高等数学a)下期末试卷及答案

-------------------------------------密-----------------------封-----------------------线---------------------------------系部___________ 班级___________ 考场_________ 姓名______________ 学号_________高等数学期末试卷（A ）一、选择题（共25小题，每题2分，共计50分） 1．下列各对函数定义域相同的是（ ）.A.2)()(,)(x x g x x f ==B.x x g x x f ==)(,)(2C.x x g x x f lg 2)(,lg )(2== D.11)(,1)(2--=+=x x x g x x f2．下列函数在其定义域内不是奇函数的是（ ）. A.x y sin = B.x y cos = C.x y tan = D.x x y -=33．函数)(x f 在0x x =处有定义是0x x →时)(x f 有极限的（ ）. A 必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D.无关条件 4．下列各式中正确的是（ ）. A.0sin lim0=→x x x B.1sin lim =∞→x x x C.e n n x =+∞→)11(lim D.e nx =+→)11(lim 05．=+→xx x 1)41(lim ( ).A.4-eB.4e C.41e D.41-e6．=→xxx 5tan 3tan lim( ). A .1 B.53 C.35D.07．设)2(x f y -=，则='y ( ).A.)2(x f 'B.)2(x f -'-C.)2(x f -'D.)2(2x f -'-8．设函数⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x ，是),(+∞-∞上的连续函数，则)(=aA. 0B.1C.1-D.2 9．下列各式错误的是( ).A.1-)(μμμx x ='B.a a a x x ln )(⋅='C.x x cos )(sin ='D.x x sin )(cos =' 10．函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 处可导的( ).A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条件 11．函数2)(-=x x f 在点2=x 处的导数为( ). A.1 B.0 C.1- D.不存在12．设x 为自变量，当,1=x 0=∆x .1时，=)(3x d ( ). A.3.0 B.0 C.01.0 D.03.013．设)(),(x v v x u u ==都是可微函数，则=)(uv d ( ). A.vdv udu + B.du v dv u '+' C.vdu udv + D.vdu udv -14．设曲线22++=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为( ). A.）（4,1 B.）（1,4 C.)0,1( D.)1,0( 15．已知函数⎩⎨⎧>≤-=-,0,0,1)(x e x x x f x 则)(x f 在0=x 处( ).A.间断B.连续但不可导C.1)0(-='fD.1)0(='f 16．若)(x f 在点a x =的邻域内有定义，且除去点a x =外恒有0)()()(2>--a x a f x f ，则以下结论正确的是( ).A.)(x f 在点a 的邻域内单调增加B.)(x f 在点a 的邻域内单调减少C.)(a f 为函数)(x f 的极大值D.)(a f 为函数)(x f 的极小值 17．函数)(x f y =在点0x 处取极大值，则必有( ).A.0)(0='x fB.0)(0<''x fC.0)(0='x f ,0)(0<''x fD.0)(0='x f 或)(0x f '不存在 18．下列函数在其定义域内不是单调递增的是( ).A.x x x f 2)(3+=B.)1ln()(2x x x f +-=C.x x x f cos )(+=D.3)1)(1()(+-=x x x f 19．下列极限计算正确的是（ ）.A.626lim )2(223lim )2(42lim 222232==--=---→→→x x x x x x x x x B.6122lim 222lim )2()22)(2(lim )2(42lim 222222232=+=-++=-++-=---→→→→x x x x x x x x x x x x x x x C.∞=--=---→→)2(223lim )2(42lim 22232x x x x x x x D.不存在2232232)2(lim )42(lim )2(42lim---=---→→→x x x x x x x x x20．当0→x 时，1)1(212-+ax与x cos 1-为等价无穷小，则=a ( ).x2A.1 B.0 C.1- D.常数21．设)(x f 是可导函数，则))(('⎰dx x f 为( ). A.)(x f B.C x f +)( C.)(x f ' D.C x f +')( 22．下列等式中成立的是( ).A.⎰=)()(x f dx x f dB.⎰=dx x f dx x f dxd)()(C.⎰+=c x f dx x f dxd)()( D.dx x f dx x df )()(= 23．在区间),(b a 内，如果)()(x g x f '='，则下列各式中一定成立的是( ). A.)()(x g x f = B.1)()(+=x g x f C.))(())(('='⎰⎰dx x g dx x f D.⎰⎰'='dx x g dx x f )()( 24．)(x f 在区间[]b a ,上连续，则⎰⎰-babadt t f dx x f )()(( ).A. 小于零B.等于零C.大于零D.不确定25．用定积分表示右图x y 2=，2=x 和x 轴围成的面积，正确的是( A.⎰212xdx B.⎰22xdx C.⎰xtdt 02 D.⎰22xtdt二、填空题（共5小题，每题2分，共计10分） 26．(=dx ))32(x d - )()(xxe d dx e --=．27．设n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( ，则[]=')0(f ．28．若函数bx ax x f +=2)(在点1=x 处取极大值2，则=a ，=b ．29．设⎰=xx e dt t f 02)(，则=)(x f ．30．判断下列两个定积分的大小，⎰12dx x⎰13dx x ． 三、判断题（共5小题，每题2分，共计10分） 31．驻点一定是极值点．（ ）32．可导一定连续，连续不一定可导．( )33．设函数)(x f 在0x 处具有二阶导数,且0)(,0)(00≠''='x f x f ，则当0)(0<''x f 时，)(x f 在点0x 处取极大值．（ ）34．若函数)(x f 在[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，则在),(b a 内至少存在一点)(b a <<ξξ，使得0)(='ξf ．( )35．1)21(211122222-=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰--x dx x ．( )四、求下列各式的极限（共2小题，每题4分，共计8分）36．xe e xx x 20lim-→- 37．xdt txa tx ⎰++∞→)11(lim )0(>a五、计算下列不定积分（共2小题，每题4分，共计8分） 38．⎰+dx x )23sin( 39．⎰xdx x cos六、计算下列定积分（共1小题，共计4分）40．⎰-17)12(dx x七、综合题（共1小题，共计10分）41．平面图形D 由抛物线2x y =，1=x 和x 轴组成，请 （1）画出D 的草图 （2）求D 的面积答案：一、选择题（共25小题，每题2分，共计50分）1．B 2．B 3．D 4．C 5．B 6．B 7．D 8．B 9．D 10．A. 11．D 12．A 13．C 14．A 15．C 16．D 17．D 18．D 19．C 20．A 21．A. 22．D 23．C 24．B 25．B二、填空题（共5小题，每题2分，共计10分）26．31- - 27．0 28．=a -2 =b 4 29．=)(x f x e 22 30．>三、判断题（共5小题，每题2分，共计10分） 31．× 32．√ 33．√ 34．× 5．× 四、求下列各式的极限（共2小题，共计8分）36．x e e xx x 20lim -→-=1)2(lim 20x e e x x x ---→————3分=1————————————1分37．x dt t xa t x ⎰++∞→)11(lim )0(>a =1)11(lim x x x ++∞→——3分 =e ————1分五、计算下列不定积分（共2小题，共计8分） 38．⎰+dx x )23sin(=⎰++)23()23sin(31x d x ——2分 =C x ++-)23cos(31————2分39．⎰xdx x cos =⎰x xd sin ——2分=⎰-xdx x x sin sin ————1分 =C x x x ++cos sin ————1分六、计算下列定积分（共1小题，共计4分）40．⎰-107)12(dx x =⎰--107)12()12(21x d x ——2分=108])12(81[21-⋅x ————1分 =0]11[161=-————1分七、综合题（共1小题，共计10分） 41．（1）略————5分（2）⎰=12dx x D ————3分=10331⎥⎦⎤⎢⎣⎡x ————1分 =31——————1分。

高等数学A(下册)期末考试试题【B 卷】（补考卷）参考答案与评分标准 2009年6月（8月）一. 填空题【共5小题，每小题4分，共20分】 1、3π； 2、612x x y C e C e -=+； 3、113210x y z ---==-； 4、14xy +； 5、12a ．二. 试解下列各题【共5小题，每小题7分，共35分】1、解：该平面的法线向量12137231ij kn i j k =-=---- (3)∴所求的平面方程为(1)3(2)7(3)0x y z -+-+-=，即37280x yz ++-= (7)2、解：令 1t x =-，则级数化为为nn∞=..…【1】 1lim1n n n n a a ρ+→∞===，………………..…【3】 1R ⇒=，收敛区间1t <即02x << (4)当2x =时，级数成为1n ∞=0x =时，级数成为1n n ∞=，收敛....【6】 ∴所求的收敛域为[0,2).. (7)3、解：{}(,)01D xy x y=≤≤≤≤， (2)∴原式10dy =⎰ (4)133/210011(1)|29y y ==+=⎰ ………………【7】 4、解：2111()3212f x x x x x==-++++ (1)又01(1)(1)1n nn x x x ∞==-<+∑ (3)1001111(1)()(1)(2)221/2222n n n n n n n x x x x x ∞∞+====-=-<++∑∑………【5】 ∴21100011()(1)(1)(1)(1)(1)3222n n n n n n n n n n n x f x x x x x x ∞∞∞++=====---=--<++∑∑∑ (7)5、解：1222zxf yf x∂''=+∂ …………【2】 2zx y∂∂∂1112221222[(2)2]22[(2)2]x f y f x f y f y f x '''''''''=⋅-+⋅++⋅-+⋅ …………【6】 22212221124()4()f x y f xy f f '''''''=+-+- …………【7】 三、【9分】解：令23639026180x yf x y f y x ⎧=--=⎪⎨=-+=⎪⎩，得驻点(5,6)，(1,6)- (4)又6,6,2xx xy yy A f x B f C f ====-==.在驻点(5,6)处，2240,AC B -=>且300A =>，∴该函数在(5,6)处取得极小值(5,6)88f =-.….…【7】 在驻点(1,6)-处，2240,AC B -=-<∴该函数在(1,6)-处没有极值. ………………【9】 四、【10分】解：联立z =与22z x y =+消去z ，解得221x y +=，从而该立体Ω在xOy 面上的投影区域{}22(,)1xy D x y x y =+≤． (2)故所求的体积为221V dv d d πρθρρΩ==⎰⎰⎰⎰⎰ (6)1202)d πρρρ=⎰1423/20172(2)346ρπρπ⎡⎤=---=⎢⎥⎣⎦ (10)五、【10分】取1∑为1z =22(1)x y +≤的上侧，记Ω为由∑与1∑所围成的空间闭区域.由高斯公式，12222()x dydz y dzdx z dxdy x y z dv ∑+∑Ω++=++⎰⎰⎰⎰⎰ (4)2()2x y dv zdv ΩΩ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2221002x y zzdzdxdy +≤=+⎰⎰⎰13022z dz ππ==⎰ (6)又221122221x y x dydz y dzdx z dxdy z dxdy dxdy π∑∑+≤++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (9)∴22I πππ=-=- (10)六、【10分】解：(1)证:令 211(,)[1()]()P x y y f xy yf xy y y=+=+，222(,)[()1]()x xQ x y y f xy xf xy y y=-=-. 则当0y >时，21()()P f xy xyf xy y y ∂'=-++∂，21()()Q f xy xyf xy x y∂'=+-∂. ……………【4】 从而P y ∂∂、Q x ∂∂在上半平面内处处连续，且恒有Q P x y∂∂=∂∂. ∴曲线积分I 在上半平面内与路径无关 (5)（2）由于I 与路径无关，故可取积分路径L 为由点2(3,)3A 到(3,2)B ，再到(1,2)C 的折线段，则2221[1()][()1]AB BC xI y f xy dx y f xy dy y y+=++-⎰212223331[(3)1][14(2)]2y f y dy f x dx y =-++⎰⎰……………….【8】 212122/333313(3)3[][]2(2)2x f y dy f x dx y =+++⎰⎰62264()()4f t dt f t dt =-++=-⎰⎰ (10)七、【6分】证明：所给级数的部分和11223341()()()(1)()n n n n s u u u u u u u u ++=+-+++-+-+111(1)n n u u ++=+- (3)又由lim 1n n nu →∞=，得1lim lim lim0n n n n n u nu n→∞→∞→∞=⋅=，……………【4】 从而1n s u → （n →∞） ∴ (5)因此，所给级数收敛. (6)。

高等数学A(下册)期末考试试题大题 一 二 三 四 五 六 七 小题1 234 5得分一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a r 、b r满足0a b +=r r r ，2a =r ，2b =r ，则a b ⋅=r r ．2、设ln()z x xy =，则32zx y∂=∂∂ ． 3、曲面229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ．4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ．5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=⎰ ．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及226z x y =--所围成的立体体积．3、判定级数11(1)lnn n n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z zx x y∂∂∂∂∂． 5、计算曲面积分,dS z ∑⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．（本题满分10分）计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-⎰，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．四、（本题满分10分）求幂级数13nn n x n∞=⋅∑的收敛域及和函数．五、（本题满分10分）计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx zdxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧．六、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，222()[()]t F t z f xy z dv Ω=+++⎰⎰⎰，其中t Ω是由曲面z =与z =所围成的闭区域，求 3()lim t F t t +→．-------------------------------------备注：①考试时间为2小时；②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。

2020-2021《高等数学》（下）期末课程考试试卷A2适用专业： 考试日期：试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一. 判断题(每小题2分，共10分)1．二元函数(),z f x y =在平面区域上的积分为二重积分。

（ ）2．二元函数(),z f x y =的极值点只能是使得0z zx y∂∂==∂∂的点。

（ ）3．二元函数z =在()0,0点连续但偏导数不存在。

（ ）4．闭区域上的二元连续函数一定存在最大最小值，且一定可积。

（ ）5．二元函数z =在()0,0点连续但偏导数不存在。

（ ）二.单项选择题(每小题2分，共20分)1.平面2y = （ ） A.垂直于xOz 平面 B.平行于xOy 平面 C.平行于xOz 平面 D. 平行于Oy 轴2. 二元函数(),z f x y =在某点()00,x y 连续，那么(),z f x y =在该点一定 （ ）A .极限存在 B.两个偏导存在 C.可微 D.以上都不对3. 极限()(),0,0lim x y xyx y→+的结果为 （ ）A.0B.∞C. 12D.不存在4.若区域D 是由1x y +≤与12x y +≥所围成，则积分()22ln Dx y d σ+⎰⎰的值（ ）A.大于零B. 小于零C.等于零D. 不存在 5.下列绝对收敛的级数是 （ ）A.∑∞=--1n nn1n 23)1( B.∑∞=--1n 1n n )1(C.∑∞=--1n 51n n)1(D.∑∞=--1n n 21)1(6. 下列无穷级数中发散的无穷级数是 （ ）A.∑∞=+1n 221n 3n B. ∑∞=+-1n n 1n )1(C. ∑∞=--3n 1n n ln )1(D. ∑∞=+1n 1n n32 7. 点（0，0，1）到平面z=1的距离为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38. 积分2011dx x +∞+⎰的结果为 （ ）A.0B. 2πC. 2π-D.不存在9. 函数()arctan f x x =在 []0,1上，使拉格朗日中值定理成立的ξ是（ ）A.-10.设()f x 在(),a b 内满足()'0f x <，()''0f x >，则曲线()f x 在(),a b 内是（ ）A.单调上升且是凹的B. 单调下降且是凹的C.单调上升且是凸的D. 单调下降且是凸的三.填空题(每小题2分，共10分) 1. 设函数z x y =-，则xz∂∂=___________。

南京邮电大学2010/2011学年第二学期《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分）1、交换二次积分⎰⎰x e dy y x f dx ln 01),(的积分次序为（c ）(A ) ⎰⎰x e dx y x f dy ln 01),( (B )⎰⎰1),(dx y x f dy e e y(C )⎰⎰eeydx y x f dy ),(10(D )⎰⎰ex dx y x f dy 1ln 0),(2、锥面22y x z +=在柱面x y x 222≤+内的那部分面积为 （D ）(A )⎰⎰-θππρρθcos 2022d d (B )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d(C )⎰⎰-θππρρθcos 202222d d (D )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d3、若级数∑∞=-1)2(n nn x a 在2-=x 处收敛，则级数∑∞=--11)2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （A ）(A ) ∑∞=-1)13(n nn n (B )∑∞=+121n n n (C ) ∑∞=+111sin n n (D )∑∞=13!n n n 5、若函数)()2()(2222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （c ）(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面方程为624=-+z y x2、已知)0(:222>=+a a y x L ，则=-+⎰Lds xy y x )]sin([22 32 a π 3、Ω是由曲面22y x z +=及平面)0(>=R R z 所围成的闭区域，在柱面坐标下化三重积分⎰⎰⎰+Ωdxdydz y x f )(22为三次积分为⎰⎰⎰RR dz f d d ρπρρρθ)(20204、函数x x f =)()0(π≤≤x 展开成以2π为周期的正弦级数为nx nx n n sin )1(211+∞=-=∑，收敛区间为π<≤x 05、=+-)1(i Ln2,1,0),243(2ln ±±=++k k i ππ=-]0,[Re 2zz e s z1-三、(本题8分）设),()(22xy y xg y x f z ++=，其中函数)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导数，求y x z x z ∂∂∂∂∂2,解：2112yg g y f x x z ++'=∂∂ … 3分=∂∂∂yx z2f xy ''4113122221g y x g y xyg g --++ 5分四、(本题8分）在已知的椭球面134222=++z y x 内一切内接的长方体（各边分别平行坐标轴）中，求最大的内接长方体体积。

首页) 专业班级： 学号： 姓名： 教务处试卷编号：A3备注：试卷背面为演草区（不准用自带草纸） 装 订 线大连海事大学2004——2005第二学期 《高等数学》试卷（A3）一、填空题（每小题3分，共15分） 1. 由方程2222=+++zy x xyz 所确定的函数),(y x z 在点(1,0,-1)处的全微分=dz dy dx 2-2. 函数)ln(22y x z +=在点(1,0)处的梯度为_}0.2{ 3.数项级数∑∞=121n nn 的和为2ln4.设)(x f 以2π为周期，它在(-π,π)上定义为⎩⎨⎧≤<+≤<--=ππx x x x f 0,10,1)(2,则)(x f 的傅里叶级数在x=π处收敛于22π5.通解为21c e c x+的微分方程是0'''=-y y 二、选择题（每小题3分，共15分）1. 函数),(y x f 在点),(00y x 处连续是函数),(y x f 在该点处（ D ）（A ）偏导存在的必要条件 (B) 偏导存在的充分条件 (C) 可微的充分条件 (D) 可微的必要条件2. 设有空间闭区域{}0,1|),,(2221≥≤++=Ωz z y x z y x ，{}0,0,0,1|),,(2222≥≥≥≤++=Ωz y x z y x z y x ,则 ( C )(A)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124xdv xdv (B)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=114zdv ydv ( C)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=114ydv xdv (D)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124xyzdv xyzdv3. 函数322)(3x y x z -+=的极值点是( A )(A)(0,0) (B)(2,0) (C)(0,0) 与(2,0) (D) 无极值点 4.将=I ⎰⎰-22021),(xx dy y x f dx 改变积分次序，则=I ( C )(A) ⎰⎰-+11102),(ydx y x f dy (B)⎰⎰--11102),(ydx y x f dy( C)⎰⎰-+11112),(ydx y x f dy (D)⎰⎰+-11112),(ydx y x f dy5. 设∑为球面1222=++z y x 的外侧，则⎰⎰∑zdydx =( B )(A)π32 (B)π34 ( C)1 (D)0三、计算下列各题（每题9分，共18分） 1.已知f 具有二阶连续偏导,),(22xy y x f z +=,求yx z ∂∂∂22.求微分方程23''2y y =满足初始条件1)2(',1)2(-=-=-y y 的特解解：'2'12yf xf xz +=∂∂………………………………………………….3分 解： 设p y =',则dydp py =''…………………………………………..3分)2()2(2''22''21'2''12''112xf yf y f xf yf x yx z ++++=∂∂∂ …………………3分 原方程变形为：232y dydp p=,解得132C y p+=因为f 具有二阶连续偏导，所以 ''21''12ff = 将初始条件代入得：01=C ,所以23y p -=, ………………….3分故''22'2''1222''112)(24xyff fy x xyfyx z ++++=∂∂∂……………….3分, 解得,2212C x y+-=--,将初始条件代入得:42-=C所以，所求特解为y x )4(2+=………………………..……………3分试卷A3 第1页 共3页专业班级： 学号： 姓名：教务处试卷编号：A3备注：试卷背面为演草区（不准用自带草纸） 装 订 线四、计算dxdy y x D)(+⎰⎰,其中D 是由1=+y x 所围成的闭区域.(8分)解：由对称性知： 原式=⎰⎰≥≥≤+)0,0(18y x y x xdxdy………………………………..2分⎰⎰-=10108xdy xdx………………………………2分⎰-=10)1(8dx x x ………………………………2分34=……………………………………………2分五、计算⎰-+-=L x x dy y e dx y y e I )2cos ()2sin (,其中L 为上半圆周0,1)1(22≥=+-y yx ,沿逆时针方向 (8分).解：设y y e P x2sin -=,2cos -=y e Q x,点)0,2(A ,点)0,0(O ,则 d x d y yP xQ D)(∂∂-∂∂=⎰⎰…………………………..3分2c o s ,c o s -=∂∂=∂∂y e yP y e xQ xx………………………….3分 d x d y D⎰⎰=2(D 为曲线所围区域)⎰⎰+-+=+OAOAL Qdy PdxQdy PdxI π=……………………………………………..2分六、计算⎰⎰∑++222zy x dS ,其中∑是界于平面z=0及z=1之间的圆柱面122=+y x .（8分）解：设区域D 为{}11,10|),(≤≤-≤≤x z z x ，21x y -±=原式dS z⎰⎰∑+=2112…………………………..2分 dz zdx x⎰⎰+-=-1211211112…………………………..2分d x d z xxzD22211112-++=⎰⎰…………….2分 22π=……………………………………..……………..2分七、将)2ln(+x 展开为含1-x 的幂级数.(8分)解：)13ln()2ln(-+=+x x ……………………………………………..………..…...2 )311(3ln -+=x (2)nn n x n∑∞=---+=11)31()1(3ln )42(≤<-x (4)八、求原点到1)(22=--z y x 的最短距离(8分) 解：设曲面上一点为),,(z y x .原点到此点的距离为222zy x d ++=则问题转化为:在1)(22=--z y x 条件下,求d 的最小值……………………………….2分试卷A3 第2页 共3页专业班级： 学号： 姓名：教务处试卷编号：A3备注：试卷背面为演草区（不准用自带草纸） 装 订 线令]1)[(222---+=z y x d F λ,则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=--=∂∂=∂∂=∂∂1)(00022z y x z FyF x F……………………………….…..2分 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-=--=-+1)(0220)(220)(2222z y x z z y x y y x x λλλ…………………………………….2分解得:21±=x , 21=y ,0=z ，故所求最短距离为22…………………………………….2分九、求方程xe y y y -=++3'4''的通解(7分)解：特征方程为:0342=++r r ，其根为3,121-=-=r r ………………………………. 1分 故可设非齐次方程的特解为x ae y x -=*, .故齐次方程03'4''=++y y y 的通解为x x e C e C Y 321--+=…………………………..……2分 将其代入到原方程中，得21=a ………………….……2分因x e x f -=)(，1-=λ是单根, 故原方程的通解为=y x x e C e C 321--++x ex-21……….2 分十、设)(x f 在0=x 的某一邻域内具有二阶连续偏导，且0)(lim=xx f ，证明)1(1∑∞=n n f 绝对收敛 (5分)证明：由所给条件0)(lim=∞→xx f n 知,0)0(=f (因f(x)在x=0连续),xx f n 2)('lim=∞→又xf x f f n )0()()0('lim-=∞→ 2)0(''f =………………………….…………………2 分所以 因此有0)0('=f ……………………………….2分|)0(''|211|)1(|2limf nnf n =∞→ 而2)(limxx f n ∞→ 由比较法极限形式知：)1(1∑∞=n nf 绝对收敛………………….1分试卷A3 第3页 共3页专业班级： 学号： 姓名：教务处试卷编号：B3备注：试卷背面为演草区（不准用自带草纸） 装 订 线大连海事大学2004——2005第二学期 《高等数学》试卷（B3）一、填空题（每小题3分，共15分）1.由方程1=++z e y x 所确定的函数),(y x z 全微分)(dy dx e dz z +-=-2.函数y x e z +=在点(1,0)处的梯度向量为},{e e3.数项级数∑∞=131n nn 的和为2ln 3ln -4.设)(x f 以2π为周期，它在(-π,π)上定义为⎩⎨⎧≤<+≤<--=ππx x x x f 0,10,1)(,则)(x f 的傅里叶级数在x=π-处收敛于2π5.通解为21c e c x +-的微分方程是0'''=+y y 二、选择题（每小题3分，共15分）1.函数),(y x f 在点),(00y x 处偏导存在是函数),(y x f 在该点处（ B ）（A ）可微的充分条件 (B) 可微的必要条件 (C) 连续的必要条件 (D) 连续的充分条件2. 设有空间闭区域{}1|),,(2221≤++=Ωz y x z y x ，{}0,0,0,1|),,(2222≥≥≥≤++=Ωz y x z y x z y x ,则 ( D )(A)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124zdv xdv (B)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124ydv ydv ( C)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=224zdv ydv (D)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=114yzdv xzdv3. 函数322)(3x y x z ++=的极值点是( B )(A)(-2,0) (B)(0,0) (C)(0,0) 与(-2,0) (D) 无极值点4.将=I ⎰⎰--22221),(xx xdy y x f dx 改变积分次序，则=I ( A )(A) ⎰⎰-+-11122),(yydx y x f dy (B)⎰⎰--11102),(ydx y x f dy( C)⎰⎰-+11112),(ydx y x f dy (D)⎰⎰++-12112),(yydx y x f dy5. 设∑为球面1222=++z y x 的外侧，则⎰⎰∑dydx z 2=( D )(A)41 (B)21 ( C)1 (D)0三、计算下列各题（每题9分，共18分） 1.已知f 具有二阶连续偏导,),(22xy y x f z -=,求yx z ∂∂∂22.求微分方程y y =''满足初始条件1)0(',1)0(-==y y 的特解解：'2'12yf xf xz +=∂∂………………………………………………….3分 解： 设p y =',则dydp py =''…………………………………………..3分)2()2(2''22''21'2''12''112xf yf y f xf yf x yx z +-+++-=∂∂∂ ………………3分 原方程变形为：y dydp p=,解得122C y p+=因为f 具有二阶连续偏导，所以 ''21''12f f = 将初始条件代入得：01=C ,所以y p -=, ………………….3分 故''22'2''1222''112)(24xyff f y x xyf yx z ++-+-=∂∂∂…………… .3分, 解得,xeC y -=2,将初始条件代入得：12=C所以，所求特解为xe y -=………………………………..…………3分试卷B3 第1页 共3页专业班级： 学号： 姓名：教务处试卷编号：B3备注：试卷背面为演草区（不准用自带草纸） 装 订 线四、计算dxdy x y x D)(++⎰⎰,其中D 是由1=+y x 所围成的闭区域.(8分)解：由对称性知： 原式=⎰⎰≥≥≤+)0,0(18y x y x xdxdy………………………………..2分⎰⎰-=10108xdy xdx………………………………2分⎰-=10)1(8dx x x ………………………………2分34=……………………………………………2分五、计算⎰-+-Lxxdy y e dx y y e )2cos ()2sin (,其中L 为上半圆周0,4)2(22≥=+-y y x ,沿逆时针方向 (8分).解：设y y e P x 2sin -=,2cos -=y e Q x,点)0,4(A ,点)0,0(O ,则 d x d y yP xQ D)(∂∂-∂∂=⎰⎰…………………………..3分2c o s ,c o s -=∂∂=∂∂y e yP y e xQ xx………………………….3分 d x d y D⎰⎰=2⎰⎰+-+=+OAOAL Qdy PdxQdy PdxI π4=……………………………………………..2分六、计算⎰⎰∑++222zy x dS ,其中∑是界于平面z=1及z=2之间的圆柱面122=+y x .（8分）解：设区域D 为{}11,21|),(≤≤-≤≤x z z x ，21x y -±=原式dS z⎰⎰∑+=2112…………………………..2分 dz zdx x⎰⎰+-=-21211211112………………………………………………..2分d x d z xxzD22211112-++=⎰⎰…………….2分 =)1a r c t a n 2(a r c t a n 2-π……………………………………..……………..2分七、将)2ln(+x 展开为含x 的幂级数.(8分) 解：)21(2ln )2ln(x x +=+ (2))21l n (2ln x ++= (2)nn n xn∑∞=--+=11)2()1(2ln )22(≤<-x (4)八、求2x y =和直线x+y+2=0之间的最短距离(8分)解：设2x y =上一点为),(y x .此点到直线x+y+2=0之间的距离为2|2|++=y x d则问题转化为:在2x y =条件下,求2d 的最小值……………………………….2分 令)(22x y d F -+=λ,则试卷B3 第2页 共3页专业班级： 学号： 姓名：教务处试卷编号：B3备注：试卷背面为演草区（不准用自带草纸） 装 订 线⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂=∂∂200x y y Fx F………………………………………..….…..2分 即⎪⎩⎪⎨⎧==+++=-++202022xy y x x y x λλ…………………………………….2分 解得:21=x , 41=y ,故所求最短距离为287………………………………………….…….2分九、求方程xey y y 22'3''-=++的通解(7分)解：特征方程为:0232=++r r ，其根为1,221-=-=r r ………………………………. 1分 故可设非齐次方程的特解为x ae y x2*-=,.故齐次方程02'3''=++y y y 的通解为xxeC e C Y 221--+=…………………………..……2分 将其代入到原方程中，得1-=a ………………….……2分因xe xf 2)(-=，2-=λ是单根, 故原方程的通解为=y x x eC e C 221--+x e x2--……….2 分十、设偶函数)(x f 的二阶导数在0=x 的某一邻域内连续，且2)0('',1)0(==f f ，证明)1)1((1-∑∞=n nf 绝对收敛 (5分)证明：因为)(x f 为可导的偶函数 =2)(''l i mx f n ∞→所以，0)0('=f ,又2)0('',1)0(==f f ， 2)0(''f =)(x f 的二阶导数在0=x 的某一邻域内连续，………………2分 1=……………………………………2分所以21)(l i mxx f n -∞→ 从而=-∞→2)1(|1)1(|limnnf n |21)(lim x x f n -∞→|=1 =xx f n 2)('lim∞→ 故由正项级数的比较法知)1)1((1-∑∞=n nf 绝对收敛……1分..试卷B3 第3页 共3页。

肇庆学院2023-2023学年第1学期《高等数学下》期末考试试卷（A卷）及标准答案一、选择题（共40题，每题2.5分，共100分）1.在极坐标系下，点P的极坐标为(r, θ)，则P的直角坐标为（）。

A. (r, θ) B. (rcosθ, rsinθ) C. (rcosθ, θ) D.(rsinθ, θ)2.函数 y = ln(x^2 + 1) 的凸区间为（）。

A. (-∞,-1) B.(-1, ∞) C. (0,∞) D. (-∞,0)3.曲线 y = x^3 在点(1,1)处的切线方程为（）。

A. y =3x B. y = 3x - 2 C. y = 2x + 1 D. y = x4.函数 y = x + e^x 的最小值为（）。

A. -∞ B. 0 C. 1 D.无最小值5.设 y = sin(2x)，则y’ = （）。

A. 2cos(2x) B. 2cos(x)C. 2sin(2x)D. 2sin(x)6.函数 y = sin(x) 在 [-π/2,π/2] 上的最小值为（）。

A.-1 B. -π/2 C. 0 D. π/2……二、填空题（共10题，每题5分，共50分）1.设 A = {1, 2, 3, 4}，B = {2, 3, 4, 5}，则A ∪ B 的结果为 _______。

2.设f(x) = ∫(0, 2) x^2 dx，则 f(1) = _______。

3.设函数 f(x) 为偶函数，则其对称轴为 _______。

4.设函数 y = f(x) 在 x = a 处不可导，则 f(x) 在 x = a 处_______。

5.设函数 y = ln(x) + C 是函数 y = 1/x 的特解，则常数C = _______。

6.设 y = A * e^(-kx) 是函数 y = f(x) 的通解，则常数 A = _______。

7.设∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)，则 f(x) = _______。

高数a2下期末考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在区间(a, b)上可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在(a, b)上一定连续B. f(x)在(a, b)上一定单调C. f(x)在(a, b)上一定有极值D. f(x)在(a, b)上一定有最大值和最小值答案：A2. 若函数f(x)=x^3+3x^2+3x+1，则f'(x)为：A. 3x^2+6x+3B. x^3+3x^2+3C. 3x^2+6xD. 3x^2+6x+3x+1答案：A3. 设函数f(x)=ln(x+√(1+x^2))，则f'(x)为：A. 1/(1+x^2)B. 1/(1+x+√(1+x^2))C. 1/(1+√(1+x^2))D. 1/(1+x+√(1+x^2))^2答案：B4. 若函数f(x)=x^2-4x+c，且f(1)=-3，则c的值为：A. 0B. 1C. -2D. 2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=x^3-3x+2，则f''(x)=_________。

答案：6x-32. 设函数f(x)=e^x+ln(x+1)，则f'(x)=_________。

答案：e^x/(x+1)3. 若函数f(x)=x^2-6x+10，则f(x)的最小值为_________。

答案：-24. 设函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1，则f(0)=_________。

答案：-1三、计算题（每题10分，共30分）1. 求函数f(x)=x^3-3x+2的一阶导数和二阶导数。

答案：f'(x)=3x^2-3，f''(x)=6x-32. 求函数f(x)=e^x*sin(x)的导数。

答案：f'(x)=e^x*sin(x)+e^x*cos(x)3. 求函数f(x)=ln(x+√(1+x^2))的导数。

答案：f'(x)=1/(1+x+√(1+x^2))四、解答题（每题15分，共15分）1. 已知函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求其在x=1处的切线方程。

海南大学试卷海南大学2019 -2020学年度第 2学期试卷 《高等数学A 》（下）试题(A 卷)参考答案和评分标准一、选择题：（每小题3分，共18分，选择正确答案的编号，填在各题前的括号内）1、22003limx y xyx y →→=+（ D ）()3/2()0()6/5()不存在A B C D2、下列级数收敛的是（ B ）11111(1)3()()()22（A)n nnn n n n B C D n n -∞∞∞∞====-+∑∑∑3、设2312(),()=DDI x y d I x y d σσ=++⎰⎰⎰⎰，其中区域D 是由x 轴、y 轴及直线1x y +=所围成的闭区域，则12和I I 的关系为（ A ）121212()()()()根据所给条件不能确定A I IB I IC I ID ><=4、设直线1158:121x y z L --+==-与26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩，则1L 与2L 的夹角为（ C ）()()()6432（A ）B C D ππππ5、函数(,)f x y 在点(,)P x y 的某一领域内具有一阶连续偏导数是(,)f x y 在该点可微的（ B ）()()()（A ）必要条件，但不是充分条件 充分条件，但不是必要条件充分必要条件 既不是充分条件，也不是必要条件B C D6、设方程1z xyz e +=确定z 是,x y 的函数，则zx∂=∂（ C ）()()()（A ）-z z z zyz yz yz yzB C D e e xy e xy e -++二、填空题（每小题3分，共18分） 在以下各小题中画有_______处填上答案。

1、微分方程''4'30y y y -+=的通解为 312x x y c e c e =+ .2、Dxydxdy ⎰⎰= 0 .（其中D 是由圆周224x y +=所围成的区域。

）3、22ln()grad x y +=222222x yi j x y x y+++ .4、求过点(3,0,1)-且与平面235120x y z -+-=平行的平面方程为 23510x y z -+-= .5、交换积分次序2220(,)yydy f x y dx ⎰⎰=4(,)0/2xdx f x y dy x ⎰⎰ .6、4(2)3x y z ds ∑++⎰⎰= 461 .(其中∑为平面1234x y z++=在第一卦限中的部分) 三、计算题（第1-4小题各8分，第5-6小题各9分，共50分）1、设函数2(,)xz y f x y=+，其中f 具有连续偏导数，求dz .解：由于''121(,)(,)x x x z f x f x y y y=+⋅...........(3分)'222(,)()y x xz y f x y y =+⋅-...........(6分)所以'''12221()(2())xdz f f dx y f dy y y=+⋅++⋅-.........(8分)得分 阅卷教师得分 阅卷教师2、求微分方程2(1)2cos 0x y xy x '-+-=，01x y ==.的特解解：原方程可变形为222cos 11x xy y x x '+=--，.........(2分) 其中222cos (),()11x xP x Q x x x ==--，于是通解为()2222d d 11222cos e e d (4)11sin cos d .................(6)11分分x x x x x x x y x C x C x x x C x x ---⎛⎫⎰⎰=+ ⎪ ⎪-⎝⎭+=+=--⎰⎰，又因为01x y ==，得1C =-，故原方程的特解为2sin 11x y x -=-..........(8分)3、计算三重积分zdv Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面z 22z x y =+所围成的闭区域。

高等数学A 考试试卷一、填空。

（每小题5分，共25分）1．x y →→= 。

2、设)(zx yz xy f u ++=，其中f 可微，则=∂∂xu。

3、改变二次积分2220d (,)d yyy f x y x ⎰⎰后的顺序为 。

4、设L 为圆周422=+y x ，则⎰=+Lds y x )(22 。

5. 一动点与M 0(1,1,1)连成的向量与向量n =(2,3,-4)垂直，则动点的轨迹方程为 。

二、 计算题。

（每小题10分，共70分） 1．已知ln(z x =求2z x y∂∂∂。

2、设曲线L 为连接O(0,0)，A(1,0), B(0,1)的三角形，计算ds y x L⎰+)(。

3、判别级数 +-++++n n 31235333132的敛散性。

4、将x x f cos )(=展开成3π+x 的幂级数。

5．计算e d d ,x yDx y ⎰⎰其中D 由抛物线y 2=x ,直线x =0与y =1所围成。

6、计算dv y x ⎰⎰⎰Ω+)(22，Ω为由yoz 上的曲线z y 2=绕z 轴旋转所得旋转与8,2==z z 围成的区域。

7、在第一卦限内作3222=++z y x 的切平面，使得切平面与三个坐标平面所围成的四面体体积最小，求此切点的坐标，并求出最小的体积值。

三、证明题 （5分）设()f x 是[,]a b 上的正值连续函数，试证2()()()Df x dxdy b a f y ≥-⎰⎰，其中D 为,a x b a y b ≤≤≤≤。

答案：一、 填空题。

（每小题5分，共25分） 1、22、)()('zx yz xy f z y +++ 3、42d (,)d .x x f x y y ⎰⎰4、16π5、2x +3y -4z -1=0 二、 计算题。

（每小题10分，共70分） 1、解：z x∂=∂ （5分）2z x y ∂=∂∂ （5分）2、解：ds y x ds y x ds y x ds y x L L L L⎰⎰⎰⎰+++++=+321)()()()( （5分）⎰⎰⎰++=11102ydy dx xdx=2121221+=++。

南京邮电大学2010/2011学年第二学期《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分）1、交换二次积分⎰⎰x e dy y x f dx ln 01),(的积分次序为（c ）(A ) ⎰⎰x e dx y x f dy ln 01),( (B )⎰⎰1),(dx y x f dy e ey(C )⎰⎰e e ydx y x f dy ),(10(D )⎰⎰ex dx y x f dy 1ln 0),(2、锥面22y x z +=在柱面x y x 222≤+内的那部分面积为 （D ）(A )⎰⎰-θππρρθcos 2022d d (B )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d(C )⎰⎰-θππρρθcos 202222d d (D )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d3、若级数∑∞=-1)2(n nn x a 在2-=x 处收敛，则级数∑∞=--11)2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （A ）(A ) ∑∞=-1)13(n nn n (B )∑∞=+121n n n (C ) ∑∞=+111sin n n (D )∑∞=13!n n n 5、若函数)()2()(2222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （c ）(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面方程为624=-+z y x2、已知)0(:222>=+a a y x L ，则=-+⎰Lds xy y x )]sin([22 32 a π 3、Ω是由曲面22y x z +=及平面)0(>=R R z 所围成的闭区域，在柱面坐标下化三重积分⎰⎰⎰+Ωdxdydz y x f )(22为三次积分为⎰⎰⎰RR dz f d d ρπρρρθ)(20204、函数x x f =)()0(π≤≤x 展开成以2π为周期的正弦级数为nx nx n n sin )1(211+∞=-=∑，收敛区间为π<≤x 05、=+-)1(i Ln2,1,0),243(2ln ±±=++k k i ππ=-]0,[Re 2zz e s z1-三、(本题8分）设),()(22xy y xg y x f z ++=，其中函数)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导数，求y x z x z ∂∂∂∂∂2,解：2112yg g y f x x z ++'=∂∂ … 3分=∂∂∂yx z2f xy ''4113122221g y x g y xyg g --++ 5分四、(本题8分）在已知的椭球面134222=++z y x 内一切内接的长方体（各边分别平行坐标轴）中，求最大的内接长方体体积。

2009-2010(春)高等数学A(下)期末考试试题解答（2010.6）一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在空中)．2∂z=2xyexy．∂x2函数u=xy2+z3-x2yz在点P(1,1,1)处的梯度(-1,1,2)．21设z=exy，则3设f(x,y)为二元连续函数，交换积分次序⎰10dy⎰f(x,y)dx=y⎰10dx⎰f(x,y)dy．x5级数L在p>1条件下收敛．∑pnn=1∞二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）．以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效．1 二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx(x0,y0)与fy(x0,y0)存在是f(x,y)在该点处连续的( D )．（A）充分而非必要条件；（B）必要而非充分条件；（C）充分必要条件；（D）既非必要条件又非充分条件． 2 曲面yz+zx+xy=3在点(0,1,3)处的切平面方程为( B )．(A) 2x+y-1=0； (B)4x+3y+z-6=0； (C) x+y+z-1=0； (D) 4x+3y+z-2=0．（A）bn=（B）bn=（C）bn=（D）bn=4 设级数f(x)sinnxdx(n=1,2, ),和函数为f(x)；⎰ππ-πf(x)cosnxdx(n=1,2, ),和函数为f(x)；⎰ππ-11πf(x)cosnxdx(n=1,2, ),和函数为2f(x)；⎰ππ-ππ⎰2πf(x)sinnxdx(n=1,2, ),和函数为f(x)．∑un=1∞n收敛，且∑un=1∞n=u，则级数∑(un+un+1)=( C )．n=1∞(A) 2u；（B）u；（C）2u-u1；（D）u-u1．25 已知y=1,y=x,y=x为某二阶非齐次线性微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的三个解，则其通解为（ C ）.（其中C1,C2为任意常数）（A）y=C1+C2x+x；（B）y=C1x+C2x+1；（C）y=C1(x-1)+C2(x-1)+1；（D）y=C1(x-1)+C2(x-1)+x-x．三、（本题满分8分）22222⎛∂2zx⎫设二元函数z=xy+f xy，⎪，其中函数f具有二阶连续的偏导数，求．∂x∂yy⎭⎝∂z1=y+yf1'+f2' ， 4分解：∂xy⎡⎛x⎫⎤1⎛x⎫⎤∂2z1⎡''''''''''⎥⎪=1+f1+y⎢xf11+ -2⎪f12⎥-2f2+⎢xf21+ -2⎪f22⎪∂x∂yy⎣⎝y⎭⎦y⎝y⎭⎦⎣1x''-3f22'' ． 4分 =1+f1'-2f2'+xyf11yy四、（本题满分10分）计算二重积分解：⎰⎰(yD2+3x+9)dxdy，其中D=(x,y)x2+y2≤1． {}22＝(y+3x+9)dxdyy⎰⎰dxdy+⎰⎰3xdxdy+⎰⎰9dxdy 2分⎰⎰DDDD2y⎰⎰dxdy+0+9π 3分D ＝＝＝⎰2π0sin2θ⎰ρ3dρ+9π 3分0137π ． 2分 4五、（本题满分16分，其中1题为8分，2题为8分）1 讨论级数∑n=1∞(-1)nann(a>0)的敛散性；2 试将函数f(x)=1 解：当a>1，lim⎰x0． sint2dt展成x的幂级数（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛域）un+1n1=lim=<1，故原级数绝对收敛； 3分n→∞un→∞n+1aan 当0<a<1，limun+1n1=lim=>1，limun≠0，故原级数发散；3分n→∞n→∞un→∞n+1aan当a=1，原级数为∞∑n=1∞(-1)n，条件收敛. n 2分 (-1)n-1t2n-12 因为sint=∑t∈(-∞,+∞) ， 2分 (2n-1)!n=1∞(-1)n-1t4n-22 则sint=∑t∈(-∞,+∞) ． 2分n=1(2n-1)!将上式两端逐项积分，得⎛∞(-1)n-1t4n-2⎫ f(x)=⎰sintdt=⎰ ∑⎪dt (2n-1)!⎭00⎝n=1∞x(-1)n-1t4n-2=∑⎰dt (2n-1)!n=102xx(-1)n-1x4n-1=∑ (-∞<x<+∞) ． 4分 2n-1!(4n-1)n=0∞六、（本题满分12分）．∑ 2解：令∑1为z=4被z=x2+y2所截得部分的上侧, 则原式=由高斯公式z=4∑+∑1-⎰⎰∑1， 2分⎰⎰∑∑+=⎰⎰⎰[(x)'x+(y)'y+(z(x+y))'z]dv=13322ΩD=(⎰⎰Ωdxdy)xyz=x2+y2⎰[4(x2+ y2)]dz2π2z=422=⎰dθ⎰rdr⎰[4r]dz=2π⎰r[4r2](4-r2)dr=00z=r2012π8 ． 6分 3由曲面积分计算公式得2π2222=0+0+4(x+y)dxdy=dθ4(r⎰⎰⎰⎰⎰⎰)rdr=32π， 2分∑1D00128π32π ． 2分 -32π=33七、(本题满分8分)某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x台和y台，成本函数为故原式= c(x,y)=x2+2y2-xy （万元）若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产，总成本最少？最小成本为多少？解：即求成本函数c(x,构造辅助函数 F(x,y)在条件x+y=8下的最小值． y)=x2+2y2-xy+λ(x+y-8) 2分⎧Fx'=2x-y+λ=0⎪解方程组⎨Fy'=-x+4y+λ=0⎪F'=x+y-8=0⎩λ解得λ=-7,x=5,y=3 4分这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总成本最小，最小成本为： c(5,3)=52+2⨯32-5⨯3=28（万） 2分八、（本题满分16分，其中1题为10分，2题为6分）1 设可导函数ϕ(x)满足ϕ(x)cosx+2⎰ϕ(t)sintdt=x+1，求ϕ(x)． 0x2 设函数f(u)具有二阶连续的导函数，而且z=fesiny满足方程 x()∂2z∂2z2x+=ez，22∂x∂y试求函数f(u)．解1 在ϕ(x)cosx+2⎰x0ϕ(t)sintdt=x+1两端对x求导得，ϕ'(x)+tanxϕ(x)=secx． 4分解上述一阶线性微分方程得通解为．ϕ(x)=six+nC． cxo 4分由ϕ(x)cosx+2⎰x0ϕ(t)sintdt=x+1得，ϕ(0)=1，则C=1故ϕ(x)=sinx+cosx． 2分2 设u=exsiny，则有∂z∂z=f'(u)exsiny，=f'(u)excosy ∂x∂y∂2z2x2x所以，2=f''(u)esiny+f'(u)esiny ∂x∂2z=f''(u)e2xco2sy-f'(u)exsiny 2分2∂x∂2z∂2z代入方程 +2=e2xz，2∂x∂y2x2x2x2x2x得，f''(u)esiny+f'(u)esiny+f''(u)ecosy-f'(u)esiny=ez 即，f''(u)e2x=f(u)e2x由此得微分方程 f''(u)-f(u)=0 2分解此二阶线性微分方程，得其通解为f(u)=C1e+C2eu-u （C1与C2为任意常数） 2分此即为所求函数．。

《高等数学 A 》( 下）期末试卷 A 答案及评分标准 得 一、选择题（本大题分 5 小题，每题 3 分，共 15 分分）e dxln x f ( x, y)dy 的积分序次为1、互换二次积分1（c ）e ln xf ( x, y)dxe1 (A)dy(B)e ydyf ( x, y)dx11 eln xe(C)dy e y f ( x, y)dx(D)dy1f ( x, y)dx2、锥面zx2y 2在柱面 x2y22x 内的那部分面积为（ D ）d2 cos2d2 cos 2d(A)2d2(B)222cos 2d22 cosd(C)2 d(D)2 d2 023、若级数a n ( x 2) n在 x2 处收敛，则级数n 1na n ( x 2)n 1（ B ）在 x 5n 1(A)条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 收敛性不确立4、以下级数中收敛的级数为（ A ）(A)( n ) n(B)n2 3n 1 n 1 n 1 n 1(C)sin1(D)n!n 1 3 n n 1 n 15、若函数f ( z)( x 2 y 2 2 xy) i( y 2 axy x2 ) 在复平面上到处分析，则实常数 a 的值为（c ）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) -2得 二、填空题（本大题分 5 小题，每题 4 分，共 20 分分）、曲面 z x2y21 在点 (2,1,4) 处的切平面1方程为 4x 2 y z62 、已知L : x2y2a 2(a 0) ， 则L [ x 2y2sin( xy)]ds2 a33、 是由曲面zx2y 2及平面 zR(R0) 所围成的闭地区，在柱面坐标下化三重积分f ( x2y 2)dxdydz 为2 RR2)dz三次积分为ddf (4、函数 f (x) x (0 x) 睁开成以 2 为周期的正弦级 数 为x2 ( 1) n 1 sin nx，收敛区间为n 1n0 x5、Ln( 1 i)ln 2 i(32k ), k 0, 1, 24Re s[e z,0]12得 三、 (此题 8 分）设zf ( x2y 2) g( x, xy) ，分y此中函数 f (t) 二阶可导， g(u, v) 拥有二阶连续偏导数，求 z ,2zx x y解： z 2xf1g 1yg23 分xy2z4xyfg 2xyg 221 g 1 x g 11 5 分x yy 2 y 3得x 2y 2z 21内分四、(此题 8 分）在已知的椭球面43全部内接的长方体（各边分别平行坐标轴）中，求最大的内接长方体体积。

高数下册期末a卷考试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 以下哪个函数不是周期函数？A. \( \sin(x) \)B. \( \cos(x) \)C. \( e^x \)D. \( \tan(x) \)答案：C2. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x=1 \) 处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C3. 以下哪个选项是 \( \int_0^1 x^2 dx \) 的正确计算结果？A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( 1 \)D. \( 2 \)答案：A4. 以下哪个选项是 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B5. 以下哪个选项是 \( \int \frac{1}{x} dx \) 的原函数？A. \( \ln|x| + C \)B. \( x + C \)C. \( e^x + C \)D. \( \sin x + C \)答案：A6. 以下哪个选项是 \( \int e^x \cos x \, dx \) 的正确积分结果？A. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) + C \)B. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x - \sin x) + C \)C. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) - C \)D. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x - \sin x) - C \)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的定义域是 \( ______ \)。

答案：\( (0, +\infty) \)2. 函数 \( f(x) = \sqrt{x} \) 的导数是 \( ______ \)。

高数A （下）考试试题答案班 级 姓 名 学 号一、填空题（每空3分，共30分）1．设()2,z x y f x y =++-且当1y =时，23z x =+，则()f x =21x +。

2．设()222z y f x y =+-，其中()f u 可微，则z z yxx y∂∂+=∂∂2xy 。

3．设z u xy =，则()1,2,2d u =4d 4d 4ln 2d x y z ++。

4．设(),z z x y =由222x x y z yf y ⎛⎫++=⎪⎝⎭所确定，其中f 为可微函数，则z y∂=∂'22x x x f f y y y y z ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

5．曲面222315x y z ++=在点()1,1,2-处的切平面方程是412290x y z -++-=。

6．设函数cos u xy z =，则在点()2,1,0M -处的()div grad u = 2 。

7．设曲面222236,x y z n ++=是曲面上点()1,1,1P 处指向外侧的法线向量，函数u z=P 点处沿方向n 的方向导数117。

8．若交换积分次序，则()1320d ,d y y fx y x -=⎰()()()2113321d ,d d ,d x x x fx y y x fx y y -+⎰⎰⎰⎰ 。

9．设L 为封闭曲线22143xy+=，其周长为a ，则()22234d L x ys ++=⎰ 14a 。

10. 设()()222d 23d 3d z xy x x x y y =+++，则z =233x y x y C +++。

二、(10分 ) 设()2ln ,,z f x y x y f =-具有二阶连续偏导数，求2z x y∂∂∂。

解：()''''1212'2""""111122122'"""1111222ln ,2,ln 221ln 2ln 2.z z x f y f f yf xyyf z x x y f f y f yf x yy y y x y x f f y y f yf y yy ∂∂=+=-∂∂⎡⎤∂=++-+-⎢⎥∂∂⎣⎦⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭三、（10分）计算()2d x y z S ∑++⎰⎰, 其中∑是球面2222R z y x =++中满足0,0x y ≥≥及0z ≥的那部分曲面块，R 为正数。

海南大学高数A下试卷及答案试卷题目一：函数的极限1.计算下列极限：(a)$\\lim_{x\\to0}\\frac{\\sin x}{x}$(b)$\\lim_{x\\to\\infty}\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)^x$(c)$\\lim_{x\\to\\infty} \\frac{x+2}{x+3}$2.求函数$f(x)=\\frac{x^2+x-2}{x-1}$的极限，并说明极限存在的条件。

题目二：导数与微分1.求函数$f(x)=\\sqrt{x+1}$的导数。

2.求曲线y=y y在y=0处的切线方程。

题目三：积分1.计算定积分$\\int_{0}^{1}(3x^2-2x+1)dx$。

2.求曲线y=y2与y轴所围成的面积。

题目四：级数1.讨论级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{1}{n^2}$的敛散性。

2.求级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{(-1)^n}{n}$的和。

答案题目一：函数的极限(a)使用夹逼定理可知，$\\lim_{x\\to0}\\frac{\\sin x}{x}=1$(b)根据自然对数的性质，$\\lim_{x\\to\\infty}\\left(1+\\frac{1}{x}\\right)^x=e$(c)当$x\\to\\infty$时，$\\frac{x+2}{x+3}\\to1$1.当y yy1时，根据因式分解，$f(x)=\\frac{x^2+x-2}{x-1}=(x+2)$。

当y=1时，y(1)不存在。

所以存在极限的条件是y yy1。

题目二：导数与微分1.根据求导法则，$f'(x)=\\frac{1}{2\\sqrt{x+1}}$2.在y=0处，y=y y的斜率为1，所以切线方程为$y=1\\cdot x= x$题目三：积分1.根据积分的基本公式，$\\int_{0}^{1}(3x^2-2x+1)dx=\\left[x^3-x^2+x\\right]_{0}^{1}=1$2.曲线y=y2与y轴所围成的面积为$\\int_{0}^{1}x^2dx=\\left[\\frac{x^3}{3}\\right]_{0}^{1} =\\frac{1}{3}$题目四：级数1.根据比较判别法，级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}\\frac{1}{n^2}$收敛，因为$\\frac{1}{n^2}$与y-级数$\\frac{1}{n^p}$（其中y>1）同阶，且y=2>1。