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四川省高三理科数学二轮复习规范练6份

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规范练一 三角函数与解三角形 ................................................................ 1 规范练二 数列 ......................................................................................... 4 规范练三 概率与统计 ............................................................................... 8 规范练四 立体几何 ................................................................................ 11 规范练五 圆锥曲线 ................................................................................ 17 规范练六 函数与导数 .. (22)规范练(一) 三角函数与解三角形1．已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3A cos x ，A 2cos 2x (A ＞0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6. (1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域．(1)解 f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos 2x ＝A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为A ＞0，由题意知A ＝6. (2)证明 由(1)得f (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3的图象；因此g (x )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6，故g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π24上的值域为[－3,6]．2．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2cos 2x －1.(1)求函数f (x )的单调增区间；(2)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a ＝1，b ＋c ＝2，f (A )＝12，求△ABC 的面积．解 (1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2cos 2x －1＝32sin2x －12cos 2x ＋cos 2x ＝32sin2x＋12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)∵f (A )＝12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12. 又0＜A ＜π，∴π6＜2A ＋π6＜13π6. ∴2A ＋π6＝5π6，故A ＝π3.在△ABC 中，∵a ＝1，b ＋c ＝2，A ＝π3， ∴1＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即1＝4－3bc . ∴bc ＝1.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34.3．已知函数f (x )＝cos x (sin x －3cos x )(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最大值以及取最大值时x 的取值集合；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝－32，a ＝3，b ＋c ＝23，求△ABC 的面积． 解 (1)f (x )＝cos x (sin x －3cos x ) ＝sin x cos x －3cos 2x ＝sin 2x 2－3cos 2x 2－32＝sin(2x －π3)－32.当2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12，k ∈Z ， 即x ∈{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }时，f (x )取最大值1－32. (2)由f (A 2)＝－32，可得sin(A －π3)＝0， 因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π3， 则a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ， 由a ＝3，b ＋c ＝23， 解得bc ＝1，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34.4．已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，面积为S ，a cos C ＋3c sin A －b －c ＝0. (1)求角A 的值；(2)若a ＝3，求33S ＋3cos B cos C 取最大值时S 的值．解 (1)由正弦定理，得sin A ·cos C ＋3sin A ·sin C －sin B －sin C ＝0， ∴sin A ·cos C ＋3sin A ·sin C －sin(A ＋C )－sin C ＝0，sin A ·cos C ＋3sin A ·sin C －sin A cos C －cos A sin C －sin C ＝0，∴3sin A ·sin C －cos A ·sin C －sin C ＝0，又sin C ≠0，∴3sin A －cos A ＝1，即2sin(A－π6)＝1，∴sin (A－π6)＝12，∵－π6＜A－π6＜5π6，∴A－π6＝π6，∴A＝π3.(2)∵bsin B＝csin C＝asin A＝332＝2，∴b＝2sin B，c＝2sin C，由(1)知C＝2π3－B，∴33S＋3cos B cos C＝33·12bc sin A＋3cos B cos C＝33·12·2sin B·2sin C·32＋3cos B cos C＝sin B sin C＋3cos B cos C＝sin B·sin(2π3－B)＋3cos B·cos (2π3－B)＝34sin 2 B＋12sin2B－32cos2B＋34sin 2B＝34sin2B＋12·12(1－cos 2B)－32·12(1＋cos 2B)＋34sin 2B＝3＋14(3sin2B－cos 2B)＋1－34＝3＋12sin(2B－π6)＋1－34∵0＜B＜2π3，∴－π6＜2B－π6＜7π6，∴当2B－π6＝π2，即B＝π3时，原式取得最大值，此时S＝12(3)2×sinπ3＝32×32＝334.规范练(二)数列1．已知n ∈N *，数列{d n }满足d n ＝3＋(－1)n2，数列{a n }满足a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋……＋d 2n ；数列{b n }为公比大于1的等比数列，且b 2，b 4为方程x 2－20x ＋64＝0的两个不相等的实根．(1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；(2)将数列{b n }中的第a 1项，第a 2项，第a 3项，……，第a n 项，……删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{c n }，求数列{c n }的前2 015项和． 解 (1)∵d n ＝3＋(－1)n2，∴a n ＝d 1＋d 2＋d 3＋…＋d 2n ＝3×2n2＝3n .因为b 2，b 4为方程x 2－20x ＋64＝0的两个不相等的实数根． 所以b 2＋b 4＝20，b 2·b 4＝64， 解得：b 2＝4，b 4＝16，所以：b n ＝2n .(2)由题知将数列{b n }中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列{c n }中的奇数项与偶数项仍成等比数列，首项分别是b 1＝2，b 2＝4，公比均是8，T 2 015＝(c 1＋c 3＋c 5＋…＋c 2 015)＋(c 2＋c 4＋c 6＋…＋c 2 014)． ＝2×(1－81 008)1－8＋4×(1－81 007)1－8＝20×81 007－67.2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋n 2－1，数列{b n }满足3n b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，且b 1＝3. (1)求a n ，b n ；(2)设T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n ，并求满足T n ＜7时n 的最大值． 解 (1)n ≥2时，S n ＝a n ＋n 2－1，S n －1＝a n －1＋(n －1)2－1， 两式相减，得a n ＝a n －a n －1＋2n －1， ∴a n －1＝2n －1. ∴a n ＝2n ＋1，∴3n ·b n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋3)－n (2n ＋1)＝4n ＋3，∴b n ＋1＝4n ＋33n ， ∴当n ≥2时，b n ＝4n －13n －1，又b 1＝3适合上式，∴b n ＝4n －13n －1.(2)由(1)知，b n ＝4n －13n －1， ∴T n ＝31＋73＋1132＋…＋4n －53n －2＋4n －13n －1，①13T n ＝33＋732＋1133＋…＋4n －53n －1＋4n －13n ，② ①－②，得23T n ＝3＋43＋432＋…＋43n －1－4n －13n＝3＋4·13(1－13n －1)1－13－4n －13n ＝5－4n ＋53n . ∴T n ＝152－4n ＋52·3n －1.T n －T n ＋1＝4(n ＋1)＋52·3n －4n ＋52·3n －1＝－(4n ＋3)3n ＜0.∴T n ＜T n ＋1，即{T n }为递增数列． 又T 3＝599＜7，T 4＝649＞7， ∴T n ＜7时，n 的最大值为3.3．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，等差数列{b n }满足b 3＝3，b 5＝9.(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝b n ＋2a n ＋2(n ∈N *)，求证：c n ＋1＜c n ≤13. (1)解 由a n ＋1＝2S n ＋1，① 得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，②①－②得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n ∴a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n＝3，又当n ＝1时，a 2a 1＝3也符合上式，∴a n ＝3n －1.由数列{b n }为等差数列，b 3＝3，b 5＝9，设{b n }公差为d ， ∴b 5－b 3＝9－3＝2d ，∴d ＝3， ∴b n ＝3n －6.(2)证明 由(1)知：a n ＋2＝3n ＋1，b n ＋2＝3n ，所以c n ＝3n 3n ＋1＝n 3n ， 所以c n ＋1－c n ＝1－2n3n ＋1＜0，∴c n ＋1＜c n ＜…＜c 1＝13，∴c n ＋1＜c n ≤13.4．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 5和a 7的等差中项为11，且a 2·a 5＝a 1·a 14，令b n ＝1a n ·a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n . (1)求a n 及T n ；(2)是否存在正整数m ，n (1＜m ＜n )，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n 的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)因为{a n }为等差数列，设公差为d ，则由题意得 ⎩⎨⎧a 5＋a 7＝22，a 2·a 5＝a 1·a 14， 即⎩⎨⎧2a 1＋10d ＝22，(a 1＋d )(a 1＋4d )＝a 1(a 1＋13d )，整理得 ⎩⎨⎧ a 1＋5d ＝11，d ＝2a 1⇒⎩⎨⎧d ＝2，a 1＝1， 所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.由b n ＝1a n ·a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)所以T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n2n ＋1. (2)假设存在． 由(1)知，T n ＝n 2n ＋1，所以T 1＝13，T m ＝m 2m ＋1，T n ＝n 2n ＋1， 若T 1，T m ，T n 成等比数列，则有T 2m ＝T 1·T n ⇒(m 2m ＋1)2＝13·n 2n ＋1⇒m 24m 2＋4m ＋1＝n6n ＋3⇒4m 2＋4m ＋1m 2＝6n ＋3n⇒3n＝4m＋1－2m2m2，……①因为n＞0，所以4m＋1－2m2＞0⇒1－62＜m＜1＋62，因为m∈N*，m＞1，∴m＝2，当m＝2时，带入①式，得n＝12.综上，当m＝2，n＝12时可以使T1，T m，T n成等比数列．规范练(三)概率与统计1．甲，乙，丙三个同学同时报名参加某重点高校2014年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格．因为甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核材料过关的概率分别为0.5,0.6,0.4，审核过关后，甲，乙，丙三人文化测试合格的概率分别为0.6，0.5，0.75.(1)求甲，乙，丙三人中只有一人通过审核材料的概率；(2)求甲，乙，丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格的概率．解(1)分别记甲，乙，丙通过审核材料为事件A1，A2，A3，记甲，乙，丙三人中只有一人通过审核材料为事件B，则P(B)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝0.5×0.4×0.6＋0.5×0.6×0.6＋0.5×0.4×0.4＝0.38.(2)分别记甲，乙，丙三人中获得自主招生入选资格为事件C，D，E，记甲，乙，丙三人中至少有两人获得自主招生入选资格为事件F.则P(C)＝P(D)＝P(E)＝0.3，∴P(F)＝C23×0.32×0.7＋C33×0.33＝0.189＋0.027＝0.216.2．某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数，满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据)．(1)求样本容量n 和频率分布直方图中x ，y 的值；(2)在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80,90)的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望． 解 (1)由题意可知， 样本容量n ＝80.016×10＝50，y ＝250×10＝0.004，x ＝0.1－0.004－0.010－0.016－0.04＝0.030.(2)由题意可知，分数在[80,90)有5人，分数在[90,100)有2人，共7人，抽取的3名同学中得分在[80,90)的学生个数ξ的可能取值为1,2,3，则P (ξ＝1)＝C 15C 22C 37＝535＝17，P (ξ＝2)＝C 25C 12C 37＝2035＝47，P (ξ＝3)＝C 35C 37＝1035＝27.所以，ξ的分布列为ξ 1 2 3 P174727所以，E (ξ)＝1×17＋2×47＋3×27＝157.3.甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行劳动技术比赛，决出第一名至第五名的名次，比赛之后甲、乙两位参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说“你当然不会是最差的”．(1)从上述回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同的情况；(2)比赛组委会规定，第一名获奖金1 000元，第二名获奖金800元，第三名获奖金600元，第四及第五名没有奖金．求丙获奖金数的期望．解(1)由于甲和乙都没有得冠军，所以冠军是其余3人中的一个，有A13种可能；乙不是第五名，可见乙是第二、第三或第四名中的一种，有A13种可能；上述位置确定后，甲连同其余2人可任意排列，有A33种可能，故名次排列的可能情况的种数是A13×A13×A33＝54.(2)丙可能获第一名、第二名、第三名、第四名也可能获第五名．P(丙获第一名)＝13；P(丙获第二名)＝C12C12C12C13C13A33＝854＝427；P(丙获第三名)＝427；P(丙获第四名)＝427；P(丙获第五名)＝C12C13C12C13C13A33＝29.故随机变量丙获奖金数X的可能取值为1 000、800、600、0，且P(X＝1 000)＝13，P(X＝800)＝427，P(X＝600)＝427，P(X＝0)＝427＋29＝1027.E(X)＝1 000×P(X＝1 000)＋800×P(X＝800)＋600×P(X＝600)＋0×P(X＝0)＝1 000×13＋800×427＋600×427＝14 60027(元)．4．为了推进国家“民生工程”，某市政府现提供一批经济适用房来保障居民住房．现有条件相同的甲、乙、丙、丁4套住房供A，B，C3人申请，且他们的申请是相互独立的．(1)求A，B两人不申请同一套住房的概率；(2)设3名申请人中申请甲套住房的人数为X，求X的分布列和数学期望．解(1)设“A，B两人申请同一套住房”为事件N，P(N)＝4×14×14＝14，所以A，B两人不申请同一套住房的概率是P(N)＝1－P(N)＝3 4.(2)法一 随机变量X 可能取的值为0,1,2,3，那么P (X ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764，P (X ＝1)＝C 13×14×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝2764， P (X ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34＝964， P (X ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝164， 所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P27642764964164所以E (X )＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34. 法二 依题意得X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，所以X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 3×⎝ ⎛⎭⎪⎫14k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫343－k ＝C k3×33－k 64，k ＝0,1,2,3.即X 0 1 2 3 P27642764964164所以E (X )＝3×14＝34.规范练(四) 立体几何1．如图，在四棱锥E －ABCD 中，EA ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，AD ＝BC ＝12AB ，∠ABC ＝π3.(1)求证：△BCE 为直角三角形；(2)若AE ＝AB ，求CE 与平面ADE 所成角的正弦值． (1)证明 在△ABC 中，AB ＝2BC ，∠ABC ＝π3，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos π3＝3BC 2，∴AC ＝3BC ，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC .又∵EA ⊥平面ABCD ，∴EA ⊥BC ， 又∵AC ∩AE ＝A ，∴BC ⊥平面ACE ， ∴BC ⊥CE .∴△BCE 为直角三角形．(2)解 由(1)知：AC ⊥BC ，AE ⊥平面ABCD ，以点C 为坐标原点，CA→，CB →，AE →的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图1所示的空间直角坐标系C －xyz . 设BC ＝a ，则AE ＝AB ＝2a ，AC ＝3a ，如图2，在等腰梯形ABCD 中，过点C 作CG ⊥AB 于G ，则GB ＝12a ，∴CD ＝AB －2GB ＝a ，过点D 作DH ⊥BC 于H ，由(1)知，∠DCH ＝60°， ∴DH ＝3a 2，CH ＝a 2， ∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，－a 2，0.又C (0,0,0)，A (3a,0,0)， B (0，a,0)，E (3a,0,2a )， ∴AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 2，－a 2，0， AE→＝(0,0,2a )，CE→＝(3a,0,2a )， 设平面ADE 的一个法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧AD →·n ＝0，AE →·n ＝0，得⎩⎨⎧－3a 2x 0－a 2y 0＝0，z 0＝0.令x 0＝3，则y 0＝－3，∴n ＝(3，－3,0)． 设CE 与平面ADE 所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈C E →·n 〉|＝|C E →·n ||C E →|·|n |＝3a 7a ·12＝2114.∴直线CE 与平面ADE 所成角的正弦值为2114.2．平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，且∠BAD ＝45°，以BD 为折线，把△ABD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AC .(1)求证：AB ⊥DC ；(2)求二面角B －AC －D 的大小．(1)证明 在△ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos 45°＝1，∴BD ＝1，∴AB ⊥BD ，又∵平面ABD ⊥平面BDC ，平面ABD ∩平面BDC ＝BD ， ∴AB ⊥平面BDC ，又DC ⊂平面BDC ， ∴AB ⊥DC .(2)解 在四面体ABCD 中，以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，过D 垂直于平面BDC 的直线为z 轴，建立如图空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，A (1,0,1)设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，而BA →＝(0,0,1)，BC →＝(－1,1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA →＝0，n ·BC →＝0，得⎩⎨⎧z ＝0，－x ＋y ＝0， 取n ＝(1,1,0)，再设平面DAC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，而DA →＝(1,0,1)，DC →＝(0,1,0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·DA →＝0m ·DC →＝0，得⎩⎨⎧x ＋z ＝0y ＝0，取m ＝(1,0，－1)，所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝12， 所以二面角B －AC －D 的大小是60°.3. 如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，FB ∥ED ，且AD ＝DE ＝2BF ＝2.(1)求证：AC ⊥EF ；(2)求二面角C －EF －D 的大小；(3)设G 为CD 上一动点，试确定G 的位置使得BG ∥平面CEF ，并证明你的结论．(1)证明 连接BD ，∵FB ∥ED ，∴F ，B ，E ，D 共面，∵ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴ED ⊥AC ，又ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ，而ED ∩DB ＝D ，∴AC ⊥平面DBFE ，而EF ⊂平面DBFE ，∴AC ⊥EF .(2)解 如图建立空间直角坐标系．则A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，F (2,2,1)，E (0,0,2)，由(1)知AC →为平面DBFE的法向量，即AC →＝(－2,2,0)， 又CE→＝(0，－2,2)，CF →＝(2,0,1) 设平面CEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则有⎩⎪⎨⎪⎧CE →·n ＝0，CF →·n ＝0，即⎩⎨⎧－2y ＋2z ＝0，2x ＋z ＝0，取z ＝1，则x ＝－12，y ＝1，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，1则cos 〈n ，AC →〉＝n ·AC →|n ||AC→|＝1＋232×22＝22，又平面CEF 与平面DBFE 的二面角为锐角，所以θ＝π4.(3)解 设G (0，y 0,0)，则BG →＝(－2，y 0－2,0)，由题意知BG →⊥n ，∴BG →·n ＝0，即(－2，y 0－2,0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，1＝0， 解得y 0＝1，∴G 点坐标为(0,1,0)， 即当G 为CD 的中点时，BG ∥平面CEF .4．如图，正方形AA 1D 1D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直，AB ＝2AD ＝2.(1)若点E 为AB 的中点，求证： BD 1∥平面A 1DE ；(2)在线段AB 上是否存在点E ，使二面角D 1－EC －D 的大小为π6？若存在，求出AE 的长；若不存在，请说明理由．(1)证明 四边形ADD 1A 1为正方形，连接AD 1，A 1D ∩AD 1＝F ，则F 是AD 1的中点，又因为点E 为AB 的中点，连接EF ，则EF 为△ABD 1的中位线，所以EF ∥BD 1.又因为BD 1⊄平面A 1DE ，EF ⊂平面A 1DE ， 所以BD 1∥平面A 1DE .(2)解 根据题意得DD 1⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)，C (0,2,0)．设满足条件的点E 存在， 令E (1，y 0,0)(0≤y 0≤2)，EC →＝(－1,2－y 0,0)，D 1C →＝(0,2，－1)， 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面D 1EC 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·EC →＝0，n 1·D 1C →＝0，得⎩⎨⎧－x 1＋(2－y 0)y 1＝0，2y 1－z 1＝0，令y 1＝1，则平面D 1EC 的法向量为n 1＝(2－y 0,1,2)，由题知平面DEC 的一个法向量n 2＝(0,0,1)． 由二面角D 1－EC －D 的大小为π6得 cos π6＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝2(2－y 0)2＋1＋4＝32，解得y 0＝2－33∈[0,2]，所以当AE ＝2－33时，二面角D 1－EC －D 的大小为π6.规范练(五) 圆锥曲线1．如图，已知点A (1，2)是离心率为22的椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，斜率为2的直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点互不重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)求证：直线AB 、AD 的斜率之和为定值．(1)解 由题意，可得e ＝c a ＝22，将(1，2)代入y 2a 2＋x 2b 2＝1，得2a 2＋1b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝2，c ＝2， 所以椭圆C 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)证明 设直线BD 的方程为y ＝2x ＋m ，又A 、B 、D 三点不重合，所以m ≠0.设D (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，2x 2＋y 2＝4，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0， 所以Δ＝－8m 2＋64＞0，∴－22＜m ＜22， x 1＋x 2＝－22m ①，x 1x 2＝m 2－44②. 设直线AB 、AD 的斜率分别为k AB 、k AD ， 则k AD ＋k AB ＝y 1－2x 1－1＋y 2－2x 2－1＝2x 1＋m －2x 1－1＋2x 2＋m －2x 2－1＝22＋m ·x 1＋x 2－2x 1x 2－x 1－x 2＋1(*)． 将①②式代入(*)，得22＋m －22m －2m 2－44＋22m ＋1＝22－22＝0，所以k AD ＋k AB ＝0，即直线AB 、AD 的斜率之和为定值0.2．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22.过坐标原点的直线l 1与l 2均不在坐标轴上，l 1与椭圆M 交于A ，C 两点，l 2与椭圆M 交于B ，D 两点． (1)求椭圆M 的方程；(2)若平行四边形ABCD 为菱形，求菱形ABCD 面积的最小值．解(1)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝22a ，1a 2＋12b2＝1，又因为a 2＝b 2＋c 2，所以⎩⎨⎧a 2＝2b 2＝1.故椭圆M 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线AC ：y ＝k 1x ，直线BD ：y ＝k 2x ，A (x A ，y A )，C (x C ，y C )． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1y ＝k 1x，得方程(2k 21＋1)x 2－2＝0，x 2A ＝x 2C ＝22k 21＋1，故|OA |＝|OC |＝1＋k 21·22k 21＋1. 同理，|OB |＝|OD |＝1＋k 22·22k 22＋1.又因为AC ⊥BD ，所以|OB |＝|OD |＝1＋(1k 1)2·22(1k 1)2＋1，其中k 1≠0.从而菱形ABCD 的面积S＝2|OA |·|OB |＝21＋k 21·22k 21＋1·1＋(1k 1)2·22(1k 1)2＋1， 整理得S ＝412＋1(k 1＋1k 1)2，其中k 1≠0.故当k 1＝1或－1时，菱形ABCD的面积最小，该最小值为83.3．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝2PB →. (1)求椭圆方程； (2)求m 的取值范围．解 (1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上 ， 设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2， 所以椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx＋m ，与椭圆方程联立，即⎩⎨⎧y 2＋2x 2＝4，y ＝kx ＋m ，则(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0， Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)＞0， 由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk2＋k 2，x 1·x 2＝m 2－42＋k 2.又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )．∴－x 1＝2x 2，∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22.∴m 2－42＋k 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫2mk 2＋k 22，整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2， 又9m 2－4＝0时不成立，∴k 2＝8－2m29m 2－4＞0，得49＜m 2＜4，此时Δ＞0.∴m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2.4．已知△ABC 的两顶点坐标A (－1,0)，B (1,0)，圆E 是△ABC 的内切圆，在边AC ，BC ，AB 上的切点分别为P ，Q ，R ，|CP |＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C 的轨迹为曲线M .(1)求曲线M 的方程；(2)设直线BC 与曲线M 的另一交点为D ，当点A 在以线段CD 为直径的圆上时，求直线BC 的方程．解 (1)由题知|CA |＋|CB |＝|CP |＋|CQ |＋|AP |＋|BQ |＝2|CP |＋|AB |＝4＞|AB |， 所以曲线M 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x 轴的交点)，设曲线M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0，y ≠0)，则a 2＝4，b 2＝a 2－(|AB |2)2＝3，所以曲线M ：x 24＋y 23＝1(y ≠0)为所求．(2)注意到直线BC 的斜率不为0，且过定点B (1,0)，设l BC ：x ＝my ＋1，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x ＝my ＋1，3x 2＋4y 2＝12， 消x 得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，所以y 1,2＝－3m ±6m 2＋13m 2＋4，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，因为AC →＝(my 1＋2，y 1)，AD →＝(my 2＋2，y 2)，所以AC →·AD →＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋2m (y 1＋y 2)＋4＝－9(m 2＋1)3m 2＋4－12m 23m 2＋4＋4＝7－9m 23m 2＋4. 注意到点A 在以CD 为直径的圆上，所以AC →·AD →＝0，即m ＝±73，所以直线BC 的方程3x ＋7y －3＝0或3x －7y －3＝0为所求．规范练(六) 函数与导数1．设f (x )＝e x (ax 2＋x ＋1)．(1)若a ＞0，讨论f (x )的单调性；(2)x ＝1时，f (x )有极值，证明：当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时， |f (cos θ)－f (sin θ)|＜2.(1)解 f ′(x )＝e x (ax 2＋x ＋1)＋e x (2ax ＋1)＝a e x (x ＋1a )(x ＋2)，当a ＝12时，f ′(x )＝12e x (x ＋2)2≥0，f (x )在R 上单增；当0＜a ＜12时，由f ′(x )＞0，得x ＞－2或x ＜－1a ；由f ′(x )＜0，得－1a ＜x ＜－2，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1a 和(－2，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，－2上单调递减． 当a ＞12时，由f ′(x )＞0，得x ＞－1a 或x ＜－2；由f ′(x )＜0，得－2＜x ＜－1a ，∴f (x )在(－∞，－2)和⎝ ⎛－1a ，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－1a 上单调递减． (2)证明 ∵x ＝1时，f (x )有极值，∴f ′(1)＝3e(a ＋1)＝0，∴a ＝－1，∴f (x )＝e x (－x 2＋x ＋1)，f ′(x )＝－e x (x －1)(x ＋2)．由f ′(x )＞0，得－2＜x ＜1，∴f (x )在[－2,1]上单调递增．∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴sin θ，cos θ∈[0,1]， ∴|f (cos θ)－f (sin θ)|≤f (1)－f (0)＝e －1＜2.2．已知m ∈R ，f (x )＝2x 3＋3x 2＋6(m －m 2)x .(1)当m ＝1时，求f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若m ∈[12，2]且关于x 的不等式(m －1)2(1－4m )≤f (x )≤20在区间[k,0]上恒成立，求k 的最小值k (m )．解 (1)当m ＝1时，f (x )＝2x 3＋3x 2，f ′(x )＝6x 2＋6x .切线斜率为k ＝f ′(1)＝12，f (1)＝5，所以切线方程为y ＝12x －7.(2)令f ′(x )＝6x 2＋6x ＋6(m －m 2)＝0，可得x 1＝－m ，x 2＝m －1，因为m ∈[12，2]，所以m －1－(－m )＝2m －1≥0.①当m －1≤0，且2m －1＞0，即12<m ≤1时．f (x )极大＝f (－m )＝4m 3－3m 2，f (x )极小＝f (m －1)＝(m －1)2(1－4m )．令g (m )＝f (x )极大＝4m 3－3m 2，则g ′(m )＝12m 2－6m ≥0.故g (m )在12≤m ≤1上单调递增，故g (m )≤g (1)＝1≤20恒成立．令h (x )＝f (x )－(m －1)2(1－4m )，显然h (m －1)＝f (m －1)－(m －1)2(1－4m )＝0，令h (x 0)＝h (m －1)(x 0≠m －1)，设[x －(m －1)]2(ax ＋b )＝2x 3＋3x 2＋6(m －m 2)x －(m －1)2(1－4m )，比较两边系数得a ＝2，b ＝4m －1，故x 0＝－b a ＝1－4m 2.结合图象可知，要使(m －1)2(1－4m )≤f (x )恒成立．则只需x 0≤k ＜0即可，故k min ＝k (m )＝x 0＝1－4m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜m ≤1； ②当m －1＞0即1＜m ≤2时，同①可知，g (m )＝f (x )极大＝4m 3－3m 2，又g (m )，在1＜m ≤2上单调递增，故g (m )≤g (2)＝20恒成立．同理可知k min ＝k (m )＝x 0＝1－4m 2(1＜m ≤2)，综上可知，k (m )＝1－4m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 3．已知函数f (x )＝x ln x －ax ，(1)若函数f (x )在(1，＋∞)上是减函数，求实数a 的最小值；(2)若∃x 1，x 2∈[e ，e 2]，使f (x 1)≤f ′(x 2)＋a (a ＞0成立)，求实数a 的取值范围．解 (1)因f (x )在(1，＋∞)上为减函数，故f ′(x )＝ln x －1(ln x )2－a ≤0在(1，＋∞)上恒成立，所以当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )max ≤0，又f ′(x )＝ln x －1(ln x )2－a ＝－(1ln x )2＋1ln x －a ＝－(1ln x －12)2＋14－a ，设1ln x ＝t ，t ∈(0，＋∞)，则y ＝－(t －12)2＋14－a ，故当t ＝12，即x ＝e 2时，f ′(x )max ＝14－a ≤0，解得a ≥14，所以a 的最小值为14.(2)命题“若∃x 1，x 2∈[e ，e 2]，使f (x 1)≤f ′(x 2)＋a 成立”，等价于“当x ∈[e ，e 2]时，有f (x )min ≤f ′(x )max ＋a ”，由(1)知，当x ∈[e ，e 2]时，f ′(x )max ＝14－a ，f ′(x )max ＋a ＝14，问题等价于：“当x ∈[e ，e 2]时，有f (x )min ≤14”．10当a ≥14时，f ′(x )max ＝14－a ≤0，f (x )在[e ，e 2]上为减函数，则f (x )min ＝f (e 2)＝e 22－a e 2≤14，故a ≥12－14e 2.20当0＜a ＜14时，f ′(x )max ＝14－a ＞0，由于f ′(x ) ＝－(1ln x －12)2＋14－a 在[e ，e 2]上为增函数，故f ′(x )的值域为[f ′(e)，f ′(e 2)]，即[－a ，14－a ]，由f ′(x )的单调性和值域知，存在唯一x 0∈[e ，e 2]，使f ′(x 0)＝0，且满足：当x ∈[e ，x 0]时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数；当x ∈[x 0，e 2]时，f ′(x )＞0.由f (x )min ＝f (x 0)＝x 0ln x 0－ax 0≤14，x 0∈[e ，e 2]，所以，a ≥1ln x 0－14x 0＞1ln e 2－14e ＞12－14＝14，与0＜a ＜14矛盾，不合题意． 综上所述，得a ≥12－14e 2.4．已知函数f (x )＝k e x －x 2(其中k ∈R ，e 是自然对数的底数．(1)若k ＜0，试判断函数f (x )在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)若k ＝2，当x ∈(0，＋∞)时，试比较f (x )与2的大小；(3)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，求k 的取值范围，并证明0＜f (x 1)＜1.解 (1)由f ′(x )＝k e x －2x 可知，当k ＜0时，由于x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＝k e x －2x ＜0，故函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(2)当k ＝2时，f (x )＝2e x －x 2，则f ′(x )＝2e x －2x ，令h (x )＝2e x －2x ，h ′(x )＝2e x －2，由于x ∈(0，＋∞)，故h ′(x )＝2e x －2＞0，于是h (x )＝2e x －2x 在(0，＋∞)为增函数，所以h (x )＝2e x －2x ＞h (0)＝2＞0，即f ′(x )＝2e x －2x ＞0在(0，＋∞)恒成立， 从而f (x )＝2e x －x 2在(0，＋∞)为增函数，故f (x )＝2e x －x 2＞f (0)＝2.(3)函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是f ′(x )＝k e x －2x ＝0的两个根，即方程k ＝2x e x 有两个根，设φ(x )＝2x e x ，则φ′(x )＝2－2x e x ，当x ＜0时，φ′(x )＞0，函数φ(x )单调递增且φ(x )＜0；当0＜x ＜1时，φ′(x )＞0，函数φ(x )单调递增且φ(x )＞0；当x ＞1时，φ′(x )＜0，函数φ(x )单调递减且φ(x )＞0.要使k＝2xe x有两个根，只需0＜k＜φ(1)＝2e，如图所示，故实数k的取值范围是(0，2 e)．又由上可知函数f(x)的两个极值点x1，x2满足0＜x1＜1＜x2，由f′(x1)＝k e x1－2x1＝0，得k＝2x1 e x1.∴f(x1)＝k e x1－x21＝2x1e x1e x1－x21＝－x21＋2x1＝－(x1－1)2＋1，由于x1∈(0,1)，故0＜－(x1－1)2＋1＜1，所以0＜f(x1)＜1.。

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四川省成都2024届高三下学期高考模拟(二)数学(理科)试题含答案

四川省成都2024届高三下学期高考模拟(二)数学(理科)试题含答案

成都高2021级高考模拟试题（二）数学（理科）（答案在最后）本试卷满分150分，考试时间120分钟，注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}22,1,0,1,2,40A B x x =--=-<，则A B = （）A.{}1,0,1- B.{}0,1,2 C.{}1,1- D.{}2,1,0,1,2--【答案】A 【解析】【分析】求出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B ⋂.【详解】因为{}{}240{22},2,1,0,1,2B x x x x A =-<=-<<=--，所以{}1,0,1A B =- .故选：A2.已知复数z 满足()z 2+i =3-i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（）A.B.1- C.1D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得1i z =-，结合复数的概念，即可求解.【详解】由复数()2i 3i z +=-，可得()()()()3i 2i 3i 55i1i 2i 2i 2i 5z ----====-++-，所以复数z 的虚部是1-．故选：B ．3.已知平面向量(1,)a m = ，()2,4b =- ，且a b ∥ ，则m =（）A.2B.12C.12-D.2-【答案】D 【解析】【分析】利用平面向量平行的坐标运算公式即可.【详解】因为(1,)a m = ，(2,4)a =- ，且a b ∥ ，所以14(2)0m ⨯--⨯=，解得2m =-，所以D 正确.故选：D.4.已知函数()1221,0,,0,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩若()3f m =，则m 的值为（）A.B.2C.9D.2或9【答案】C 【解析】【分析】由题可得2130m m ⎧-=⎨≤⎩或123m m ⎧⎪=⎨⎪>⎩，即求.【详解】∵函数()1221,0,0x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪>⎩，()3f m =，∴2130m m ⎧-=⎨≤⎩或1230m m ⎧⎪=⎨⎪>⎩，解得9m =.故选：C.5.如下图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω.向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m ，n ，则图形Ω面积的估计值为（）A.ma n B.na mC.2ma n D.2na m【答案】C 【解析】【分析】根据落到不规则图形Ω和正方形中的点的个数，得到概率，即得到两者的面积的比值，根据所给的正方形的边长，求出面积，根据比值得到要求的面积的估计值．【详解】解：∵由题意知在正方形中随机投掷n 个点，则n 个点中有m 个点落入Ω中，∴不规则图形Ω的面积：正方形的面积:m n =，∴不规则图形Ω的面积mn=⨯正方形的面积22m ma a n n=⨯=．故选：C ．6.已知抛物线22(0)y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和p =（）A.2B.2或4C.1或2D.1【答案】B 【解析】【分析】由题意，得到32M M y px ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，结合抛物线方程，即可求出结果.【详解】因为抛物线22(0)y px p =>上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和所以32M M y p x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即32M M y px ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，代入抛物线方程可得8232p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，整理得2680p p -+=，解得2p =或4p =.故选：B.7.设命题:R p m ∃∈，使()()2431mm f x m x -+=-是幂函数，且在()0,∞+上单调递减；命题()2:2,,2x q x x ∀∈+∞>，则下列命题为真的是（）A.()p q ∧⌝ B.()p q⌝∧ C.p q∧ D.()p q⌝∨【答案】A 【解析】【分析】根据特称命题与全称命题判断命题,p q 的真假，从而可得“或”、“且”、“非”命题的真假得结论.【详解】对于命题p ，当2m =时，函数()1f x x -=，是幂函数，且在()0,∞+上单调递减，故命题p 为真命题；对于命题q ，当3x =时，3223<，不满足()22,,2xx x ∞∀∈+>，故命题q 为假命题．所以“()p q ∧⌝”为真命题，“()p q ⌝∧”为假命题，“p q ∧”为假命题，“()p q ⌝∨”为假命题．故选：A ．8.已知数列{}n a 满足1122n n n a a a ++-=⋅，且13a =，则2023a =（）A.3B.12C.-2D.43【答案】B 【解析】【分析】由已知可得数列递推式122n na a +=-，求出其前面几项，可得数列的周期，由此可求得答案.【详解】由题意数列{}n a 满足1122n n n a a a ++-=⋅，则122n na a +=-，故由13a =，得23452222,,1142,342322232232a a a a ====-+-=-===-，由此可知数列{}n a 的周期为4，故202345053312a a a ⨯+===，故选：B9.设函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()cos x f x e x =-，则不等式(21)(2)0f x f x --->的解集为（）A.(1,1)-B.(,3)-∞-C.(3,)-+∞D.(1,)(,1)+∞⋃-∞-【答案】D 【解析】【分析】利用导数判断函数在[)0,∞+的单调性，然后根据奇偶性判断()f x 在(],0-∞的单调性，再利用单调性与奇偶性结合求解不等式.【详解】当0x ≥时，()cos x f x e x =-，所以()sin x f x e x '=+，因为0x ≥，所以1x e ≥，即()1sin 0f x x '≥+≥，所以函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，又因为函数()f x 为R 上的偶函数，所以函数()f x 在(],0-∞上单调递减，在[)0,∞+上单调递增，则不等式(21)(2)0f x f x --->，等价于212x x ->-，所以1x <-或1x >.故选：D.【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题，若()f x 为偶函数，则()()()f x f x f x -==．10.将函数1π()sin (0)26f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标缩短到原来的14，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象．若()g x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有3个极值点，则ω的取值范围为（）A.511,22⎛⎤⎥⎝⎦ B.5,42⎛⎤⎥⎝⎦C.114,2⎛⎤⎥⎝⎦D.11,72⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】先根据题意得出函数π()sin 26g x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭，当π03x <<时，ππ2ππ26636x ωω-<-<-，要使()g x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有3个极值点，需满足5π2ππ7π2362ω<-≤，解不等式即可.【详解】由题可知，π()sin 26g x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭，当π03x <<时，ππ2ππ26636x ωω-<-<-．因为()g x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有3个极值点，所以5π2ππ7π2362ω<-≤，解得1142ω<≤，所以ω的取值范围为：114,2⎛⎤⎥⎝⎦．故选：C .11.设1F ，2F 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以线段12F F 为直径的圆与直线0bx ay -=在第一象限交于点A ，若2tan 2AF O ∠=，则双曲线C 的离心率为（）A.53B.32C.D.2【答案】A 【解析】【分析】首先推得2AOF △为等腰三角形，再由三角形的内角和定理和三角函数的诱导公式和二倍角的正切公式，结合渐近线的斜率和离心率公式，计算可得所求值．【详解】由题意可得2||||AO OF c ==，即有2AOF △为等腰三角形，设22OAF AF O α∠=∠=，则22AOF πα∠=-，所以()222tan tan tan 2tan 2tan 1AOF απααα∠=-=-=-2224213⨯==-即为43b a =，所以53c e a ====，故选：A【点睛】关键点点睛：由题意得出2AOF △为等腰三角形，在三角形中利用三角函数，建立关于,a b 的方程，是求出离心率的关键，属于中档题.12.如图，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，13,4,5AB AD AA ===，点E 为棱1CC 上的一个动点，平面1BED 与棱1AA 交于F ，则下列说法正确的是（）（1）三棱锥11B BED -的体积为20（2）直线1B E 与平面11BB D D 所成角正弦值的最大值为35（3）存在唯一的点E ，使得1B D ⊥平面1BED ，且5CE =（4）存在唯一的点E ，使截面四边形1BED F 的周长取得最小值A.（1）（2）（3） B.（2）（3）（4） C.（2）（3） D.（2）（4）【答案】D 【解析】【分析】对（1），根据三棱锥等体积转换可得1111B BED E BB D V V --=求解判断；对（2），点E 到平面11BB D D 的距离等于点C 到平面11BB D D 的距离，当1B E 最小时即当点E 与点1C 重合时，此时直线1B E 与平面11BB D D 所成角正弦值的最大，求解判断；对（3），若（3）正确，可知点E 与点1C 重合，已找出矛盾；对（4），四边形1BED F 为平行四边形，周长取得最小值即1BE ED +最小时，将平面11BCC B 与将平面11DCC D 放在同一平面内，求得结果.【详解】对于（1），如图过点C 作BD 垂线，垂足为M ，易知125MC =，在长方体中，1BB ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，所以1BB CM ⊥，又CM BD ⊥，1BD BB B ⋂=，1,BD BB ⊂平面11BDD B ，所以MC ⊥平面11BDD B ，11//CC BB ，1CC ⊄平面11BDD B ，1BB ⊂平面11BDD B ，所以1//CC 平面11BDD B ，所以点E 到平面平面11BDD B 的距离等于点C 到平面11BDD B 的距离，即为MC ，三棱锥11B BED -的体积为1111111111255103325B BED E BB D BB D V V S MC --==⋅=⨯⨯⨯⨯= ，故（1）错误；对于（2），1//CC 平面11BB D D ，所以点E 到平面11BB D D 的距离等于点C 到平面11BB D D 的距离，距离为125MC =，所以当1B E 最小时即当点E 与点1C 重合时，此时直线1B E 与平面11BB D D 所成角的正弦值最大，最大值为123545=，故（2）正确；对于（3），若5CE =，可知点E 与点1C 重合，又因为11DC D C ∥，易知1B D 与DC 不垂直，故1B D 与11D C 不垂直，1B D 与平面1BED 不垂直，故（3）错误；对于（4），四边形1BED F 的周长()12BE ED =+，周长取得最小值即()1BE ED +最小，将平面11BCC B 与将平面11DCC D 放在同一平面内，可知()1BE ED +=，所以截面四边形1BED F 的周长取得最小值，故（4）正确.综上，说法正确的有（2）（4）.故选：D.【点睛】思路点睛：对（1）利用三棱锥等体积转换求解判断，对（2）根据1//CC 平面11BB D D ，所以点E 到平面11BB D D 的距离等于点C 到平面11BB D D 的距离，当1B E 最小时，直线1B E 与平面11BB D D 所成角正弦值的最大，判断求解，对（3）利用反证法判断，对（4）四边形1BED F 的周长最小即1BE ED +最小时，将平面11BCC B 与将平面11DCC D 放在同一平面内，求解即可.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.c c o os 515s 7= _______．【答案】14##0.25【解析】【分析】利用诱导公式和倍角公式求解.【详解】()11cos 75cos 9015cos15sin15sin 3024cos15cos15=-===．故答案为：1414.若3nx⎛- ⎝的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的含2x 的项的系数为___________.【答案】270【解析】【分析】根据展开式的二项式系数之和为232n =，求得5n =，然后利用通项公式求解.【详解】由3nx⎛ ⎝展开式的二项式系数之和为232n=，解得5n =，所以53x⎛ ⎝展开式的通项公式为()()35552155C 313C rr r r r r rr T x x ---+⎛=⋅⋅=-⋅⋅⋅ ⎝，令3522r -=，解得2r =，所以含2x 项的系数为3253C 270⨯=.故答案为：270.15.若函数()32113f x x ax x =-++存在极值点，则实数a 的取值范围为________．【答案】()(),11,-∞-⋃+∞【解析】【分析】求导，根据题意知方程()0f x '=有两个不等的实根，可得出0∆>，从而得解.【详解】因为()32113f x x ax x =-++，可得()221f x x ax '=-+，因为函数()f x 存在极值点，所以()0f x '=有两不等实根，则2440a ∆=->，解得1a <-或1a >，所以a 的取值范围是()(),11,-∞-⋃+∞.故答案为：()(),11,-∞-⋃+∞.16.高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数()[]f x x =称为高斯函数，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如][2.32, 1.92⎡⎤=-=-⎣⎦，已知数列{}n a 满足121,5a a ==，2145n n n a a a +++=，若[]21log ,n n n b a S +=为数列18108n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和，则[]2025S =_________．【答案】2025【解析】【分析】由2145n n n a a a +++=变形为()2114n n n n a a a a +++-=-，得到数列{}1n n a a +-是等比数列，从而得到14n n n a a +-=，再利用累加法得到1n a +，从而[]21log 2n n b a n +==，再利用裂项相消法求解.【详解】解：由2145n n n a a a +++=得()2114n n n n a a a a +++-=-，又21514a a -=-=，所以数列{}1n n a a +-是以4为首项和公比的等比数列，故14nn n a a +-=，由累加法得()()()111211n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+ 114144413n nn +--=++++= 所以[]121241log log 3n n n b a ++⎡⎤-==⎢⎥⎣⎦，()111222241log log 41log 3log 41213n n n n +++-=--<-=+ ，又()122241441log log log 42,233nn n nn b n +-->==∴=，令()1181088108810811,20272221n n n n n n c c b b b b n n n n ++⎛⎫====- ⎪⋅⋅⋅++⎝⎭，12111111202712231n n n S c c c c n n -⎛⎫∴=++++=-+-++- ⎪+⎝⎭ ，1202711n S n ⎛⎫∴=- ⎪+⎝⎭，代入2025n =得[]202512027120252026S ⎡⎤⎛⎫=⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故答案为：2025三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依据要求作答（一）必考题：共60分．17.《中国诗词大会》是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如茎叶图所示，但其中一个数字被污损．（1）若将被污损的数字视为0~9中10个数字中的一个，求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率；（2）该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情，现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间y （单位：小时）与年龄x （单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）；年龄x20304050每周学习诗词的平均时间y3 3.5 3.54由表中数据分析，x 与y 呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间．附：回归方程y bx a =+$$$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1221,ˆˆˆn niii in ii nni in ii x x y y x y nxybay xb x x xnx ====---===--∑∑∑∑．【答案】（1）35（2） 0.03 2.45y x =+；4.25小时【解析】【分析】（1）求出两组数据的平均数，推出x 的范围，然后求解概率．（2）求出样本中心坐标，求出回归直线的斜率以及截距，然后求解即可．【小问1详解】设污损的数字为x ，由北方观众平均人数超过南方观众平均人数得7879828180737778868055x+++++++++>6,x ⇒<即0,1,2,3,4,5x =63105P ∴==；【小问2详解】1(20304050)354x =+++=，1(3 3.5 3.54) 3.54y =+++=，∴4490xy =，又4120330 3.540 3.5504505iii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，4222221203040505400i i x ==+++=∑，∴2505490ˆ0.035400435b-==-⨯，∴ˆ 3.50.0335 2.45a =-⨯=，∴ˆ0.03 2.45yx =+，60x ∴=时，ˆ 4.25y=．答：年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为4.25小时．18.在①2sin cos (sin cos cos sin )c B A b A B A B =+；②222sin sin cos 1sin()sin()B C A A B A C ++-=++；③sin sin sincsin b B c C a A A B +-=；这三个条件中任选一个，补充在下面对问题中，并解答问题.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足.（1）求A ；（2）若ABC 的面积为D 为AC 的中点，求BD 的最小值.【答案】（1）条件选择见解析，3A π=（2）【解析】【分析】（1）选①：利用正弦定理边化角结合两角和的正弦化简求解；选②：利用平方关系结合正弦定理角化边，再利用余弦定理求解；选③：利用正弦定理角化边得cosA A =即可求解；（2）由面积得64bc =，结合余弦定理和基本不等式求最值.【小问1详解】若选择①：()2sin cos sin cos cos sin c B A b A B A B =+，由正弦定理可得()2sin sin cos sin sin sin sin C B A B A B B C =+=，因(0,π)C ∈，(0,π)B ∈,故sin 0C ≠，sin 0B ≠，则有1cos 2A =，因(0,π)A ∈,故π3A =.若选择②：222sin sin cos 1sin()sin()B C A A B A C ++-=++，则222sin sin sin sin()sin()sin sin B C A A B A C C B +-=++=，由正弦定理可得222b c a bc +-=，故2221cos 22b c a A bc +-==，因(0,π)A ∈,故π3A =.若选择③sin sin sincsin b B c C a A A B +-=；由正弦定理可得，2222b c a A bc +-=，再由余弦定理得，cosA A =，即tan A =，(0,π)A ∈ ，π3A ∴=．【小问2详解】1sin 2ABC S cb A == π,643A bc =∴=，在三角形BCD 中，2222cosA BD BA AD BA AD =+-⋅⋅⋅22π2cos 223b b c c ⎛⎫=+-⋅⋅ ⎪⎝⎭，2c =+2111324222b cb cb cb -≥==，当且仅当2bc ==时取等号，BD ∴的最小值为19.已知球内接正四棱锥P ABCD -的高为3,,AC BC 相交于O ，球的表面积为169π9，若E 为PC 中点.（1）求证：//OE 平面PAD ；（2）求二面角A BE C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）23333-.【解析】【分析】（1）由题意可得//OE AP ，利用线面平行的判断定理可得结论；（2）结合题中的几何关系建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得二面角A BE C --的余弦值为33-.【小问1详解】证明：由,O E 分别是,CA CP 的中点，得//OE AP ，又OE ⊄平面,PAD AP ⊂平面PAD ，所以//OE 平面PAD .【小问2详解】由球的表面积公式24πS R =，得球的半径136R =，设球心为1O ，在正四棱锥P ABCD -中，高为PO ，则1O 必在PO 上，连1AO ，则11513,66O O AO ==，则在1Rt O OA △，则22211OO OA O A +=，即2OA =,在正四棱锥P ABCD -中，PO ⊥平面ABCD 于O ，且AC BD ⊥于O ，设,,OA OB OP 为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -系，得()()()()()0,0,3,2,0,0,0,2,0,2,0,0,0,2,0,P A B C D PC --中点31,0,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()()32,2,0,1,2,,2,2,02AB BE BC ⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭，设()(),,,,,m a b c n x y z ==分别是平面ABE 和平面CBE 的法向量，则2203202m AB a b m BE a b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ 和2203202n BC x y n BE x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，令1,3a x ==-，可得1,2,3,2b c y z ====，可得()()1,1,2,3,3,2m n ==-，则cos ,33m n m n m n⋅〈〉==⋅，由图可知，二面角A BE C --的大小为钝角，所以二面角A BE C --的余弦值为33-.20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【答案】（1）22163x y +=；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.（2）方法一：设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+,联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置.【详解】（1）由题意可得：2222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2)［方法一］：通性通法设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，代入椭圆方程消去y 并整理得：()222124260kxkmx m +++-=，可得122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=，根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：()()()()22121212140x x km k x x km ++--++-+=，所以()()()22222264121401212m kmk km k m k k-⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭，整理化简得()()231210k m k m +++-=，因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1k ≠，所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭.当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，由·0AM AN =得：()()()()111122110x x y y --+---=，得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得：2113840x x -+=，解得：123x =或22x =（舍）.此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭.令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故12223DQ AP ==，若D 与P 重合，则12DQ AP =，故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值.［方法二］【最优解】：平移坐标系将原坐标系平移，原来的O 点平移至点A 处，则在新的坐标系下椭圆的方程为22(2)(1)163x y +++=，设直线MN 的方程为4mx ny +=．将直线MN 方程与椭圆方程联立得224240x x y y +++=，即22()2()0x mx ny x y mx ny y +++++=，化简得22(2)()(1)0n y m n xy m x +++++=，即2(2)()(1)0y y n m n m x x ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设()()1122,,,M x y N x y ，因为AM AN ⊥则1212AM AN y y k k x x ⋅=⋅112m n +==-+，即3m n =--．代入直线MN 方程中得()340n y x x ---=．则在新坐标系下直线MN 过定点44,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则在原坐标系下直线MN 过定点21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 的中点41,33⎛⎫⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得1||||23DQ AP ==．［方法三］：建立曲线系A 点处的切线方程为21163x y ⨯⨯+=，即30x y +-=．设直线MA 的方程为11210k x y k --+=，直线MB 的方程为22210k x y k --+=，直线MN 的方程为0kx y m -+=．由题意得121k k ×=-．则过A ，M ，N 三点的二次曲线系方程用椭圆及直线,MA MB 可表示为()()22112212121063x y k x y k k x y k λ⎛⎫+-+--+--+= ⎪⎝⎭（其中λ为系数）．用直线MN 及点A 处的切线可表示为()(3)0kx y m x y μ-+⋅+-=（其中μ为系数）．即()()22112212121()(3)63x y k x y k k x y k kx y m x y λμ⎛⎫+-+--+--+=-++- ⎪⎝⎭．对比xy 项、x 项及y 项系数得()()()121212(1),4(3),21(3).k k k k k m k k k m λμλμλμ⎧+=-⎪++=-⎨⎪+-=+⎩①②③将①代入②③，消去,λμ并化简得3210m k ++=，即2133m k =--．故直线MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，直线MN 过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 中点41,33⎛⎫⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得1||||23DQ AP ==．［方法四］：设()()1122,,,M x y N x y ．若直线MN 的斜率不存在，则()()1111,,,M x y N x y -．因为AM AN ⊥，则0AM AN ⋅= ，即()1221210x y -+-=．由2211163x y +=，解得123x =或12x =（舍）．所以直线MN 的方程为23x =．若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y kx m =+，则()()()222122()6120x kx m k x x x x ++-=+--=．令2x =，则()()1222(21)(21)2212k m k m x x k +-++--=+．又()()221221262y m y y y y y k k -⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1y =，则()()122(21)(21)1112k m k m y y k +--+---=+．因为AM AN ⊥，所以()()()()12122211AM AN x x y y ⋅=--+-- 2(21)(231)12k m k m k+-++=+0=，即21m k =-+或2133m k =--．当21m k =-+时，直线MN 的方程为21(2)1y kx k k x =-+=-+．所以直线MN 恒过(2,1)A ，不合题意；当2133m k =--时，直线MN 的方程为21213333y kx k k x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以直线MN 恒过21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上，直线MN 恒过21,33P ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以||3AP =．又因为AD MN ⊥，即AD AP ⊥，所以点D 在以线段AP 为直径的圆上运动．取线段AP 的中点为41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则1||||2DQ AP ==．所以存在定点Q ，使得||DQ 为定值．【整体点评】（2）方法一：设出直线MN 方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点P ，再根据平面几何知识可知定点Q 即为AP 的中点，该法也是本题的通性通法；方法二：通过坐标系平移，将原来的O 点平移至点A 处，设直线MN 的方程为4mx ny +=，再通过与椭圆方程联立，构建齐次式，由韦达定理求出,m n 的关系，从而可知直线过定点P ，从而可知定点Q 即为AP 的中点，该法是本题的最优解；方法三：设直线:MN y kx m =+，再利用过点,,A M N 的曲线系，根据比较对应项系数可求出,m k 的关系，从而求出直线过定点P ，故可知定点Q 即为AP 的中点；方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解()()1222--x x 以及()()1211y y --的计算．21.已知函数()()()ln 2,ln f x x ax x g x x x x a =+-=--，（1）若()f x 与()g x 有相同的单调区间，求实数a 的值；（2）若方程()()331f x g x x a =++-有两个不同的实根12,x x ，证明：12e a x x >.【答案】（1）12（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先分析()g x 的单调性，从而结合()f x 的导数得到a ，再进行检验即可得解；（2）将问题转化为22ln 10ax x x -+=有两个不同的实根12,x x ，构造函数()12ln h x ax x x=-+，利用导数求得a 的取值范围，再利用零点的定义消去a 转化得()121221212211ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-，从而构造函数()1ln 1t t t t ω-=-+，利用导数证得12e x x >，从而得证.【小问1详解】函数()f x 与()g x 的定义域均为()0,∞+，由()ln g x x x x a =--得()ln g x x '=，当01x <<时，()()0,g x g x '<单调递减；当1x >时，()()0,g x g x '>单调递增，由()()ln 2f x x ax x =+-得()2ln 1f x ax x =+-'，因为()f x 与()g x 有相同的单调区间，所以()1210f a =-='，解得12a =，当12a =时，()()21ln 2,ln 12f x x x x x f x x x =+-=+-'，因为()f x '在区间()0,∞+上单调递增，且()1f '=0，所以当01x <<时，()()0,f x f x '<单调递减；当1x >时，()()0,f x f x '>单调递增，此时()f x 与()g x 有相同的单调区间，符合题意，故12a =.【小问2详解】方程()()331f x g x x a =++-有两个不同的实根12,x x ，等价于22ln 10ax x x -+=有两个不同的实根12,x x ，等价于12ln ax x x=-有两个不同的实根12,x x ，令()12ln ,0h x ax x x x =-+>，则()2221221ax x h x a x x x--=--='，当0a ≤时，()()0,h x h x '<单调递减，不符合题意，舍去；当0a >时，方程()0h x '=必有一正根0x ，使得200210ax x --=，即0012ax x =+，且当00x x <<时，()()0,h x h x '<单调递减；当0x x >时，()()0,h x h x '>单调递增，若方程12ln ax x x =-有两个不同的实根，()000000122ln 22ln 0h x ax x x x x =-+=+-<，令()11ln x x xϕ=+-，则()x ϕ单调递减，因为()1e 0eϕ=>，所以0011e,0e x x ><<，所以2220001212e 1111e a x x x ⎛⎫+=+=+-<< ⎪⎝⎭，因为12,x x 是方程12ln ax x x =-的两个不同的实根，所以11112ln ax x x =-，22212ln ax x x =-，两式相加，得()()121212122ln x x a x x x x x x ++=-，即()1212122ln 1x x a x x x x =-+，两式相减，得()221211122ln x x x a x x x x x --=+，即2121122ln 1x x a x x x x =+-，所以()2121121221122ln2ln 11x x x x x x x x x x x x -=++-，整理得()121221212211ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-，不妨设120x x <<，令()21121,ln ln 1,111x t t t t t t x t t ω-=>=-=+->++，则()2221210(1)(1)t t t t t t ω+=-=>++'，所以()t ω单调递增，()()10t ωω>=，所以221112ln x x x x x x ->+，所以()121221212211ln 1x x x x x x x x x x x x ++-=>-，所以()121212ln 11x x x x x x +>+>，所以12e x x >，又因为1a <，所以12e a x x >.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4，坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线l 的参数方程为2x y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 22ρθ=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点P 的极坐标为()2,2π，直线l 与曲线1C 相交于E ，F 两点，直线l 与曲线2C 相交于A ，B 两点，且11m EF PA PB+=，求实数m 的值．【答案】（1）()2223x y -+=，22122x y -=（2）12m =【解析】【分析】（1）由消参法可得曲线1C 的普通方程，根据极坐标和直角坐标之间的转化公式可得曲线2C 的直角坐标方程；（2）求得点P 直角坐标，判断点P 位置，结合曲线1C 方程，求得EF ，利用直线的参数方程中参数的几何意义求得11PA PB +的值，结合11m EF PA PB+=，即可求得答案.【小问1详解】曲线1C的参数方程为2x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数），则2222(2)))x y αα-+=+，即曲线1C 的普通方程为()2223x y -+=．因为2cos 22ρθ=，所以()22222cos sin 2,2x y ρθθ-=∴-=，则曲线2C 的直角坐标方程为22122x y -=．【小问2详解】因为点P 的极坐标为()2,2π，所以点P 的直角坐标为()2,0，则点P 在直线l 上，且点P 为曲线1C ：()2223x y -+=的圆心，所以EF =．因为直线l的标准参数方程为2212x s y s ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（s 为参数），将其代入曲线2C的直角坐标方程中，得240s ++=，320∆=>,设A ，B 两点对应的参数分别为1s ，2s，则12124s s s s ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩则10t <，20t <，故1212121111s s PA PB s s s s ++=+==．又11m EF PA PB +=1,2m =∴=．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()21f x x a x =+--，R a ∈．（1）当2a =时，求不等式()0f x ≤的解集；（2）当1a =-时，函数()f x 的最小值为m ，若a ，b ，c 均为正数，且2224a b c m ++=，求2a b c ++的最大值．【答案】（1）(][),04,-∞+∞U （2）3【解析】【分析】（1）将函数写成分段函数，再分类讨论分别得到不等式组，解得即可；（2）利用绝对值三角不等式求出()f x 的最小值，即可得到22243a b c ++=，再由柯西不等式计算可得.【小问1详解】当2a =时()4,12213,214,2x x f x x x x x x x -+≥⎧⎪=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩，所以不等式()0f x ≤等价于240x x ≤-⎧⎨-≤⎩或2130x x -<<⎧⎨≤⎩或140x x ≥⎧⎨-+≤⎩，解得2x ≤-或20x -<≤或4x ≥，综上可得不等式()0f x ≤的解集为(][),04,∞∞-⋃+.【小问2详解】当1a =-时()()()21213f x x x x x =++-≥+--=，当且仅当()()210x x +-≤，即21x -≤≤时取等号，所以22243a b c ++=，又a ，b ，c 均为正数，所以()()()2222222911142a b c a b c =++++≥++，所以23a b c ++≤，当且仅当21a b c ===，即1a b ==、12c =时取等号，所以2a b c ++的最大值为3.。

《新步步高》高考考前三个月数学(四川专用理科)二轮回扣专项练2含答案.doc

《新步步高》高考考前三个月数学(四川专用理科)二轮回扣专项练2含答案.doc

回扣专项练2函数与导数1.函数.Ax) = ln(?+2)的图象大致是( )答案D解析 由A-x)=/(x)可得函数/(X )为偶函数，又 ln(?+2)^ln2,故选 D.2. 奇函数/(x)的定义域为R.若/(x+2)为偶函数，且/(1)=1,则,/(8)+/(9)等于()A. -2B. 一 1C. 0答案D解析 因为/(X )为R 上的奇函数，所以X-x)=-Ax), .A0) = 0.因为Ax+2)为偶函数，所以 /(x+2)=/(—x+2),所以./(x+4)=/(—x) = —心)，所以几丫+8)=心)，即函数.沧)的周期为8, 故 /(8)+/(9)=/(0)+/(1)=1.3. 已知./(x)是定义在R 上的奇函数，若对于兀20,都有/(x+2)=/(x),且当xe[0,2)时，/(x) =e A -l,则./(2015)+.兀一2016)等于( )A. 1 —eB. e — 1C. — 1 —eD ・ e+ 1 答案B解析 由・沧+2)=心)知・/(x)是周期为2的周期函数，・・・/(2015)=/(l)=e —1,又；心)为奇函 数， :.f(—2016) = -/(2016) = -/(0) = - (c° —1) = 0./.X2015)+y (-2016)=e-1.- 1 14. 已知0 = 33』=100丄亍疋=1002亍则()A. a>b>cB ・ b>c>a C. c>b>aD. b>a>c答案A解析•・1=3*>1, /)=logH=log 32,则 0<b< 1, c —log 2|<0, /.a>b>c. D. 15. 设函数F(x)=/(x)+/(—x), xWR,且［一兀，一号是函数F(x)的一个单调递增区间.将函 数F(Q 的图象向右平移兀个单位，得到一个新的函数G(x)的图象，则G(x)的一个单调递减 区间是() A .— 71, T T ■B. 71匚C. ■兀 T 兀 D . 「3 兀 o 1 2 , 2TI答案D解析 J F(x)=.心)+./(—X ), xeR,・•・ F(~x)=/(~x) +/(x)=F(x),・・・ F(x)为偶函数,7, 7i 为函数F (兀)的一个单调递减区间.将F(x)的图象向右平移兀个单位，得到一个新的 函数G(x)的图象，则G(x)的一个单调递减区间是「乎，2K6. 函数.心)的定义域为儿若当x lf x 2^A 且./01)=沧2)时，总有X1=X2,则称./(X )为单函数•例 如：函数./(x)=2x+l(xWR)是单函数.给出下列结论：① 函数,Ax)=x 2(xeR)是单函数；②指数函数/(x) = 2v (xeR)是单函数；③若./(X )为单函数， X1，且X1HX2，则沧1)壬/&2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中正确结论的个数是()A. 3B ・ 2C. ID. 0<0,则实数a 的取值范围是 ______________答案(_8, -爭］7T TT<0知，函数/(X )在区间才，J 上是减函数.又f (x) = a + sinx,所以f (x)W0在区间甘，号上恒成立，即 泾一sinx 在区间［春 打上恒成立.当养舄时，芈答案A解析 由单函数的定义可知，函数值相同则自变量也必须相同.依题意可得①不正确，②正 确，③正确，④正确.7. 若偶函数的图象关于直线x=2对称，./(3) = 3,则./(一1)= _______________ .答案3解析 因为/(X )的图象关于直线x=2对称，所以/x)=/(4-x), _/(-x)=A44-x),又几一x)= ./«,所以/(x)=/(4+x),则/(—1)=/(4—1)=/(3)=3.8. 已知函数fix)=ax —cosx, xW * 扌 TI 71 71 TI ，若血压乡，V/弓，算兀丙2,3如 4’ 3 4，33x —m 9 xW2, 9.已知加HO,函数/(x)=r 宀 若/(2—加)=/(2+〃小则实数7//的值为 _________—x~2m 9 x>2, 解析 若 /77>0,则./(2—加)=3(2—m)—w = 6—4/77,代2+〃?) = — (2 + 加)一2加=—2 — 3加，.*.6—4〃? = — 2 — 3m ，解得〃? = &若 m<0,则./(2 — m)=8 —(2—m)—2/n = —2—/(2 + 加)=3(2 + 加)一加= 6+2〃?，一2—加= 6+2加，解得 m=—亍 10.己知函数./(x)=在［］,+oo)上为减函数，则实数G 的取值范圉为 ____________________ 答案［e, +°°)px-(lnt/ + liiY ) 1_(［敗+皿)解析f (对= -------- ?------ =丿,因为.心)在［1, +T 上为减函数，故f ⑴WO •A在［1, +°°)上恒成立，即 \na^}—\nx 在［1, +®)上恒成立.设 °(x)=l —Inx, ^(x)nwx = 1， 故 lnaMl, Q 2C .11.已知函数^x)=ax L ~2ax+2 + b(a^)在区间［2,3］上有最大值5,最小值2.(1) 求°, b 的值；(2) 若XI, g(x)=J(x)-2m x 在［2,4］上单调，求加的取值范围. 解(\)f(x)=a(x-})2+2 + b~a. ①当a>0时，金)在［2,3］上为增函数,9a —6a+2+b = 5, 4a —4a+2 + b=2 ② 当a<0时,冗0在［2,3］上为减函数,故 Q =1 或 a= — \, b = 0 或 h = 3.(2)X1, :.a=\, b=0,即 Ax) =X 2-2x4-2, g(x) =x 2 — 2x+2 — 2m x=x 2—(2 + 2m)x~\~2. —sinxW — 即一si 眦的最小值为一爭，所以QW —爭.故严"认2) = 2 故］ 1A3) = 2, 1/(2) = 5 9a — 6a+2+b=2, 4Q —4a+2+b = 5a= — \y b=3.所以一爭w h = 0.2 + 2m2‘" + 2若g(兀)在［2,4］上单调，则二或二一24, .・.2"W2 或2"'$6,即/nWl或加21og26.故加的取值范围是(一oo, l]U[10g 26, +8).12.己知函数,/(x)=(^2+x-l)e\其中e 是自然对数的底数，a^R⑴若°=1,求曲线刃刃在点(1,人1))处的切线方程；⑵若a<0,求./(x)的单调区间； m 的取值范围.解(1)・・・.心)=(,+*-1疋，:・f (x) = (2x+ 1 )e r+(x 2+x~\ )c v =(x 2+3x)c A . ・・・曲线./(x)在点(1, /(l))处的切线斜率为(l)=4e. 又所求切线方程为j —e=4e(x —1), 即 4ex —y —3e=0.(2)/v (x)=(2ax+ \)e+(ax 2+x~ 1妙=破 + (2° + 1)加.①若一y<t7<0,当兀<0 或 x>—~~~时，/' (x)<0.ex・・./(x)的单调递减区间为(一8, 0), (―2。

四川省成都市2023-2024学年高三下学期二诊模拟考试理科数学试题(A)含答案

四川省成都市2023-2024学年高三下学期二诊模拟考试理科数学试题(A)含答案

成都2023-2024年度下期高2024届二诊模拟考试数学试题（理）（A 卷）（答案在最后）（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.已知复数11i z =+（其中i 为虚数单位），则z 的虚部是（）A.12-B.1i2- C.12D.1i 2【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算，结合虚部的定义即可求解.【详解】11i 1i 2z -==+，所以z 的虚部是12-.故选：A2.若集合{}121,2,|A B y y x ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭，则a A ∈是a B ∈的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求出值域，得到[)0,B ∞=+，故A 是B 的真子集，得到答案.【详解】由幂函数的性质可知[)0,B ∞=+，则A 是B 的真子集，则a A ∈是a B ∈的充分不必要条件.故选：A3.如图是根据某校高三8位同学的数学月考成绩（单位：分）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生数学月考成绩的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生数学月考成绩的个位数字，则下列结论正确的是（）A.这8位同学数学月考成绩的极差是14B.这8位同学数学月考成绩的中位数是122C.这8位同学数学月考成绩的众数是118D.这8位同学数学月考成绩的平均数是124【答案】B 【解析】【分析】根据一组数据的极差，中位数，众数和平均数定义即可判断或求得.【详解】学生数学成绩从小到大为117,117,118,121,123,125,131,132，对于选项A ，极差是13211715-=，故A 错误；对于选项B ，中位数是1211231222+=，故B 正确；对于选项C ，众数是117，故C 错误；对于选项D ，平均数是1(1172118121123125131132)1238x =⨯++++++=，故D 错误.故选:B.4.已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，则这个几何体的体积是（）A.3π2B.5π3C.7π3D.9π2【答案】A 【解析】【分析】由三视图得到几何体的直观图，再求出其体积即可.【详解】由三视图可得几何体的直观图如下所示，几何体由一个圆柱和八分之三个球组成，且圆柱的高为1，底面半径为1，球的半径为1，故这个几何体的体积23433π11π1π382V =⨯⨯+⨯⨯=.故选：A5.已知数列{}n a 为等差数列，且23691010a a a a a ++++=，则48a a +的值为（）A.2B.4C.6D.8【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列的性质即可得解.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，又23691010a a a a a ++++=，所以6510a =，则62a =，所以48624a a a +==.故选：B.6.若,a b 是正实数，且111324a b a b+=++，则a b +的最小值为（）A.45B.23C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】观察等式分母可知()()()3245a b a b a b +++=+，利用基本不等式中“1”的妙用可得结果.【详解】因为()()()()()1111155324324555324a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤⎡⎤+=+=+++=++++ ⎪⎣⎦⎣⎦++⎝⎭124312434222532453245a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛++++⎛⎫=++≥+⋅= ⎪ ++++⎝⎭⎝，当且仅当31,55a b ==时取等号，所以a b +的最小值为45.故选：A7.当π02x <≤时，关于x 的不等式()()2sin cos23sin 0a x x x x +--≤有解，则a 的最小值是（）A.2B.3C.4D.【答案】A 【解析】【分析】根据sin x x <，将问题转化为2sin cos230a x x +-≥在π02x <≤上有解，利用二倍角公式以及基本不等式即可求解最值求解.【详解】当π02x <≤时，记sin ,cos 10y x x y x '=-=-≤，故函数sin y x x =-在π02x <≤上单调递减，故sin sin 000x x -<-=，故sin x x <，所以2sin cos230a x x +-≥在π02x <≤上有解，由于π02x <≤，所以sin 0x >，所以22sin 3cos222sin a x x x ≥-=+，所以min1sin sin a x x ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭.由1sin 2sin x x+≥，当且仅当π2x =时取等号，所以a 的最小值是2.故选：A8.在2023年成都“世界大学生运动会”期间，组委会将甲，乙，丙，丁四位志愿者分配到,,A B C 三个场馆执勤，若每个场馆至少分到一人，且甲不能被分配到A 场馆，则不同分配方案的种数是（）A.48B.36C.24D.12【答案】C 【解析】【分析】分甲单独一人执勤一个场馆和甲和另一个人一起执勤一个场馆两种情况求解即可.【详解】分两种情况：第一种情况，甲单独一人执勤一个场馆，共有12223212C C A =种；第二种情况，甲和另一个人一起执勤一个场馆，共有11232212C C A =种，则共有24种.故选：C9.已知抛物线24y x =，弦AB 过其焦点，分别过弦的端点,A B 的两条切线交于点C ，点C 到直线AB 距离的最小值是（）A.14B.12C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，设出过点过A 处的切线方程与抛物线联立，由Δ0=，得出其斜率，化简点过A 处的切线方程，同理得出点过B 处的切线方程,根据题意得出点C 的坐标，结合点到直线的距离公式可得出答案.【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，设过A 处的切线方程是()11y y k x x -=-，联立()11y y k x x -=-，24y x =得2114440y y y x k k-+-=，由题意Δ0=，即221112116164240,20,y y y k k k k y ⎛⎫-+=-== ⎪⎝⎭，则在A 处的切线方程为1122y y x x =+，同理，B 处的切线方程为2222y y x x =+，设交点C 的坐标为00(,)x y ，点00(,)C x y 在两条切线上，所以101022y y x x =+，202022y y x x =+，则直线AB 的方程是0022yy x x =+.又AB 过其焦点(1,0)，易知交点C 的轨迹是=1x -，所以()01,C y -，AB ：022yy x =-，所以交点C 到直线AB的距离是2d ==所以当00y =时距离最小值为2.故选：D10.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 为棱11A B 的中点，F 为四边形11DCC D 对角线的交点，下列说法：①//EF 平面11BCC B ；②若//EF 平面11ADD A ，则//BC AD ；③若四边形ABCD 矩形，且11EF D C ⊥，则四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱.其中正确说法的个数是（）A.0 B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】根据面面平行的判定定理和性质定理，线面平行的判定定理及性质定理，线面垂直的判定定理及性质定理逐一判断可得结果.【详解】对于①，若//EF 平面11BCC B ，过F 作1//FH CC 交11C D 于其中点H ，连接EH ，FH ⊄平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，所以//FH 平面11BCC B ，又//EF 平面11BCC B ，且FH EF F ⋂=,,EF FH ⊂平面EFH ，所以平面//EFH 平面11BCC B ，又EH ⊂平面EFH ，所以//EH 平面11BCC B ，又EH ⊂平面1111D C B A ，且平面11BCC B 平面111111A B C D B C =，所以//EH 11C B .当11A D 与11C B 不平行时，//EH 11C B 不成立.①是假命题.对于②，同①，//EH 11C B ，则//BC AD .②是真命题.对于③，四边形ABCD 矩形，所以//AD BC .AD ⊄平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，//AD 平面11BCC B ，又11//DD CC ，同理1//DD 平面11BCC B ,且1AD DD D = ,所以平面11AA D D //平面11BCC B ，所以四棱柱1111ABCD A B C D -可看作四边形11AA D D 为上底面，四边形11BCC B 为下底面的四棱柱，过F 作1CC 的平行线交11C D 于点H ，则H 为11C D 的中点，连接EH ，由条件有11EH D C ⊥，又11EF D C ⊥，且EH EF E =I ,则11D C ⊥平面EFH ，则11FH D C ⊥，1//FH DD ，所以111DD D C ⊥，又1111D A D C ⊥，且1111DD D A D = ，所以11D C ⊥平面11ADD A ，则四棱柱1111ADD A BCC B -为直四棱柱.但当上底面11ADD A 变化时，不能确保111DD A D ⊥，即1DD ⊥平面1111D C B A 不一定成立，故③是假命题.故选：B.11.已知函数2()22cos x x f x x x -=+++，若a f =，1e (e )b f =-，1π(π)c f =，则（）A.c b a <<B.a c b <<C.c<a<bD.b<c<a【答案】B 【解析】【分析】先利用函数奇偶性的定义与导数判断()f x 的奇偶性与单调性，再构造函数ln ()xg x x=，利用导数判断得111πe 22πe <<，从而得解.【详解】因为2()22cos x x f x x x -=+++的定义域为R ，又()()()22()22cos 22cos x x x x f x x x x x f x ---=++-+-=+++=，所以()f x 是偶函数，又()(22)ln 2(2sin )x x f x x x -'=-+-，令()2sin h x x x =-，则()2cos 0h x x ='->恒成立，所以()()00h x h >=，即2sin 0x x ->，又22x x y -=-在()0,∞+上单调递增，所以0022220x x y -=->-=，所以()0f x '>在()0,∞+上恒成立，则()f x 在()0,∞+上单调递增，构造函数ln ()x g x x =，则21ln ()xg x x-'=，令()0g x '>，得0e x <<，令()0g x '<，得e x >，所以()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减，所以(4)(π)(e)g g g <<，又ln 2ln 424=，所以ln 2ln 4ln πln e 24πe=<<，所以111πe 22πe <<，所以111πe e (π)(e )(e )f f f f <<=-，所以a c b <<.故选：B.12.若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过右焦点2F 的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点，已知l 的斜率为k ，,b k a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，且222AF F B =，160F AB ∠= ，则直线AB 的斜率是（）A. B.C.33D.2【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线定义由余弦定理可求得双曲线离心率3e =，联立2222:194x y C t t -=和直线2:03l x my m ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭方程并利用韦达定理结合222AF F B =可解得m =，可得结果.【详解】设2F B x =，则22,3F A x AB x ==，如下图所示：由双曲线定义，得1122,2AF a x F B a x =+=+；在1AF B △中，由余弦定理，得2221112cos 60BF AF AB AF AB =+- ，即()()()()2222223322a x a x x x a x +=++-+，解得3ax =.在12AF F △中，由余弦定理，得2221212122cos 60F F AF AF AF AF =+- ，即()()()2224222222c a x x x a x =++-+，解得双曲线离心率3e =.令()30a t t =>，则,2c b t ==，所以2222:194x y C t t -=，设直线2:03l x my m ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，联立双曲线和直线l 整理可得()22249160m y t --+=，则212122216,4949t y y y y m m +==--；由222AF F B =，得122y y =-，解得m =，所以AB k =故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用余弦定理求得离心率之后，联立直线和双曲线的方程利用韦达定理由线段比例关系求得其斜率.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知向量a =（1，-2），b =（2，m ），若a ⊥b，则m =______．【答案】1【解析】【分析】根据a b ⊥即可得出0a b ⋅= ，进行数量积的坐标运算即可求出m ．【详解】∵a b ⊥；∴220a b m ⋅=-=r r ，∴1m =，故答案为1．【点睛】本题主要考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于基础题.14.已知实数,x y 满足约束条件04340y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，则32z x y =+的最大值是_________.【答案】3【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，根据线性规划的几何意义，即可求得答案.【详解】作出0 4340 yx yx y≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩满足的可行域如图中阴影部分所示，对于434x y+≤，令01y,x=∴=，则可行域中的点A坐标为(1,0)，作出直线32y x=-并平移，当直线过点(1,0)A时，32z x y=+取到最大值，max31203z=⨯+⨯=，所以32z x y=+的最大值是3，故答案为：315.已知等比数列{}n a的前n项和为n S，若1273nnS x⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，则12na a a取最大值时，n的值为__________．【答案】3【解析】【分析】根据等比数列前n项和及等比中项求出通项公式可得结果.【详解】因为1273nnS x⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，则211221111227,3339a S x a S S x x x⎛⎫==+=-=-=-⎪⎝⎭，323321123327a S S x x x⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由数列{}n a为等比数列，所以0x≠，则2213a a a=，即2212279327x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得27=-x，所以127273nnS⎛⎫=-+⎪⎝⎭，当1n=时，1112727183a S==-⨯+=，当2n ≥时，111111272718333n n n n n n a S S ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，此时当1n =时也符合；所以11183n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，1118,3a q ==，所以23426,2,3a a a ===，当4n ≥时，1n a <，所以12n a a a 取最大值时，n 的值是3.故答案为：3.16.当1x ≥时，恒有221ln e 1e x x x x mx mx+≤----成立，则m 的取值范围是__________.【答案】(],e 2-∞-【解析】【分析】根据函数有意义可得e xm x <在[)1,+∞上恒成立.，进而可得e m <：由221ln e 1e x x x x mx mx+≤----可得()()()()22ln 11ln e e x x x x mx mx +++≤-+-，构造函数可得2e 1x x m x --≤，进而可得e 2m ≤-，从而可得答案.【详解】由题意，得210e x x mx+>-.又210x +>恒成立，所以e 0xmx ->在[)1,+∞上恒成立，即e xm x<在[)1,+∞上恒成立.令()()e 1xg x x x =≥，则()()2e 1x x g x x-'=，当1x ≥时，()0g x '≥，所以()g x 在[)1,+∞上单调递增，所以()min ()1e g x g ==，所以e m <①.由221ln e 1e x x x x mx mx+≤----，得()()()()22ln 1ln e e 1x x x mx mx x +--≤--+，即()()()()22ln 11ln e e xxx x mx mx +++≤-+-.构造函数()ln h x x x =+，则()()21e xh x h mx+≤-因为()ln h x x x =+在()0,∞+上是增函数，所以21e xx mx +≤-，所以2e 1x x m x--≤.令()()2e 11x x f x x x --=≥，则()()()21e 1x x x f x x--'-=.构造函数()'()e 1()e 1xxm x x m x =-+⇒=-,(),0x ∈-∞时'()0m x <，()m x 递减：()0,x ∈+∞时'()0m x >，()m x 递增，所以()(0)0m x m ≥=，即e 1x x ≥+恒成立，所以()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立，所以()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以()min ()1e 2f x f ==-，所以e 2m ≤-②.由①②知e 2m ≤-.故答案为：(],e 2-∞-.【点睛】不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.为了去库存，某商场举行如下促销活动：有两个摸奖箱，A 箱内有1个红球、1个黑球、8个白球，B 箱内有4个红球、4个黑球、2个白球，每次摸奖后放回．消费额满300元有一次A 箱内摸奖机会，消费额满600元有一次B 箱内摸奖机会.每次机会均为从箱子中摸出1个球，中奖规则如下：红球奖50元代金券、黑球奖30元代金券、白球奖10元代金券．（1）某三位顾客各有一次B 箱内摸奖机会，求中奖10元代金券人数ξ的分布列；（2）某顾客消费额为600元，请问：这位顾客如何抽奖所得的代金券期望值较大？【答案】（1）分布列见解析（2）这位顾客选B 箱摸奖1次所得奖金的期望值较大【解析】【分析】（1）由题意可知，三人中中奖人数ξ服从二项分布13,5B ⎛⎫⎪⎝⎭，接下来求出对应的概率，进而列出分布列；（2）由题意可知，可以在A 箱摸奖2次，或者在B 箱内摸奖1次，求出A 箱与B 箱所得奖金的期望值，然后比较大小，进而得出结论.【小问1详解】三位顾客每人一次B 箱内摸奖中10元代金券的概率都为15，中奖10元代金券的人数ξ服从二项分布13,5B ⎛⎫⎪⎝⎭，()030314640C 55125P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()21314481C 55125P ξ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()22314122C 55125P ξ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭，()333113C 5125P ξ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭故ξ的分布列为ξ0123P6412548125121251125【小问2详解】可以A 箱摸奖1次所得奖金的期望值为11850301016101010⨯+⨯+⨯=，B 箱摸奖1次所得奖金的期望值为44250301034101010⨯+⨯+⨯=，A 箱摸奖2次所得奖金的期望值为21632⨯=，B 箱摸奖1次所得奖金的期望值为34，所以这位顾客选B 箱摸奖1次所得奖金的期望值较大．18.已知sin (R)cos x m m x =⎧⎪∈⎨=⎪⎩，设()f x λ=.（1）求函数()f x 的对称中心；（2）若ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，()3f A =，且ABC外接圆的半径为3，D 是BC 边的中点，求线段AD 长度的最大值.【答案】（1）π(π,0),Z 6k k -∈（2）2.【解析】【分析】（1）由方程组消元即得()f x 得表达式，运用辅助角公式将其化成正弦型函数，即可求得其对称中心；（2）利用（1）中结论和()3f A =求得角A ，由正弦定理和条件求得边a 长，利用余弦定理和线段中点的向量表达式求得||AD的表达式，最后借助于基本不等式即可求得.【小问1详解】由sin cos x m x =⎧⎪⎨=⎪⎩得π()sin )336f x x x x =+=+.令ππ,Z 6x k k +=∈，解得ππ,Z 6x k k =-∈，所以函数()f x 的对称中心为π(π,0),Z 6k k -∈.【小问2详解】如图，由（1）知23π23())363f A A =+=，()0,πA ∈，∴π3A =，又ABC 外接圆的半径为33，由正弦定理得：213a A =⨯=，∴由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，得221bc b c =+-.又因2AD AB AC =+，则22242cos AD AB AC AB AC A =++⋅ ，即得：222224||2()1AD c b bc c b =++=+- 由222212b c bc b c +=+-≤，解得：222c b +≤，（当且仅当1b c ==时等号成立），故24||3AD ≤ ，即max ||2AD = ，此时，1b c ==.19.如图，棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上靠近1C 的三等分点.（1）求证：1AC 与平面BDE 不垂直；（2）在线段BE 上是否存在一点F 使得平面11B D F ⊥平面BDE ？若存在，请计算BFBE的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）1217【解析】【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出1(0,3,2),(3,3,3)DE A C ==--，由它们的数量积不为0即可得证；（2）设BF BE λ=，则[](33,3,2),0,1F λλλ-∈，求出两个平面的法向量（其中一个含参），由平面11B D F ⊥平面BDE 即可得法向量数量积为0，由此即可列方程求解.【小问1详解】以D 为坐标原点建立如图的空间直角坐标系，()()111(3,3,0),(0,0,0),(0,3,2),(3,3,3),(0,0,3),3,0,3,0,3,0B D E B D A C .1(0,3,2),(3,3,3)DE A C ==--，因为1(3,3,3)(0,3,2)30A C DE ⋅=--⋅=≠，所以1AC 与平面BDE 不垂直..【小问2详解】存在点F ，且1217BF BE =.设BF BE λ=，则[](33,3,2),0,1F λλλ-∈.(3,3,0),(0,3,2)DB DE ==，设平面BDE 的法向量为1111(,,)n x y z =，则111111330320n DB x y n DE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令12y =-，得1(2,2,3)n =-.()()1113,3,0,3,0,23B D B F λλ=--=--，设平面11B D F 的法向量为()2222,,n x y z =，则()2112221223303230n B D x y n B F x z λλ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，23z λ=，得2(23,23,3)n λλλ=--+.若平面11B D F ⊥平面BDE ，则120n n ⋅=，即464690λλλ-+-+=，解得1217λ=，[]0,1λ∈.所以在线段BE 上存在一点F 使得平面11B D F 与平面BDE 垂直，且1217BF BE =.20.已知点F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点，过原点的直线交椭圆E 于,A B 两点，△ABF 面，1OF =.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知过点0(4,)P y 的直线l 与椭圆E 交于,M N 两点，是否存在定点P ，使得直线,FM FN 的斜率之和为定值？若存在，求出定点P 的坐标及该定值.若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=（2）存在，(4,0)P ，0.【解析】【分析】（1）当△ABF 面积的最大时直线与椭圆的交点恰为上下两个顶点，此时可知bc =，根据1c =和222a b c =+即可求解；（2）设出直线l 的方程和直线与椭圆的交点坐标，将直线与椭圆方程联立，写出韦达定理，利用韦达定理把FM FN k k +化为含有0y 的式子即可求解.【小问1详解】设(),A A A x y ,(),B B B x y ，∵12ABF AOF BOF A B S S S OF y y bc =+=-≤ (当且仅当,A B 是y 轴与椭圆的交点时取等号)，∴bc =.又∵1c OF ==，∴23b =，2224a b c =+=∴椭圆E 的标准方程为22143x y +=；【小问2详解】设直线l 的方程为,y kx m =+1122(,),(,),M x y N x y 由0(4,)P y 在直线l 上，得04m y k =-，将直线l 和椭圆方程E 联立22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得222()4384120k x kmx m +++-=，由()22Δ44812360k m =-+>，得2243k m +>，由根与系数的关系，得122212284341243km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，故直线,FM FN 的斜率之和为()()()12121212121212122211111kx x m k x x my y kx m kx m x x x x x x x x +-+-+++=+=-----++022220062464489364249y k mk m km k y y k ---==++-+--要使上式为定值，则00,y =故(4,0)P ，且0.FM FN k k +=21.已知函数2()f x x ax =-,0.x >（1）是否存在实数a 使得()0f x ≥在区间[],21a a +上恒成立，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由；（2）求函数2()()ln h x f x a x =-在区间(1,e )a 上的零点个数（e 为自然对数的底数）.【答案】（1）存在，a >0；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由已知可得0a >，再利用二次函数单调性即可求解.（2）由已知可得0a >，利用导数求出函数()h x 在(0,)+∞上的最小值，再分段讨论并结合零点存在性定理求解即得.【小问1详解】函数2()f x x ax =-，0x >，由()0f x ≥在区间[],21a a +上恒成立，得0a >，函数()f x 在[],21a a +上单调递增，于是()00f a =≥，因此0a >，所以对任意的0a >都能满足()0f x ≥在区间[],21a a +上恒成立.【小问2详解】由区间(1,e )a ，得e 1a >，则0a >，函数22()ln h x x ax a x =--，0x >，求导得2(2)()()2a x a x a h x x a x x+-'=--=，当0x a <<时，()0h x '<，当x a >时，()0h x '>，则函数()h x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，2min ()()ln h x h a a a ==-，设函数()e (0)a g a a a =->，求导处()e 10a g a '=->，()g a 在(0,)+∞上是增函数，于是()(0)10g a g >=>，即e a a >，①当2ln 0a a ->，即01a <<时，函数()h x 在(1,e )a 上无零点；②当2ln 0a a -=，即1a =时，函数()h x 在(1,)a e 上无零点；③当2ln 0a a -<，即1a >时，1e a a <<，显然(1)10h a =-<，()0h a <，23(e )e e a a a h a a =--，令23()e e ,1x x m x x x x =-->，求导得22()2e e e 3x x x m x x x =---'，令22,1()2e e e 3x x x x x x x ϕ=-->-，求导得2()4e 2e e 6x x x x x x ϕ'=---，令2()4e 2e e 6,1x x x F x x x x =--->，求导得则22()8e 3e e 63e e 1e (2e 3(e 2)0())x x x x x x x x F x x x '=---=-+-+->，则函数()F x 在(1,)+∞上单调递增，2()(1)4e 3e 60F x F >=-->，函数()ϕx 在(1,)+∞上单调递增，2()(1)2e 2e 30x ϕϕ>=-->，于是函数()m x 在(1,)+∞上单调递增，2()(1)e e 10m x m >=-->，因此23(e e e 0(1))a a a h a a a =-->>，即函数()h x 在(1,e )a 上有一个零点，所以当01a <≤时，函数()h x 无零点；当1a >时，函数()h x 有一个零点【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过定点()1,0，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=，直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B .（1）若π3α=，求线段AB 中点M 的直角坐标；（2）若(1,0)P ，求PA PB ⋅的最小值.【答案】（1）523(,33（2）4【解析】【分析】（1）根据极坐标与参数方程间的转化得曲线C 的普通方程，再将其与直线的参数方程联立，再利用韦达定理即可得到答案；（2）将直线参数方程代入曲线C 的普通方程，利用韦达定理即可得到其最值.【小问1详解】2sin 4cos ρθθ=两边同乘ρ得()2sin 4cos ρθρθ=，根据sin ,cos y x ρθρθ==得曲线C 的普通方程为24y x =，当π3α=时，直线l的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入24y x =，得238160t t --=设A ，B 对应的参数为1t ，2t ，则1283t t +=，所以M 对应的参数为12423t t +=，代入参数方程，得点M的直角坐标5(,33.【小问2详解】将直线l 的参数方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）代入24y x =，得22sin 4cos 40t t αα--=，∴1224||4sin PA PB t t α⋅=⋅=≥，当且仅当π2α=时取等号，∴PA PB ⋅的最小值为4.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()1f x x =+.（1）求不等式()()217f x f x x +-<+的解集；（2）若对于正实数a ，b ，c ，满足1111a b c ++=，证明:()()9f x a f x b c -+++≥.【答案】（1）{}23x x -<<（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得()()31,1211,1031,0x x f x f x x x x x --<-⎧⎪+-=-+-≤≤⎨⎪+>⎩，分类讨论解不等式即可；（2）由绝对值不等式可得()()f x a f x b c a b c -+++≥++，由基本不等式可得9a b c ++≥，进而分析证明，注意等号成立的条件.【小问1详解】因为()()31,121121,1031,0x x f x f x x x x x x x --<-⎧⎪+-=++=-+-≤≤⎨⎪+>⎩，当1x <-时，可得317x x --<+，解得2<<1x --；当10x -≤≤时，可得17x x -+<+，解得10x -≤≤；当0x >时，可得317x x +<+，解得03x <<；综上所述：不等式()()217f x f x x +-<+的解集是{}23x x -<<.【小问2详解】由绝对值不等式的性质，可得()()()()1111f x a f x b c x a x b c x a x b c a b c -+++=+-++++≥+--+++=++，当且仅当()()110x a x b c +-+++≤取等号.由于正实数a ，b ，c ，满足1111a b c ++=，则()111a a c b c b a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭39b a c a c b a b a c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当3a b c ===时取等号，此时()()()()11270x a x b c x x +-+++=-+≤，即72x -≤≤，所以()()9f x a f x b c -+++≥，当且仅当3a b c ===且72x -≤≤取等号.。

(四川专版)高考数学二轮复习 考前回归知识必备练习 理-人教版高三全册数学试题

(四川专版)高考数学二轮复习 考前回归知识必备练习 理-人教版高三全册数学试题

考前回归知识必备*1 集合与常用逻辑用语集合与常用逻辑用语集合概念一组对象的全体.,x A x A∈∉。

元素特点：互异性、无序性、确定性。

关系子集x A x B A B∈⇒∈⇔⊆。

A∅⊆；,A B B C A C⊆⊆⇒⊆n个元素集合子集数2n。

真子集00,,x A x B x B x A A B∈⇒∈∃∈∉⇔⊂相等,A B B A A B⊆⊆⇔=运算交集{}|,x xB x BA A∈∈=且()()()U U UC A B C A C B=()()()U U UC A B C A C B=()U UC C A A=并集{}|,x xB x BA A∈∈=或补集{}|Ux x UC A x A∈=∉且常用逻辑用语命题概念能够判断真假的语句。

四种命题原命题：若p，则q原命题与逆命题，否命题与逆否命题互逆；原命题与否命题、逆命题与逆否命题互否；原命题与逆否命题、否命题与逆命题互为逆否。

互为逆否的命题等价。

逆命题：若q，则p否命题：若p⌝，则q⌝逆否命题：若q⌝，则p⌝充要条件充分条件p q⇒，p是q的充分条件若命题p对应集合A，命题q对应集合B，则p q⇒等价于A B⊆，p q⇔等价于A B=。

必要条件p q⇒，q是p的必要条件充要条件p q⇔，,p q互为充要条件逻辑连接词或命题p q∨，,p q有一为真即为真，,p q均为假时才为假。

类比集合的并且命题p q∧，,p q均为真时才为真，,p q有一为假即为假。

类比集合的交非命题p⌝和p为一真一假两个互为对立的命题。

类比集合的补量词全称量词∀，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题。

存在量词∃，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题。

向量OZ向量OZ的模叫做复数的模，向量既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。

0向量0与任一非零向量共线】方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。

,a b 的夹角记为,a b >。