2019-2020学年湖北省高一下学期期末联考数学试题(解析版)
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2019-2020学年湖北省高一下学期期末联考数学试题
一、单选题
1．设全集UR，已知集合3Axx或9x，集合Bxxa.若UCAB，则a的取值范围为（ ）
A．3a B．3a C．9a D．9a
【答案】C
【解析】求出A的补集，根据UCAB，求出a的范围即可．
【详解】
∵3Axx或9x，∴9|3UCAxx，
若UCAB，则9a，
故选：C．
【点睛】
本题考查了集合的交集、补集运算，属于基础题．
2．已知复数z满足14iz（i为虚数单位），则复数2z在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】先求出复数z，再求出2z，进而求出其坐标，即可得到答案．
【详解】
因为41422111iziiii，
所以2=222zi，
所以复数2z在复平面内对应的点得坐标为222，所在的象限为第四象限．
故选：D．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3．已知1sin()3，则3sin(2)2（ ）
A．79 B．79 C．33 D．33
【答案】A
【解析】利用诱导公式及倍角公式变形求解即可．
【详解】
解：1sin()sin3，则1sin3，
2327sin(2)cos22sin11299．
故选：A．
【点睛】
本题考查诱导公式及倍角公式的应用计算，是基础题．
4．有四个幂函数：①1fxx；②2fxx；③3fxx；④13fxx.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是yyR，且0y；（3）在,0上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【解析】根据幂函数的单调性、值域和奇偶性，结合三个性质两个正确一个错误，对四个幂函数逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
①1fxx只满足值域是yyR，且0y；③3fxx只满足在,0上是增函数；④13fxx只满足在,0上是增函数；②2fxx是偶函数，在,0上是增函数，但其值域是0yy.
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查幂函数的单调性、值域和奇偶性，考查分析与推理的能力，属于基础题.
5．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】A
【解析】先求出基本事件总数，再求出田忌的马获胜包含的基本事件种数，由此能求出田忌的马获胜的概率.
【详解】
分别用A，B，C表示齐王的上、中、下等马，用a，b，c表示田忌的上、中、下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc共9场比赛，其中田忌马获胜的有Ba，Ca，Cb共3场比赛，所以田忌马获胜的概率为13.
故选：A.
【点睛】
本题考查概率的求法，考查等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.
6．设锐角ABC的三个内角分别为角A、B、C，那么“2AB”是“sincosBA”成立的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由诱导公式推导出“2AB” “sincosBA”，从而“2AB”是“sincosBA”成立的充分必要条件．
【详解】
解：设锐角ABC的三个内角分别为角A，B，C，
“2AB” “2BA” “sinsin2BA ”
“sincosBA”，
“sincosBA ” “sinsin()2BA ” “2BA ”
“2AB”，
“2AB”是“sincosBA”成立的充分必要条件．
故选：A．
【点睛】
本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查诱导公式、三角函数的性质等基
础知识，考查运算求解能力，属于基础题.
7．根据食物中维C的含量可大致分为：含量很丰富：鲜枣、沙棘、猕猴桃、柚子，每100克中的维生素C含量超过100毫克；比较丰富：青椒、桂圆、番茄、草莓、甘蓝、黄瓜、柑橘、菜花，每100克中维生素C含量在50~100毫克；相对丰富：白菜、油菜、香菜、菠菜、芹菜、苋菜、菜苔、豌豆、豇豆、萝卜，每100克中维生素C含量在30~50毫克.现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克所含维生素C的量（单位：mg）得到茎叶图如图所示，则下列说法中不正确的是（ ）
A．猕猴桃的极差为32 B．猕猴桃的平均数小于柚子的平均数
C．猕猴桃的方差小于柚子的方差 D．柚子的中位数为121
【答案】C
【解析】根据所给数据求出极差即可判断A，分别求出猕猴桃和柚子的平均数，比较即可判断B，分别求出其方差判断C，结合数据求出柚子的中位数判断D即可．
【详解】
解：对于A，猕猴桃的极差为：13410232，故A正确；
对于B，猕猴桃的平均数是1(104102113121122134)1166x，
柚子的平均数是1(113114121121131132)1226y，故B正确；
对于C，猕猴桃的方差是：2111(19614492536324)12263s，
柚子的方差是：221(81641181100)54.676s，
故猕猴桃的方差大于柚子的方差，故C错误；
对于D，柚子的中位数是121，故D正确；
故选：C．
【点睛】
本题考查了极差，方差，中位数，平均数问题，属于基础题．
8．设0.1log2a，30log2b，则（ ）
A．42()3ababab B．42()3ababab
C．23()4ababab D．23()4ababab
【答案】B
【解析】由对数的换底公式可以得出113,22ab，通分再结合不等式的性质ab<0,求出ab的不等关系.
【详解】
因为0.1log2a，30log2b，
所以0ab，222113log0.1log30log3,22ab
所以31122ab，所以423ababab，所以选B.
【点睛】
本题考查了对数的换底公式和不等式的性质，解题的关键在于得出ab<0,属于中档题.
9．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足20acbc，则c的最大值是（ ）
A．2 B．52 C．32 D．55
【答案】B
【解析】设1,0a，0,1b，,cxy，则由题设条件可得,xy的关系为12120xxyy即221152416xy，故可求22cxy的最大值.
【详解】
因为a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，
故可设1,0a，0,1b，,cxy，
则1,acxy，22,12bcxy，
因为20acbc，所以12120xxyy，
整理得到22102xyxy，即221152416xy，
故22cxy的最大值为221155++=2442，
故选：B.
【点睛】
本题考查向量的数量积以及向量模长的计算，注意根据问题的特点将向量问题坐标化，从而降低问题的思维难度和计算难度，本题属于中档题.
10．在正三棱锥SABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AMMN，若侧棱25SA，则正三棱锥SABC外接球的体积是（
）
A．2015 B．60 C．4015 D．48
【答案】A
【解析】取AC的中点P，连接BP，PS，根据线面垂直的判定定理，证明AC平面BSP，推出SA，SB，SC两两垂直，将正三棱锥SABC补成正方体，则正方体的外接球即是正三棱锥SABC的外接球，设外接球半径为R，根据题中数据求出半径，再由球的体积公式，即可求出结果.
【详解】
取AC的中点P，连接BP，PS，
因为在正三棱锥SABC中，底面为正三角形，各棱长都相等，
记ABACBC，SASBSC，
所以BPAC，SPAC，
又SPBPP，BP平面BSP，SP平面BSP，
所以AC平面BSP，
因此ACSB，
因为AMMN，M、N分别是棱SC、BC的中点，
所以AMSB，
又AMACA，AM平面SAC，AC平面SAC，
所以SB平面SAC，
因此SBSC，SBSA，
又正三棱锥各侧面三角形都全等，所以SASC，
即SA，SB，SC两两垂直，
将正三棱锥SABC补成如图所示的正方体，则正方体的外接球即是正三棱锥SABC的外接球，设外接球半径为R，
又25SA，
所以2222202020215RSASBSC，即15R，
因此，正三棱锥SABC外接球的体积是3420153VR.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查求几何体外接球的体积，熟记球的体积公式，以及几何体结构特征即可，属于常考题型.
11．设点D为ABC的边AB上一点，点P为ABC内一点，且分别满足关系212ADAB，1APADBC，0，则APDABCSS的最大值为（ ）
A．22 B．24 C．22 D．23
【答案】B
【解析】根据向量关系得到:1DPBC，212ADAB，从而得到两个三角形的面积之比，利用基本不等式可求其最大值.
【详解】
