初三复习课
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1、我们已学习过的二次函数 的定义？它的解析式的哪几种形式?
2、请你说出各种形式的二次函数 图象的性质.
3、二次函数y=ax2 +bx+c(a0)的系数
a，b，c，△与抛物线图象的关系。
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二次函数的定义：
一般地，形如 y=ax2 +bx+c
(a， b， c是 常 数 ， a0)的函数叫做 x 的二次函
a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧
a,b （左同右异）
a、b异号时对称轴在y轴右侧
b＝０时对称轴是y轴
c决定抛物线与y轴的交点：c＞０时抛物线交于y轴的正半轴
c
c＝０时抛物线过原点
c＜０时抛物线交于y轴的负半轴
△决定抛物线与x轴的交点：△＞０时抛物线与x轴有两个交点
△
△＝０时抛物线与x轴有一个交点
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二次函数的几种表达式：
y
①、 y=ax2(a0)
②、 y=a2x+k(a0)
③、 y=a(xh)2(a0)
④、 y=a(xh)2+k(a0)
o
x
(顶点式)
⑤、 y=a2x+b+ xc(a0)
⑥、y=a(x+b)2+4a cb2(a0) 2a 4a
(一般式)
⑦、y= a (x x 1 )x ( x 2 )a ( 0 )
数。
•其中x是自变量，a,b,c分别是函数表达式 的二次项系数，一次项系数和常数项。
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举手抢答：下列函数中（x，t是自变量），哪些是 二次函数？
（1） y=3x2+6x5（2） s =
1 t2
+7
是。
不是。右边不是整式
（3）s=2(t+3)25（4） y=22 +2x
是。
不是。自变量的最高次 数只有1次
注意：在求解析式时，要根据题.意，合理假设。
(交点式)
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二次函数的图象及性质
抛物线
开口方向
y = ax2
y=ax2 +k y=a(xh)2 y=a(xh)2+k y=ax2+bx+c
y=a(x+b)2+4acb2 2a 4a
当a>0时开口向上，并向上无限延伸；
当a<0时开口向下，并向下无限延伸.
顶点坐标 (0,0)
2、二次函数 y=x2+4x5的图象开口向下，对称轴是 x = 2，
顶点坐标是 ( 2， 1) ，当x 2 时，y随着x的增大而减小。 3 、已知函数 y=x26x+8.
(1)写成 y=a(xh)2+k的形式； y=(x3)2 1
(2)求出对称轴及顶点坐标；对称轴 x = 3 顶点坐标 ( 3 , 1)
２、二次函数 y=x22x+3的最值为（ D ）
A、最大值１ B、最小值１ C、最大值２ D、最小值２
３、抛物线 y=4x2+3的对称轴及顶点坐标分别是（ D ）
A、y轴，（０，－４） B、x＝３，（０，４）
C、x轴，（０，０） D、y轴， （０，３）
４、二次函数 y=(x1)22图象的顶点坐标和对称轴
(3)当x取什么值时，y随x的增大而增大？ x 3 当x取什么值时，y随x的增大而减小？ x 3
(4)求出函数图象与坐标轴的交点坐标？ (2,0) (4,0) (0,8)
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三、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数a，b，c，△
与
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a 抛a决物定线开的口方关向系：a＞０时开口向上，
a＜０时开口向下
y = ax2形状相同,位置不同。
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8
例2 已知函数 y=x24x+3
1、确定函数图象开口方向、对称轴和顶点坐标；
2、当x取何值时，y的值最大(或最小)，最大(或最小)值是多少？
3、当x取什么值时，y随x的增大而增大？ 当x取什么值时，y随x的增大而减小？
4、求出函数图象与x轴、y轴的交点坐标.
解: (1) 开口向上 对称轴 x = 2 顶点坐标 ( 2 , 1)
a<0 y max = 0 y max = k y max = 0 y max = k
直线
x= b 2a
x=2ba时y， mi=n 4a4acb2
x=2ba时y， ma=x4a4acb2
在对称轴左侧，y随x的增大而减小
增 减
a>0 在对称轴右侧，y随x的增大而增大
性 a<0 在对称轴左侧，y随x的增大而增大
方程为（ A ）
A、（１，－２）， x＝１ B、（１，２），x＝１
C、（－１，－２），x＝－１ D、（－１，２），x＝－１
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当堂检测：
1、已知抛物线 y=x2 2x ，下列说法错误的是（ c ）
A. 该抛物线的对称轴是直线x=1 B. 该抛物线的开口向上
C. 该抛物线的顶点坐标在第三象限 D. 该抛物线经过原点
△＜０时抛物线于x轴没有交点
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练习：１、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图 y
象
B
如图所示，则a、b、c的符号为（ ）
o
x
A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0
2C、、二a次<0函,b数<y0=,ca>x02+bDx+、ca(<a≠0,0b)<的0图,c象<0
在对称轴右侧，y随x的增大而. 减小
y x
y x
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各种形式的二次函数的关系
y = a( x – h )2 + k
左
上
右
下
平
平
移
移
上加下减（对于k） 左加右减（对于x）
y = ax2 + k
y = a(x – h )2
上下平移 y = ax2 左右平移
结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k与
(2) 当 x=2 时 , y取 最 小 值 。 最小值为：-1
(3) 当x<2时，y随x的增大而减小；当x>2时，y随x的增大而增大。
(4) 与x轴的交点坐标为： (1,0) (3,0)
与y轴的交点坐标为： ( 0 , 3 )
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9ຫໍສະໝຸດ Baidu
练习：1、抛物线 y=2x24x+7的顶点坐标是（ D ）
A、(-1,13) B、(-1,5) C、(1,9) D、(1,5)
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二次函数的概念典型例题
例 1、函 y=(k数 1)x2k2+k+1是二次k函 =_-_1数 _._， _
2
解：根据题意，得
k
1 2
0
2 k 2 +
由①，得 k
k +1 1
=
2
① ②
2
由②，得
k1
=
1, 2
k2
=1
∴
k =1
２ 练习： y=(m 函 +1)x数 m2m+mx1是二次m 函 =_数 __.
(0,k) (h,0)
(h,k)
(
b
4a cb2
,
)
2a
4a
对称轴 y轴
y轴
直线 x=h 直线 x=h
x = 0 时， x = 0时， x = h 时 x = h 时
最 a>0 y min = 0 y min = k
y min = 0 y min = k
值
x = 0时 x = 0时 x = h 时 x = h 时
