2013届高考数学复习--最新3年高考2年模拟(12)几何证明选讲

2013年高考数学 3月最新名校市级模拟试卷分类解析 专题12 算法框图及推理与证明、复数一．基础题1.【2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试】 复数241iz i-=+（i 为虚数单位）的共轭复数等于（ ） A ．13i + B ．13i - C ．13i -+ D ．13i --【答案】C 【解析】24(24)(1)2(13)131(1)(1)2i i i i z i i i i -----====--++-，所以13z i =-+ 2.【湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三三月联合考试】设为虚数单位，复数z 满足i 2i z =+，则z 等于（ ）A ．2i -B ．2i --C ．12i +D ．12i - 【答案】D 【解析】∵22i (2i)i 2i 112i i 1i z ++-====--，∴选择“D ”． 3.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】在复平面内复数3+41iz i=-的对应点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4.【北京市顺义区2013届高三第一次统练】在复平面内,复数ii+-221对应的点的坐标为 A.()1,0- B.()1,0C.⎪⎭⎫⎝⎛-53,54 D.⎪⎭⎫⎝⎛53,54 【答案】A 【解析】12(12)(2)52(2)(2)5i i i ii i i i ----===-++-,所以对应点的坐标为(0,1)-，选A. 5.【2013届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】 在复平面内，复数11+i所对应的点位于 （ ）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D【解析】21111ii i i+=+=-，对应的坐标为(1,1)-，在第四象限，选D. 6.【广西百所高中2013届高三年级第三届联考】复数321i i-的虚部为 （ ）A ．iB ．-iC ．1D ．-1【答案】D【解析】∵322(1)112i i i i i -+==--∴其虚部为-1 7.【北京市房山区2013届高三上学期期末考试】设,a b ∈R ，(1)(2)a bi i i +=-+（为虚数单位），则a b +的值为A. 0B. 2C. 3D. 48.【2013年山东省日照市高三模拟考试】在复平面内，复数1iz i=-所对应的点在 A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】i i(1i)1i1i (1i)(1i)2z +-+===--+,其对应点11(,)22-为第二象限点.选B.9.【2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考】复数22 ()1i i-（其中i 为虚数单位）的虚部等于( )A ．i -B ． 1-C ． 1D ．010.【北京市房山区2013届高三上学期期末考试】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值为 .11.【2013年山东省临沂市高三教学质量检测考试】设1211z i,z i =+=-(i 是虚数单位)，则12z z = (A)-i (B)i (C)0 (D)1 【答案】B【解析】因为1211z i,z i =+=-，所以1211z i z i +=-2(1)2(1)(1)2i ii i i +===-+，选B.12.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】按如图所示的程序框图运行后，若输出的结果是63，则判断框的整数M 的值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8解析：按框图推演可得：M 的值为：6，故选B13.【山东省威海市2013届高三上学期期末考试】复数z 满足1i z z ⋅=+，则z = （A ）1+i （B ）1i - （C ）122i -- （D ）122i +14.【山东省济宁市2013届高三上学期期末考试】复数21i=+ A.1i - B.1i +C.i -D.i【答案】A 【 解析】22(1)2211(1)(1)2i i i i i i --===-++-，选A. 15.【2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联考】阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S 的值是（ ）A ．39B ．21C ． 81D ．10216.【江苏省南通市2013届高三第二次调研测试】根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 ▲ ．【答案】145【解析】本题考查算法的概念，算法主要考查流程图与伪代码， 复习时要求能看懂流程图与伪代码就行，不宜过难过深.17.【成都外国语学校高2013级高三12月月考】输入x=2，运行右图的程序输出的结果 为【答案】y=1【解析】输入x=2，x>0，∴y=-2+3=1∴输出y=118. 【江西省临川二中2013届高三12月月考】如图给出的是计算S ←0For I From 1 to 28 Step 3S ←S +IEnd ForPrint S（第6题）111124620++++的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ） A ．i >10 B ．i <10 C ．i >20 D ．i <20 【答案】A【解析】所求表达式为10个数的和，所以选A19.【2013年浙江省考试院高考数学测试卷(理)测试卷】若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是20. 【邯郸市2013届高三教学质量检测】如图,若程序框图输出的S 是126,则判断框中①应为 A ．?5≤nB ．?6≤nC ．?7≤nD ．?8≤n (输出应加上S)【答案】B【解析】∵123456022*******S =++++++=∴选B21. 【河南省中原名校2013届高三第三次联考】执行右面的框图，若输入的N 是6，则输出p 的值是（ ）A ．1 20B ．720C ．1440D ．504022.【湖北省黄冈中学、孝感高中2013届高三三月联合考试】某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果 是（ ）A ．12B ．23C ．34D ．45【答案】C 【解析】11131223344++=⨯⨯⨯．故选C ． 23.【武汉市部分学校2013届高三12月联考】阅读右面的程序框图，则输出的S = （ ）A ．14B ．30C ．20D ．55 【答案】B【解析】0,1s i ==，2011,2s i =+==，4?i >否，2125,3s i =+==，4?i >否， 25314,4s i =+==，4?i >否，214430,5s i =+==，4?i >是，输出s=3024. 【2013届高三年级第二次四校联考】阅读如图所示的程序框图，则输出的S ＝（ ）A ．14B ．20C ．30D ．5525【山东省威海市2013届高三上学期期末考试】阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是_________.【答案】11【解析】第一次循环，123a =+=；第二次循环，23211a =+=；第三次循环，不满足条件，输出11a =。

2013届高三理科数学高考模拟考试2一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为(0,1),(1,3)A B -，则21z z = （ ） A ．13i -+ B ．3i --C ．3i +D ．3i -2．当4x π=时，函数()sin()(0)f x A x A ϕ=+>取得最小值，则函数3()4y f x π=- （ ） A ．是奇函数且图像关于点(,0)2π对称 B ．是偶函数且图像关于点(,0)π对称C ．是奇函数且图像关于直线2x π=对称 D ．是偶函数且图像关于直线x π=对称⒊采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A ，编号落入区间[401，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ．则抽到的人中，做问卷C 的人数为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15 4．已知方程sin x k x=在(0,)+∞有两个不同的解,αβ（αβ<），则下面结论正确的是：（ ）A ．1tan()41πααα++=- B ．1tan()41πααα-+=+ C ．1tan()41πβββ++=- D ．1tan()41πβββ-+=+ 5.下列命题错误的是（ ）A ．命题“若0lg =x ，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则lg 0x ≠”B ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题C ．命题:p x R ∃∈，使得1sin >x ，则:p x R ⌝∀∈，均有1sin ≤xD ．“2x >”是“211<x ”的充分不必要条件 6. 函数ln xy x=在区间()1,+∞上（ ） A ．是减函数 B ．是增函数 C ．有极小值 D ．有极大值 7.若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为12，则该几何体的俯视图可以是（ ）DA CBE8. 已知x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+113y y x y x ，若20≤+≤by ax ，则12++a b 的取值范围为（ ）A. [0，1]B. [1，10]C. [1，3]D. [2，3]二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9－13题）9．高三(1)班共有56人，学生编号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6，34，48的同学在样本中，那么还有一位同学的编号应为 ． 10.不等式|X-1|+|X-3|≤2X 的解集是 ．11. 以抛物线2:8C y x =上的一点A 为圆心作圆，若该圆经过抛物线C 的顶点和焦点， 那么该圆的方程为 .12.已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在半径为3的球面上，且PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则三棱锥P ABC-的侧面积的最大值为 ． 13．如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点， 1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和 1个空心圆点．则第11行的实心圆点的个数是 ．(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线1C ：22ρ=和曲线2C ：cos()24πρθ+=，则1C 上到2C 的距离等于2的点的个数为 ． 15．（几何证明选讲）如图,AB 是两圆的交点,AC 是小圆的直径,D 和 E 分别是CA 和CB 的延长线与大圆的交点, 已知10,4==BE AC ,且AD BC =,则DE =___________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin 3cos c A a C =． （1）求角C 的大小；............第1行 ............第2行 ............第3行 ............第4行 ............第5行 (6)DDAABBCCEEFFGG ∙∙（2）求3sin sin()2A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．17.（本小题满分12分）某连锁超市有A 、B 两家分店，对该超市某种商品一个月30天的销售量进行统计：A 分店的销售量为200件和300件的天数各有15天；B 分店的统计结果如下表：销售量（单位：件）200 300 400 天 数10155（1）根据上面统计结果，求出B 分店销售量为200件、300件、400件的频率；（2）已知每件该商品的销售利润为1元，ξ表示超市A 、B 两分店某天销售该商品的利润之和，若以频率作为概率，且A 、B 两分店的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望.⒙（本小题满分14分）如图，直角梯形ABCD 中，CD AB //，BC AB ⊥，1=AB ，2=BC ，21+=CD ，过A 作CD AE ⊥，垂足为E 。

编写说明：考虑到复习实际，本书将选修4－5不等式选讲与前面第六章不等式、推理与证明整合编写。

选修4－1几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质1．平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定与性质(1)判定定理：(2)1．在使用平行线截割定理时易出现对应线段、对应边对应顺序混乱，导致错误． 2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角对应失误． [试一试]1．如图，F 为▱ABCD 的边AD 延长线上的一点，DF ＝AD ，BF 分别交DC ，AC 于G ，E 两点，EF ＝16，GF ＝12，则BE 的长为________．解析：由DF ＝AD ，AB ∥CD 知BG ＝GF ＝12，又EF ＝16知EG ＝4，故BE ＝8.答案：82．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠BAC ＝∠ADC ，AC ＝8，BC ＝16，则CD ＝________. 解析：∵∠BAC ＝∠ADC ，∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△DAC ，∴BC AC ＝AC CD ，∴CD ＝AC 2BC ＝8216＝4.答案：41．判定两个三角形相似的常规思路 (1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．2．借助图形判断三角形相似的方法 (1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例； (3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边． [练一练]1.如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB ＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2. ∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49， ∴S △ADES 四边形DBCE ＝45.答案：452.如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D 点，BC 2＝BD ·AB ，则∠ACB ＝______.解析：在△ABC 与△CBD 中， 由BC 2＝BD ·AB ， 得BC BD ＝ABBC，且∠B ＝∠B ， 所以△ABC ∽△CBD .则∠ACB ＝∠CDB ＝90°. 答案：90°平行线分线段成比例定理的应用，AE 交BD 于F ，则BF ∶FD ＝________.解析：∵AD ＝BC ，BE ∶EC ＝2∶3， ∴BE ∶AD ＝2∶5. ∵AD ∥BC ，∴BF ∶FD ＝BE ∶AD ＝2∶5.即BF ∶FD ＝25.答案：2∶52.(2013·惠州调研)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF ＝________.解析：由DE ∥BC 得DE BC ＝AE AC ＝35，∵DE ＝6，∴BC ＝10. 又因为DF ∥AC ，所以BF BC ＝BD AB ＝CE AC ＝25，即BF ＝4.答案：43.如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，则EF BC ＋FGAD ＝________.解析：由平行线分线段成比例定理得 EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC ， 故EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝AC AC＝1. 答案：1 [类题通法]比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.相似三角形的判定及性质[典例] O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P .已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.[解析] 由PE ∥BC 知，∠A ＝∠C ＝∠PED .在△PDE 和△PEA 中，∠APE ＝∠EPD ，∠A ＝∠PED ，故△PDE ∽△PEA ，则PD PE ＝PEP A，于是PE 2＝P A ·PD ＝3×2＝6，所以PE ＝ 6.[答案]6[类题通法]1．判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．2．相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等． [针对训练](2013·佛山质检)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________.解析：由于∠B ＝∠D ，∠AEB ＝∠ACD ，所以△ABE ∽△ADC ，从而得AB AD ＝AEAC，解得AE ＝2，故BE ＝AB 2－AE 2＝4 2.答案：4 2射影定理的应用[典例] AD ⊥BC 于D∠ABC 的平分线，交AD 于F ，求证：DF AF ＝AE EC.[证明] 由三角形的内角平分线定理得，在△ABD 中，DF AF ＝BDAB ，① 在△ABC 中，AE EC ＝ABBC，②在Rt △ABC 中，由射影定理知，AB 2＝BD ·BC ， 即BD AB ＝ABBC. ③ 由①③得：DF AF ＝ABBC ，④由②④得：DF AF ＝AEEC .[类题通法]1．在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．2．证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法． [针对训练]在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，则tan ∠BCD ＝________. 解析：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又BD ∶AD ＝1∶9， 令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)．∴CD 2＝9x 2，∴CD ＝3x . Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13.答案：13第二节直线与圆的位置关系1．圆周角定理 (1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理1：圆内接四边形的对角互补．定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．(2)判定判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．3．圆的切线性质及判定定理(1)性质：性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．(2)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．4．与圆有关的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．1．易混圆心角与圆周角，在使用时注意结合图形作出判断．2．在使用相交弦定理、割线定理、切割线定理时易出现比例线段对应不成比例而失误．[试一试]1.如图，P是圆O外一点，过P引圆O的两条割线PB、PD，P A＝AB＝5，CD＝3，则PC＝________.解析：设PC＝x，由割线定理知P A·PB＝PC·PD.即5×25＝x(x＋3)，解得x＝2或x＝－5(舍去)．故PC＝2.答案：22.如图，EB ，EC 是⊙O 的两条切线，B ，C 是切点，A ，D 是⊙O 上两点，如果∠E ＝46°，∠DCF ＝32°，则∠BAD ＝________.解析：由已知，显然△EBC 为等腰三角形， 因此有∠ECB ＝180°－∠E 2＝67°，因此∠BCD ＝180°－∠ECB －∠DCF ＝81°. 而由A ，B ，C ，D 四点共圆， 得∠BAD ＝180°－∠BCD ＝99°. 答案：99°1．与圆有关的辅助线的五种作法 (1)有弦，作弦心距．(2)有直径，作直径所对的圆周角． (3)有切点，作过切点的半径． (4)两圆相交，作公共弦． (5)两圆相切，作公切线． 2．证明四点共圆的常用方法(1)利用圆内接四边形的判定定理，证明四点组成的四边形的对角互补； (2)证明它的一个外角等于它的内对角； (3)证明四点到同一点的距离相等．当证明四点共圆以后，圆的各种性质都可以得到应用． 3．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比，由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．[练一练]1．(2013·荆州模拟)如图，P A 是⊙O 的切线，切点为A ，过P A的中点M 作割线交⊙O 于点B 和C ，若∠BMP ＝110°，∠BPC ＝30°，则∠MPB ＝________.解析：由切割线定理得，MA 2＝MB ·MC ，又MA ＝MP ，故MP 2＝MB ·MC ，即MB MP ＝MP MC ，又∠BMP ＝∠PMC .故△BMP ∽△PMC ，所以∠MPB ＝∠MCP ，所以30°＋∠MPB ＋∠MCP ＝∠AMB ＝180°－110°＝70°，所以∠MPB ＝20°.答案：20°2．(2013·长沙一模)如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于点A ，点B ，且PB ＝7，C 是圆上一点，使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝________.解析：由P A 为圆O 的切线可得，∠P AB ＝∠ACB ，又∠BAC ＝∠APB ，于是△APB ∽△CAB ，所以PB AB ＝ABBC，而PB ＝7，BC ＝5，故AB 2＝PB ·BC ＝7×5＝35，即AB ＝35. 答案：35圆周角、弦切角和圆的切线问题1.(2013·天津高考)如图， △ABC 为圆的内接三角形， BD 为圆的弦， 且BD ∥AC . 过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F .若AB ＝AC ，AE ＝6，BD ＝ 5，则线段CF 的长为________．解析：因为AE 是圆的切线，且AE ＝6，BD ＝5，由切割线定理可得EA 2＝EB ·ED ，即36＝EB ·(EB ＋5)，解得EB ＝4.又∠BAE ＝∠ADB ＝∠ACB ＝∠ABC ，所以AE ∥BC .又AC ∥BD ，所以四边形AEBC 是平行四边形，所以AE ＝BC ＝6，AC ＝EB ＝4.又由题意可得△CAF ∽△CBA ，所以CA CB ＝CFCA ，CF＝CA 2CB ＝166＝83. 答案：832．(2013·广东高考)如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上．延长BC 到D 使BC ＝CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝________.解析：连接OC ，则OC ⊥CE ，∠OCA ＋∠ACE ＝90°，∵∠OAC ＝∠OCA ，∴∠OAC ＋∠ACE ＝90°.易知Rt △ACB ≌Rt △ACD ，则∠OAC ＝∠EAC .∴∠EAC ＋∠ACE ＝90°，∴∠AEC ＝90°，在Rt △ACD 中，由射影定理得：CD 2＝ED ·AD ①，又CD ＝BC ，AD ＝AB ，将AB ＝6，ED ＝2代入①式，得CD ＝ 12＝2 3，∴BC ＝2 3.答案：2 33.(2014·岳阳模拟)如图所示，⊙O 的两条切线P A 和PB 相交于点P ，与⊙O 相切于A ，B 两点，C 是⊙O 上的一点，若∠P ＝70°，则∠ACB ＝________.解析：如图所示，连接OA ，OB ， 则OA ⊥P A ，OB ⊥PB .故∠AOB ＝110°， ∴∠ACB ＝12∠AOB ＝55°.答案：55° [类题通法]1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．圆内接四边形的性质及判定[典例]是AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AG 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F ，过点G 作⊙O 的切线，切点为H .(1)求证：C ，D ，E ，F 四点共圆； (2)若GH ＝6，GE ＝4，求EF 的长．[解] (1)证明：连接DB ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，在Rt △ABD 与Rt △AFG 中，∠ABD ＝∠AFE ， 又∠ABD ＝∠ACD ， ∴∠ACD ＝∠AFE ， ∴C ，D ，E ，F 四点共圆．(2)⎭⎪⎬⎪⎫C ，D ，E ，F 四点共圆⇒GE ·GF ＝GC ·GD GH 切⊙O 于点H ⇒GH 2＝GC ·GD ⇒GH 2＝GE ·GF ， 又GH ＝6，GE ＝4，∴GF ＝9，EF ＝GF －GE ＝5. [类题通法]证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．[针对训练]如图所示，在四边形ABCP 中，线段AP 与BC 的延长线交于点D ，已知AB ＝AC 且A ，B ，C ，P 四点共圆．(1)求证：PC AC ＝PDBD；(2)若AC ＝4，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：因为点A ，B ，C ，P 四点共圆，所以∠ABC ＋∠APC ＝180°，又因为∠DPC ＋∠APC ＝180°，所以∠DPC ＝∠ABC ，又因为∠D ＝∠D ，所以△DPC ∽△DBA ，所以PC AB ＝PD BD ，又因为AB ＝AC ，所以PC AC ＝PD BD. (2)因为AB ＝AC ，所以∠ACB ＝∠ABC ，又∠ACD ＋∠ACB ＝180°，所以∠ACD ＋∠ABC ＝180°.由于∠ABC ＋∠APC ＝180°，所以∠ACD ＝∠APC ，又∠CAP ＝∠DAC ，所以△APC ∽△ACD ，所以AP AC ＝ACAD ，所以AP ·AD ＝AC 2＝16. 与圆有关的比例线段[典例] 是∠ACB 的平分线，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，AB ＝2AC .(1)求证：BE ＝2AD ；(2)当AC ＝1，EC ＝2时，求AD 的长．[解] (1)证明：连接DE ，因为四边形ACED 是圆的内接四边形，所以∠BDE ＝∠BCA ， 又∠DBE ＝∠CBA ，所以△BDE ∽△BCA ， 所以BE BA ＝DE CA ，而AB ＝2AC ， 所以BE ＝2DE .又CD 是∠ACB 的平分线，所以AD ＝DE ，从而BE ＝2AD . (2)由已知得AB ＝2AC ＝2，设AD ＝t (0<t <2)，根据割线定理得， BD ·BA ＝BE ·BC ，即(AB －AD )·BA ＝2AD ·(2AD ＋CE )，11 所以(2－t )×2＝2t (2t ＋2)，即2t 2＋3t －2＝0，解得t ＝12，即AD ＝12. [类题通法]1．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．2．相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明．解决问题时要注意相似三角形知识与圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用．[针对训练](2014·郑州模拟)如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A ，B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点G 为弧BD 的中点，连接AG 分别交⊙O ，BD 于点E ，F ，连接CE.求证：(1)AG ·EF ＝CE ·GD ；(2)GF AG ＝EF 2CE 2. 证明：(1)连接AB ，AC ，∵AD 为⊙M 的直径，∴∠ABD ＝90°，∴AC 为⊙O 的直径，∴∠CEF ＝∠AGD ＝90°.∵G 为弧BD 的中点，∴∠DAG ＝∠GAB ＝∠ECF .∴△CEF ∽△AGD ，∴CE AG ＝EF GD，∴AG ·EF ＝CE ·GD . (2)由(1)知∠DAG ＝∠GAB ＝∠FDG ，又∠G ＝∠G ，∴△DFG ∽△ADG ，∴DG 2＝AG ·GF .由(1)知EF 2CE 2＝GD 2AG 2，∴GF AG ＝EF 2CE 2.。

几何证明选讲(习题课)一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求)1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，则AB 的长为________．解析：由AD AB ＝DE BC ＝23，DF AD ＝CE AC ＝13， 又∵BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1， 解得AB ＝92.答案：922．(2012年高考广东卷)如图所示，直线PB 与圆O 相切于点B ，D 是弦AC 上的点，∠PBA ＝∠DBA .若AD ＝m ，AC ＝n ，则AB ＝________．解析：利用弦切角定理及相似三角形求解． ∵PB 切⊙O 于点B ，∴∠PBA ＝∠ACB . 又∠PBA ＝∠DBA ，∴∠DBA ＝∠ACB ， ∴△ABD ∽△ACB .∴AB AC ＝AD AB， ∴AB 2＝AD ·AC ＝mn ，∴AB ＝mn . 答案：mn3．(2012年北京西城模拟)如图，P A 是圆O 的切线，A 为切点，PBC 是圆O 的割线．若P ABC＝32，则PBBC＝________．解析：由切割线定理有： P A 2＝PB ·PC ＝PB (PB ＋BC )， 又P A BC ＝32， 即P A ＝32BC ，将其代入上式得： PB 2＋PB ·BC －34BC 2＝0.即(2PB ＋3BC )(2PB －BC )＝0 ∴PB BC ＝－32(舍去)或PB BC ＝12. 答案：124．(2012年高考陕西卷)如图所示，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝________．解析：利用相交弦定理及射影定理求解． 由题意知，AB ＝6，AE ＝1，∴BE ＝5. ∴CE ·DE ＝DE 2＝AE ·BE ＝5. 在R t △DEB 中，∵EF ⊥DB ， ∴由射影定理得DF ·DB ＝DE 2＝5. 答案：55．如图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD ＝23，AB ＝BC ＝4，则AC 的长为________．解析：由切割线定理可得CD2＝DB×DA.即可得12＝DB×(DB＋4)，解得DB＝2，又由BC＝4，可得BC2＝16＝BD2＋DC2，∴∠CDB＝90°，则AC2＝AD2＋DC2＝62＋(23)2＝48，∴AC＝4 3.答案：4 36．(2012年高考湖南卷)如图所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若P A＝1，AB ＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．解析：利用割线定理求解．设⊙O的半径为r(r>0)，∵P A＝1，AB＝2，∴PB＝P A＋AB＝3.如图，延长PO交⊙O于点C，则PC＝PO＋r＝3＋r.设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r.由圆的割线定理知，P A·PB＝PD·PC，∴1×3＝(3－r)(3＋r)，∴9－r2＝3，∴r＝ 6.答案： 67．(2012年衡阳模拟)如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD ＝27，AB ＝BC ＝3，则AC 的长为________．解析：由切割线定理知CD 2＝BD ·AD ＝BD ·(3＋BD )，即(27)2＝BD 2＋3BD ，解得BD ＝4或BD ＝－7(舍去)．因为∠BDC ＝∠ADC ，∠DCB ＝∠CAD ，所以△CAD ∽△BCD ，所以有CD BD ＝AC BC，即274＝AC 3，解得AC ＝372. 答案：3728．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，∠MAB ＝35°，则∠D ＝________．解析：如图，连接AC ，因为BC 为直径，所以∠BAC ＝90°，再由弦切角性质定理，得∠MAB ＝∠ACB ＝35°，所以∠B ＝55°，根据圆内接四边形对角互补，得∠D ＝125°.答案：125°9．(2012年高考天津卷)如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．解析：先根据相交弦定理求出CF ，再求出BD ，最后求出CD .因为AF ·BF ＝EF ·CF ，解得CF ＝2，所以34＝2BD ，即BD ＝83.设CD ＝x ，AD ＝4x ，所以4x 2＝649，所以x ＝43. 答案：4310．如图，AC ⊥AB ，BE ⊥AB ，AB ＝10，AC ＝2，用一块三角尺进行如下操作：将直角顶点P 在线段AB 上滑动，一直角边始终经过点C ，另一直角边与BE 相交于点D ，若BD ＝8，则AP 的长为________．解析：由题意，知△APC ∽△BDP ， ∴AP BD ＝AC BP ，即AP 8＝210－AP. ∴AP ＝2或8. 答案：2或8二、解答题(本大题共6小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 11．(8分)(2012年唐山模拟)如图，E 是圆O 内两弦AB 和CD 的交点，F 是AD 延长线上一点，FG 与圆O 相切于点G ，且EF ＝FG .求证：(1)△EFD ∽△AFE ； (2)EF ∥BC .证明：(1)∵FG 与圆O 相切于点G ，∴FG2＝FD·F A，∵EF＝FG，∴EF2＝FD·F A，∴EFFD＝F AEF，∵∠EFD＝∠AFE，∴△EFD∽△AFE.(2)由(1)知∠FED＝∠F AE，又∵∠F AE＝∠BCD，∴∠FED＝∠BCD，∴EF∥BC.12．(8分)(2012年高考江苏卷)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD＝DC，连接AC，AE，DE.求证：∠E＝∠C.证明：连接OD，因为BD＝DC，O为AB的中点，所以OD∥AC，于是∠ODB＝∠C.因为OB＝OD，所以∠ODB＝∠B.于是∠B＝∠C.因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以∠E和∠B 为同弧所对的圆周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.13．(8分)(2012年长沙模拟)如图，⊙O内切△ABC的边于D、E、F，AB＝AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G.(1)求证：圆心O 在直线AD 上； (2)求证：点C 是线段GD 的中点． 证明：(1)由题意知AF ＝AE ， 又∵AB ＝AC ，∴CF ＝BE . 又∵CF ＝CD ，BD ＝BE ， ∴CD ＝BD .又∵△ABC 是等腰三角形， ∴AD 是∠CAB 的平分线．∴△ABC 的内切圆的圆心O 在直线AD 上．(2)连接DF ，由(1)知，DH 是⊙O 的直径， ∴∠DFH ＝90°，∴∠FDH ＋∠FHD ＝90°. 又∵∠G ＋∠FHD ＝90°，∴∠FDH ＝∠G . ∵⊙O 与AC 相切于点F ，∴∠AFH ＝∠GFC ＝∠FDH ，∴∠GFC ＝∠G . ∴CG ＝CF ＝CD ，∴点C 是线段GD 的中点．14．(8分)(2012年高考辽宁卷)如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E .求证：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE .证明：(1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得 ∠CAB ＝∠ADB ，同理∠ACB ＝∠DAB ， 所以△ACB ∽△DAB .从而AC AD ＝ABBD，即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD .又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD . 从而AE AB ＝ADBD ，即AE ·BD ＝AD ·AB .结合(1)的结论知，AC ＝AE .15．(9分)(2012年郑州模拟)如图，锐角三角形ABC 的内心为I ，过点A 作直线BI 的垂线，垂足为H ，点E 为内切圆I 与边CA 的切点．(1)求证：四点A ，I ，H ，E 共圆； (2)若∠C ＝50°，求∠IEH 的度数．解析：(1)证明：由圆I 与边AC 相切于点E ，得IE ⊥AE ， 结合IH ⊥AH ，得∠AEI ＝∠AHI ＝90°. 所以，四点A ，I ，H ，E 共圆．(2)由(1)知四点A ，I ，H ，E 共圆，则∠IEH ＝∠HAI . 在△HIA 中，∠HIA ＝∠ABI ＋∠BAI ＝12∠ABC ＋12∠BAC ＝12(∠ABC ＋∠BAC ) ＝12(180°－∠C )＝90°－12∠C . 结合IH ⊥AH ，得∠HAI ＝90°－∠HIA ＝12∠C ，所以∠IEH ＝12∠C .由∠C ＝50°得∠IEH ＝25°.16．(9分)(2012年洛阳模拟)如图，在△ABC 和△ACD 中，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ，⊙O 是以AB 为直径的圆，DC 的延长线与AB 的延长线交于点E .(1)求证：DC 是⊙O 的切线；(2)若EB ＝6，EC ＝62，求BC 的长．解析：(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∠ACB ＝90°，∴点C在⊙O上．连接OC，可得∠OCA＝∠OAC＝∠DAC，∴OC∥AD.又∵AD⊥DC，∴DC⊥OC.∵OC为半径，∴DC是⊙O的切线．(2)由(1)知∵DC是⊙O的切线，∴EC2＝EB·EA. 又∵EB＝6，EC＝62，∴EA＝12，AB＝6.又∠ECB＝∠EAC，∠CEB＝∠AEC，∴△ECB∽△EAC，∴BCAC＝ECEA＝22，即AC＝2BC.又∵AC2＋BC2＝AB2＝36，∴BC＝2 3.。