(完整word版)高中数学概率大题(经典二).doc

一、填空题(每小题3分，共15分）1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________。

答案：0.3解：3.0)(=+B A B A P即)(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+=所以1.0)(=AB P9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P 。

2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______.答案:161-e解答：λλλλλ---==+==+==≤e X P e eX P X P X P 2)2(,)1()0()1(2由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故161)3(-==e X P3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________。

答案：04,()()0,.Y Y X y f y F y f <<'===⎩其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=-因为~(0,2)X U，所以(0X F =，即()Y X F y F = 故04,()()0,.Y Y Xyf y F y f<<'===⎩其它另解在(0,2)上函数2y x=严格单调，反函数为()h y=所以04,()0,.Y Xyf y f<<==⎩其它4．设随机变量YX,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>eXP，则=λ_________，}1),{min(≤YXP=_________。

【经典例题】【例 1】（ 2012 湖北） 如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA ， OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是21 121 A ．1- πB ． 2 - πC ． πD ． π【答案】 A【解析】 令 OA=1，扇形 OAB 为对称图形， ACBD 围成面积为 S 1，围成 OC 为 S 2，作对称轴 OD ，则过 C 点． S 2 即为以 OA2 π 1 2 111 π -2 S2(2)-2×2×2=1为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积， S =8 ．在扇形 OAD 中 2 为扇形面积减去三角S 2 S 1 1 21 S 2π -2 π -2π形 OAC 面积和 2 ， 2 = 8 π×1 - 8 - 2 =16 ， S 1+S 2= 4 ，扇形 OAB 面积 S= 4 ，选 A ．【例 2】（ 2013 湖北） 如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125 个同样大小的小正方体，经过搅拌后， 从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则 X 的均值 E(X) ＝ ( )1266 1687 A. 125B. 5C.125D. 5【答案】 B27 54 36 8 27【解析】 X 的取值为 0，1， 2，3 且 P(X ＝ 0) ＝125，P(X ＝ 1) ＝125，P(X ＝ 2) ＝ 125，P(X ＝ 3) ＝ 125，故 E(X) ＝0× 125＋1× 54 36 8 6＋2× ＋3× ＝，选B.125 125 125 5【例 3】（ 2012 四川） 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通 电后的 4 秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是 ()1 1 3 7 A. 4B. 2C. 4D. 8【答案】 C【解析】 设第一串彩灯在通电后第 x 秒闪亮， 第二串彩灯在通电后第 y 秒闪亮，由题意 0≤ x ≤ 4，满足条件的关系式0≤y ≤4，根据几何概型可知， 事件全体的测度 ( 面积 ) 为 16 平方单位，而满足条件的事件测度( 阴影部分面积 ) 为 12 平方单位，123故概率为 16＝ 4.【例 4】（ 2009 江苏） 现有 5 根竹竿，它们的长度（单位： m ）分别为 2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3m 的概率为 .【答案】 0.2 【解析】 从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10，它们的长度恰好相差 0.3m 的事件数为 2，分别是：2.5 和 2.8 ， 2.6 和 2.9 ，所求概率为 0.2【例 5】（ 2013 江苏） 现有某类病毒记作 X m Y n ，其中正整数 m ， n(m ≤7， n ≤ 9)可以任意选取，则 m ， n 都取到奇数的概率为 ________．20【答案】【解析】 基本事件共有 7×9＝ 63 种， m 可以取 1， 3， 5，7， n 可以取 1， 3，5， 7， 9. 所以 m ，n 都取到奇数共有 2020种，故所求概率为63.【例 6】（ 2013 山东） 在区间 [－ 3，3] 上随机取一个数 x ，使得 |x ＋ 1|－ |x － 2| ≥1成立的概率为 ________．【答案】13【解析】 当 x<－ 1 时，不等式化为－ x － 1＋ x －2≥1，此时无解；当－ 1≤x ≤2 时，不等式化为 x ＋1＋ x －2≥1，解之得 x ≥1；当 x>2 时，不等式化为 x ＋ 1－ x ＋2≥1，此时恒成立， ∴|x ＋ 1| － |x －2| ≥1的解集为 [ 1，＋∞ ) . 在 [ －3， 3]上使不等式有解的区间为 [ 1，3] ，由几何概型的概率公式得 P ＝ 3－ 1 1 .3－（－ 3） ＝3【例 7】（ 2013 北京）下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图， 空气质量指数小于 100 表示空气质量优良， 空气质量指数大于 200 表示空气重度污染． 某人随机选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市， 并停留 2 天．（ 1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（ 2）设 X 是此人停留 期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望；（ 3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明 )【答案】 132； 1213； 3 月 5 日【解析】 设 Ai 表示事件“此人于3 月 i 日到达该市” (i ＝ 1， 2， ， 13) ．1(i ≠j) ．根据题意， P(Ai) ＝ ，且 Ai ∩Aj ＝13（ 1）设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A5∪A8.2所以 P(B) ＝P(A5∪A8)＝ P(A5) ＋ P(A8) ＝ .13（ 2）由题意可知， X 的所有可能取值为 0，1， 2，且P(X＝ 1) ＝P(A3∪A6∪A7 ∪A11)4＝P(A3) ＋ P(A6) ＋ P(A7) ＋ P(A11) ＝13，P(X＝ 2) ＝P(A1∪A2∪A12∪A13)4＝P(A1) ＋ P(A2) ＋ P(A12) ＋ P(A13) ＝13，5P(X＝ 0) ＝ 1－ P(X＝ 1) － P(X＝ 2) ＝13.所以 X 的分布列为X 0 1 2P 5 4 4 13 13 135 4 4 12故 X 的期望 E(X) ＝0×＋1×＋2×＝ .13 13 13 13（ 3）从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大．【例 8】（2013 福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为2，中奖可以3 获得 2 分；方案乙的中奖率为2，中奖可以获得 3 分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中5奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（ 1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求 X≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【答案】1115；方案甲．2 2【解析】方法一：（ 1）由已知得，小明中奖的概率为3，小红中奖的概率为5，且两人中奖与否互不影响．记“这2 人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件 A 的对立事件为“ X＝5”，2 2 411因为 P(X＝5) ＝×＝，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝，3 5 151511即这两人的累计得分X≤3的概率为15.（ 2）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1) ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2) ．2 2由已知可得，X1～ B 2，3， X2～ B 2，5，2 42 4所以 E(X1) ＝2×3＝3， E(X2) ＝2×5＝5，812从而 E(2X1) ＝ 2E(X1) ＝， E(3X2) ＝ 3E(X2) ＝.3 5因为 E(2X1)>E(3X2) ，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．方法二：（ 1）由已知得，小明中奖的概率为2，小红中奖的概率为2，且两人中奖与否互不影响．35记“这两人的累计得分 X ≤3”的事件为 A ，则事件 A 包含有“ X ＝0”“ X ＝2”“ X ＝3”三个两两互斥的事件，2 2 1 2 2 22 22， 因为 P(X ＝ 0) ＝ 1－× 1－ ＝ ，P(X ＝ 2) ＝ × 1－＝ ，P(X ＝3) ＝ 1－ × ＝ 15 355355 3 511所以 P(A) ＝ P(X ＝ 0) ＋ P(X ＝ 2) ＋ P(X ＝ 3) ＝15，11即这两人的累计得分 X ≤3的概率为 15.（ 2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为 X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则 X1， X2 的分布列如下：X1 0 2 4 X2 0 3 6 P14 4 P912 4 9 9 9 2525251448所以 E(X1) ＝0× 9＋2× 9＋4× 9＝ 3，E(X2) ＝0× 9 ＋3× 12＋6× 4 ＝ 12.25 25 25 5因为 E(X1)>E(X2) ，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．【例 9】（ 2013 浙江） 设袋子中装有 a 个红球， b 个黄球， c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1 分，取出一个黄球得2 分，取出一个蓝球得3 分．（ 1）当 a ＝ 3， b ＝ 2，c ＝ 1 时，从该袋子中任取 (有放回，且每球取到的机会均等 )2 个球，记随机变量 ξ为取出此 2球所得分数之和，求 ξ的分布列；（ 2）从该袋子中任取 (每球取到的机会均等 )1 个球，记随机变量 η为取出此球所得分数． 若 E η＝ 5，D η＝5，求 a ∶ b ∶ c.3 9【答案】 3∶ 2∶ 1【解析】（ 1）由题意得，ξ＝ 2， 3， 4， 5， 6.P(ξ＝ 2) ＝ 3×3 1＝ ，6×6 4 P(ξ＝ 3) ＝2×3×2＝ 1，6×6 32×3×1＋2×2 5 P(ξ＝ 4) ＝ 6×6 ＝ 18. P(ξ＝ 5) ＝ 2×2×1 16×6＝ 9，P(ξ＝ 6) ＝ 1×1 1，＝ 366×6 所以 ξ 的分布列为ξ 2 3 4 5 6 P1 1 5 1 1 4318936（ 2）由题意知 η 的分布列为η 1 2 3Pa b ca ＋b ＋c a ＋ b ＋ ca ＋b ＋ca 2b3c5所以 E η＝ a ＋ b ＋ c ＋ a ＋b ＋ c ＋ a ＋b ＋ c ＝ 3，5 a 5 b 5c5D η＝ 1－ 32· a ＋ b ＋ c ＋2－ 32· a ＋ b ＋ c ＋3－ 32· a ＋ b ＋ c ＝ 9， 2a － b － 4c ＝ 0，解得 a ＝ 3c ， b ＝ 2c ， 化简得a ＋ 4b －11c ＝ 0，故 a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.【例 10】（ 2009 北京理） 某学生在上学路上要经过 4 个路口， 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的 概率都是 1，遇到红灯时停留的时间都是2min.3（ 1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； （ 2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望 .【答案】4；327 8【解析】 本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础 知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.（ 1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件 A ，因为事件 A 等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A 的概率为PA11111 4 .333 27（ 2）由题意，可得可能取的值为 0，2， 4， 6，8（单位： min ） .事件“2k ”等价于事件“该学生在路上遇到k 次红灯”（ k 0， 1， 2，3， 4），k 4 k∴ P2kC k412k 0,1,2,3,4，33∴即 的分布列是0 246 8P16 32 8818181278181∴ 的期望是 E16 32 88 1 82468.818127 81813【课堂练习】1.（ 2013 广东） 已知离散型随机变量X 的分布列为X 1 2 3P3 3 151010则 X 的数学期望 E(X) ＝ () 35A. 2B ． 2 C. 2 D ． 32.（ 2013 陕西） 如图，在矩形区域 ABCD 的 A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区 域 ADE 和扇形区域 CBF( 该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常 )．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无 信号的概率是 ( )．A ．1－ π π π D ． π4 B ． －1 B ．2－ 42 23．在棱长分别为 1， 2， 3 的长方体上随机选取两个相异顶点，若每个顶点被选的概率相同，则选到两个顶点的距离 大于 3的概率为 ()4 3 2 3A ．7B ． 7C ． 7D ． 144．（ 2009 安徽理） 考察正方体 6 个面的中心，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6 个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于12 34?BA ．B ．C ．D ．75757575?F?C?D? E? A5.（ 2009 江西理） 为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3 种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5 袋，能获奖的概率为（）3133 C ．4850A ．B ．81D ．.8181816.（ 2009 辽宁文） ABCD 为长方形， AB ＝ 2， BC ＝1，O 为 AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于 1 的概率为A ．B ． 1C ．8D ． 18447.（ 2009 上海理） 若事件 E 与 F 相互独立，且 P EP F1 的值等于，则P EI F4A ． 01 C ．11B ．4D ．1628．（ 2013 广州） 在区间 [1，5] 和[2， 4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程 x 2 y 22＋b 2＝ 1 表示焦点在 x 轴上且离心率小a于 3的椭圆的概率为 ()2C ．1711531A ．2B ． 3232D ． 321， 2，3，9．已知数列 {a } 满足 a ＝ a＋ n － 1(n ≥2，n ∈ N)，一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为nnn －14， 5， 6，将这颗骰子连续抛掷三次，得到的点数分别记为 a ， b ， c ，则满足集合 {a ，b ， c} ＝ {a 1， a 2， a 3}(1 ≤a i ≤6，i ＝ 1， 2， 3)的概率是 ()1B ． 1C ． 1D ． 1A ．72 36 24 1210.（ 2009 湖北文） 甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、 0.6、 0.5，则三人都达标的概率是，三人中至少有一人达标的概率是 。

高中数学概率大题（经典二）一.解答题（共10小题）1 •某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同•假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p i,寿命为2年以上的概率为P2 •从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.（I）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；（n）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（川）当P1=0.8 , P2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）.2.已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品.需要从中取出2个正品，每次取出1 个，取出后不放回，直到取出2个正品为止•设E为取出的次数，求E的分布列及E E.3•某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.（I ）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（II ）求使P （X=m取得最大值的整数m.4•在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以E表示笼内还剩下的果蝇的只数.（I）写出E的分布列（不要求写出计算过程）和数学期望E E;（n）求概率P （E》E E）.5. A, B, C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：A班 6 6.5 7 7.5 8B班 6 78910 11 12C班 3 4.5 67.5910.5 12 13.5（I）试估计C班的学生人数；（n）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（川）再从A, B, C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7, 9, 8.25 （单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为卩1,表格中数据的平均数记为卩o,试判断卩0和卩1的大小.（结论不要求证明）6.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数E的分布列为12345P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款, 其利润为200 元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，n表示经销一件该商品的利润.（I）求事件A: “购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P （A）;(n)求n 的分布列及期望 E 耳.7•甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活 动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0 分.已知甲每轮猜对的概率是务乙每轮猜对的概率是卸每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响•各轮结果亦互不影响•假设“星队”参加两轮活动， 求： (I ) “星队”至少猜对3个成语的概率；(II ) “星队”两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX &某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1, 2, 3的人数分别为3, 3, 4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1 )设A 为事件“选出的 2人参加义工活动次数之和为 4”，求事件A 发生的概率； (2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 X 的分布列和数学期望.9•购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金.假定在一年度内有10 000人购买了这种保险, 且各投保人是否出险相互独立•已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率、r104为 1 - 0.999 .(I)求一投保人在一年度内出险的概率p ；(n)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元) 10•某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A , B 两地区分别随机调查了 20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1 )根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度 评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于70分 70分到89分满意度等级不满意满意记事件C : “A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级” 价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的频率，求C 的概率.11.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有 4个红球、6个白球的甲箱和装有 5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出 1个球，在摸出 的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不不低于90分 非常满意，假设两地区用户的评获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X求X的分布列和数学期望.12•端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个.(I)求三种粽子各取到1个的概率；(H)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望.13. 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8 名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(n)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.14. 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(I)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(n)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元) ，求X的分布列和均值(数学期望)15. 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X,求X的分布列和数学期望.16. 若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如137, 359, 567等).在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得-1分，若能被10整除，得1分.(I)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(n)若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX17. 设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6 , 0.5 , 0.5 , 0.4 ,各人是否需使用设备相互独立.(I)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(n)实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值.18. 20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图：(I)求频率分布直方图中a的值；(n)分别求出成绩落在［50, 60)与［60 , 70)中的学生人数；(川)从成绩在［50 , 70)的学生任选2人，求此2人的成绩都在［60 , 70)中的概率._afra30 50 60 70 80 M 10019•某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)(I)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(H)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.20. 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示•将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.(I)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(n)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E (X)及方差D (X ).参考答案与试题解析.解答题(共10小题)1. ( 2005?湖北)某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同•假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p i，寿命为2年以上的概率为P2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.(I)在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；(n)在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；(川)当P1=O.8 , P2=O.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率(结果保留两个有效数字).【解答】解：因为该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为P1,寿命为2年以上的概率为P2.所以寿命为1〜2年的概率应为P1 - P2.其分布列为：寿命0〜1 1〜2 2〜P 1 - P1 P1- P2 P2(I )一只灯泡需要不需要换，可以看做一个独立重复试验，根据公式得到在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为P15，需要更换2只灯泡的概率为C2p；(1- P1)1(II )在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡是两个独立事件的和事件：①在第1、2次都更换了灯泡的概率为(1 - pj 2;②在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为P1 - P2.2故所求的概率为P3= ( 1 - P1)+P1 - P2.(III )由(II )当P1=0.8 , P2=0.3时，在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说, 2该盏灯需要更换灯泡的概率P3= (1 - P1) +P1 ( P1 - P2)=0.54 .在第二次灯泡更换工作，至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况：5 5①换5只的概率为P3 =0.54 =0.046 ;②换 4 只的概率为C51P34(1 - P3)=5X 0.54 4(1 - 0.54 ) =0.196 , 故至少换4只灯泡的概率为：P4=0.046+0.196=0.242 .即满两年至少需要换4只灯泡的概率为0.242 .2. ( 2004?安徽)已知盒中有 10个灯泡，其中8个正品，2个次品.需要从中取出 2个正 品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出 2个正品为止.设E 为取出的次数，求E 的分布列及E E.【解答】 解：由题意知每次取 1件产品， •••至少需2次，即E 最小为2，有2件次品， 当前2次取得的都是次品时，E =4, • E 可以取2, 3, 4当变量是2时，表示第一次取出正品，第二次取出也是正品， 根据相互独立事件同时发生的概率公式得到E E =2X P (E =2) +3X P (E =3) +4X P (E =4) .3. (2013?安徽)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动， 分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)，假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给 该系k 位学生，且所发信息都能收到， 记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生 人数为X . (I )求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (II )求使P (X=m 取得最大值的整数 m.【解答】解：(I )因为事件A : “学生甲收到李老师所发信息”与事件 B : “学生甲收到张老_1—I I —|J n — 1 Jr师所发信息”是相互独立事件，所以 ■-与「相互独立，由于 P (A ) =P ( B )= 丄，故P C k n f 1 1(鼻)=P 广)=1-二，L-l 2 2kn-因此学生甲收到活动信息的概率是1-( 1-半)2=——-—(II )当 k=n 时，m 只能取 n ,此时有 P (X=m ) =P (X=n ) =1当k v n 时，整数m 满足k < m < t ，其中t 是2k 和n 中的较小者，由于“李老师与张老师各 自独立、随机地发送活动信息给k 位”所包含的基本事件总数为()2,当X=m 时，同时P (E =2) P (E =3) =呂 X 7 = 1g =8 X Z >lolg 仁2 X 呂X 7. _14i 9 ■3=1- 45• E 的分布列如下：P (E =4)14. _ 145二；■-；收到两位老师所发信息的学生人数为2k- m,仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m- k，由乘法原理知：事件｛X=m｝所包含的基本事件数为n K UK n K n JC2 因此 k w 2k -「< tn+2综上得，符合条件的 m=2k-［4. （ 2007?安徽）在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有 6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出， 再关闭小孔•以E 表示笼内还剩下的果蝇的只数.（I ）写出E 的分布列（不要求写出计算过程）和数学期望 E E;（H ）求概率P （E 》E O .【解答】解：（I ）由题意知以E 表示笼内还剩下的果蝇的只数，E 的可能取值是 0, 1, 2,3, 4, 5, 6 得到E 的分布列为：E 01 2 3 4 5 6P 16 54 3 2 1 28 282828 28 28 28•••数学期望为 E E =二(1X 6+2 X 5+3 X 4 ) =2. (II )所求的概率为P (E> E E ) =P (E> 2)丄卫-叭叶引f ]k _k|R, cc .止 ri-fckTY-（即P ( x=m=544+3+2+1 1528 ' _28当 k w m< t 时，P (X=M V P (X=M+1 ? 2(m — k+1) w (n — m (2k - m ) ? m w 2k -(k+1 】[ 假如k w 2k -k w 2k -（k 圮）‘ n+2（k+122n+2 < t 成立，则当（2k+1）能被n+2整除时,<2k+1 - (k+1 ) 1 n+22<t ，故 P(X=M 在 m=2k- n+2和 m=2k+1-(k+1 n+2 处达到最大值；2当(k+1) 2不能被n+2整除时，P (X=M )在m=2k- [ n+2 ］处达到最大值（注：［x ］表示不超过x 的最大整数）， （k+1 ） 2n+2F 面证明k w 2k -因为1 w k < n ,所以2k -(k+1)' n+2k= kn- k 2 - 1- k 2- 1 k- 1------------ > ------------------ = ----n+2n+2n+2而 2k -— n+2n=一 n+2< 0,故 2k -@+l_)2n+2< n ,显然2k -31〕$n+2< 2k5. （ 2016?北京）A , B , C 三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层 抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时） ：A 班 6 6.5 7 7.5 8B 班 6 7 89 10 11 12C 班3 4.5 6 7.59 10.5 12 13.5（I ）试估计C 班的学生人数；（n ）从A 班和C 班抽出的学生中， 各随机选取一个人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相对独立， 求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率;（川）再从A , B, C 三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是 7, 9, 8.25 （单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为卩 1,表格中数据的平均数记为卩0,试判断卩0和卩1的大小.（结论不要求证明）【解答】 解：（I ）由题意得：三个班共抽取 20个学生，其中C 班抽取8个，（n ）从从A 班和C 班抽出的学生中，各随机选取一个人, 共有5 X 8=40种情况， 而且这些情况是等可能发生的， 当甲锻炼时间为 当甲锻炼时间为 当甲锻炼时间为 当甲锻炼时间为 当甲锻炼时间为故周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率 P 二 ----- '~ 二-•（川）卩0＞卩1.6. （ 2016?东城区模拟）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数E 的 分布列为E1 23 4 5P0.40.2 0.2 0.1 0.1商场经销一件该商品，采用1期付款,其利润为 200 元； 分2期或3期付款，其利润为250 元；分4期或5期付款，其利润为 300元，n 表示经销一件该商品的利润.（I ）求事件A : “购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P （A ）; （n ）求n的分布列及期望 E n.【解答】 解：（I ）由题意知购买该商品的 3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件 是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款，设A 表示事件“购买该商品的 3位顾客中至少有1位采用1期付款”. 知、表示事件“购买该商品的 3位顾客中无人采用1期付款”P （A ）=（1 - 0. 4）^0.216, .•匸丄丄F 「一c m 」.6时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间2种情况； 3种情况; 3种情况； 3种情况; 4种情况；40(n)根据顾客采用的付款期数E 的分布列对应于n 的可能取值为 得到变量对应的事件的概率P (n =200) =P (E =1) =0.4 ,P (n =250) =P (E =2) +P (E =3) =0.2+0.2=0.4 ,P (n =300) =1 - P (n =200)- P (n =250) =1 - 0.4 - 0.4=0.2 . •••n 的分布列为n200 250 300 P0.40.40.2• E n =200X 0.4+250 X 0.4+300 X 0.2=240 (元).7. ( 2016?山东)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成 语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则 “星队” 得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是 亍，乙每轮猜对的概率是二；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响.各轮结果亦互不影响.假设“星队”参 加两轮活动，求：(I ) “星队”至少猜对3个成语的概率；(II ) “星队”两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX【解答】解：(I ) “星队”至少猜对 3个成语包含“甲猜对 1个，乙猜对2个”，“甲猜对2 个，乙猜对1个”，“甲猜对2个，乙猜对2个”三个基本事件，故概率(X=6) 200 元，250 元，300 元.5 122 »(II ) “星队”两轮得分之和为 X 可能为：0P •討1-汁(£円和2 2 则P (x=0)=a ・弓~)・d -青) ・(i 违)■亍)■計a-P (X=1) =2X [ -1144 2 2P (X=2)43 J4 J 43 ;4」3 3、2 _ 3 . 2 4” 3-4)丐4 f-I)卸吩)2 243 -'：-：-・ - i + ；■ --」 3 2 .八 _ 3(X=3) (X=4) =2X12=2X [60 144=144X 0346故X的分布列如下图所示:& (2016?天津)某小组共10人，利用假期参加义工活动， 已知参加义工活动次数为 1, 2,3的人数分别为3，3, 4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1 )设A 为事件“选出的 2人参加义工活动次数之和为 4”求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.【解答】 解：(1)从10人中选出2人的选法共有,■ . =45种，事件A :参加次数的和为 4，情况有：①1人参加1次，另1人参加3次，②2人都参加2 次；9. ( 2015?鄂州校级模拟)购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得 10 000元的赔偿金•假定在一年度内有 10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立•已知保险公司在一年度内至少支付104赔偿金10 000元的概率为1 - 0.999 .(I)求一投保人在一年度内出险的概率p ;P•••数学期望1 1025 12 60144 144 144 144 144144EX=O X ___ +1 x 144 10144 +2X 二=J_144'T共有•事件A 发生概率：P=—(n) X 的可能取值为0, 1,2102.=_ 3(X=0)• X 的分布列为:4 15• EX=0X+1 X +2 X ■=1.15_15 +4X —L +6 144 种,(x=1) (X=2)(n)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于o ,求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元) 【解答】解：由题意知各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是 p ,记投保的10000人中出险的人数为E, 由题意知E 〜B (104, p ).(I)记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，则发生当且仅当E =0,「二-二「=1 - P (E =0) =1-( 1-p ) 104, 又 P (A ) =1 - 0.999 ,故 p=0.001 .(n)该险种总收入为 10000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和.支出 10000 E +50000,盈利 n =10000a -( 10000 E +50000),盈利的期望为 E n =10000a - 10000E E- 50000,.4- 3 .由 E 〜B (10 , 10 )知， —3E E =10000X 10,44 4444― 34E n =10 a - 10 E E - 5X 10 =10 a - 10 x 10 x 10- 5x 10 .444E n> 0? 10 a - 10 x 10- 5x 10 >0? a - 10- 5>0? a > 15 (元). •••每位投保人应交纳的最低保费为15元.10. (2015?新课标II )某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A, B 两地区分别随机调查了 20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79(1 )根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度 评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 低于70分 70分到89分满意度等级不满意满意 记事件C : “A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的频率，求C 的概率.不低于90分 非常满意，假设两地区用户的评【解答】解：(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下Aifi区B地区43513 4 66 4 26 2 4 5 56 S S 0 4 31 3 3 4 6 99 S 6 5 2 1S 1 2 37 S 5 29 1 3通过茎叶图可以看出，地区用户满意度评分比较集中，(2)记C Ai表示事件“ A地区用户满意度等级为满意或非常满意记C A2表示事件“ 记C Bi表示事件“ 记C B2表示事件“ 则C Ai与C Bi独立，则C=C AI C BI U C A2C B2,P (C) =P ( C AI C BI)+P (C A2C B2) =P ( C AI)P ( C BI)+P (C A2)P( C B2),11020"20820A地区用户满意评分的平均值高于B地区用户满意评分的平均值；A B地区用户满意度评分比较分散；A地区用户满意度等级为非常满意” B地区用户满意度等级为不满意”，B地区用户满意度等级为满意”，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，。

一. 填空题（每空题 2 分，共计 60 分）1、A、B是两个随机事件，已知p(A )0.4, P(B) 0.5,p( AB) 0.3 ，则p(A B)0.6 ,p(A - B)0.1，P( A B )= 0.4 ,p(A B)0.6 。

2、一个袋子中有大小相同的红球 6 只、黑球 4 只。

（1）从中不放回地任取 2 只，则第一次、第二次取红色球的概率为：1/3。

（2）若有放回地任取2只，则第一次、第二次取红色球的概率为：9/25。

（3）若第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，则第一次、第二次取红色球的概率为：21/55。

3、设随机变量 X 服从 B（2，0.5 ）的二项分布，则p X 1 0.75, Y 服从二项分布 B(98, 0.5), X 与 Y 相互独立 , 则 X+Y服从 B(100,0.5) ，E(X+Y)= 50 ，方差 D(X+Y)= 25 。

4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1 、0.15 ．现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取一件。

（1）抽到次品的概率为：0.12 。

（2）若发现该件是次品，则该次品为甲厂生产的概率为：0.5 ．5、设二维随机向量( X ,Y)的分布律如右，则 a 0.1, E( X ) 0.4 ，X 0 1X与 Y 的协方差为: - 0.2Y，-1 0.2 0.3Z X Y2的分布律为 : z 1 21 0.4 a概率0.6 0.46、若随机变量X ~ N(2,4)且(1) 0.8413 ，(2) 0.9772 ,则 P{ 2 X 4}0.815，Y 2X 1,则Y~N( 5，16）。

7、随机变量X、Y 的数学期望E(X)= -1，E(Y)=2,方差D(X)=1，D(Y)=2,且X、Y相互独立，则：E(2X Y)-4，D(2X Y)6。

8、设D（X）25，D（Y）1，Cov ( X ,Y ) 2 ，则 D（ X Y）309、设X1,, X 26是总体 N (8,16) 的容量为26 的样本，X为样本均值，S2为样本方差。