全国数学竞赛预赛试题
分类：数列
IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
2014数学预赛试题分类：数列
天津3．等比数列{n a }的前n 项和为n S ，并且对任意正整数n 成立243n n S S +=+，则2a 的值是（）
(A)．2(B)．6(C)．2或6(D)．2或-6
天津9．数列｛n a ｝满足11,2n n n a a a n +-=+≥．若78a =，则1210a a a +++等于． 河北11、设{n a }是等差数列，且满足：①n a ∈N *，②项数≥3，③d>0，记{n a }所有项的和为S.
（1）写出满足S=30的所有{n a }；
（2）求证：对大于8的合数m ，总存在{n a }使得S=m. 河北14、数列{n a }满足：2
11,11
1-=
=+n n a a a 。 （1）求证：3
2≥
n a ； （2）求证：27
102<
-n n a a . 山西1、将正整数数列1，2，3，…按如下方式自左至右分段，使得第一段有1×2
个数，第二段有2×3个数，…，第n 段有n ×(n+1)个数，…，则2014位于第段。
山西10、数列{n a }，{n b }满足条件：n n n n n n b a b b a a b a +=+===++1111,2,1；证
明：对每个正整数n ，下式成立：（1）
2,2221212><--n
n n n b a
b a ； （2）
2211-<-++n
n n n b a
b a 辽宁5．正项数列{}n a 满足
*1212
111
1()n n n n n n n a a a a a a ++++++=∈N ，136a a +=，1a ，2a ，3a 单调递增且成等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和，则[]2014S 的值是（其中表示不超过实数的最大整数）（） A ．5368B ．5367C ．5363D ．5362
辽宁15．（本小题满分25分）
已知数列{}n a 中，12a =，对于任意的*,p q ∈N ，有p q p q a a a +=+． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足1
3124234(1)21212121
21
n n n n
b b b b b
a -=
-+-++-+++++*
()n ∈N ，求数列{}n b 的通项公式；
（3）设*
3()n n n C b n λ=+∈N ，是否存在实数λ，当*n ∈N 时，1n n C C +>恒成
立，若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．
吉林5、若五项的数列{n a }：54321,,,,a a a a a 满足543210a a a a a <<<<≤，且对任意的i ，j
（1≤i ≤j ≤5），均有i j a a -在该数列中。
①1a =0；②254a a =；③{n a }为等差数列；④集合A={j i a a +1≤i ≤j ≤5}含9个元素。
则上述论断正确的有（）个。A 、1B 、2C 、3D 、4 山东6、已知数列{n a }满足：)1()1(1112
2≥+++
=n n n a n ，且其前n 项和为n S ，则n S 的最大整数部分为。
山东14、数列{n a }中，)3(,,12
1
1321≥+====--+n a a a k a m a a a n n n n ，其中k 、m 均为正
整数且
（k ，m ）=1.问k 为何值时，对任意的n ∈N ，a n 均为整数？
福建11．已知{}
n
a为递增的等比数列，且
12
6
a a
+=，
34
24
a a
+=。
2
(1)
n
n
n
a
b
a
=
-
，数列{}n b的前n项和为n T，求证：对一切正整数n均有，
3
n
T<。
江西1．如果2014是一个正整数等差数列的第八项，那么该数列首项的最小值是．江西6．等差数列{}n a，{}n b的前n项和分别为n S，n T，若对任意的正整数n都有53
21
n
n
S n
T n
-
=
+
，则20
7
a
b
=．
河南4、等差数列{
n
a}满足10
2
10
2
1
≤
+a
a，则
19
11
10
...a
a
a
S+
+
+
=的取值范围是。河南12、递增数列1，3，4，9，10，12，13，…由一些正整数组成，它们或者是3的幂或者是若干个不同的3的幂的和，求第2014项的值。
湖北1.已知正整数数列}
{
n
a满足
n
n
n
a
a
a+
=
+
+1
2
，∈
n*N．若157
11
=
a，则
1
a=.
湖北6.去掉集合{|10000,
A n n n
=≤∈*N}中所有的完全平方数和完全立方数后，将剩下的元素按从小到大的顺序排成一个数列，这个数列的第2014项为.
湖北13.在单调递增数列}
{n a中，
1
2
a=，
2
4
a=，且
1
2
2
1
2
,
,
+
-n
n
n
a
a
a成等差数列，2
2
1
2
2
,
,
+
+n
n
n
a
a
a成等比数列，
,3,2,1
=
n．
（1）求数列}
{
n
a的通项公式；
（2）设数列}
1
{
n
a
的前n项和为
n
S，证明：
4
3(3)
n
n
S
n
>
+
，*
n∈N．
四川3、已知公差为d的等差数列}
{
n
a满足：d>0，
正整数n，都有，则公差d的取值范围是（）
