东大考研信号与系统第五章 复频9-11

东 南 大 学 考 试 卷（A 、B 卷）（答案附后）课程名称 信号与线性系统 考试学期 03-04-3得分适用专业 四系，十一系考试形式闭卷考试时间长度 120分钟一、简单计算题（每题8分）：1、 已知某连续信号()f t 的傅里叶变换为21()23F j j ωωω=-+，按照取样间隔1T =对其进行取样得到离散时间序列()f k ，序列()f k 的Z 变换。

2、 求序列{}10()1,2,1k f k ==和2()1cos ()2f k k k πε⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的卷积和。

3、 已知某双边序列的Z 变换为21()1092F z z z =++，求该序列的时域表达式()f k 。

4、 已知某连续系统的特征多项式为：269111063)(234567+++++++=s s s s s s s s D试判断该系统的稳定情况，并指出系统含有负实部、零实部和正实部的根各有几个？5、 已知某连续时间系统的系统函数为：3232642()21s s s H s s s s +++=+++。

试给出该系统的状态方程。

6、 求出下面框图所示离散时间系统的系统函数。

)(k二、（12分）已知系统框图如图（a ），输入信号e(t)的时域波形如图（b ），子系统h(t)的冲激响应波形如图(c)所示，信号()f t 的频谱为()jn n F j eπωω+∞=-∞=∑。

图(a)y(t))(t fe(t)图(b)h(t)图(c)试：1） 分别画出)(t f 的频谱图和时域波形；2） 求输出响应y(t)并画出时域波形。

3） 子系统h(t)是否是物理可实现的？为什么？请叙述理由；三（12分）、已知电路如下图所示，激励信号为)()(t t e ε=，在t=0和t=1时测得系统的输出为1)0(=y ，5.0)1(-=e y 。

分别求系统的零输入响应、零状态响应、全响应、以及自然响应和受迫响应。

L=2HC=1F+_四(12分)、已知某离散系统的差分方程为)1()()1(3)2(2+=++-+k e k y k y k y 其初始状态为6)2(,2)1(-=--=-zi zi y y ，激励)()(k k e ε=；求：1） 零输入响应)(k y zi 、零状态响应)(k y zs 及全响应)(k y ；2） 指出其中的自由响应分量和受迫响应分量； 3） 判断该系统的稳定性。

一、双边拉普拉斯正变换的计算：
f (t ) f a (t ) ( t ) f b ( t ) ( t )
F ( s ) Ld

f ( t )
st


f (t ) e

st
dt



f a ( t ) ( t ) e
dt

0
f b (t ) ( t ) e
rzs e ( t ) h ( t )
Rzs(s)=H(s)E(s)
rzs(t)=L-1{Rzs(s)}
H (s)
系统函数
三、LT法求零状态响应rzs(t)的含义 e(t)
e (t )
零状态系统H(s)
E ( s )e ds
st
r (t)=?
1 2 j
2 j
1
j
r (t )
2


R (s)
( b1 s b 0 ) E ( s ) ( s a 1 ) r (0 ) r '(0 ) s a1 s a 0
2



( b1 s b 0 ) E ( s ) s a1 s a 0
2

( s a 1 ) r (0 ) r '(0 ) s a1 s a 0
解答：
H (s) s2 s s
2
E (s) 1
3 s3
s2
2Hale Waihona Puke s s3 s s2 1
0 .5 s 1 0 .5 s3
R (s)= E(s) · H(s)
s s s3

s 1 s 3

0
e ( t )
t
1
(t )
0
0
LT
1
0
1 1 f (t ) s 1 s
1
0
1 0
0
1
0 1

f (t ) (t ) e (t )
t
1 1 s 1 s
LT
0 1
f 2 (t ) (t ) et (t )
N ( s ) bm s m bm1s m1 ... b1s b0 F ( s) D( s ) an s n an 1s n 1 ... a1s a0
1、m<n, D(s)=0无重根 假设D(s)=0的根为s1，s2， …，sn，则可以将F(s)表示为：
1 3 7 s2 s3
f ( t ) ( t ) (7e 3 t 3e 2 t ) ( t )
2.)求F（s）分母多项式等于零的根，将F（s）分解成 部分分式之和 3.)求各部分分式的系数 4.)对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换 。
一、部分分式展开法（Haviside展开法）
2、左边信号拉普拉斯变换的收敛区
3、双边信号拉普拉斯变换的收敛区
对右边函数f(t) 若存在0 使 f1(t)=f(t) e-t
lim f ( t )e t 0
> 0
t
f 1 ( t ) f ( t )e t 有界
例1：求信号 f ( t ) e 2 t ( t )
1、单个脉冲信号（有限时间信号），收敛区间为整个s平面， ∈（ - ， + ） Re[s]> - 2、阶跃信号(t)的收敛区间为 >0的整个右半平面，即∈ （0，+） 3、单边指数信号eat(t)的收敛区间为 >a 的右半平面，即 ∈ （ a ， + ） 。

0
∞
∞ 0
n n 1 n2 n n 1 2 = {t } = {t} s s s s s n n 1 2 1 n n 1 2 1 1 = {ε (t )} = s s s s s s s s s n! = n +1 σ >0 s n! n σ> 0 即: t n + 1
s
n + s
n
n Kk Kk 1 1 1 } } = ∑ { ∴ f (t ) = { F ( s )} = {∑ s sk k =1 k =1 s sk
= ∑ K k e sk t ε (t )
k =1
n
这里是单边拉氏变换. 这里是单边拉氏变换.
例:求 F (s) =
4s 2 +11s +10 2s + 5s + 3
st
∞
称为复变量
则
F (s) =
∫
∞ ∞
f (t ) e
dt
称上式为信号 f (t ) 双边拉普拉斯变换的定义式 双边拉普拉斯变换的定义式 拉普拉斯变换 反变换: f ( t ) e σ t = 1 ∞ F ( s ) e j ω t d ω 反变换: 2π ∞ 1 ∞ ∴ f (t ) = F ( s ) e σ t e jω t d ω 2π ∫ ∞ 1 ∞ = F ( s ) e st d ω 2π ∫ ∞
∫
∞
0
t
n 1
e
st
n n 1 dt = {t } s
利用上述结果有: 利用上述结果有: 1 n =1 t 2 s 三,冲激函数 Aδ (t )
{ Aδ t )} = (
n=2
t
2 s3
∫
∞