考研数学一(线性代数)模拟试卷74(题后含答案及解析)

考研数学一（线性代数）模拟试卷74 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 已知A是n阶可逆阵，则与A必有同特征值的矩阵是( )．

A．A－1

B．A2

C．AT

D．A*

正确答案：C

解析：AT和A有相同的特征值，因 ｜λE+A｜=｜(λE+A)T｜=｜(λE)T+AT｜=｜λE+AT｜．A和AT的特征多项式相等．故选

C． 知识模块：线性代数

2． 若α1=(－1，1，a，4)T，α2=(－2，1，5，a)T，α3=(a，2，10，1)T是齐次方程组Ax=0的基础解系，则a的取值为( )．

A．a≠5

B．a≠－4

C．a≠－3

D．a≠－3且a≠－4

正确答案：A

解析：α1，α2，α3是基础解系，则α1，α2，α3必线性无关，由知a≠5，r(α1，α2，α3)=3．故选A． 知识模块：线性代数

3． 已知A是三阶矩阵，r(A)=1，则λ=0( )．

A．必是A的二重特征值

B．至少是A的二重特征值

C．至少是A的三重特征值

D．－重、二重、三重特征值都可能

正确答案：B

解析：A是三阶矩阵，r(A)=1，r(0E—A)=1． (0E－A)X=0有两个线性无关特征向量，故λ=0至少是二重特征值，也可能是三重，例如r(A)=1，λ=0是三重特征值．故选

B． 知识模块：线性代数

4． 设A，B均是三阶非零矩阵，满足AB=0，其中则( )．

A．a=－1时，必有r(A)=1

B．a≠－1时，必有r(A)=2

C．a=2时，必有r(A)=1

D．a≠2时，必有r(A)=2

正确答案：C

解析： 由AB=0知，r(A)+r(B)≤3，且r(A)≥1． 当a=－1时，r(B)=1，于是1≤r(A)≤2； 当a≠－1时，必有a=2，此时r(B)=2，从而r(A)=1； 当a≠2时，必有a=－1，此时r(B)－1，从而1≤r(A)≤2； 当a=2时，有r(B)=2，从而r(A)=1．故选

C． 知识模块：线性代数

填空题

5． 设A和B是两个相似的三阶矩阵，矩阵A有特征值1，矩阵B有特征值2个3，则行列式｜AB+A｜=______．

正确答案：应填144．

解析：由于A，B为相似矩阵，因此有相同的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3，又 ｜AB+A｜=｜A｜．｜B+E｜，而｜A｜=λ1λ2λ3=6， ｜B+E｜=(λ1+1)(λ1+1)(λ1+1)=2．3．4=24，故｜AB+A｜=6×24=144． 知识模块：线性代数

6． 已知则r(A)+r(A－E)+r(A－2E)=______．

正确答案：应填9．

解析：由A～B知A+kE～B+kE，又因相似矩阵有相同的秩．故r(A)+r(A—E)+r(A－2E)=r(B)+r(B—E)+r(B－2E)=2+4+3=9． 知识模块：线性代数

7． 设A是三阶矩阵，相似于对角阵 设B=(A―λ1E)(A―λ2E)(A―λ3E)．则B=______．

正确答案：应填0．

解析：由A～A，知存在可逆矩阵P，使P－1AP=Λ． B=(A—λ1E)(A—λ2E)(A－λ3E) =(PΛP－1－λ1E)(PΛP－1－λ2E)(PΛP－1－λ3E)

=P(Λ—λ1E)P－1P(Λ—λ2E)P－1P(Λ—λ3E)P－1 知识模块：线性代数

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

8． 设A、B均为n阶方阵，证明：｜AB｜=｜A｜．｜B｜．

正确答案：直接利用分块矩阵，有 涉及知识点：线性代数

9． 证明：方阵A是正交阵的充分必要条件是｜A｜=±1，且若｜A｜=1，则它的每一个元素等于自己的代数余子式，若｜A｜=－1，则它的每个元素等于自己的代数余子式乘－1．

正确答案：必要性．A正交AAT=E=>｜A｜=±1． 若｜A｜=1，则AA*=｜A｜E=E，而已知AAT=E，从而AT=A*，即aij=Aij； 若｜A｜=－1，则AA*=｜A｜E=－E，A(－A*)=E，而已知AAT=E，从而有－A*=AT，即aij=－Aij． 充分性．｜A｜=1且aij=－Aij，则A*=AT，AA*=AAT=｜A｜E=E，A是正交阵； ｜A｜=－1，且aij=－Aij时，则－A*=AT，AA*=｜A｜E=－E，即AAT=E，A是正交阵． 涉及知识点：线性代数

10． 已知α1=(1，－2，1，0，0)，α2=(1，－2，0，1，0)，α3=(0，0，1，－1，0)，α4=(1，－2，3，－2，0)是线性方程组的解向量，问α1，α2，α3，α4是否构成此方程组的基础解系，假如不能，是多了还是少了?若多了，如何去除?若少了，如何补充?

正确答案：对方程组的系数矩阵作初等行变换如下知r(A)=2，因未知量个数n=5，故基础解系应由n－r(A)=5－2=3个线性无关解向量组成， 将行向量组α1，α2，α3，α4作初等行变换如下：得r(α1，α2，α3，α4)=2．α1，α2是极大线性无关组． 从而知α1，α2，α3，α4不能构成基础解系，应去除α1，α2，α3，α4中线性相关的向量(这里应去除α3，α4)，保留极大线性无关组α1，α2，并补充一个线性无关解向量． 由方程组的系数矩阵A的等价阶梯形矩阵及已知的解向量α1，α2知，补充一个线性无关解向量β，应取自由未知量为(0，0，1)(使与α1，α2线性无关)代入阶梯形矩阵，得β=(5，－6，0，0，1)，从而α1，α2，β是方程组的基础解系． 涉及知识点：线性代数

11． 已知k(1，0，2)+k(0，1，－1)T是齐次方程组Ax=0的通解，又Aα+3α=0，其中β=(1，2，3)T，求矩阵A．

正确答案：记α1=(1，0，2)T，α2=(0，1，－1)T，由于k1α1+k2α2是齐次方程组Ax=0的通解，知α1，α2是Ax=0的解，也即矩阵A的属于特征值λ=0的线性无关的特征向量，那么 A[α1，α2，α]=[Aα1，Aα2，Aα]=E0，0，－3α]． 可知 A=[0，0，－3α][α1，α2，α]－1 涉及知识点：线性代数

设A是n阶反对称矩阵．

12． 证明：对任何n维列向量α，恒有αTAα=0．

正确答案：因为αTAα是1×1矩阵，是一个数，故 αTAα=(αTAα)T=αTAT(αT)T=－αTAα．所以恒有αTAα=0． 涉及知识点：线性代数

13． 证明：对任何非零常数c，矩阵A+cE恒可逆．

正确答案：(反证法)．如果矩阵A+cE不可逆，则齐次方程组(A+cE)x=0有

非零解，设其为η，于是有 Aη=－cη，η≠0． 左乘ηT，得 ηTAη=－cηTη≠0．与上一题矛盾． 故矩阵A+cE恒可逆． 涉及知识点：线性代数

14． 已知A是3阶实对称矩阵，特征值是1，2，－1，相应的特征向量依次为α1=(a－1，1，1)T，α2=(4，－a，1)T，α3=(a，2，b)T，A*是A的伴随矩阵，试求齐次方程组(A*+E)x=0的基础解系．

正确答案：因为实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故由｜A｜=－2，知A*的特征值是－2，－1，2．那么A*+E的特征值是－1，0，3．又因A，A*，A*+E有相同的特征向量．于是(A*+E)α2=0α22=0．所以α2=(4，－1，1)T是齐次方程组(A*+E)x=0的基础解系． 涉及知识点：线性代数

15． 设矩阵A3×3满足A2=E，但A≠士E．证明： [r(A―E)－1][r(A+E)－1]=0．

正确答案：A≠±E，A—E≠0，A+E≠0，r(A—E)≥1，r(A+E)≥1． (A—E)(A+E)=0，r(A—E)≤2，r(A+E)≤2．又r(A+E)+r(A—E)=3．故r(A—E)，r(A+E)必有一个是1，一个是2，故 [r(A—E)－1][r(A+E)－1]=0． 涉及知识点：线性代数

16． 已知A，B均是m×n矩阵，r(A)=n―s，r(B)=n－r，且r+s＞n，证明：线性方程组AX=0，BX=0有非零公共解．

正确答案：Am×nX=0，因r(A)=n－s，故有s个线性无关解向量组成AX=0的基础解系，设为α1，α2，…，αs． Bm×nX=0，因r(B)=n—r，故有r个线性无关解向量组成BX=0的基础解系，设为β1，β2，…，βr． 因s+r>n，故s+r个n维向量α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βr线性相关，即存在不全为0的k1，k2，…，ks，μ1，μ2，…，μr，使得 k1α1+k2α2+…+ksαs+μ1β1+μ2β2+…+μrβr=0， 因α1，α2，…，αs线性无关，β1，β2，…，βr线性无关，故ki=0(i=1，2，…，s)，μi=0(i=1，2，…，r)，这和k1，k2，…，ks，μ1，μ2，…，μr不全为0矛盾，故是AX=0的解，ξ=也是BX=0的解)． 涉及知识点：线性代数

17． A是三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是相应的特征向量，证明：向量组A(ξ1+ξ2)，A(ξ2+ξ3)，A(ξ3+ξ1)线性无关的充要条件是A是可逆阵．

正确答案：A(ξ1+ξ2)，A(ξ2+ξ3)，A(ξ3+ξ1)线性无关(λ1ξ1+λ2ξ2，λ2ξ2+λ3ξ3，λ3ξ3+λ1ξ1)=[ξ1，ξ2，ξ3]中的矩阵行列式 =λ1λ2λ3≠0｜A｜=λ1λ2λ3≠0，即A是可逆阵． 涉及知识点：线性代数

18． 已知A是N阶实对称矩阵，λ1，λ2，…，λn是A的特征值，ξ1，ξ2，…，ξn是A对应的n个标准正交特征向量，证明：A可表示为 A=λ

1ξ1ξ1T+λ2ξ2ξ2T+…+λnξnξnT．

正确答案：取Q=[ξ1，ξ2，…，ξn]，则Q－1=QT，且 Q－1AQ=QTAQ=diag[λ1，λ2，…，λn]，A=QAQT=λ1ξ1ξ1T+λ2ξ2ξ2T+…+λnξnξnT 涉及知识点：线性代数

设B是n×n矩阵，A是n阶正定阵，证明：

19． r(BTAB)=r(B)．

正确答案：A是正定阵，存在可逆阵D，使得A=DTTD，

r(BTAB)=r(BTDTDB)=r[(DB)T(DB)]=r(DB)=r(B)． 涉及知识点：线性代数

20． BTAB也是正定阵的充要条件为r(B)=n．

正确答案：必要性．A正定，且BTAB正定，由(1)知，r(B)=r(BTAB)=n，故r(B)=n． 充分性．A正定，r(B)=n，则BTAB=BTDTDB=(DBT)(DB)，因r(B)=n，D可逆，故DB可逆，从而BTAB正定． 涉及知识点：线性代数