2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(浙江卷,含解析)
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实用文档 2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（浙江卷，含解析）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、已知集合223xxx，Q24xx，则Q（ ）
A．3,4 B．2,3 C．1,2
D．1,3
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意得，|31Pxxx或，所以[3,4)PQ，故选A.
考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的交集运算.
2、某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）
A．83cm B．123cm
C．3233cm D．4033cm
【答案】C
实用文档 考点：1.三视图；2.空间几何体的体积.
3、设a，b是实数，则“0ab”是“0ab”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质.
4、设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m（ ）
A．若l，则 B．若，则lm
C．若//l，则// D．若//，则//lm
【答案】A
【解析】
试题分析：采用排除法，选项A中，平面与平面垂直的判定，故正确；选项B中，当时，,lm可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项C中，//l时，,可以相交；选
实用文档 项D中，//时，,lm也可以异面.故选A.
考点：直线、平面的位置关系.
5、函数1cosfxxxx（x且0x）的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：因为11()()cos()cos()fxxxxxfxxx，故函数是奇函数，所以排除A, B；取x，则11()()cos()0f，故选D.
考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.
6、有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m）分别为x，y，z，且xyz，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m）分别为a，b，c，且abc．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（ ）
A．axbycz B．azbycx C．aybzcx D．aybxcz
【答案】B
实用文档 考点：1.不等式性质；2.不等式比较大小.
7、如图，斜线段与平面所成的角为60，为斜足，平面上的动点满足30，则点的轨迹是（ ）
A．直线 B．抛物线
C．椭圆 D．双曲线的一支
【答案】C
【解析】
试题分析：由题可知，当P点运动时，在空间中，满足条件的AP绕AB旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C.
考点：1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系.
8、设实数a，b，t满足1sinabt（ ）
A．若t确定，则2b唯一确定 B．若t确定，则22aa唯一确定
实用文档 C．若t确定，则sin2b唯一确定 D．若t确定，则2aa唯一确定
【答案】B
【解析】
试题解析：因为1sinabt，所以222(1)sinabt，所以2221aat，故当t确定时，21t确定，所以22aa唯一确定.故选B.
考点：函数概念
二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．）
9、计算：22log2 ，24log3log32 ．
【答案】1,332
考点：对数运算
10、已知na是等差数列，公差d不为零．若2a，3a，7a成等比数列，且1221aa，则1a ，d ．
【答案】2,13
【解析】
试题分析：由题可得，2111(2)()(6)adadad，故有1320ad，又因为
实用文档 1221aa，即131ad，所以121,3da.
考点：1.等差数列的定义和通项公式；2.等比中项.
11、函数2sinsincos1fxxxx的最小正周期是 ，最小值是 ．
【答案】32,2
【解析】
试题分析：211cos2113sinsincos1sin21sin2cos222222xfxxxxxxx
23sin(2)242x，所以22T；min32()22fx.
考点：1.三角函数的图象与性质；2.三角恒等变换.
12、已知函数2,166,1xxfxxxx，则2ff ，fx的最小值是 ．
【答案】1;2662
考点：1.分段函数求值；2.分段函数求最值.
13、已知1e，2e是平面单位向量，且1212ee．若平面向量b满足121bebe，则b ．
实用文档 【答案】233
【解析】
试题分析：由题可知，不妨1(1,0)e，213(,)22e，设(,)bxy，则11bex，213122bexy，所以3(1,)3b，所以123133b.
考点：1.平面向量数量积运算；2.向量的模.
14、已知实数x，y满足221xy，则2463xyxy的最大值是 ．
【答案】15
【解析】
试题分析： 22,2224631034,22xyyxzxyxyxyyx
由图可知当22yx时，满足的是如图的AB劣弧，则22zxy在点(1,0)A处取得最大值5；当
22yx时，满足的是如图的AB优弧，则1034zxy与该优弧相切时取得最大值，故
1015zd，所以15z，故该目标函数的最大值为15.
实用文档 考点：1.简单的线性规划；
15、椭圆22221xyab（0ab）的右焦点F,0c关于直线byxc的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．
【答案】22
考点：1.点关于直线对称；2.椭圆的离心率.
三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16. （本题满分14分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为,,abc.已知tan(A)24.
（1）求2sin2sin2cosAAA的值；
（2）若B,34a，求ABC的面积.
【答案】(1)25；(2)9
实用文档 考点：1.同角三角函数基本关系式；2.正弦定理；3.三角形面积公式.
17. （本题满分15分）已知数列na和nb满足，*1112,1,2(nN),nnabaa
*12311111(nN)23nnbbbbbn.
（1）求na与nb;
（2）记数列nnab的前n项和为nT，求nT.
【答案】(1)2;nnnabn；(2)1*(1)22()nnTnnN
【解析】
试题分析：(1)根据数列递推关系式，确定数列的特点，得到数列的通项公式；(2)根据(1)问得到新的数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和.
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考点：1.等差等比数列的通项公式；2.数列的递推关系式；3.错位相减法求和.
18. （本题满分15分）如图，在三棱锥111ABCABC中，011ABC=90=AC2,AA4,A，AB在底面ABC的射影为BC的中点，D为11BC的中点.
(1)证明: 11DABCA平面；
(2)求直线1AB和平面11BCBC所成的角的正弦值.
实用文档 【答案】(1)略；(2)78
(2)作1AFDE，垂足为F，连结BF.
因为AE平面1ABC，所以1BCAE.
因为BCAE，所以BC平面1AADE.
所以11,BCAFAF平面11BBCC.
所以1ABF为直线1AB与平面11BBCC所成角的平面角.
由2,90ABACCAB，得2EAEB.
实用文档 由AE平面1ABC，得1114,14AAABAE.
由1114,2,90DEBBDAEADAE，得172AF.
所以17sin8ABF
考点：1.空间直线、平面垂直关系的证明；2.直线与平面所成的角.
19. （本题满分15分）如图，已知抛物线211C4x：y=，圆222C(y1)1x：，过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线1C和圆2C相切，A，B为切点.
(1)求点A，B的坐标；
(2)求PAB的面积.
注：直线与抛物线有且只有一个公共点，
且与抛物线的对称轴不平行，则该直线
与抛物线相切，称该公共点为切点.
【答案】(1)222222(2,),(,)11ttAttBtt；(2)32t
实用文档 因为直线PA与抛物线相切，所以216160kkt，解得kt.
所以2xt，即点2(2,)Att.
设圆2C的圆心为(0,1)D，点B的坐标为00(,)xy，由题意知，点B,O关于直线PD对称，故有00001220yxtxty，
解得2002222,11ttxytt.即点22222(,)11ttBtt.
(2)由(1)知，21APtt，
直线AP的方程为20txyt，
所以点B到直线PA的距离为221tdt.
所以PAB的面积为3122tSAPd.
考点：1.抛物线的几何性质；2.直线与圆的位置关系；3.直线与抛物线的位置关系.
20. （本题满分15分）设函数2(),(,)fxxaxbabR.
(1)当214ab时，求函数()fx在[1,1]上的最小值()ga的表达式；
