高中数学《3.1.2复数的几何意义》导学案 新人教A版选

榕江县一中集体备课·XX教案 诚·勤·公·毅

数学选修2—1

模块及章节 第三章 课题 3.1.2复数的几何意义

主备人 邱林 课时数 共 1 课时 授课教师

教学目的 知识与技能 理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；了解复数代数式加法、减法运算的几何意义。

过程与方法 渗透转化、数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题的能力。

情感态度与价值观 引导学生观察现象，发现问题，提出观点，验证结论，培养良好的学习思维品质。

教学重点 复数的几何意义

教学难点 复数与向量的关系；复数模的几何意义。

教学方法、教辅工具 多媒体、问题启发

课 型 新课型

教学内容及过程 个性设计及备注

一、问题情景

问题1：对于复数a+bi和c+di(a,b,c,d ∈R)，你认为满足什么条件时，这两个复数相等？

（a=c且b=d，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等。）

问题2：若把a,b看成有序实数对（a,b），则（a,b）与复数a+bi是怎样的对应关系？有序实数对（a,b）与平面直角坐标系中的点是怎样的对应关系？（一一对应关系）

实数可以用数轴上的点来表示

实数 一一对应 实数轴上的点 （几何模型）

问题3：类比实数的性质，你能否找到用来表示复数的几何模型？还能得出复数其他的一些性质吗？

（学生猜测，讨论，形成一些共识）

二、建构数学

数 形 榕江县一中集体备课·XX教案 诚·勤·公·毅

1、复平面的概念

把建立的直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示虚数。

2、复数的几何意义

复数a+bi，即点Z（a,b）（复数的几何形式）、即向量OZ（复数的向量形式。以O为始点的向量，规定：相等的向量表示同一个复数。）

1 3.1.2复数的几何意义

项目 内容

课题 3.1.2复数的几何意义 修改与创新

教学目标 1、理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的

2、能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

教学重、

难点 重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

难点：根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

教学准备 直尺、粉笔

教学过程 一、复习准备：

1. 说出下列复数的实部和虚部，哪些是实数，哪些是虚数。

14,72,83,6,,20,7,0,03,3iiiiiii

2．复数(4)(3)zxyi，当,xy取何值时为实数、虚数、纯虚数？

3. 若(4)(3)2xyii，试求,xy的值，（(4)(3)2xyi呢？）

二、讲授新课：

1. 复数的几何意义：

① 讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？

（分析复数的代数形式，因为它是由实部a和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标） 结论：复数与平面内的点或序实数一一对应。

②复平面：以x轴为实轴， y轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。

复数与复平面内的点一一对应。

③例1：在复平面内描出复数14,72,83,6,,20,7,0,03,3iiiiiii分别对应的点。

（先建立直角坐标系，标注点时注意纵坐标是b而不是bi） 2 观察例1中我们所描出的点，从中我们可以得出什么结论？

④实数都落在实轴上，纯虚数落在虚轴上，除原点外，虚轴表示纯虚数。

思考：我们所学过的知识当中，与平面内的点一一对应的东西还有哪些？

⑤Zabi一一对应复数复平面内的点(a,b)，Zabi一一对应复数平面向量OZ，一一对应复平面内的点(a,b)平面向量OZ

注意：人们常将复数zabi说成点Z或向量OZ，规定相等的向量表示同一复数。

选修2-2 第三章 3.1 3.1.2

一、选择题

1．若OZ→＝(0，－3)，则OZ→对应的复数为( )

A．0 B．－3

C．－3i D．3

[答案] C

[解析] 由OZ→＝(0，－3)，得点Z的坐标为(0，－3)，

∴OZ→对应的复数为0－3i＝－3i.故选C.

2．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式正确的是( )

A．z1>z2 B．z1

C．|z1|>|z2| D．|z1|<|z2|

[答案] D

[解析] 不全为实数的两个复数不能比较大小，排除选项A，B.

又|z1|＝52＋32，|z2|＝52＋42，

∴|z1|<|z2|.

故选D.

3．在复平面内，O为原点，向量OA→对应复数为－1－2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量OB→对应复数为( )

A．－2－i B．2＋i

C．1＋2i D．－1＋2i

[答案] B

[解析] 由题意知A点坐标为(－1，－2)，而点B与点A关于直线y＝－x对称，则B点坐标为(2,1)，所以向量OB→对应复数为2＋i.故应选B.

4．在复平面内，复数6＋5i、－2＋3i对应的点分别为A、B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )

A．4＋8i B．8＋2i

C．2＋4i D．4＋i

[答案] C

[解析] 由题意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中点C(x，y)，则x＝6－22＝2，y＝5＋32＝4，

∴点C对应的复数为2＋4i，故选C.

5．复数1＋cosα＋isinα(π＜α＜2π)的模为( )

A．2cosα2 B．－2cosα2

C．2sinα2 D．－2sinα2

[答案] B

[解析] 所求复数的模为

1＋cosα2＋sin2α＝2＋2cosα＝4cos2α2，

∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π，

∴cosα2＜0，

∴4cos2α2＝－2cosα2.

6．复数z＝－2(sin100°－icos100°)在复平面内所对应的点Z位于( )

3.1.2 复数的几何意义

1．理解复平面、实轴、虚轴等概念．(易混点)

2．掌握复数的几何意义，并能适当应用．(重点、易混点)

3．掌握复数模的定义及求模公式．

[基础·初探]

教材整理1 复平面与复数的几何意义

阅读教材P104～P105的内容，完成下列问题．

1．复平面

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．

2．复数的几何意义

(1)复数z＝a＋bi一一对应←———→复平面内的点Z(a，b)．

(2)复数z＝a＋bi一一对应←———→平面向量OZ→.

在复平面内，复数z＝1－i对应的点的坐标为( )

A．(1，i) B．(1，－i)

C．(1,1) D．(1，－1)

【解析】 复数z＝1－i的实部为1，虚部为－1，故其对应的坐标为(1，－1)．

【答案】 D

教材整理2 复数的模

阅读教材P105“右侧”，完成下列问题．

复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对应的向量为OZ→，则向量OZ→的模叫做复数a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|.由模的定义可知|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，r∈R)．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( )

(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( )

(3)复数的模一定是正实数．( )

【答案】 (1)√ (2)× (3)×

[小组合作型]

复数与复平面内点的关系

当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点

(1)位于第四象限；

(2)位于x轴负半轴上；

(3)在上半平面(含实轴)．

【精彩点拨】 (1)根据实部大于0，虚部小于0，列不等式组求解

(2)根据实部小于0，虚部等于0求解．

(3)根据虚部大于或等于0求解．

【自主解答】 (1)要使点位于第四象限，需