2020-2021中考数学 锐角三角函数 综合题含答案解析
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2020-2021中考数学 锐角三角函数 综合题含答案解析
一、锐角三角函数
1．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB∥CD， ∠ACB =90°， AB=10cm， BC=8cm， OD 垂直平分 A C．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点
P作 PE⊥AB，交 BC 于点 E，过点 Q 作 QF∥AC，分别交 AD， OD 于点 F， G．连接 OP，EG．设运动时间为 t ( s )（0＜t＜5） ，解答下列问题：
（1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？
（2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm2) ，求 S 与 t 的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t
的值；若不存在，请说明理由；
（4）连接 OE， OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE⊥OQ？若存在，求出t
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）4st=；（2）PEGOS四边形2315688tt ，(05)t；（3）52t时，PEGOS四边形取得最大值；（4）165t时，OEOQ.
【解析】
【分析】
（1）当点E在∠BAC的平分线上时，因为EP⊥AB，EC⊥AC，可得PE=EC，由此构建方程即可解决问题．
（2）根据S四边形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+（S△OPC+S△PCE-S△OEC）构建函数关系式即可．
（3）利用二次函数的性质解决问题即可．
（4）证明∠EOC=∠QOG，可得tan∠EOC=tan∠QOG，推出ECGQOCOG，由此构建方程即可解决问题．
【详解】
（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm，
∴AC=22108=6（cm），
∵OD垂直平分线段AC，
∴OC=OA=3（cm），∠DOC=90°，
∵CD∥AB， ∴∠BAC=∠DCO，
∵∠DOC=∠ACB，
∴△DOC∽△BCA，
∴ACABBCOCCDOD，
∴61083CDOD，
∴CD=5（cm），OD=4（cm），
∵PB=t，PE⊥AB，
易知：PE=34t，BE=54t，
当点E在∠BAC的平分线上时，
∵EP⊥AB，EC⊥AC，
∴PE=EC，
∴34t=8-54t，
∴t=4．
∴当t为4秒时，点E在∠BAC的平分线上．
（2）如图，连接OE，PC．
S四边形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+（S△OPC+S△PCE-S△OEC）
=1414153154338838252524524ttttt
=281516(05)33ttt．
（3）存在．
∵28568(05)323Stt，
∴t=52时，四边形OPEG的面积最大，最大值为683．
（4）存在．如图，连接OQ．
∵OE⊥OQ， ∴∠EOC+∠QOC=90°，
∵∠QOC+∠QOG=90°，
∴∠EOC=∠QOG，
∴tan∠EOC=tan∠QOG，
∴ECGQOCOG，
∴358544345ttt，
整理得：5t2-66t+160=0，
解得165t或10（舍弃）
∴当165t秒时，OE⊥OQ．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.
2．在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=12 ∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．
（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；
（2）通过观察、测量、猜想：BFPE= ，并结合图2证明你的猜想；
（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求BFPE的值．（用含α的式子表示）
【答案】（1）证明见解析（2）12BFPE （3）1tan2BFPE
【解析】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，
∴OB="OP" ， ∠BOC=∠BOG=90°． ∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO．
∴∠GBO=∠EPO ．∴△BOG≌△POE（AAS）．
（2）BF1PE2．证明如下：
如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，
∴∠PNE=∠BOC=900， ∠BPN=∠OCB．
∵∠OBC=∠OCB =450， ∴∠NBP=∠NPB．
∴NB=NP．
∵∠MBN=900—∠BMN，
∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE．
∴△BMN≌△PEN（ASA）．∴BM=PE．
∵∠BPE=12∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF．
∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=900．
又∵PF=PF， ∴△BPF≌△MPF（ASA）．∴BF="MF" ，即BF=12BM．
∴BF=12PE， 即BF1PE2．
（3）如图，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，
∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900．
由（2）同理可得BF=12BM， ∠MBN=∠EPN．
∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN∽△PEN．
∴BMBNPEPN．
在Rt△BNP中，BNtan=PN， ∴BM=tanPE，即2BF=tanPE． ∴BF1=tanPE2．
（1）由正方形的性质可由AAS证得△BOG≌△POE．
（2）过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，通过ASA证明△BMN≌△PEN得到BM=PE，通过ASA证明△BPF≌△MPF得到BF=MF，即可得出BF1PE2的结论．
（3）过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，同（2）证得BF=12BM，
∠MBN=∠EPN，从而可证得△BMN∽△PEN，由BMBNPEPN和Rt△BNP中BNtan=PN即可求得BF1=tanPE2．
3．如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：
（1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME的度数．
（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．
（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．
【答案】（1）∠BME=15°；
（2BC=4；
（3）h≤2时，S=﹣h2+4h+8，
当h≥2时，S=18﹣3h．
【解析】
试题分析：（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度数，需先求出∠CMA的度数．根据三角形外角的定理进行解答即可；
（2）如图3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，通过解直角△BOC就可求出BC的长度；
（3）需要分类讨论：①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，S=S△EDC﹣S△EFM；②当h≥2时，如图3，S=S△OBC． 试题解析：解：（1）如图2，
∵在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．
∴OA=OB，
∴∠OAB=45°，
∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，
∴∠OCE=60°，
∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°，
∴∠BME=∠CMA=15°；
如图3，
∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，
∴∠OBC=∠DEC=30°，
∵OB=6，
∴BC=4；
（3）①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，
∵CD=4，DE=4，AC=h，AN=NM，
∴CN=4﹣FM，AN=MN=4+h﹣FM，
∵△CMN∽△CED，
∴， ∴，
解得FM=4﹣，
∴S=S△EDC﹣S△EFM=×4×4﹣（44﹣h）×（4﹣）=﹣h2+4h+8，
②如图3，当h≥2时，
S=S△OBC=OC×OB=（6﹣h）×6=18﹣3h．
考点：1、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形
4．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F点．若AB=6cm．
（1）AE的长为 cm；
（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；
（3）求点D′到BC的距离．
【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm．
【解析】
试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案：
∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．
∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，∴（cm）．
∵点E为CD边上的中点，∴AE=DC=cm．
（2）首先得出△ADE为等边三角形，进而求出点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC于点P，根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案．
（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，进而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），则∠D′BG=45°，D′G=GB，进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离．
试题解析：解：（1）．
（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°，
∵E为CD边上的中点，∴DE=AE．∴△ADE为等边三角形．
