甲得2分，乙得1甲得2分，其概率为P (ξ＝2)＝49，乙得1分，其概率为P ＝23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝518.根据独立事件概率公式，得P (C )＝49×518＝1081.【例3－2】解：视“选择每道题的答案”为一次试验，则这是4次独立重复试验，且每次试验中“选择正确”这一事件发生的概率为14.用X 表示答对题的道数(X ＝0,1,2,3,4)， 由独立重复试验的概率计算公式得： (1)恰有两道题答对的概率为P (X ＝2)＝24C 221344⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝27128.(2)(方法1)至少有一道题答对的概率为1－P (X ＝0)＝1－04C 041344⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1－81256＝175256. (方法2)至少有一道题答对的概率为31413C 44⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＋222413C 44⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋33413C 44⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋44413C 44⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝108256＋54256＋12256＋1256＝175256. 演练巩固提升1．D 解析：由甲、乙两队每局获胜的概率相同，知甲每局获胜的概率为12，甲要获得冠军有两种情况：第一种情况是再打一局甲赢，甲获胜概率为12；第二种情况是再打两局，第一局甲输，第二局甲赢．则其概率为⎝⎛⎭⎫1－12×12＝14.故甲获得冠军的概率为12＋14＝34. 2．解：由图可知，n (Ω)＝9，n (A )＝3，n (B )＝4，n (AB )＝1，所以P (AB )＝19，P (A |B )＝n (AB )n (B )＝14.3．解：分别记这段时间内开关J A ，J B ，J C 能够闭合为事件A ，B ，C .由题意可知，这段时间内该3个开关是否能够闭合相互之间是没有影响的．根据相互独立事件的概率乘法公式，可得这段时间内3个开关都不闭合的概率是P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027.只要这段时间内至少有1个开关能够闭合，线路就能正常工作，从而使线路能正常工作的概率是1－P (A B C )＝1－0.027＝0.973.4．解：(1)设英语老师抽到的4个单词中，至少含有3个后两天学过的事件为A ，则由题意可得P (A )＝314666412C C C C +＝311. (2)由题意可得ξ可取：0,1,2,3，则有：P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎫152×⎝⎛⎭⎫25＝2125，P (ξ＝1)＝12C ⎝⎛⎭⎫45×15×25＋⎝⎛⎭⎫152×35＝19125， P (ξ＝2)＝⎝⎛⎭⎫452×25＋12C ×45×15×35＝56125， P (ξ＝3)＝⎝⎛⎭⎫452×35＝48125. 所以ξ的分布列为。