高中数学必修三：均匀随机数的产生

②统计出试验总次数 N 及其中满足 b＜c 的次数 N1，满足 b＜ c＜a 的次数 N2； N1 N2 ③计算频率 fn(A)＝ ，fn(B)＝ ，即分别为事件 A，B 的概 N N 率的近似值．
探究点 2 与面积有关的几何概型 (1)(2016· 高考全国卷Ⅱ)从区间[0， 1]随机抽取 2n 个数 x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成 n 个数对(x1，y1)，(x2， y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个， 则用随机模拟的方法得到的圆周率 π 的近似值为( 4n A. m 4m C. n 2n B. m 2m D. n )
第三章
概
率
3.3.2
均匀随机数与意义． 2.会用模拟试 验求几何概型的概率． 3．能利用模拟试验估计不规则图形的面积．
1．均匀随机数的定义 如果试验的结果是区间[a，b]内的任何一个实数，而且出现任
等可能的 ，则称这些实数为均匀随机数． 何一个实数是_________
)
解析：选 B.旋转时要无规律旋转，否则估计的结果与实际有 较大的误差，所以 C 不正确；转盘的半径与估计的结果无关， 所以 D 不正确；旋转的次数越多，估计的结果越精确，所以 B 正确，A 不正确．
如图， 矩形长为 6， 宽为 4， 在矩形内随机地撒 300 颗黄豆， 数得落在椭圆外的黄豆数为 96 颗，以此试验数据为依据可以 估计出椭圆的面积约为( )
解析：(1)计算器可以产生[0，1]上的均匀随机数和[a，b]上的 整数值随机数等． (2)计算器不可以产生[a，b]上的均匀随机数，只能通过线性变 换得到． (3)计算器也可以产生整数值随机数．
下列关于用转盘进行随机模拟的说法中正确的是( A．旋转的次数的多少不会影响估计的结果 B．旋转的次数越多，估计的结果越精确 C．旋转时可以按规律旋转 D．转盘的半径越大，估计的结果越精确

人教A版高中数学必修三 3.3.2均匀随机数的产生课件(共20张PPT )
知识点二 几何概型的概率公式
思考
既然几何概型的基本事件有无限多个，难以像古典概型 那样计算概率，那么如何度量事件A所包含的基本事件数 与总的基本事件数之比？ 答案
可以用事件A所占有的几何量与总的基本事件所占有的 几何量之比来表示.
1 求射中阴影区域的概率 2 射中圆盘中心O的概率
所有基本事件
基本事件
指定事件A
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圆内所有的点 分析
圆内一点
扇形内所有点
答案
P=S扇形AOB =1 S圆O 8
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指定事件A
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线段AB 分析
线段AB上一点
答案
P
A
1 =
6
线段BC
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知识点一 几何概型的概念
思考
例2.小明家订了一份报纸，送报人可能在 06:30到07:30之间送达，小明父亲离家上班 的时间可能在07:00到08:00之间，求他在离 家之前能收到报纸（记为时间A）的概率
总结 1.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例， 则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型. 2.几何概型的特点 (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有 无限多个 . (2)每个基本事件出现的可能性 相等 .
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8.如图所示,甲､乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向阴影所 示区域时,甲胜,否则乙胜,则甲胜的概率是________.
9.如下图,设A为半径为1的圆周上一定点,在圆周上等可能的 任取一点B,求弦长|AB|超过的概率.
解:要使弦长|AB|>,只要∠AOB大于90°.记“弦长|AB|超过
”为事件C,则C表示的范围是∠AOB∈(90°,270°),由
2.利用随机模拟方法可求概率问题,其实质是先求频率,用频 率近似代替概率.其关键是设计好“程序”或者说“步 骤”,并找到各数据需满足的条件.
(1)由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数 的组数,如长度型､角度型需用一组,面积型需用两组;
(2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围; (3)由事件A发生的条件确定随机数应满足的关系式.
分析:在坐标系中画出正方形,用随机模拟的方法求出阴影部 分与正方形面积之比,从而求得阴影部分面积的近似值.
解:(1)利用计算机产生两组[0,1]上的均匀随机 数,a1=RAND,b1=RAND.
(2)经过平移和伸缩变换,a=(a1-0.5)*2,b=b1*2,得到一组[1,1]的均匀随机数和一组[0,2]上的均匀随机数.
的机会是等可能的,所以符合几何概型的条件.
1 5 5 25 S阴影 2 6 3 36 , S正 22 4,
25 P S阴影 36 25 .
S正 4 144
解法2:(1)利用计算器或计算机产生两组0至1区间内的均匀 随机数a1、b1(共N组);
(2)经平移和伸缩变换a=(a1-0.5)*2,b=(b1-0.5)*2;
几何概型公式得
P(C)
270o 90o 360o
1. 2
10.在集合{(x,y)|0≤x≤5,且0≤y≤4}内任取1个元素,能使 代数式 y x 19 0 的概率是多少?

[0,1]内的多个均匀随机数． (2)用计算机产生均匀随机数的过程如下：Scilab中用 rand()函数来产生0～1的均匀随机数，每调用一次rand() 函数，就产生一个随机数，如果要产生a～b之间的随机 数，则使用变换rand()*(b－a)＋a得到．
2．整数随机数与均匀随机数的联系与区别： (1)二者都是随机产生的随机数，在一定的区域长度上出现 的机率是均等的．但是整数随机数是离散的单个整数值， 相邻两个整数随机数的步长为1，而均匀随机数是个小数 或整数，是连续的小数值，相邻两个均匀随机数的步长是 人为设定的． (2)要产生[a，b]上的均匀随机数，利用计算器或计算机产 生[0,1]上的均匀随机数x1＝RAND，然后利用伸缩和平移 变换x＝x1]
落在半圆中的豆子数 所以 π≈落在正方形中的豆子数×4， 这样就得到 π 的近似值．
题型二 利用随机模拟试验估计图形的面积
【例2】如图所示，向边长为2的正方形内投飞镖，求飞镖落在 中央边长为1的正方形内的概率．
审题指导 考查用随机模拟的方法求解．由于飞镖落在大 正方形内的位置是随机的，有无限个，并且是等可能的， 符合几何概型概率问题．
4．[a，b]上均匀随机数的产生 利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数x＝RAND， 然后利用伸缩和平移交换x＝x1] 概率为0的事件一定是不可能事件吗？概率为1的事件 也一定是必然事件吗？ 提示 如果随机事件所在区域是一个单点，因单点的长度、 面积、体积均为0，则它出现的概率为0(即P＝0)，但它不 是不可能事件；如果随机事件所在的区域是全部区域扣除 一个单点，则它出现的概率为1(即P＝1)，但它不是必然事 件．
2．均匀随机数的产生 (1)计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是_R__A_N_D_函数． (2)Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为rand()．

1 2× ×20×20 2 25 则 P(A)＝ ＝36. 24×24
图(1)
图(2)
(2)设“两船不需等待码头空出”为事件 B，则区域 D3：y－x＞4 或 x－y＞2 为如图(2)所示的阴影部分； S阴影部分 221 P(B)＝ ＝ . S正方形 288
点评：一般地，若一个随机事件需要用两个连续变量(如本例中的 x，y)来描述，用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，利用 坐标平面能顺利地建立与面积有关的几何概型．
变式探究 2 在长为 14 cm 的线段 AB 上任取一点 M，并以线段 AM 为边作正方形，试求正方形的周长介于 20 cm 与 28 cm 之间的概 率．
解析： (1)用计算机产生一组[0,1]内均匀随机数 a1＝RAND.(2)经过 伸缩变换 a＝a1]N1,N)．记事件 A＝{周长介于 20 cm 与 28 cm 之间}＝ N1 {边长介于 5 cm 与 7 cm 之间}，则 P(A)的近似值为 N .
3 新课堂· 互动探究 考点一用坐标法求与面积有关的几何概型的概率 例 1 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它 们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的． (1)如果甲船和乙船的停泊时间都是 4 h，求它们中的任何一条船 不需要等待码头空出的概率； (2)如果甲船的停泊时间为 4 h，乙船的停泊时间为 2 h，求它们中 的任何一条船不需要等待码头空出的概率． 思维启迪：设甲、乙两船到达时间分别为 x，y.根据条件列出不等 式(组)，并在平面直角坐标系内画出不等式组表示的区域，利用区域 的面积求解．
点评：用随机模拟法近似计算不规则图形的面积的方法技巧 (1)用随机模拟法估计不规则图形的面积的基本思想是：构造一个 包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产生某区间内的均匀 随机数，再利用图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内 的均匀随机点的个数之比来解决． (2)对于较复杂的问题通常需要设计一个图形，使其面积与某个常 数有关，进而就可以设计一个概率模型，然后设计适当的试验来确定 所求面积的近似值．

计算器不可以产生[a,b]上的均匀随机 数,只能通过线性变换得到
计算器可以产生整数值随机数
显然正确
3.在边长为2的正方形当中,有一个封闭曲线围成的阴
影区域,向该正方形中随机撒入100粒豆子,恰有60粒豆
子落入阴影区域内,那么阴影区域的面积近似
为
.
【解析】设阴影区域的面积为S,则 S 60 ，S 12 .
【审题路线图】1.利用两区间之间的关系确定变换方 式. 2.确定基本事件,所求事件涉及区间⇒制定随机数选取 方法⇒计算概率.
【解析】1.选C.因为随机数x∈[0,1],而基本事件都在 [-2,6]上,其区间长度为8,所以首先把a1变为8a1,又因 区间左端值为-2,所以8a1再变为8a1-2,故变换公式为 a=8a1-2.
(3)统计满足-8<a<8,-7<b<7的点(a,b)的个数N.满
足1<a2+b2<4的点(a,b)的个数N1.
(4)计算频率fn(A)=
N1,即为所求概率的近似值.
N
【延伸探究】1.若本例2中条件不变,如何利用随机模 拟的方法求该特种兵的成绩为不合格的概率? 【解题指南】可用点的个数比来求概率,要表示平面图 形内的点必须有两个坐标,故可产生两组随机数来表示 点的坐标以确定点的位置.
3.3.2 均匀随机数的产生
1.均匀随机数的定义 如果试验的结果是区间[a,b]内的任何一个实数,而 且出现任何一个实数是_等__可__能__的__,则称这些实数为 均匀随机数.
2.均匀随机数的特征 (1)随机数是在_一__定__范__围__内产生的. (2)在这个范围内的每一个数被取到的可能性_相__等__.
m
m
n
n

解析答案
类型三 用模拟法估计面积
例3 利用随机模拟方法计算由y＝1和y＝x2所围成的图形的面积.
解 以直线x＝1，x＝－1，y＝0，y＝1为边界作矩形，
(1)利用计算器或计算机产生两组0～1区间的均匀随机数，
a1＝RAND，b＝RAND；
(2)进行平移和伸缩变换，a＝2(a1－0.5)；
(3)数出落在阴影内的样本点数N1，用几何概型公式计算阴影部分的面积.
答案
1 2345
3.将[0,1]内的均匀随机数转化为[－3,4]内的均匀随机数，需要实施的变换
为( C)
A.a＝a1*7 C.a=a1*7-3
B.a＝a1*7+3 D.a＝a1*4
解析 根据伸缩和平移变换a＝a1*[4-(-3)]+(-3)= a1*7-3
解析答案
1 2345
4.用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，
解析答案
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课堂检测
1.用均匀随机数进行随机模拟，可以解决( C ) A.只能求几何概型的概率，不能解决其他问题 B.不仅能求几何概型的概率，还能计算图形的面积 C.不但能估计几何概型的概率，还能估计图形的面积 D.最适合估计古典概型的概率
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答案
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2.关于用Excel软件产生均匀随机数，下列说法错误的是( B ) A.只能产生[0,1]区间上的随机数 B.产生均匀随机数的函数是RAND C.产生的均匀随机数是伪随机数 D.用Excel软件不但能产生大量均匀随机数，还方便统计结果.
则( D )
A.m>n
B.m<n
C.m＝n
D.m是n的近似值
解析 随机模拟法求其概率，只是对概率的估计.

x
x 6.5 rand() y 7 rand()
设随机模拟的试验次数为 ，其中父亲得到报纸 的次数为 （即为满足y x 的试验次数），则由 古典概型的知识可得，可以由频率近似的代替概率，
n
a
n 所以有： p ( A) a
随机模拟
例2：在如右图所示的正方形 盘子中随机的撒一把豆子， 计算落在圆中得豆子数与落 在正方形中的豆子数之比并 依此估计圆周率的值。
例1：假如你家订了一 份报纸，送报人可能在 早上6：30~7：30之间 把报纸送到你家，你父 亲离开家去工作的时间 是在早上7：00~8：00， 问你父亲在离开家前能 得到报纸（称为事件A） 的概率是多少？
想一想：你
能设计一个 随机模拟的 方法来求它 的概率吗？ 分析：我们有两种方法计 算该事件的概率： (1)利用几何概型的公式； (2)用随机模拟的方法．
解：方法一（几何概型法）
设送报人送报纸的时间为 x ， 父亲离家的时间为 y ，由题义可得父 亲要想得到报纸，则 x与 y 应该满足 的条件为：
6.5 x 7.5 7 y 8 yx
画出图像如右图所示，
由题义可得符合几何概 型的条件，所以由几何 概型的知识可得：
y
父 离 时 亲 家 间 y=x
M (a, b) ，求出满足 a 2 b 2 1 的点 (3)构造点
的个数 M (a, b) 的个数
m，则可得：
4m . n
模拟试验
例3：利用随机模拟方法计算 右图中阴影部分（由 y 1 2 和 y x 所围成的部分）的 面积． 想一想：你 能设计一个 随机模拟的 方法来估计 阴影部分的 面积吗？
线 x 1, y 1, y 0 围成的的矩形的面积为2， 利用随机模拟的方法可以得到落在 阴影部分内的点与落在矩形内的点 数之比，再用几何概型公式就可以 估计出阴影部分的面积．

例1.天气预报说,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为40％. 这三天中恰有两天下雨的概率大概是多少？
解:我们通过设计模拟试验的方法来解决问题.利用计算器可以产 生0到9之间取整数值的随机数,我们用1,2,3,4表示下雨,用5, 6, 7,8,9,0表示不下雨,这样可以体现每天下雨的概率是40％.因 为是3天,所以每三个随机数作为一组。
分析2:另外,还可以用计算机模拟上述过程, 步骤如下:
1 产 生 两 组 各 n 个 0 ~ 1 区 间 的 均 匀 随 机 数 a 1 , a 2
2 经 过 平 移 和 伸 缩 变 换 得 到 ： a ( a 1 0 . 5 ) * 2 , b ( b 1 0 . 5 ) * 2 ;
例如,产生20组随机数：
907 966 191 271 932 812 458 569 683 431
908 257 393 027 556 488 730 113 537 989
相当于做了20次试验. 在这组数中, 如果恰有两个数在1，2，3，4中, 则表 示恰有两天下雨, 它们分别是191，271，932，812，393，即共有5个数.我
◆如何利用计算器产生取整数值的随机数来代替掷 硬币的试验呢？
实际上,我们可以用 0 表示反面朝上,1 表示正面朝上,利 用计算器不断产生 0,1 两个随机数,以代替掷硬币的试验.
利用计算机产生整数值随机数
设投掷一枚硬币100次,设正面向上对应数1,反面向上对应数0用 Excel产生随机数,统计频数和频率.
们得到三天中恰有两天下雨的概率近似为 5 25％ .
20
● 25％是这三天中恰有两天下雨的概率吗？为什么?
事实上，这里我们用随机模拟的方法得到的仅是20次试验中恰 有两天下雨的频率或概率的近似值（或估计值）。

第三章
概率
3．3 几何概型
3.3.2 均匀随机数的产生
[目标] 1.会求几何概型的概率；2.知道均匀随机数产生的方 法及在几何概型中的应用；3.能利用几何概型估计不规则图形的 面积．
[重点] 几何概型的概率的求解及几何概型的应用． [难点] 均匀随机数的产生及应用．
要点整合夯基础 课堂达标练经典
5．取一根长为 3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，利用 随机模拟法求剪得两段的长都不小于 1 m 的概率有多大？
解：方法 1：(1)利用计算器或计算机产生一组[0,1]上的均匀 随机数，a1＝RAND.
(2)经过伸缩变换，a＝a1]N1,N)即为概率 P(A)的近似值． 方法 2：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度 [0,3](这里 3 和 0 重合)．转动圆盘记下指针在[1,2](表示剪断绳子 位置在[1,2]范围内)的次数 N1 及试验总次数 N，则 fn(A)＝NN1即为 概率 P(A)的近似值．
1．几何概型中的试验结果是( A )
A．无限多个
B．有限个
C．非等可能的 D．不能确定
解析：几何概型中的试验结果有无限多个，故选 A.
2．几何概型的随机模拟试验中，得到阴影内的样本点数为
N1，试验次数为 N，则下列说法正确的是( B )
A．N1 与 N 的大小无关 B.NN1是试验中的频率
C.NN1是试验中的概率
[变式训练 3] 利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分 (y＝log2x 与 y 轴及 y＝±1 围成的图形)的面积．
解：(1)利用计算器或计算机产生两组[ 0,1] 上的均匀随机数 a1，b1.
(2)经过伸缩变换，a＝a1]N1,N)就是点落在阴影部分的概率 的近似值．