2020-2021学年湖北省部分重点中学高二(下)联考数学试卷(2021.03) (解析版)
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2020-2021学年湖北省部分重点中学高二（下）联考数学试卷（3月份）
一、单选题（共8小题）.
1．在直角坐标系中，直线x+y﹣3＝0的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，则n等于（ ）
A．660 B．720 C．780 D．800
3．下列不等式中成立的是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则a2＞b2
C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＞b，则a3＞b3
4．在A，B，C，D4本不同的书中，任取2本，则取到A的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知m，n为两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（ ）
A．m⊥n，m∥α⇒n⊥α B．n∥β，β⊥α⇒n⊥α
C．m∥n，m⊥β⇒n⊥β D．m∥α，n⊂α⇒m∥n
6．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则＝（ ）
A．10 B． C． D．15
7．若函数y＝﹣的图象与直线x﹣2y+m＝0有公共点，则实数m的取值范围为（ ）
A．[﹣2﹣1，﹣2+1] B．[﹣2﹣1，1]
C．[﹣2+1，﹣1] D．[﹣3，1]
8．已知p：∃x＞0，ex﹣ax＜1成立，q：函数f（x）＝﹣（a﹣1）x是减函数，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多项选择题（共4小题）.
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数
B．若i为虚数单位，n为正整数，则i4n+3＝i
C．复数的共轭复数为﹣2﹣i
D．复数为﹣2﹣i的虚部为﹣1
10．在△ABC中，如下判断正确的是（ ）
A．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形
B．若A＞B，则sinA＞sinB
C．若△ABC为锐角三角形，则sinA＞cosB
D．若sinA＞sinB，则A＞B
11．定义在上的函数f（x），f'（x）是f（x）的导函数，且f'（x）＜﹣tanx•f（x）恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
12．设F是抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l过点F且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．|AB|≥4
B．|OA|+|OB|＞8
C．若点P（4，1），则|PA|+|AF|的最小值是5
D．若AB倾斜角为，且|AF|＞|BF|，则|AF|＝3|BF|
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．曲线y＝xlnx+3x+2的一条切线的斜率为4，则该切线的方程是
．
14．已知正数x，y满足x+y＝1，则的最小值为 ．
15．有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，点A为两曲线的一个公共点，且满足∠F1AF2＝90°，则的值为 ．
16．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD＝1，BC＝CD＝BD＝，则四棱锥的外接球的表面积为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足acosB+bcosA＝2ccosB，．
（1）求B；
（2）若a﹣c＝2，求△ABC的面积．
18．某研究机构对某校高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得如表数据．
x
6 8 10 12
y 2 3 5 6
（1）根据表中的数据可知x、y具有较强的线性相关性，求出y关于x的线性回归方程；
（2）预测记忆力为19的同学的判断力．（附参考公式：，a＝﹣）
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝2，E为PD中点．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角A﹣BE﹣C的正弦值．
20．已知数列{an}满足an+1﹣2an+2＝0，且a1＝8．
（1）证明：数列{an﹣2}为等比数列；
（2）设bn＝，记数列{bn}的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，m≥Tn恒成立，求m的取值范围． 21．在△ABP中，点B（﹣2，0），A（2，0），顶点P满足：．
（1）求顶点P的轨迹方程E；
（2）过点的直线l与E交于不同的两点M，N，求△MAN面积的最大值．
22．已知函数．
（1）判断f（x）的单调性，并比较20212022与20222021的大小；
（2）若函数，其中1≤a＜e，判断g（x）的零点的个数，并说明理由．
参考答案
一、单选题（共8小题）.
1．在直角坐标系中，直线x+y﹣3＝0的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
解：直线x+y﹣3﹣0的斜率等于﹣，
设此直线的倾斜角为θ，则tanθ＝﹣，
又 0≤θ＜π，∴θ＝，
故选：C．
2．某校数学教研组为了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，则n等于（ ）
A．660 B．720 C．780 D．800
解：∵高一600人、高二780人、高三n人中，抽取35人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为13人，
∴，
解得n＝720，
故选：B．
3．下列不等式中成立的是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则a2＞b2
C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＞b，则a3＞b3
解：对于选项A：当c＝0时，由于a＞b，所以c2（a﹣b）＝0，故选项A错误．
对于选项B：由于a＞b，当a与b互为相反数时，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝0，故选项B错误．
对于选项C：a＜b＜0，所以a2＞ab＞b2，故选项C错误．
对于选项D：由于a＞b，所以a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）＝（a﹣b）[]＞0，故选项D正确． 故选：D．
4．在A，B，C，D4本不同的书中，任取2本，则取到A的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：在A，B，C，D4本不同的书中，任取2本，
基本事件总数n＝＝6，
取到A包含的基本事件个数m＝＝3，
则取到A的概率为P＝＝＝．
故选：B．
5．已知m，n为两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（ ）
A．m⊥n，m∥α⇒n⊥α B．n∥β，β⊥α⇒n⊥α
C．m∥n，m⊥β⇒n⊥β D．m∥α，n⊂α⇒m∥n
解：由m，n为两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：
对于A，∵m⊥n，m∥α，∴n与α相交、平行或n⊂α，故A错误；
对于B，∵n∥β，β⊥α，∴n与α相交、平行或n⊂α，故B错误；
对于C，∵m∥n，m⊥β，∴由线面垂直的判定定理得n⊥β，故C正确；
对于D，∵m∥α，n⊂α，∴m与n平行或异面，故D错误．
故选：C．
6．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则＝（ ）
A．10 B． C． D．15
解：∵，
∴＝＝＝＝＝＝10，
故选：A．
7．若函数y＝﹣的图象与直线x﹣2y+m＝0有公共点，则实数m的取值范围为（ ）
A．[﹣2﹣1，﹣2+1] B．[﹣2﹣1，1]
C．[﹣2+1，﹣1] D．[﹣3，1]
解：根据题意，函数y＝﹣，变形可得（x﹣1）2+y2＝4，（﹣2≤y≤0），
其图象为圆（x﹣1）2+y2＝4的下半部分，如图：
直线x﹣2y+m＝0即y＝x+，必有直线与半圆有公共点，
当m＝﹣2﹣1时，直线x﹣2y+m＝0在圆心的下方且与圆相切，
当m＝1时，直线经过点（﹣1，0），
则m的取值范围为[﹣2﹣1，1]；
故选：B．
8．已知p：∃x＞0，ex﹣ax＜1成立，q：函数f（x）＝﹣（a﹣1）x是减函数，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解：p：令f（x）＝ex﹣ax﹣1，f（0）＝0．由∃x＞0，ex﹣ax＜1成立，∴f（x）min＜0．
f′（x）＝ex﹣a．可知：a≤0时，函数f（x）单调递增，舍去．
a＞0时，f（x）在（0，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．
因此x＝lna时，函数f（x）取得极小值即最小值．∴f（lna）＝a﹣alna﹣1＜0．
令g（a）＝a﹣alna﹣1，g（1）＝0．
g′（a）＝1﹣lna﹣1＝﹣lna，可知：a＝1时，g（a）取得最大值，
因此a＞0且a≠1．
q：函数f（x）＝﹣（a﹣1）x是减函数，则a﹣1＞1，解得a＞2． 则p是q的必要不充分条件．
故选：B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2为实数
B．若i为虚数单位，n为正整数，则i4n+3＝i
C．复数的共轭复数为﹣2﹣i
D．复数为﹣2﹣i的虚部为﹣1
解：若z1，z2互为共轭复数，设z1＝a+bi，z2＝a﹣bi，则z1z2＝a2+b2是实数，所以A正确；
若i为虚数单位，n为正整数，则i4n+3＝i3＝﹣i，所以b不正确；
复数＝＝﹣2﹣i，所以复数的共轭复数为﹣2+i，所以C不正确；
复数为﹣2﹣i的虚部为﹣1，满足复数的定义，所以D正确；
故选：AD．
10．在△ABC中，如下判断正确的是（ ）
A．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形
B．若A＞B，则sinA＞sinB
C．若△ABC为锐角三角形，则sinA＞cosB
D．若sinA＞sinB，则A＞B
解：A：∵sin2A＝sin2B，A，B∈（0，π），
∴2A＝2B或 2A+2B＝180°，∴A＝B或 A+B＝90°，
则△ABC为等腰或直角三角形． 故A错误．
B：∵A＞B，∴a＞b，∴2rsinA＞2rsinB，∴sinA＞sinB，故B正确．
C：∵△ABC 为锐角三角形，∴∠C为锐角，∴A+B＞，∴A＞﹣B，∴sinA＞sin（﹣B），∴sinA＞cosB，故C正确．
D：∵sinA＞sinB，∴2rsinA＞2rsinB，∴a＞b，∴A＞B，故D正确．
故选：BCD．
