高中数学 第五章《数列》数学竞赛讲义 苏教版

第二章 数列【本章引入】毕达哥拉斯和他的学派在数学上有很多创造，尤其对整 数的变化规律感兴趣.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经 常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子或用 一些小棍来表示数.他们研究过的三角形数1，3，6，10，…和 正方形数1，4，9，16，… .这些数列各有什么特点呢?如何运 用这些数列的特点来解决有关实际生活中的问题呢?本章我们将一起来学习两种特殊的数列---等差数列和等比数列. 【综合解说】等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n 项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视. 数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点.2.1 数列情景导入学校在操场的正前方准备建造一个看台,现该看台的座 位是这样排列的：第一排有100个座位,从第二排起每一排 都比前一排多20个座位，你能用公式表示第n 排的座位数吗？ 第20排能坐多少个人？ 知识技能详解知识点1：数列的概念1、数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列(sequsnce of number)． (1)数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同， 那么它们就是不同的数列；(2)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 2.数列的项：数列中的每一个数叫做数列的项(term)(1)数列中的第i 项用序号表示，序号为 i 对应的项为第i 项，记作：i a ,第一项记为1a ； (2)“项”与“项数”是不同概念：“项数”是该数列的所有项的个数; (3)数列的第n 项一般简记为n a a .3．数列的分类（1）根据数列的项数的多少分有穷数列:如数列1,2,3,4,5,6是有穷数列；无穷数列:如数列1,2,3,4,5,6,……是无穷数列。

2.1 数列1．数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．2．数列的表示数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }，其中a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项)，a 2称为第2项，…，a n 称为第n 项．思考1：数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？ [提示] 不是，顺序不一样．思考2：数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？[提示] 数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性．3．数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集{1,2，…，k })为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．数列可以用通项公式来描述，也可以通过列表或图象来表示．思考3：数列的通项公式a n ＝f (n )与函数解析式y ＝f (x )有什么异同？[提示] 如图，数列可以看成以正整数集N *(或它的有限子集{1,2，…，n })为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n 必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．1．数列3,4,5,6，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝n ＋1 C ．a n ＝n ＋2D ．a n ＝2nC [经验证可知，它的一个通项公式为a n ＝n ＋2.] 2．600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的第________项． 24 [a n ＝n (n ＋1)＝600＝24×25，所以n ＝24.]3．数列{a n }满足a n ＝log 2(n 2＋3)－2，则log 23是这个数列的第________项． 3 [令a n ＝log 2(n 2＋3)－2＝log 23， 解得n ＝3.]4．数列1,2, 7，10，13，…中的第26项为________． 219 [因为a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，所以a n ＝3n －2，所以a 26＝3×26－2＝76＝219.]【例1(1)12，2，92，8，252，…； (2)9,99,999,9 999，…；(3)22－11，32－23，42－35，52－47，…；(4)－11×2，12×3，－13×4，14×5，….思路探究：观察―→归纳a n 与n 的关系―→验证结论―→ 得出答案[解] (1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n 22(n ∈N *)．(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，….此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为a n ＝10n －1(n ∈N *)．(3)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，可用2n －1表示；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，可用(n ＋1)2表示，分子的后一部分是减去一个自然数，可用n 表示，综上，原数列的通项公式为a n ＝(n ＋1)2－n 2n －1(n ∈N *)．(4)这个数列的前4项的绝对值都等于项数与项数加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是a n ＝(－1)n1n (n ＋1)(n ∈N *)．用观察法求数列的通项公式的一般规律 (1)一般数列通项公式的求法(2)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)k处理符号问题． (3)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等．1．写出下列数列的一个通项公式． (1)3,5,9,17,33，…； (2)12，34，78，1516，3132，…； (3)23，－1，107，－179，2611，－3713，…. [解] (1)中3可看做21＋1,5可看做22＋1,9可看做23＋1,17可看做24＋1,33可看做25＋1，….所以a n ＝2n＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列为21,22,23,24，…，所以a n ＝2n－12n .(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)n ＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律第1,2两项可分别改写为12＋12＋1，－22＋12×2＋1，所以a n ＝(－1)n ＋1n 2＋12n ＋1.【例2】 n n (1)写出数列的前3项；(2)判断45是否为{a n }中的项？3是否为{a n }中的项？ 思路探究：(1)令n ＝1,2,3求解即可； (2)令a n ＝45或a n ＝3解n 便可．[解] (1)在通项公式中依次取n ＝1,2,3，可得{a n }的前3项分别为：1,6,15. (2)令2n 2－n ＝45，得2n 2－n －45＝0， 解得n ＝5或n ＝－92(舍去)，故45是数列{a n }中的第5项． 令2n 2－n ＝3，得2n 2－n －3＝0，解得n ＝－1或n ＝32，即方程没有正整数解，故3不是数列中的项．1．如果已知数列的通项公式，只要将相应项数代入通项公式，就可以写出数列中的指定项．2．判断某数是否为数列中的一项，步骤如下： (1)将所给的数代入通项公式中； (2)解关于n 的方程；(3)若n 为正整数，说明所给的数是该数列的项；若n 不是正整数，则不是该数列的项． 提醒：数列项的取值为正的自然数，是离散的，解题时要关注n 的取值特点．2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n2(n ∈N *)．(1)0和1是不是数列{a n }中的项？如果是，那么是第几项？(2)数列{a n }中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？[解] (1)令a n ＝0，得n 2－21n ＝0，∴n ＝21或n ＝0(舍去)，∴0是数列{a n }中的第21项．令a n ＝1，得n 2－21n2＝1，而该方程无正整数解， ∴1不是数列{a n }中的项．(2)假设存在连续且相等的两项为a n ，a n ＋1， 则有a n ＝a n ＋1， 即n 2－21n 2＝(n ＋1)2－21(n ＋1)2，解得n ＝10，所以存在连续且相等的两项，它们分别是第10项和第11项．[探究问题]1．数列是特殊的函数，能否利用函数求最值的方法求数列的最大(小)项？[提示] 可以借助函数的性质求数列的最大(小)项，但要注意函数与数列的差异，数列{a n }中，n ∈N *.2．如何定义数列{a n }的单调性？[提示] 对于数列的单调性的判断一般要通过比较a n ＋1与a n 的大小来判断，若a n ＋1>a n ，则数列为递增数列，若a n ＋1<a n ，则数列为递减数列．【例3】 设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋kn (n ∈N *)．数列{a n }是单调递增的，求实数k 的取值范围．思路探究：利用二次函数的单调性，求得k 的取值范围． [解] ∵a n ＝n 2＋kn ，其图象的对称轴为n ＝－k2，∴当－k2≤1，即k ≥－2时，{a n }是单调递增数列．另外，当1<－k2<2且⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2－1<2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，即－3<k <－2时，{a n }也是单调递增数列(如图所示)． ∴k 的取值范围是(－3，＋∞)．1．(变结论)求本例中k ＝－13时数列{a n }的最小项．[解] 由题意知n 2－13n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n －1322－1694，由于函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1322－1694在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，132上是减函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫132，＋∞上是增函数，故当n＝6或7时，f (n )＝n 2－13n 取得最小值－42.所以数列{a n }的最小项为a 6＝a 7＝－42.2．(变条件)本例中“单调递增”改为“单调递减”，那么这样的实数k 是否存在？如果存在，求实数k 的范围，若不存在说明理由．[解] 要使{a n }是单调递减数列， 必须a n >a n ＋1恒成立，即n 2＋kn >(n ＋1)2＋k (n ＋1)对任意n ∈N *恒成立． 整理得k <－2n －1对任意n ∈N *恒成立， 因为f (n )＝－2n －1(n ∈N *)没有最小值， 故不存在实数k 使a n ＝n 2＋kn 单调递减．1．函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调．2．求数列的最大(小)项，还可以通过研究数列的单调性求解，一般地，若⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ＋1≤a n ，则a n 为最大项；若⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ＋1≥a n ，则a n 为最小项．1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的． (2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且也与这些数的排列次序有关． 2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14，3.141，…，它没有通项公式．根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．1．判断正误(1)数列1,1,1，…是无穷数列．( )(2)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列．( ) (3)有些数列没有通项公式．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√[提示] (1)正确．每项都为1的常数列，有无穷多项．(2)错误．虽然都是由1,2,3,4四个数构成的数列，但是两个数列中后两个数顺序不同，不是同一个数列．(3)正确．某些数列的第n 项a n 和n 之间可以建立一个函数关系式，这个数列就有通项公式，否则，不能建立一个函数关系式，这个数列就没有通项公式．2．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x 等于( ) A ．11 B ．12 C ．13D ．14C [观察可知该数列从第3项开始每一项都等于它前面相邻两项的和，故x ＝5＋8＝13.] 3．已知数列2，10，4，…，2(3n －1)，…，则8是该数列的第________项． 11 [令2(3n －1)＝8，得n ＝11.]4．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1. (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内． [解] 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1 ＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1.(1)令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明：∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，∴0<33n ＋1<1，∴0<a n <1.即数列中的各项都在区间(0,1)内．。

等差（比）数列的基本运算【例１】n１４（１）求数列{a n}的通项公式；（２）若a３，a５分别为等差数列{b n}的第３项和第５项，试求数列{b n}的通项公式及前n项和S n. [解] （１）设{a n}的公比为q，由已知得１6＝２q３，解得q＝２，∴a n＝２×２n—１＝２n.（２）由（１）得a３＝8，a５＝３２，则b３＝8，b５＝３２．设{b n}的公差为d，则有错误!解得错误!所以b n＝—１6＋１２（n—１）＝１２n—２8．所以数列{b n}的前n项和S n＝错误!＝6n２—２２n.在等差数列和等比数列的通项公式a n与前n项和公式S n中，共涉及五个量：a１，a n，n，d或q，S n，其中a１和d或q为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a１，d q，a n，S n，n 的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差比数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用.１．已知等差数列{a n}的公差d＝１，前n项和为S n.（１）若１，a１，a３成等比数列，求a１；（２）若S５>a１a9，求a１的取值范围．[解] （１）因为数列{a n}的公差d＝１，且１，a１，a３成等比数列，所以a错误!＝１×（a１＋２），即a错误!—a１—２＝0，解得a１＝—１或a１＝２．（２）因为数列{a n}的公差d＝１，且S５>a１a9，所以５a１＋１0>a错误!＋8a１，即a错误!＋３a１—１0<0，解得—５<a１<２．求数列的通项公式【例２】n n n n（２）数列{a n}的前n项和为S n且a１＝１，a n＋１＝错误!S n，求a n.思路探究：（１）已知S n求a n时，应分n＝１与n≥２讨论；（２）在已知式中既有S n又有a n时，应转化为S n或a n形式求解．[解] （１）当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝３＋２n—（３＋２n—１）＝２n—１，当n＝１时，a１＝S１＝５不适合上式．∴a n＝错误!（２）∵S n＝３a n＋１，１∴n≥２时，S n—１＝３a n. ２１—２得S n—S n—１＝３a n＋１—３a n，∴３a n＋１＝４a n，∴错误!＝错误!，又a２＝错误!S１＝错误!a１＝错误!.∴n≥２时，a n＝错误!·错误!错误!，不适合n＝１．∴a n＝错误!数列通项公式的求法１定义法，即直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适用于已知数列类型的题目.２已知S n求a n.若已知数列的前n项和S n与a n的关系，求数列{a n}的通项a n可用公式,求解.３累加或累乘法,形如a n—a n—１＝f n n≥２的递推式，可用累加法求通项公式；形如错误!＝f n n≥２的递推式，可用累乘法求通项公式.２．设数列{a n}是首项为１的正项数列，且a n＋１—a n＋a n＋１·a n＝0（n∈N*），求{a n}的通项公式．[解] ∵a n＋１—a n＋a n＋１·a n＝0，∴错误!—错误!＝１．又错误!＝１，∴错误!是首项为１，公差为１的等差数列．故错误!＝n.∴a n＝错误!.等差（比）数列的判定【例３】数列{n n１n＋１n*（１）设b n＝a n＋１—２a n，求证：{b n}是等比数列；（２）设c n＝错误!，求证：{c n}是等差数列．思路探究：分别利用等比数列与等差数列的定义进行证明．[证明] （１）a n＋２＝S n＋２—S n＋１＝４a n＋１＋２—４a n—２＝４a n＋１—４a n.错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝２．因为S２＝a１＋a２＝４a１＋２，所以a２＝５．所以b１＝a２—２a１＝３．所以数列{b n}是首项为３，公比为２的等比数列．（２）由（１）知b n＝３·２n—１＝a n＋１—２a n，所以错误!—错误!＝３．所以c n＋１—c n＝３，且c１＝错误!＝２，所以数列{c n}是等差数列，公差为３，首项为２．等差数列、等比数列的判定方法１定义法：a n＋１—a n＝d常数⇔{a n}是等差数列；错误!＝q q为常数，q≠0⇔{a n}是等比数列.２中项公式法：２a n＋１＝a n＋a n＋２⇔{a n}是等差数列；a\o\al（２,n＋１）＝a n·a n＋２a n≠0⇔{a n}是等比数列.３通项公式法：a n＝kn＋b k，b是常数⇔{a n}是等差数列；a n＝c·q n c，q为非零常数⇔{a n}是等比数列.４前n项和公式法：S n＝An２＋Bn A，B为常数，n∈N*⇔{a n}是等差数列；S n＝Aq n—A A，q为常数，且A≠0，q≠0，q≠１，n∈N*⇔{a n}是等比数列.提醒：１前两种方法是判定等差、等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定.２若要判定一个数列不是等差比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等差比即可.３．数列{a n}的前n项和为S n，若a n＋S n＝n，c n＝a n—１．求证：数列{c n}是等比数列．[证明] 当n＝１时，a１＝S１.由a n＋S n＝n，１得a１＋S１＝１，即２a１＝１，解得a１＝错误!.又a n＋１＋S n＋１＝n＋１，２２—１得a n＋１—a n＋（S n＋１—S n）＝１，即２a n＋１—a n＝１，３因为c n＝a n—１，所以a n＝c n＋１，a n＋１＝c n＋１＋１，代入３式，得２（c n＋１＋１）—（c n＋１）＝１，整理得２c n＋１＝c n，故错误!＝错误!（常数）．所以数列{c n}是一个首项c１＝a１—１＝—错误!，公比为错误!的等比数列.数列求和[探究问题]１．若数列{c n}是公差为d的等差数列，数列{b n}是公比为q（q≠１）的等比数列，且a n＝c n＋b n，如何求数列{a n}的前n项和？[提示] 数列{a n}的前n项和等于数列{c n}和{b n}的前n项和的和．２．有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和．试用此种方法求和：１２—２２＋３２—４２＋…＋99２—１00２.[提示] １２—２２＋３２—４２＋…＋99２—１00２＝（１２—２２）＋（３２—４２）＋…＋（99２—１00２）＝（１—２）（１＋２）＋（３—４）（３＋４）＋…＋（99—１00）（99＋１00）＝—（１＋２＋３＋４＋…＋99＋１00）＝—５0５0．３．我们知道错误!＝错误!—错误!，试用此公式求和：错误!＋错误!＋…＋错误!.[提示] 由错误!＝错误!—错误!得错误!＋错误!＋…＋错误!＝１—错误!＋错误!—错误!＋…＋错误!—错误!＝１—错误!＝错误!.【例４】已知数列{a n}的前n项和S n＝kc n—k（其中c、k为常数），且a２＝４，a6＝8a３.（１）求a n；（２）求数列{na n}的前n项和T n.思路探究：（１）已知S n，据a n与S n的关系a n＝错误!确定a n；（２）若{a n}为等比数列，则{na n}是由等差数列和等比数列的对应项的积构成的新数列，可用错位相减法求和．[解] （１）当n≥２时，a n＝S n—S n—１＝k（c n—c n—１），则a6＝k（c6—c５），a３＝k（c３—c２），错误!＝错误!＝c３＝8，∴c＝２．∵a２＝４，即k（c２—c１）＝４，解得k＝２，∴a n＝２n.当n＝１时，a１＝S１＝２．综上所述，a n＝２n（n∈N*）．（２）na n＝n·２n，则T n＝２＋２·２２＋３·２３＋…＋n·２n，２T n＝１·２２＋２·２３＋３·２４＋…＋（n—１）·２n＋n·２n＋１，两式作差得—T n＝２＋２２＋２３＋…＋２n—n·２n＋１，T n＝２＋（n—１）·２n＋１.１．（变结论）例题中的条件不变，（２）中“求数列{na n}的前n项和T n”变为“求数列{n＋a n}的前n项和T n”．[解] 由题知T n＝１＋２＋２＋２２＋３＋２３＋…＋n＋２n＝（１＋２＋３＋…＋n）＋（２＋２２＋…＋２n）＝错误!＋错误!＝２n＋１—２＋错误!.２．（变结论）例题中的条件不变，将（２）中“求数列{na n}的前n项和T n”变为“求数列错误!的前n项和T n”．[解] 由题知T n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!，１错误!T n＝错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!，２１—２得：错误!T n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!—错误!＝错误!—错误!＝１—错误!n—错误!，∴T n＝２—错误!—错误!＝２—错误!＝２—错误!.数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解．一般常见的求和方法有：（１）公式法：利用等差数列或等比数列前n项和公式．（２）分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．（３）裂项（相消）法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．（４）错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．（５）倒序相加法：例如，等差数列前n项和公式的推导．。

11数列一、数列的基础知识1．数列{a n }的通项a n 与前n 项的和S n 的关系它包括两个方面的问题：一是已知S n 求a n ，二是已知a n 求S n ；2．递推数列，解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联系，设法转化为等差数列与等比数列的有关问题，然后解决。

常见类型：类型Ⅰ：⎩⎨⎧=≠+=+为常数）a a a n p n q a n p a n n ()0)(()()(11（一阶递归） 其特例为：（1）)0(1≠+=+p q pa a n n （2）)0()(1≠+=+p n q pa a n n（3）)0()(1≠+=+p q a n p a n n解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。

类型Ⅱ：⎩⎨⎧==≠≠+=++为常数）b a b a a a q p qa pa a n n n ,(,)0,0(2112（二阶递归） 解题方法:利用特征方程x 2=px+q ,求其根α、β,构造a n =Aαn +Bβn ，代入初始值求得B A ,。

类型Ⅲ：a n+1=f (a n )其中函数f (x )为基本初等函数复合而成。

解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。

二、等差数列与等比数列1．定义：2．通项公式与前n 项和公式：函数的思想：等差数列可以看作是一个一次函数型的函数；等比数列可以看作是一个指数函数型的函数。

可以利用函数的思想、观点和方法分析解决有关数列的问题。

三．等差数列与等比数列数列问题的综合性和灵活性如何表现？数列问题的综合性主要表现在1．数列中各相关量的关系较为复杂、隐蔽．2．同一问题中出现有若干个相关数列，既有等差或等比数列，也有非等差，非等比的数列，需相互联系，相互转换．数列问题的灵活性表现在：1．需灵活应用递推公式，通项公式，求和公式，寻求已知与所求的关系，减少中间量计算．2．需灵活选用辅助数列，处理相关数列的关系．例题讲解1．已知(b －c )log m x +(c －a )log m y +(a －b )log m z ＝0 ①(1) 若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差不为0，求证x 、y 、z 成等比数列；(2) 若x 、y 、z 依次成等比数列，且公比不为1，求证a 、b 、c 成等差数列．2. 数列｛a n ｝的 前 n 项 和S n ＝a · 2n + b （n ∈N ），则｛a n ｝为等比数列的充要条件是________．3.设等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若S7＝56，S n＝420，a n－3＝34，则n＝________．4. 等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求S135. 各项均为实数的等比数列{an}的前n项之和为S n，若S10=10，S30=70，求S40。

《数列》全章复习巩固： ：【学习目标】1．系统掌握数列的有关概念和公式；2．掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前n 项和公式，并运用这些知识解决问题； 3．了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系，能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a ；4．掌握常见的几种数列求和方法. 【知识网络】【要点梳理】要点一：数列的通项公式 数列的通项公式一个数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系，如果可以用一个公式()n a f n =来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式.要点诠释：①不是每个数列都能写出它的通项公式.如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式； ②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的.如：数列―1，1，―1，1，…的通项公式可以写成(1)nn a =-，也可以写成cos n a n π=；③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的. 通项n a 与前n 项和n S 的关系：任意数列{}n a 的前n 项和12n n S a a a =+++；11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩要点诠释：由前n 项和n S 求数列通项时，要分三步进行： （1）求11a S =，（2）求出当n≥2时的n a ，（3）如果令n≥2时得出的n a 中的n=1时有11a S =成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式.数列的递推式：如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项n a 与它的前一项1n a -或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式.要点诠释：利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值，可用凑配法、换元法等. 要点二：等差数列判定一个数列为等差数列的常用方法①定义法：1n n a a d +-=（常数）⇔{}n a 是等差数列； ②中项公式法：122(*){}n n n n a a a n N a ++=+∈⇔是等差数列； ③通项公式法：n a pn q =+（p ，q 为常数）⇔{}n a 是等差数列；④前n 项和公式法：2n S An Bn =+（A ，B 为常数）⇔{}n a 是等差数列.要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性. 等差数列的有关性质：（1）通项公式的推广：+(n m n m a a =－）d（2）若*()m n p q m n p q N +=+∈、、、，则m n p q a a a a +=+；特别，若2m n p +=，则2m n p a a a +=（3）等差数列{}n a 中，若*m n p m n p N ∈、、（、、）成等差数列，则m n p a a a 、、成等差数列.（4）公差为d 的等差数列中，连续k 项和232,,k k k k k S S S S S --，… 组成新的等差数列. （5）等差数列{}n a ，前n 项和为n S①当n 为奇数时，12n n S n a +=⋅；12n S S a +-=奇偶；11S n S n +=-奇偶； ②当n 为偶数时，122()2n nn a a S n ++=⋅；12S S dn -=偶奇；212nn a S S a +=奇偶.（6）等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，则m n m nS S S m n m n+-=-+（m 、n ∈N*，且m≠n ）. （7）等差数列{}n a 中，若m+n=p+q （m 、n 、p 、q ∈N*，且m≠n ，p≠q ），则p qm n S S S S m n p q--=--.（8）等差数列{}n a 中，公差d ，依次每k 项和：k S ，2k k S S -，32k k S S -成等差数列，新公差2'd k d =.等差数列前n 项和n S 的最值问题： 等差数列{}n a 中① 若a 1＞0，d ＜0，n S 有最大值，可由不等式组10n n a a +≥⎧⎨≤⎩来确定n ；② 若a 1＜0，d ＞0，n S 有最小值，可由不等式组100n n a a +≤⎧⎨≥⎩来确定n ，也可由前n 项和公式21()22n d dS n a n =+-来确定n. 要点诠释：等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法. 要点三 ：等比数列判定一个数列是等比数列的常用方法 （1）定义法：1n na q a +=（q 是不为0的常数，n ∈N*）{}n a ⇔是等比数列； （2）通项公式法：nn a cq =（c 、q 均是不为0的常数n ∈N*）{}n a ⇔是等比数列； （3）中项公式法：212n n n a a a ++=⋅（120n n n a a a ++⋅⋅≠，*n N ∈）{}n a ⇔是等比数列.等比数列的主要性质：（1）通项公式的推广：n mn m a a q -=（2）若*()m n p q m n p q N +=+∈、、、，则m n p q a a a a ⋅=⋅.特别，若2m n p +=，则2m n p a a a ⋅=（4）等比数列{}n a 中，若*m n p m n p N ∈、、（、、）成等差数列，则m n p a a a 、、成等比数列. （5）公比为q 的等比数列中，连续k 项和232,,k k k k k S S S S S --，… 组成新的等比数列. （6）等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，当n 为偶数时，S S q =偶奇.（7）等比数列{}n a 中，公比为q ，依次每k 项和：k S ，2k k S S -，32k k S S -…成公比为q k 的等比数列.（8）若{}n a 为正项等比数列，则{log }a n a （a ＞0且a≠1）为等差数列；反之，若{}n a 为等差数列，则{}n aa （a ＞0且a≠1）为等比数列.（9）等比数列{}n a 前n 项积为n V ，则(1)21(*)n n nn V a q n N -=∈等比数列的通项公式与函数：11n n a a q -=①方程观点：知二求一； ②函数观点：111n nn a a a qq q-==⋅ 01q q >≠且时，是关于n 的指数型函数；1q = 时，是常数函数；要点诠释：当1q >时，若10a >，等比数列{}n a 是递增数列；若10a <，等比数列{}n a 是递减数列； 当01q <<时，若10a >，等比数列{}n a 是递减数列；若10a <，等比数列{}n a 是递增数列； 当0q <时，等比数列{}n a 是摆动数列； 当1q =时，等比数列{}n a 是非零常数列. 要点四：常见的数列求和方法 公式法：如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前n 项和公式求和.分组求和法：将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和.如：a n =2n+3n .裂项相消求和法：把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式.若1()()n a An B An C =++，分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式,则)11(1))((1C An B An B C C An B An a n +-+-=++=，如a n = 1(1)n n +111n n =-+ 错位相减求和法：通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式：n n n c b a ⋅=, 其中 {}n b 是公差d≠0等差数列，{}n c 是公比q≠1等比数列，如a n =(2n-1)2n .一般步骤：n n n n n c b c b c b c b S ++⋯++=--112211，则 1211n n n n n qS b c b c b c -+=+⋯⋯++所以有13211)()1(+-⋯⋯+++=-n n n n c b d c c c c b S q要点诠释：求和中观察数列的类型，选择合适的变形手段，注意错位相减中变形的要点. 要点五：数列应用问题数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.建立数学模型的一般方法步骤.①认真审题，准确理解题意，达到如下要求： ⑴明确问题属于哪类应用问题； ⑵弄清题目中的主要已知事项； ⑶明确所求的结论是什么.②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.要点诠释：数列的建模过程是解决数列应用题的重点，要正确理解题意，恰当设出数列的基本量. 【典型例题】类型一：数列的概念与通项 例1．写出数列：15-，103，517-，267，……的一个通项公式. 【思路点拨】从各项符号看，负正相间，可用符号(1)n-表示；数列各项的分子：1，3，5，7，……是个奇数列，可用21n -表示；数列各项的分母：5，10，17，26，……恰是221+,231+, 241+,251+,…可用2(1)1n ++表示；【解析】通项公式为：221(1)(1)1nn n a n -=-++. 【总结升华】①求数列的通项公式就是求数列中第n 项与项数n 之间的数学关系式.如果把数列的第1，2，3，…项分别记作(1)f ，(2)f ，(3)f ，…，那么求数列的通项公式就是求以正整数n (项数)为自变量的函数()f n 的表达式；②通项公式若不要求写多种形式，一般只写出一个常见的公式即可；③给出数列的构造为分式时，可从各项的符号、分子、分母三方面去分析归纳，还可联想常见数列的通项公式，以此参照进行比较.举一反三：【变式】根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想其通项公式： （1）113,21+==+n n a a a ； (2)111,2+==-n na a a a ； 【答案】（1）12343,7,15,31a a a a ====， 猜想得121n n a +=-； (2)a 1=a,a 2=a -21,a 3=a a 232--,a 4=a a 3423--， 猜想得a n =an n an n )1()2()1(-----；类型二：等差、等比数列概念及其性质例2.已知等差数列{}n a ，公差0d ≠，{}n a 中部分项组成的数列1k a ，2k a ，3k a ，…，n k a ，…恰为等比数列，且知11k =,25k =,317k =.（1）求n k ；（2）证明: 12...31nn k k k n +++=--.【解析】依题意:11k a a =，2514k a a a d ==+，317116k a a a d ==+.∵1k a ，2k a ，3k a 为等比数列，∴2111(4)(16)a d a a d +=+，解得12a d =.∴等比数列{}n k a 的首项112k a a d ==，公比511143a a d q a a +===， ∴11123n n n k k a a qd --=⋅=⋅又n k a 在等差数列{}n a 中是第n k 项， ∴1(1)(1)n k n n a a k d k d =+-=+ ∴1(1)23n n k n a k d d -=+=⋅（0d ≠）， 解得1231n n k -=⋅-.（2）12...n k k k +++11211(231)(231)...(231)n ---=⋅-+⋅-++⋅-0112(33...3)31n nn n -=+++-=--【总结升华】题目中已经给出了是等差数列和等比数列，所以应用等差等比数列的定义来求解即可.举一反三：【数列综合381084 例1】【变式1】已知两个等比数列{}n a ，{}n b ，满足1(0)a a a =>，111b a -=，222b a -=，333b a -=.（1）若1a =，求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 唯一，求a 的值.【答案】（1）1(2n n a -=或1(2n n a -=-（2）13a =例3． 如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32：27，求公差.【解析】设等差数列首项为1a ，公差为d ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=+⇒=⋅⨯⨯+⋅⨯⨯++=⋅⨯⨯+520253546612273225621625621)(635411122112111111d a d a d a da d d a d a 【总结升华】1. 恰当地选择设未知数，列方程（组）求解.方程思想在数列中很重要.2. 等差（比）数列的首项和公差（比）是关键. 举一反三：【数列综合381084 例2】【变式】在数列{}n a 中，121,2a a ==，11(1)n n n a q a qa +-=+-(2,0)n q ≥≠（1）设*1()n n n b a a n N +=-∈，证明{}n b 是等比数列.(2) 求数列{}n a 的通项公式.(3) 若3a 是6a 与9a 的等差中项，求q 的值；并证明：对任意的*n N ∈，n a 是3n a +与6n a +的等差中项.【答案】（1）利用定义证明1n n b qb -=（2）1,111,11n n nq a q q q -=⎧⎪=-⎨+≠⎪-⎩（3）证明1q =时，n a n =不合题意1q ≠时，111,1n n q a q--=+- 由3a 是6a 与9a 的等差中项可求32q =- 又2521361122211221111n n n n n n q q q q a a q q q q+++-++--+-+=+++=+=+----112(1)21n n q a q--=+=-即n a 是3n a +与6n a +的等差中项. 类型三：n a 与n S 的关系式的综合运用例4. 在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ≥1)，则a n ＝________.【思路点拨】n a 与n S 的关系式的综合运用，如果已知条件是关于n a 、n S 的关系式(,)0n n f a S =，可利用n ≥2时1n n n a S S -=-，将条件转化为仅含n a 或n S 的关系式。