高一数学苏教版必修一教案《集合的含义及其表示方法》

苏教版高中数学必修1第1章集合集合的含义及其表示（一）教学目标1．知识与技能（1）初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法．（2）初步了解“属于”关系的意义．理解集合相等的含义.（3）初步了解有限集、无限集的意义，并能恰当地应用列举法或描述法表示集合.2．过程与方法（1）通过实例，初步体会元素与集合的“属于”关系，从观察分析集合的元素入手，正确地理解集合．（2）观察关于集合的几组实例，并通过自己动手举出各种集合的例子，初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义．（3）学会借助实例分析、探究数学问题（如集合中元素的确定性、互异性）．（4）通过实例体会有限集与无限集，理解列举法和描述法的含义，学会用恰当的形式表示给定集合掌握集合表示的方法.3．情感、态度与价值观（1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．（2）在学习运用集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力．初步培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度．（二）教学重点、难点重点是集合的概念及集合的表示．难点是集合的特征性质和概念以及运用特征性质描述法正确地表示一些简单集合.（三）教学方法尝试指导与合作交流相结合．通过提出问题、观察实例，引导学生理解集合的概念，分析、讨论、探究集合中元素表达的基本要求，并能依照要求举出符合条件的例子，加深对概念的理解、性质的掌握．通过命题表示集合，培养运用数学符合的意识.教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题一个百货商店，第一批进货是帽子、皮鞋、热水瓶、闹钟共计4个品种，第二批进货是收音机、皮鞋、尼龙袜、茶杯、学生回答（不能，应为7种），然后教师和学生共同分析原因：由于两次进货共同的品种有两种，故设疑激趣，导入课闹钟共计5个品种，问一共进了多少品种的货?能否回答一共进了 4 + 5 = 9种呢？应为4 +5 – 2 = 7种．从而指出：,,这好像涉及了另一种新的运算．,,题．复习引入①初中代数中涉及“集合”的提法．②初中几何中涉及“集合”的提法．引导学生回顾，初中代数中不等式的解法一节中提到的有关知识：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．几何中，圆的概念是用集合描述的．通过复习回顾，引出集合的概念．概念形成第一组实例（幻灯片一）：（1）“小于l0”的自然数0，1，2，3，,,，9．（2）满足3x– 2 ＞x + 3的全体实数．（3）所有直角三角形．（4）到两定点距离的和等于两定点间的距离的点．（5）高一（1）班全体同学．（6）参与中国加入WTO谈判的中方成员．1．集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）．2．集合的元素（或成员）：即构成集合的每个对象（或成员），教师提问：①以上各例（构成集合）有什么特点?请大家讨论．学生讨论交流，得出集合概念的要点，然后教师肯定或补充．②我们能否给出集合一个大体描述?,,学生思考后回答，然后教师总结．③上述六个例子中集合的元素各是什么?④请同学们自己举一些集合的例子．通过实例，引导学生经历并体会集合（描述性）概念形成的过程，引导学生进一步明确集合及集合元素的概念，会用自然语言描述集合．概念深化第二组实例（幻灯片二）：（1）参加亚特兰大奥运会的所有中国代表团的成员构成的集合．（2）方程x2 = 1的解的全体构成的集合．（3）平行四边形的全体构成的集合．（4）平面上与一定点O的距离等于r的点的全体构成的集合．3．元素与集合的关系：教师要求学生看第二组实例，并提问：①你能指出各个集合的元素吗？②各个集合的元素与集合之间是什么关系？③例（2）中数0，–2是这个集合的元素吗?学生讨论交流，弄清元素与集合之间是从属关系，即“属于”或“不属于”关系．引入集合语言描述集合．教学环节教学内容师生互动设计意图念深化集合通常用英语大写字母A、B、C,表示，它们的元素通常用英语小写字母a、b、c,表示．如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A，读作“a属于A”．如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A，读作“a不属于A”．4．集合的元素的基本性质；（1）确定性：集合的元素必须是确定的．不能确定的对象不能构成集合．（2）互异性：集合的元素一定是互异的．相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素．第三组实例（幻灯片三）：（1）由x2，3x + 1，2x2–x + 5三个式子构成的集合．（2）平面上与一个定点O的距离等于1的点的全体构成的集合．（3）方程x2 = – 1的全体实数解构成的集合．5．空集：不含任何元素的集合，记作．6．集合的分类：按所含元素的个数分为有限集和无限集．教师提问：“我们班中高个子的同学”、“年轻人”、“接近数0的数”能否分别组成一个集合，为什么？学生分组讨论、交流，并在教师的引导下明确：给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了．另外，集合的元素一定是互异的．相同的对象归于同一个集合时只能算作集合的一个元素．教师要求学生观察第三组实例，并提问：它们各有元素多少个?学生通过观察思考并回答问题．然后，依据元素个数的多少将集合分类．让学生指出第三组实例中，哪些是有限集？哪些是无限集？,,请同学们熟记上述符号及其意义．通过讨论，使学生明确集合元素所具有的性质，从而进一步准确理解集合的概念．通过观察实例，发现集合的元素个数具有不同的类别，从而使学生感受到有限集、无限集、空集存在的客观意义．7．常用的数集及其记号（幻灯片四）．N：非负整数集（或自然数集）．N*或N+：正整数集（或自然数集去掉0）．Z：整数集．Q：有理数集．R：实数集．教学环节教学内容师生互动设计意图应用举例列举法：定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.师生合作应用定义表示集合.例1 解答：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A = {0，1，2，3，4，5，6，7，例1 用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程x2 = x的所有实数根组成的集合；（3）由1～20以内的所有质数组成的集合.描述法：定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程x2–2 = 0的所有实数根组成的集合；（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合. 8，9}.由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合A可以有不同的列举法. 例如：A = {9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}.（2）设方程x2= x 的所有实数根组成的集合为B，那么B = {0，1}.（3）设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C= {2，3，5，7，11，13，17，19}.例2 解答：（1）设方程x2 – 2 = 0的实数根为x，并且满足条件x2 –2 = 0，因此，用描述法表示为A = {x∈R| x2 –2 = 0}.方程x2–2 = 0有两个实数根2，2，因此，用列举法表示为A = {2，2}.（2）设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z，且10＜x ＜20. 因此，用描述法表示为B = {x∈Z | 10＜x＜20}.大于10小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为B = {11，12，13，14，15，16，17，18，19}.教学环节教学内容师生互动设计意图应用举例例3 已知由l，x，x2，三个实数构成一个集合，求x应满足的条件．解：根据集合元素的互异性，得2211xxxx所以x∈R且x≠±1，x≠0．课堂练习：教材第5页练习A1、2、3．例2 用∈、填空．①Q；②3Z；③3R；④0 N；⑤0 N*；⑥0 Z．学生分析求解，教师板书．幻灯片五（练习答案），反馈矫正．通过应用，进一步理解集合的有关概念、性质．例4 试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程x2– 9 = 0的所有实数根组成的集合；（2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数y = x + 3与y = –2x +6的图象的交点组成的集合；（4）不等式4x– 5＜3的解集.生：独立完成；题：点评说明.例4 解答：（1）{3，–3}；（2）{2，3，5，7}；（3）{(1，4)}；（4）{x| x＜2}.归纳总结①请同学们回顾总结，本节课学过的集合的概念等有关知识；②通过回顾本节课的探索学习过程，请同学们体会集合等有关知识是怎样形成、发展和完善的．③通过回顾学习过程比较列举法和师生共同总结——交流——完善．引导学生学会自己总结；让学生进一步（回顾）体会知识的形描述法. 归纳适用题型. 成、发展、完善的过程．课后作业1.1 第一课时习案由学生独立完成．巩固深化；预习下一节内容，培养自学能力．备选例题例1（1）利用列举法表法下列集合：①{15的正约数}；②不大于10的非负偶数集.（2）用描述法表示下列集合：①正偶数集；②{1，–3，5，–7，,，–39，41}.【分析】考查集合的两种表示方法的概念及其应用.【解析】（1）①{1，3，5，15}②{0，2，4，6，8，10}（2）①{x | x = 2n，n∈N*}②{x | x = (–1) n–1·(2n–1)，n∈N*且n≤21}.【评析】（1）题需把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合，多用于集合中的元素有有限个的情况.（2）题是将元素的公共属性描述出来，多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素个数较多的有限集.例2 用列举法把下列集合表示出来：（1）A = {x∈N |99x∈N}；（2）B = {99x∈N | x∈N }；（3）C = { y = y = –x2 + 6，x∈N，y∈N }；（4）D = {(x，y) | y = –x2 +6，x∈N }；（5）E = {x |pq= x，p + q = 5，p∈N，q∈N*}.【分析】先看五个集合各自的特点：集合A 的元素是自然数x ，它必须满足条件99x也是自然数；集合B 中的元素是自然数99x，它必须满足条件x 也是自然数；集合C中的元素是自然数y ，它实际上是二次函数y = –x 2 + 6 (x ∈N )的函数值；集合D 中的元素是点，这些点必须在二次函数y = –x 2 + 6 (x ∈N )的图象上；集合E 中的元素是x ，它必须满足的条件是x =p q，其中p + q = 5，且p ∈N ，q ∈N *.【解析】（1）当x = 0，6，8这三个自然数时，99x=1，3，9也是自然数.∴ A = {0，6，9}（2）由（1）知，B = {1，3，9}.（3）由y = –x 2 + 6，x ∈N ，y ∈N 知y ≤6. ∴x = 0，1，2时，y = 6，5，2 符合题意.∴ C = {2，5，6}.（4）点{x ，y}满足条件y = –x 2+ 6，x ∈N ，y ∈N ，则有：0,1,2,6,5,2.x x x yyy∴ D = {(0，6) (1，5) (2，2) }（5）依题意知p + q = 5，p ∈N ，q ∈N *，则0,1,2,3,4,5,4,3,2,1.p p p p p qqqqqx 要满足条件x =P q，∴E = {0，14，23，32，4}.【评析】用描述法表示的集合，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应该符合什么条件，从而准确理解集合的意义.例3 已知–3∈A = {a –3，2a – 1，a 2 + 1}，求a 的值及对应的集合 A.–3∈A ，可知–3是集合的一个元素，则可能 a –3 = –3，或2a – 1 = –3，求出a ，再代入A ，求出集合 A.【解析】由–3∈A ，可知，a –3 = –3或2a –1 = –3，当a –3 = –3，即a = 0时，A = {–3，–1，1}当2a – 1 = –3，即a = –1时，A = {– 4，–3，2}. 【评析】元素与集合的关系是确定的，–3∈A ，则必有一个式子的值为–3，以此展开讨论，便可求得 a.。

第一章 集合（第1课时）集合的含义及其表示一、 教学目标1、 通过具体的例子了解集合的含义，知道常用数集及其记法2、 初步了解属于关系和集合相等的意义；初步了解有限集、无限集、空集的意义3、 初步掌握集合的两种表示方法----列举法和描述法，并能正确地表示一些简单的集合二、 教学重点集合的概念及其表示三、 教学难点1、正确理解集合的概念2、集合表示法的恰当选择四、教学过程1、创设情境，引入新课（1）在非洲大草原上，一群大象正缓步走来；（2）蓝色的天空中有一群鸟在欢快地飞翔；（3）高一（4）班教室里一群学生在上数学课；以上描述中“一群大象”，“一群鸟”，“一群学生”这些概念有什么共同特征？2、推进新课（1）集合、元素举例：① 一条直线可以看作由（无数个点）组成的集合② 一个平面可以看作由（无数条直线）组成的集合③ “young 中的字母”构成一个集合，其元素是y ,o, u, n, g④ “book 中的字母” 构成一个集合，其元素是b,o,k例1、 判断下列对象能否构成一个集合① 参加北京奥运会的男运动员② 某校比较聪明的学生③ 本课中的简单题④ 小于5的自然数⑤ 方程0212=+-x x 的实根（2）集合的三要素①确定性：②互异性：③无序性：方法：怎样判断一组对象能否构成集合？(3)集合及集合元素的记法（5）元素与集合之间的关系（6）集合的表示方法①列举法 如：｛a,b,c ｝注意：元素之间用逗号隔开，列举时与元素的次序无关比较集合｛a,b,c ｝和｛b, a,c ｝引出集合相等的定义定义：集合相等②描述法 格式：｛x|p(x)｝的形式如：｛x| x ﹤-3，x R ∈｝观察下列集合的代表元素Ⅰ、｛x|y=x 2｝ Ⅱ、｛y |y=x 2｝ Ⅲ、｛(x, y) |y=x 2｝③Venn 图示法 如：“book 中的字母” 构成一个集合(7)集合的分类：按元素个数可分为3、例题例1.⑴求不等式2x-3＞5的解集⑵求方程组{10=+=-y x y x 解集⑶求方程012=++x x 的所有实数解的集合⑷写出012=-x 的解集例2.已知集合A=｛2,22+-+a a a ｝，若4A ∈，求a 的值例3. 已知M=｛2,a,b ｝N=｛2a,2,2b ｝且M=N ，求a,b 的值例4.已知集合A=｛x|R a x ax ∈=++,0122｝,若A 中只有一个元素，求a 的值，并求出这个元素。

课题：集合的概念（二）教学过程Ⅰ复习回顾集合元素的特征有哪些？怎样理解？试举例说明？集合与元素关系是什么？如何表示？.常用数集的专用符号2、预习提纲Ⅱ新课讲授1、集合的表示方法.通过学习提纲，师生共同归纳集合表示方法，常用表示方法有：⑴列举法：把集合中元素一一列举出来的方法,置于“{ }”内，如{北京，天津，上海，重庆}，{b,o,k}用这种方法表示集合，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的次序无关。

⑵描述法：将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成{}()x p x的形式；如：{}{},x x x x book为中国的直辖市为中的字母，{}{}3,3,x x x R y y y R<-∈=<-∈方法：{}代表元素元素都具有的性质例：由方程x2–1=0的所有解组成的集合可以表示为{-1，1}，不等式x-3>2的解集可以表示为{x| x -3>2}.请用列举法表示下列集合⑴小于5的正奇数⑵能补3整除且大于4小于15的自然数⑶方程x2–9=0的解的集合⑷{15以内的质数}⑸6,3x Z x Zx⎧⎫∈∈⎨⎬-⎩⎭⑴满足条件的集合为{1，3}⑵满足条件的集合为{6，9，12}⑶满足条件的集合为{-3，3}⑷满足条件的集合为{2，3，5，7，11，13}⑸满足条件的集合为{2，4，1，5，0，6，-3，9}通过上述题目求解，可以看到问题求解的关键应是什么？依题意找出集合中的所有元素是问题解决的关键所在.用列举法表示集合时，要注意元素不重不漏，不计次序地用“，”隔开放在大括号内.例1：求不等式2x-3>5的解集。

解：略思考：{x }，{x ,y }，{(x ,y )}的含义是否相同.{x }表示单元素集合；{x ,y }表示两个元素集合；{(x ,y )}表示含一点集合.集合的表示除了列举法和描述法外，还有文恩图（文氏图）叙述如下：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，如图：表示任意一个集合A表示{3，9，27}表示{4，6，10}边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素和子集统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素。

1.1集合的概念与表示[三维目标]一、知识与技能1，理解集合的含义，知道常用数集及其记法2，了解元素与集合的关系及符号表示；了解有限集、无限集、空集的意义3，掌握集合表示法的基本框架二、过程与方法1，通过学生看书及事例汇总出集合的含义，引出集合的特性及元素与集合的关系2，通过例子辨别表示法及有限、无限集合，用自己熟悉的表示法表示集合三、情感态度和价值观1，通过组织学生预习→教师汇总→学生应用的方式，体现以学生为主体的思想特征2，通过汇总，培养学生找不足、差距及联系的观点，并比较与初中学习方法的不同[重点]课件集合的含义及表示方法[难点]集合的表示方法[教具][过程]一，看书P5---P7,教师版书：集合的含义及表示方法例1：看下面事例⑴15的正约数⑵兴化中学高一年级的全体学生⑶所有的自然数⑷老人⑸方程x+1=0的解⑹漂亮的女孩⑺抛物线y=x2上所有的点二、教师汇总1、集合的含义象⑴⑵⑶⑸⑺这样具有确定的共同属性的对象的全体就构成一个集合，其中的每个对象称这个集合的一个元素，元素的个数为有限个称有限集如⑴⑵⑸，无限的称无限集⑶⑺，将不含有任何元素的集合称空集，如：x2+1=0的实数解根据集合的含义可以知道，一个集合具有：确定性：任何一个事物要么在这个集合中，要么不在，不能摸棱两可。

在时称属于这个集合，符号∈；不在时称不属于这个集合，符号∉或∈；象⑷⑹由于不确定，就不是集合互异性：集合中的元素不能出现重复无序性：集合中的元素顺序可以任意互换问题：集合如何表示呢？2、集合的表示还是从例1来说⑴可以表示为：{1，3，5，15}，这种一个个列举出的方法称列举法⑵可以表示为：{兴化中学高一年级的学生}或{x|为兴化中学高一年级的学生}；这两种表示方法称描述法：其中前者称文字描述，由于集合含义中已经含有了全部的意义，所以要去掉诸如全体、所有等全称量词；后者称属性描述法，一般形式为{元素的一般形式|元素的属性}，其中的“|”也可以用“：”、“；”来代替。

1.1 集合的含义及其表示教学目标：1．使学生理解集合的含义，知道常用集合及其记法；2．使学生初步了解“属于”关系和集合相等的意义，初步了解有限集、无限集、空集的意义；3．使学生初步掌握集合的表示方法，并能正确地表示一些简单的集合． 教学重点：集合的含义及表示方法．教学过程：一、问题情境1．情境．新生自我介绍：介绍家庭、原毕业学校、班级．2．问题．在介绍的过程中，常常涉及像“家庭”、“学校”、“班级”、“男生”、“女生”等概念，这些概念与“学生×××”相比，它们有什么共同的特征？ 二、学生活动1．介绍自己；2．列举生活中的集合实例；3．分析、概括各集合实例的共同特征．三、数学建构1．集合的含义：一般地，一定范围内不同的．．．、确定的．．．对象的全体组成一个集合．构成集合的每一个个体都叫做集合的一个元素．2．元素与集合的关系及符号表示：属于∈，不属于∉．3．集合的表示方法：另集合一般可用大写的拉丁字母简记为“集合A 、集合B ”．列举法描述法图示法 个体与群体 群体是由个体组成自然语言描述 如{15的正整数约数}数学语言描述 规范格式为{x |p (x )}4．常用数集的记法：自然数集N，正整数集N*，整数集Z，有理数集Q，实数集R．5．有限集，无限集与空集．6．有关集合知识的历史简介．四、数学运用1．例题．例1表示出下列集合：（1）中国的直辖市；（2）中国国旗上的颜色．小结：集合的确定性和无序性例2准确表示出下列集合：（1）方程x2―2x－3=0的解集；（2）不等式2－x＜0的解集；（3）不等式组2+3511xx>⎧⎨->⎩-的解集；（4）不等式组{⎩⎪⎨⎪⎧2x－1≤－33x＋1≥0的解集．解：略．小结：（1）集合的表示方法——列举法与描述法；（2）集合的分类——有限集⑴，无限集⑵与⑶，空集⑷例3将下列用描述法表示的集合改为列举法表示：（1）{(x，y)| x＋y = 3，x∈N，y∈N }（2）{(x，y)| y = x2－1，|x |≤2，x∈Z }（3）{y| x＋y = 3，x∈N，y∈N }（4）{ x∈R | x3－2x2＋x=0}小结：常用数集的记法与作用．例4完成下列各题：（1）若集合A＝{ x｜ax＋1＝0}＝∅，求实数a的值；（2）若－3∈{ a－3，2a－1，a2－4}，求实数a．小结：集合与元素之间的关系．2．练习：（1）用列举法表示下列集合：①{ x｜x＋1＝0}；②{ x｜x为15的正约数}；③{ x｜x为不大于10的正偶数}；④{(x，y)｜x＋y＝2且x－2y＝4}；⑤{(x，y)｜x∈{1，2}，y∈{1，3}}；⑥{(x，y)｜3x＋2y＝16，x∈N，y∈N}．（2）用描述法表示下列集合：①奇数的集合；②正偶数的集合；③{1，4，7，10，13}五、回顾小结（1）集合的概念——集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集；（2）集合的表示——列举法、描述法以及Venn图；（3）集合的元素与元素的个数；（4）常用数集的记法．六、作业课本第7页练习3，4两题．。

课题：§1．1集合的含义及其表示教学目标：1．初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法;2．初步了解”属于”关系和集合相等的意义，初步了解有限集、无限集、空集的意义;3．使学生初步了解集合元素的三个特征：无序性、确定性、互异性;4．初步掌握集合的表示方法——列举法、描述法、图示法，正确地表示一些简单的集合重点难点：重点——集合的含义; 难点——集合的三个特征．教学教程：一、问题情境1．介绍自己及其家庭，毕业学校，现所在班级;2．“家庭”、“学校”、“班级”等概念有什么共同特征？二、学生活动1．列举生活中，以及在初中学过的集合的实例2．分析、概括出各种实例中集合的共同特征：在一定范围内，按一定标准对事物进行分类，得到某一类事物的“群体”、“全体”、“集合”等．三、建构数学1．引导学生总结出集合的含义．一般地一定范围内某些确定的，不同的对象的全体构成一个集合(set)，集合中的每一个对象称为元素(element)，简称元．举例说明集合及元素：“我们班级的同学”构成一个集合，该集合的元素就是我们每一个同学．“you中的字母”构成一个集合，集合中的元素就是y，o，u这三个字母．“student中的字母”构成一个集合，集合中的元素就是s，t，u，d，e，n这六个字母．集合常用大写拉丁字母表示，如集合A、集合B等．2．介绍常用数集的记法．全体非负整数的集合叫非负整数集，或自然数集，记作N，自然数集内排除0的集合也叫正整数集，记作N*或N+，全体整数的集合叫整数集，记作Z，全体有理数的集合叫有理数集，记作Q，全体实数的集合叫实数集，记作R．3．引导学生找出元素与集合的关系有两种：属于、不属于2与N 的关系，-3．5与N 的关系有何不同？集合的元素常用小写拉丁字母表示．如果a 是集合A 的元素，就记作a ∈A ，读作“a 属于A ”；如果b 不是集合A 的元素，就记作b ∉A ，读作“b 不属于A ”．例如－3∉N ，52∈Q ，2∈R ．(讲解例1，利用例2引入集合元素的特征)4．介绍集合元素的三个特征： 无序性、确定性、互异性;⑴．确定性:对于任意给定的集合，能明确地判定某一元素是否属于这个集合;⑵．互异性:集合中的元素必须彼此互不相同．⑶．无序性:集合中元素的排列顺序与集合无关．5．介绍集合的表示方法列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{ }”内，元素之间用逗号分隔．如{北京，天津，上海，重庆}，｛y ，o ，u ｝．由于集合元素的无序性，列举法表示集合时，不必考虑元素的顺序．如两个集合所含的元素完全相同，则称这两个集合相等．如{北京，天津，上海，重庆}＝{重庆，天津，上海，北京}描述法：将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式．如{x|x 为中国的直辖市}，{x|x ＜－3，x ∈R}．{x|p(x)}中x 称为代表元，p(x)表示元素所具有的性质．在不引起误会情况下，代表元也可以省略．所有直角三角形的集合可以写成{x|x 是直角三角形}或{直角三角形}，{ }就有“所有”的意思，不必写成{所有直角三角形}．图示法：用一个封闭的曲线，即文恩(J.Venn)图表示集合．⑴ ⑵ 图1-1-1(与学生共同研究例3，解完后，要学生思考：这三个解集中各有多少个元素？引入集合的分类)6．介绍集合的分类含有有限个元素的称为有限集．若一个集合不是有限集，就称此集合为无限○.╱集．不含任何元素的集合称为空集，记作○四、数学运用1．例题例1 用∈或∈/填空2 N，0 N，－4 N，0.5 N，3 Z，－4 Q，－4 R，0.5 R例2 我班的所有高个子男生，能组成一个集合吗?说明理由．例3 求下列方程或不等式的解集，并用适当的方法表示出来：⑴求方程x2－2x－3=0的解集；⑵求不等式3x－5<2的解集；⑶求方程x2+1=0的解集．2．练习P7 1～5五、回顾小结本节课主要学习了以下内容：1．集合、元素的概念及关系——集合、元素、属于、不属于;2．常用数集的定义及记法;3．集合元素的三个性质——无序性、确定性、互异性;4．集合的表示方法——列举法、描述法、图示法;5．集合的分类——有限集、无限集、空集六、课外作业:1．P7 2，4，5;2．预习课本P8~9 预习题:⑴集合之间有哪些关系?如何来表示这些关系?⑵集合A是自己的子集吗? 与∈有何不同?╱在全集S中的补集是什么？S在S中的补集是什么？⑶○。

第一章 集合（第1课时）集合的含义及其表示一、 教学目标1、 通过具体的例子了解集合的含义，知道常用数集及其记法2、 初步了解属于关系和集合相等的意义；初步了解有限集、无限集、空集的意义3、 初步掌握集合的两种表示方法----列举法和描述法，并能正确地表示一些简单的集合二、 教学重点集合的概念及其表示 三、 教学难点1、正确理解集合的概念2、集合表示法的恰当选择 四、教学过程1、创设情境，引入新课（1）在非洲大草原上，一群大象正缓步走来； （2）蓝色的天空中有一群鸟在欢快地飞翔； （3）高一（4）班教室里一群学生在上数学课； 以上描述中“一群大象”，“一群鸟”，“一群学生”这些概念有什么共同特征？ 2、推进新课 （1）集合、元素举例：① 一条直线可以看作由（无数个点）组成的集合 ② 一个平面可以看作由（无数条直线）组成的集合③ “young 中的字母”构成一个集合，其元素是y ,o, u, n, g ④ “book 中的字母” 构成一个集合，其元素是b,o,k例1、 判断下列对象能否构成一个集合 ① 参加北京奥运会的男运动员 ② 某校比较聪明的学生 ③ 本课中的简单题 ④ 小于5的自然数 ⑤ 方程0212=+-x x 的实根（2）集合的三要素 ①确定性： ②互异性： ③无序性：方法：怎样判断一组对象能否构成集合？(3)集合及集合元素的记法（5）元素与集合之间的关系（6）集合的表示方法 ①列举法 如：｛a,b,c ｝注意：元素之间用逗号隔开，列举时与元素的次序无关比较集合｛a,b,c ｝和｛b, a,c ｝引出集合相等的定义 定义：集合相等②描述法 格式：｛x|p(x)｝的形式 如：｛x| x ﹤-3，x R ∈｝观察下列集合的代表元素Ⅰ、｛x|y=x 2｝ Ⅱ、｛y |y=x 2｝ Ⅲ、｛(x, y) |y=x 2｝③Venn 图示法 如：“book 中的字母” 构成一个集合(7)集合的分类：按元素个数可分为3、例题例1.⑴求不等式2x-3＞5的解集 ⑵求方程组{10=+=-y x y x 解集⑶求方程012=++x x 的所有实数解的集合 ⑷写出012=-x 的解集例2.已知集合A=｛2,22+-+a a a ｝，若4A ∈，求a 的值例3. 已知M=｛2,a,b ｝N=｛2a,2,2b ｝且M=N ，求a,b 的值例4.已知集合A=｛x|R a x ax ∈=++,0122｝,若A 中只有一个元素，求a 的值，并求出这个元素。

第一章集合第一课时集合(一)教学目标：使学生掌握集合的概念和性质，集合的元素特征，有关数的集合；培养学生的思维能力，提高学生理解掌握概念的能力；培养学生认识事物的能力，引导学生爱班、爱校、爱国.教学重点：集合的概念，集合元素的三个特征.教学难点：集合元素的三个特征，数集与数集关系.教学方法：尝试指导法学生依集合概念的要求、集合元素的特征，在教师指导下，能自己举出符合要求的实例，加深对概念的理解、特征的掌握.教学过程：Ⅰ.复习回顾师生共同回顾初中代数中涉及“集合”的提法.［师］同学们回忆一下，在初中代数第六章不等式的解法一节中提到：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.不等式解集的定义中涉及到“集合”.Ⅱ.讲授新课下面我们再看一组实例幻灯片：通过以上实例.教师指出：1.定义一般地，某些指定对象集在一起就成为一个集合(集).师进一步指出：集合中每个对象叫做这个集合的元素.［师］上述各例中集合的元素是什么?［生］例(1)的元素为1，3，5，7.例(2)的元素为到两定点距离的和等于两定点间距离的点.例(3)的元素为满足不等式3x－2＞x＋3的实数x.例(4)的元素为所有直角三角形.例(5)为高一(3)班全体男同学.例(6)的元素为－6，6.例(7)的元素为－2，－1，0，1，2.例(8)的元素为中国足球男队的队员.例(9)的元素为参加2008年奥运会的中国代表团成员.例(10)的元素为参与WT O谈判的中方成员.［师］请同学们另外举出三个例子，并指出其元素.［生］(1)高一年级所有女同学.(2)学校学生会所有成员.(3)我国公民基本道德规范.其中例(1)的元素为高一年级所有女同学.例(2)的元素为学生会所有成员.例(3)的元素为爱国守法、明礼诚信、团结友爱、勤俭自强、敬业奉献.［师］一般地来讲，用大括号表示集合.师生共同完成上述例题集合的表示.如：例(1){1，3，5，7}；例(2){到两定点距离的和等于两定点间距离的点}；例(3){3x－2＞x＋3的解}；例(4){直角三角形}；例(5){高一(3)班全体男同学}；例(6){－6，6}；例(7){－2，－1，0，1，2}；例(8){中国足球男队队员}；例(9){参加2008年奥运会的中国代表团成员}；例(10){参与WTO谈判的中方成员}.2.集合元素的三个特征幻灯片：生在师的指导下回答问题：例(1)3是集合A的元素，5不是集合A的元素.例(2)由于素质好的人标准不可量化，故A 不能表示为集合.例(3)的表示不准确，应表示为A＝{2，4}.例(4)的A与B表示同一集合，因其元素相同.由此从所给问题可知，集合元素具有以下三个特征：(1)确定性集合中的元素必须是确定的，也就是说，对于一个给定的集合，其元素的意义是明确的.如上例(1)、例(2)、再如{参加学校运动会的年龄较小的人}也不能表示为一个集合.(2)互异性集合中的元素必须是互异的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.如上例(3)，再如A＝{1，1，1，2，4，6}应表示为A＝{1，2，4，6}.(3)无序性集合中的元素是无先后顺序，也就是说，对于一个给定集合，它的任何两个元素都是可以交换的.如上例(1)∉”（∉也可表示为∈）两种.如A＝{2，4，8，16} 4∈A8∈A请同学们考虑：A＝{2，4}，B＝{{1，2}，{2，3}，{2，4}，{3，5}}，A与B的关系如何？虽然A本身是一个集合.但相对B来讲，A是B的一个元素.故A∈B.幻灯片：［师］请同学们熟记上述符号及其意义.Ⅲ.课堂练习1.(口答)说出下面集合中的元素.(1){大于3小于11的偶数} 其元素为4，6，8，10(2){平方等于1的数} 其元素为－1，1(3){15的正约数} 其元素为1，3，5，152.用符号∈或∈\填空1∈N0∈N－3∈\N0.5∈\N 2 ∈\N1∈Z0∈Z－3∈Z0.5∈\Ｚ 2 ∈\Ｚ1∈Q0∈Q－3∈Q0.5∈Q 2 ∈\Q1∈R0∈R－3∈R0.5∈R 2 ∈R3.判断正误：(1)所有在N中的元素都在N*中(×)(2)所有在N中的元素都在Z中(√)(3)所有不在N*中的数都不在Z中(×)(4)所有不在Q中的实数都在R中(√)(5)由既在R中又在N中的数组成的集合中一定包含数0(×)(6)不在N中的数不能使方程4x＝8成立(√)Ⅳ.课时小结1.集合的概念中，“某些指定的对象”，可以是任意的具体确定的事物，例如数、式、点、形、物等.2.集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性，要能熟练运用之.Ⅴ.课后作业(一)1.用集合符号表示下列集合，并写出集合中的元素：(1)所有绝对值等于8的数的集合A(2)所有绝对值小于8的整数的集合B分析：由集合定义：一组确定对象的全体形成集合，所以能否形成集合，就看所提对象是否确定；其次集合元素的特征也是解决问题依据所在.解：(1)A ＝{绝对值等于8的数} 其元素为：－8，8(2)B ＝{绝对值小于8的整数}其元素为：－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6，72.下列各组对象不能形成．．．．集合的是（ ） A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y ＝1x 图象上所有的点解：综观四个选择支，A 、C 、D 的对象是确定的，惟有B 中的对象不确定，故不能形成集合的是B.3.下列条件能形成集合的是（ ）A.充分小的负数全体B.爱好飞机的一些人C.某班本学期视力较差的同学D.某校某班某一天所有课程解：综观该题的四个选择支，A 、B 、C 的对象不确定，惟有D 某校某班某一天所有课程的对象确定，故能形成集合的是D.4.集合A 的元素由kx 2－3x ＋2＝0的解构成，其中k ∈R ，若A 中的元素至多有一个，求k 值的范围.解：由题A 中元素即方程kx 2－3x ＋2＝0(k ∈R )的根若k ＝0，则x ＝23 ，知A 中有一个元素，符合题设若k ≠0，则方程为一元二次方程.当Δ＝9－8k ＝0即k ＝98 时，kx 2－3x ＋2＝0有两相等的实数根，此时A 中有一个元素.又当9－8k ＜0即k ＞98 时,kx 2－3x ＋2＝0无解.此时A 中无任何元素，即A ＝ 也符合条件综上所述 k ＝0或k ≥98评述：解决涉及一元二次方程问题，先看二次项系数是否确定，若不确定，如该题，则须分类讨论.其次至多有一个元素，决定了这样的集合或者含一个元素，或者不含元素，分两种情况.5.若x ∈R ，则{3，x ，x 2－2x }中的元素x 应满足什么条件?解：集合元素的特征说明{3，x ，x 2－2x }中元素应满足关系式⎩⎪⎨⎪⎧x ≠3x ≠x 2－2x 3≠x 2－2x 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠3x 2≠3x x 2－2x －3≠0 也就是⎩⎪⎨⎪⎧x ≠3x ≠0x ≠－1即x ≠－1，0，3满足条件.6.方程 ax 2＋5x ＋c ＝0的解集是{12 ，13 }，则a ＝_______，c ＝_______.解：方程ax 2＋5x ＋c ＝0的解集是{12 ，13 }，那么12 、13 是方程两根即有⎩⎨⎧12 ＋13 ＝－5a 12 ·13 ＝c a得⎩⎨⎧a ＝－6c ＝－1 那么 a ＝－6，c ＝－1 7.集合A 的元素是由x ＝a ＋b 2 （a ∈Z,b ∈Z ）组成，判断下列元素x 与集合A 之间的关系：0，12－1 ，13－2 . 解：因x ＝a ＋b 2 ，a ∈Z ,b ∈Z则当a ＝b ＝0时，x ＝0又12－1＝ 2 ＋1＝1＋ 2 当a ＝b ＝1时，x ＝1＋ 2 又13－2＝ 3 ＋ 2 当a ＝ 3 ，b ＝1时，a ＋b 2 ＝ 3 ＋ 2而此时 3 ∈\Z ，故有：13－2∈\A ， 故0∈A ，12－1 ∈A ，13－2∈\A . 8.小于或等于x 的最大整数与不小于x 的最小整数之和是15，则x ∈____________.解：若x 是整数，则有x ＋x ＝15，x ＝152 与x 是整数相矛盾，若x 不是整数，则x 必在两个连续整数之间设n ＜x ＜n ＋1则有n ＋（n ＋1）＝15，2n ＝14，n ＝7 即7＜x ＜8 ∴x ∈（7，8）(二)1.预习内容：课本P 5～P 62.预习提纲：(1)集合的表示方法有几种?怎样表示？试举例说明.(2)集合如何分类？依据是什么?集 合 (一)1.用集合符号表示下列集合，并写出集合中的元素：(1)所有绝对值等于8的数的集合A (2)所有绝对值小于8的整数的集合B2.下列各组对象不能形成．．．．集合的是（ ） A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y ＝1x 图象上所有的点3.下列条件能形成集合的是（ ）A.充分小的负数全体B.爱好飞机的一些人C.某班本学期视力较差的同学D.某校某班某一天所有课程4.集合A 的元素由kx 2－3x ＋2＝0的解构成，其中k ∈R ，若A 中的元素至多有一个，求k 值的范围.5.若x ∈R ，则{3，x ，x 2－2x }中的元素x 应满足什么条件?6.方程 ax 2＋5x ＋c ＝0的解集是{12 ，13 }，则a ＝_______，c ＝_______.7.集合A的元素是由x＝a＋b 2 （a∈Z,b∈Z）组成，判断下列元素x与集合A之间的关系：0，12－1，13－2.。

1.1.1 集合的含义与表示一位数学家的女儿从幼儿园放学回到家中，父亲问她今于学到了什么？女儿高兴地回答说：“我们今天学习了‘集合’.”数学家想：对于一个高度抽象的概念来说，女儿的年龄实在太小了.因此他关切地问：“你懂吗？”女儿肯定地回答：“懂!一点也不难.”父亲还是放心不下：“你们老师是怎么教的？”女儿说：“老师先让男孩子站起来，说：‘这是男孩组成的集合.’然后又让女孩子站起来，说：‘这是女孩组成的集合.’最后老师问我们：‘都懂了吗？’大家回答说：‘都懂了!’”听玩女儿的陈述，父亲决定用下面的问题作最后的检验：“那么，世界上所有的土豆是否能组成一个集合呢？”迟疑了一会儿，女儿最终回答道：“不能!除非它们都能站起来.”大家认为这位小孩回答的是否是正确的呢？当我们学习了本节“集合的含义与表示”以后，也许你就能给出一个恰当的评价了.研习教材重难点研习点1 集合的概念（重点）1．集合的概念集合论是德国数学家康托尔在19世纪未创立的，集合是近代数学中不加定义的原始概念之一，不能用其它概念给它下定义，只能给出其描述性的说明：一般地，我们把研究对象统称为元素(element)，它常用小写的字母,,a b c 表示，我们把一些元素组成的总体叫做集合(set)，简称集.集合通常用大写的字母,,A B C 表示.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于（belong to ）集合A ，记作a A ∈；如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于（not belong to ）集合A ，记作a A ∉.例如：我们用A 表示“1，2，…,20”中所有的质数组成的集合，则应该有3,4.A A ∈∉2．集合中元素的特征从上面描述性的说明中可以看出集合应具以下几个性质：（1）确定性：即给定的集合，它的元素必须是确定的.即给定一个集合A ，那么任何一个元素a 在不在这个集合中就确定了.也就是说a A ∈或a A ∉必须有且只有一种情形成立.（2）互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不能重复出现的，相同的元素在集合中只能算作一个元素.例如方程2(1)(2)0x x -+=的解只能写成{1,2}-，而不能写成{1,2,2}--.（3）无序性：集合中元素的排列是无次序的，例如{1,2,3}与{1,3,2},{2,3,1}等应表示同一个集合. 判断一组对象能否构成集合，关键是看对象是否满足集合中元素绵三个特征，特别看是否满足确定性.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.典例1. 判断下列各组对象能否构成集合？（1）不小于2004且不大于2010的所有正整数；（2）方程2102x x -+=的实数根； （3）比较矮的人.【研析】（1）不小于2004且不大于2010的所有正整数x 满足20042010x ≤≤，其中正整数有2004,2005,2006,2007,2008,2009,2010.满足集合中元素的三个特征，从而不小于2004且不大于2010的所有正整数能构成集合.（2）因为方程2102x x -+=的根的判断式21(1)41102∆=--⨯⨯=-<，从而方程2102x x -+=没有实数根.因此方程2102x x -+=的所有实数根能构成集合，这个集合是空集. （3）比较矮的人不能构成集合.因为人的高矮是相对而言的，我们无法找出一个客观标准，使得在这样的一个标准下能说清楚某个人倒底是高还是矮，也就是说这样的对象不满足集合元素的确定性，从而我们可以认为比较矮的人不能构成集合.3．数学中一些常见的数集及其记法全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ；所有正整数组成的集合称为正整数集，记作*N 或N +；全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ；全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q ；全体实数组成的集合称为实数集，记作R .【领悟·整合】 数“0”的归属新的国际标准定义自然数集含元素0，并且0是最小的自然数，这样做一方面是为了推广国际标准化组织（ISO ）制定的国际标准，另一方面，0还是十进制数｛0,1，2，……,9｝中最小的数.有了0，对于,a N a a N ∈-∈便有了依据.研习点2 集合的表示方法（重点） 1．列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法叫做列举法.列举法的优点是可以明确集合中具体的元素及元素的个数.在使用列举法时必须应注意以下几项事项：（1）元素间用“，”分隔；（2）集合中元素必须满足元素的三个特征；（3）对于含有限个元素且元素个数较少的集合宜采用列举法；如果元素的个数较多或无限个且构成集合的元素具有明显的规律时，也可以使用列举法，但必须把元素的规律显示清楚后才能用省略号，例如不超过1000的正整数构成的集合可表示为{1,2,3,,1000}.2．描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体的做法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.它的形式为{|p D p ∈适合的条件｝，其中p 叫做代表元素，D 为p 的限制范围，其含义为所有适合该条件的对象构成的集合.如果从上下文关系来看，p D ∈是明确的，那么p D ∈可以省略，只写元素p ，写成{|p p 适合的条件｝.例如{|13}x R x ∈≤<也可以表示成{|13}x x ≤<；{|31,}B x Z x k k Z =∈=-∈也可表示成{|31,}B x x k k Z ==-∈. 使用描述法应注意以下事项：（1）应写清楚该集合中元素的代表元素.如集合{|13}x x ≤<不能写成{13}x ≤<，这样就少了代表元.再如集合22{(,)|1}x y x y +=与集合22{|1}y x y +=表示不同的两个集合，前者是点集，而后者是数集，区别就在于它们的代表元不同.(2)准确地说明该集合中元素的特征.(3)应对其代表元素进行说明.如下面的表示方法是错误的：{,|(1,2)}x y （），事实上它应表示为{(,)|1,2}x y x y ==，或表示为{(1,2)}. 【知识·链结】 描述法采用的三种数学语言描述法的语言形式主要有三种：文字语言、符号语言和图形语言.例如表示直线y x =上所有点组成的集合，可采用以下三种形式来表示：（1）自然语言：直线y x =上所有点组成的集合；（2）符号语言：{(,)|}x y y x = （3）图形语言：在平面直角坐标系内画出第I,II 象限的角平分线.典例2.用列举法表示下列集合：（1）{(,)|3,,}x y x y x N y N +=∈∈； （2）{|3,,}y x y x N y N +=∈∈.――――――― 【研析】（1）与（2）两个集合有着本质的区别，其中（1）中集合的元素是有序实数对(,)x y ，可以理解为直角坐标平面上点的坐标，故其集合应理解成点集，并且若ab ≠时，(,)a b 与(,)b a 表示不同的元素；而（2）则是一个数集，另外还应注意0.N ∈从而：（1）,x y 都是自然数，而303301221=+=+=+=+，故对应的集合为{(0,3),(3,0)，(1,2),(2,1)}；（2）集合中的元素是自然数y ，故集合为{0,1,2,3}.3．列举法与描述法的比较列举法与描述法各有优点，应根据具体问题确定使用那种集合的表示法，列举法具有直观、明了的特点，但有些集合是不能用列举法表示出来的，例如方程30x ->的解集.描述法把集合中所具有元素的特征性质描述出来，具有抽象、概括、普遍性的特点.表示一个集合可认为是进行如下过程：列举法典例3.试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合；（2）大于2且小于7的整数组成的集合.【研析】（1）用描述法表示为2{|(23)0}x R x x x ∈--=；用列举法表示为{0,1,3}.-（2）用描述法表示为{|27}x Z x ∈<<；用列举法表示为{3,4,5,6}.4．集合的分类根据集合中元素的多少，集合可分为：有限集、无限集.元素个数是有限多个的集合称为有限集(finite set)，例如{1,2,3}，{|14}x Zx ∈≤≤都是有限集；元素个数是无限的集合称为无限集(infinite set)，例如{|14}x R x ∈≤≤就是无限集；我们把不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作∅.例如求方程210x x ++=所有实数解的集合.因为方程210x x ++=没有实数解，从而2{|10}.x R x x φ∈++== 【探究·发现】 a 与{}a 、x 与φ的关系a 与{}a 是截然不同的，一般而言，a 表示一个元素，而{}a 表示一个集合.比如2{2,3}∈，0{0}∈，0{2,3}∉等表示方法都是正确的，而象0{0},{0}{0,1}=∈等表示方法都是错误的.空集φ是不含有任何元素的集合，即φ中没有元素.因此无论何时何处，“x φ∈”的写法总是错误的，而“x φ∉”的写法却又总是正确的.典例4.用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集.（1）第三象限内所有点组成的集合；（2）由大于－3而小于9的偶数组成的集合；（3）所有被5除余2的奇数组成的集合.【研析】（1）{(,)|0,0}x y x y <<，它是无限集；（2）{2,2,4,6,8}-，共有5个元素，是有限集；（3）{|107,}x x k k Z =+∈，它是无限集.开拓学习新视野悖论了解一些悖论的基本知识，可以激发兴趣，启发思维，活跃思维.悖论与通常所说的诡辩是不同的，诡辩不仅通过公认的理论可以明显看出其错误性，而且还可以通过已有理论、逻辑来推断其的原因.悖论虽然让人感到其不妥的，但从其所在的理论体系内部却不能阐明其错误的原因.悖论对于其所在的（或当时的）科学理论体系而言是一种解释不了的矛盾.正如Y.Hillel 所说：如果某种理论的公理或推理原则看上去是合理的，但在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾命题的等价性，那么我们就说这个理论包含了一个悖论.1902年罗素提出：集合可以分为两类，一类是集合A 是它本身的元素（这种集合称为本身分子集），如“一切概念的集合”，它本身也是一个概念，它属于这个集合“一切集合的集合”也是一个本身分子集；第二类是非本身分子集，这就是我们平常所见的集合，比如有理数集Q ，它不是有理数，所以Q Q ∉.那么一切非本身分子集的全体构成的集合{|}W x x x =∉是哪一类集合呢？如果W 是非本身分子集，从概念上看，应有W W ∉，但从W 的元素构成来看，应有W W ∈；如果W 是本身分子集，从概念上看，应有W W ∈，可是再从W 的元素构成来看，应有W W ∉. 这样就得出了一个悖论，称为罗素悖论.原因是“一切”两字不能漫无边际地泛泛使用，应当有一定的约束.1919年罗素还把上述悖论改写为更为通俗的“理发师悖论”：某村只有一个理发师，且该村的人都需要理发.理发师约定，给且只给村中不给自己理发的人理发.试问：理发师给不给自己理发？如果理发师给自己理发，那么就违背了他自己的约定，如果理发师不给自己理发，那么按照他的约定，他就应该给自己理发.其实这一悖论产生的原因是理发师的约定中，虽然没有说明该村的一切人（或所有的人），实际上是指所有人，而也包括了他自己.十九世纪中叶以后，数学界的气氛是自庆自慰的，罗素悖论出现以后，一片哗然，使人们对数学理论的正确性产生了怀疑，形成了数学史上的第一次数学危机，弗雷格正要出版《算法基础》第三卷，他称：一个科学家所遇到的最不合心意的事情，莫过于在他工作即将结束时，其基础崩溃了，罗素先生的一封信（提出了罗素悖论），将我置于这个境地.戴德金也因此收回了正欲出版的名著《什么是数和数是什么》.以罗素悖论为起点，连续出现了一系列的悖论，尖锐地冲击了当时沉醉于丰硕成果中的过分乐观的人们.当然在惊异之余，人们还是获得了重大的进步，取得了人类实践上的重大突破.现大由于科学的发展，各大领域中出现大量的思维、推理上被称为悖论的问题，下面摘录《科学美国人》杂志社编发的“悖论箱”中的几例，以此增添兴趣.1．梵学者的预言印度预言家的女儿，在纸上用一句话写一件事，让她父亲预言这件事在下午三点前是否会发生，并在一张卡片上写“是”或“不”.此梵学者，在卡片上写了一个“是”字.而她女儿在纸上所写的却是：在下午三点以前，你将写一个“不”字在卡片上.梵学者发现，他被女儿捉弄了，因为无论是他在卡片是写“是”还是“不”都与他的预言相悖，他根本不可能作出正确的预言.这种悖论的另一种形式是让计算机“亮红灯”（是）与“亮绿灯”（不）来预言它下一次亮的是不是绿灯.这在逻辑上是不可能成立的.2．选举悖论有三个对象A 、B 、C 竞选，民意测验表明：三分之二的选民愿意选A 不愿意选B ，也有三分之二的人愿意B 而不愿意选C ，问是否愿意选A 的人比愿意选C 的人多?答案是不一定的.事实上，每个对象都可能有三分之二的可能愿意选他而不愿意选另一个.例如：肯尼迪·阿洛曾根据这一条统计性悖论及其它逻辑原理证明了：一个十全十美的民主选举系统在原则上是不可能实现的,他因此项成果获得了1972年诺贝尔经济学奖.3．关于时间的悖论一盏灯，开一分钟，闭半分钟，再开四分之一分钟，闭18分钟，……如此下去，问最后这盏灯是开着还是闭着?哲学家马克斯·布莱克的另一种叙述方式：一个球在A盘中停1分钟，传到B盘中停12分钟，再传回A盘中停14分钟，如此下去，最后球停在哪一个盘中？与这有关的一个悖论是一个多数人熟悉的经典悖论：一只飞虫在两位骑自行车相对而行的人之间来回飞行（两车同速，匀速为2公里/小时，相距1里）.当两车在中点碰面时，飞虫是向着哪一个方向？飞虫共飞了多少距离？（第二个问题的实际计算很简单，因为两车相遇时为14小时，故为14×飞虫速度）.。