2018-2019学年北京市东城区高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版)

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2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（文科）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项．

1．（5分）若集合A＝{x|﹣2＜x≤0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（ ）

A．{﹣2，﹣1} B．{﹣2，0} C．{﹣1，0} D．{﹣2，﹣1，0}

2．（5分）下列复数为纯虚数的是（ ）

A．1+i2 B．i+i2 C

． D．（1﹣i）2

3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边在射线y＝2x（x≥0）上，

则cosα的值是（ ）

A

． B

． C

． D

．

4．（5分）若x，y

满足则x+2y的最小值为（ ）

A．0 B．4 C．5 D．10

5．（5分）执行如图所示的程序框图，输入n＝5，m＝3，那么输出的p值为（ ）

A．360 B．60 C．36 D．12

6．（5分）设a，b，c，d为实数，则“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（ ）

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A．2 B． C． D．3

8．（5分）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与

地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和

7.5级，若它们释放的能量分别为E

1和E

2

，则的值所在的区间为（ ）

A．（1，2） B．（5，6） C．（7，8） D．（15，16）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．（5

分）已知向量＝（1，﹣2）

，＝（2，m）

，若

⊥，则m＝ ．

10．（5分）在△ABC中，已知a＝1

，

，，则c＝ ．

11．（5分）若等差数列{a

n}和等比数列{b

n}满足a

1＝﹣1，b

1＝2，a

3+b

2＝﹣1，试写出一组

满足条件的数列{a

n}和{b

n}的通项公式：a

n＝ ，b

n＝ ．

12．（5

分）过双曲线的右焦点F作垂直于x轴的直线，交双曲

线于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB为等腰直角三角形，则双曲线的离心率e

＝ ．

13．（5分）小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线，为了解自己记忆一组单词的情

况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制散点图，拟合了记忆保持量与时间（天）之

间的函数关系：

某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论：

①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低；

②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%；

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③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%．

其中正确的结论序号有 ．（注：请写出所有正确结论的序号）

14．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣4x，g（x）＝sinωx（ω＞0）．若∀x∈[﹣a，a]，都有f（x）

g（x）≤0，则a的最大值为 ；此时ω＝ ．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（13分）已知等差数列{a

n}满足a

1＝1，a

2+a

4＝10．

（Ⅰ）求{a

n}的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列{b

n}的前n项和．

16．（13分）已知函数．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求证：对于任意的，都有．

17．（13分）某中学有学生500人，学校为了解学生课外阅读时间，从中随机抽取了50名

学生，收集了他们2018年10月课外阅读时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整

理，分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，得到如图所示的

频率分布直方图．

（Ⅰ）试估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数；

（Ⅱ）已知这50名学生中恰有2名女生的课外阅读时间在[18，20]，现从课外阅读时间

在[18，20]的样本对应的学生中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率；

（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该校学生2018年10月

课外阅读时间的平均数．

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18．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A

1B

1C

1中，侧棱垂直于底面，A

1B

1⊥B

1C

1，AA

1＝AB＝2，

BC＝1，E为A

1C

1中点．

（Ⅰ）求证：A

1B⊥平面AB

1C

1；

（Ⅱ）求三棱锥B﹣ECC

1的体积；

（Ⅲ）设平面EAB与直线B

1C

1交于点H，求线段B

1H的长．

19．（13

分）已知函数，a∈R．

（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（Ⅱ）求f（x）的单调区间．

20．（14分）已知椭圆C

：

的离心率为，其左焦点为F

1（﹣1，0）．直

线l：y＝k（x+2）（k≠0）交椭圆C于不同的两点A，B，直线BF

1与椭圆C的另一个交

点为E．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）当时，求△F

1AB的面积；

（Ⅲ）证明：直线AE与x轴垂直．

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2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（文

科）

参考答案与试题解析

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项．

1．【解答】解：∵集合A表示﹣2到0的所有实数，

集合B表示5个整数的集合，

∴A∩B＝{﹣1，0}，

故选：C．

2．【解答】解：∵1+i2＝1﹣1＝0，i+i2＝i﹣1

，，（1﹣i）2＝1﹣2i+i2

＝﹣2i．

∴为纯虚数的是（1﹣i）2．

故选：D．

3．【解答】解：角α以Ox为始边，终边在射线y＝2x（x≥0）上，在终边上任意取一点（1，

2），

则cosα

＝

＝，

故选：A．

4．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，

由z＝x+2y，得y

＝﹣x

+，平移直线y

＝﹣x

+，由图象可知当直线经过点A（2，1）

时，

直线y

＝﹣x

+的截距最小，此时z最小，

此时z＝2+2×1＝4．

故选：B．

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5．【解答】解：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的p的值， 可得程序框图实质是计算排列数的值，

当n＝5，m＝3时，可得：＝60．

故选：B．

6．【解答】解：由c＞d，则“a＞b”⇒“a+c＞b+d”，反之不成立．

例如取c＝5，d＝1，a＝2，b＝3．满足c＞d，“a+c＞b+d”，但是a＞b不成立．

∴c＞d，则“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的充分不必要条件．

故选：A．

7．【解答】解：由三棱锥的三视图知该三棱锥是如图所示的三棱锥P﹣ABC，

其中PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝2，BC＝1，

∴PB＝＝＝3，

∴在该三棱锥中，最长的棱长为PB＝3．

故选：D．

8．【解答】解：lgE＝4.8+1.5M，

∴lgE

1＝4.8+1.5×8＝16.8，lgE

2＝4.8+1.5×7.5＝16.05，

∴E

1＝1016.8，E

2＝1016.05，

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∴＝100.75，

∵100.75＞90.75＝31.5＝3×＞5，

∴的值所在的区间为（5，6），

故选：B．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．【解答】

解：∵；

∴；

∴m＝1．

故答案为：1．

10．【解答】解：在△ABC中，已知a＝1

，

，，

∴sinC

＝，

由正弦定理可得

＝，

∴c

＝＝4，

故答案为：4．

11．【解答】解：等差数列{a

n}的公差设为d，

等比数列{b

n}的公比设为q，

a

1＝﹣1，b

1＝2，a

3+b

2＝﹣1，

可得﹣1+2d+2q＝﹣1，

即为d＝﹣q，

可取d＝﹣1，可得q＝1，

则a

n＝﹣1﹣（n﹣1）＝﹣n；

b

n＝2．

故答案为：﹣n，2．

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12．【解答】

解：过双曲线的右焦点F作垂直于x轴的直线，交

双曲线于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB为等腰直角三角形，

可得c

＝，即ac＝c2﹣a2，可得：e2﹣e﹣1＝0，e＞1，

解得：e

＝．

故答案为：．

13．【解答】

解：，

可得f（x）随着x的增加而减少，故①正确；

当1＜x≤30时，f（x

）＝

+

x，

f（9

）＝

+•

9＝0.35，

9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故②正确；

f（26

）＝

+•

26

＞，故③错误．

故答案为：①②．

14．【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣4x，g（x）＝sinωx（ω＞0）均为奇函数．

∴只需考虑∀x∈[0，a]，都有f（x）g（x）≤0即可．

∵函数f（x）＝x3﹣4x在[0，2]满足f（x）≤0，在[2，+∞）满足f（x）≥0，

∴当且仅当在[0，2]上g（x）≥0，在[2，a]满足g（x）≤0，

a才能取到最大值，（如图）．

此时

，，a＝4．