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递推考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 递推关系式是描述序列中项与项之间关系的数学表达式，以下哪个选项不是递推关系式的特点？A. 递推关系式描述了序列中项与项之间的关系B. 递推关系式可以是线性的，也可以是非线性的C. 递推关系式只能用于描述有限序列D. 递推关系式可以包含序列中的前几项答案：C2. 在递推关系式中，如果一个序列的每一项都依赖于前一项或几项，这种关系被称为：A. 线性递推关系B. 非线性递推关系C. 直接递推关系D. 间接递推关系答案：A3. 以下哪个选项是递推关系式的基本组成部分？A. 初始条件B. 序列的项C. 递推公式D. 所有以上选项答案：D4. 在递推关系式中，如果一个序列的第n项只依赖于第n-1项，这种关系被称为：A. 一阶线性递推关系B. 二阶线性递推关系C. 三阶线性递推关系D. 四阶线性递推关系答案：A5. 递推关系式中的初始条件是指：A. 序列的第一项B. 序列的前几项C. 序列的任意一项D. 序列的最后一项答案：B二、填空题（每题2分，共10分）6. 递推关系式可以表示为：\(a_n = f(a_{n-1}, a_{n-2}, ..., a_{n-k})\)，其中\(k\)是序列的________。
答案：阶数7. 斐波那契数列是一个经典的递推关系式的例子，其递推公式为：\(F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\)，其中\(F_1 = 1\)，\(F_2 = 1\)，这是一个________阶线性递推关系。
答案：二8. 如果一个递推关系式可以表示为：\(a_n = c_1a_{n-1} +c_2a_{n-2} + ... + c_ka_{n-k}\)，其中\(c_1, c_2, ..., c_k\)是常数，那么这个递推关系式被称为________递推关系。
答案：线性9. 递推关系式中的初始条件是解决递推关系式问题时必须给定的，它包括序列的前________项。
归纳递推与逆推一只青蛙在井底，每天白天爬上4米，晚上又滑下3米，这井有90米深。
那么爬上这口井的上面一共需要多少天？1. 1.一个数是20,现在先加30,再减20,再加30 ,再减20,反复这样操作,如果每加、减一次算两次操作，请问至少经过______次操作结果是500?2. 2.有一类自然数，其数码只能是2或者3，并且没有两个3是相邻的。
请问：满足这些条件的10位数共有______个？3. 3.有一个圆，其上有两个点将圆周分成两半，并且这两个点上写有数字1，我们进行一下的操作，第1步将两段圆弧对分，在这两个分点上写上相邻的两点上的数字之和，如此继续下去，问：第6步后，圆周上所有的点的数的和是______？有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或者两级，问：要登上第十级台阶有多少种不同的走法？1. 1.从学校到少年宫有4条东西的马路和3条南北的马路相通，李楠从学校出发，步行到少年宫，学校在东南方而少年宫在西北方，走的路径最短的不同的走法有______种？2. 2.根据各个数之间的关系，在括号内填上一个恰当的数1，2，6，24，（），720；1，2，4，7，11，16，（）。
（分别回答以上两道题目，中间用一个空格隔开）3. 3.在2×8的棋盘每个格编号。
现在用8张1×2的长方形卡片去覆盖棋盘。
问：有多少种方法将棋盘完全盖住？一串数1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，……称为帕多瓦数列，请问这个数列第14个数和第18个数分别是什么？1. 1.已知用一根线段能将一个矩形分成两部分，现在问：8条线段最多能将一个矩形分成______段？2. 2.仅由字母XY组成的长度为n的“单词”恰好有2^n个（因为每个位置都有2个选择），设这些单词中至少有两个X相连的有an个，比如XXYY，YXXX，XXXY等。
现在问a10=______3. 3.从边长为1的小正方形开始，以这个正方形的对角线为边做第二个正方形，再以第二个正方形的对角线做第三个正方形，如此下去，那么，第11个正方形的边长是_____？六年级六个班组织乒乓球单打比赛，每班派甲、乙两人参赛，根据规则每两人之间至多赛一场，且同班的两人之间不进行比赛。
§3.3递推法解题基础知识对于某些与自然数有关的问题，我们有时可以用递推法解决，扎谓用递推法解题，就是根据题目的特点，构造出递推关系解题的一种方法，解决问题的关键在于构造递推关系。
递推关系一般可以用归纳、猜想等途径获得。
利用递推法解题的一般步骤为：(1)确定初始值；(2)建立递推关系；(3)利用递推关系求通项。
递推方法是人们从开始认识数量关系时就很自然地产生的一种推理思想.例如自然数中最小的数是1，比1大1的数是2，接下来比2大1的数是3，…由此得到了自然数数列：1，2，3，4，5，….在这里实际上就有了一个递推公式，假设第n个数为a n，则a n+1=a n+1; 即由自然数中第n个数加上1，就是第n+1个数。
由此可得a n＋2=a n＋1＋1，这样就可以得到自然数数列中任何一个数.再看一个例子：平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？解：假设用a k表示k条直线最多能把圆的内部分成的部分数.这里k＝0，1，2，….a0＝1a1=a0+1＝2a2=a1＋2=4a3=a2＋3=7a4=a3+4＝11…归纳出递推公式a n＋1＝a n+n. （1）即画第n＋1条直线时，最多增加n部分.原因是这样的：第一条直线最多把圆分成两部分，故a1＝2.当画第二条直线时要想把圆内部分割的部分尽可能多，就应和第一条直线在圆内相交，交点把第二条直线在圆内部分分成两条线段，而每条线段又把原来的一个区域划分成两个区域，因而增加的区域数是2，正好等于第二条直线的序号.同理，当画第三条直线时，要想把圆内部分割的部分数尽可能多，它就应和前两条直线在圆内各有一个交点.两个交点把第三条线在圆内部分成三条线段.而每条线段又把原来一个区域划分成两个区域.因而增加的区域部分数是3，正好等于第三条直线的序号，….这个道理适用于任意多条直线的情形.所以递推公式（1）是正确的.这样就易求得5条直线最多把圆内分成：a5=a4+5＝11=5＝16（部分）。
高中数学竞赛数列问题一、高考数列知识及方法应用(见考纲)二、二阶高次递推关系1. 因式分解降次。
例：正项数列｛an｝,满足2尻=“”+1,求an (化异为同后高次)2. 两边取对数降次。
例：正项数列｛a」，a.=1,且a n• a n.2 = 36,求a.三、线性递推数列的特征方程法定理仁若数列｛a」的递推关系为a/gi+g 则设特征方程xjx+入2, 且此方程有相异两根Xf, X2(Xi=^=x2),则必有a“二CtxJ+czX?",其中6 , C2由此数列已知前2项解得,即“1 =5工1 +C2X2(I2 =C]X] +©2*2■或由严产勺+勺得到。
(见训练及考试题)51 =C l X l+C2X2定理2:若方程xJ心X+入2有相等重根X。
，则有a n= (Ci+c2n) x o n,其中Ci, c?仍由定理1方程组解得。
例如.：1,已知.数列｛«…｝满足终=勺=1，%2 ="”科+"“(*”+),求数列｛«…｝的通项公式2, •数列仏｝中,设勺=坷=1卫3=2,且％科=+%'心(nN 3),求数列「你2｛"”｝的通项公式t“7a n + J45«； -363, •数列｛〜｝满圧：5=1,终田= ——zN・2证明：(1)对任意n e N,a n为正整数；(2)求数列仗”｝的通项公式。
4, 已知.数列仏｝满足4 = 1,他=2,九e N*都有a,/ = -4a n,求数列仏｝的通项公式四、特殊递推的不动点法(f (x)二x的解称为f (x)的不动点)定理仁若数列｛%｝满足递推：a n>,=a • a…+b (a, bGR),则设x二ax+b,得不动点x。
=一且数列递推化为：a卄厂X。
二a (a n-x0),a — i进而用构造法解得。
定理2:若数列｛a n ｝满足递推:则设X = ax + ^ 9得不动点Xi, x 2,cx+d若X1*X 2,则原递推化为：=巴二±1£(仝匚乞)，再由构造勺小_兀2 “_兀2°法解得。
数列递推公式练习1、数列,9910,638,356,154,32中第8项是 （ ） A. 19514 B. 25516 C. 32318 D. 39920 2、已知数列{}n a 满足()n n n n a a a 111-+=--且11=a ，则=35a a （ ） A. 1516 B. 34 C. 158 D. 38 3、数列{}n a 中，已知()*1221,2,1N n a a a a a n n n ∈-===++，则=2002a （ ） A. 1 B. 1- C. 2- D. 24、已知()*1133,21N n a a a a n n n ∈+==+，则=n a （ ） A. 52+n B. 42+n C. 53+n D. 43+n 5、数列{}n a 满足341+=-n n a a 且01=a ，则此数列第5项是 （ ）A. 15B. 255C. 16D. 636、数列{}n a 中，02,311=-=+n n a a a ，数列{}n b 的通项n b 满足关系式()()*1N n b a n n n ∈-=，则=n b 。
7、设数列{}n a 满足11=a ，()1111>+=-n a a n n ，写出这个数列的前5项。
8、设数列{}n a 满足51=a ，n n a a 31=+，写出这个数列的前5项并归纳猜想通项公式。
9、数列{}n a 中，nn n a a a a a +==+12,11，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写出数列的一个通项公式。
10、设数列{}n a 满足11=a ，13321++=-+n n a a n n ，写出这个数列的前5项并归纳通项公式。
11、已知数列{}n a 满足q pa a a n n +==+11,1，且15,342==a a ，求q p ,的值。
参考答案：1、 B2、 B3、 B4、 C5、B6、12131-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-=n n a7、58,35,23,2,154321=====a a a a a 8、405,135,45,154321====a a a a 135-⨯=n n a9、aa a a aa a aa a a 718314122321+=+=+== ()a a a n n n 121211-+=-- 10、125,64,27,8,154321=====a a a a a 3n a n =11、解：由已知可得q pa a +=12，即3=+q p ()q pq a p q q pa p q pa a ++=++=+=22234 即1532=++q pq p 联立方程组⎩⎨⎧=++=+15332q pq p q p 解得⎩⎨⎧=-=63q p 或⎩⎨⎧==12q p。
行测：数字推理递推数列行测：数字推理递推数列第一节递推数列综合介绍基本定义：所谓递推数列，是指数列中从某一项开始，其每项都是通过它前面的项经过一定的运算得到。
基本类型：差、商、和、方、积、倍六种，包括基本型与修正型。
一、递推差数列【例1】（黑龙江2007-7）25，15，10， 5， 5，（）。
A. -5B. 0C. 5D. 10［答案］B［解析］递推差数列：前两项之差等于第三项。
［特征］整体递减，相邻三项构成明显差关系。
【例2】97，53，29，15，9，5，1，（）。
A. 1B. 2C. 3D. 4［答案］C［解析］递推差数列：第一项减去第二项，再减去第三项，等于第四项。
［特征］整体递减，相邻四项构成明显差关系。
另外：当数列较长时，优先考虑“三项递推”。
【例3】22，14，9，6，4，3，（）。
A. 2B. 4C. 6D. 8［答案］A［解析］递推差修正数列：第一项减去第二项，再加1，等于第三项。
［特征］整体递减，相邻三项构成较明显差关系。
二、递推商数列【例4】（北京应届2007-5）9，6，32，4，（）。
A. 2B. 34C. 3D. 38［答案］D［解析］递推商数列：前两项之商等于第三项。
［特征］整体递减，相邻三项构成明显商关系。
【例5】780,60,12,4,2,1,（）。
A. -1B. 0C. 1D. 2［答案］C［解析］递推商修正数列：第一项除以第二项，再减1，等于第三项。
［特征］整体递减，相邻三项构成较明显商关系。
三、递推和数列【例6】（陕西2008-5）11,22,33,55,（）。
A. 77B. 66C. 88D. 99［答案］C［解析］递推和数列：前两项之和等于第三项。
［特征］整体递增，增长平缓，相邻三项构成明显和关系。
【例7】2,2,3,7,12,22,41,（）。
A. 56B. 68C. 75D. 84［答案］C［解析］递推和数列：前三项之和等于第四项。
［特征］整体递增，增长平缓，相邻四项构成明显和关系。
构建新数列巧解递推数列竞赛题递推数列是国内外数学竞赛命题的“热点”之一，由于题目灵活多变，答题难度较大。
本文利用构建新数列的统一方法解答此类问题，基本思路是根据题设提供的信息，构建新的数列，建立新数列与原数列对应项之间的关系，然后通过研究新数列达到问题解决之目的。
其中，怎样构造新数列是答题关键。
1 求通项求通项是递推数列竞赛题的常见题型，这类问题可通过构建新数列进行代换，使递推关系式简化，这样就把原数列变形转化为等差数列、等比数列和线性数列等容易处理的数列，使问题由难变易，所用的即换元和化归的思想。
例1、数列{}n a 中，11=a ，()n n n a a a 241411611+++=+。
求n a 。
（1981年第22届IMO 预选题）分析 本题的难点是已知递推关系式中的n a 241+较难处理，可构建新数列{}n b ，令n n a b 241+=，这样就巧妙地去掉了根式，便于化简变形。
解：构建新数列{}n b ，使0241>+=n n a b则 51=b ，n na b 2412+= ，即2412-=n n b a∴ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯+=-+n n n b b b 24141161241221 化简得 ()()22132+=+n n b b∴ 321+=+n n b b ，即 ()32131-=-+n n b b数列 {}3-n b 是以2为首项，21为公比的等比数列。
n n n b --=⎪⎭⎫⎝⎛⨯=-2122123 即 322+=-n n b∴ 121122231232241---⨯+⨯+=-=n n n n n b a 2 证明不等式这类题一般先通过构建新数列求出通项，然后证明不等式或者对递推关系式先进行巧妙变形后再构建新数列，然后根据已经简化的新数列满足的关系式证明不等式。
例2、设10=a ，12111---+=n n n a a a ()N n ∈，求证：22+>n n a π。
（1990年匈牙利数学奥林匹克试题）分析 利用待证的不等式中含有π及递推关系式中含有211-+n a 这两个信息，考虑进行三角代换，构建新数列{}n α，使n n tg a α=，化简递推关系式。
证明：易知0>n a ，构建新数列{}n α，使n n tg a α=，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0παn则 2sin cos 111111112-----=-=-+=n n n n n n tg tg tg a ααααα∴ 21-=n n tg tg αα，21-=n n αα又 10=a ，8121πtg a =-= ，从而 81πα=因此，新数列{}n α是以8π为首项，21为公比的等比数列。
212821+-=⋅⎪⎭⎫⎝⎛=n n n ππα考虑到当)2,0(π∈x 时，有 x tgx >。
所以，2222++>=n n n tg a ππ注：对型如 21n a ±，n a ±1，111++±n n nn a a a a 都可采用三角代换。
3 证明是整数这类题把递推数列与数论知识结合在一起，我们可以根据题目中的信息，构建新数列，找到新的递推关系式直接解决，或者再进行转化，结合数论知识解决。
例3、设数列{}n a 满足11=a ，nn n a a a 1211+=+ )(N n ∈ 求证：N a n∈-222 ()1,>∈n N n 。
（《中学数学教学参考》2001年第8期第53页，高中数学竞赛模拟试题） 分析 直接令222-=nn a b ，转化为证明N b n ∈ )1,(>∈n N n证明：构建新数列{}n b ，令0222>-=nn a b则 2422+=nnb a ，242121+=++n n b a 代入 221121⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+n n n a a a 整理得()222124n n n b b b +=+从而 ()2121224--+=n n n b b b )3(≥n于是 ()[]()[]2212121*********+=++=---+n n n n n n b b b b b b )3(≥n∴ ()12211+=-+n n n b b b )3(≥n由已知，42=b ，243=b ，由上式可知，N b ∈4，N b ∈5，依次类推，N b n ∈ )1(>n ，即N a n∈-222。
例4、设r 为正整数，定义数列{}n a 如下： 11=a ，2)1(221+++=+n n na a rn n)(N n ∈ 求证：N a n ∈。
（1992年中国台北数学奥林匹克试题）分析 把条件变形为()()rn n n na a n 21122++=++比较1+n a 与 n a 前的系数及1+n a 与 n a 的足码，考虑到另一项为()rn 212+，等式两边同乘以()1+n ，容易想到构新数列{}n b ，使()n n a n n b 1+=。
证明：由已知得()()rn n n na a n 21122++=++∴ ()()()()12112121+++++=++r n n n a n n a n n构建新数列{}n b ，()n n a n n b 1+= 则21=b ，()12112+++=-r n n n b b∴()∑-=+-+=1111n k k k n b b b b()1212123212+++++++=r r r n∴ N b n ∈ []∑-=+++-++=11121212)(2n k r r r n k n k nb()∑-=+-++++⋅+-+-+=112212212212211212122n k rr r r r r r r r k n C k n C k n C n n∴ n b n又 ()[]∑∑∑=++==++-++=-++=nk r r nk nk r r n k n k k n kb 112121112121)1(()()()()[]∑=+++++++-++⋅+-+=nk rr r r r rr r kn C k n C k n C n 122122122122112121111 ∴ ()1+n | n b∴ ()1+n n | n b ，从而 N a n ∈。
4 解决整除问题一般通过构建新数列求出通项，再结合数论知识解决，也可用数学归纳法直接证明。
例5、设数列{}n a 满足11=a ，32=a ，对一切N n ∈，有()()n n n a n a n a 2312+-+=++，求所有被11整除的n a 的一切n 值。
（1990年巴尔干地区数学奥林匹克试题）分析 变形递推关系式为()()n n n n a a n a a -+=-+++1122，就容易想到怎样构建新数列了。
解：由已知()()n n n n a a n a a -+=-+++1122 构建新数列{}(),2≥n b n n n n a a b -=++11 ()1≥n 则22=b ，()()()n n n n b n a a n b 1111+=-+=-+ ()2≥n∴ ()()!311221n b n n b n n nb b n n n =-==-==-- ()2≥n ∴ ()∑∑∑===-=+=-+=nk nk k nk n n n k b a a a a 12211!1从而3114⨯=a ，4203118⨯=a ，3670831110⨯=a ，当11≥n 时，由于∑=101!k k 被11整除，因而∑∑==+=nk k n k k a 11101!!也被11整除。
所以，所求n 值为4=n ，8，及10≥n 的一切自然数。
5 证明是完全平方数这类题初看似乎难以入手，但如能通过构建新数列求出通项n a ，问题也就迎刃而解了。
例6、设数列{}n a 和{}n b 满足10=a ，00=b ，且⎩⎨⎧-+=-+=++47836711n n n n n n b a b b a a () ,2,1,0=n求证：n a 是完全平方数。
（2000年全国高中联赛加试题）分析 先用代入法消去n b 和1+n b ，得061412=++-++n n n a a a ，如果等式中没有常数项6，就可以利用特征根方法求通项，因此可令a a C n n +=，易求得21-=a 。
证明：由①式得n b ，1+n b 代入②得061412=++-++n n n a a a化为021********=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-++n n n a a a构建新数列{}n c ，21-=n n a c ，且210=c ， ()2721367210011=--+=-=b a a c①②()01412=+-++n n n c c c由特征方程 01142=+-λλ 得两根3471+=λ，3472-=λ所以 n nn m m c 2211λλ+=当0=n ，1时，有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+21347347212121m m m m解得：4121==m m 则 ()()n n n c 3474134741-++=()()n n 2232413241-++=则()()232324121⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=+=n n n n c a 因为()()nn 3232-++ 为正偶数，所以，n a 是完全平方数。
从上述各题构建新数列的过程中，可以看出对题设中递推式的观察、分析，并据其结构特点进行合理变形，是成功构建新数列的关键。
构建新数列的目的是为了化繁为简、化未知为已知、化不熟悉为熟悉，这也是解答数学问题的共性之所在。
