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东南大学信号与系统课件第二章第二章连续时间系统的时域分析§2-1 引言线性连续时间系统的时域分析，就是一个建立和求解线性微分方程的过程。
一、建立数学模型数学模型的建立过程与应用系统的特性有关。
对电系统而言，《电路分析》课程中已经提供了相应的理论和方法，主要有KCL 和KVL 方程。
线性非时变系统的微分方程的一般形式为：)()(...)()()()(...)()(0111101111t e b t e dtd b te dtd b te dtd b t r a t r dtd a t r dtd a t r dtd m m m mm m n n n nn ++++=++++------二、求解（时域解） 1、时域法将响应分为通解和特解两部分：1）通解：由方程左边部分得到的特征方程所得到的特征频率解得的系统的自然响应（或自由响应）；2）特解：由激励项得到的系统的受迫响应；3）带入初始条件，确定通解和特解中的待定系数。
经典解法在激励信号形式简单时求解比较简单，但是激励信号形式比较复杂时求解就不容易了——这时候很难确定特解的形式。
2、卷积法（或近代时域法，算子法）这种方法将响应分为两个部分，分别求解：1）零输入响应：系统在没有输入激励的情况下，仅仅由系统的初始状态引起的响应)(t r zi ；2）状态为零（没有初始储能）的条件下，仅仅由输入信号引起的响应)(t r zs 。
● 系统的零输入响应可以用经典法求解，在其中只有自然响应部分；● 系统的零状态响应也可以用经典法求解，但是用卷积积分法更加方便。
借助于计算机数值计算，可以求出任意信号激励下的响应（数值解）。
所以这种方法有很大的实用价值。
● 卷积法要求激励信号是一个有始信号，否则无法确定初始状态。
● 零输入响应与自然响应、零状态响应与受迫响应之间并不相等，具体对比见§2-9经典法在高等数学中已有详细介绍。
本课程中重点介绍近代时域法。
第八章离散时间系统的变换域分析§8-1 引言一、变换域分析的目的✧变换域分析的目的，在于将原来的求解问题简化。
✧对于连续时间系统，通过L.T.，可以将原来求解微分方程的问题转变为求解代数方程的问题；对于离散时间系统，通过Z变换（Z.T.），可以将原来求解差分方程的问题转变为求解代数方程的问题。
二、Z变换的发展史✧十八世纪，DeMoivre提出生成函数，并应用于概率论；✧十九世纪Laplace、二十世纪Seal对其进行了进一步深入研究；✧二十世纪六十年代起，由于计算机技术和控制技术的飞速发展，抽样控制理论的应用，离散信号处理和数字信号处理得到了广泛应用。
✧作为离散时间系统分析的重要工具，Z.T.得到了很大的发展，现在其用途甚至超过了L.T.三、离散时间序列的频域分析方法✧离散时间系统和离散时间序列也可以通过正交分解的方法，在频域进行分析。
这就是离散时间序列傅里叶变换（DTFT）。
✧DTFT可以看成是Z变换的一个特例——正如连续时间系统中傅里叶变换可以看成是拉普拉斯变换的一个特例一样。
✧离散系统也有频率响应（对各种频率的离散正弦信号的响应）。
✧傅利叶变换的离散形式——离散傅利叶变换（DFT）——在离散时间系统分析中占用很重要的地位，而DFT的快速算法——FFT——的提出使得DFT在各种信号处理场合得到的广泛的应用。
✧除了DFT以外，对于离散时间序列还有其它分析方法，例如离散沃尔什变换、离散余弦变换等，它们在离散信号处理中同样得到的很广泛的应用。
离散时间系统的变换域分析方法与连续时间系统也有很多相似之处。
§8-2 Z 变换定义及其收敛域一、Z 变换的定义✧ Z 变换的定义可以从纯数学的角度进行，也可以通过信号分解的角度提出。
后者更加容易理解。
✧ 本课程中，通过连续时间系统的F.T.，导出Z.T.。
这样可以视其物理意义更加明确。
离散时间信号f(k)可以看成是连续时间信号通过抽样而得到的冲激序列：)(k f ——>∑+∞-∞=-=k kT t k f t f )()()(δδ对其)(t f δ进行F.T.：()∑∑∑⎰∑⎰⎰∑⎰∞+-∞=-∞+-∞=-∞+-∞=∞+∞--∞+-∞=∞+∞--∞+∞--∞+-∞=∞--==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==k kTj k kT j k tj k t j tj k t j e k f e k f dt ekT t k f dte kT t kf dtekT t k f dte tf j F ωωωωωωδδδδω)()()()()()()()()()(根据Dirichlet 条件，只有在信号满足绝对可积条件——这里可以变成绝对可和条件：+∞<∑+∞-∞=k k f )(——时，FT 才存在。
第十一章 线性系统的状态变量分析法§11-1 引 言一、系统的描述方法系统数学模型表示方法可以分为两类：1、 输入输出方程法（IO ）法：描述系统输入、输出之间的关系。
其结果往往是单变量（高阶）微分或差分方程。
例如：其中只有一个方程，但这是一个高阶的方程；其中只含有一个位置的函数)(t r 或者)(k r离散系统的例子：➢ 系统按其输入和输出情况，可以分为以下两类：1） 单输入单输出系统（SISO ）2） 多输入多输出系统（MIMO ）本课程前面各章的描述，多集中于SISO系统。
但是如果是MIMO 系统，描述就比较复杂了。
例如，一个3阶2输入2输出的系统，就可能要用两个3阶微分（或者差分）方程描述：例如：● 如何求解MIMO 系统响应？➢用IO法描述系统，比较简单、直观，方程求解简单；➢但是无法了解系统内部状态，➢在求解MIMO系统时不方便。
2、状态变量描述法：将系统用状态方程（多个一阶微分或差分构成的方程组）和输出方程描述。
➢这种方法的优点是：1）可以了解系统内部各个部分的情况；2）有利于MIMO系统分析；3）方程的构成和求解比较规则，有利于计算机辅助分析；4）可以得到系统的更多的特性，例如可观测性和可控制性等。
5）可以推广到非线性系统。
6）可以用于求解方程的数值解。
➢这种方法一般适合于大型复杂系统的分析，适合于用计算机求解。
————对于一般简单的SISO系统分析，有时反而显得比较麻烦。
➢状态变量方法在自动控制、检测、滤波等多个场合都有很重要的作用。
本章中重点介绍系统的状态变量描述法。
这里侧重介绍连续时间系统的状态变量描述方法，对于离散时间系统的状态变量描述方法也可以以此类推。
§11-2 系统的状态变量描述法一、 状态变量与状态方程从一个例子讲起：例：在外力作用下一维运动物体的状态方程描述问题。
假设物体的质量为m ，在t 时刻的位置为)(t x ，所受的外力为)(t f 。
第三章信号的时域分解§3-1 引言●线性系统分析方法，是将复杂信号分解为简单信号之和（或积分），通过系统对简单信号的响应求解系统对复杂信号的响应。
●在时域中，近代时域法将信号分解为冲激信号的积分，根据系统的冲激响应通过卷积计算出系统对信号的响应。
●而在频域法中，我们将信号分解为一系列正弦函数的和（或积分），通过系统对正弦信号的响应求解系统对信号的响应。
●频域在工程中也有很重要的意义。
很多信号的特性与频域都有很重要的关系。
研究频域可以得到很多具有实用价值的结论。
如上章所述，通过信号分解的方法求解响应要研究下面几个问题：1）如何将任意信号分解为一系列正弦信号之和（或积分）。
2）如何求系统对各个正弦子信号的响应，这个内容在电路分析课程中已经有详细介绍；3） 如何将各子信号的响应相叠加，从而合成系统对激励信号的响应。
本章将要研究的就是如何对信号进行分解和合成。
§3-2 信号在正交函数集中的分解为了形象地说明信号的分解，首先我们讨论矢量的分解。
一、矢量的分解 1、矢量的定义2、矢量运算：加，标量乘法，矢量乘法3、矢量的分解：1） 矢量的单矢量基的分解：11A c 近似矢量A ——误差尽可能小。
ε+=11A A c从几何或者解析角度，都可以得到使误差最小的系数为：1111A A A A =c其中的1c 称为矢量A 和1A 的相似系数。
如果01=c （或01=A A ），则表明A 和1A 相垂直（又称为正交）。
2） 矢量的多矢量基分解：将矢量表示成为一系列标准矢量（基）的线性组合：∑==+++=ni i i n n c c c c 12211...A A A A A✧ 显然，如果知道了标准矢量i A 和相应的系数i c ，就可以确定任意矢量。
✧ 如何确定最佳的系数i c ？情况比较复杂，对于特定的i 而言，i c 不仅与特定的i A 有关，与其它的标准矢量也有关系。
但是如果矢量i A 两两正交，可以证明：ii i i c A A A A =4、标准矢量基的几个限制条件：1）归一化：标准矢量的模等于1——方便计算 2）正交化：标准矢量两两正交3）完备性：可以不失真地组合出任意矢量二、信号的分解与矢量分解相似，我们也可以推导出信号分解。
