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椭圆的参数方程(学案)

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长垣一中高二文科数学学案 编号：选修4-4（2013-12-15） 制作人：王常芳 审核：李 莹

椭圆的参数方程

班级：_______ 姓名：_______小组：__________ 评价：__________

【学习目标】

1.了解椭圆的参数方程及其参数的意义

2.能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程

【学习重点】

椭圆参数方程的定义和应用

【学习难点】

1.选择适当的参数写出椭圆的参数方程

2.正确理解椭圆离心角的几何意义

【课堂六环节】

一、导——教师导入新课。（2-3分钟）

如图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.

二、思——自主学习。学生结合课本自主学习，完成下列相关内容。(13分钟)

椭圆 ）（012222babyax的参数方程为sincosbyax（为参数）

1.在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆的 和 . （其中a>b）

2.称为离心角，规定参数的取值范围是 3.当焦点在y轴时椭圆的标准方程：_________________________与其对应的参数方程为：

___________________

【典型例题】

例1、写出下列普通方程化为参数方程.

例2、写出下列参数方程的普通方程

例3、在椭圆14922yx上求一点M，使点M到直线0102yx的距离最小，并求出最小距离

2222(1)1(2)14916xyyx3cos8cos(1)(2)5sin10sinxxyyOAMxyNB长垣一中高二文科数学学案 编号：选修4-4（2013-12-15） 制作人：王常芳 审核：李 莹

例4、动点),(yxP在曲线14922yx上变化，求yx32的最大值和最小值

三、议——学生起立讨论。根据以上学习的内容进行小组集体讨论。（9分钟）

四、展——学生激情展示。小组代表或教师随机指定学生展示。（8分钟）

五、评——教师点评，教师总结规律，点评共性问题，或拓展延伸。（9分钟）

六、检——课堂检测。（3分钟）

【当堂检测】

1.已知椭圆的参数方程为sincos2yx(是参数) ，则此椭圆的长轴长为 ，短轴长为 焦点坐标是 ，离心率是 。

2．椭圆sin5cos3yx（为参数）的两个焦点坐标是（ ）

)3,0(),3,0.(A )4,0(),4,0.(B )0,4(),0,4.(C )0,5(),0,5.(D

3.椭圆sin4cos3yx（为参数）的离心率是为 .

5.把参数方程sincos3yx（为参数）化成普通方程，并求焦点坐标，离心率。

6.写出椭圆1162522yx的参数方程。

7．已知椭圆)0(12222babyax上任意一点M（除短轴端点外）与短轴两端点1B，2B的连线分别与x轴交于P，Q两点，O为椭圆的中心，求OQOP的值

8.已知椭圆22110064xy有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积。

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2.2.1椭圆的参数方程(学生学案)

2.2.1椭圆的参数方程(学生学案)

SCH南极数学高中同步教学设计 人教A版选修4-4《坐标系与参数方程》

1 2.2.1椭圆的参数方程（学生学案）

例1:把下列普通方程化为参数方程，把下列参数方程化为普通方程。

变1：已知椭圆的参数方程为2cossinxy (  是参数) ，则此椭圆的长轴长为（ ），短轴长为（ ），焦点坐标是（ ），离心率是（ ）。

例2（课本P28例1）：在椭圆22194xy 上求一点M，使点M到直线x+2y-10=0的距离最小，并求出最小距离。

变式训练2.已知椭圆 12222byax ,求椭圆内接矩形面积的最大值.

例3:已知A,B两点是椭圆22194xy与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.

课堂练习：

1、动点P(x,y)在曲线22194xy上 ，求2x+3y的最大值和最小值

2、θ取一切实数时，连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,6sinθ)两点的线段的中点轨迹是（ ）.

A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 线段

(3cos,2sin).(2,3).(3,0).(1,3).(0,)2PABCD3、当参数变化时，动点所确定的曲线必过点 点 点 点

课时必记：

（1）椭圆12222byax（a>b>0）参数方程 sincosbyax （为参数）；

（2）椭圆22221(0)yxabba的参数方程是cossinxbya（为参数）

SCH南极数学高中同步教学设计 人教A版选修4-4《坐标系与参数方程》

椭圆参数方程教学设计

椭圆参数方程教学设计

1 / 6 椭圆的参数方程教学设计

一、基本说明

1、教学内容所属模块：选修4-4

2、年级：高三

3、所用教材出版单位：人民教育出版社（A版）

4、所属的章节：第二讲第二节第1课时

5、学时数：45 分钟

二、教学设计

（一）、内容分析

1、内容来源

普通高中课程标准试验教科书 人民教育出版社A版 数学选修4-4第二讲第三课时：椭圆的参数方程

2、地位与作用

参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式。本节知识以学生学习和了解了椭圆的普通方程和圆的参数方程为载体，从另一个角度认识椭圆。在建立椭圆方程过程中，展示引进参数的意义和作用。以及根据椭圆的特点，选取适当的方程表示形式，体现解决有关椭圆问题中数学方法的灵活性，拓展学生的思路，开阔学生的视野。

（二）、教学目标

1、知识与技能：

（1）理解椭圆的参数方程及其参数的几何意义。

（2）引导学生体验构造参数法的应用思想，探讨如何运用参数方程在解决与椭圆有关问题。

（3）会根据条件构造参数方程实现问题的转化，达到解题的目的。

2、 过程和方法：

（1）通过以熟悉的椭圆为载体，进一步学习建立参数方程的基本步骤，加深对参数方程的理解，同时引导学生从不同角度认识椭圆的几何性质，体会参数对研究曲线问题的作用。

（2）通过利用信息技术从参数连续变化而形成椭圆的过程中认识参数的几何意义。

3、 情感、态度和价值：

通过师生共同探究进一步学习建立参数方程的基本步骤，加深对参数方程的理解，体会参数法的应用。同时引导学生从不同角度认识椭圆的几何性质。以及用参数方程解决某些曲线问题的过程中分享体会类比思想、数形结合的思想、构造转化思想。培养学生用“了解”的观点看问题，进一步增强“代数”与“几何”的了解，培养学生学好数学的信心。

（三）、教学重点、难点

重点：椭圆的参数方程及其参数的几何意义

难点：巧用椭圆的参数方程解题

椭圆的参数方程中参数的几何意义

椭圆的参数方程中参数的几何意义

椭圆的参数方程中参数的几何意义：

红点M的轨迹是椭圆，M(x,y)=(|OA|cosφ，|OB|sinφ)

所以离心角φ就是那条倾斜直线的角。

周长

椭圆周长计算公式：L=T（r+R）

T为椭圆系数，可以由r/R的值，查表找出系数T值；r为椭圆短半径；R为椭圆长半径。

椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半径与长半径之和与该椭圆系数的积（包括正圆）。

几何关系

点与椭圆

点M（x0，y0）椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1；

点在圆内：x02/a2+y02/b2<1；

点在圆上：x02/a2+y02/b2=1；

点在圆外：x02/a2+y02/b2>1；

跟圆与直线的位置关系一样的：相交、相离、相切。

直线与椭圆

y=kx+m①

x2/a2+y2/b2=1②

由①②可推出x2/a2+（kx+m）2/b2=1

相切△=0

相离△<0无交点 相交△>0可利用弦长公式：设A（x1，y1）B（x2，y2）

求中点坐标

根据韦达定理x1+x2=-b/a，x1x2=c/a

代入直线方程可求出（y1+y2）/2=可求出中点坐标。

|AB|=d=√（1+k2）[（x1+x2）2-4x1*x2]=√（1+1/k2）[（y1+y2）2-4y1y2]

手绘法

1、：画长轴AB，短轴CD，AB和CD互垂平分于O点。

2、：连接AC。

3、：以O为圆心，OA为半径作圆弧交OC延长线于E点。

4、：以C为圆心，CE为半径作圆弧与AC交于F点。

5、：作AF的垂直平分线交CD延长线于G点，交AB于H点。

6、：截取H，G对于O点的对称点H’，G’⑺：H，H’为长轴圆心，分别以HA、H‘B为半径作圆；G，G’为短轴圆心，分别以GC、G‘D为半径作圆。

用一根线或者细铜丝，铅笔，2个图钉或大头针画椭圆的方法：先画好长短轴的十字线，在长轴上以圆点为中心先找2个大于短轴半径的点，一个点先用图钉或者大头针栓好线固定住，另一个点的线先不要固定，用笔带住线去找长短轴的4个顶点。

椭圆参数方程的应用

椭圆参数方程的应用

椭圆参数方程的应用

【例3】 (2016·新课标全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 x＝3cosα，y＝sinα(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝22.

(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．

【解】 (1)C1的普通方程为x23＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.

(2)由题意，可设点P的直角坐标为(3cosα，sinα)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，d(α)＝|3cosα＋sinα－4|2＝2|sin(α＋π3)－2|.当且仅当α＝2kπ＋π6(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为2，此时P的直角坐标为(32，12).

【总结反思】

一般地，如果题目中涉及圆、椭圆上的动点或求最值范围问题时可考虑用参数方程，设曲线上点的坐标，将问题转化为三角恒等变换问题解决，使解题过程简单明了.

在极坐标中，曲线C的方程为ρ2＝31＋2sin2θ，点R坐标为22，π4.

(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，点R的极坐标化为直角坐标；

(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时点P的直角坐标．

解：(1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x23＋y2＝1.点R的直角坐标为(2,2)．

(2)设P(3cosθ，sinθ)，根据题意可得|PQ|＝2－3cosθ，|QR|＝2－sinθ，∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin(θ＋60°)．当θ＝30°时，|PQ|＋|QR|取最小值2，∴矩形PQRS周长的最小值为4，此时点P的直角坐标为32，12.