2011重师数学分析
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重庆师范大学2011年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 答题时间：180分钟 试卷总分：150分
重庆师范大学
2011年招收攻读硕士学位研究生入学考试初试试题
考试科目代码及名称：601数学分析
一、举例：（每小题3分，共24分）
1. 举出一个在某一点连续但不可导的函数。
2. 举出一个有振动间断点的函数。
3. 举出一个非零的可微函数,其在某一点的任意阶导数均为零。
4. 举出一个Riemann 不可积的函数。
5. 举出一个非负函数()f x ,它在[)0,+∞上积分收敛，但极限()lim x f x →+∞
不存在。
6. 举出一个在[][]0,10,1⨯上定义的二元函数(),f x y ，它分别对于变量x ，y 连续，但不是连续
的二元函数。
7. 举出一个偏导数存在，但不可微的二元函数。
8. 举出一个收敛但不绝对收敛的数项级数。
二、计算下列极限：（每小题10分，共20分）
1. ln ln lim x
e
x dx x x x →+∞⋅⎰
2. 22
00
lim x y x y x y →→++ 三、（10
分）若arctan y x =，求dy dx ，22d y dx 。
四、（12分）求函数()333,,f x y z x y z =++在约束条件2x y z ++=，22212x y z ++=下的极值。
五、（12分）求和()
()
221121n
n n n ∞=--∑。
六、（12分）设平面上的区域D 由曲线222x y ax +=围成，0a >，计算
(D xy dxdy +⎰⎰ 七、（12分）讨论积分()2
0ln 1p x dx x
+⎰的敛散性。
八、（12分）设lim 0n n a →∞
=，按“N ε-”定义证明12lim 0n n a a a n →∞++⋅⋅⋅+=。
九、（12分）设函数()f x 和()g x 在[],a b 上二阶可导，()()()()0f a f b g a g b ====， 且(,)x a b ∈时，()0g x ''≠。
试证明：
（1）(,)x a b ∀∈，()0g x ≠；
（2）至少存在(),a b ξ∈，使()()()()
f f
g g ξξξξ''=''； 十、（12分）证明函数项级数
()1
211n n n x -∞=-+∑在(,)-∞+∞上一致收敛，但是对任意x ∈(,)-∞+∞非绝对收
敛。
十一、（12分）设函数()f x 在[)1,+∞上连续且单调减少，又
1()f x dx +∞⎰收敛，证明：
（1）lim ()0x xf x →+∞=； （2）()()g x xf x =在[)1,+∞上一致连续。
