2018版高考数学大一轮复习第七章不等式7.4基本不等式及其应用教师用书

1 （浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及其应用教师用书

1．基本不等式ab≤a＋b2

(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

2．几个重要的不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．

(2)ba＋ab≥2(a，b同号)．

(3)ab≤a＋b22 (a，b∈R)．

(4)a2＋b22≥a＋b22 (a，b∈R)．

以上不等式等号成立的条件均为a＝b.

3．算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p.(简记：积定和最小)

(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值p24.(简记：和定积最大)

【知识拓展】

不等式的恒成立、能成立、恰成立问题

(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔f(x)min>A(x∈D)；

若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)A成立⇔f(x)max>A(x∈D)；

若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)

(3)恰成立问题：不等式f(x)>A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D；

不等式f(x)

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数y＝x＋1x的最小值是2.( × )

(2)函数f(x)＝cos x＋4cos x，x∈(0，π2)的最小值等于4.( × )

(3)“x>0且y>0”是“xy＋yx≥2”的充要条件．( × )

(4)若a>0，则a3＋1a2的最小值为2a.( × )

(5)不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab有相同的成立条件．( × )

(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √

)

1．(教材改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )

A．80 B．77 C．81 D．82

答案 C

解析 ∵x>0，y>0，∴x＋y2≥xy，

即xy≤(x＋y2)2＝81，

当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.

2．(教材改编)已知x>0，a>0，当y＝x＋ax取最小值时，x的值为( )

A．1 B．a C.a D．2a

答案 C

解析 y＝x＋ax≥2a， 3 当且仅当x＝ax即x＝a时，

y＝x＋ax有最小值2a.

3．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )

A.1ab≤14 B.1a＋1b≤1

C.ab≥2 D．a2＋b2≥8

答案 D

解析 4＝a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)，即ab≤2，ab≤4，1ab≥14，选项A，C不成立；1a＋1b＝a＋bab＝4ab≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立．

4．(2016·宁波期末)若正数x，y满足x2＋4y2＋x＋2y＝1，则xy的最大值为________．

答案 2－34

解析 由题意得

1＝x2＋4y2＋x＋2y≥4xy＋22·xy，

则xy≤6－24，则xy≤(6－24)2＝2－34.

题型一 利用基本不等式求最值

命题点1 通过配凑法利用基本不等式

例1 (1)已知0

(2)已知x<54，则f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为________．

(3)函数y＝x2＋2x－1(x>1)的最小值为________．

答案 (1)23 (2)1 (3)23＋2

解析 (1)x(4－3x)＝13·(3x)(4－3x)≤13·[3x＋－3x2]2＝43，

当且仅当3x＝4－3x，即x＝23时，取等号． 4 (2)因为x<54，所以5－4x>0，

则f(x)＝4x－2＋14x－5＝－(5－4x＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1.

当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立．

故f(x)＝4x－2＋14x－5的最大值为1.

(3)y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋＋x－＋3x－1

＝x－2＋x－＋3x－1

＝(x－1)＋3x－1＋2≥23＋2.

当且仅当(x－1)＝3x－，即x＝3＋1时，等号成立．

命题点2 通过常数代换法利用基本不等式

例2 已知a>0，b>0，a＋b＝1，则1a＋1b的最小值为________．

答案 4

解析 ∵a>0，b>0，a＋b＝1，

∴1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab

≥2＋2ba·ab＝4，即1a＋1b的最小值为4，当且仅当a＝b＝12时等号成立．

引申探究

1．若条件不变，求(1＋1a)(1＋1b)的最小值．

解 (1＋1a)(1＋1b)＝(1＋a＋ba)(1＋a＋bb)＝(2＋ba)·(2＋ab)

＝5＋2(ba＋ab)≥5＋4＝9.

当且仅当a＝b＝12时，取等号．

2．已知a>0，b>0，1a＋1b＝4，求a＋b的最小值．

解 由1a＋1b＝4，得14a＋14b＝1.

∴a＋b＝(14a＋14b)(a＋b)＝12＋b4a＋a4b≥12＋2 b4a·a4b＝1.

当且仅当a＝b＝12时取等号． 5 3．若将条件改为a＋2b＝3，求1a＋1b的最小值．

解 ∵a＋2b＝3，

∴13a＋23b＝1，

∴1a＋1b＝(1a＋1b)(13a＋23b)＝13＋23＋a3b＋2b3a

≥1＋2 a3b·2b3a＝1＋223.

当且仅当a＝2b时，取等号．

思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．

(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．

(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．

(1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．

(2)已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝(12)y，若1x＋my(m>0)的最小值为3，则m＝________.

答案 (1)5 (2)4

解析 (1)方法一 由x＋3y＝5xy，可得15y＋35x＝1，

∴3x＋4y＝(3x＋4y)(15y＋35x)

＝95＋45＋3x5y＋12y5x≥135＋125＝5.

当且仅当3x5y＝12y5x，即x＝1，y＝12时，等号成立，

∴3x＋4y的最小值是5.

方法二 由x＋3y＝5xy，得x＝3y5y－1，

∵x>0，y>0，∴y>15， 6 ∴3x＋4y＝9y5y－1＋4y＝y－15＋95＋45－4y5y－1＋4y

＝135＋95·15y－15＋4(y－15)

≥135＋23625＝5，

当且仅当y＝12时等号成立，∴(3x＋4y)min＝5.

(2)由2x－3＝(12)y得x＋y＝3，

1x＋my＝13(x＋y)(1x＋my)

＝13(1＋m＋yx＋mxy)

≥13(1＋m＋2m)

(当且仅当yx＝mxy，即y＝mx时取等号)，

∴13(1＋m＋2m)＝3，

解得m＝4.

题型二 基本不等式的实际应用

例3 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司年平均利润的最大值是________万元．

答案 8

解析 年平均利润为yx＝－x－25x＋18

＝－(x＋25x)＋18，

∵x＋25x≥2 x·25x＝10，

∴yx＝18－(x＋25x)≤18－10＝8，

当且仅当x＝25x即x＝5时，取等号．

思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．

(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． 7 (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．

某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．

答案 80

解析 设每件产品的平均费用为y元，由题意得

y＝800x＋x8≥2 800x·x8＝20.

当且仅当800x＝x8(x>0)，即x＝80时“＝”成立．

题型三 基本不等式的综合应用

命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题

例4 (1)(2016·杭州二模)正实数x，y满足：1x＋1y＝1，则x2＋y2－10xy的最小值为_____．

(2)(2016·山西忻州一中等第一次联考)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则Sn＋8an的最小值是________．

答案 (1)－36 (2)92

解析 (1)1x＋1y＝1⇒x＋y＝xy，

x2＋y2－10xy＝(x＋y)2－12xy＝(xy)2－12xy＝(xy－6)2－36，

由x＋y＝xy≥2xy，得xy≥4，

故(x2＋y2－10xy)min＝－36.

(2)an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝n＋n2，

∴Sn＋8an＝n＋n2＋8n＝12(n＋16n＋1)≥

12(2n·16n＋1)＝92，

当且仅当n＝4时取等号．

∴Sn＋8an的最小值是92.

命题点2 求参数值或取值范围