【精品】2017-2018学年北京市东城区高三(上)期末数学试卷(理科)
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第1页（共23页）2017-2018学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项．
1．（5.00分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B={x|x＜﹣1或x＞2}，则
A∩B=（）
A．{﹣2，3}B．{0，1}C．{﹣2，﹣1，2，3}D．{﹣1，0，1，2}
2．（5.00分）函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是（）
A．2πB．πC．D．
3．（5.00分）执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）
A．1 B．2 C．D．
4．（5.00分）若x，y满足，则x﹣y的最小值为（）
A．﹣5 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣
1
第2页（共23页）5．（5.00分）已知函数，则f（x）的（）
A．图象关于原点对称，且在[0，+∞）上是增函数
B．图象关于y轴对称，且在[0，+∞）上是增函数
C．图象关于原点对称，且在[0，+∞）上是减函数
D．图象关于y轴对称，且在[0，+∞）上是减函数
6．（5.00分）设为非零向量，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．（5.00分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（）
A．B．C．D．1
8．（5.00分）现有n个小球，甲、乙两位同学轮流且不放回抓球，每次最少抓1
个球，最多抓3个球，规定谁抓到最后一个球赢．如果甲先抓，那么下列推断正
确的是（）
A．若n=4，则甲有必赢的策略B．若n=6，则乙有必赢的策略
C．若n=9，则甲有必赢的策略D．若n=11，则乙有必赢的策略
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．（5.00分）若复数（1+i）（a﹣i）为纯虚数，则实数a=．
10．（5.00分）在（1+2x）5
的展开式中，x2
的系数等于．（用数字作答）
11．（5.00分）已知{a
n}是等差数列，S
n为其前n项和，若a
1=6，a
4+a
6=4，则
S
5=
．
第3页（共23页）12．（5.00分）在极坐标系中，若点在圆ρ=2cosθ外，则m的
取值范围为．
13．（5.00分）双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离
为1，则b=；若C
1双曲线与C不同，且与C有相同的渐近线，则C
1的
方程可以是．
14．（5.00分）如图1，分别以等边三角形ABC的每个顶点为圆心、以边长为半
径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形ABC称为勒洛三角形
ABC，等边三角形的中心P称为勒洛三角形的中心．如图2，勒洛三角形ABC夹
在直线y=0和直线y=2之间，且沿x轴滚动，设其中心P（x，y）的轨迹方程为
y=f（x），则f（x）的最小正周期为；
对y=f（x）的图象与性质有如下描述：
①中心对称图形；②轴对称图形；③一条直线；④最大值与最小值
的和为2．
其中正确结论的序号为．（注：请写出所有正确结论的序号）
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（13.00分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，
2sinA=sinC．
（Ⅰ）求c的长；
（Ⅱ）若，求△ABC的面积．
16．（13.00分）中国特色社会主义进入新时代，我国经济已由高速增长阶段装箱
高质量发展阶段．货币政策是宏观经济调控的重要手段之一，
对我国经济平稳运
第4页（共23页）行、高质量发展发挥着越来越重要的作用．某数学课外活动小组为了研究人民币
对某国货币的汇率与我国经济发展的关系，统计了2017年下半年某周五个工作
日人民币对该国货币汇率的开盘价和收盘价，如表：
周一周二周三周四周五
开盘价164165170172a
收盘价164164169173170
（Ⅰ）已知这5天开盘价的中位数与收盘价的中位数相同，求a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，从这5天中随机选取3天，其中开盘价比当日收盘价
低的天数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ；
（Ⅲ）在下一周的第一个工作日，收盘价为何值时，这6天收盘价的方差最小．（只
需写出结论）
17．（14.00分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面ADE⊥平面ABCD，O，M为
线段AD，DE的中点，四边形BCDO是边长为1的正方形，AE=DE，AE⊥DE．
（Ⅰ）求证：CM∥平面ABE；
（Ⅱ）求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；
（Ⅲ）点N在直线AD上，若平面BMN⊥平面ABE，求线段AN的长．
18．（13.00分）已知函数．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）＜a对恒成立，a的最小值．
19．（14.00分）已知椭圆C：的离心率等于，经过其左
焦点F（﹣1，0）且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于两点M，N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）O为坐标原点，在x轴上是否存在定点Q，使得点F到直线QM，QN
的距
第5页（共23页）离总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（13.00分）已知数列A：a
1，a
2，…，a
n（n≥2）满足且1≤a
i≤i（i=1，
2，…，n），数列B：b
1，b
2，…，b
n（n≥2）满足b
i=τ（a
i）+1（i=1，2，…，n），
其中τ（a
1）=0，τ（a
i）（i=1，2，…，n）表示a
1，a
2，…，a
i﹣1中与a
i不相等的
项的个数．
（Ⅰ）数列A：1，1，2，3，4，请直接写出数列B；
（Ⅱ）证明：b
i≥a
i（i=1，2，…，n）
（Ⅲ）若数列A相邻两项均不相等，且B与A为同一个数列，证明：a
i=i（i=1，
2，…，n）
．
第6页（共23页）2017-2018学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项．
1．（5.00分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B={x|x＜﹣1或x＞2}，则
A∩B=（）
A．{﹣2，3}B．{0，1}C．{﹣2，﹣1，2，3}D．{﹣1，0，1，2}
【分析】根据交集的定义写出A∩B即可．
【解答】解：集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，
B={x|x＜﹣1或x＞2}，
则A∩B={﹣2，3}．
故选：A．
【点评】本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题．
2．（5.00分）函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是（）
A．2πB．πC．D．
【分析】根据三角函数的性质，两条相邻对称轴之间的距离为半个周期，即可得
答案．
【解答】解：函数，
其周期T==π
两条相邻对称轴之间的距离为半个周期，即．
故选：C．
【点评】本题考查正弦函数的对称轴和周期的关系，属于基础题．
3．（5.00分）执行如图所示的程序框图，输出的x值为（
）
第7页（共23页）A．1 B．2 C．D．
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变
量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：模拟程序的运行，可得
x=1，b=1
x=2
不满足条件|x﹣b|，执行循环体，b=2，x=
此时，满足条件|x﹣b|=，退出循环，输出x的值为．
故选：D．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，
以便得出正确的结论，是基础题．
4．（5.00分）若x，y满足，则x﹣y的最小值为（）
A．﹣5 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣
1
第8页（共23页）【分析】画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最小值．
【解答】解：x，y满足的区域如图：设z=x﹣y，
则y=x﹣z，
当此直线经过A（0，3）时z最小，所以z 的最小值为0﹣3=﹣3；
故选：B．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，比较
基础．
5．（5.00分）已知函数，则f（x）的（）
A．图象关于原点对称，且在[0，+∞）上是增函数
B．图象关于y轴对称，且在[0，+∞）上是增函数
C．图象关于原点对称，且在[0，+∞）上是减函数
D．图象关于y轴对称，且在[0，+∞）上是减函数
【分析】根据函数的奇偶性判断函数的图象关于y轴对称，根据不等式的性质判
断函数的单调性即可．
【解答】解：=2x
+，
故f（﹣x）=2﹣x
+=2x
+=f（x）
，
第9页（共23页）且f′（x）=2x
ln2﹣2﹣x
ln2=ln2（2x
﹣）＞0，
故函数在[0，+∞）递增，
故选：B．
【点评】本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，是一道基础题．
6．（5.00分）设为非零向量，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据向量数量积的公式，结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的
关键．
【解答】解：由得2
+2?+2
=2
﹣2?+2
，
即4?=0，则?=0，
反之也成立，
即“”是“”的充要条件，
故选：C．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用向量数量积的关系是解
决本题的关键．
7．（5.00分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（）
A．B．C．D．1
【分析】
由几何体的三视图得到该几何体的直观图，由此能求出结果．
