中学数学解题研究试卷及答案

绵阳南山中学校高2022级10月月考数学试卷一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1. 已知集合{}2340A x x x =--£，{}22B x x =-<<，则A B Ç=Rð（）A. {}12x x -<< B. {}12x x -££ C. {}24x x << D. {}24x x ££【答案】D 【解析】【分析】求出集合A ，利用补集和交集的定义可求得集合A B ÇR ð.【详解】因为{}{}234014A x x x x x =--£=-££，{}22B x x =-<<，则{2B x x =£-R ð或}2x ³，故{}24A B x x Ç=££R ð.故选：D.2. 下列函数是偶函数的是（ ）A. ())lnf x x= B. ()1ln 1x f x x x +=-C. ()tan f x x = D. ()121x f x =-【答案】B 【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义判断各选项即可.【详解】对于A ，函数定义域为R ，())ln x f x =--，所以()()))lnlnln10f x f x x x +-=++-==，则()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数；对于B ，函数定义域为()(),11,-¥-È+¥，()()111ln ln ln 111x x x f x x x x f x x x x -+-+-=-=-==--+-，所以函数()f x 为偶函数；对于C ，正切函数()tan f x x =为奇函数；对于D ，函数定义域为()(),00,-¥+¥U ，()()122112xx xf x f x --==¹--，所以()f x 不为偶函数.故选：B.3. 由一组样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y L 得到经验回归方程ˆˆˆy bx a =+，那么下列说法正确的是（）A. 若相关系数r 越小，则两组变量的相关性越弱B. 若ˆb越大，则两组变量的相关性越强C. 经验回归方程ˆˆˆy bx a =+至少经过样本数据()()()1122,,,,,,...n n x y x y x y 中的一个D. 在经验回归方程ˆˆˆy bx a =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，相应的观测值y 约增加ˆb个单位【答案】D 【解析】【分析】根据相关系数的含义可判断AB ；根据回归直线的含义可判断CD ；【详解】对于A ，若相关系数r 越小，则两组变量的相关性越弱，A 错误；对于B ，若r 越大，则两组变量的相关性越强，ˆb是回归直线的斜率，它不反应两变量的相关性强弱，B 错误；对于C ，经验回归方程ˆˆˆy bx a =+不一定经过样本数据()()()1122,,,,,,...n n x y x y x y 中的一个，C 错误；对于D ，在经验回归方程ˆˆˆy bx a =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，若ˆ0b>，相应的观测值y 约增加ˆb 个单位；若ˆ0b <，相应的观测值y 约增加ˆb -个单位；故当解释变量x 每增加1个单位时，相应的观测值y 约增加ˆb个单位，正确，故选：D4. 在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且cos cos a B b A b +=，则ABC V 一定是（ ）A. 等腰三角形 B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 直角三角形【答案】A 【解析】【分析】由题意根据正弦定理及和差公式可得sin()sin A B B +=，由πA B C ++=及诱导公式可得sin sin C B =，结合,B C 为三角形的内角可得B C =，即可得结果.【详解】cos cos a B b A b +=，由正弦定理得sin cos sin cos sin A B B A B +=，则sin()sin A B B +=，又πA B C ++=，可得sin sin C B =，,B C Q 为三角形的内角，B C \=，所以ABC V 一定是等腰三角形.故选：A .5. 函数()()()cos 0,0f x A x A w j j =+>>的图象如下，则其解析式可能是（）A. ()2π2cos 23f x x æö=-ç÷èø B. ()π2cos 23f x x æö=-ç÷èøC. ()π2cos 23f x x æö=+ç÷èøD. ()2π2cos 23f x x æö=+ç÷èø【答案】A 【解析】【分析】结合图象可知()π01,26f f æö=--=-ç÷èø，由此可判断BCD 不可能，结合函数周期说明A 中图象可能正确，即可得答案.【详解】结合题意以及各选项可知A 可为2，结合图象可知()π01,26f f æö=--=-ç÷èø，则对于B ，()π02cos 13f æö=-=ç÷èø，由此可判断B 中解析式不可能；对于C ，()π02cos13f ==，由此可判断C 中解析式不可能；对于D ，c ππ632π2os 13f --æöæö=+=ç÷ç÷èøèø，由此可判断D 中解析式不可能；对于 A ，由于π12ππ,,034646T w w >\´>\<<，即w 可取2；由2cos 1j =-，则2π2π,Z 3k k j =±+Î，由于0j >，可取4πj =3，此时()4π4π2π2cos 22cos 22π2cos 2333f x x x x æöæöæö=+=+-=-ç÷ç÷ç÷èøèøèø，A 可能，故选：A6. 研究发现一种鸟类迁徙的飞行速度v （单位：m/s ）与其耗氧量Q 之间的关系式为：113log 10Q v a b =+（其中,a b 是实数），据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m /s .大西洋鲑鱼逆流而上时其游速为v （单位：m/s ），耗氧量单位数为2Q ，统计发现：2v 与23log 100Q 成正比.当21m/s v =时，2900Q =.若这种鸟类与鲑鱼的速度1v 与2v 相同时，则1Q 与2Q 的关系是（ ）A. 2219Q Q = B. 2129Q Q = C. 2213Q Q = D. 2123Q Q =【答案】B 【解析】【分析】根据题意求出,a b ，可得1131log 10Q v =-+，设223log 100Q v k =，由题意得12k =，2231log 2100Q v =，由12v v =得131log 10Q -+231log 2100Q =，根据对数的运算性质即可求解.【详解】由题意得3330log 01090log 110a b a b ì+=ïïíï+=ïî，解得11a b =-ìí=î，1131log 10Q v \=-+，设223log 100Q v k =，由题意得3900log 1100k =，解得12k =，2231log 2100Q v \=，又12v v =，131log 10Q \-+231log 2100Q =，则13331log log log 310Q +=，即133log log 30Q =130Q \=，即2129Q Q =.故选：B .7. 已知()()1122,,,x y x y 是函数2log y x =图象上两个不同的点，则下列4个式子中正确的是（ ）①1212222y y x x ++<；②1212222y y x x ++>；③122122log 2y y x x +<-+；④122122log 2y y x x +>-+.A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④【答案】B 【解析】【分析】求出已知两点的中点坐标及函数2log y x =的图象上纵坐标为122y y +的点，结合函数图象建立不等式，即可得解.【详解】如图所示，设()()1122,,A x y B x y ，，AB 的中点为点N 在函数2log y x =的图象上，且//MN x 轴，则121222,2y y y y N +æö+ç÷èø，由图知点N 在M 的左侧，即1212222y y x x ++>，故①错误，②正确；则121212222log log 222y y x x y y +++>=，即122122log 2y y x x +->+，即122122log 2y y xx +<-+，故③正确，④错误.故选：B.8. 设函数()()2(1)1,cos 2f x a x g x x ax =+-=+，当()1,1x Î-时，曲线()y f x =与()y g x =交点个数的情况有（ ）种.A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】设()()()h x f x g x =-，由()0h x =，得到方程21cos a x ax -=+解的个数，进而转化为21y ax a =+-与cos y x =的图象在(1,1)-上的交点个数，结合余弦函数的图象，以及二次函数的性质，分类讨论，即可求解.【详解】由函数()()2(1)1,cos 2f x a x g x x ax =+-=+，设()()()2cos 1,(1,1)h x f x g x ax x a x =-=-+-Î-，可得()()22()cos()1cos 1h x a x x a ax x a h x -=---+-=-+-=，所以函数ℎ(x )为偶函数，图象关于y 轴对称，令()0h x =，可得2cos 10ax x a -+-=，即21cos a x ax -=+，则()0h x =解的个数，即为21y ax a =+-与cos y x =的图象在(1,1)-上的交点个数，如图所示：当0a =时，1y =-，此时1y =-与cos y x =的图象在(1,1)-上没有公共点；当11a ->时，即2a >时，21y ax a =+-与cos y x =的图象在(1,1)-上有没有公共点；当11a -=时，即2a =时，21y ax a =+-与cos y x =的图象在(1,1)-上有1个公共点；当21cos1a ->且11a -<时，即cos1122a +<<时，21y ax a =+-与cos y x =的图象在(1,1)-上有2个公共点；当21cos1a -£且0a >时，即cos1102a +<£时，21y ax a =+-与cos y x =图象在(1,1)-上有没有公共点；当0a <时，此时21y ax a =+-对应的抛物线开口向下，且11a -<-，此时21y ax a =+-与cos y x =图象在(1,1)-上有没有公共点，综上可得，曲线y =f (x )与y =g (x )交点个数的情况有3种.的的故选：C.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9. 下列叙述正确的是（ ）A. 若等差数列{}n a 的公差0d >，则数列{}n a 为递增数列B. 若等比数列{}n b 的公比1q >，则数列{}n b 为递增数列C. 若2b ac =，则a 、b 、c 成等比数列D. 若21n S -是等比数列{}n c 的前21n -项和，则210n S -=无解【答案】AD 【解析】【分析】对于A ：根据等差数列的定义以及递增数列的定义分析判断；对于BC ：举反例说明即可；对于D ：分1q =和1q ¹两种情况，结合等比数列求和公式分析判断.【详解】对于A ：因为10n n a a d +-=>，可知数列{a n }为递增数列，故A 正确；对于B ：例如11,20a q =-=>，则22a =-，即21a a <，可知数列{a n }不为递增数列，故B 错误；对于C ：例如0a b c ===，满足2b ac =，但a 、b 、c 不成等比数列，故C 错误；对于D ：设等比数列{}n c 公比为q ，且10a ¹，若1q =，则()211210n S n a -=-¹；若1q ¹，则()21121101n n a q S q---=¹-；综上所述：210n S -=无解，故D正确；故选：AD.的10. 设函数，若()0f x £，则22a b +的最值情况是（ ）A. 有最大值 B. 无最大值C. 有最小值D. 无最小值【答案】BC 【解析】【分析】根据知()()10f a f b =-=，根据()0f x £可得1a b +=，再根据不等式性质可判断.【详解】根据，可知()()10f a f b =-=,根据()0f x £恒成立，则相同取值情况下(),ln y x a y x b =-+=+为异号或同时等于0，又y x a =-+在R 上递减，()ln y x b =+在(),b -+¥上递增，只需它们的零点重合，得1a b =-，即1a b +=，所以()2222211112222a b b b b æö+=-+=-+³ç÷èø，所以22a b +有最小值，没有最大值.故选：BC11. 定义在R 上的函数()f x 的导函数为()g x ，且满足下列条件:()()()()2220,222f x f x g x g x +--==--，且()11f =.则下列正确的是（ ）A. ()y g x =周期为8B. ()2y g x =图象关于()1,0对称C. ()y f x =关于()1,0-对称D.()20241i f i ==å【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，C 根据已知等式结合对称中心定义得出判断；根据已知等式求导得出()()2g x g x =--，结合已知得出函数周期判断B ；应用导函数与原函数间关系得出f (x )周期，再根据()()150f x f x +++=，计算求解判断D.【详解】对于A,B ，因为()()222g x g x =--，则()()2g x g x =--，则()()11g x g x +=--可知()g x 的图象关于(1,0)中心对称，知(2)g x 的图象关于1(,0)2中心对称，B 错误；因为()()2220f x f x +--=，则()()2f x f x =---，两边求导数可得()()2f x f x ¢¢=--，即得()()2g x g x =--，所以()()22g x g x -=---，即得()()22g x g x +=--+，所以()()4g x g x +=-，()()()84g x g x g x +=-+=，所以函数()g x 的周期为8，A 正确；对于C ，因()()2220f x f x +--=则()()2f x f x =---，所以()()11f x f x --=--+，函数()f x 关于()1,0-对称，C 正确；对于D ，因为()g x 的图象关于(1,0)中心对称，所以f (x )关于x =1对称，所以()()11f x f x -=+,又()()2f x f x =---，所以()()()131f x f x f x +=---=-，可得()()31f x f x --+=+，所以()()()()()84f x f x f x f x +=-+=--=，所以函数f (x )周期为8，因为()()130f x f x ++-+=，所以()()150f x f x +++=，所以()()()()()()()()150,260,370,480f f f f f f f f +=+=+=+=，所以()()()()()()()()()()1234202425312348f f f f f f f f f f éù+++++=+++++ëûL L ()()()()()()()()253152637480f f f f f f f f éù=+++++++=ëû，D 正确.故选：ACD ．【点睛】方法点睛：函数周期性及函数的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.）12. 若数列{}n a 的通项公式是2n a n =，且等比数列{}n b 满足2158b a b a ==，，则n b =_____.【答案】12n -【解析】【分析】设等比数列{}n b 的公比为q ，根据题意结合等比数列通项公式列式求1,b q ，即可得结果.【详解】由题意可知：21582,16b a b a ====，设等比数列{}n b 的公比为q ，则21451216b b q b b q ==ìí==î，解得112b q =ìí=î，为所以11122n n n b --=´=.故答案为：12n -.13. 设函数()()sin 0f x x w w =>，已知()()121,0f x f x ==，且12x x -的最小值为π2，则w =_____.【答案】1【解析】【分析】确定()()sin 0f x xw w =>的周期为πT w =，结合题意可得1π22T=，即可求得答案.【详解】由题意知()()sin 0f x x w w =>图象可由，()sin 0y x w w >=的图象将x 轴下方部分翻折到x 轴上方得到，故()()sin 0f x xw w =>的周期为πT w =，又()()121,0f x f x ==，则12x x -的最小值为函数周期的二分之一，即1π22T =,即1ππ,122w w ×=\=，故答案为：114. 在如下图的44´的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有1个方格被选中，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最小值是_____.8273262323376362738665263966【答案】126【解析】【分析】先按列分析，可知十位数是固定的，利用列举法写出所有个位数的可能结果，即可求解.【详解】先按列分析，每列必选出一个数，所选4个数的十位数字分别为0，2，3，6，若选中方格中的4个数之和的最小值，则需要个位数之和最小，每种选法可标记为(,,,)a b c d ，a b c d ,,,分别表示第一、二、三、四列的个位数字，则所有的可能结果为：(8,3,8,6),(8,3,9,6),(8,7,7,6),(8,7,9,3),(8,6,7,6),(8,6,8,3)，(3,7,8,6),(3,7,9,6),(3,7,2,6),(3,7,9,2),(3,6,2,6),(3,6,8,2)，(6,7,7,6),(6,7,9,3),(6,3,2,6),(6,3,9,2),(6,6,2,3),(6,6,7,2)，(5,7,7,6),(5,7,8,3),(5,3,2,6),(5,3,8,2),(5,7,2,3),(5,7,7,2)，此时最小为532616+++=，所以选中的方格中，5,23,32,66的4个数之和最小，为5233266126+++=.故答案为：126.【点睛】关键点点睛：关解决本题的关键是先确定十位数，再确定个位数，利用列举法写出所有的可能结果.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 2021年8月，义务教育阶段“双减”政策出台，某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等特色课程.为了进一步了解学生选课的情况，随机选取了400人进行调查问卷，整理后获得如下统计表:喜欢奥数不喜欢奥数总计已选奥数课（A 组）15050200未选奥数课（B 组）90110200总计240160400（1）若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人，则应在A 组、B 组各抽取多少人？（2）依据小概率值α0.005=的独立性检验，能否认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？附:()2P c a ³0.10.050.010.0050.001a2.7063.841 6.6357.87910.828参考公式:()()()()22()n ad bc a b c d a c b d c -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）应在A 组抽取20人，应在B 组抽取12人.（2）能认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005【解析】【分析】（1）根据分层抽样列式计算即可；（2）根据表格数据求出2c 的值，然后与临界值比较即可判断.【小问1详解】应在A 组抽取3215020240´=人，应在B 组抽取329012240´=人.【小问2详解】零假设为0H ：选报奥数延时课与喜欢奥数无关联，根据列联表中的数据，经计算可得22400(1501109050)37.57.879200200240160c ´´-´==>´´´，根据小概率值α0.005=的独立性检验，我们推断零假设不成立，即认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005.16. 阅读一元二次方程韦达定理的推导过程，完成下列问题:设一元二次方程()21200R ax bx c a a b c x x ++=¹Î，，，的两根为，，则212ax bx c a x x x x ++=--（）（），展开得:()221212ax bx c ax a x x x ax x ++=-++，比较系数得:()1212b a x x c ax x =-+=，，于是1212b c a x x x x a+=-=，.（1）已知一元三次方程()3200R ax bx cx d a a b c d +++=¹Î，，，，的三个根为123x x x ，，，类比于上述推导过程，求123x x x ;（2）已知()32691f x x x x =-++，若存在三个不相等的实数()()()m n t f m f n f t ==，，，使得，求mnt 的取值范围.【答案】（1）123d x x x a=- （2）()04，【解析】【分析】（1）先把式子展开再应用待定系数法即可求值；（2）根据函数求出导函数，根据导数正负得出函数单调性，再画出图像数形结合()y f x =与y s =有三个交点，即可求参数范围.【小问1详解】由题意知()()()32123ax bx cx d a x x x x x x +++=---，展开得:()()3232123122331123ax bx cx d ax a x x x x a x x x x x x x ax x x +++=-+++++-，比较系数得123,d ax x x =-即123d x x x a=-.【小问2详解】令()()()f m f n f t s ===，,,m n t 是()32691f x x x x s =-++=的三个根，即为326910x x x s -++-=的三个不等根，由上知1mnt s =-.()()()23129331f x x x x x =-+=--¢，于是()()()1,3,0,x f x f x <¢Î单调递减，()()()1,0,x f x f x ¢Î-¥>，单调递增，()()()3,,0,x f x f x ¢Î+¥>单调递增，且()()()()031,145f f f f ====，函数()f x 的大致图象如下:为使得()y f x =与y s =有三个交点，则()1,5,s Î故()104.mnt s =-Î，17. 如图所示，直线12,l l 之间的距离为2，直线23,l l 之间的距离为1，且点,,A B C 分别在123,,l l l 上运动，π3CAB Ð=，令CAF a Ð=.（1）判断ABC V 能否为正三角形？若能，求出其边长的值;若不能，请说明理由;（2）求ABC V 面积的最小值.【答案】（1）ABC V（2）.【解析】【分析】（1）过C 作1CD l ^，过B 作1BE l ^，利用直角三角形边角关系求出,AC AB ，则等边三角形建立方程求解即得.（2）由（1）中信息，利用三角形面积公式，结合三角恒等变换及正弦函数的性质求出最小值.【小问1详解】过C 作1CD l ^，过B 作1BE l ^，垂足分别为,D E ，如图，由CAF a Ð=，π3CAB Ð=，得2π2π0,33BAE a a <<Ð=-，在ACD V 中，3sin AC a =，在ABE V 中，22πsin()3AB a =-，由ABC V 是正三角形，则AC AB =，即322π,3sin()2sin 2πsin 3sin()3a a a a =-=-，整理得cos a a =，又22sin cos 1a a +=，解得sin a =，所以3sin AC a ==【小问2详解】由（1）知，1π1sin 2π23sin sin()3ABC S AB AC a a =×==-V ，21111π1cos sin cos2sin(2)244264a a a a a a +=-+=-+，由2π03a <<，得ππ7π2666a -<-<，则当ππ262a -=，即π3a =21cos sin 2a a a +取最大值34，所以π3a =时，ABC S V43=.18. 已知函数()2124ln .f x ax x x a =+-ÎR （）（1）若函数()y f x =在()0,¥+上是减函数，求实数a 的取值范围；（2）“若函数()y f x =在()0,1上只有一个极值点，求实数a 取值的集合”，某同学给出了如下解法:由()2124412440ax x f x ax x x+-=+-==¢在()0,1上只有一个实数根，所以16960a =+=V ，得16a =-，此时()10,12x =Î.所以，实数a 取值的集合为16ìü-íýîþ.上述解答正确吗？若不正确，说明理由，并给出正确的解答;（3）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，证明：()()1232ln 2.f x f x +>+【答案】（1）1,6¥æù--çúèû（2）上述解答不正确，理由见解析，解答见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，分析可知()()00f x x ¢£>恒成立，参变分理结合二次函数最值分析求解；（2）分析可知()22441g x ax x =+-在(0,1)上只有一个变号零点，参变分类结合二次函数分析求解；（3）分析可知g (x )=0在(0,+∞)上有两个不等实根为12,x x ，利用韦达定理整理可得()()12111ln 324f x f x a a æö+=---ç÷èø，令11244t a =->，()18ln h t t t =+-，利用导数分析证明.【小问1详解】因为()212441244ax x f x ax x x=¢+-=+-，由题意可知()()00f x x ¢£>恒成立，则224410ax x +-³，可得221412424a x x x æöæö£-=--ç÷ç÷èøèø，因为21244x æö--³-ç÷èø，当且仅当12x =，即12x =时，等号成立，可得244a £-，解得16a £-，所以实数a 的取值范围为1,6¥æù--çúèû.【小问2详解】上述解答不正确，理由如下：由题意可知：()22441g x ax x =+-在(0,1)上只有一个变号零点，令g (x )=0，整理可得212424a x æö=--ç÷èø，令()11,t x¥=Î+，则()22424a t =--，令()()224,1h t t t =-->，作出其函数图象，由图象可知：243a ³-，解得18a ³-，所以实数a 取值的集合是1,8¥éö-+÷êëø.【小问3详解】因为函数()f x 有两个极值点12,x x ，可知()224410g x ax x =+-=在(0,+∞)上有两个不等实根为12,x x ，则1212169601061024a x x a x x a =+>ìïï+=->íïï=->îV ，解得106a -<<，可得()()2212111222124ln 124ln f x f x ax x x ax x x +=+-++-()()()()()22212121212121212124ln 1224ln a x x x x x x a x x x x x x x x éù=+++-=+-++-ëû211211112ln 1ln 3612324324a a a a a a a æöæöæö=+---=---ç÷ç÷ç÷èøèøèø，令11244t a =->，则()()1218ln f x f x t t +=+-.令()118ln 4h t t t t æö=+->ç÷èø，则()18180t h t t t -=-=>¢，可知()h t 在1,4¥æö+ç÷èø内单调递增，则()132ln 24h t h æö>=+ç÷èø，所以()()1232ln 2f x f x +>+.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数ℎ(x )；（3）利用导数研究ℎ(x )的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．19. 设函数()e xf x =.（1）设()()1g x f x ax =--，讨论()g x 的单调区间；（2）设曲线y =f (x )在点()()(),2,N n f n n n ³Î处的切线与x 轴、y 轴围成的三角形面积为S n ，令2n n S c n =，求2ln i n n c å=；（3）若0x "³，()sin cos 2f ax x x ³-+，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）()222ln 1ln22n n n n +----. （3）[1,)+¥【解析】【分析】（1）先求导函数再根据导函数正负得出函数的单调性即可 ；（2）先求出切线方程得出截距，再表示面积结合求出公式定义应用对数运算化简求解；（3）先构造函数()e sin cos 2axh x x x =-+-，再求导函数分1,1a a ³<两种情况讨论计算求参.【小问1详解】()e 1x g x ax =--,则()e x g x a ¢=-.①若0a £，则()()0g x g x ¢>，在(),¥¥-+上单调递增;②若a >0，令()0g x ¢=，解得ln x a=当(),ln x a Î-¥时，()()0g x g x ¢<，单调递减，当()ln ,x a Î+¥时，()()0g x g x ¢>，单调递增.综上，当0a £时，()g x 的单调递增区间为(),¥¥-+;当a >0时，()g x 的单调递减区间为(),ln a -¥，单调递增区间为()ln ,a +¥.【小问2详解】由题意易得曲线y =f (x )在点()(),n f n 处的切线方程为()e e n n y x n -=-.设切线与x 轴、y 轴相交所得的横截距与纵截距分别为,n n a b .则令0y =，解得1n a n =-，令x =0，解得()e1n n b n =--.则所围成的三角形面积为()2111e 22nn n n S a b n ==-则()()22222221e 11e 11ln ln ln ln lne 2ln ln2222n n n n n n n n S n n c c n n n n n n----====++=+-（），，2222211ln 2ln ln22ln ln2i i i i i n n n n n n n n c n n n n ååååå=====--æö=+-=+-ç÷èø()()()()221122ln 1ln22ln 1ln222n n n n n n n n +-+-=+--=---.小问3详解】()sin cos 2f ax x x ³-+即e sin cos 2ax x x ³-+，令()e sin cos 2ax h x x x =-+-，则()e cos sin axh x a x x =-¢-，①当1a ³时，因为0x ³，所以e e ax x ³，()e cos sin xh x x x ³-¢-，令()sin u x x x =-，则()1cos 0u x x =¢-³，则函数()u x 单调递增，且()(0)0u x u ³=，即sin x x ³;由（1）可知当1a =时，()()00g x g ³=，【即()1f x x ³+，所以e 1sin 1x x x ³+³+，则()e cos sin 1cos 0x h x x x x ³-¢³--³，所以函数()h x 在[0,)+¥上单调递增，且()(0)0h x h ³=，即e sin cos 2ax x x ³-+恒成立.②当1a <时，(0)10h a ¢=-<，存在实数00x >，使得0(0,)x x "Î均有()0h x ¢<，则函数()h x 在0(0,)x 上单调递减，且()(0)0h x h <=，不符合题意，所以当1a <时，不符合题意.综上，a 的取值范围为[1,)+¥.【点睛】关键点点睛：解题的关键是当1a <时，得出函数()h x 在0(0,)x 上单调递减，且()(0)0h x h <=，不符合题意，得出矛盾不成立.。

高中青年教师教学基本功竞赛数学试卷及参考答案江苏省兴化市周庄高级中学教育教学研究室江苏省兴化市教育局教研室数学试卷(考试时间为150分钟，满分150分．)本卷由三部分组成；解题研究；试题命制；教学设计．1．解题研究本题满分40分(问题1为必答题，问题2、问题3两题任选一题做答，每题满分20分)．1．1．错因分析学生在学习中，总会产生错误，错误往往是正确认知的前兆，这正是失败乃成功之母，所以教师要珍视学生学习中的错误，并以此为契机，培养学生的批判性思维，发展思维能力．写出学生解决下面问题有可能出现的典型错误，并分析产生错误的根本原因(至少分析两个典型错误)，最后请您给出本题的正确解答．问题1：求函数y＝sin（-3x+π/4）(x∈的单调递减区间．1．2．总结策略教学目的之一是为了让学生掌握思考问题和解决问题的方法，当学生面临一个新的情境下的问题时总要联想，把以往获得的方法再加工迁移到新的问题上，因此有教育家提出了为“迁移而教”的口号，为了实现“迁移”就必须对学习加以总结概括，总结概括得越精当，越有利于“迁移”的产生，从而能够迅速地解决新问题．解下列问题，完成后请您总结解决该类“恒成立”问题的解题策略．问题2：已知c>0，设P：函数y=Cx在R上单调递减；Q：不等式x+∣x-2c∣>1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求C的取值范围。

1．3 探究拓展著名数学家、教育家波利亚说过，解题就像采蘑菇一样，当我们发现一个蘑菇时，它的周围可能有一个蘑菇圈．在解题中，当您解完了一道题，可以借助如，类比，(1)类比推理：根据两种事物在某些方面属性的相似，推想此两种事物在其他一些方面的属性也相似；(2)方法类比：将处理某种事物卓有成效的经验或方法移植到处理与其相似的另一事物上，以及其他一些科学思维策略和数学思想方法，对问题进行探索与拓展，从而解决一类问题，发展思维能力。

完成下面一道题后，根据探索的要求进行探索与拓展。

北京35中2025届10月月考数学（答案在最后）2024.10本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}212,340,ZA x xB x x x x =-≤≤=--<∈，则A B = （）A.{}0,1B.{}11x x -≤<C.{}0,1,2 D.{}12x x -<≤【答案】C 【解析】【分析】计算{}0,1,2,3B =，再计算交集得到答案.【详解】{}{}{}2340,Z 14,Z 0,1,2,3B x x x x x x x =--<∈=-<<∈=，{}12A x x =-≤≤，{}0,1,2A B = .故选：C.2.已知223,tan2,log 3a b c -===，则（）A.a b c >>B.a c b >>C.b c a >>D.c a b>>【答案】D 【解析】【分析】确定19a =，0b <，1c >，得到答案.【详解】2139a -==，tan20b =<，22log 3log 21c >==，故c a b >>.故选：D.3.下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是A.3()f x x = B.()lg ||f x x = C.()f x x=- D.()cos f x x=【答案】C【解析】【分析】判断四个选项中的函数的奇偶性和在()0,1上的单调性，得到答案.【详解】选项A 中，()3f x x =，是奇函数，但在()0,1上单调递增，不满足要求；选项B 中，()lg f x x =，是偶函数，不满足要求，选项C 中，()f x x =-，是奇函数，在()0,1上单调递减，满足要求；选项D 中，()cos f x x =，是偶函数，不满足要求.故选：C.【点睛】本题考查判断函数的奇偶性和单调性，属于简单题.4.在621x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是（）A.20-B.15- C.15D.30【答案】C 【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式可求常数项.【详解】621x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()623616611rrrr r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令360r -=，则2r =，故常数项为()2236115T C =-=，故选：C.【点睛】本题考查二项展开中的指定项，注意利用通项公式帮助计算，本题为基础题.5.已知函数||||()x x f x e e -=-，则函数()f x （）A.是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增B.是奇函数，且在(0,+∞)上单调递减C.是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增D.是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减【答案】A 【解析】【分析】由偶函数的定义判断函数()f x 的奇偶性，结合指数函数的单调性判断函数()f x 的单调性.【详解】∵||||()x x f x e e -=-∴||||||||()()x x x x f x e e e e f x -----=-=-=，∴函数||||()x x f x e e -=-为偶函数，当(0,)x ∈+∞时，1()=x x xxf x e e e e -=--，∵函数x y e =在(0,+∞)上单调递增，函数1x y e=在(0,+∞)上单调递减，∴()e e x x f x -=-在(0,+∞)上单调递增，即函数||||()x x f x e e -=-在(0,+∞)上单调递增.故选：A.6.阅读下段文字：“为无理数，若a b ==ba 为有理数；若则取无理数a =，b =，此时(22ba ====为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（）A.是有理数B.C.存在无理数a ，b ，使得b a 为有理数 D.对任意无理数a ，b ，都有b a 为无理数【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件，提取文字信息即可判断作答.【详解】这段文字中，没有证明AB 错误；这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a ，b ，使得b a 为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C 正确；这段文字中只提及存在无理数a ，b ，不涉及对任意无理数a ，b ，都成立的问题，D 错误.故选：C 7.若点5π5πsin,cos 66M ⎛⎫⎪⎝⎭在角α的终边上，则tan2α=（）A.33 B.33-C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数定义得到tan α=.【详解】5π5πsin ,cos 66M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故5πcos6tan 5πsin6α==，22tan 23tan21tan 13ααα-===--故选：C.8.已知函数()=ln af x x x+，则“0a <”是“函数()f x 在区间()1,+∞上存在零点”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】把函数()f x 拆解为两个函数，画出两个函数的图像，观察可得.【详解】当0a <时，作出ln ,ay x y x==-的图像，可以看出0a <时，函数()f x 在区间()1,+∞上存在零点，反之也成立，故选C.【点睛】本题主要考查以函数零点为载体的充要条件，零点个数判断一般通过拆分函数，通过两个函数的交点个数来判断零点个数.9.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v （单位：/m s ），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q .科学研究发现v 与3log 100Q成正比.当1v m /s =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900.当2m /s v =时，其耗氧量的单位数为（）A.1800 B.2700C.7290D.8100【答案】D 【解析】【分析】设3log 100Qv k =，利用当1v m /s =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900求出k 后可计算2m /s v =时鲑鱼耗氧量的单位数.【详解】设3log 100Q v k =，因为1v m /s =时，900Q =，故39001log 2100k k ==，所以12k =，故2m /s v =时，312log 2100Q =即8100Q =.故选：D.【点睛】本题考查对数函数模型在实际中的应用，解题时注意利用已知的公式来求解，本题为基础题.10.已知各项均为整数的数列{}n a 满足()*12121,2,3,n n n a a a a a n n --==>+≥∈N ，则下列结论中一定正确的是（）A.520a >B.10100a <C.151000a >D.202000a <【答案】C 【解析】【分析】依题意根据数列的递推公式可分别判断各选项，再利用各项均为整数即可判断只有C 选项一定正确.【详解】根据题意可知3123a a a >+=，又数列的各项均为整数，所以3a 最小可以取4，即34a ≥；同理可得4236a a a >+≥，所以4a 最小可以取7，即47a ≥；同理53411a a a >+≥，所以5a 最小可以取12，即512a ≥，即520a <可以成立，因此可得A 不一定正确；同理易得645619,20a a a a >+≥≥；756732,33a a a a >+≥≥；867853,54a a a a >+≥≥；978987,88a a a a >+≥≥；108910142,143a a a a >+≥≥，即10100a <不成立，B 错误；又1191011231,232a a a a >+≥≥；12101112375,376a a a a >+≥≥；131********,609a a a a >+≥≥；14121314985,986a a a a >+≥≥，151314151595,1596a a a a >+≥≥，即可得151000a >一定成立，即C 正确；显然若32000a =，则202000a <明显错误，即D 错误.故选：C第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数1ii+的虚部为________.【答案】－1【解析】【详解】试题分析：1ii 1i+=-+，所以其虚部为－1考点：复数的虚部12.函数()f x =的定义域为R ，请写出满足题意的一个实数a 的值______．【答案】1-（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数的定义域求解即可.【详解】因为()f x =R ，所以20x a -≥在R 上恒成立，即2a x ≤，由于20x ≥在R 上恒成立，故实数a 的取值范围为(],0-∞.故答案为：1-（答案不唯一）.13.已知数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，{}n b 的通项公式为12n b n =-．记数列{}n n a b +的前n 项和为n S ，则4S =____；n S 的最小值为____．【答案】①.1-②.2-【解析】【分析】（1）由题可得1212n n n n a b c n -+==+-，根据等比数列及等差数列的求和公式可得n S ，利用数学归纳法可得3n ≤时，0n c <，4n ≥时，0n c >，进而即得.【详解】由题可知1212n n n a b n -+=+-，所以()()()()()423441712112325271122S +-++-++-++-+-==--=，()()()()1212112112321221122n n n n n n n S n -+--+-++-+++-=-=---= ，令1212n n c n -=+-，则123450,1,1,1,7c c c c c ==-=-==，当4n ≥时，0n c >，即1221n n ->-，下面用数学归纳法证明当4n =时，1221n n ->-成立，假设n k =时，1221k k ->-成立，当1n k =+时，()()()122222121123211k k k k k k -=⋅>-=+-+->+-，即1n k =+时也成立，所以4n ≥时，0n c >，即1221n n ->-，所以3n ≤时，0n c <，4n ≥时，0n c >，由当3n =时，n S 有最小值，最小值为3322132S =--=-.故答案为：1-；2-.14.已知函数()e ,,x x x af x x x a⎧<=⎨-≥⎩，()f x 的零点为__________，若存在实数m 使()f x m =有三个不同的解，则实数a 的取值范围为__________.【答案】①.0②.11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】利用导函数判断函数单调性，利用求解极值的方法画出函数的大致图象，分析运算即可得出结果.【详解】令()e xg x x =，可得()()1e xg x x +'=，由()0g x '=可得1x =-，当(),1x ∞∈--时，()0g x '<，此时()g x 在(),1∞--上单调递减，当()1,x ∞∈-+时，()0g x '>，此时()g x 在()1,∞-+上单调递增，因此()g x 在1x =-处取得极小值，也是最小值，即()()min 11eg x g =-=-，又()00g =，且0x <时，()10eg x -≤<，当0x >时，>0，令()h x x =-，其图象为过原点的一条直线，将()(),g x h x 的大致图象画在同一直角坐标系中如下图所示：当0a <时，如下图，在[),+∞a 上()()f x h x x ==-的零点为0，当0a =时，如下图，在[)0,∞+上()()f x h x x ==-的零点为0当0a >时，如下图，在(),a ∞-上()()e xf xg x x ==的零点为0，综上可知，()f x 的零点为0；当1a ≤-时，如下图所示，曲线()f x 与直线y m =至多有两个交点，当11ea -<<时，如下图所示，曲线()f x 与直线y m =至多有三个交点，当1ea ≥时，如下图所示，曲线()f x 与直线y m =至多有两个交点；综上可知，若使()f x m =有三个不同的解，则实数a 的取值范围为11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：0；11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭15.已知函数()()e 111xf x k x =----，给出下列四个结论：①当0k =时，()f x 恰有2个零点；②存在正数k ，使得()f x 恰有1个零点；③存在负数k ，使得()f x 恰有2个零点；④对任意()0,k f x <只有一个零点.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】把函数()f x 的零点个数问题，转化为函数e 1xy =-与函数()11y k x =-+的交点个数，作出图象分类讨论可得结论.【详解】令()()e 1110xf x k x =----=，得()e 111xk x -=-+，函数()f x 的零点个数，即为方程()e 111xk x -=-+的根的个数，方程()e 111xk x -=-+根的个数，即为e 1xy =-与函数()11y k x =-+的交点个数，又函数()11y k x =-+是过定点(1,1)A 的直线，作出e 1xy =-的图象如图所示，当0k =直线()11y k x =-+与函数e 1xy =-有一个交点，故()()e 111xf x k x =----有一个零点，故①错误；当()11y k x =-+在第一象限与函数e 1xy =-相切时，函数()()e 111xf x k x =----有一个零点，故②正确；函数()11y k x =-+绕着A 顺时针从1y =转到1x =时，两图象只有一个交点，故0k <时，函数()()e 111xf x k x =----只有一个零点，故③错误，④正确.故答案为：②④.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于,A B 两点.点A 的纵坐标是45，点B 的横坐标是513-.（1）求cos2α的值；（2）求()sin βα-的值.【答案】（1）725-（2）5665.【解析】【分析】（1）利用三角函数定义可得4sin 5α=，再由二倍角公式计算可得7cos225α=-；（2）利用同角三角函数之间的基本关系以及两角差的正弦公式计算可得结果.【小问1详解】由题可知，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于,A B 两点；点A 的纵坐标是45，点B 的横坐标是513-，所以45sin ,cos 513αβ==-.即可得27cos212sin 25αα=-=-.【小问2详解】由于22sin cos 1αα+=，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以23cos 1sin 5αα=-=，同理由于2π12,π,sin 1cos 213βββ⎛⎫∈=-= ⎪⎝⎭，所以()56sin sin cos cos sin 65βαβαβα-=-=.17.某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对,,A B C 三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示.题目A B C做对的概率451214获得的奖金/元204080规则如下：按照,,A B C 的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题.[注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和.]（1）求甲没有获得奖金的概率；（2）求甲最终获得的奖金X 的分布列及期望；（3）如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）【答案】（1）15（2）分布列见解析，40（元）（3）不同，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大，理由见解析.【解析】【分析】（1）甲没有获得奖金，则题目A 没有做对，从而求得对应的概率；（2）易知X 的可能取值为0，20，60，140，再根据题目的对错情况进行分析求解概率与分布列，求出期望值；（3）可以分别求出每种顺序的期望，然后比较得知.【小问1详解】甲没有获得奖金，则题目A 没有做对，设甲没有获得奖金为事件M ，则()41155P M =-=.【小问2详解】分别用,,A B C 表示做对题目,,A B C 的事件，则,,A B C 相互独立.由题意，X 的可能取值为0,20,60,140.41412(0)()1;(20)()155525P X P A P X P AB ⎛⎫===-====⨯-= ⎪⎝⎭;4134111(60)()1;(140)()52410524101P X P ABC P X P ABC ===⨯⨯-===⨯⎛⎫ ⎪⎝=⎭=⨯.所以甲最终获得的奖金X 的分布列为X02060140P 1525310110()12310206014040551010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.【小问3详解】不同，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大，理由如下：由（2）知，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望为40元，若按照,,A C B 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,20,100,140.141(0)1;(250)1554435P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;41411(100)1;(140)5105421011142P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为110201001403613110550⨯+⨯+⨯+⨯=元；若按照,,B A C 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,40,60,140.1114(0)1;(400)1212125P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;143141(60)1;(140)254102541011P X P X ==⨯⨯-===⨯⎛⨯ ⎝=⎫⎪⎭.故期望值为131040601403611110200⨯+⨯+⨯+⨯=元；若按照,,B C A 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,40,120,140.1111(0)1;(480)122432P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;1114(120)1;(140)24024510141145P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为131040601403611110200⨯+⨯+⨯+⨯=元，若按照,,C A B 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,80,100,140.1314(0)1;(800)1414245P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;1141(100)1;(140)10452104111452P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为1080100140284101311200⨯+⨯+⨯+⨯=元，若按照,,C B A 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,80,120,140.1311(0)1;(880)144214P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;1114(100)1;(140)40425101411425P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为5311108010014026.401048⨯+⨯+⨯+⨯=元，显然按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大.18.已知()2cos sin ,f x ax x x x a =++∈R .（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦上为增函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2y =（2）[)1,+∞.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得切线方程；（2）将()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数转化为sin cos a x x x ≥-在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，构造函数()sin cos g x x x x =-并求导得出其单调性，求出最大值可得实数a 的取值范围.【小问1详解】当0a =时，()2cos sin f x x x x =+，易知()2sin sin cos cos sin f x x x x x x x x'=-++=-可得()()00,02f f ='=，所以切线方程为2y =.【小问2详解】易知()sin cos f x a x x x=+'-由函数()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，可得′≥0在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，即sin cos a x x x ≥-在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，令()()ππsin cos ,sin ,,22g x x x x g x x x x ⎡⎤=-=∈-⎢⎣'⎥⎦法一：令()sin 0g x x x '==，得0x =，()(),g x g x '的变化情况如下：x π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭0π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()g x '+0+()g x所以()g x 为ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的增函数，()g x 最大值为π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.即a 的取值范围是[)1,+∞.法二：当π02x -<<时，sin 0,sin 0x x x <>；当π02x ≤<时，sin 0,sin 0x x x ≥≥.综上，当ππ22x -<<时，()()0,g x g x '≥为ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的增函数，()g x 最大值为π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.即a 的取值范围是[)1,+∞.19.现有一张长为40cm ，宽为30cm 的长方形铁皮ABCD ，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失.如图，在长方形ABCD 的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为cm x ，高为y cm ，体积为()3cm V .（1）求出x 与y 的关系式；（2）求该铁皮盒体积V 的最大值.【答案】（1）21200,0304x y x x-=<≤；（2）34000cm .【解析】【分析】（1）由题意得到244030x xy +=⨯，化简得到212004x y x -=，并由实际情境得到030x <≤；（2）表达出()()3112004V x x x =-，求导得到其单调性，进而得到最大值.【小问1详解】因为材料利用率为100%，所以244030x xy +=⨯，即212004x y x -=；因为长方形铁皮ABCD 长为40cm ，宽为30cm ，故030x <≤，综上，212004x y x-=，030x <≤；【小问2详解】铁皮盒体积()()222312*********x V x x y x x x x -==⋅=-，()()21120034V x x '=-，令()0V x '=，得20,x =()(),V x V x '的变化情况如下：x ()0,2020()20,30()V x +0-()V x '()V x 在()0,20上为增函数，在()20,30上为减函数，则当20x =时，()V x 取最大值，最大值为()3311200202040040cm ⨯⨯-=.20.已知函数1e ()x f x x-=.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间；（3）当211x x >>时，判断21()()f x f x -与2122x x -的大小，并说明理由.【答案】（1）230x y +-=；（2）单调递增区间为(,1)∞--，单调递减区间为(1,0)-和(0,)+∞；（3）212122()()f x x x f x -->，理由见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）利用导数求出函数()f x 的单调区间.（3）构造函数2()(),1g x f x x x=->，利用导数探讨函数单调性即可判断得解.【小问1详解】函数1e ()x f x x -=，求导得12(1)e ()xx f x x---='，则()12f '=-，而(1)1f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为12(1)y x -=--，即230x y +-=.【小问2详解】函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且12(1)e ()x x f x x---='，当1x <-时，()0f x '>，当10x -<<或0x >时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为(,1)∞--，单调递减区间为(1,0)-和(0,)+∞.【小问3详解】当211x x >>时，212122()()f x x x f x -->，证明如下：令2()(),1g x f x x x =->，求导得12(1)e 2()x x g x x-'--+=，令1()(1)e 2,1x h x x x -=--+>，求导得1()e 0x h x x -='>，函数()h x 在(1,)+∞上单调递增，则()(1)0h x h >=，即()0g x '>，函数()g x 在(1,)+∞上为增函数，当211x x >>时，21()()g x g x >，所以212122()()f x x x f x -->.21.已知项数为()*2m m N m ∈≥，的数列{}n a 满足如下条件：①()*1,2,,n a Nn m ∈= ；②12···.m a a a <<<若数列{}n b 满足()12*···1m n n a a a a b N m +++-=∈-，其中1,2,,n m = 则称{}n b 为{}n a 的“伴随数列”.（I ）数列13579，，，，是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（II ）若{}n b 为{}n a 的“伴随数列”，证明：12···m b b b >>>；（III ）已知数列{}n a 存在“伴随数列”{}n b ，且112049m a a ==，，求m 的最大值.【答案】（I ）不存在，理由见解析；（II ）详见解析；（III ）33.【解析】【分析】（I ）根据“伴随数列”的定义判断出正确结论.（II ）利用差比较法判断出{}n b 的单调性，由此证得结论成立.（III ）利用累加法、放缩法求得关于m a 的不等式，由此求得m 的最大值.【详解】（I ）不存在.理由如下：因为*413579751b N ++++-=∈-，所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”.（II ）因为*11,11,1n n n n a a b b n m n N m ++--=≤≤-∈-，又因为12m a a a <<< ，所以10n n a a +-<，所以1101n n n n a a b b m ++--=<-，即1n n b b +<，所以12···m b b b >>>成立.（III ）1i j m ∀≤<≤，都有1j i i j a a b b m --=-，因为*i b N ∈，12m b b b >>> ，所以*i j b b N -∈，所以*11204811m m a a b b N m m --==∈--.因为*111n n n n a a b b N m ----=∈-，所以11n n a a m --≥-.而()()()()()()111221111m m m m m a a a a a a a a m m m ----=-+-++-≥-+-++- ()21m =-，即()2204911m -≥-，所以()212048m -≤，故46m ≤.由于*20481N m ∈-，经验证可知33m ≤.所以m 的最大值为33.【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查数列单调性的判断，考查累加法、放缩法，属于难题.。

青年教师基本功大赛试题一、选择题（10×2=20分,单选或多选）1.现实中传递着大量的数学信息，如反映人民生活水平的“恩格尔系数”、预测天气情况的“降雨概率”、表示空气污染程度的“空气指数”、表示儿童智能状况的“智商”等，这表明数学术语日趋（）（A）人本化（B）生活化（C）科学化（D）社会化2. 导入新课应遵循（）（A）导入新课的方法应能激发学生的学习兴趣、学习动机，造成悬念，达到激发情感，提出疑问的作用（B）要以生动的语言、有趣的问题或已学过的知识，引入新知识、新概念（C）导入时间应掌握得当，安排紧凑（D）要尽快呈现新的教学内容3.下列关于课堂教学的改进，理念正确的是（）（A）把学生看作教育的主体，学习内容和学习方法由学生作主（B）促进学生的自主学习，激发学生的学习动机（C）教学方法的选用改为完全由教学目标来决定（D）尽可能多的提供学生有效参与的机会，让学生自己去发现规律，进而认识规律4．为了了解某地区初一年级7000名学生的体重情况，从中抽取了500名学生的体重，就这个问题来说，下面说法中正确的是（）（A ）7000名学生是总体（B）每个学生是个体（C ）500名学生是所抽取的一个样本（D）样本容量是5005. 一个几何体的三视图如图2所示，则这个几何体是（）主视图左视图俯视图图2 （A）（B）（C）（D）6．如图1，点A(m,n)是一次函数y=2x 的图象上的任意一点，AB 垂直于x 轴，垂足为B ，那么三角形ABO 的面积Ｓ关于m 的函数关系的图象大致为（ ）7．有三条绳子穿过一片木板，姊妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一条绳子。

若每边每条绳子被选中的机会相等，则两人选到同一条绳子的概率为（ ） (A)21 (B) 31 (C) 61 (D) 918．一次数学课上，老师让大家在一张长12cm 、宽5cm 的矩形纸片内，折出一个菱形。

甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH （见方案一），乙同学沿矩形的对角线AC 折出∠CAE ＝∠DAC ，∠ACF ＝∠ACB 的方法得到菱形AECF （见方案二），请你通过计算，比较这两种折法中，菱形面积较大的是( )（A ）甲 （B ）乙 （C ）甲乙相等 （D ） 无法判断9．迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。

试题（一）一填空（1）有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，、与是学习数学的重要方式。

（2）《义务教育数学课程标准》的基本理念指出：义务教育阶段的数学课程应突出体现、和，使数学教育面向全体学生，实现：；；。

（3）学生是数学学习的，教师是数学学习的、与。

（4）《标准》中所陈述课程目标的动词分两类。

第一类，知识与技能目标动词，包括、、、、第二类，数学活动水平的过程性目标动词，包括、、。

二、简述《义务教育数学课程标准》（实验）的总体目标。

三、简述：（1）初中数学新课程的教学内容体系。

（2）你如何认识新课程的评价理念?四、何为说课？举例说明说课的基本内容和方法五、写出“多边形外角和”一课的教学设计简案。

（主要写教学目标，重点、难点，课题引入及教学策略）试题（二）一填空（1）数学教学活动必须建立在学生的认知和已有基础上。

教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学的机会，帮助他们在自主探索和的过程中真正理解和掌握数学知识技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。

（2）《义务教育数学课程标准》的基本理念指出：义务教育阶段的数学课程应突出体现、和，使数学教育面向全体学生，实现：；；。

（3）评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学；应建立评价目标化、评价方法化的评价体系，对学生的数学学习评价要关注学生数学学习的，更要关注他们的。

（4）初中数学新课程的四大学习领域是、、、。

（5）《标准》中陈述课程目标的动词分两类。

第一类，目标动词，第二类，数学活动水平的目标动词。

二、简述《义务教育数学课程标准》（实验）的总体目标。

三、简述：（1）初中数学新课程的教学内容的特点。

（2）选择、确定教学内容的依据与标准。

四、谈谈你对数学新课程所提倡的评价方式与方法的认识。

五、写出“直角坐标系（第一课时）”一课的教学设计简案。

（主要写教学目标，重点、难点，课题引入及教学策略）试题（三）一填空（1）学生的数学学习内容应当是、、的，这些内容有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。

1、高中代数课程的基本主线是（ ）.方程 . 不等式.函数.数列2、用复数的棣莫弗公式，可以推导（ ）.三角函数的n 倍角公式. 一元二次方程的求根公式 .点到直线的距离公式3、不定方程求解的算理依据是（ ）. B. 孙子定理 . 辗转相除法. 单因子构件法 .拉格朗日插值法4、 在中学代数教学中，应提倡的一个基本原则是：在注意形式化的同时，加强代数知识的（ ）. 形式推导 . 直观理解.恒等变换5、有理数集可以与自然数集建立一一对应的关系，这说明有理数集具有（ ）. 连续性 . 完备性 .稠密性.可数性6、代数学是研究数学对象的运算的理论和方法的一门学科，根据数学对象的不同表现代数学可分为（）.方程和函数.古典代数和近代代数.数列和算法.抽象代数和近世代7、下列说法，哪个是正确的（）.复数集是一个有序域.复数可以比较大小.复数可以排序8、下列哪个说法是错误的（）.用尺规作图可以三等分角.用尺规作图可以二等分角.用尺规作图可以画直线外一点到该直线的垂直线.用尺规作图可以画出根号5的数9、任意两个有理数之间，均存在一个有理数，这说明有理数具有（）.完备性.稠密性.可数性.连续性10、三角形的余弦定理同（）有内在联系.二维柯西不等式.二维排序不等式 .二维均值不等式11、下列说法，哪一个是错误的（ ）.有理数集是可数的 .实数集是可数的.自然数集是可数的12、两个集合A 和B 的笛卡尔积的子集，被称为（ ）. F. 关系. 对偶. 序偶 .结构13、高中教材“函数”的定义采用的是（ ）. 函数“对应说”；. 函数“变量说”； .函数“关系说”14、用（ ）方法，对任意有限数列都可以给出该数列的通项表达式。

. 拉格朗日插值公式. 数列的母函数.高阶数列的求和递推公式15、不定方程求解的算理依据是（ ）. 孙子定理.单因子构件法.辗转相除法.拉格朗日插值法16、点到直线的距离公式，可以用（）推出.C. 加权平均不等式. D. 柯西不等式.均值不等式.排序不等式17、下列那个定理所体现出来的方法是单因子构件法（）.正弦定理.孙子定理.代数基本定理.韦达定理判断题18、在算法的教学中，应当注意培养学生的数学表达能力。

2025届新疆克拉玛依市高级中学高考数学必刷试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集()(){}130U x Z x x =∈+-≤，集合{}0,1,2A =，则U C A ＝( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0-C ．{}0,3D ．{}1,0,3-2．设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若1243F F =，则12PF PF +=（ ） A ．4B ．8C ．42D ．473．已知函数()(1)xf x x a e =--，若22log ,a b c ==则（ ）A ．f (a )<f (b ) <f (c )B ．f (b ) <f (c ) <f (a )C ．f (a ) <f (c ) <f (b )D ．f (c ) <f (b ) <f (a )4．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．835．已知z 的共轭复数是z ，且12z z i =+-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a <≤B ．5a <C ．35a <<D ．25a ≤≤7．已知数列 {}n a 是公比为 q 的等比数列，且 1a ， 3a ， 2a 成等差数列，则公比 q 的值为（ ）A ．12-B ．2-C ．1- 或12D ．1 或 12-8．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、，已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则2cos sin 2αα+=（ ）A ．35B ．45C ．1D ．859．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．10．己知46a =544log 21b =， 2.913c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >>11．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x ，y 进行回归分析，设u = lny ，v =(x -4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为ˆu=-0.5v +2，则变量y 的最大值的估计值是（ ） A ．eB ．e 2C ．ln 2D ．2ln 212．函数sin (3sin 4cos )y x x x =+()x R ∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(,)M T 为（ ） A ．(5,)πB ．(4,)πC ．(1,2)π-D ．(4,2)π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省湖州市安吉县上墅私立高级中学2024年高三第三次调查研究考试数学试题 考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域为（ ） A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．[]0,1 D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．已知等差数列{a n }，则“a 2＞a 1”是“数列{a n }为单调递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若函数()y f x =的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2},则函数()y f x =的图像可能是（ ） A ． B ． C ．D ．4．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）A ．0.30.43(log 0.3)(2)(2)f f f -->>B ．0.40.33(log 0.3)(2)(2)f f f -->>C ．0.30.43(2)(2)(log 0.3)f f f -->>D ．0.40.33(2)(2)(log 0.3)f f f -->>5．若向量(1,5),(2,1)a b ==-，则(2)a a b ⋅+=（ ）A ．30B ．31C ．32D ．336．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i < 7．集合{}2|4,M y y x x ==-∈Z 的真子集的个数为( ) A ．7 B ．8 C ．31 D ．32 8．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则x y +=（ ）A ．170B ．10C ．172D ．129．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．22B ．32C ．102D ．1210．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）A ．10000立方尺B ．11000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺11．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（ ）A ．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B ．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C ．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D ．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是10312．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[20,40)（单位：元）的同学有34人，则n 的值为（ ）A ．100B ．1000C ．90D ．90二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。