高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及不等式的应用学案
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§7.4 基本不等式及不等式的应用
考纲解读
考点 考纲内容 要求 浙江省五年高考统计
2013 2014
2015 2016 2017
1.基本不等式 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 掌握 21(2),7分 21(2),7分
16(文),4分
14,约2分 15,6分
2.不等式的综合应用 1.能够灵活运用不等式的性质求函数定义域、值域.
2.能够应用基本不等式解决简单的最值问题,熟练掌握运用不等式解决应用题. 掌握 7,5分
16(文),4分
10,5分
22(2),7分 18,15分
20,15分
20(文),8分 20(文),
15分 17,4分
分析解读 1.基本不等式是不等式这章的重要内容之一,主要考查用基本不等式求最值.
2.不等式的综合应用问题常结合函数、导数、数列、解析几何等知识,难度较大,不等式的综合应用是高考命题的热点.
3.预计2019年高考中,仍会对利用基本不等式求最值进行考查.不等式综合应用问题仍是考查的重点之一,考查仍会集中在与函数、数列、解析几何相综合的题目上,复习时应引起高度重视.
五年高考
考点一 基本不等式
1.(2013山东,12,5分)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最大值时,+-的最大值为( )
A.0 B.1 C. D.3
答案 B
2.(2014浙江文,16,4分)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是 .
答案
3.(2017山东文,12,5分)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为 .
答案 8
4.(2017天津文,13,5分)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为 .
答案 4
5.(2013天津,14,5分)设a+b=2,b>0,则当a= 时,+取得最小值.
答案 -2
考点二 不等式的综合应用
1.(2014浙江,10,5分)设函数f1(x)=x2, f2(x)=2(x-x2), f3(x)=|sin 2πx|,ai=,i=0,1,2,…,99.记Ik=|fk(a1)-fk(a0)|+|fk(a2)-fk(a1)|+…+|fk(a99)-fk(a98)|,k=1,2,3,则( )
A.I1
答案 B
2.(2017天津理,8,5分)已知函数f(x)=设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立,则a的取值范围是( )
A. B.
C.[-2,2] D.
答案 A
3.(2013课标全国Ⅰ,11,5分)已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( )
A.(-∞,0] B.(-∞,1]
C.[-2,1] D.[-2,0]
答案 D
4.(2013浙江文,16,4分)设a,b∈R,若x≥0时恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2,则ab= .
答案 -1
5.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 .
答案 30
6.(2014重庆,16,5分)若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是
.
答案
7.(2016浙江文,20,15分)设函数f(x)=x3+,x∈[0,1].证明:
(1)f(x)≥1-x+x2;
(2)< f(x)≤.
证明 (1)因为1-x+x2-x3==,
由于x∈[0,1],有≤,即1-x+x2-x3≤,
所以f(x)≥1-x+x2.
(2)由0≤x≤1得x3≤x,故f(x)=x3+≤x+=x+-+=+≤,
所以f(x)≤.
由(1)得f(x)≥1-x+x2=+≥,
又因为f=>,所以f(x)>.
综上,
8.(2015课标Ⅱ,24,10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:
(1)若ab>cd,则+> +;
(2)+> +是|a-b|<|c-d|的充要条件.
证明 (1)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,
由题设a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2.
因此+> +.
(2)(i)若|a-b|<|c-d|,
则(a-b)2<(c-d)2,
即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.
因为a+b=c+d,所以ab>cd.
由(1)得+> +.
(ii)若+> +,
则(+)2>(+)2,
即a+b+2>c+d+2.
因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是
(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.
因此|a-b|<|c-d|.
综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.
9.(2015湖南,16(3),6分)设a>0,b>0,且a+b=+.证明:
(1)a+b≥2;
(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.
证明 由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1.
(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2=2,即a+b≥2.
(2)假设a2+a<2与b2+b<2同时成立,则由a2+a<2及a>0得0
教师用书专用(10)
10.(2013湖南,20,13分)在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心.
(1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明);
(2)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小.
解析 设点P的坐标为(x,y).
(1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,x∈R,y∈[0,+∞).
(2)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度最小值之和(记为d)的最小值.
①当y≥1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|.
因为d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|,(*)
当且仅当x=3时,不等式(*)中的等号成立.
又因为|x+10|+|x-14|≥24,(**)
当且仅当x∈[-10,14]时,不等式(**)中的等号成立.
所以d1(x)≥24,当且仅当x=3时,等号成立.
d2(y)=2y+|y-20|≥21,当且仅当y=1时,等号成立.
故点P的坐标为(3,1)时,P到三个居民区的“L路径”长度之和最小,且最小值为45.
②当0≤y≤1时,由于“L路径”不能进入保护区,所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|,
此时,d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,
d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21.
由①知,d1(x)≥24,故d1(x)+d2(y)≥45,当且仅当x=3,y=1时等号成立.
综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小.
三年模拟
A组 2016—2018年模拟·基础题组
考点一 基本不等式
1.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,9)已知实数m满足|m|≥1,且b=ma+m2+2,则a2+b2的最小值为( )
A.2 B.4 C. D.
答案 D
2.(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,7)已知b>2a>0,则M=的最小值是( )
A.2 B.2 C.4 D.8
答案 C
3.(2017浙江“超级全能生”3月联考,16)已知1=x2+4y2-2xy(x<0,y<0),则x+2y的取值范围为 .
答案 [-2,-1)
4.(2017浙江绍兴质量调测(3月),16)已知正实数x,y满足xy+2x+3y=42,则xy+5x+4y的最小值为 .
答案 55
考点二 不等式的综合应用
5.(2018浙江杭州二中期中,17)已知正实数x,y满足x+3y++=10,则xy的取值范围为 .
答案
6.(2017浙江宁波期末,16)若正实数a,b 满足(2a+b)2=1+6ab,则 的最大值为 .
答案
7.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,16)已知4y>x>0,且+≤m恒成立,则m的最小值是 .
答案 2
8. (2016浙江名校协作体测试,13)若存在正实数y,使得=,则实数x的最大值为 .
答案
B组 2016—2018年模拟·提升题组
一、选择题
1.(2018浙江9+1高中联盟期中,6)已知实数a>0,b>0,+=1,则a+2b的最小值是( )
A.3 B.2 C.3 D.2
答案 B
2.(2017浙江镇海中学阶段测试(一),7)已知x2+4xy-3=0,其中x>0,y∈R,则x+y的最小值是( )
A. B.3 C.1 D.2
答案 A
