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（完整版）数值计算⽅法上机实习题答案1．设?+=105dx xx I nn ，（1）由递推公式nI I n n 151+-=-，从0I 的⼏个近似值出发，计算20I ；解：易得：0I =ln6-ln5=0.1823, 程序为：I=0.182; for n=1:20I=(-5)*I+1/n; end I输出结果为：20I = -3.0666e+010 （2）粗糙估计20I ，⽤nI I n n 515111+-=--，计算0I ；因为 0095.056 0079.01020201020≈<<≈??dx x I dx x 所以取0087.0)0095.00079.0(2120=+=I 程序为：I=0.0087; for n=1:20I=(-1/5)*I+1/(5*n); end I0I = 0.0083（3）分析结果的可靠性及产⽣此现象的原因(重点分析原因)。
⾸先分析两种递推式的误差；设第⼀递推式中开始时的误差为000I I E '-=，递推过程的舍⼊误差不计。
并记nn n I I E '-=，则有01)5(5E E E n n n -==-=-Λ。
因为=20E 20020)5(I E >>-，所此递推式不可靠。
⽽在第⼆种递推式中n n E E E )51(5110-==-=Λ，误差在缩⼩，所以此递推式是可靠的。
出现以上运⾏结果的主要原因是在构造递推式过程中，考虑误差是否得到控制，即算法是否数值稳定。
2．求⽅程0210=-+x e x的近似根，要求41105-+?<-k k x x ，并⽐较计算量。
（1）在[0，1]上⽤⼆分法；程序：a=0;b=1.0;while abs(b-a)>5*1e-4 c=(b+a)/2;if exp(c)+10*c-2>0 b=c; else a=c; end end c结果：c =0.0903（2）取初值00=x ，并⽤迭代1021x k e x -=+；程序：x=0; a=1;while abs(x-a)>5*1e-4 a=x;x=(2-exp(x))/10; end x结果：x =0.0905（3）加速迭代的结果；程序：x=0; a=0;b=1;while abs(b-a)>5*1e-4 a=x;y=exp(x)+10*x-2; z=exp(y)+10*y-2;x=x-(y-x)^2/(z-2*y+x); b=x; end x结果：x =0.0995（4）取初值00=x ，并⽤⽜顿迭代法；程序：x=0; a=0;b=1;while abs(b-a)>5*1e-4 a=x;x=x-(exp(x)+10*x-2)/(exp(x)+10); b=x; end x结果： x =0.0905（5）分析绝对误差。
数值计算方法上机实验考试答案1. 小型火箭初始质量为900千克，其中包括600千克燃料。
火箭竖直向上发射时燃料以15千克/秒的速率燃烧掉，由此产生30000牛顿的恒定推力。
当燃料用尽时引擎关闭。
设火箭上升的整个过程中，空气阻力与速度平方成正比，比例系数为0.4（千克/米）。
重力加速度取9.8米/秒2.A. 建立火箭升空过程的数学模型（微分方程）；B. 求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火箭到达最高点的时间和高度。
解：A ． 建立模型：)(t x ——t 时刻的火箭高度；T =30000（牛顿）——火箭推力，当时间t >40秒时，T=0； m t m 150-=——火箭飞行过程中的质量，t >40秒时，300=m 千克0m =900（千克）——火箭初始质量； 1m =600（千克）——燃料质量；c =15（千克/秒）——燃料的燃烧速率； k =0.4（千克/米）——空气阻力系数； g =9.8（米/秒2）——重力加速度由能量守恒定律，可得到火箭飞行过程的方程：mg T t x k t x m -+'-=''2)]([)(这是一个初值问题，初始条件为 0)0(,0)0(='=x x设)(),(21t x x t x x '==，则问题化为求下列微分方程组的初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧--+--='='g t m T x t m k x x x 151******** 0)0(,0)0(21==x xB ． 关闭引擎时4015/600==t （秒），所求的是此时火箭的高度)40(1x ；速度)40(2x ；加速度)40()40(21x x '''或，及火箭到最高点的时间m t 和高度)(1m t x 。
具体的Matlab 程序如下： 首先建立微分方程的的m 文件：function y=huojian(t,x)k=0.4;g=9.8;m0=900;T=30000;m=m0-15*t;if t>40T=0;m=300;endy=[x(2),-(k/m)*x(2)^2+T/m-g]';主程序：%feixing.mk=0.4;g=9.8;m0=900;T=30000;x0=[0,0];ts=0:1:55;[t,x]=ode23('huojian',ts,x0);[t,x(:,1)]%------a=[t,x];x40=a(41,2) %燃料用尽时的高度v40=a(41,3) %燃料用尽时的速度a40=-(k/300)*v40^2+T/300-g %燃料用尽时的加速度%-------xmax=max(x(:,1)) %火箭到达最高点的高度subplot(2,1,1),plot(t,x(:,1)),title('altitude') subplot(2,1,2),plot(t,x(:,2)),title('speed')运行结果为：1.0e+003 *0 00.0010 0.01180.0020 0.04750.0030 0.10670.0040 0.18890.0050 0.29270.0060 0.41680.0070 0.55920.0080 0.71800.0090 0.89140.0100 1.07700.0380 7.80510.0390 8.06310.0400 8.32240.0410 8.54000.0420 8.70040.0430 8.82420.0440 8.92180.0450 8.99940.0460 9.06070.0470 9.10830.0480 9.14370.0490 9.16810.0500 9.18220.0510 9.18640.0520 9.18070.0530 9.16510.0540 9.13900.0550 9.1018x40 =8322.4v40 = 254.1728a40 = 4.0616xmax =9186.4关闭引擎时4015/600==t （秒），此时火箭的高度h=)40(1x =8322.4米，速度v=)40(2x =254.1728米/秒，加速度为a=)40(1x ''= 4.0616米/秒2，火箭到最高点的时间m t =51秒，高度)(1m t x =9186.4米。
上海电力学院数值分析上机实验报告题目：数值分析上机实验报告学生姓名：11111111111学号：111111*********专业：11112013年12月30日数值计算方法上机实习题1． 设⎰+=105dx xx I nn ， （1） 由递推公式n I I n n 151+-=-，从0I 的几个近似值出发，计算20I ； （2） 粗糙估计20I ，用nI I n n 51511+-=-，计算0I ；（3） 分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。
(1) 解答：n=0，0.1823)05ln()15ln()5(51515101010=+-+=++=+=+=⎰⎰⎰x d xdx x dx x x I nn这里可以用for 循环，while 循环，根据个人喜好与习惯：for 循环程序： While 循环程序： I=0.1823; I=0.1823; for n=1:20 i=1;I=(-5)*I+1/n; while i<21 End I=(-5)*I+1/i; I i=i+1; fprintf('I20=%f',I) end I = -2.0558e+009 >> II20=-2055816073.851284>> I = -2.0558e+009 (2) 粗略估计I 20： Mathcad 计算结果： for 循环程序： While 循环程序： >> I=0.007998; I=0.007998; >> for n=1:20 n=1;I=(-0.2)*I+1/(5*n); while n<21End I=(-0.2)*I+1/(5*n); >> I n=n+1; I =0.0083 end >> II =0.0083(3) 算法误差分析：计算在递推过程中传递截断误差和舍入误差 第一种算法：（从1——>20）*000e I I=-***21111120115(5)5()555n n n n n n n n n n e I I I I I I e e e n n------=-=-+--+=-===1x x 205x +⎛⎜⎜⎜⎠d 7.998103-⨯=误差放大了5n 倍，算法稳定性很不好； 第二种算法：（从20——>1）*n n ne I I =-***111111111()()555555n n n n n n nn e I I I I I I e n n ---=-=-+--+=-=0111...()55nne e e ===误差在逐步缩小，算法趋近稳定，收敛。
实习题1 1用两种不容的顺序计算644834.1100012nn，分析误差的变化 （1）顺序计算 源代码： #include #include void main() { double sum=0; int n=1; while(1) { sum=sum+(1/pow(n,2)); if(n%1000==0)printf("sun[%d]=%-30f",n,sum); if(n>=10000)break; n++; } printf("sum[%d]=%f\n",n,sum); }
结果：
（2）逆序计算 源代码： #include #include void main() { double sum=0; int n=10000; while(1) { sum=sum+(1/pow(n,2)); if(n%1000==0) printf("sum[%d]=%-30f",n,sum); if(n<=1)break; n--; } printf("sum[%d]=%f\n",n,sum); }
结果：
2已知连分数 ))//(.../(322101nnbaabababf
利用下面的方法计算f: 011)0,...,2,1(,dfnnidabdbdiiiinn
写一个程序，读入n,nnba,,计算并打印f 源代码： #include #include void main() { int i=0,n; float a[1024],b[1024],d[1024]; printf("please input n,n="); scanf("%d",&n); printf("\nplease input a[1] to a[n]:\n"); for(i=1;i<=n;i++) { printf("a[%d]=",i); scanf("%f",&a[i]);
1．设I n 1 x ndx ，0 5 x（ 1）由递推公式 I n 5I n 11，从 I 0的几个近似值出发，计算I 20；n解：易得： I 0 ln6-ln5=0.1823, 程序为：I=0.182;for n=1:20I=(-5)*I+1/n;endI输出结果为： I 20= -3.0666e+010（ 2）粗糙估计 I 20，用 I n 1 1I n 1 1 ，计算 I 0；5 5n0.0079 1 x 20 1 x 200.0095因为dx I 20dx 6 5所以取 I 20 1(0.0079 0.0095) 0.0087 2程序为： I=0.0087;for n=1:20I=(-1/5)*I+1/(5*n);endII 0= 0.0083（ 3）分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因 )。
首先分析两种递推式的误差；设第一递推式中开始时的误差为E0 I 0 I 0，递推过程的舍入误差不计。
并记 E n I n I n，则有 E n 5E n 1 ( 5) n E0。
因为 E20( 5) 20 E0 I 20，所此递推式不可靠。
而在第二种递推式中E0 1E1 (1)n E n，误差在缩小，5 5所以此递推式是可靠的。
出现以上运行结果的主要原因是在构造递推式过程中，考虑误差是否得到控制，即算法是否数值稳定。
2．求方程e x10x 2 0 的近似根，要求x k 1x k 5 10 4，并比较计算量。
（1）在 [0， 1]上用二分法；程序： a=0;b=1.0;while abs(b-a)>5*1e-4c=(b+a)/2;if exp(c)+10*c-2>0b=c;else a=c;endendc结果： c =0.0903（ 2）取初值x0 0，并用迭代 x k 1 2 e x ；10程序： x=0;a=1;while abs(x-a)>5*1e-4a=x;x=(2-exp(x))/10;endx结果： x =0.0905（3）加速迭代的结果；程序： x=0;a=0;b=1;while abs(b-a)>5*1e-4a=x;y=exp(x)+10*x-2;z=exp(y)+10*y-2;x=x-(y-x)^2/(z-2*y+x);b=x;endx结果： x =0.0995（ 4）取初值x00 ，并用牛顿迭代法；程序： x=0;a=0;b=1;while abs(b-a)>5*1e-4a=x;x=x-(exp(x)+10*x-2)/(exp(x)+10); b=x;end x 结果： x =0.0905（ 5） 分析绝对误差。
高等代数机算与应用作业题学号：姓名：成绩：一、机算题1．利用函数rand和函数round构造一个5×5的随机正整数矩阵A和B。
>> a=round(rand(5))a =0 0 1 1 11 1 0 1 01 0 1 0 10 1 1 0 00 0 1 0 1>> b=round(rand(5))b =0 0 0 0 00 1 1 0 10 1 1 1 01 1 0 1 00 1 1 1 0(1)计算A＋B，A－B和6A>> a+bans =0 0 1 1 11 2 1 1 11 12 1 11 2 1 1 00 1 2 1 1>> a-bans =0 0 1 1 11 0 -1 1 -1 1 -1 0 -1 1 -1 0 1 -1 0 0 -1 0 -1 1 >> 6*a ans =0 0 6 6 6 6 6 0 6 0 6 0 6 0 6 0 6 6 0 0 0 0 6 0 6 (2)计算()TAB ，TTB A 和()100AB>> (a*b)' ans =1 1 0 0 0 32 2 2 2 2 1 2 2 23 1 2 1 2 0 1 0 1 0 >> b'*a' ans =1 1 0 0 0 32 2 2 2 2 1 2 2 23 1 2 1 2 0 1 0 1 0 >> (a*b)^100 ans = 1.0e+078 *1.4732 7.6495 6.1764 5.52252.1271 1.0117 5.2535 4.24183.7927 1.4608 0.92294.7921 3.8692 3.4596 1.3325 0.9229 4.7921 3.8692 3.4596 1.3325 0.9229 4.7921 3.8692 3.4596 1.3325 (3)计算行列式A ，B 和AB >> det(a) ans =1 >> det(b) ans = 0 >> det(a*b) ans = 0(4)若矩阵A 和B 可逆，计算1A -和1B - >> inv(a) ans =0 0 1.0000 0 -1.0000 -1.0000 1.0000 -1.0000 0.0000 2.0000 1.0000 -1.0000 1.0000 1.0000 -2.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -1.0000 -1.0000 1.0000 -1.0000 -1.0000 3.0000 b 不存在逆矩阵(5)计算矩阵A 和矩阵B 的秩。
西安电子科技大学出版社《计算方法》任传祥等编著第九章计算方法上机参考答案实验一，算法一#include <stdio.h>#include <math.h>double I0=log(6)/log(5),I1;int n=1;main (){while(1){I1=1.0/(n)-I0*5.0;printf("%d %lf\n", n,I1);if(n>=20)break;elseI0=I1;n++;}}实验一，算法二#include <stdio.h>#include <math.h>double I0=(1/105.0+1/126.0)/2,I1;int n=20;main (){printf("%d %lf\n", n,I0);while(1){I1=1.0/(5.0*n)-I0/5.0;printf("%d %lf\n", n-1,I1);if(n<2)break;elseI0=I1;n--;}}实验二，二分法#include <stdio.h>#include <math.h>#define esp 1e-3double f(double x);main (){double a=1,b=2,x;while(fabs(b-a)>esp){x=(a+b)/2;printf("x=%lf\n",x);if(f(x)==0)break;elseif(f(x)*f(a)<0)b=x;elsea=x;}}double f(double x){return pow(x,3)-x-1;}实验二，牛顿迭代法#include<stdio.h>#include<math.h>double f(double x);double f1(double x);#define esp 1e-3void main(){double x0 = 1.5, x1;x1 = x0 - f(x0) / f1(x0);printf("x=%lf\n", x1);x0 = x1;x1 = x0 - f(x0) / f1(x0);printf("x=%lf\n", x1);while (fabs(x1 - x0)>esp){x0 = x1;x1 = x0 - f(x0) / f1(x0);printf("x=%lf\n", x1);} }double f(double x){return pow(x, 3) - x - 1;} double f1(double x){return 3 * x*x - 1;}弦割法#include<stdio.h>#include<math.h>double f(double x);#define esp 1e-3void main(){double x0 = 1.5, x1=2.0,x2;do{ x2=x1 - (x1-x0)*f(x1) /(f(x1)-f(x0));x0=x1;x1=x2;printf("x=%lf\n", x1);}while (fabs(x1 - x0)>esp);{printf("x=%lf\n", x1);}}double f(double x){return pow(x, 3) - x - 1;}实验3#include <stdio.h>/*列主元高斯消去法*/#include <math.h>float x[3],temp,max;float A[3][4]={10,-2,-1,3,-2,10,-1,15,-1,-2,5,10},c[3][4]={10,-2,-1,3,-2,10,-1,15,-1,-2,5,10}; int n=3,i,k,j,m;void main(){for(i=0;i<n;i++){max=A[i][i];k=i;for(j=j+1;j<n;j++){{max=fabs(A[j][i]);k=j;}}if(k!=i){for(j=i+1;j<=n;j++){temp=A[i][j];A[i][j]=A[k][j];A[k][j]=temp;}}for(j=i+1;j<n;j++)for(m=i+1;m<=n;m++){c[j][m]=c[j][m]+(-c[j][i]/c[i][i])*c[i][m];}}for(i=n-1;i>=0;i--){temp=0.0;for(j=n-1;j>=i+1;j--)temp=temp+c[i][j]*x[j];x[i]=(c[i][n]-temp)/c[i][i];}printf("x[1]=%f\nx[2]=%f\nx[3]=%f\n",x[0],x[1],x[2]);实验四，拉格朗日插值#include<stdio.h>int n=5,i,j;double l,L=0,X=0.5;main(){double x[5]={0.4,0.55,0.65,0.8,0.9};doubley[5]={0.41075,0.57815,0.69675,0.88811,1.02652}; for(i=0;i<n;i++){l=y[i];for(j=0;j<n;j++){if(j!=i)l=l*(X-x[j])/(x[i]-x[j]); } L=L+l;}printf("%lf\n",L);return 0;} X=0.5 X=0.7 X=0.85牛顿插值法#include<stdio.h>#include<math.h>main(){double x[5]={0.4,0.55,0.65,0.8,0.9};doubley[5]={0.41075,0.57815,0.69675,0.88811,1.02652};int n=5,i,j;double z;printf("input z\n");scanf("%lf",&z);double a[5][5];for(i=0;i<5;i++)a[i][0]=y[i];for(i=1;i<5;i++)for(j=i;j<5;j++)a[j][i]=(a[j][i-1]-a[j-1][i-1])/(x[j]-x[j-i]);double N=a[0][0],temp=1.0;for(i=1;i<n;i++){temp=temp*(z-x[i-1]);N=N+a[i][i]*temp;}printf("N=%lf\n",N);return 0;}实验五曲线拟合#include <stdio.h>#include <math.h>float x[5]={1,2,3,4,5};float y[5]={7,11,17,27,40};float A[2][3],c[2][3];float z[2],temp,max;int i,j,k,m;int n=2;void main(){for(i=0;i<5;i++){c[0][0]=A[0][0]+=1;c[0][1]=A[0][1]+=x[i];c[0][2]=A[0][2]+=y[i];c[1][0]=A[1][0]+=x[i];c[1][1]=A[1][1]+=x[i]*x[i];c[1][2]=A[1][2]+=x[i]*y[i];}/* for(i=0;i<2;i++){printf(" %lf %lf %lf\n",A[i][0],A[i][1],A[i ][2]);}*/for(i=0;i<n;i++){max=A[i][i];k=i;for(j=j+1;j<n;j++){if(fabs(A[j][i])>max){max=fabs(A[j][i]);k=j;}} if(k!=i){for(j=i+1;j<=n;j++){temp=A[i][j];A[i][j]=A[k][j];A[k][j]=temp;}}for(j=i+1;j<n;j++)for(m=i+1;m<=n;m++){c[j][m]=c[j][m]+(-c[j][i]/c[i][i])*c[i][m];}}for(i=n-1;i>=0;i--){temp=0.0;for(j=n-1;j>=i+1;j--)temp=temp+c[i][j]*z[j];z[i]=(c[i][n]-temp)/c[i][i];}printf("a=%f\nxb=%f\n",z[0],z[1]); }实验六数值积分/*梯形*/#include<stdio.h>#include<math.h> double f(double x); main(){double x[10],y[10];double h,b=1,a=0,I;int n,i;printf("n\n");scanf("%d",&n);h=(b-a)/n;for(i=0;i<=n;i++){x[i]=a+(i*h);y[i]=f(x[i]);}I=f(a)+f(b);for(i=1;i<=n-1;i++){I=I+2*y[i];}I=(h/2)*I;printf("%lf",I);}double f(double x){double f;f=1.0/(1.0+(x*x));return(f);}/*辛普森*/#include<stdio.h>#include<math.h>double f(double x);main(){double x[30],y[30];double h,b=1,a=0,I;int n,i;printf("n\n");scanf("%d",&n);//点乘2扩展h=(b-a)/n;x[10]=1;y[10]=f(x[10]);for(i=0;i<n;i++){x[2*i]=a+(i*h);y[2*i]=f(x[2*i]);x[2*i+1]=a+(i+(1.0/2.0))*h;y[(2*i)+1]=f(x[(2*i)+1]);}I=f(a)+f(b);for(i=0;i<n;i++){I=I+4*y[(2*i)+1];}for(i=1;i<n;i++){I=I+2*y[2*i];}I=(h/6)*I;printf("%lf\n",I);}double f(double x){double f;f=1.0/(1.0+(x*x));return(f);}/*梯形*//*辛普森*/。
