函数极值与单调性的关联与差异

1 函数的单调性与极值（5月10日）

教学目标：正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；

掌握利用导数判断函数单调性的方法；

教学重点：利用导数判断函数单调性；

教学难点：利用导数判断函数单调性

教学过程：

一 引入：

以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1

二 新课讲授

1 函数单调性

我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342xxy的图像可以看到：在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即/y>0时，函数y=f(x) 在区间（2，）内为增函数；在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即/y0时，函数y=f(x) 在区间（，2）内为减函数.

定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y>0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；，如果在这个区间内/y<0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数。

例1 确定函数422xxy在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。

例2 确定函数76223xxy的单调区间。

x 0 2 y 2 )(4xf )(1xf

o a X1 X2 X3 X4 b x y 2 极大值与极小值

观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。

一般地，设函数y=f(x)在0xx及其附近有定义，如果)(0xf的值比0x附近所有各点的函数值都大，我们说f(0x)是函数y=f(x)的一个极大值；如果)(0xf的值比0x附近所有各点的函数值都小，我们说f(0x)是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点：

函数的单调性及其极值

单调性是函数的重要性态之一，它既决定着函数递增和递减的状况，又能帮助我们研究函数的极值，还能证明某些不等式和分析函数的图形。本节将以导数为工具，给出函数单调性的判别法及极值的求法。

一、函数的单调性

1、函数单调性的判定

为利用导数研究函数的单调性，我们首先来看图133)(a、)(b。图133)(a中函数)(xfy的图像在),(ba内沿x轴的正向上升，除点))(,(f处的切线平行于x轴外，

)(a )(b

图133

曲线上其余点处的切线与x轴的夹角均为锐角，即曲线)(xfy在区间),(ba内除个别点外切线的斜率为正；而图133)(b中函数)(xfy的图像在),(ba内沿x轴的正向下降，除个别点外，曲线上其余点处的切线与x轴的夹角均为钝角，即曲线)(xfy在区间),(ba内除个别点外切线的斜率为负。由此可见函数的单调性与导数的符号有着密切的联系。反过来，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？

下面我们利用拉格朗日中值定理来讨论。

设函数)(xf在区间I内可导，在I内任取两点1x和2x（21xx），在区间],[21xx上应用拉格朗日中值定理，得

)()()()(1212xxfxfxf （21xx） （1）

由于在（1）式中012xx，因此，若在I内导数)(xf的符号保持为正，即0)(xf，那么也有0)(f，于是

0)()()()(1212xxfxfxf

即 )()(21xfxf 表明函数)(xf在区间I上单调增加。同理，若在I内导数)(xf的符号保持为负，即0)(xf，那么也有0)(f，于是

江苏书人教育培训中心2013年暑假 新高一数学第16讲函数的性质

第1页 共4页 新高一数学第16讲 函数的单调性

一、知识要点

1.函数单调性的定义：一般地，设函数f（x）的定义域为D：如果对于属于D内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2当x 1 ＜x 2时，都有 f（x1）＜f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是增函数.

如果对于属于D内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x 1 ＜x 2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是减函数.

如果函数y ＝f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有严格的单调性，这一区间叫做y＝f（x）的单调区间，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.

注意：①函数的单调性也叫函数的增减性.

②函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.

③判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：

a.设x1、x2∈给定区间，且x 1 ＜x 2

b.计算f（x1）－f（x2）至最简;

c.判断上述差的符号;

d.下结论(若差＜0，则为增函数；若差＞0，则为减函数)

2. 注意函数单调性的几种不同的表述形式：设0f1212,,,xxabxx那么：

12120xxfxfx12120fxfxxxfx在[a,b]上是增函数；

12120xxfxfx12120fxfxxxfx在[a,b]上是减函数；

3. 函数单调性的运用：① 比较函数值的大小；② 解抽象不等式；③ 求参数的范围。

4.常用结论：

①函数fx与fx+c(c为常数)具有相同的单调性；

②当c＞0时,函数fx与cfx具有相同的单调性；当c＜0时,函数fx与cfx具有相反的单调性；

函数的单调性与极值求解技巧概述

函数的单调性和极值是数学中涉及函数性质和优化问题的重要概念。单调性描述了函数在定义域上的递增或递减性质，而极值指的是函数在某个特定点上取得最大值或最小值的情况。本文将概述函数的单调性与极值求解的一些基本技巧，并提供一些实例来帮助读者更好地理解这些概念。

一、函数的单调性

函数的单调性是指函数在定义域上的递增或递减的性质。具体而言，如果对于定义域上的任意两个不同的实数a和b，当af(b)则称函数f(x)在该定义域上递减。

确定函数的单调性时，可以通过导数的符号来判断。如果函数f(x)在定义域上导数大于零，则函数在该定义域上递增；如果函数f(x)在定义域上导数小于零，则函数在该定义域上递减。

举例来说，考虑函数f(x)=2x+3。该函数的导数恒为2，大于零，因此函数在整个定义域上递增。

二、函数的极值求解技巧

求解函数的极值是优化问题中的关键步骤，可以帮助我们找到函数取得最大值或最小值的点。下面介绍几种常见的极值求解技巧。

1. 导数法 导数法是求解函数极值的一种常见方法。具体而言，需要首先计算函数的导数，然后找到导数为零的点，即潜在的极值点。通过对导数的符号进行分析，可以确定函数在该点附近的单调性以及极值类型。

举例来说，考虑函数f(x)=x^2-2x+1。首先计算函数的导数为f'(x)=2x-2。令f'(x)=0，可以求得x=1。通过导数的符号分析可知，当x<1时，函数递减；当x>1时，函数递增。因此，函数在x=1处取得极小值。

2. 二阶导数法

对于某些函数，一阶导数法不足以判断极值的类型。这时可以进一步求取二阶导数，并对二阶导数进行符号分析。如果二阶导数大于零，则函数在该点附近有极小值；如果二阶导数小于零，则函数在该点附近有极大值。

举例来说，考虑函数f(x)=x^3-3x^2。首先计算函数的一阶导数为f'(x)=3x^2-6x，二阶导数为f''(x)=6x-6。令f'(x)=0，可以求得x=0和x=2。通过对f''(x)的符号分析可知，在x<0和0