第12讲-数列中的不等式(高一春季班数学竞赛)

数列不等式三个考察点：①通项公式②求和③证不等式 一、通项公式学校的训练较多这里不详细介绍。

要熟练掌握：1、 待定系数法、不动点法、特征根法（连续两年中有考查）2、 熟悉变形。

包括：两边同时除以如n 2、平方、变倒数、因式分解、取对数、换元若不熟悉可以找讲义，或者高妙上有介绍 3、累加累乘法但是高考一般不会直白地给出关系，或者给出常见的通项公式。

高考题大多这样出题： 1、 与函数、解析几何结合这个范围太泛了不好归纳，难度一般不会太大，见招拆招即可 2、 给出不常规的通项公式，但有提示比如：1a =1，81+n a n a -161+n a +2n a +5=0（n ≥0），n b =211-n a ,求｛n b ｝通项公式现在不可能把n a 通项公式求出再求n b ，那么显然n b 需先求出，故变形为n a =211+n b ，代入递推关系即可得036411=+-++nn n n b b b b ，再乘以n b 1+n b 即可。

还有一种情况便是先让考生得出1a 、2a 、3a 后猜想用数学归纳证明，有时不会提示考生要猜想，但别的常规方法得不出通项公式时要果断大胆猜想总之，这种题一定要顺着提示做通项公式中一定要重视的是累加累乘法 看上去似乎很简单：1121)()(a a a a a a n n n +-+⋯+-=-)0(1121≠••⋯•=-n n n n a a a aa a a 但是这却是解决不等式证明最原始也是最重要的方法。

原因很简单：高考考的是灵活，除了通项公式的变形，不动点法等方法灵活度不大，所以大多所谓的很难想的题目大多归根到底是递推。

比如：1、 奇偶项不同的数列。

奇项间或者偶项间的递推（后会介绍）2、 数归。

证明)()(n g n f <的核心便是)()1()()1(n g n g n f n f -+<-+3、 通过通过1+n a 与n a 间的关系得出n n qa a =+1或n n qa a <+1或n n qa a >+1，这是解决k S n <（k 为常数）。

数列综合----单调性、不等式1.在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列； (3)若c n ＝a n ·b n ，求证：c n ＋1<c n .2、已知等比数列{}n a 的首项114a =，公比14q =，设，数列{}n c 满足n n n c a b =． （Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n 项和n S ；（Ⅲ）对任意21,2--≤∈*m m c N n n 恒成立，求m 的取值范围．3、已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．4、已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的正整数n 的最小值．5、数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，等差数列{b n }满足b 3＝3，b 5＝9.(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝b n ＋2a n ＋2(n ∈N *)，求证：c n ＋1<c n ≤13.6、已知点⎝⎛⎭⎪⎫1，13是函数f(x)＝a x (a>0，且a≠1)的图像上一点，等比数列{a n }的前n 项和为f(n)－c ，数列{b n }(b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足：S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }的通项c n ＝b n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，求数列{c n }的前n 项和R n ；(3)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为T n ，问T n >1 0002 009的最小正整数n是多少？7、已知等比数列{a n}和等差数列{b n}均是首项为2，各项为正数的数列，且b2＝4a2，a2b3＝6.(1)求数列{a n}、{b n}的通项公式；(2)求使ab n<0.001成立的正整数n的最小值．8.满足a1＝1，log2a n＋1＝log2a n＋1(n∈N*)，它的前n项和为S n，则满足S n>1 025的最小n值是 ( )．A．9 B．10 C．11 D．12解析因为a1＝1，log2a n＋1＝log2a n＋1(n∈N*)，所以a n＋1＝2a n，a n＝2n－1，S n＝2n－1，则满足S n>1 025的最小n值是11.答案 C9．设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n＝a n＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．(1)求a1的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1＋1a2＋…＋1a n<32.10．已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和为14，且a1，a3，a7恰为等比数列{b n}的前三项．(1)分别求数列{a n}，{b n}的前n项和S n，T n；(2)记数列{a n b n}的前n项和为K n，设c n＝S n T nK n，求证：c n＋1>c n(n∈N*)．答案：1、(1)解：由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1， ∴数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上， ∴T n ＝－12b n ＋1，①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)，② ①－②得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)，∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1.令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23，∴数列{b n }是一个以23为首项，以13为公比的等比数列． (3)证明：由(2)可知b n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n . ∴c n ＝a n ·b n ＝(n ＋1)·23n ，∴c n ＋1－c n ＝(n ＋2)·23n ＋1－(n ＋1)·23n ＝23n ＋1[(n ＋2)－3(n ＋1)]＝23n ＋1(－2n －1)<0， ∴c n ＋1<c n .3、解：(1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1. (2)由(1)有S n ＝3·[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ，使得S n ≥2 013， 则1－(－2)n ≥2 013， 即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时，(－2)n >0，上式不成立； 当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012， 即2n ≥2 012，解得n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}．4、解析：(1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8，∴a 2＋a 4＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12a 1＝32.又数列{a n }单调递增，∴q ＝2，a 1＝2，∴a n ＝2n .(2)由题意知b n ＝2n·log 122n＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，①∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，②∴①－②得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2 1－2n1－2－n ·2n＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2，∵S n ＋n ·2n ＋1>50，∴2n ＋1－2>50，∴2n ＋1>52，又当n ≤4时，2n ＋1≤25＝32<52，当n ≥5时，2n ＋1≥26＝64>52.故使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的正整数n 的最小值为5.5．解：(1)由a n ＋1＝2S n ＋1①， 得a n ＝2S n －1＋1(n≥2，n ∈N *)②， ①－②得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)， ∴a n ＋1＝3a n (n≥2，n ∈N *)，又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1，∴a n ＝3n －1. ∵b 5－b 3＝2d ＝6，∴d ＝3， ∴b n ＝3n －6.(2)证明：∵a n ＋2＝3n ＋1，b n ＋2＝3n ， ∴c n ＝3n 3n ＋1＝n 3n ，∴c n ＋1－c n ＝1－2n3n ＋1<0，∴c n ＋1<c n <…<c 1＝13，即c n ＋1<c n ≤13.6．解：(1)∵f(1)＝a ＝13，∴f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，a 1＝f(1)－c ＝13－c ，a 2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－29，a 3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－227.又数列{a n }成等比数列，∴a 1＝a 22a 3＝481－227＝－23＝13－c ，∴c ＝1.又公比q ＝a 2a 1＝13，∴a n ＝－23⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N *)．∵S n －S n －1＝(S n －S n －1)(S n ＋S n －1)＝S n ＋S n －1(n≥2)，b n >0，S n >0，∴S n －S n －1＝1，∴数列{S n }构成一个首项为1，公差为1的等差数列， S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，S n ＝n 2.当n≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1； 又b 1＝c ＝1满足b n ＝2n －1， ∴b n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)∵c n ＝b n ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝(2n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，∴R n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ，R n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，①13R n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1. ②由①－②得，23R n ＝13＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋⎝ ⎛⎭⎪⎫134＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，化简得，23R n ＝13＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －11－13－(2n －1)×13n ＋1＝23－2 n＋1 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n， ∴R n ＝1－n ＋13n .(3)由(1)知T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1 2n－1 × 2n＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.由T n ＝n 2n ＋1>1 0002 009得n>1 0009，∴满足T n >1 0002 009的最小正整数n 为112.第Ⅱ卷：提能增分卷7．解：(1)设{a n }的公比为q ，{b n }的公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2＋d ＝4×2q，2＋2d ·2q＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝12，，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－5，q ＝－38.(舍)∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2，b n ＝2n.(2)由(1)得ab n ＝a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －2，∵ab n <0.001，即⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －2<0.001，∴22n －2>1 000，∴2n －2≥10，即n≥6， ∴满足题意的正整数n 的最小值为6.9、(1)解 当n ＝1时，2a 1＝a 2－4＋1＝a 2－3， ①当n ＝2时，2(a 1＋a 2)＝a 3－8＋1＝a 3－7， ②又a 1，a 2＋5，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋5)， ③由①②③解得a 1＝1.(2)解 ∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1， ∴当n ≥2时，有2S n －1＝a n －2n ＋1， 两式相减整理得a n ＋1－3a n ＝2n，则a n ＋12n－32·a n2n －1＝1， 即a n ＋12n ＋2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 2n －1＋2.又a 120＋2＝3，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1＋2是首项为3，公比为32的等比数列，∴a n2n －1＋2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1， 即a n ＝3n －2n ，n ＝1时也适合此式，∴a n ＝3n －2n .(3)证明 由(2)得1a n ＝13n －2n . 当n ≥2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32n>2，即3n －2n >2n ，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n <1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1<32.10、(1)解 设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝14，a 1＋2d 2＝a 1 a 1＋6d ，解得d ＝1或d ＝0(舍去)，a 1＝2， 所以a n ＝n ＋1，S n ＝n n ＋32.又a 1＝2，d ＝1，所以a 3＝4，即b 2＝4.所以数列{b n }的首项为b 1＝2，公比q ＝b 2b 1＝2，所以b n ＝2n ，T n ＝2n ＋1－2.(2)证明 因为K n ＝2·21＋3·22＋…＋(n ＋1)·2n ， ①故2K n ＝2·22＋3·23＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1， ②①－②得－K n ＝2·21＋22＋23＋…＋2n －(n ＋1)·2n ＋1，∴K n ＝n ·2n ＋1，则c n ＝S n T n K n ＝ n ＋3 2n－1 2n ＋1.c n ＋1－c n ＝ n ＋4 2n ＋1－1 2n ＋2－ n ＋3 2n －12n ＋1＝2n ＋1＋n ＋22n ＋2>0，所以c n＋1>c n(n∈N*)．。

高一数学数列知识总结一、看数列是不是等差数列有以下三种方法：①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a (2≥n )③b kn a n +=(k n ,为常数).二、看数列是不是等比数列有以下两种方法：①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112-+⋅=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )三、在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足⎩⎨⎧≤≥+001m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时,满足⎩⎨⎧≥≤+01m m a a 的项数m 使得m s 取最小值.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

四.数列通项的常用方法：（1）利用观察法求数列的通项.（2）利用公式法求数列的通项：①⎩⎨⎧≥-==-)2()111n S S n S a n n n （；②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式.（3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①)(1n f a a n n +=+；②).(1n f a a n n =+（4）造等差、等比数列求通项：q pa a n n +=+1；②n n n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ⋅+⋅=++12.第一节通项公式常用方法题型1 利用公式法求通项例1：1.已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。

求a n 。

2.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，求下列数列{}n a 的通项公式： ⑴ 1322-+=n n S n ； ⑵12+=n n S . 总结:任何一个数列，它的前n 项和n S 与通项n a 都存在关系：⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 若1a 适合n a ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示.题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项例2：⑴已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式；⑵已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，n n a n S ⋅=2，求数列{}n a 的通项公式.总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n +=+”； 迭乘法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n ⋅=+“；⑵迭加法、迭乘法公式：① 11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----② 1122332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=----- . 题型3 构造等比数列求通项例3已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式.总结：递推关系形如“q pa a n n +=+1” 适用于待定系数法或特征根法： ①令)(1λλ-=-+n n a p a ；② 在q pa a n n +=+1中令pqx x a a n n -=⇒==+11，∴)(1x a p x a n n -=-+； ③由q pa a n n +=+1得q pa a n n +=-1，∴)(11-+-=-n n n n a a p a a . 例4已知数列{}n a 中，n n n a a a 32,111+==+，求数列{}n a 的通项公式.总结：递推关系形如“nn n q pa a +=+1”通过适当变形可转化为：“q pa a n n +=+1”或“n n n n f a a )(1+=+求解. 例5已知数列{}n a 中，n n n a a a a a 23,2,11221-===++，求数列{}n a 的通项公式.总结：递推关系形如“n n n a q a p a ⋅+⋅=++12”，通过适当变形转化为可求和的数列. 强化巩固练习1、已知n S 为数列{}n a 的前n 项和， )2,(23≥∈+=+n N n a S n n ，求数列{}n a 的通项公式.2、已知数列{}n a 中，)(0)1()2(,211++∈=+-+=N n a n a n a n n ，求数列{}n a 的通项公式.小结：数列通项的常用方法：⑴利用观察法求数列的通项；⑵利用公式法求数列的通项；⑶应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①)(1n f a a n n +=+；②).(1n f a a n n =+（4）构造等差、等比数列求通项：①q pa a n n +=+1；②n n n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ⋅+⋅=++12.3、数列{}n a 中，)(,111n n n a a n a a -==+，则数列{}n a 的通项=n a 。

⾼中数学竞赛讲义（五）──数列⾼中数学竞赛讲义（五）──数列⼀、基础知识定义1 数列，按顺序给出的⼀列数，例如1，2，3，…，n，…. 数列分有穷数列和⽆穷数列两种，数列{a n}的⼀般形式通常记作a1, a2, a3,…，a n或a1, a2, a3,…，a n…。

其中a1叫做数列的⾸项，a n是关于n的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若S n表⽰{a n}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，a n=S n-S n-1.定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有a n+1-a n=d（常数），则{a n}称为等差数列，d叫做公差。

若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：S n=；3）a n-a m=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，则a n+a m=a p+a-q；5）对任意正整数p, q，恒有a p-a q=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B⾄少有⼀个不为零，则{a n}是等差数列的充要条件是S n=An2+Bn.定义3 等⽐数列，若对任意的正整数n，都有，则{a n}称为等⽐数列，q叫做公⽐。

定理3 等⽐数列的性质：1）a n=a1q n-1；2）前n项和S n，当q1时，S n=；当q=1时，S n=na1；3）如果a, b, c成等⽐数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等⽐中项；4）若m+n=p+q，则a m a n=a p a q。

定义4 极限，给定数列{a n}和实数A，若对任意的>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|a n-A|<，则称A为n→+∞时数列{a n}的极限，记作定义5 ⽆穷递缩等⽐数列，若等⽐数列{a n}的公⽐q满⾜|q|<1，则称之为⽆穷递增等⽐数列，其前n项和S n的极限（即其所有项的和）为（由极限的定义可得）。

高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。

希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。

不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.1．排序不等式 定理1设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和)1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时成立.（说明： 本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。

不等式1212...nr r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n===时，S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有.n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1）事实上， ()()()0n n n n nk r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥不等式（1-1）告诉我们当nr n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++.再证不等式左端,由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端，得1211(...)nn n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++即 1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++ .例1 （美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3()a b c a b ca b c abc ++≥.思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥根据排序不等式有：lg lg lg lg lg lg a a b b c c a b b c c a ++≥++lg lg lg lg lg lg a a b b c c a c b a c b ++≥++ 以上两式相加，两边再分别加上 lg lg lg a a b b c c ++有 3(lg lg lg )()(lg lg lg )a a b b c c a b c c a b ++≥++++ 即 lg lg 3a b ca b cab c abc ++≥故 3()a b c a b cab c abc ++≥ .例2 设a,b,c R +∈，求证：222222333222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab+++++≤++≤++. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则 222a b c ≥≥且111c b a≥≥根据排序不等式，有222222111a b c a b c c a b a b c++≥++222222111a b c a b c b c a a b c++≥++ 两式相加除以2，得222222222a b b c c a a b c c a b+++++≤++再考虑333ab c ≥≥，并且111bc ca ab≥≥ 利用排序不等式，333333111 a b c a b c bc ca ab ca ab bc++≥++333333111 a b c a b c bc ca ab ab bc ac++≥++ 两式相加并除以2，即得222222333222a b b c c a a b c c a b bc ca ab+++++≤++ 综上所述，原不等式得证.例3 设12120...,0...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤，而1,2,...,n i i i 与1,2,...,n j j j 是1,2,...,n 的两个排列. 求证：1111r snnnni j r sr s r s a b a b r sr s ====≥++∑∑∑∑. （1-2） 思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式.证明：令 1s nj rs b d r s==+∑（r=1,2,...,n ）显然 12...n d d d ≥≥≥ 因为 12...n b b b ≤≤≤ ， 且111...(1)1r n r n r ≤≤≤++-+ 由排序不等式1nsr s b d r s =≤+∑ 又因为 12...n a a a ≤≤≤所以 11rnnr r i r r r a d a d ==≤∑∑且111nnnsr r r r s r b a a d r s ===≤+∑∑∑（注意到r a ≥0）故11111r ssrn nn nni j j iri rr s r s r a b b a a dr s r s =======++∑∑∑∑∑11111nn nn ns r s r r r r r s r s b a ba d a r s r s=====≥≥=++∑∑∑∑∑ 故 原式得证.2.均值不等式定理2 设12,,...,n a a a 是n 个正数，则()()()()H n G n A n Q n ≤≤≤称为均值不等式.其中，121()111...nH n a a a =+++，()G n =12...()na a a A n n+++=，()Q n =分别称为12,,...,n a a a 的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数. 证明： 先证 ()()G n A n ≤.记c= i ia b c=，则 原不等式12...n b b b n ⇔+++≥其中 12121...( (1)n n b b b a a a c == 取 12,,...,n x x x 使 11212123,,...,,n n n x x xb b b x x x --=== 则 1.n n x b x = 由排序不等式，易证111221......n n n n x x x b b b n x x x -+++=+++≥下证()()A n Q n ≤因为 222212121...[(...)n n a a a a a a n+++=+++22212131()()...()n a a a a a a +-+-++-2222232421()()...()...()n n n a a a a a a a a -+-+-++-++-]2121(...)n a a a n≥+++ 所以12...n a a a n +++≤从上述证明知道，当且仅当12...n a a a ===时，不等式取等号.下面证明 ()()H n G n ≤对n 个正数12111,,...,na a a ，应用 ()()G n H n ≤，得12111...n a a a n +++≥即 ()()H n G n ≤（等号成立的条件是显然的）.例4已知2201,0a x y <<+=，求证：1log ()log 28x y a a a a +≤+. 证明：由于 01a <<，0,0x y a a >>，有xy aa +≥=从而log ()log log 22xy a a a x ya a ++≤=+下证128x y +≤ ， 即 14x y +≤。

§数学归纳法1．数学归纳法的概念及基本步骤数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是：(1)验证：n＝n0 时，命题成立；(2)在假设当n＝k(k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立．根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立．2．归纳推理与数学归纳法的关系数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题；(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．1．用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，注意n不一定是1.2．当证明从k到k＋1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明命题对n＝k＋1成立时，必须运用命题对n＝k成立的归纳假设．步骤二中，在由k到k＋1的递推过程中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论．关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时命题形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当n＝k＋1时命题也成立，这也是证题的常用方法．3．用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可．尽管部分与正整数有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确．4．要注意“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式，和由特殊到一般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力．5．数学归纳法与归纳推理不同．(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．结果不一定正确，需要进行严格的证明．(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确．6．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意：(1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题，要求这个命题对所有的正整数n 都成立；(2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可．数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可．特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性．如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题．证明：12＋122＋123＋…＋12n －1＋12n ＝1－12n (其中n ∈N ＋)． [证明] (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝12，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ，那么当n ＝k ＋1时，左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1 ＝1－12k ＋12k ＋1＝1－2－12k ＋1＝1－12k ＋1＝右边． 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N ＋都成立．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . [证明] ①当n ＝1时，左边＝1－12＝12＝11＋1＝右边， ∴当n ＝1时，等式成立．②假设n ＝k 时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k . 则当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝(1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k )＋12k ＋1－12k ＋2＝(1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1)＋(1k ＋1－12k ＋2) ＝1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝右边． ∴n ＝k ＋1时等式成立．由①②知等式对任意n ∈N ＋都成立．[点评] 在利用归纳假设论证n ＝k ＋1等式成立时，注意分析n ＝k 与n ＝k ＋1的两个等式的差别．n ＝k ＋1时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由1k ＋1变到1k ＋2.因此在证明中，右式中的1k ＋1应与－12k ＋2合并，才能得到所证式．因此，在论证之前，把n ＝k ＋1时等式的左右两边的结构先作一下分析是有效的．证明不等式用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n ，不等式⎝⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1＞2n ＋12成立． [证明] ①当n ＝2时，左＝1＋13＝43，右＝52，左＞右，∴不等式成立．②假设n ＝k (k ≥2且k ∈N *)时，不等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1＞2k ＋12， 那么当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1[1＋12k ＋1－1]＞2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1＞4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋3·2k ＋12·2k ＋1＝2k ＋1＋12，∴n ＝k ＋1时，不等式也成立．∴对一切大于1的自然数n ，不等式成立．[点评] (1)本题证明n ＝k ＋1命题成立时，利用归纳假设并对照目标式进行了恰当的缩小来实现，也可以用上述归纳假设后，证明不等式k ＋12k ＋1＞2k ＋1＋12成立．(2)应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要注意两个步骤：• 第①步p (n 0)成立是推理的基础;• 第②步由p (k )⇒p (k ＋1)是推理的依据(即n 0成立，则n 0＋1成立，n 0＋2成立，…，从而断定命题对所有的自然数均成立)．• 另一方面，第①步中，验证n ＝n 0中的n 0未必是1，根据题目要求，有时可为2,3等；第②步中，证明n ＝k ＋1时命题也成立的过程中，要作适当的变形，设法用上上述归纳假设 .(2013·大庆实验中学高二期中)用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n (n ≥2)．[分析] 按照数学归纳法的步骤证明，由n ＝k 到n ＝k ＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化．[证明] 1°当n ＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立．2°假设n ＝k 时命题成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k当n＝k＋1时，1＋122＋132＋…＋1k2＋1k＋12<2－1k＋1k＋12<2－1k＋1k k＋1＝2－1k＋1k－1k＋1＝2－1k＋1命题成立．由1°、2°知原不等式在n≥2时均成立．证明整除问题用数学归纳法证明下列问题：(1)求证：3×52n＋1＋23n＋1是17的倍数；(2)证明：(3n＋1)·7n－1能被9整除．[分析](2)先考察：f(k＋1)－f(k)＝18k·7k＋27·7k，因此，当n＝k＋1时，(3k＋4)7k＋1＝(21k＋28)·7k－1＝[(3k＋1)·7k－1]＋18k·7k＋27·7k.[证明](1)当n＝1时，3×53＋24＝391＝17×23是17的倍数．假设3×52k＋1＋23k＋1＝17m(m是整数)，则3×52(k＋1)＋1＋23(k＋1)＋1＝3×52k＋1＋2＋23k＋1＋3＝3×52k＋1×25＋23k＋1×8＝(3×52k＋1＋23k＋1)×8＋17×3×52k＋1＝8×17m＋3×17×52k＋1＝17(8m＋3×52k＋1)，∵m、k都是整数，∴17(8m＋3×52k＋1)能被17整除，即n＝k＋1时，3×52n＋1＋23n＋1是17的倍数．(2)令f(n)＝(3n＋1)·7n－1①f(1)＝4×7－1＝27能被9整除．②假设f(k)能被9整除(k∈N*)，∵f(k＋1)－f(k)＝(3k＋4)·7k＋1－(3k＋1)·7k＝7k·(18k＋27)＝9×7k(2k＋3)能被9整除，∴f(k＋1)能被9整除．由①②可知，对任意正整数n，f(n)都能被9整除．[点评]用数学归纳法证明整除问题，当n＝k＋1时，应先构造出归纳假设的条件，再进行插项、补项等变形整理，即可得证．(2014·南京一模)已知数列{a n}满足a1＝0，a2＝1，当n ∈N＋时，a n＋2＝a n＋1＋a n.求证：数列{a n}的第4m＋1项(m∈N＋)能被3整除．[证明](1)当m＝1时，a4m＋1＝a5＝a4＋a3＝(a3＋a2)＋(a2＋a1)＝(a2＋a1)＋2a2＋a1＝3a2＋2a1＝3＋0＝3.即当m＝1时，第4m＋1项能被3整除．故命题成立．(2)假设当m＝k时，a4k＋1能被3整除，则当m＝k＋1时，a4(k＋1)＋1＝a4k＋5＝a4k＋4＋a4k＋3＝2a4k＋3＋a4k＋2＝2(a4k＋2＋a4k＋1)＋a4k＋2＝3a4k＋2＋2a4k＋1.显然，3a4k＋2能被3整除，又由假设知a4k＋1能被3整除．∴3a4k＋2＋2a4k＋1能被3整除．即当m＝k＋1时，a4(k＋1)＋1也能被3整除．命题也成立．由(1)和(2)知，对于n∈N＋，数列{a n}中的第4m＋1项能被3整除．几何问题平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点．求证：这n个圆把平面分成n2－n＋2个部分．[分析]用数学归纳法证明几何问题，主要是搞清楚当n＝k＋1时比n＝k时，分点增加了多少，区域增加了几块．本题中第k＋1个圆被原来的k个圆分成2k条弧，而每一条弧把它所在的部分分成了两部分，此时共增加了2k个部分，问题就容易得到解决．[解析] ①当n＝1时，一个圆把平面分成两部分，12－1＋2＝2，命题成立．②假设当n＝k时命题成立(k∈N*)，k个圆把平面分成k2－k＋2个部分．当n＝k＋1时，这k＋1个圆中的k个圆把平面分成k2－k＋2个部分，第k＋1个圆被前k个圆分成2k条弧，每条弧把它所在部分分成了两个部分，这时共增加了2k个部分，即k＋1个圆把平面分成( k2－k＋2)＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2个部分，即命题也成立．由①、②可知，对任意n∈N*命题都成立．[点评]利用数学归纳法证明几何问题应特别注意语言叙述准确清楚，一定要讲清从n＝k到n＝k＋1时，新增加量是多少．一般地，证明第二步时，常用的方法是加一法．即在原来k的基础上，再增加1个，也可以从k＋1个中分出1个来，剩下的k个利用假设．[分析] 找到从n ＝k 到n ＝k ＋1增加的交点的个数是解决本题的关键．[证明] (1)当n ＝2时，两条直线的交点只有一个．又f (2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n ＝2时，命题成立．(2)假设n ＝k (k ≥2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k 条直线交点个数f (k )＝12k (k －1)，那么，当n ＝k ＋1时，任取一条直线l ，除l 以外其他k 条直线交点个数为f (k )＝12k (k －1)，l 与其他k 条直线交点个数为k .从而k ＋1条直线共有f (k )＋k 个交点，即f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝12k (k －1)＋k ＝12k (k －1＋2)＝12k (k ＋1)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－1]，∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，对n ∈N ＋(n ≥2)命题都成立．[点评] 关于几何题的证明，应分清k 到k ＋1的变化情况，建立k 的递推关系．探索延拓创新归纳—猜想—证明(2014·湖南常德4月，19)设a >0，f (x )＝ax a ＋x，令a 1＝1，a n ＋1＝f (a n )，n ∈N ＋. (1)写出a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论．[解析] (1)∵a 1＝1，∴a 2＝f (a 1)＝f (1)＝a 1＋a ；a 3＝f (a 2)＝a 2＋a；a 4＝f (a 3)＝平面内有n (n ∈N ＋，n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数f (n )＝n (n －1)2.a 3＋a. 猜想 a n ＝an －1＋a (n ∈N ＋)．(2)证明：(ⅰ)易知，n ＝1时，猜想正确．(ⅱ)假设n ＝k 时猜想正确，即a k ＝a k －1＋a， 则a k ＋1＝f (a k )＝a ·a k a ＋a k ＝a ·ak －1＋a a ＋a k －1＋a ＝a k －1＋a ＋1＝a [k ＋1－1]＋a. 这说明，n ＝k ＋1时猜想正确． 由(ⅰ)(ⅱ)知，对于任何n ∈N ＋，都有a n ＝an －1＋a已知数列{x n }满足x 1＝12，x n ＋1＝11＋x n，n ∈N ＋. (1)猜想数列{x 2n }的单调性，并证明你的结论；(2)证明：|x n ＋1－x n |≤16 ⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1. [解析] (1) 解: 由x 1＝12及x n ＋1＝11＋x n，得x 2＝23，x 4＝58，x 6＝1321. 由x 2>x 4>x 6，猜想数列{x 2n }是单调递减数列．下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，已证明x 2>x 4，命题成立．②假设当n ＝k 时，命题成立，即x 2k >x 2k ＋2.易知x n >0，那么，当n ＝k ＋1时，x 2k ＋2－x 2k ＋4＝11＋x 2k ＋1－11＋x 2k ＋3＝x 2k ＋3－x 2k ＋11＋x 2k ＋11＋x 2k ＋3 ＝x 2k －x 2k ＋21＋x 2k 1＋x 2k ＋11＋x 2k ＋21＋x 2k ＋3>0，即x 2(k ＋1)>x 2(k ＋1)＋2.也就是说，当n ＝k ＋1时命题也成立．综合①和②知，命题成立．(2)证明：当n ＝1时，|x n ＋1－x n |＝|x 2－x 1|＝16，结论成立．当n ≥2时，易知0<x n －1<1.∴1＋x n －1<2，x n ＝11＋x n －1>12. ∴(1＋x n )(1＋x n －1)＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋11＋x n －1(1＋x n －1)＝2＋x n －1≥52. ∴|x n ＋1－x n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪11＋x n －11＋x n －1＝|x n －x n －1|1＋x n 1＋x n －1≤25|x n －x n －1|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫252|x n －1－x n －2|≤…≤ ⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1|x 2－x 1|＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1. 易错辨误警示判断2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n ＋1对大于0的自然数n 是否都成立？若成立请给出证明．[误解] 假设n ＝k 时，结论成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ＋1，那2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋1＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋1.即当n ＝k ＋1时，等式也成立．因此，对大于0的自然数n,2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n ＋1都成立．[误解] 假设n ＝k 时，结论成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ＋1，那2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋1＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)＋1.即当n ＝k ＋1时，等式也成立．因此，对大于0的自然数n,2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n ＋1都成立．• [正解] 不成立．当n ＝1时，左边＝2，右边＝12＋1＋1＝3，左边≠右边，所以不成立．[点评] 用数学归纳法证明命题的两个步骤是缺一不可的．特别是步骤(1)，往往十分简单，但却是不可忽视的步骤．本题中，虽然已经证明了：如果n ＝k 时等式成立，那么n ＝k ＋1时等式也成立．但是如果仅根据这一步就得出等式对任何n ∈N ＋都成立的结论，那就错了．事实上，当n＝1时，上式左边＝2，右边＝12＋1＋1＝3，左边≠右边．而且等式对任何n 都不成立．这说明如果缺少步骤(1)这个基础，步骤(2)就没有意义了．用数学归纳法证明12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n(2n＋2)＝n4(n＋1)(n∈N＋)．[误解](1) 略．(2) 假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，那么当n＝k＋1时，直接使用裂项相减法求得12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k2k＋2＋12k＋22k＋4＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝⎛⎭⎪⎫14－16＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12k－12k＋2＋⎝⎛⎭⎪⎫12k＋2－12k＋4＝12⎝⎛⎭⎪⎫12－12k＋4＝k＋14[k＋1＋1]，即n＝k＋1时命题成立．[正解](1)当n＝1时，左边＝12×4＝18，右边＝18，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，1 2×4＋14×6＋16×8＋…＋12k(2k＋2)＝k4(k＋1)成立．那么当n＝k＋1时，1 2×4＋14×6＋16×8＋…＋12k(2k＋2)＋1(2k＋2)(2k＋4)＝k4(k＋1)＋14(k＋1)(k＋2)＝k(k＋2)＋1 4(k＋1)(k＋2)＝(k＋1)24(k＋1)(k＋2)＝k＋14(k＋2)＝k＋14[(k＋1)＋1].所以当n＝k＋1时，等式成立．由(1)(2)可得对一切n∈N＋等式都成立．[点评]这里没有用归纳假设，是典型的套用数学归纳法的一种伪证．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n >n ＋12(n ∈N ＋)．[误解] (1)当n ＝1时，左边＝1＋12＝32，右边＝1＋12＝1.显然左边>右边，即n ＝1时命题成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时命题成立，即1＋12＋13＋…＋12k >k ＋12.[正解] (1)略．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k >k ＋12， 则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1>k ＋12＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1>k ＋12＋12k ＋1＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＝k ＋12＋2k 2k ＋1＝k ＋12＋12＝(k ＋1)＋12，即n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)(2)可得对一切n ∈N ＋不等式都成立．[点评] 从n ＝k 到n ＝k ＋1时，增加的不止一项，应为12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ，共有2k 项，并且k ＋12＋12k ＋1>k ＋12＋12也是错误的．。

放缩法证明数列不等式一、基础知识：在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。

本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：（1）传递性：若,a b b c >>，则a c >（此性质为放缩法的基础，即若要证明a c >，但无法直接证明，则可寻找一个中间量b ，使得a b >，从而将问题转化为只需证明b c >即可 ）（2）若,a b c d >>，则a c b d +>+，此性质可推广到多项求和：若()()()121,2,,n a f a f a f n >>>L ，则:()()()1212n a a a f f f n +++>+++L L （3）若需要用到乘法，则对应性质为：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同2、放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：① 等差数列求和公式：12nn a a S n +=×，n a kn m =+（关于n 的一次函数或常值函数）② 等比数列求和公式：()()1111n n a q S q q -=¹-，n n a k q =×（关于n 的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差´等比”的形式④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。

Y.P .M 数学竞赛讲座 1不等式的基本问题高中联赛中不等式的基本问题包括:不等式的同向可加性、函数的单调性质、大小比较和解不等式.1.同向可加[例1]:(1983年全国高中数学联赛试题)(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知函数f(x)=ax 2－c,满足－4≤f(1)≤－1,－1≤f(2)≤5.那么,f(3)的取值范围是_______.[解析]:[类题]:1.(2010年辽宁高考试题)已知-1<x+y<4,且2<x-y<3,则z=2x-3y 的取值范围是_______(答案用区间表示).2.(2004年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知二次函数y=ax 2+c,且当x ＝1时,－4≤y ≤－1,当x ＝2时,－1≤y ≤5,则当x＝3时,y 的取值范围是 .3.(2001全国高中数学联赛试题)己知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元,而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元,则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是( )(A)2枝玫瑰价格高 (B)3枝康乃馨价格高 (C)价格相同 (D)不确定 4.(1988年全国高中数学联赛上海初赛试题)设x+2y ≥1,5x+y ≥2,则log 8(2x+2y)的最小值是_____.5.(2010年江苏高考试题)设实数x,y 满足3≤xy 2≤8,4≤y x 2≤9,则43yx 的最大值是_________. 6.(2008年四川高考试题)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 4≥10,S 5≤15,则a 4的最大值为 . 7.(1986年全国高中数学联赛试题)x,y,z 为非负实数,且满足方程zy x 4954++-68×zy x 4952+++256=0,那么x+y+z 的最大值与最小值的乘积等于 .2.函数单调性[例2]:(1999年全国高中数学联赛试题)若(log 23)x -(log 53)x ≥(log 23)y--(log 53)y-,则( )(A)x -y ≥0 (B)x+y ≥0 (C)x -y ≤0 (D)x+y ≤0[解析]:[类题]:1.(2005年全国高中数学联赛试题)已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,若f(2a 2+a+1)<f(3a-24a+1)成立,则a 的取值范围是 .2.(2006年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设f(x)是定义在R 上单调递减的奇函数.若x 1+x 2>O,x 2+x 3>O,x 3+x 1>O,则( ) (A)f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)>0 (B)f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)<O (C)f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)=0 (D)f(x 1)+f(x 2)>f(x 3)3.(2006年全国高中数学联赛试题)设f(x)=x 3+log 2(x+12+x ),则对任意实数a,b,a+b ≥0是f(a)+f(b)≥0的( )(A)充分必要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件4.(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)已知函数f(x)=x 3-log 2(12+x -x).则对于任意实数a 、b(a+b ≠0),33)()(b a b f a f ++的值( )(A)恒大于零 (B)恒等于零 (C)恒小于零 (D)符号不确定2 Y.P .M 数学竞赛讲座5.(2007年全国高中数学联赛福建初赛试题)设f(x)=521+x +lg x x +-11,则不等式f[x(x-21)]<51的解集为 . 6.(2002年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若a 、b 是任意实数,且a>b,则下列不等式一定成立的是( ) (A)a 2>b 2(B)a b <1 (C)lg(a-b)>0 (D)(21)a <(21)b7. ⑴(1985年全国高中数学联赛试题)(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设0<a<1,若x 1=a,x 2=1x a ,x 3=2x a ,…, x n =1-n x a ,…,则数列{x n }(A)是递增的 (B)是递减的 (C)奇数项是递增的,偶数项是递减的 (D)偶数项是递增的,奇数项是递减的 ⑵(1986年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知三个实数a,b=a a,c=aa a ,若0.9<a<1,则( )(A)a<c<b (B)a<b<c (C)b<a<c (D)c<a<b3.大小比较[例3]:(1982年全国高中数学联赛试题)当a,b 是两个不相等的正数时,下列三个代数式:甲:(a+a1)(b+b1),乙:(ab +ab1)2,丙:(2b a ++ba +2)2中间,值最大的一个是( ) (A)必定是甲 (B)必定是乙 (C)必定是丙 (D)一般并不确定,而与a 、b 的取值有关[解析]:[类题]:1.(1983年全国高中数学联赛试题)x=31513121log 1log 1+的值是属于区间( )(A)(-2,-1) (B)(1,2) (C)(-3,-2) (D)(2,3) 2.(2005年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知m>1,a=1+m -m ,b=m -1-m 那么( )(A)a>b (B)a<b (C)a=b (D)a 、b 的大小与m 的取值有关 3.(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)设n 为正整数,x=(1+n 1)n ,y=(1+n1)n+1,则( ) (A)x y>y x(B)x y=y x(C)x y<y x(D)以上都有可能 4.(2006年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知b>a>1,t>0,若a x=a+t,则b x与b+t 的大小关系是( )(A)b x >b+t (B)b x <b+t (C)b x=b+t (D)不确定. 5.(2007年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)已知x 、y ≥1,且n x 1-+n y 1-≤2,则( ) (A)x ≥y (B)x ≤y (C)x+y ≥xy (D)x+y ≤xy6.(2007年全国高中数学联赛江西初赛试题)a,b,c 为互不相等的正数,a 2+c 2=2bc,则下列关系中可能成立的是( )(A)a>b>c (B)b>c>a (C)b>a>c (D)a>c>b 7.(2004年全国高中数学联赛天津初赛试题)若0<a<b,且a+b=1,则下列各式中最大的是( )(A)-1 (B)log 2a+log 2b+1 (C)log 2b (D)log 2(a 3+a 2b+ab 2+b 3) 8.(2005年全国高中数学联赛湖南初赛试题)当a 、b 是两个不相等的正数时,下列不等式中,不成立的是( ) (A)(a+a 1)(b+b1)>(ab +ab1)2(B)(a+a 1)(b+b 1)>(2b a ++b a +2)2(C)2233b a b a ++>b a b a ++22 (D)b a b a --22>2233ba b a --4.解不等式Y.P .M 数学竞赛讲座 3 [例4]:(2001年全国高中数学联赛试题)不等式|x 21log 1+2|>23的解集为 . [解析]:[类题]:1.(1998年全国高中数学联赛试题)设命题P:关于x 的不等式a 1x 2+b 1x+c 1>0与a 2x 2+b 2x+c 2>0的解集相同;命题Q:21a a =21b b = 21c c .则命题Q( ) (A)是命题P 的充分必要条件 (B)是命题P 的充分条件但不是必要条件(C)是命题P 的必要条件但不是充分条件 (D)既不是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件 2.⑴(1989年全国高中数学联赛试题)若log a 2<1,则a 的取值范围是___________. ⑵(1995年第六届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)如果log a 43<1,那么a 的取值范围是 , ⑶(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若log a53<1,则a 的取值范围是___________. ⑷(1994年第五届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)若log a (2-a 2)<1,则实数a 的取值范围是 . 3.⑴(2004年全国高中数学联赛四川初赛试题)不等式|x 2－2|≤2x+1的解集为_________.⑵(2003年全国高中数学联赛试题)不等式|x|3－2x 2－4|x|+3<0的解集是____________.⑶(2005年全国高中数学联赛山东初赛试题)不等式|1log 131+x |>31的解集是 .⑷(1995年第六届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)若a>0,a ≠1,且|log a 2|>log a+12,则a 的取值范围是 .4.⑴(1995年第六届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)不等式x2log 1+>1–log 2x 的解是 .⑵(2006年全国高中数学联赛试题)设log x (2x 2+x-1)>log x 2-1,则x 的取值范围为 .⑶(2004年全国高中数学联赛试题)不等式1log 2-x+21321log x +2>0的解集为 . 4.(2007年全国高中数学联赛江苏初赛试题)关于x 的不等式x 2−ax −20a 2<0任意两个解的差不超过9,则a 的最大值与最小值的和是 .5.(2007年全国高中数学联赛天津初赛试题)定义区间(c,d),[c,d),(c,d],[c,d]的长度均为d-c,其中d>c.已知实数a>b, 则满足bx a x -+-11≥1的x 构成的区间的长度之和为 .6.(1996年第七届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)若)lg(2lg x a ax+<1的解为(1,2,则a 的取值范围是 . 7.(2008年全国高中数学联赛试题)解不等式log 2(x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1)>1+log 2(x 4+1).Y.P .M 数学竞赛讲座 1基本不等式高中联赛客观题中的不等式包括:⑴二元均值不等式:①基本不等式a 2+b 2≥2|ab|及其推论a 2+b 2+c 2≥ab+bc+cd; a 2+b 2+c 2+d 2≥ab+bc+cd+da;x 12+x 2+…+x n 2≥x 1x 2+x 2x 3+…+x n-1x n +x n x 1,等号当且仅当x 1=x 2=…=x n 时成立;②当a>0,b>0时,ba 112+≤ab ≤2b a +≤222b a +,等号当且仅当a=b 时成立,其中b a 11+≥ab 2,b a 11+≥b a +4称为调和不等式;⑵三元均值不等式:①当a+b+c ≥0时,a 3+b 3+c 3≥3abc,等号当且仅当a+b+c=0,或a=b=c 时成立;②当a>0,b>0,c>0时,3c b a ++≥3abc ,等号当且仅当a=b=c 时成立;③当a>0,b>0,c>0时,cb a 1113++≤3abc ≤3cb a ++≤3222c b a ++,等号当且仅当a=b=c 时成立;⑶n 元均值不等式:当a i >0(i=1,2,…,n)时,na a a n11121+⋅⋅⋅++(调和平均数)≤n n a a a ⋅⋅⋅21(几何平均数)≤na a a n+⋅⋅⋅++21(算朮平均数)≤na a a n23221+⋅⋅⋅++(方幂平均数),等号当且仅当a 1=a 2=…=a n 时成立;⑷柯西不等式:①基本形式C 0:当a i ,b i ∈R(i=1,2,…,n)时,(a 12+a 22+…+a n 2)(b 12+b 22+…+b n 2)≥(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2,等号当且仅当a 1:b 1=a 2:b 2=…=a n :b n 时成立;②变形式C 1:当a i ,b i ∈R +(i=1,2,…,n)时,(a 1+a 2+…+a n )(b 1+b 2+…+b n )≥(11b a +22b a +…+n n b a )n ,等号当且仅当a 1:b 1=a 2:b 2=…=a n :b n 时成立;③变形式C 2:当a i ,b i ∈R +(i=1,2,…,n)时,(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )(11b a +22b a+…+nnb a )≥ (a 1+a 2+…+a n )2,等号当且仅当b 1=b 2=…=b n 时成立;④变形式C 3:当a i ∈R +,b i ∈R(i=1,2,…,n)时,(a 1+a 2+…+a n )(121a b +222a b +…+nna b 2)≥(b 1+b 2+…+b n )2,等号当且仅当a 1:|b 1|=a 2:|b 2|=…=a n :|b n |时成立.不等式的认识应从不等式成立条件、等号成立条件、不等式的变形和不等式等号成立的条件在求最值问题中的巧用等方面进行.1.等号成立的条件[例1]:(2011年全国高中数学联赛试题)设a,b 为正实数,ba11+≤22,(a-b)2=4(ab)3,则log a b= .[解析]:[类题]:1.(2007年北京高考试题)如果正数a,b,c,d 满足a+b=cd=4,那么( )(A)ab ≤c+d,且等号成立时a,b,c,d 的取值惟— (B)ab ≥c+d,且等号成立时a,b,c,d 的取值惟— (C)ab ≤c+d,且等号成立时a,b,c,d 的取值不惟— (D)ab ≥c+d,且等号成立时a,b,c,d 的取值不惟— 2.(2010年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知函数f(x)=424)42(24224+++-++x x x k k x 的最小值是0,则非零实数k 的值是 .3.⑴(2010年全国I 高考试题)(理)已知函数f(x)=|lgx|.若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是 .2 Y.P .M 数学竞赛讲座⑵(2009年全国高中数学联赛上海初赛试题)(2011年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设函数f(x)=|x 2-2|,若f(a)=f(b),且0<a<b,则ab 的取值范围是 .⑶(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<)8(841)80(|log |2x x x x .若a,b,c 是互不相等的实数,且f(a)=f(b)=f(c),则abc 的取值范围是 .4.①(1996年全国高中数学联赛试题)如果在区间[1,2]上函数f(x)=x 2+px+q 与g(x)=x+21x 在同一点取相同的最小值,那么f(x)在该区间上的最大值是 .②(2011年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知f(x)=2x 2+3px+2q 和φ(x)=x+x 4是定义在集合M={x|1≤x ≤49}上的函数,对任意的x ∈M,存在常数x 0∈M,使得f(x)≥f(x 0),φ(x)≥φ(x 0),且f(x 0)=φ(x 0),则函数f(x)在M 上的最大值为 .5.(2010年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)锐角三角形△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,若a b +ba=4cosC,则A tan 1+Btan 1的最小值是 . 6.①(1990年全国高中数学联赛试题)点集{(x,y)|lg(x 3+31y 3+91)=lgx+lgy}中元素的个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)多于2 ②(2010年全国高中数学联赛新疆初赛试题)已知a 1,a 2,…,a n 均为正实数,且满足a 1+a 2+…+a n =1,11a +21a +…+n a 1=4,则a 1a 2…a n 值是 .2.二元均值不等式[例2]:(2003年全国高中数学联赛试题)已知x,y 都在区间(－2,2)内,且xy ＝－1,则函数u=244x -+299y -的最小值是 .[解析]:[类题]:1.⑴(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)若a 、b ∈R +,且a-b=1,则a 2+b 2( )(A)既有最大值,也有最小值 (B)有最大值,无最小值 (C)有最小值,无最大值 (D)既无最大值,也无最小值⑵(1996年第七届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)当a,b<0时,函数y=))((b x a x x--在区间(0,+∞)上的最大值是( ) (A)-(||a -||b )2(B)(||a +||b )2(C)-2)||||(1b a - (D)2)||||(1b a +2.⑴(2007年全国高中数学联赛广西初赛试题)若点P(x,y)在直线x+3y=3上移动,则函数f(x,y)=3x+9y的最小值等于 . ⑵(2004年全国高中数学联赛福建初赛试题)已知,点(x,y)在直线x+2y=3上移动,当2x+4y取最小值时,点(x,y)与原点的距离是 .⑶(2005年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数f(x)=9x+9−x−2(3x+3−x)的最小值是 .3.⑴(2008年全国高中数学联赛试题)函数f(x)=xx x -+-2452在(-∞,2)上的最小值是 .Y.P .M 数学竞赛讲座 3⑵(2008年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知a>b,ab=1,则ba b a -+22的最小值是 . ⑶(2010年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知二次函数y=ax 2+bx+c ≥0(a<b),则M=ab cb a -++42的最小值是 .4.⑴(2007年全国高中数学联赛四川初赛试题)设a,b 为正实数,且a+b=1,则ba 41+的最小值为 . ⑵(2008年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知正实数x,y 满足x+2y=4,则yx 11+的最小值为_________. ⑶(2010年全国高中数学联赛贵州初赛试题)若直线ax-by+2=0(a>0,b>0)和函数y=log c (x+2)+2(c>0且c ≠)的图象恒过同一个定点,则ba 11+的最小值为 . ⑷(2009年全国高中数学联赛河南初赛试题)设0<x<1,a,b 都为大于零的常数,则xb x a -+122的最小值为 . 5.⑴(1993年全国高中数学联赛上海初赛试题)(2003年江苏省数学夏令营数学竞赛题)设x,y,z ∈R +,且xyz(x+y+z)=1,则(x+y)(y+z)的最小值是_____.⑵(2009年全国高中数学联赛浙江初赛试题)实数x,y,z 满足x 2+y 2+z 2=1,则2xy+yz 的最大值为 ,6.⑴(2010年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知x 1,x 2,…,x 2010均为正实数,则x 1+12x x +213x x x +…+2009212010x x x x ⋅⋅⋅+ 2010214x x x ⋅⋅⋅的最小值为 .⑵(2011年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设a,b 为正实数,记M=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+>++≤22222244,4444,b a ab ba b a ab ab ,则M 的最大值是 . 3.二元均值的变式[例3]:(2006年全国高中数学联赛浙江初赛试题)函数f(x)=x x x x tan sin cos sin +++x x x x tan cos cot tan +++x x x x cot cos cos sin +++xx xx cot sin cot tan ++在x ∈(0,2π)时的最小值为 .[解析]:[类题]:1.(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)若实数x 、y 满足x 2+y 2=1,则12-+y x xy的最小值是 .2.(2005年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设a>b>0,那么a 2+)(1b a b -的最小值是 .3.①(2011年全国高中数学联赛河北初赛试题)己知a 2+b 2+c 2=1,则ab+bc+ca 的值域为 .②(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知实数x 、y 、z 、t 满足x+y+z+t=0,x 2+y 2+z 2+t 2=10,则xy+yz+zt+tx 的最大值与最小值的和为_____.4.(2002年全国高中数学联赛上海初赛试题)实数a,b,c,d 满足a 2+b 2+c 2+d 2=5,则(a −b)2+(a −c)2+(a −d)2+(b −c)2+(b −d)2+(c −d)2的最大值是_____.5.(2001年第十二届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)当0<θ<2π时,函数y=(θsin 1-1)(θcos 1-1)的最大值是 . 4 Y.P .M 数学竞赛讲座6.(2010年全国高中数学联赛广东初赛试题)已知n(n ∈N,n ≥2)n 是常数,且x 1,x 2,…,x n 是区间[0,2π]内任意实数,则函数f(x 1,x 2,…,x n )=sinx 1cosx 2+sinx 2cosx 3+…+sinx n cosx 1的最大值等于_______.4.n 元均值不等式[例4]:(1994年全国高中数学联赛试题)设0<θ<π,则sin 2θ(1+cos θ)的最大值是__________.[解析]:[类题]:1.(2006年全国高中数学联赛上海初赛试题)设x,y,z 是正实数,满足xy+z=(x+z)(y+z),则xyz 的最大值是 .2.(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)设a>b>0.则a 4+)(32b a b -的最小值是 .3.(2000年第十一届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)从半径为1分米的圆形铁片中剪去圆心角为x 弧度的一个扇形,将余下部分卷成一个圆锥(不考虑连接处用料),当圆锥的容积达到最大时,x 的值是 .4.(2005年全国高中数学联赛福建初赛试题)对于21≤x ≤1,当(1+x)5(1-x)(1-2x)2取得最大值时,x ＝ . 5.(2011年全国高中数学联赛江西初赛试题)设x,y,z>0,且x+y+z=1,则f(x,y,z)=xy 2z 3的最大值是 . 6.(2007年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设x ∈(0,2π),则函数y=x2sin 4225+xcos 2的最小值为__________. 5.柯西不等式[例5]:(1983年全国高中数学联赛试题)设a,b,c,d,m,n 都是正实数,P=cd ab +,Q=ndm b nc ma +⋅+,那么( ) (A)P ≥Q (B)P ≤Q (C)P<Q (D)P 、Q 的大小关系不确定,而与m,n 的大小有关[解析]:[类题]:1.(2008年全国高中数学联赛江苏初赛试题)如果实数m,n,x,y 满足m 2+n 2=a,x 2+y 2=b,其中a,b 为常数,那么mx+ny 的最大值为 .2.(2007年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知a,b 为正整数,a ≤b,实数x,y 满足x+y=4(a x ++b y +),若x+y 的最大值为40,则满足条件的数对(a,b)的数目为( )(A)1 (B)3 (C)5 (D)7 3.①(2005年全国高中数学联赛吉林初赛试题)代数式a 22b -+b 22a -的最大值是 .②(1995年全国高中数学联赛上海初赛试题)设a 、b 、c 为正常数,x 、y 、z 为实数,且满足|x|≤a,|y|≤b,|z|≤c,则(x+y+z)(22x a -+22y b -+22z c -)的最大值是_____.4.(2000年第十一届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)已知x 、y 、z ∈R +,且x 1+y 2+z 3=1,则x+2y +3z的最小值是 . 5.(2009年第二十届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)若12+x +23-y =4,则2x+3y 的取值范围是 .Y.P .M 数学竞赛讲座 56.(2004年全国高中数学联赛四川初赛试题)若0<a 、b 、c<1满足条件ab+bc+ca ＝1,则a -11+b -11+c-11的最小值是 .6.对称不等式[例6]:(2004年全国高中数学联赛四川初赛试题)若0<a 、b 、c<1满足条件ab+bc+ca ＝1,则a -11+b -11+c-11的最小值是 .[解析]:[类题]:1.(1990年全国高中数学联赛试题)设n 为自然数,a 、b 为正实数,a+b=2,则na+11+nb +11的最小值是________.2.(2011年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知x,y 均为正实数,则y x x +2+yx y2+的最大值是 . 3.(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)若实数x 、y 满足x 2+y 2=1,则12-+y x xy的最小值是 .4.(2007年全国高中数学联赛广西初赛试题)设a 1,a 2,…,a 2007均为正实数,且121a ++221a ++…+200721a +=21,则a 1a 2…a 2007的最小值是 .5.(2010年全国高中数学联赛新疆初赛试题)已知a 1,a 2,…,a n 均为正实数,且满足a 1+a 2+…+a n =1,11a +21a +…+n a 1=4,则a 1a 2…a n 值是 .6.(2003年全国高中数学联赛试题)已知x,y 都在区间(－2,2)内,且xy ＝－1,则函数u=244x-+299y -的最小值是 .Y.P .M 数学竞赛讲座 1恒成立问题不等式恒成立问题是不等式的特殊问题,就其中所含变量的多少可分为两类:单元问题、多元问题.解决恒成立问题的根本出发点是:认清不等式F(x,a)≥0是关于哪个变量恒成立？关于哪个变量恒成立,就要把F(x,a)视为这个变量的函数,通过研究这个函数来解决问题.1.等价转化法:不等式f(x)≥m 恒成立⇔f(x)min ≥m;不等式f(x)≤M 恒成立⇔f(x)max ≤M;2.分离参数法:不等式F(x,a)≥0恒成立,求参数a 的取值范围.首先对不等式F(x,a)≥0进行等价变形,使得F(X,a)≥0⇔f(x)≥(≤)g(a),然后通过求不含参数a 的函数f(x)的最值,解决问题;3.函数分析法:(1)函数f(x)=ax+b,则当x ∈[m,n]时,不等式f(x)≥0恒成立⇔⎩⎨⎧≥≥0)(0)(n f m f ; 当x ∈[m,n]时,不等式f(x)≤0恒成立⇔⎩⎨⎧≤≤0)(0)(n f m f ;(2)f(x)≥g(x)恒成立⇔函数y=f(x)的图像不在函数y=g(x)的图像的下方; (3)如果函数f(x)在[m,n]内是凸函数,则当x ∈[m,n]时,不等式f(x)≥0恒成立⇔⎩⎨⎧≥≥0)(0)(n f m f ; 如果函数f(x)在[m,n]内是凹函数,则当x ∈[m,n]时,不等式f(x)≤0恒成立⇔⎩⎨⎧≤≤0)(0)(n f m f .1.变量分析法[例1]:(2003年第十四届希望杯全国数学邀请赛(高一))关于x 的不等式lg 2x-(2+m)lgx+m-1>0对于|m|≤1恒成立,则x的取值范围是 .[解析]:[类题]:1.①(2009年全国高中数学联赛吉林初赛试题)不等式x 2+px>4x+p-3对于一切0≤x ≤4恒成立,则x 的取值范围是 .②(2008年安徽高考试题)若不等式ax 2-3x+a+1>x 2-x-a+1对任意a ∈(0,+∞)都成立,则实数x 的取值范围是 . 2.(2009年天津高考试题)(文)若对任意的a ∈[-2,2],不等式x 4+ax 3+2x 2+b ≤1在[-1,1]上恒成立,则实数b 的取值范围是 .3.(2009年天津高考试题)(理)若对任意的a ∈[21,2],不等式x+x a +b ≤10在[41,1]上恒成立,则实数b 的取值范围是 .2.函数分析法[例2]:(2000年全国高中数学联赛河北初赛试题)当a>1时,若不等式11+n +21+n +…+n 21>127(log a+1x-log a x+1)对于不小于2的正整数n 恒成立,则x 的取值范围是 .[解析]:[类题]:1.①(2006年全国高中数学联赛福建初赛试题)对于x ∈[0,1]的一切值,a+2b>0是使ax+b>0恒成立的( )(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分条件,也非必要条件 ②(2002年全国高中数学联赛上海初赛试题)若对|x|≤1的一切x,t+1>(t 2−4)x 恒成立,则t 的取值范围是__________.2 Y.P .M 数学竞赛讲座2.(2006年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知函数f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞)时,f(x)≥a 恒成立,则a 的取值范围是 .3.(2010年全国高中数学联赛湖北初赛试题)对于一切x ∈[-2,21],不等式ax 3-x 2+x+1≥0恒成立,则实数a 的取值范围为 .3.分离参数法[例3]:(2011年全国高中数学联赛山东初赛试题)不等式sin2θ-(22+2a)sin(θ+4π)-)4cos(22πθ->-3-2a 对θ∈[0,2π]恒成立,则实数a 的取值范围是 .[解析]:[类题]:1.(2007年全国高中数学联赛福建初赛试题)函数f(x)=x 2-2x+3,若|f(x)-a|<2恒成立的充分条件是1≤x ≤2,则实数a 的取值范围是 .2.(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设f(x)=k(x 2-x+1)-x 4(1-x)4.如果对任何x ∈[0,1],都有f(x)≥0,则k 的最小值为 .3.(2006年上海高考试题)三个同学对问题“关于x 的不等式x 2+25+|x 3-5x 2|≥ax 在[1,12]上恒成立,求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路.甲说:“只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值”.乙说:“把不等式变形为左边含变量x 的函数,右边仅含常数,求函数的最值”.丙说:“把不等式两边看成x 的函数,作出函数图象”.参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即a 的取值范围是 .4.基本不等式法[例4]:(1992年全国高中数学联赛上海初赛试题)(2005年全国高中数学联赛江西初赛试题)若对所有正数x,y,不等式x +y ≤a y x +都成立,则a 的最小值是 .[解析]:[类题]:1.(2005年第十六届希望杯数学邀请赛(高一)试题)己知x,y ∈R 且x+y=5,若lgx+lgy ≤k 恒成立,则k 的最小值是 .2.①(2010年全国高中数学联赛吉林初赛试题)不等式|x+x1|≥|a-2|+1对一切非零实数x 均成立,则实数a 的最大值是 . ②(2008年全国高中数学联赛贵州初赛试题)对于任意的x∈R ,不等式2x 2－a 12+x +3>0恒成立.则实数a 的取值范围是.③(2003年全国高中数学联赛上海初赛试题)若对一切正实数x 、y,恒有)3)((2222y x y x xy++≤k1,则k 的最大值为_____. 3.①(2004年第十五届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)不等式x+2xy 2≤a(x+y)对一切正数x,y 恒成立,则实数的最小值为_____.Y.P .M 数学竞赛讲座 3②(2004年第十五届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)当a>b>0时,使不等式ba -ab >k(a -b )恒成立的常数k 的最大值是 .③(2002年第十三届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若不等式a +b ≤ m 422b a +对所有正实数a 、b 都成立,则m 的最小值是 .5.柯西不等式法[例5]:(1993年全国高中数学联赛试题)设任意实数x 0>x 1>x 2>x 3>0,要使10log x x 1993+21log x x 1993+32log x x 1993≥k 30log x x 1993恒成立,则k 的最大值是_______.[解析]:[类题]:1.(2005年第十六届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)设a,b,c ∈R +,若(a+b+c)(a 1+cb +1)≥k 恒成立,则k 的最大值是 .2.(2009年全国高中数学联赛江苏初赛试题)若不等式x +y ≤k y x +2对任意正实数x,y 成立,则k 的取值范围是 .6.综合分析法[例6]:(2010年全国高中数学联赛福建初赛试题)若正整数m 使得对任意一组满足a 1a 2a 3a 4=1的正数a 1,a 2,a 3,a 4都有a 1m +a 2m+a 3m+a 4m≥43211111a a a a +++成立,则正整数m 的最小值为 . [解析]:[类题]:1.(2010年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设函数f(x)=ax 2+x,已知f(3)<f(4),且当n ≥8,n ∈N *时,f(n)>f(n+1)恒成立,则实数a 的取值范围是 .2.(1990年全国高中数学联赛试题)设n 是自然数,对任意实数x,y,z 恒有(x 2+y 2+z 2)2≤n(x 4+y 4+z 4)成立,则n 的最小值是_____.3.①(2010年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知a 2+b 2=1,且恒c<a+b 成立,则c 的取值范围是 .②(2003年第十四届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)设x,y,z 都是正数,且x+y+z=1,则使x 2+y 2+z 2+λxyz ≤1恒成立的实数λ的最大值是 .Y.P .M 数学竞赛讲座 1不等式的基本问题高中联赛中不等式的基本问题包括:不等式的同向可加性、函数的单调性质、大小比较和解不等式.1.同向可加[例1]:(1983年全国高中数学联赛试题)(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知函数f(x)=ax 2－c,满足－4≤f(1)≤－1,－1≤f(2)≤5.那么,f(3)应满足( )(A)7≤f(3)≤26 (B)－4≤f(3)≤15 (C)－1≤f(3)≤20 (D)－283≤f(3)≤353[解析]:[类题]:1.(2010年辽宁高考试题)已知-1<x+y<4,且2<x-y<3,则z=2x-3y 的取值范围是_______(答案用区间表示).2.(2004年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知二次函数y=ax 2+c,且当x ＝1时,－4≤y ≤－1,当x ＝2时,－1≤y ≤5,则当x＝3时,y 的取值范围是 .3.(1983全国高中数学联赛试题)己知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元,而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元,则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是( )(A)2枝玫瑰价格高 (B)3枝康乃馨价格高 (C)价格相同 (D)不确定 4.(1988年全国高中数学联赛上海初赛试题)设x+2y ≥1,5x+y ≥2,则log 8(2x+2y)的最小值是_____.5.(2010年江苏高考试题)设实数x,y 满足3≤xy 2≤8,4≤y x 2≤9,则43yx 的最大值是_________. 6.(2008年四川高考试题)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 4≥10,S 5≤15,则a 4的最大值为 . 7.(1986年全国高中数学联赛试题)x,y,z 为非负实数,且满足方程zy x 4954++-68×zy x 4952+++256=0,那么x+y+z 的最大值与最小值的乘积等于 .2.函数单调性[例2]:(1999年全国高中数学联赛试题)若(log 23)x -(log 53)x ≥(log 23)y--(log 53)y-,则( )(A)x -y ≥0 (B)x+y ≥0 (C)x -y ≤0 (D)x+y ≤0[解析]:[类题]:1.(2005年全国高中数学联赛试题)已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,若f(2a 2+a+1)<f(3a-24a+1)成立,则a 的取值范围是 .2.(2006年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设f(x)是定义在R 上单调递减的奇函数.若x 1+x 2>O,x 2+x 3>O,x 3+x 1>O,则( ) (A)f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)>0 (B)f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)<O (C)f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)=0 (D)f(x 1)+f(x 2)>f(x 3)3.(2006年全国高中数学联赛试题)设f(x)=x 3+log 2(x+12+x ),则对任意实数a,b,a+b ≥0是f(a)+f(b)≥0的( )(A)充分必要条件 (B)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件4.(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)已知函数f(x)=x 3-log 2(12+x -x).则对于任意实数a 、b(a+b ≠0),2 Y.P .M 数学竞赛讲座33)()(b a b f a f ++的值( )(A)恒大于零 (B)恒等于零 (C)恒小于零 (D)符号不确定解:f(x)=x 3-log 2(12+x -x)=x 3+log 2(12+x +x)递增的奇函数,5.(2007年全国高中数学联赛福建初赛试题)设f(x)=521+x +lg x x +-11,则不等式f[x(x-21)]<51的解集为 . 解:因为f(x)的定义域为(－1,1),且f(x)为减函数.原不等式即为f[x(x-21)]<f(0). 6.(2002年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若a 、b 是任意实数,且a>b,则下列不等式一定成立的是( ) (A)a 2>b 2(B)a b <1 (C)lg(a-b)>0 (D)(21)a <(21)b7. ⑴(1985年全国高中数学联赛试题)(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设0<a<1,若x 1=a,x 2=1x a ,x 3=2x a ,…, x n =1-n x a ,…,则数列{x n }(A)是递增的 (B)是递减的 (C)奇数项是递增的,偶数项是递减的 (D)偶数项是递增的,奇数项是递减的 ⑵(1986年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知三个实数a,b=a a,c=aa a ,若0.9<a<1,则( )(A)a<c<b (B)a<b<c (C)b<a<c (D)c<a<b3.大小比较[例3]:(1982年全国高中数学联赛试题)当a,b 是两个不相等的正数时,下列三个代数式:甲:(a+a1)(b+b1),乙:(ab +ab1)2,丙:(2b a ++ba +2)2中间,值最大的一个是( ) (A)必定是甲 (B)必定是乙 (C)必定是丙 (D)一般并不确定,而与a 、b 的取值有关[解析]:甲=ab+ab 1+a b +b a ,乙=ab+ab 1+2,丙=4)(2b a ++2)(4b a ++2,甲-乙=a b +b a-2=(ab-b a )2>0,丙-乙=4)(2b a -- 22)()(b a ab b a +-不能确定,取a=1,b=5⇒甲<丙⇒(D).[类题]:1.(1983年全国高中数学联赛试题)x=31513121log 1log 1+的值是属于区间( )(A)(-2,-1) (B)(1,2) (C)(-3,-2) (D)(2,3) 2.(2005年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知m>1,a=1+m -m ,b=m -1-m 那么( )(A)a>b (B)a<b (C)a=b (D)a 、b 的大小与m 的取值有关 3.(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)设n 为正整数,x=(1+n 1)n ,y=(1+n1)n+1,则( ) (A)x y>y x(B)x y=y x(C)x y<y x(D)以上都有可能 解:取对数易得x y=y x.故选(B).4.(2006年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知b>a>1,t>0,若a x=a+t,则b x与b+t 的大小关系是( )(A)b x >b+t (B)b x <b+t (C)b x=b+t (D)不确定.解:由b>a>1,t>0⇒a x >a ⇒x>1⇒b x-1>1,a x-1>1⇒b x-1>a x-1⇒b x-1-1>a x-1-1⇒b(b x-1-1)>a(a x-1-1)⇒b x -b>a x -a ⇒b x -(b+t)=b x-Y.P .M 数学竞赛讲座 3b-(a x-a)>0.5.(2007年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)已知x 、y ≥1,且n x 1-+n y 1-≤2,则( ) (A)x ≥y (B)x ≤y (C)x+y ≥xy (D)x+y ≤xy 解:由x 、y 的对称性,显然,选项(A)、(B)均不正确.令a=n x 1-,b=n y 1-,则a n+1=x,b n+1=y.由已知ab ≤2ba +=1⇒x+y-xy= a n +1+b n +1-(a n +1)(b n +1)=1-a n b n≥0.6.(2007年全国高中数学联赛江西初赛试题)a,b,c 为互不相等的正数,a 2+c 2=2bc,则下列关系中可能成立的是( )(A)a>b>c (B)b>c>a (C)b>a>c (D)a>c>b解:若a>b,则a 2+c 2>b 2+c 2≥2bc 不合条件,排除(A),(D);又由a 2-c 2=2bc-2c 2=2c(b-c),故a-c 与b-c 同号,排除(B);且当b>a>c 时,a 2+c 2=2bc 有可能成立,例如取(a,b,c)=(3,5,1),故选(C).7.(2004年全国高中数学联赛天津初赛试题)若0<a<b,且a+b=1,则下列各式中最大的是( )(A)-1 (B)log 2a+log 2b+1 (C)log 2b (D)log 2(a 3+a 2b+ab 2+b 3) 解:由0<a<b,且a+b=1⇒0<a<21<b<1,ab<41⇒log 2a+log 2b+1=log 2(ab)+1>-2+1=-1,log 2b>-1,log 2a+log 2b+1<-1+log 2b+1 =log 2b;log 2(a 3+a 2b+ab 2+b 3)=log 2[(a+b)(a 2+b 2)]=log 2(a 2+b 2),a 2+b 2-b=a 2-b(1-b)=a 2-ab=a(a-b)<0⇒log 2(a 2+b 2)<log 2b.选(C).8.(2005年全国高中数学联赛湖南初赛试题)当a 、b 是两个不相等的正数时,下列不等式中,不成立的是( ) (A)(a+a 1)(b+b1)>(ab +ab1)2(B)(a+a 1)(b+b 1)>(2b a ++b a +2)2(C)2233b a b a ++>b a b a ++22 (D)b a b a --22>2233ba b a --解:选(B).4.解不等式[例4]:(2001年全国高中数学联赛试题)不等式|x 21log 1+2|>23的解集为 . [解析]:|x 21log 1+2|>23⇔|x 2log 1-2|>23⇔x 2log 1<21,或x 2log 1>27⇔log 2x<0,或log 2x>2,或0<log 2x<72⇔x ∈(0,1)∪(1,722)∪(4,+∞).[类题]:1.(1998年全国高中数学联赛试题)设命题P:关于x 的不等式a 1x 2+b 1x+c 1>0与a 2x 2+b 2x+c 2>0的解集相同;命题Q:21a a =21b b = 21c c .则命题Q( ) (A)是命题P 的充分必要条件 (B)是命题P 的充分条件但不是必要条件(C)是命题P 的必要条件但不是充分条件 (D)既不是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件 2.⑴(1989年全国高中数学联赛试题)若log a 2<1,则a 的取值范围是___________.⑵(1995年第六届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)如果log a 43<1,那么a 的取值范围是 ,4 Y.P .M 数学竞赛讲座⑶(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若log a53<1,则a 的取值范围是___________. ⑷(1994年第五届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)若log a (2-a 2)<1,则实数a 的取值范围是 . 3.⑴(2004年全国高中数学联赛四川初赛试题)不等式|x 2－2|≤2x+1的解集为_________.⑵(2003年全国高中数学联赛试题)不等式|x|3－2x 2－4|x|+3<0的解集是____________.⑶(2005年全国高中数学联赛山东初赛试题)不等式|1log 131+x |>31的解集是 .⑷(1995年第六届希望杯全国数学邀请赛(高一)试题)若a>0,a ≠1,且|log a 2|>log a+12,则a 的取值范围是 .4.⑴(1995年第六届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)不等式x2log 1+>1–log 2x 的解是 .⑵(2006年全国高中数学联赛试题)设log x (2x 2+x-1)>log x 2-1,则x 的取值范围为 .⑶(2004年全国高中数学联赛试题)不等式1log 2-x+21321log x +2>0的解集为 . 4.(2007年全国高中数学联赛江苏初赛试题)关于x 的不等式x 2−ax −20a 2<0任意两个解的差不超过9,则a 的最大值与最小值的和是 .5.(2007年全国高中数学联赛天津初赛试题)定义区间(c,d),[c,d),(c,d],[c,d]的长度均为d-c,其中d>c.已知实数a>b,则满足bx a x -+-11≥1的x 构成的区间的长度之和为 . 6.(1996年第七届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)若)lg(2lg x a ax+<1的解为(1,2,则a 的取值范围是 . 7.(2008年全国高中数学联赛试题)解不等式log 2(x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1)>1+log 2(x 4+1).[解法一]:由1+log 2(x 4+1)=log 2(2x 4+2),且y=log 2x 在(0,+∞)上为增函数,故原不等式等价于x 12+3x 10+5x 8+3x 6-2x 4-1>0,分组分解:(x 12+x 10-x 8)+(2x 10+2x 8-2x 6)+(4x 8+4x 6-4x 4)+(x 6+x 4-x 2)+(x 4+x 2-1)>0⇔(x 8+2x 6+4x 4+x 2+1)(x 4+x 2-1)>0⇔x 4+x 2-1>0. [解法二]:x 12+3x 10+5x 8+3x 6+1>2x 4+2⇔x 6+3x 4+5x 2+3>22x+61x⇔x 6+3x 4+3x 2+1+2x 2+2>22x+61x⇔(x 2+1)3+2(x 2+1)>(21x)3+2(21x),令g(t)=t 3+2t,g(t)在R 上为增函数,则不等式为g(21x)<g(x 2+1)⇔21x<x 2+1.。

第12讲 线性规划【知识梳理】1. 二元一次不等式(组)表示平面区域 (1) 区域的判定：给定点()00,P x y 和直线:0l Ax By C ++=： ①点P 在直线l 上000Ax By C ⇔++= ②点P 不在直线l 上000Ax By C ⇔++≠③若000Ax By C ++>(或000Ax By C ++<),则对直线l 含P 点一侧内的任意点(),x y ,都有0Ax By C >＋＋(或0Ax By C <＋＋),对直线l 另一侧内的任意点(),x y ,都有0Ax By C <＋＋(或0Ax By C >＋＋)，同侧同号，异侧异号④已知直线:0l Ax By C ++=及()()111222,,,P x y P x y ，则直线l 与线段12PP有公共点 ()()11220Ax By C Ax By C ⇔++++≤(2) 区域画法：画线定界，取点定域，含界画实，不含画虚.2.线性规划中的基本概念名 称 意 义约 束 条 件 变量x y ，满足的一组条件线性约束条件 由x y ，的二元一次不等式(或方程)组成的不等式组 目 标 函 数 欲求最大值或最小值所涉及的变量x y ，的解析式 线性目标函数 目标函数是关于x y ，的二元一次解析式 可 行 解 满足线性约束条件的点 可 行 域 所有可行解组成的集合最 优 解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题3．用图解法解决线性目标函数的最优解问题的一般步骤(1)画：根据线性约束条件，在直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把线性目标函数看成直线系，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是所需要的点．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值和最小值．点拨：画可行域时，要特别注意可行域各边的斜率与目标函数直线的斜率的大小关系，以便准确判断最优解．4．最优解的确定方法：想目标函数的几何意义，如：斜率、截距、距离等. (1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是最优解． (2)利用围成可行域的直线的斜率来判断．【典例精析】例1. 已知[]220,1,4x y x --=∈，则(1)yu x=的取值范围是 ； (2) 233y v x +=-的取值范围是(3) 2z x y =+的取值范围是(4) 224t x y y =+-的取值范围是 .例2.求下列函数的值域：(1) []223,0,12x x y x x -+=∈+； (2) []lg 1,1,104x y x x +=∈-；例3．设,x y 满足约束条件1340,0x y a a x y ⎧+≤⎪⎨⎪≥≥⎩，若231x y z x ++=+的最小值为32，求a 的值．例4．某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品,A B ，该研究所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排．通过调查，有关数据如下表：产品A (每件) 产品B (每件)研制成本、搭载费用之和(万元) 20 30 计划最大资金额300万元产品重量(千克) 10 5 最大搭载重量110千克 预计收益(万元) 80 60试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？例5. 已知不等式组5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域为M ．例6.已知)0,,(1)(2>∈++=a R b a bx ax x f ，方程x x f =)(的两个实根为21,x x .且4221<<<x x .（1）若函数)(x f 图象的对称轴为0x x =，求证：01x >-； (2) 求()2f -的取值范围。

第九章 不等式一、基础知识不等式的基本性质：（1）a>b ⇔a-b>0； （2）a>b, b>c ⇒a>c ； （3）a>b ⇒a+c>b+c ； （4）a>b, c>0⇒ac>bc ；（5）a>b, c<0⇒ac<bc; （6）a>b>0, c>d>0⇒ac>bd; （7）a>b>0, n ∈N +⇒a n>b n; （8）a>b>0, n ∈N +⇒n nb a >;（9）a>0, |x|<a ⇔-a<x<a, |x|>a ⇔x>a 或x<-a; （10）a, b ∈R ，则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; （11）a, b ∈R ，则(a-b)2≥0⇔a 2+b 2≥2ab;（12）x, y, z ∈R +，则x+y ≥2xy , x+y+z .33xyz ≥ 前五条是显然的，以下从第六条开始给出证明。

（6）因为a>b>0, c>d>0，所以ac>bc, bc>bd ，所以ac>bd ；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若n n b a ≤，由性质（7）得n n n n b a )()(≤，即a ≤b ，与a>b 矛盾，所以假设不成立，所以n n b a >；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|≤a ≤|a|, -|b|≤b ≤|b|，所以-(|a|+|b|)≤a+b ≤|a|+|b|，所以|a+b|≤|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|，所以|a|-|b|≤|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-22)(y x xy -=≥0，所以x+y ≥xy 2，当且仅当x=y 时，等号成立，再证另一不等式，令c z b y a x ===333,,，因为x 3+b 3+c 3-3abc =(a+b)3+c 3-3a 2b-3ab 2-3abc =(a+b)3+c 3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c 2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-b c-ca)=21(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0，所以a 3+b 3+c 3≥3abc ，即x+y+z ≥33xyz ，等号当且仅当x=y=z 时成立。

数列中的不等式例1.已知)(1562+∈+=N n n n a n ，则}{n a 中的最大项是 。

例2.正数数列}{n a 满足0122=+-n n n S a a ，求证1+>n n a a 。

例3.已知数列}{n a 中，n n S n a ，)1(0≥>是其前n项和且满足n n n n n a c N n a a S +=∈-+=+11)(4321412，，且前n 项和记为T n ，证明61<n T 。

例4.已知函数f(x)=x+22a x - (a>0)（1）求f(x)的反函数f －1(x)及其定义域；（2）数列{a n }满足⎩⎨⎧==-+)(3111n n a f a a a 设b n =a a a a n n +- ，数列{b n }的前n 项和为S n ，试比较S n 与87的大小，并证明你的结论。

例5. 数列{a n }中，a 1=8，a 4=2且满足a n+2=2a n+1－a n n ∈N（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设S n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |，求S n ;（3）设b n =)12(1n a n -( n ∈N),T n =b 1+b 2+…+b n ( n ∈N)，是否存在最大的整数m ，使得对任意n ∈N,均有T n >32m成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。

例6. 已知函数f(x)=122+++-x x n x x (n ∈N)的最小值为a n ，最大值为b n ，且c n =4n(1+3a n b n )。

（1）求数列{c n }的通项公式；（2）求证：23－11+n <n k 1=∑k c 1<2－n1(n ≥2)。

例7. 已知α为锐角，且12tan -=α，函数)42sin(2tan )(2παα+⋅+=x x x f ，数列{a n }的首项)(,2111n n a f a a ==+. ⑴ 求函数)(x f 的表达式； ⑵ 求证：n n a a >+1；⑶ 求证：),2(21111111*21N n n a a a n∈≥<++++++<例8. 已知数列{}n a 满足()111,21n n a a a n N *+==+∈（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足n n b n b b b b a )1(44441111321+=---- ，证明：{}n a 是等差数列；（Ⅲ）证明：()23111123n n N a a a *++++<∈例9. 已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<,()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111,(1)22n n b b n b +=≥+, *n N ∈.求证:（Ⅰ）101;n n a a +<<<（Ⅱ）21;2n n a a +<（Ⅲ）若12a =则当n ≥2时,!n n b a n >⋅.例10. 已知函数f(x)=52168xx+-，设正项数列{}n a 满足1a =l ，()1n n a f a +=．(1)写出2a 、3a 的值; (2)试比较n a 与54的大小，并说明理由；(3)设数列{}n b 满足n b =54－n a ，记S n =1ni i b =∑．证明：当n ≥2时,S n ＜14(2n －1)．例11. 在平面直角坐标系中，已知三个点列{A n }，{B n }，{C n }，其中),(),,(n n n n b n B a n A )0,1(-n C n ，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点（B n ）在方向向量为（1，6）的线上.,11a b a a -==（1）试用a 与n 表示)2(≥n a n ；（2）若a 6与a 7两项中至少有一项是a n 的最小值，试求a 的取值范围。

（一）不等式1． (排序不等式）设,...21n a a a ≤≤≤ n b b b ≤≤≤...21 n j j j ,...,,21是n ,...,2,1的一个排列，则..........221121112121n n j n j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n +++≤+++≤+++-2．(均值不等式) 设n a a a ,......,,21是n 个正数，则na a a n +++...21....21nn a a a ≥3．（柯西不等式）设),...2,1(,n i R b a i i =∈则.)())((211212i ni i ni ini i b a ba ∑∑∑===≥等号成立当且仅当存在R ∈λ，使得),...,2,1(n i a b i i ==λ.从历史角度看，柯西不等式又可称柯西--布理可夫斯基-席瓦兹不等式变形：（1）设+∈∈R b R a i i ,则.)()(11212∑∑∑===≥ni i ni i ni ii b a b a （2）设i i b a ,同号，且 ,0,≠i i b a 则.)()(1121∑∑∑===≥ni i i ni i ni iib a a b a4．（J e n se n 不等式）若)(xf 是),(b a 上的凸函数，则对任意),(,...,,21b a x x x n ∈)].(...)()([1)...(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≤+++5．（幂均值不等式）设α)(0+∈>>R a i β 则 .)...()...(121121βββββαααααM na a a n a a a M nn =+++≥+++=证： 作变换 令i i x a =β，则β1i i x a = 则.)...()...(12121βαβαβαβαβαnx x x x x x n M M n n +++≥+++⇔≥ 因 0>>βα 所以 ,1>βα则函数βαx x f =)(是),0(+∞上的凸函数，应用Jensen 不等式即得。

数列不等式知识点在数学中，不等式是一种比较数值大小关系的表示方法。

而数列不等式则是指涉及数列的不等式问题。

1. 数列的定义数列是由按照一定规律排列的一系列数所组成的集合。

数列通常用{a₀, a₁, a₂, a₃, ...}来表示，其中a₀, a₁, a₂, a₃, ...是数列的项。

数列可以是有穷的，也可以是无穷的。

2. 数列不等式的基本概念数列不等式是指涉及数列的不等式问题。

其基本概念包括以下几点：- 第n项：数列中的第n个数，记作aₙ。

- 通项公式：数列中第n项的计算公式，记作aₙ = f(n)。

- 收敛：数列的项随着n的增大逐渐趋近于一个确定的数，称为收敛数列。

- 发散：数列的项没有趋近于一个确定的数，称为发散数列。

3. 数列不等式的解法解数列不等式的关键是找到数列的通项公式。

根据不等式的性质，我们可以采用以下几种方法求解数列不等式：- 猜想法：根据数列的观察和猜想，推导出数列的通项公式，然后通过数学推导求解不等式。

- 数学归纳法：通过数学归纳法证明数列不等式的正确性。

- 数列性质法：利用数列的性质和特点，推导出数列的通项公式，并进一步求解不等式。

4. 数列不等式的常见形式数列不等式有多种常见形式，包括以下几个方面：- 随机数列不等式：数列的项之间没有明确的规律，需要通过观察和推导来解决。

- 递推数列不等式：数列的项之间存在递推关系，可以通过递推公式和递推关系求解。

- 斐波那契数列：斐波那契数列是一种特殊的数列，每一项都是前两项的和，可用于解决一些特殊的数列不等式问题。

5. 数列不等式的应用数列不等式在数学中有着广泛的应用。

一些典型的应用包括：- 研究数列的收敛性和发散性。

- 证明数列的性质和特征。

- 解决数学中的一些优化问题，如求最大值、最小值等。

- 解决一些实际问题，如经济学中的消费模型、物理学中的运动模型等。

总之，数列不等式是数学中一个重要的研究方向，通过解决数列不等式可以培养我们的思维能力和数学分析能力。

数列与不等式例数列：满足(Ⅰ) 设，求证是等比数列；(Ⅱ) 求数列的通项公式;（Ⅲ）设,数列的前项和为,求证:（Ⅲ）=又例已知数列中，，前项和为（I）证明数列是等差数列，并求出数列的通项公式；（II）设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值。

例．等差数列{a n}的各项均为正整数，a1＝3，前n项和为S n，等比数列{b n}中，b1＝1，且b2S2＝64，{ba n}是公比为64的等比数列．(1)求a n与b n；(2)证明：＋＋…＋<.解析：(1)设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d为正整数，有a n ＝3＋(n－1)d，b n＝q n－1，依题意有，①由(6＋d)q＝64和q为正有理数，又由q＝2知，d为6的因子1,2,3,6之一，解①得d＝2，q＝8，故a n＝3＋2(n－1)＝2n＋1，b n＝8n－1.(2)由(1)知S n＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，所以＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝(1－＋－＋－＋…＋－)＝(1＋－－)<.例已知数列,,（Ⅰ）求数列的通项公式（Ⅱ）当时,求证:（Ⅲ）若函数满足：求证：解:（3）证明：又例二次函数（1）求并求的解析式；（2）若求数列并求（3）若求符合最小自然数n．例已知数列中，，前项和为（I）证明数列是等差数列，并求出数列的通项公式；（II）设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值。

例设数列的前项和为，。

（1）求证：数列为等差数列，并分别求出、的表达式；（2）设数列的前n项和为，求证：；（3）是否存在自然数n,使得？若存在，求出n的值；若不存在,请说明理由。

又易知单调递增，故，得(3)由得=由，得n=1005,即存在满足条件的自然数n=1005.例设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。

（I）求数列的通项公式；（II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；（III）设数列的前项和为。