导数在中学数学解题中的应用
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剖析导数在高中数学中的几种应用
（） １ ａ的值 ：
＝ｘ ３ 斗 ｘＬ＿９ — ｌ ｘ 。
（） ２ 函数 ｆ ） （ 的单调区间 。 ｘ
吸取意见改进 自己的教育 教学方法 。 ５坚持民主管理， 师互评 。 、 教 任何评优 评先、 教师晋级 、 民主考核 ， 都是教师先 自我 申报， 再由全体教师投票 产生 。 时， 平 校长还 经常和 教师个 别谈话 ， 针 对 教 师 的进 步 、 异 表 现 、 作 中 的 不 优 工 足进行真诚的交流 ， 从而促 进教师不断完 善 自身 。 （ 、 思 中 实 践— — 促进 教 师 素 养 五） 反 的转 化 。 如果说对 教师的培 训是 一个接 受过 程 的话 ，那么教师 自我 的反 思则 是内省、 强化 、 高 的过 程 ， 反 思 后 的 再 实 践 更 提 而 是教 师 专 业 升 华 的 过 程 。 管 我 们 的校 本 不 培训还是 教科研 、 教师评 价 ， 我们 都尤其 注重教师对过程 的反思和在 实践 ， 基本遵 僭 研 ， ‘ 讨— — 实 践— — 反 思 ” 的活 动 流 程 。 总之 ， 师 的 专业 发 展 是 一 个 逐 步 发 教 展 的动 态 过 程 。所 以 ， 们 的 努 力 不 见 得 我
初等方法研究要方便得多。 １ 数 在单 调性 中 的应 用 ． 导 函数 的单 调性是 函数最基本 的性质 之一 ， 是研 究 函数 所 要 掌握 的最 基 本 的知
识 。通 常 用 定 义 来 判 断 ， 当 函数 表 达 式 但 较 复 杂 时 判 断 ｆｘ）一ｆｘ 正 负 较 困难 。 （。 （ ） 运 用 导数 知 识 来 讨 论 函 数 单 调 性 时 ， 需 只 求 出 ｆｘ， ’】 （ 再考 虑 ｆｘ的 正 负 即 可 。此 方 （）
令 ｆ（）Ｏ 解 得 ｘ — １ ２ ３ ／ ＝， ｘ １ ， ＝． ｘ 当 Ｘ∈（ ｏ ， １ 时，／ ）Ｏ故 ｆ ） 一 ｏ 一 ） ｒ ｘ＞ ， （ （ ｘ 在（ 一 ， １上 为 增 函数 ； 一 ）
＝ｘ ３ 斗 ｘＬ＿９ — ｌ ｘ 。
（） ２ 函数 ｆ ） （ 的单调区间 。 ｘ
吸取意见改进 自己的教育 教学方法 。 ５坚持民主管理， 师互评 。 、 教 任何评优 评先、 教师晋级 、 民主考核 ， 都是教师先 自我 申报， 再由全体教师投票 产生 。 时， 平 校长还 经常和 教师个 别谈话 ， 针 对 教 师 的进 步 、 异 表 现 、 作 中 的 不 优 工 足进行真诚的交流 ， 从而促 进教师不断完 善 自身 。 （ 、 思 中 实 践— — 促进 教 师 素 养 五） 反 的转 化 。 如果说对 教师的培 训是 一个接 受过 程 的话 ，那么教师 自我 的反 思则 是内省、 强化 、 高 的过 程 ， 反 思 后 的 再 实 践 更 提 而 是教 师 专 业 升 华 的 过 程 。 管 我 们 的校 本 不 培训还是 教科研 、 教师评 价 ， 我们 都尤其 注重教师对过程 的反思和在 实践 ， 基本遵 僭 研 ， ‘ 讨— — 实 践— — 反 思 ” 的活 动 流 程 。 总之 ， 师 的 专业 发 展 是 一 个 逐 步 发 教 展 的动 态 过 程 。所 以 ， 们 的 努 力 不 见 得 我
初等方法研究要方便得多。 １ 数 在单 调性 中 的应 用 ． 导 函数 的单 调性是 函数最基本 的性质 之一 ， 是研 究 函数 所 要 掌握 的最 基 本 的知
识 。通 常 用 定 义 来 判 断 ， 当 函数 表 达 式 但 较 复 杂 时 判 断 ｆｘ）一ｆｘ 正 负 较 困难 。 （。 （ ） 运 用 导数 知 识 来 讨 论 函 数 单 调 性 时 ， 需 只 求 出 ｆｘ， ’】 （ 再考 虑 ｆｘ的 正 负 即 可 。此 方 （）
令 ｆ（）Ｏ 解 得 ｘ — １ ２ ３ ／ ＝， ｘ １ ， ＝． ｘ 当 Ｘ∈（ ｏ ， １ 时，／ ）Ｏ故 ｆ ） 一 ｏ 一 ） ｒ ｘ＞ ， （ （ ｘ 在（ 一 ， １上 为 增 函数 ； 一 ）
中学数学教案导数在函数中的应用
中学数学教案导数在函数中的应用一、教学目标1. 理解导数的定义及其几何意义。
2. 学会求解基本函数的导数。
3. 掌握导数在函数中的应用，如单调性、极值、最值等。
4. 能够运用导数解决实际问题。
二、教学内容1. 导数的定义及几何意义2. 基本函数的导数3. 导数的应用a. 单调性b. 极值c. 最值d. 实际问题三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义、几何意义、基本函数的导数及导数的应用。
2. 难点：导数的计算及运用。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解导数的定义、几何意义及基本函数的导数。
2. 利用实例演示导数在函数中的应用，如单调性、极值、最值等。
3. 引导学生运用导数解决实际问题。
4. 课堂练习与讨论，巩固所学知识。
五、教学过程1. 导入：回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生思考函数的增减性、极值等问题。
2. 讲解导数的定义及几何意义，通过实例演示导数的计算过程。
3. 讲解基本函数的导数，如幂函数、指数函数、对数函数等。
4. 引导学生运用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题。
5. 结合实际问题，讲解导数在实际中的应用，如物体的运动、经济的增长等。
6. 课堂练习：让学生独立完成一些有关导数的练习题，巩固所学知识。
7. 总结：回顾本节课所学内容，强调导数在函数中的应用及实际意义。
六、教学活动1. 设计课堂活动：通过小组讨论，让学生探究导数在实际问题中的应用，如找出函数在某一点处的切线斜率，模拟函数的增减过程等。
2. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用导数解决具体问题，如优化生产过程、确定最佳路线等。
七、自主学习1. 让学生自主学习教材中关于导数的应用部分，了解导数在函数中的作用。
2. 布置课后作业：让学生结合所学知识，完成有关导数在函数中应用的练习题。
八、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结导数在函数中的应用。
2. 强调导数在实际问题中的重要性。
九、课后反思1. 教师在课后对课堂教学进行反思，分析教学过程中的优点与不足。
例说导数在高中数学中的应用
＿ ） ［ ， ） 是 增 函数 ． 厂 在 ０＋ （ 上
函 数 八 ） 点 。的 导 数 厂 （ ） 曲 线 Ｙ＝ （ 在 点 在 。 是 ｆ ）
当 ＞ ０时 ，（ ＿ ）＞ （ ） ０ 即 ｅ ＞１ （ ＞ ） 厂 ＿０ ： ， ＋ ０ ． 厂
（ ， （ 。 ） 的切 线 的 斜 率 ． 用 导 数 的 这 一 几 何 性 质 可 。＿ ） 处 厂 利
，
半，
’
பைடு நூலகம்
、
．
在ｆ ， ｌ 、 一口， ０ 上单调递增．
三 、 函数 最 （ ） 求 极 值
－＋ － ．知 ＝ √ 竽，
・ ．
．
０ ＝ ±
例 ３ 把长 ２ ０ｅ 宽 ９ ｍ 的矩形 铁皮 的 四角 切 去 相等 ４ ｍ， ０ ｅ
通过以上各例可以看出 ， 学 习导数这 部分 内容时 ， 在 我
单 解 法．
（ ４ ２ ）ｅ 宽 为 （ ０—２ ）ｅ 高 为 ｅ 则 盒 子 的 容 ２ ０— ｘ ｍ， ９ ｘ ｍ， ｍ，
积： Ｖ＝４ 一６ ０ ＋２ ６ ０ （ ＜４ ． ｘ ６ｘ １ ０ ｘ，０＜ ５） 令 Ｖ ０， 得 ＝２ ． ０
当 ０＜ ＜ ０时 ， ０ 当 ２ ＜ ５时 ， ０ ２ Ｖ ＞ ； ０＜ ４ Ｖ＜ ．
的正方形 ， 然后 折 成 一个 无盖 的长 方 体 盒 子 ， 上切 去 的正 方 角
形 的边长 为 多少 时 ， 子 的容 积 最大 ？最 大容 积是 多少 ？ 盒
解
数 学 学 习与 研 究
们 不 仅 要 掌 握 导 数 的 概 念 、 导 的 公 式 、 则 及 其 简 单 应 求 法
因此 ， 当 ＝２ ０时 ， 有 最 大 值 ２ ０ ０ ｍ ． ０ ０ ０ ｅ
导数在中学数学中的应用
导数在中学数学中的应用作者：金春张婷毅来源：《世纪之星·交流版》2017年第04期[摘要]导数是研究函数基本性质、变化率以及优化问题上强有力的工具，围绕着导数知识的高考命题研究层出不穷。
由于受学生思维水平以及认知结构的限制，导数的教学做了简化处理，教学过程以理解为主，淡化形式。
其次，围绕着导数中学常做大量技巧性的解题训练，突出其应用。
缺乏对该知识拓展和延伸，无法在更高的视野下重视所学内容。
本文将以导数为例，探究导数在中学数学的应用，将中学数学中已下移的导数知识进行深入，对没有进入中学的知识进行下放。
[关键词]高等数学；中学数学；导数一、导数的定义通过瞬时速度、瞬时变化率定义导数概念直观形象，符合中学生的认知水平。
但在教学过程中，存在以下问题。
1.学生对导数定义中的自变量趋于某一值没有充分理解，对“无限逼近”是不是意味着值能取得到存在困惑，有的学生认为一定在定义域范围内。
导数教学借鉴了国外课程设置，课程的编排采取“无极限导数”的策略，从注重形式化到借助直观物理模型引入导数概念，强调以理解为主，淡化形式，突出概念的本质，不再将导数概念过早地“形式化”，也导致学生对极限思想、无穷小量的理解不够。
如果引入导数的形式化定义，那么课程设置需要从讲述数列、数列极限、函数极限、函数连续性、到导数及其应用，微积分知识的完整性得到了充分的体现，但这种课程设置没有考虑学生的认知水平，学生的理解能力有限，抽象思维能力不够。
由此可见，对极限定义进行适当的引入和介绍，体会“无限逼近”的思想价值对导数概念教学设计的探索十分有必要。
同时要注意避免极限概念对导数本质的干扰，为了适应新的概念，个体必须对原有概念进行改造，使其适应新的情景，形成新的数学观。
为了透彻理解导数与导函数概念的极限思想，有必要讲述时函数的极限。
设是定义在点的某个空心领域内的函数，讨论当趋于时，对应的函数值能否趋于某个定数，尤其是在处是可以无定义的。
高中数学教学中导数的应用分析
也可以写成闭区间的形式 ，具体的解题思路及方法如下例题所示 ：例 ： 分析函数 ． 厂 （ ） ＝Ｘ ’ 一 ３ ｘ 在哪个区间为增函数 ，在哪个区间为减 函数 ？ 分析 ：在进行判断函数单调性时 ，首先可以对函数 厂 （ ） 进行求导让 ， 求解出不等式 广（ ） ＞ ０和 ． 厂 ’ （ ）＜０的解 ， 从而可以得到 ． 厂 ’ （ ） ＞０的解 为单调增函数区间 ， 而 广（ ）＜０ 的解为单调减 函数 区间。 解 题 ： 由 题 目 可 以 得 知 ， 厂 （ ） ＝ 一３ ｘ ， 所 以 厂 ’ （ ） ＝３ ｘ 一３ ＝３ （ ｘ一１ ） ＋１ ），设 厂 （ ） ＞０，则 可 以得 出 ＜ｌ 或者 Ｘ ＞ｌ，因 此 可 以 得 出 单 调 增 区 间 为 （ １ ， 扣） 和 （ 一， 一 １ ） 。 然 后 设 ｆ ’ （ ）＜Ｏ，则可 以得出 一 ｌ ＜ ＜ｌ，所以可以得出 ｆ （ ｘ １ 的单 调减区间 为 （ 一 １ ，１ ）． ４ ． ２函数在求解极值 中的应 用 在高中数学教学中，极值是高 中函数教学 中的难点也是重点，其涉及 到中学数学知识各个方面的运用。在解析函数最值问题时导数的应用不仅 能够简化解题过程， 而且步骤简单， 容易掌握 。 一般情况下 ， 如果函数 厂 （ ）
． ．
在闭区间 ｂ 】 上可导 ， 则， （ ） 在闭区间【 ｄ 上的最值求法分为两步就能够 完成 ： 第一步， 求 出函数 ｆ （ ｘ ） 在 （ ａ Ｊ ） ） 上的驻点 ， 第二步： 计算 厂 （ ｘ ） 在 驻点和端点的函数值， 然后进行 比 较可以得知，最小的为函数的最小值 ， 蜀 Ｉ 大的为函数的最大 值。这种方法还可以运用到函数图像中 ，因为在画函 数图像时也要求出函数的极值 ， 运用导数能够轻
．
． ．
在闭区间 ｂ 】 上可导 ， 则， （ ） 在闭区间【 ｄ 上的最值求法分为两步就能够 完成 ： 第一步， 求 出函数 ｆ （ ｘ ） 在 （ ａ Ｊ ） ） 上的驻点 ， 第二步： 计算 厂 （ ｘ ） 在 驻点和端点的函数值， 然后进行 比 较可以得知，最小的为函数的最小值 ， 蜀 Ｉ 大的为函数的最大 值。这种方法还可以运用到函数图像中 ，因为在画函 数图像时也要求出函数的极值 ， 运用导数能够轻
．
中学数学教案导数在函数中的应用
中学数学教案导数在函数中的应用一、教学目标：1. 理解导数的基本概念和性质。
2. 学会使用导数求解函数的极值、单调性、凹凸性等问题。
3. 能够运用导数解决实际问题，提高解决问题的能力。
二、教学内容：1. 导数的基本概念：导数的定义、导数的几何意义。
2. 导数的计算：基本导数公式、导数的四则运算、复合函数的导数。
3. 导数在函数中的应用：函数的单调性、极值、凹凸性、实际问题。
三、教学重点与难点：1. 重点：导数的基本概念、导数的计算方法、导数在函数中的应用。
2. 难点：导数的计算、函数的凹凸性判断、实际问题的解决。
四、教学方法：1. 采用启发式教学，引导学生主动探究导数的基本概念和性质。
2. 通过例题讲解，让学生掌握导数的计算方法。
3. 利用多媒体课件，直观展示函数的单调性、极值、凹凸性等概念。
4. 结合实际问题，培养学生的应用能力。
五、教学过程：1. 导入新课：回顾初中阶段学习的函数知识，引导学生思考函数的单调性、极值等问题。
2. 讲解导数的基本概念：介绍导数的定义，解释导数的几何意义。
3. 导数的计算：讲解基本导数公式，示范导数的四则运算，分析复合函数的导数。
4. 导数在函数中的应用：讲解函数的单调性、极值、凹凸性的判断方法，结合实际问题进行演示。
5. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固导数的基本概念和计算方法。
六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习兴趣和积极性。
2. 练习完成情况：检查学生课堂练习和课后作业的完成质量，评估学生对导数知识的掌握程度。
3. 实际问题解决：评估学生在解决实际问题时的应用能力，如能否灵活运用导数分析函数的性质。
七、教学拓展：1. 导数在高等数学中的应用：介绍导数在微积分、线性代数等高等数学领域的应用，激发学生的学习兴趣。
2. 导数与其他学科的联系：探讨导数在物理学、经济学等学科中的应用，拓宽学生的知识视野。
浅谈导数在高中数学教学中的应用
浅谈导数在高中数学教学中的应用【关键词】高中数学中的导数；应用导数是高中数学新教材中新增内容之一，它的引入给传统的中学数学内容注入了新的生机和活力，也为中学数学解决问题注入了新的途径和方法。
导数是高等数学的内容，是对函数图像和性质的总结和拓展，是研究函数单调性、极值、最值的重要工具。
利用导数可以解决现实生活中的最优化问题。
由此可见，它在高中教学中起着非常重要的作用。
本文从几个方面出发，谈一谈导数的应用。
1. 几何方面的应用在导数概念的基础上，结合函数图像来研究导数的几何意义是导数概念的延伸，是导数知识的重要内容。
导数是微积分中的重要基础概念，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。
在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。
可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导。
在解析几何中，我们求曲线的切线，只需要知道曲线的方程y=f（x）和曲线上的任意一点，利用对函数求导就可以得到这一点的切线方程。
下面给出求曲线的切线方程的方法步骤：（1）求导数，得到曲线在该点的切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，利用点斜式求出切线方程：y-f（x0）=f'（x0）（x-x0）例1. 试求曲线y=xlnx上点（1，2）的切线方程解：对函数f（x）=xlnx求导得f'（x）=lnx+1所以f'（1）=ln1+1=1，所以在点（1，2）的切线方程为y-2=1（x-1）即y=x+1切线方程：y=x+1先求出函数y=f（x）在x=x0处的导数，即曲线在该点处的切线斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线方程。
例2. 求垂直于直线2x-6y+1=0并且和曲线y=x3+3x2-5相切的直线方程。
解因为所求的直线与已知直线2x-6y+1=0垂直所以所求直线的斜率k1=-3又因为所求直线与y=x3+3x2-5相切，所以它的斜率k2=y'=3x2+6x因为k1=k2 即3x2+6x=-3所以（x+1）2=0 即x=-1代入曲线方程得y=（-1）3+3（-1）2-5=-3所以切点为（-1，-3）故所求直线方程为y+3=-3（x+1）即3x+y+6=0 。
高中数学导数及应用-不等式恒成立问题课件
利用数形结合来解决。
方法1：分离变量法(优先)
方法2：构造函数
，转化为 零点问题
方法3：构造两个函数的图象判断交点个数
方法4：转化为二次函数零点问题
方法5：转化为一次函数零点问题
类型五：利用导数研究函数与不等式问题
1、利用导数证明不等式的方法：证明
构造函数
。如果
，则F(x) 在
函数，同时若
，则由减函数的定义可知，
的值，要注意验证 左右的导数值的符号是否符 合取极值的条件。
（3）已知含参函数的极值点讨论 ①分类讨论根据 解（判断为极值点）
的存在性和解与区间的位置关系分为：“无、左、 中、右”，对四种分类标准进行取舍（或合并）；
②注意数形结合。
注意：（1）在函数的整个定义域内，函数的极 值不一定唯一，在整个定义域内可能有多个极大
（2）切点的三个作用：①求切线斜率； ②切点在切线上； ③切点在曲线上。
类型二：利用导数研究函数的单调性 (1)求函数的单调区间
方法:判断导函数的符号 步骤：①求函数定义域；
②求函数的导函数； ③解不等式f '(x) 0 (或 f '(x) 0)，求出 递增区间(或递减区间)。
注意：求单调区间前先求定义域（定义域优 先原则）；单调区间是局部概念，故不能用“∪” 连接，只能用“，”或“和”。
'( x) mi n
0；
函数f (x)在区间D单调递减 在f ' (x) 0在x D
恒成立 对x D, f ' (x) 0； max
试题研究：
例1、已知函数f (x) x ln x.
(1)若函数g(x) f (x) ax在区间e2, 上的增函数，
求a的取值范围；
导数在高中数学解题中的应用
导数在高中数学解题中的应用随着高中数学改革的进一步深化，高中数学教学中更多地突出知识的实用性和简洁性.导数是高中数学新教材中重要的知识之一，体现了现代数学思想.这几年的高考命题趋势表明：导数已经由以往的“配角”上升到“主角”，成为分析问题和解决问题的重要工具.将导数与传统内容结合，不仅能加强能力的考查力度，而且也使试题具有更广泛的实践意义.导数知识在研究解决实际问题中有着广泛的应用，主要应用于研究函数的单调区间、最值以及曲线的切线、某些不等式的证明等问题，所以，在高中教学中越来越显现出其重要性.导数对中学数学也有重要的指导作用.下面举例探讨导数在解题中的应用.当然，导数解决的问题还很多，我在这里仅举了其中几个例子.一、利用导数求函数的最值求函数的最值是高中数学的重点，也是难点，是高考经常要考查的内容之一，它涉及函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简单化，步骤清晰，也容易掌握，从而进一步明确了函数的性质.一般的，函数f（x）在闭区间[a，b]上可导，则f（x）在[a，b]上的最值求法：（1）求函数f（x）在（a，b）上的极值点；（2）计算f（x）在极值点和端点的函数值；（3）比较f（x）在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值.例1.求函数f（x）=x3-3x在[-3，2]上的最大值和最小值.分析：先求出f（x）的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可得该函数在区间[-3，2]上的最大值和最小值.解：由于f′（x）=3x2-3=3（x2-1）=3（x+1）（x-1），则，当x∈[-3，-1）或x∈（1，2]时，f′（x）>0，所以[-3，-1]，[1，2]为函数f（x）的单调增区间；当x∈（-1，1）时，f′（x）<0，所以[-1，1]为函数f（x）的单调减区间.又因为f（-3）=-18，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2，所以，当x=-3时，f（x）取得最小值-18；当x=-1或2时，f（x）取得最大值2.二、利用导数判别函数的单调性函数的单调性是函数的最基本性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识.用单调性的定义来处理单调性问题有很强的技巧性，较难掌握好，而用导数知识来判断函数的单调性简便而且快捷.令f′（x）=0得x=1，又当x=0时导数不存在；以0和1为分界点将f（x）的定义域（-∞，+∞）分成三个区间（-∞，0），（0，1），（1，+∞）.先将f（x）在各区间内单调增减性列表如下：由此可见，f（x）的单调增区间为（-∞，0），（1，+∞），单调减区间为（0，1）.三、用导数证明不等式利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点.其主要思想是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式.例3.当x∈（0，π）时，证明不等式sinx<x成立.证明：设f（x）=sinx-x，则有f′（x）=cosx-1由已知得x∈（0，π），则有f′（x）<0. .因为f（x）=sinx-x在x∈（0，π）内单调递减，而f（0）=0，所以f（x）=sinx-x<f（0）=0，故当有x∈（0，π）时，sinx<x成立.一般的，证明f（x）<g（x），x∈（a，b），可以构造函数f（x）=f（x）-g（x），如果f′（x）<0，则f（x）在（a，b）上是减函数，同时若f （a）≤0，由减函数的定义可知，x∈（a，b）时，有f（x）<0，即证明了f（x）<g（x）.四、导数在求曲线的切线中的应用导数的几何意义：如果函数f（x）的导数存在，则的函数f（x）在x=x0处的导数即为该函数在点（x0，f（x0））切线的斜率.利用这个我们可以求出曲线的切线方程.例4.已知曲线l∶y=x2-2x+a，求过点p（2，-1）的曲线l的切线方程.解：因y=x2-2x+a，所以y′=2x-2，则当x=2时，y=a，y′=2.①当a=-1时，点p（2，-1）在曲线l上，故过点p的曲线l的切线方程为y-（-1）=2（x-2），即2x-y-5=0，②当a≠-1时，点p不在l上，设曲线l过点p的切线的切点是（x0，y0），则切线方程为y-y0=（2x0-2）（x-x0）且点p（2，-1）在此切线方程上，所以有-1-y0=（2x0-2）（2-x0），即y0=2x20-6x0+3.又y0=x20-2x0+a，则有x20-2x0+a=2x20-6x0+3，即x20-4x0+（3-a）=0，δ=16-4（3-a）=4（a+1），当a<-1时，δ<0，切线不存在.五、利用导数解决数列问题数列是高中数学中的一个重要部分，而数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一，有许多初等解决方法.事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数，所以可以利用数列和函数的关系，再运用导数来解决数列求和的有关问题.例5.求和：1+2x+3x2+…+nxn-1（其中x≠0，x≠1）.（作者单位陕西省定边县职教中心）。
导数在高中数学中的应用
例 ２ 确定 函数 ／ ＝ 一 ｘ在哪个 区间是增 函数 ，在哪个区间是减函数． ） ３
图 １ 函数 Ｙ＝ ＋ ｘ 一１ｘ ０的 图 象 ６ ５ 一２
分析
解
对 函数 ｆ ｘ 求导 ，求不等式 ／（） Ｏ和 ／ ） Ｏ的解 ，则 ｆ ） Ｏ的解 为单调增 区间 ，／ ＜ （） ＞ ＜ ＞ ） Ｏ的解为单调 区间．
数的知识 ，本题 的实质是确定新构造 函数 Ｙ：ｇｘ 的最大值． （） 解 令 ｇｘ ＝ 一 ／ —２ 故 对 任 意 ∈卜１２ （） ： ２ Ｘ ， 】，
例 ３ 已知函数 Ｊ ＝ 一 ／ —２ ｃ 若对 ∈ －， 】 ／ ＜ｃ 厂 ： ２ ｘ＋ ： ） ［ １２ ， （ 恒成立 ，求 ｃ的取值范 围
分析 这类题 目解决 的关键 在于深刻 理解并灵 活运 用导 表 ２ ｇ ， （） 变化情况 ） 的
在驻点 和端 点的函数值 ，比较 而知 ，最大的一个是最 大值 ，最 小的一个 是最 小值．
解’作函 的 （ ，＋∞）． 象 （ 婺 ｉ义 一 一 图 ・ １ 数 ： ‘ ＝ ＝ ＿＝ ＿ 二 — 二 ＿ — — ．
。 。
（） ２曲线与 ， Ｙ轴交点分别为 （５ ４￣）２ － ＋ ｉ－ ， － （ － ／
Ｏ，－， ） （ ５ ４ ｏ）２ Ｏ，Ｏ 一２） ）（Ｉ０ ； （ ＋ １５／， ）（， ０ ・ 一 解 得 ： ：一， ． ５１ —
、 ，
／凹
８ ０
＼凸
２ ６
＼凹
一８ ２
—
令 ｙ ＝６ ＋１ ＝６ ｘ ２ ＋２：Ｏ，解得 ＝一 ） ２．
＋
，
函数 的单 调性是 函数 的最基本性 质之 一 ，是 研究 函数所要 掌握 的最基本 的知 识 ．用单调性 的定义来处理单 调性 问题 有很强的技巧性 ， 较难掌握好 ，而用导数知 识来判 断函数的单调性简便而且快 捷．
图 １ 函数 Ｙ＝ ＋ ｘ 一１ｘ ０的 图 象 ６ ５ 一２
分析
解
对 函数 ｆ ｘ 求导 ，求不等式 ／（） Ｏ和 ／ ） Ｏ的解 ，则 ｆ ） Ｏ的解 为单调增 区间 ，／ ＜ （） ＞ ＜ ＞ ） Ｏ的解为单调 区间．
数的知识 ，本题 的实质是确定新构造 函数 Ｙ：ｇｘ 的最大值． （） 解 令 ｇｘ ＝ 一 ／ —２ 故 对 任 意 ∈卜１２ （） ： ２ Ｘ ， 】，
例 ３ 已知函数 Ｊ ＝ 一 ／ —２ ｃ 若对 ∈ －， 】 ／ ＜ｃ 厂 ： ２ ｘ＋ ： ） ［ １２ ， （ 恒成立 ，求 ｃ的取值范 围
分析 这类题 目解决 的关键 在于深刻 理解并灵 活运 用导 表 ２ ｇ ， （） 变化情况 ） 的
在驻点 和端 点的函数值 ，比较 而知 ，最大的一个是最 大值 ，最 小的一个 是最 小值．
解’作函 的 （ ，＋∞）． 象 （ 婺 ｉ义 一 一 图 ・ １ 数 ： ‘ ＝ ＝ ＿＝ ＿ 二 — 二 ＿ — — ．
。 。
（） ２曲线与 ， Ｙ轴交点分别为 （５ ４￣）２ － ＋ ｉ－ ， － （ － ／
Ｏ，－， ） （ ５ ４ ｏ）２ Ｏ，Ｏ 一２） ）（Ｉ０ ； （ ＋ １５／， ）（， ０ ・ 一 解 得 ： ：一， ． ５１ —
、 ，
／凹
８ ０
＼凸
２ ６
＼凹
一８ ２
—
令 ｙ ＝６ ＋１ ＝６ ｘ ２ ＋２：Ｏ，解得 ＝一 ） ２．
＋
，
函数 的单 调性是 函数 的最基本性 质之 一 ，是 研究 函数所要 掌握 的最基本 的知 识 ．用单调性 的定义来处理单 调性 问题 有很强的技巧性 ， 较难掌握好 ，而用导数知 识来判 断函数的单调性简便而且快 捷．
导数在中学数学解题中的应用
， ）为常 函数。 ＾ （ 例 ３ｆ（ 二３ 一 为递增函数的区间是 （ ） ， ｘ） ｘ Ａ ｔ∞－ ） Ｂ（＋ ） ． １ 一 ． ｃ（ １ Ｌ∞ 一１） （。一ＩＬ（， 一 ） Ｉ ＋ １ ） 解：． ） —３ ＝ ｌ ） ＋Ｘ ，令 ’ 》０，解镡 ： ｌ ＜ｌ 厂 ＝３ ｘ 一 ｆ ） ｌ ，（ ＜ 故 Ｃ
Ｊ ，
极ｄ 、 值 ｔ
厂ｆ ：０， 如果函数在这点有极大 （ 值， 小） 那么在这点函数就取得了最大
（ ） ， 里所 说 的 区间不 仅 适用 于 闭 区间， 小 值 这 也适 用 于开 区 间或无 穷 区 间
如果， 在点ｘ附 侧厂（ ０ 倒厂（ ０ 么， ） （ ０ 近左 ＞ ，右 ＜ ，那 为极大 僮； 如粜厂 在点 附 侧厂（ ＜ ，右 ∽ 近左 】 ０ 侧厂 ） ０ 么， ） ０ ＞ ，那 为极小 值。
例 ４． 敷 ｙ＝ｌ 函 ＋ｈ —Ｘ 宥
Ａ —Ｌ ｌ
Ｂ． ， 一２３
Ｃ 一 ２２ ，
Байду номын сангаас
Ｄ —ｌ ， ３
解：）＝ 一 ， ： ， ＝ １ 列表如 ， ３ 令 ０ 得 ±， 下
ｏ，１ 一１ （ Ｌ） ｏ ） 一 ＿１
Ｏ ＋
１
Ｏ
（＋。 Ｌａ ）
） ，
当０＜ ＜１ ０时， ） ： ０ ＜２ 时Ｖ０）＝ Ｖ’ ＞０ 当１ ４ 《０
因 此 ，当 ： １ 时 ， 取 得 极 大 值 ，也 就 是 取 得 最 大 值 。所 以，当 ０
＝
数： Ｉ ）： ， （） 减函 如 某 如果厂 ０ 则厂 为 数： 果在 个区间内 有厂（） ， 恒 ＝０则
解 ： 容器 的 高为 ． ， 设 体积为 Ｖ（ ， ｃ ） 则 ｍ
Ｊ ，
极ｄ 、 值 ｔ
厂ｆ ：０， 如果函数在这点有极大 （ 值， 小） 那么在这点函数就取得了最大
（ ） ， 里所 说 的 区间不 仅 适用 于 闭 区间， 小 值 这 也适 用 于开 区 间或无 穷 区 间
如果， 在点ｘ附 侧厂（ ０ 倒厂（ ０ 么， ） （ ０ 近左 ＞ ，右 ＜ ，那 为极大 僮； 如粜厂 在点 附 侧厂（ ＜ ，右 ∽ 近左 】 ０ 侧厂 ） ０ 么， ） ０ ＞ ，那 为极小 值。
例 ４． 敷 ｙ＝ｌ 函 ＋ｈ —Ｘ 宥
Ａ —Ｌ ｌ
Ｂ． ， 一２３
Ｃ 一 ２２ ，
Байду номын сангаас
Ｄ —ｌ ， ３
解：）＝ 一 ， ： ， ＝ １ 列表如 ， ３ 令 ０ 得 ±， 下
ｏ，１ 一１ （ Ｌ） ｏ ） 一 ＿１
Ｏ ＋
１
Ｏ
（＋。 Ｌａ ）
） ，
当０＜ ＜１ ０时， ） ： ０ ＜２ 时Ｖ０）＝ Ｖ’ ＞０ 当１ ４ 《０
因 此 ，当 ： １ 时 ， 取 得 极 大 值 ，也 就 是 取 得 最 大 值 。所 以，当 ０
＝
数： Ｉ ）： ， （） 减函 如 某 如果厂 ０ 则厂 为 数： 果在 个区间内 有厂（） ， 恒 ＝０则
解 ： 容器 的 高为 ． ， 设 体积为 Ｖ（ ， ｃ ） 则 ｍ
导数在中学数学中的应用
性质1函数在内可导，且在任意子空间内都不恒等于0.当时：
函数在上单调递增；
函数在上单调递减；
性质2（1）函数的极小值，若函数在点处的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，若在附近导数存在，，而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值.
（2）函数的极大值，若函数在点处的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，若在附近导数存在，，而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值。
4.1 导数在函数问题中的应用
导数在函数中应用比较广泛，在求函数的单调区间，分析函数的单调性都用到了导数，导数作为一种有用的数学方法，在解决函数问题时可以使复杂的函数问题简单化。导数不仅可以分析函数的图像，在研究函数的单调性、确定函数在给定区间的根个数、极值及最值时都利用到了导数的某些性质。在解决中学函数问题时，本节利用导数判断函数的单调性，求函数的极值和最值等等。即应用求导数的方法来解决函数问题。
2.2 国内外研究现状评价
导数无论是在数学理论的研究或者实际应用中都相当重要，现查阅到的国内外资料中，有关导数的中值定理研究成果颇多，许多文献对中值定理的证明方法进行了改进，提出了其它的证明方法，这极大扩展了导数理论的研究范围。但是几乎所有的参考文献都是针对导数的有关理论进行了理论方面的证明研究，而对于它们在数学中的具体应用还没有触及，然而研究导数在数学中的具体应用才具有比较好的实用价值。如何在已有资料的基础上扩展导数在中学数学中具体应用的例子，并分析这些例子更进一步的价值意义是有关导数应用方面的一项很有意义的研究工作。
3 预备知识
在应用导数工具函数的单调性，单调区间，极值，最值等问题之前，下面对所涉及到的知识点进行列举。
定义1 假设存在一个函数，它定义在点的某个区域内。那么如果
函数在上单调递增；
函数在上单调递减；
性质2（1）函数的极小值，若函数在点处的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，若在附近导数存在，，而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值.
（2）函数的极大值，若函数在点处的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，若在附近导数存在，，而且在点附近的左侧，右侧，则点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值。
4.1 导数在函数问题中的应用
导数在函数中应用比较广泛，在求函数的单调区间，分析函数的单调性都用到了导数，导数作为一种有用的数学方法，在解决函数问题时可以使复杂的函数问题简单化。导数不仅可以分析函数的图像，在研究函数的单调性、确定函数在给定区间的根个数、极值及最值时都利用到了导数的某些性质。在解决中学函数问题时，本节利用导数判断函数的单调性，求函数的极值和最值等等。即应用求导数的方法来解决函数问题。
2.2 国内外研究现状评价
导数无论是在数学理论的研究或者实际应用中都相当重要，现查阅到的国内外资料中，有关导数的中值定理研究成果颇多，许多文献对中值定理的证明方法进行了改进，提出了其它的证明方法，这极大扩展了导数理论的研究范围。但是几乎所有的参考文献都是针对导数的有关理论进行了理论方面的证明研究，而对于它们在数学中的具体应用还没有触及，然而研究导数在数学中的具体应用才具有比较好的实用价值。如何在已有资料的基础上扩展导数在中学数学中具体应用的例子，并分析这些例子更进一步的价值意义是有关导数应用方面的一项很有意义的研究工作。
3 预备知识
在应用导数工具函数的单调性，单调区间，极值，最值等问题之前，下面对所涉及到的知识点进行列举。
定义1 假设存在一个函数，它定义在点的某个区域内。那么如果
导数在高中数学中的应用
一
—
—
，
．
＋ ） 上单调递增 ，而 ｘ ： ＞１ ，所以 ｘ ２ 一ｉ ｉ 一 ２ １ ｎ ｘ ２ ＞ １— １ １ ～２Ｉ ｎ１＝０ ． 这与 （ ） 式矛盾。 故不存在 ａ ，使得 ｋ＝ ２一 ａ 。 点评 ：本题充分体现了分类讨论思想 ． 近 几年新课标高考常考查含参数的导数问题，难 度中等偏上，考生最容易失分的就是对参数的 分类 标 准把 握不 准 ，导致 分类 不 全等 情况 。 三 、求函数极值或最值 最 值问题是高 中数学 的一个重点 ，也是 个难点 ，它涉及到 了高 中数学 知识 的各个 方 面 ，要 解 决 这 类 问题 往 往 需 要 各 种 技 能 ， 并且需要选择合理的解题途径 ． 用导数解决这 类问题可 以使解题 过程简化 ，步骤清晰 ，学 ｄ 生也好掌握 。应注意 函数 的极值 与最值 的 区 ①当ｌ ａ ｌ ≤２ 时，Ａ ≤ ０ ，ｆ ｆ ｘ ） ≥０ ． 故 别与联 系，极值是一个局 部性概念 ，最值是 ｉ ｆ ｘ ） 在ｆ ０ ，＋＊） 上单调递增。 某个区间的整体性概念 。 ②当ａ ＜一 ２ 时 ，Ａ ＞ ０ ， ＝０ 的两 例题 ３已知函数 ｆ ｆ ｘ ） ＝ｘ ３ ＋ａ ｘ ＋ｂ ｘ＋ｃ ， （ ｘ 】 在 点 ｘ＝ １ 处 的切 线 为 ｌ ： 根 都小 于 ０ ． 在（ ０ ，＋ ＊） 上 ，ｆ （ ｘ ） ＞０ ． 故 曲线 Ｙ＝ ｆ ｉ ｆ ｘ ） 在（ ０ ，＋。 。） 上 单 调递 增 。 ３ ｘ— Ｙ＋ １＝ ０ ， 若 ｘ＝ 车时 ，Ｙ＝ ｆ ｉ ｘ ） ③ 当 ａ＞ ２时 ， Ａ ＞ ０ ， ＝ ０的 两 根 有 极值 。 求 ａ ，ｂ ，ｃ的 值 ；求 Ｙ＝ ｆ （ ｘ ） 在【 一３ ， １ ］ 为ｘ １ ＝ ，ｘ ２ ＝ ． 当 ０＜ ｘ＜ ｘ ｌ 时 ，ｆ （ ｘ ） ＞０ ，当 ｘ ｌ ＜ｘ 上 的最 大 值 和最 小 值 。 解析 ： （ １ ） 由ｆ （ ｘ 】 ＝ｘ 。 ＋ａ ｘ ＋ｂ ｘ＋ ｃ ， ＜ｘ ２ 时 ，ｆ ，（ ｘ ） ＜Ｏ ；当 ｘ＞ ｘ ２ 时 ，ｆ ，（ ｘ ） ＞ ０ ． 故ｆ （ ｘ ） 分别在 （ ０ ， ｘ ） ， ，＋ ） 上单调递增 ， 得ｆ ，（ ｘ １ ：３ Ｘ ２ ＋２ ａ ｘ＋ ｂ ，当 ｘ＝ １ 时， 在 ｘ 。 ，ｘ ） 上单调递减。 切线 ｌ 的斜率为 ３ ，可得 ２ ａ＋ ｂ＝ ０ ． ① （ ２ ）由 （ １ ） 知 ，ａ＞ ２ ，因 为 ｆ （ ｘ ）一 当ｘ ＝季 时， Ｙ ：ｆ （ ｘ ） 有极值， 则 臼＝０ ， ａ＋ ３ ｂ＋ ４＝０ ． ② ㈨ ＝ ｘ １ 一ｘ ２ ） ＋ 一 ａ ０ ｎｘ １ 一Ｉ ｎ ｘ ２ ） ，所 以 ， 可得 ４ ｋ ＝ ＝ １＋ ｘ ｌ ｘ ２ 一 ａ’ ｌ ｎ ｘ Ｔ － Ｉ ｎ ｘ ２ 由①②解得 ａ＝ ２ ，ｂ＝一 ４ ． 由于切点的 又由（ １ ） 知， 横 坐标 为 ｘ １ ，． ’ ． ｆ １ ） ＝４ ， Ｘ １ ｘ ２ ＝１ ，于是 ｋ＝ ２一 ａ・ ． １＋ ａ＋ ｂ＋ ｃ＝ ４， ． 。 ．ｃ＝ ５ ． 若存在 ａ ， 使得 ｋ＝２ 一ａ ， 则 ：１ ．
—
—
，
．
＋ ） 上单调递增 ，而 ｘ ： ＞１ ，所以 ｘ ２ 一ｉ ｉ 一 ２ １ ｎ ｘ ２ ＞ １— １ １ ～２Ｉ ｎ１＝０ ． 这与 （ ） 式矛盾。 故不存在 ａ ，使得 ｋ＝ ２一 ａ 。 点评 ：本题充分体现了分类讨论思想 ． 近 几年新课标高考常考查含参数的导数问题，难 度中等偏上，考生最容易失分的就是对参数的 分类 标 准把 握不 准 ，导致 分类 不 全等 情况 。 三 、求函数极值或最值 最 值问题是高 中数学 的一个重点 ，也是 个难点 ，它涉及到 了高 中数学 知识 的各个 方 面 ，要 解 决 这 类 问题 往 往 需 要 各 种 技 能 ， 并且需要选择合理的解题途径 ． 用导数解决这 类问题可 以使解题 过程简化 ，步骤清晰 ，学 ｄ 生也好掌握 。应注意 函数 的极值 与最值 的 区 ①当ｌ ａ ｌ ≤２ 时，Ａ ≤ ０ ，ｆ ｆ ｘ ） ≥０ ． 故 别与联 系，极值是一个局 部性概念 ，最值是 ｉ ｆ ｘ ） 在ｆ ０ ，＋＊） 上单调递增。 某个区间的整体性概念 。 ②当ａ ＜一 ２ 时 ，Ａ ＞ ０ ， ＝０ 的两 例题 ３已知函数 ｆ ｆ ｘ ） ＝ｘ ３ ＋ａ ｘ ＋ｂ ｘ＋ｃ ， （ ｘ 】 在 点 ｘ＝ １ 处 的切 线 为 ｌ ： 根 都小 于 ０ ． 在（ ０ ，＋ ＊） 上 ，ｆ （ ｘ ） ＞０ ． 故 曲线 Ｙ＝ ｆ ｉ ｆ ｘ ） 在（ ０ ，＋。 。） 上 单 调递 增 。 ３ ｘ— Ｙ＋ １＝ ０ ， 若 ｘ＝ 车时 ，Ｙ＝ ｆ ｉ ｘ ） ③ 当 ａ＞ ２时 ， Ａ ＞ ０ ， ＝ ０的 两 根 有 极值 。 求 ａ ，ｂ ，ｃ的 值 ；求 Ｙ＝ ｆ （ ｘ ） 在【 一３ ， １ ］ 为ｘ １ ＝ ，ｘ ２ ＝ ． 当 ０＜ ｘ＜ ｘ ｌ 时 ，ｆ （ ｘ ） ＞０ ，当 ｘ ｌ ＜ｘ 上 的最 大 值 和最 小 值 。 解析 ： （ １ ） 由ｆ （ ｘ 】 ＝ｘ 。 ＋ａ ｘ ＋ｂ ｘ＋ ｃ ， ＜ｘ ２ 时 ，ｆ ，（ ｘ ） ＜Ｏ ；当 ｘ＞ ｘ ２ 时 ，ｆ ，（ ｘ ） ＞ ０ ． 故ｆ （ ｘ ） 分别在 （ ０ ， ｘ ） ， ，＋ ） 上单调递增 ， 得ｆ ，（ ｘ １ ：３ Ｘ ２ ＋２ ａ ｘ＋ ｂ ，当 ｘ＝ １ 时， 在 ｘ 。 ，ｘ ） 上单调递减。 切线 ｌ 的斜率为 ３ ，可得 ２ ａ＋ ｂ＝ ０ ． ① （ ２ ）由 （ １ ） 知 ，ａ＞ ２ ，因 为 ｆ （ ｘ ）一 当ｘ ＝季 时， Ｙ ：ｆ （ ｘ ） 有极值， 则 臼＝０ ， ａ＋ ３ ｂ＋ ４＝０ ． ② ㈨ ＝ ｘ １ 一ｘ ２ ） ＋ 一 ａ ０ ｎｘ １ 一Ｉ ｎ ｘ ２ ） ，所 以 ， 可得 ４ ｋ ＝ ＝ １＋ ｘ ｌ ｘ ２ 一 ａ’ ｌ ｎ ｘ Ｔ － Ｉ ｎ ｘ ２ 由①②解得 ａ＝ ２ ，ｂ＝一 ４ ． 由于切点的 又由（ １ ） 知， 横 坐标 为 ｘ １ ，． ’ ． ｆ １ ） ＝４ ， Ｘ １ ｘ ２ ＝１ ，于是 ｋ＝ ２一 ａ・ ． １＋ ａ＋ ｂ＋ ｃ＝ ４， ． 。 ．ｃ＝ ５ ． 若存在 ａ ， 使得 ｋ＝２ 一ａ ， 则 ：１ ．
导数在高中数学学习中的应用
导 数 的概 念 ： 函数 ） ，
） 在
。 处
极值、 最值 问题是高 中数学的一个重 ＋ Ｈ ｃ ， ｒ ； 最后令 ｘ ＝ ｌ ， 就可以得到我们要
点， 也 是一个难 点． 它 涉 及 到 了 高 中 数 学 证 的等 式 ．
的瞬时变化率是 ：
且
知识的各个方面 ， 用导数解决这类 问题可 步 骤清晰 ， 学 生也 好 会 ｝ 称 为 函 数 ｙ ） ￣ ｘ ＝ ｘ ｏ 处 的 导 以使 解题过程 简化 ， 数， 记作／（ 靴） 或ｙ ’ ｏ ．
例 １ 已 知 函数 ） ＝２ ｘ ３ ＋ ５ ， 求 ．
证明： （ １ ） ｎ ＝ ｃ ： ＋ ｃ ＋ ｃ ： ｚ ＋ ｃ ： 。
＋… ＋ ｎ Ｃ ，
掌握 ． 函数 的最值 与极值 是函数的重要 内
不可 分 割 ． 现举 例 说 明 ：
容 之一 ， 它们有 区别 ， 又存在一定的联系 ， 例 ２ 已知 函数 厂 （ ） ＝ 。 ＋ ＋ ｂ ｘ ＋ ｃ ， 当Ｎ ＝ － ｌ时 ， 取得极 大值 ７ ， 当ｘ ＝ ３时 ， 取 得极小值 ， 求极 小值及函数的解析式．
＞０ ，
・ ． ．
数 的知识 ， 可 以解决 初等 数学 中的一 些
问题 ．
数进行判断 ： 即设函数 ， ，
） 在某个区间
） 在（ １ ， ＋ 。 。） 上是增函数．
当 ＞１时 ） 一 １ ｎ （ １ ） ＞ ０ ，
内可导 ， 若ｆ（ ） ＞０ ， 则在这个 区间上为增
３ 厂 （ ２ ） ＝ 一 ７ ２ ．
［ １ ］ 薛金星 主编 ． 中学教材全 解． 选修
２ －２
导数 的几何意 义是指 ：过 曲线上 的 任 一 点处 的导 数 即 为过 该 点 的切 线 的
导数在中学数学中的应用
一
了＿了 ÷。 ：， ４ ÷１÷＋ ３ｏ ： Ｉ 一 ｕ ： 了 ＝ 得 得。
・ ． ．
＿ ）＝ 一 ｘ 一３ ． 厂 （ ４ ｘ
＝ ，
令－ ）＝ — 一３： ， 厂（ ３２ ８ ｏ 解得 ＝一 １ 了
ｌ （ ３） １， ３ （ ４） ３，
２ 求 参 数 的 值 ．
１ Ⅳ
３， 则
４
例 ２ 已知 函数 ＿ ）＝ 厂 （
＋
（ ∈Ｒ） 区 间 ［一１ １］ 在 ，
厂 ） ｌ（ ＿ ） 厂 （
’ ． ．
上 是 增 函 数 ， 实数 ａ的取 值 所 组成 的集 合 Ａ． 求 解 － ）＝ 尸（
’
．
．
【 关键词 】 导数； 函数； 数列； 方程； 切线
导数 在 中学数学 中的应 用非 常广泛 ， 涉及 中学 数学 的 各个 方 面． 应用 导数处 理 问题不需 要很 高 的思 维能 力 ， 出 了通 法 ， 突 淡 化 了技 巧． 面分类 例析导 数在 中学数 学 中的具体 应用． 下 导 数 在 函 数 问题 中的 应 用
分 析 对 函 数 八 ） 导 ， 不 等式 ＿（ ＞ 求 求 厂 ） ０和厂（ ） ５ ３ ‘ ０的 解 ， ＿（ 则 厂 ）＞０的解 为单 调增 区 间 ， （ 厂 ）＜０的 解 为 单 调 减 区间 ． 解 ．厂 ’ （ 一３ ．＿（ ｌ ）＝ ，． ）＝ ｘ 厂 ３ 一３＝３ ３＋１ （ （ ５ ） 一１ ． ）
例 ３ 确 定 函 数 ｆ ）＝ 一３ （ ｘ在 哪 个 区 间是 增 函数 ，
在 哪个 区间是 减 函数．
把 握 好 度． 文就 导 数 的 有 关 知 识 在 中 学 数 学 中 的 应 用 进 本
了＿了 ÷。 ：， ４ ÷１÷＋ ３ｏ ： Ｉ 一 ｕ ： 了 ＝ 得 得。
・ ． ．
＿ ）＝ 一 ｘ 一３ ． 厂 （ ４ ｘ
＝ ，
令－ ）＝ — 一３： ， 厂（ ３２ ８ ｏ 解得 ＝一 １ 了
ｌ （ ３） １， ３ （ ４） ３，
２ 求 参 数 的 值 ．
１ Ⅳ
３， 则
４
例 ２ 已知 函数 ＿ ）＝ 厂 （
＋
（ ∈Ｒ） 区 间 ［一１ １］ 在 ，
厂 ） ｌ（ ＿ ） 厂 （
’ ． ．
上 是 增 函 数 ， 实数 ａ的取 值 所 组成 的集 合 Ａ． 求 解 － ）＝ 尸（
’
．
．
【 关键词 】 导数； 函数； 数列； 方程； 切线
导数 在 中学数学 中的应 用非 常广泛 ， 涉及 中学 数学 的 各个 方 面． 应用 导数处 理 问题不需 要很 高 的思 维能 力 ， 出 了通 法 ， 突 淡 化 了技 巧． 面分类 例析导 数在 中学数 学 中的具体 应用． 下 导 数 在 函 数 问题 中的 应 用
分 析 对 函 数 八 ） 导 ， 不 等式 ＿（ ＞ 求 求 厂 ） ０和厂（ ） ５ ３ ‘ ０的 解 ， ＿（ 则 厂 ）＞０的解 为单 调增 区 间 ， （ 厂 ）＜０的 解 为 单 调 减 区间 ． 解 ．厂 ’ （ 一３ ．＿（ ｌ ）＝ ，． ）＝ ｘ 厂 ３ 一３＝３ ３＋１ （ （ ５ ） 一１ ． ）
例 ３ 确 定 函 数 ｆ ）＝ 一３ （ ｘ在 哪 个 区 间是 增 函数 ，
在 哪个 区间是 减 函数．
把 握 好 度． 文就 导 数 的 有 关 知 识 在 中 学 数 学 中 的 应 用 进 本
导数在高中数学中的应用探析
为 Ｙ—ｌ２＝ ８（ ｎ － 一１ ， ３ ２ ２ｎ ３＝ ． － ） 即 ｘ一 ｙ＋ １２— ０
由此可 知 ，（ 为 Ｒ上 的增 函数 ． ｇ ）
１ ２ 求 函数 的单调 区间 ．
例 ２ 函数 ） 一 ５ ３ｘ ６的单调减 ＝ １ｘ 一 ３ ＋ 区 间为 ． 分析 ： 考查 利用 导数 求 函数 的单 调 区间．
厶
解： 由已知 ｇ（ ） ２ 而厂（ ） ｇ （ ＋ ｘ １ ＝ ， ＝ ） ２ ， 所 以厂（ ）＝ｇ （ ）＋ ＝ ， １ １ ２Ｘ１ ４ 故选 Ａ ．
２ ２ 求 曲线 的切 线方程 ．
Ｒ 上 是增 函数 ． 分 析 ： 求 导再判 断 导数 的符 号． 先 证明 ： 由题设 ， 厂（ 得 ）＝ ｅ ２（ ）＋ ２ ｈ一 ｔ ｅ ＋１ ２ ，
解 （ ）＝ ｘ ３ 一３ｘ一３ ０ ３＝３ 一１ ） ＋１ ， （ （ １ ） 由（ 一１ ） ＋１ ０， 单 调 减 区间 为 （一１１ ） １（ ）＜ 得 ，１ ． 亦 可填 写 闭 区间或 半开 半 闭 区间．
３ 利 用 导 数 研 究 函数 的 极值
３ １ 求 函数 的 极值 ．
当 ０＜ 时 ， ）＞ ， ｇ ０ ｏ ＜ ｇ（ ｏ 而 （ ）＝ ，
１３ 已知 函数在某区间上单调 ， ． 求参数的取值 范围
ｌ
例 ６ 已知 函数 ） 一３ｘ 一９ ＋口． ＝ ａ ａ 。设
侈 若 ） ÷ ＋ ｌ ｘ ２ 在（ １ ＋ ０ ３ ＝一 ｂ （ ＋ ） 一 ， ｎ
厶
ｎ＝ ， １求函数， 的极值． （） 解 ： ｎ 时， 当 ＝１ 对函数， 求导， （ ） 得 ．（ ＝３ 一 一 ， 厂 ） ｘ ６ ９ ，
又 由２ ｅ ｅ ＋ ≥２ ， ｔ ２ ２ Ａ－ ＜ √ ， 且
由此可 知 ，（ 为 Ｒ上 的增 函数 ． ｇ ）
１ ２ 求 函数 的单调 区间 ．
例 ２ 函数 ） 一 ５ ３ｘ ６的单调减 ＝ １ｘ 一 ３ ＋ 区 间为 ． 分析 ： 考查 利用 导数 求 函数 的单 调 区间．
厶
解： 由已知 ｇ（ ） ２ 而厂（ ） ｇ （ ＋ ｘ １ ＝ ， ＝ ） ２ ， 所 以厂（ ）＝ｇ （ ）＋ ＝ ， １ １ ２Ｘ１ ４ 故选 Ａ ．
２ ２ 求 曲线 的切 线方程 ．
Ｒ 上 是增 函数 ． 分 析 ： 求 导再判 断 导数 的符 号． 先 证明 ： 由题设 ， 厂（ 得 ）＝ ｅ ２（ ）＋ ２ ｈ一 ｔ ｅ ＋１ ２ ，
解 （ ）＝ ｘ ３ 一３ｘ一３ ０ ３＝３ 一１ ） ＋１ ， （ （ １ ） 由（ 一１ ） ＋１ ０， 单 调 减 区间 为 （一１１ ） １（ ）＜ 得 ，１ ． 亦 可填 写 闭 区间或 半开 半 闭 区间．
３ 利 用 导 数 研 究 函数 的 极值
３ １ 求 函数 的 极值 ．
当 ０＜ 时 ， ）＞ ， ｇ ０ ｏ ＜ ｇ（ ｏ 而 （ ）＝ ，
１３ 已知 函数在某区间上单调 ， ． 求参数的取值 范围
ｌ
例 ６ 已知 函数 ） 一３ｘ 一９ ＋口． ＝ ａ ａ 。设
侈 若 ） ÷ ＋ ｌ ｘ ２ 在（ １ ＋ ０ ３ ＝一 ｂ （ ＋ ） 一 ， ｎ
厶
ｎ＝ ， １求函数， 的极值． （） 解 ： ｎ 时， 当 ＝１ 对函数， 求导， （ ） 得 ．（ ＝３ 一 一 ， 厂 ） ｘ ６ ９ ，
又 由２ ｅ ｅ ＋ ≥２ ， ｔ ２ ２ Ａ－ ＜ √ ， 且
论文浅谈导数的应用
浅谈导数的应用摘要：法国数学家费马为研究极值问题而引入了导数的思想，导数是我们进一步学习数学和其他自然科学的基础，是研究现代科学技术中必不可少的工具．我们要明确导数的内涵，知道运用导数思想解题的方法，从而通过提出问题的数学特征，建立导数关系的数学模型．一般地，导数思想是从构造函数利用导数函数的性质，解决不同类型的问题，导数思想在中学数学、高等数学以及我们日常生活中占有极其重要的地位，本文详细介绍导数思想的内涵和本质，使人们对导数的内容有更深的理解，以便在遇到各种问题时能够考虑到导数思想，从而优化解决问题的过程．关键词：极限;导数;微分Shallowly Discusses the Application of DerivativeAbstract:To study extremely problems, French mathematician Fermat brought in derivative idea. Derivative is the basis for us to learn math and other natural science further, an indispensable tool in research of modern science and technology. We should understand the concept and acquire the capacity of solving problems with mathematical ideas and create derivative model according to the mathematical feature of the given problem. On average, we use specific derivative in accordance with definite trait of the various problems. The derivative idea plays an important part in middle school math, advanced math and our daily life. In this chapter, the concept and essence of derivative are introduced to deepen people's understanding in math and help to simplify people's derivative.Key words:Limit; Derivative; Differential0 引言导数]1[来源于人类的社会实践，服务于人类的社会实践，导数是人类进一步学习数学和其他自然科学的基础，用导数来研究函数的性质，是研究现代科学技术中必不可少的工具．导数是在极限概念的基础上建立起来的，是微分学的一个重要概念，也是一个重要的解题方法.学习导数知识可以在实际应用中快速简洁的求曲线的切线方程.导数还是对函数图像与性质的总结和概括，是研究函数单调性的最佳的重要工具，是初等数学和高等数学的重要衔接点．导数还可以解决生产和生活中的最优决策和最优设计问题，即最大值、最小值问题．1 导数的产生和发展导数概念是根据解决实际问题的需要，在极限的基础上建立起来的]9[，它是微分学中最重要的概念．而微分是微分学中又一个重要的概念，它与导数有密切的关系，两者在科学技术中有着广泛的应用．我们知道在一定条件下一个函数在某点可导和可微是等价的，大部分高等数学、经济数学和数学分析课本中都是先引进导数的概念，再引进微分的概念，到底导数和微分这两个概念，哪个概念产生在前，哪个概念产生在后呢？1.1 微分概念的导出背景当一个函数的自变量有微小的改变时，它的因变量一般来说也会有一个相应的改变．微分的原始思想在于寻找一种方法，当因变量的改变也是很微小的时候，能够简便而又比较精确的估计出这个改变量．我们来看一个简单的例子：维持物体围绕地球作永不着地（理论上）的飞行所需要的最低速度称为第一宇宙速度．在中学里利用计算向心加速度的方法已经求出这种速度为7．9千米/秒，现在我们改用另一种思路去推导它．设卫星当前时刻在地球表面附近的A 点沿着水平方向飞行，假如没有外力影响的话，那么它在一秒钟后本应到达B 点，但事实上它要受到地球的引力，因而实际到达的而是C 点．BC =4．9米是自由落体的物体在重力加速度的作用下，第一秒中所走过的距离．容易看出，如果C 点与地心O 的距离是相等的，那么由运动的独立性原理，就可以推断出卫星在沿着地球的一个同心圆轨道运行，也就是作环绕地球飞行了．因此，卫星应具有的最小飞行速度恰好在线段AB 的长度．ABC ∆是直角三角形，OA 和OC 可近似的取为地球的平均半径6371千米，也就是6371000米，于是由勾股定理即可求其加速度． 1.2 产生导数的实际背景从数学的发展历史来看，导数是伴随微分的诞生而顺理成章的产生的．也就是说，人们先有了微分的概念，随后才发现，对于处理微分问题来说，像这么一种特定形式的极限，即导数，是一个有力的工具．从法国数学家费马为研究极值问题而引入了导数的思想，但与导数概念直接联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线．这是由英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在研究力学和几何学过程中建立起来的]3[．用导数思想来处理微分问题]10[．因为一方面，从微分的形式来看，在比较复杂的情况下（比如高阶的微分和导数以及多元函数的微分和导数等），无论是形式的思考还是实际的处理问题由导数入手都要比由微分入手更容易和简单一些，并且导数有它本身的意义，在数学的理论及其实际应用方面都扮演着重要的角色． 1.3 导数的概念1、函数()x f y =在点0x 处的导数可以写成以下形式]4[：()()()0000limx x x f h x f x f x x --+='→2、导数的物理意义和几何意义:函数()x f y =在点x 处的导数是函数在该点处的平均变化率xy∆∆的极限，因而它反映了客观运动的瞬时变化率．在几何学上，()x f y =在某点处的导数()0x f 表示函数()0x f y =的图形在点()00,y x 处的切线斜率，即()0tan x f '=α，其中α是过点()00,y x 的切线的倾角]7[．2 导数的应用2.1 导数在中学数学中的应用在中学数学中，常利用导数的几何意义来求曲线的切线方程，还会用到导数的单调性以及用导数求极值点和最值的问题．由此可见，导数在中学数学中的应用是十分广泛的，不妨通过以下例题来说明．例1]6[ 已知数列{}n a ；()1109+⋅⎪⎭⎫⎝⎛=n a nn ，问数列中是否有最大项？若有，请求出最大项；若没有，请说明理由．解 因为数列是一种特殊的函数关系，是离散的，不能直接求导．所以可设()1109+⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y x()0>x ，同时取对数后求导可得()⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛='1110ln 9ln 1109x x y x，令0='y ，得4877.8=x ；当4877.80<<x 时，0>'y ；当4877.8>x 时，0<'y ，且有唯一解；当4877.8=x 时，y '最大；故8=n 或9=n 时，n a 最大； 8981099⎪⎭⎫ ⎝⎛==a a ． 2.11 利用导数求曲线的切线方程归纳起来有两种问题类型，下面我们来系统的分析一下怎么解决这类问题． 情况一：设()x f y =为可导函数，求过()000,y x m 点作C ：()x f y =的切线方程． (1)若()C y x m ∈000,，()x f y =；即()00x f y =．则()0x f k '=，过0m 的切线方程为()()000x x x f y y -'=-．(2)若()C y x m ∉000,，即()00x f y ≠．可设切点()111,y x m ，则()11x f y =过1m 的切线方程为()()()111x x x f x f y -'=-，此切线过0m ．于是可由()()()10110x x x f x f y -'=-解出1x ．因而过0m 的切线方程为 ()()()111x x x f x f y -'=- 或()()010x x x f y y -'=-．情况二：设()x f y =，()x g y =为可导函数，曲线p ：()x f y =与曲线q ：()x g y =相切，求切线方程．解：由于两曲线p ，q 相切，必须假设公切点()000,y x m 满足p m ∈0，q m ∈0，即()00x f y = (1) ()00x g y = (2) 又因为两曲线在公切点0m 处切线的斜率相等，即()()00x g x f '=' (3) 解(1)(2)(3)式，可得公切点()000,y x m 坐标，从而求得公切线方程． 2.12三角函数的问题此类问题同样可以用导数的思想来解决．例如，可以利用导数求三角函数的周期，还可以判断其奇偶性，以及求其单调区间等．下面先考虑两个结论：(1)可导的偶函数的导函数是奇函数，可导的奇函数的导函数是偶函数．证明：设()x f 是可导的偶函数，有()()x f x f =-且()[]()x f x f '='-即()()x f x f '=-'-；所以 ()()x f x f '-=-'；即有()x f 的导数()x f '为奇函数．同理可证奇函数的导函数是偶函数．(2)可导的周期函数，其导数仍是周期函数且原函数的周期是导数的一个周期． 证明：设()x f 为可导的周期函数，其周期为t ，根据周期定义有：()()x f nt x f =+()...2,1,0±±=n ，于是有()()x f nt x f '=+'．例2]6[ 设函数()()ϕ+=x x f 2sin ()0<<-ϕπ，()x f y =图像上一条对称轴是直线8π=x ， (1)：求ϕ;(2)：求函数()x f y =的单调区间;(3)：证明直线025=+-c y x与函数()x f y =的图像不相切．解 (1)因为()()ϕ+='x x f 2cos 2，又因为图像的一条对称轴是直线8π=x ；知08=⎪⎭⎫ ⎝⎛'πf ，则有04cos =⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ．所以24ππϕπ+=+k ； k =1，2…，又0πϕ-<< ，所以πϕ43-=．(2)由前问()⎪⎭⎫ ⎝⎛-='π432cos 2x x f 而0y '>考虑到端点值有322242k x k ππππ≤-≤+，即函数()x f y =的斜率的取值范围为[2,2]-，而直线520x y c -+=的斜率为522>，则直线与曲线的图像不相切．数学是具有高度抽象性和概括性的学科，通过导数可以培养学生的科学概括、深入钻研、自觉纠错的良好的思维品质，可以使学生养成严格的推理习惯和全面分析问题的能力．2.2 导数在高等数学中的应用2.21 利用洛必达法则、泰勒公式求极限例3]2[ 求极限()xxx e x 1101lim -→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+解 因为1110020(1)1(1)lim lim exp ln ln(1)lim exp xx xx x x x x ex e x x x -→→→⎧⎫⎡⎤++⎪⎪⎢⎥=-⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭-+⎧⎫=⎨⎬⎩⎭而利用洛必达法则()()ee x x x xx x xxx x x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=+-=+--→→→1100201lim 212111lim 1ln lim利用洛必达法则求极限要注意以下几点：验证所求的极限式是不是00或∞∞型．如果不是，要将其转化为00或∞∞型；在求极限之前，应首先利用等价无穷小代换或通过其他变形（如有理化、变量代换）把未定式代换成最简式；洛必达法则可以反复多次使用，只要满足其前提条件即可；如果()()x g x f ''lim 不存在，不能判定()()x g x f lim 也不存在．2.22 利用函数单调性、中值定理、泰勒公式、最值证明不等式此类问题的解决方法两种思路：(1)利用函数的单调性将要证明的不等式的右端的所有项全部移到左端，把其中的某个字母（比如a ）改为x ，并把左端的函数记为()x F ，利用函数的单调性证明()0>x F 或()0<x F ．若要证明的不等式是()()x g x f >，一般是构造函数()()()x g x f x F -=，利用()x F '的符号判断它的单调性．(2)证明数列极限形式，须将离散变量转换为连续变量，再用洛必达法则．如下所示：例4]5[ 求极限211lim(1)nx n n→∞++解 先求函数极限xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→2111lim ，取对数后的极限式为()112lim 12112lim 1ln 1ln lim 111ln lim 2222222=+++=--+++=-++=⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→+∞→+∞→+∞→x x x x xx x x x xx x x x x x x x x x 所以有归结原则可得211lim(1)n x n n →∞++=e x x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→2111lim2.23 函数极值及相关问题例5]7[ 设()x f 在()+∞∞-,上二阶可导且()1≤x f ，()[]()[]40022='+f f ;证明 存在ξ，使得()()0=+''ξξf f ．证明 有题设和欲证的结论，可以将辅助函数设成()()[]()[]22x f x f x F '+=,那么就存在()0,2-∈ξ,使得()()()()2020----='f f f η,同理存在()2,0∈η使得()()()12020≤---='f f f ξ, 则()()()2,40,2≤=≤ηξF F F ，故()x F 在()ηξ,内取得最大值．2.3 导数在经济学中的应用 2.31 常见的经济函数需求函数是指消费者在一定价格条件下对商品的需求，一种商品的需求量Q 与该商品的价格P 密切相关．如果不考虑其他因素的影响，则商品的需求量可以看作是价格P 的函数．即需求函数()P Q Q =．需求量随价格的上升而减少．供给函数是指在某一时期内，生产者在一定价格条件下，愿意并可能出售的产品；一种商品由生产者向社会提供的数量Q 与该商品价格P 有关．在不考虑其他因素的条件下，商品的供给量Q 也可以看作是价格P 的函数．也就是供应函数()p Q Q =．例6]8[ 厂商的总收益函数和总成本函数分别为()230Q Q Q R -=和()122++=Q Q Q C ， 政府对产品的征税.求:(1)厂商纳税前的最大利润及此时的产量和价格？(2)征税收益的最大值及此时的税率t ．(3)厂商纳税后的最大利润及此时的产品价格．解 (1)纳税前的利润函数为()12821230222-+-=++--=Q Q Q Q Q Q L ， 当7=Q 时，利润最大；且()977=L ;此时价格30723p =-=．(2)T tQ =．纳税后的总成本函数为221t C Q Q tQ =+++;税后利润函数为()()()Q C Q R Q L t -=;获得最大利润的条件是()()dQQ dC dQ Q dR t =，由30222Q Q t -=++ 得0284tQ -=;经过纳税后的最大利润的产量为0Q ;于是征税的收益函数为()202841t t tQ T -==，求最大值即可．当014t =（此时072Q =）征税的收益最大，其值为0049T t Q ==．(3)纳税后利润函数()()()tQ Q Q Q C Q R Q L t ---=-=12282．当14=t ，72Q =时，最大利润max 1232L = 此时产品的价格为532．例7]8[ 新产品的推销与广告.1新产品的推销：一种新产品问世，经营者要关心产品的卖出情况，下面我们根据两种不同的假设来估算两种推销的速度：假设1：假设产品以自然推销的方式卖出．换句话说，被卖出的产品实际上起着宣传作用，吸引着未购买的消费者．设产品总数与时刻t 的关系为()t x ，再假设每一产品在单位时间内平均吸引k 位顾客，则()x t 满足微分方程()kx t x =' (4) 设初始条件为()00x x = (5) 则易得到上述微分方程的解为()kt e x t x 0= (6) 这是指数假设，下面我们对结果(6)式进行分析与验证：经过与实际情况比较，发现(6)式的结果与真实销量在初始阶段的增长情况比较相符；在产品卖出之初，0=t 时，显然0=x ，这是由(6)式得的()0=t x ，这一结果与事实不符，产生这一错误结果的原因在于我们假设产品是自然推销的，便不可能进行任何推销．事实上，厂家在产品销售之初，往往是通过宣传等各种方式来推销其产品的；令t →+∞，若针对某种耐用商品而言，这显然与事实不符，事实上，)(t x 往往是有上界的．针对假设1的上述分析的缺陷，我们用下面的假设2来改进．假设2：设需求量的上界为M ，假设经营者可通过其他方式推销产品．这样产品的增长也与尚未购买产品的顾客有关．故()t x '与()x M x -成正比，比例系数为k ，则()t x 满足()()x M kx t x -=' (7) 再加上初始条件()00x x = (8) 利用分离变量方法易求得上述微分方程的解 ()()kMte x M x Mx t x --+=000(9)当0=t 时，若00x ≠，则易从(9)式中得到()0≠t x ，另外在(9)中令t →+∞，易得到()M t x →，这样从根本上解决了假设1的不足．由(7)式易得()0>'t x ，即()t x 是关于时刻t 的单调增加函数，实际情况自然如此，产品的卖出量不可能越来越少，另外对(7)式两端求导得：()()()t x x M k t x '-=''2．故令()0=''t x 得到()20Mt x =；当0t t <时，由()0>'t x ，()()0t x t x <，得()0>''t x ．即函数()t x '单调增加．同理，当0t t >时()t x '单调递减，这说明在销售量小于最大需求量的一半时，销售速度是不断增加的，销售量恰好达到最大需求量的一半时，该产品最为畅销，其后销售速度开始下降． 2.32 广告在当今社会中，广告在商品推销中起着极其重要的作用．当生产者生产出一批产品后，下一步便是思考更快更多的买出产品，由于广告的大众性和快捷性，其在促销活动中备受经营者的青睐．当然，经营者在利用广告这一手段时自然要关心广告与促销到底有何关系，广告在不同时期的效果如何？假设1：独家销售的广告：首先，如下假设：(1)商品的销售速度会因做广告而增加，但当商品在市场上趋于饱和时，销售速度会趋于极限值，这是销售速度将开始下降．(2)自然衰减是销售速度的一种性质，商品销售速度的变化率随着商品销售率的增加而减少．(3)设()S t 为t 时刻商品的销售速度．M 表示销售速度的上限；0λ>为衰减因子常数，即广告作用随时间增加而自然衰减的速度．()A t 为t 时刻的广告水平（以费用表示）.根据上面的假设，我们可以得到：()()()()t S M t S t A p t S λ-⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅='1 (10)其中p 为响应系数，即()t A 对()t S 的影响力，p 为常数．假设(1)当销售进行到某个时刻时，无论怎样做广告．都无法阻止销售速度的下降，故选择如下广告策略：()0()(0)t A t A t ττ>⎧=⎨<<⎩ 其中A 为常数在[]τ,0时间内，设用于广告的花费为a ，则aA τ=，代入(10)式有()ττλa P S a M P t S ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++' 令,P a Pa b r c M ττ=+⋅= ;则有()c bS t S =+' (11) 解(11)式得()b cke t S bt +=- (12)给定初始值0(0)S S =，则(12)式成为 ()()bt bt e S e bct S --+-=01 (13) 当t τ>时，由()A t 的表达式，则(10)式变为()S t S λ-=' (14)其解为()()t ket S -=τλ (15)为保证销售速度()S t 不间断，我们在(13)式中取t τ=而得到()S τ，将其作为(14)式的初始值，故(15)式解为()()()t e S t S -=τλτ (16) 这样，联合(13)式与(16)式，我们得到()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤+-=---)()0(10ττττλt e S t e S e b c t S t btbt假设2: 竞争销售的广告 我们做如下假设，(1)两家公司销售同一产品，而市场量()t M 有限.(2)每一公司增加它的销售量是与可获得的市场成正比的，比例系数为i C ，1,2i =. (3)设()i t S 是销售量，1,2i =.()t N 是可获得的市场． 分析：根据题意显然有：()()()()t S t S t M t N 21--=． 由假设(2)有()N C t S 1=' (17)()N C t S 22=' (18) 将上述二式相除，易得()()t S C t S 132'=' (19) 其中231C C C =为常数，对（19）式积分得 ()()4132C t S C t S += (20)4C 为积分常数，假设市场容量()()t e t M βα--=1 ,αβ为常量.则()()()()41311C t S C e t N t -+--=-βα (21) 再将(19)式代入(17)式得()C Be AS t S t ++-='-β11 (22) 其中()311C C A +=；α1C B -=；()41C C C -=α解方程(22)易得()3211k e k e k t S Bt At ++=--代入(20)式，得()3212m e m e m t S Bt At ++=-- (23) 其中i k 及i m (i =1，2，3)均为常数．3结束语导数在数学发展、教学和生活中有其重要的地位，若能在教学中充分发挥导数的作用，对于提高教学质量，培养学生的能力，都是非常有益的；若能在生活中恰当的应用导数，很容易就能解决一些棘手的问题；当然在数学的各个不同分支的教学中如何运用导数，必然会有许多各自不同的特点，就需要我们发挥自己的创造思维，并在实践中不断地用心体会和总结．致谢辞感谢学校培养和教育，院系领导提供的良好的研究条件，以及这三年来各科老师的悉心培育。
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导数在中学数学解题中的应用摘要导数不仅是中学教材中必不可少的一部分，也是历年高考的考点。
导数在中学数学解题中的应用是十分广泛的，它包含了导数对不等式的证明、求曲线在某一点的切线斜率、分析函数的图像、极值与最优化、函数单调性等方面的应用。
应用导数知识解决中学数学问题不仅可以锻炼学生的思维，同时也简化了解题的难度，因此对导数知识进行整理是十分有必要的。
本文对导数在中学数学解题中的应用进行了归纳整理，同时也对导数应用中需要注意的几点事项做出了标注，分析了导数应用中的易错点。
从而为初学者查询导数相关知识提供了资料。
关键词：导数中学数学应用ABSTRACTDerivative is not only an essential part of the middle school textbooks, but also the college entrance examination over the years. The application of derivative in high school in mathematics is very extensive, it contains a proof, derivative of inequality in the analysis of the demand curve, tangent at a point in the application of function optimization, image, extremum and monotony of function etc.. The application of derivative knowledge to solve mathematical problems in middle school can not only train the students' thinking, but also simplify the difficulty of solving the problem. This paper summarizes the application of derivative in the middle school in mathematics, but also on some matters needing attention in the application of derivative made annotation, analyzes the application of derivative in error prone points. So as to provide useful information for beginners to query derivative knowledge.Keywords:Derivatives；Middle school mathematics；application1.绪论导数是微积分中一个重要的核心内容，导数的推广已经十分广泛，大多数的国家已经将导数列入到了中学教材中。
在我国，导数也是历年高考常常出现的考点。
导数是解决许多数学问题的有力工具，利用导数知识可以解决中学的很多数学问题。
可以解决中学数学中计算曲线在某一点的切线斜率、分析函数的性质与图像、求解方程的根、证明不等式、判断函数的单调性、求解最值的最优化问题等。
2．导数在中学数学解题中的应用2.1导数在计算曲线在某一点的切线斜率中的应用在计算曲线在某一点的切线斜率的问题时，主要就是利用到导数的几何意义：()f x 在某一点()00,p x y 的导数()0'f x 就是曲线()=y f x 在0=x x 处切线的斜率。
例2.1已知曲线L ：221=--y x x ，求经过点()2,1p 的曲线L 的切线方程。
分析：主要是计算出曲线L 在P 点处的斜率K ，又因为点()2,1p ，此时便可根据点斜式能够计算出过点P 的曲线L 的切线方程了。
解：由题意可知： 曲线L ： 221=--y x x22'∴=-y x()2,1p∴过点P 的斜率K 为：22222='==⨯-=xk y曲线L 过P 点的切线方程为：()122-=-y x化简得：230--=x y点评：本题在计算曲线L 的切线方程时，主要考查的对象是导数的几何意义。
例2.2在22=x y 上求一点P ，使P 到直线4=-y x 的距离最短。
分析：本题的解法有多种，它可以利用初等解法，也可以利用导数的几何意义进行计算。
下面我将用不同的解法进行作答，进行对比。
便可以充分的体现出导数解题时的便利性。
解法1：平移直线4=-y x ，使其与曲线22=x y 相切，可知P 点即为所求。
设切线=+y x b ，代入曲线方程22=x y ，得：212--x x b（1） 又因为直线=+y x b 与曲线22=x y 相切，120∴∆=+=b解得：12=-b∴（1）式为211022-+=x x 故切点为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭解法2： 设点()00,p x y 则点P 到直线的距离为：()()22200000017171124422222222-+-+----====x x x x x y d 由上式可知，当01=x 时d 取得最小值724故点P 为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭解法3：由题可知，点P 必为平行于直线=+y x b 的直线与抛物线22=x y 的切点。
因此过P 点的切线必定平行于直线4=-y x 由导数的几何意义可知，212=y x 在P 点的数值为1 又'=y x 设()00,p x y 则01'==y x00112=⎧⎪⎨=⎪⎩x y ，故11,2⎛⎫⎪⎝⎭p点评：利用不同的解法，我们可以清楚地认识到利用导数工具进行求解的简洁性与便利性，掌握导数这一工具，可以提高我们解题的效率。
本题在导数方面主要运用的是导数求解曲线的斜率的知识，即利用导数的几何意义进行求解。
2.2导数在分析函数的性质与图像中的运用在利用导数分析图像时应着重注意其切线变化的大小关系。
理清导数与函数图像之间的关系。
倒数图像与函数的图像有者密不可分的联系，下面我将用3个例题来简单讲解他们之间的关系。
2.2.1已知函数图像，画出其导函数的图像 例2.3已知函数()f x 的图像如图2.1、图2.2所示，请画出其导函数()'f x 图像的大致情况分析：根据导数与函数图像之间的关系，在已知函数图像的情况下要求其导函数的图像，我们就只需判断出其函数图像在其各个切点的斜率的变化情况，便可以得出其导函数图像的大致情况。
解：①图2.1的()f x 的曲线上的切点的斜率变化是越来越大，当0>x 时，斜率大于0；当0=x 时，斜率等于0；当0<x 时，斜率小于0.其图2.1的导函数图像如图2.3所示。
②图2.2的()f x 的曲线上的切点的斜率变化是各切点每处都不小于0，当0>x 时斜率越来越y图2.1 函数图像yx图2.2 函数图像大；当0=x 时，斜率等于0；当0<x 时斜率越来越小。
其图2.2的导函数图像如图2.4所示。
点评：此类题目在解题时主要应用的是导数与函数图像之间的关系以及利用到导数的几何意义，在解决此类问题时要紧紧抓住切线的斜率的大小变化的情况。
2.2.2已知导函数图像，画出其原函数的图像 例2.4已知函数()'=y xf x 的图像如图2.5所示，下面4个图像中能大致表示()=y f x 的图像是（）y x图2.3 导函数图像yx图2.4 导函数图像-1 xy1图2.5 导函数图像xy-12 3Axy-11 2分析：根据x 的符号变化，可以得到()'f x 的符号变化。
因此而得到其()f x 的单调性的变化，便能够以此来画出其原函数的大致图像。
解：由图2.5可知，当1<-x 时()0'<xf x ，则()0'>f x ，原函数为增函数，图像上升；当10-<<x 时()0'>xf x ，则()0'<f x ，原函数为减函数，图像下降；当01<<x 时()0'<xf x ，则()0'<f x ，原函数为减函数，图像下降；当1>x 时()0'>xf x ，则()0'>f x ，原函数为增函数，图像上升。
综上所述，只有C 选项满足上述条件，故选C 。
点评：本题解题时所用方法与例2.3相同，但例2.3与例2.4是两个完全相反的问题，在做此类题目时要注意题目要求，分清两个题目类型之间的区别。
2.2.3已知导函数图像，求解原函数 例2.5已知函数()32=++f x ax bx cx 在点0x 处取得极大值5，其导函数()'=y f x 的图像经过点()1,0，()2,0如图2.6所示，求：（1）0x 的值；（2）函数的解析式。
分析：首先根据图像信息，判断出其极大值点即0x 的值。
再利用题干信息，找出三个已知点，1 2xy图2.6 导函数图像再分别代入其相应的函数式中，解出待定系数，从而得到函数的解析式。
解：（1）由图像可知，当1<x 时()0'>f x ，()f x 在(),1-∞上递增；当12<<x 时()0'<f x ，()f x 在()1,2上递减；当2>x 时()0'>f x ，()f x 在()2,+∞上递增。
因此()f x 在1=x 处取得极大值。
01∴=x（2）由题意可知：()32=++f x ax bx cx()232'∴=++f x ax bx c 又()10'=f ()20'=f ()15=f32012405++=⎧⎪∴++=⎨⎪++=⎩a b c a b c a b c 解得2912=⎧⎪=-⎨⎪=⎩a b c 故函数的解析式为()322912=-+f x x x x点评：本题主要利用的是导函数的性质，结合图像信息来进行解题的。
在利用导数解题时，我们不仅要找寻题干中蕴含的信息，同时也不能忽视图像中所包含的信息。
2.3导数在求解方程的根中的应用利用导数求解方程的根可以分为以下几个方面:1.利用导数解决根的唯一性。
2.利用导数求方程根的个数。
3.利用导数求解待定系数的取值范围。
4.利用导数求解有关超越方程的根。
下面本人将结合实例对以上几个方面进行分析。
2.3.1利用导数解决根的唯一性 判断方程()0=f x 在某区间内有唯一实根，即判断函数()=y f x 在该区间上有唯一零点。